统计学-第三章

x
i 1 N
N
i
fi
i
f
i 1
第一节：分布的平均水平、集中趋势和位置的度量
举例：
【例3-1】 根据第二章例2-1数据资料，计算简单算术平 均数、加权算术平均数。 解：（1）简单算术平均数
28 31 32 302 x 112 .459 (百万元） 60 （2）加权算术平均数
（3）是非标志的平均数
当某现象的标志值只有“是”与“非”两种属性或特 征，且可据此进行归类时，我们就称该现象为“是非” 现象。 我们用p表示具有“是”的属性的单位数占总体单位 数的比重，用q表示具有“非”的属性的单位数占总体单 位数的比重。以1作为“是”的单位的标志，以0作为 N “非”的单位的标志值，按加权算术平均数公式可得是 x f 非标志的平均数为：i i 1 p 0 q i 1
性质5
设 y a bx,
则 y
2
2 b 2 x
第二节：分布离散程度的度量
0—1分布的方差与标准差。
0—1分布由瑞士的科学家雅各布· 伯努利（1654-1705） 提出，也可称作“是非”分布。分布的密度函数如下：
f ( x; p) p x (1 p)1 x，
方差值为：V ( x) E ( x 2 ) E 2 ( x)
Q3 x3
4
4 ( n 1)
( n 1)
x3
4
4
( 7 1)
( 7 1)
x6 6
第一节：分布的平均水平、集中趋势和位置的度量
（6）其他分位数
当n+1不能被4整除时，下四分位数与上四分位数为：
Q1 = Q1位置左边的样本值 +（ Q1 位置右边的样本值- Q1 位置左边的样本值）×0.25
性质2
性质3
i 1
N
2
N
当 设

( xi x 0 ) 2
i 1
N
N
(x0 x)
x1 , x 2 ,, xn 独立同分布时，有如下性质： x x1 x2 xn , 则 x2 x2 x2 x2
1 2
n
性质4
设
x21 x22 x2n 1 2 x1 x2 xn 2 i x ， 则 x 2 n n n
英国统计学家皮尔生在进行研究后指出，当总体存 在微偏斜时，众数、中位数与算术平均数的关系通过下 面的经验公式表示：
x M 0 3( x M e )
即，算术平均数与众数的距离约等于算术平均数与中 位数距离的三倍。
第一节：分布的平均水平、集中趋势和位置的度量
众数、中位数与算术平均数的关系？
12 4 D 4 2
第二节：分布离散程度的度量
极差与四分位差表示数据离散程度的局限性？ 只利用了数据列中的两个值的信息，其他值的信息皆未采用。
3. 平均差
数据列的平均差由下式表示：
A. D
x
i 1
N
i
x
4. 方差与标准差
N
标准差是方差的平方根，也被称作“均方差”，分别如下：
方差
2
第一节：分布的平均水平、集中趋势和位置的度量
众数、中位数与算术平均数的关系？
对称分布
右偏分布
左偏分布
M0 Me x
M0 Me x
M0 Me x
M 0 为众数； M e 为中位数； x 为算术平均数。
第一节：分布的平均水平、集中趋势和位置的度量
众数、中位数与算术平均数的关系？
xN xN
2 2 1
N 1 2
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
第一节：分布的平均水平、集中趋势和位置的度量
（5）中位数 中位数的计算方法，需要首先判断n+1能否被2整除： 因此，当n+1能够被2整除时 当数列n+1不能被2整除时
Q2 x n1
2
Q2
xn xn
2 2
1
2
x n ( x n x n ) 0.5
举例： 样本数据集合（排序后）为：99.8， 99.9， 100.1， 100.2，试计算该数据集合的下、上四分位数：
Q1 = Q1位置左边的样本值
+（ Q1 位置右边的样本值- Q1 位置左边的样本值）×0.25 =99.8+（100.1-99.8）×0.25=99.825 Q3 = Q3位置左边的样本值 +（ Q3 位置右边的样本值- Q3 位置左边的样本值）×0.75 =100.1+（100.2-100.1）×0.75=100.175
x 0或1
E ( x) x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 ) 0 p 0 (1 p)10 1 p1 (1 p)11 p
2 E ( x 2 ) x0 f ( x0 ) x12 f ( x1 ) 0 2 p 0 (1 p)10 12 p1 (1 p)11 p
平均数 幂平均数 众数 位置平均数 中位数 其它分位数 简单 加权
分组
第一节：分布的平均水平、集中趋势和位置的度量
（1）简单算术平均数 算术平均数是以“1/N”为权重，求解某数据列的∑ 和。公式表述如下：
1 1 1 x x1 x2 xN N N N
x1 x 2 x N 1 i 1 ( x1 x2 x N ) N N N
第三章 分布数量特征的统计描述
第一节：分布的平均水平、集中趋势 和位置的度量 第二节：分布离散程度的度量 第三节：分布的偏度和峰度
某现象分布特征的统计描述主要从上述三个方面来测度。
第一节：分布的平均水平、集中趋势和位置的度量
1. 某现象平均水平的统计描述
算术平均数
调和平均数
简单
数值平均数 几何平均数
RC xmax xmin 1600 - 800 800
第二节：分布离散程度的度量
2. 四分位差
将数据依大小顺序排列，剔除前面的1/4，再剔除 后面的1/4，之后，用下式计算四分位差：
D Q3 Q1 2
Q3
举例：
Q1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
f1 1 f2 2
fN N

fi
i 1
N
xi
fi
算术平均数与几何平均数有什么不同呢？
第一节：分布的平均水平、集中趋势和位置的度量 （5）众数 某班《统计学》期末考试前十名的成绩如下：
张同学 王同学 李同学 赵同学 左同学 孙同学 石同学 胡同学 葛同学 杨同学 98分 98分 95分 93分 88分 88分 88分 85分 83分 83分
( xi x )
i 1
N
2
N
均方差

( xi x) 2
i 1
N
N
第二节：分布离散程度的度量
举例：
数据搜于2009年12月某日，是60支股票个股的交易金额(百 万元)值，按个股交易变量值从小到大排序后就形成了如下 数列，求其方差与标准差：
28 31 32 34
61 64 69 70
第一节：分布的平均水平、集中趋势和位置的度量
（4）加权几何平均数
加权几何平均数是以“非1/N数列”为权重，求知某数据列 的∏乘积。 “非1/N数列”的和与“1/N数列”的和一样都 是1。公式表述如下：
G x x x
f1 1 f2 2
fN N

fi
i 1
N
x x x
x
f
i 1
N

pq
p
i
请自己计算下【例3-3】的平均成数。
第一节：分布的平均水平、集中趋势和位置的度量
（4）算术平均数的数学性质
Nx x i
i 1 N
(x
i 1

N
i
x) 0
( xi x ) 2 min
i 1
N
第一节：分布的平均水平、集中趋势和位置的度量
（5）简单几何平均数
简单几何平均数是以“1/N数列”为权重，求解某数据列的
∏乘积。公式表述如下：
1 N 1 1 N 2 1 N N
G x x x
N x1 x2 xN ( xi )
1 N
【例3-5】某产品需经三个车间连续加工方能成型，第一车 间加工的合格率为95%，第二车间加工的合格率为90%， 第三车间加工的合格率为98%，求三个车间加工产品的平 均合格率。 G 3 x1 x 2 x3 3 95% 90% 98% 94.28%
举例：某车间生产的一批零件中，直径大于402厘米的占一半，
众数为 400厘米，试估计其平均数，并判定其偏斜方向。
解：
已知 M e =402, M 0 =400 由皮尔生知 x 400 3( x 402 ) 得 x =403 因
M0 Me x
，所以该批零件的直径分布为右偏。
第二节：分布离散程度的度量
x
N
i
第一节：分布的平均水平、集中趋势和位置的度量
（2）加权算术平均数 加权算术平均数是以“非1/N数列”为权重，求 知某数据列的∑和。“非1/N数列”的和与“1/N 数列”的和一样都是1。 公式表述如下：
x x1 f1 x2 f 2 x N f N
x1 f1 x 2 f 2 x N f N f1 f 2 f N
单项式数列的众数为88分，有三名同学考得。 组距式数列的众数组为[80,90]区间。