第四章第一节微分中值定理

Q f ′(ξ )存在,
∴ f −′ (ξ ) = f +′ (ξ ).
∴ 只有 f ′(ξ ) = 0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足 其 注意 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足 结论可能不成立. 结论可能不成立 例如, 例如 y = x, x∈[−2,2];
f (b) − f (a ) 弦AB方程为 y = f (a ) + 方程为 ( x − a ). b−a 曲线 f ( x ) 减去弦 AB ,
所得曲线 a , b两端点的函数值相等 .
作辅助函数
f (b ) − f (a ) F ( x ) = f ( x ) − [ f (a ) + ( x − a )]. b−a
(1)
f ' (ξ) = 0 即
例如, 例如 f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3)( x + 1).
在[−1,3]上连续 ,
Q f ′( x ) = 2( x − 1),
在( −1,3)上可导,
且 f ( −1) = f ( 3) = 0,
f ′( ξ ) = 0 .
格 日 Lagrange） 值 理 如 函 中 定 数f(x)在 拉 朗 （ Lagrange） 果 数 在 区 [ 闭 间a,b]上 续 在 区 (a,b)内 导 那 在 连 , 开 间 可 , 末
(a,b)内 少 一 ξ(a < ξ < b)， 等 至 有 点 使 式
(2) (1)
f (b) − f (a) = f ' (ξ)(b−a) 成 . 立
F ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 F ′(ξ ) = 0.
f (b ) − f (a ) 即 f ′( ξ ) − =0 b−a
或 f (b) − f (a) = f ′(ξ)(b−a).
拉格朗日中值公式
注意: 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系
在 [−2,2] 上除 f ′(0) 不存在外, 满足罗尔定理 的一切条件 , 但在区间 [-2， 内找不到一点能 2] 使 f ′( x ) = 0. 1 ] − x, x∈(0,1 又例如, 又例如 y = ; 0, x = 0
y = x, x∈[0,1 ].
应用：１.证明导函数存在零点，即方程 f ' ( x) = 0 应用： 证明导函数存在零点， 证明导函数存在零点 存在实根． 存在实根．
x→ x0
证明：设 lim f ( x) = A.任取x ∈ U + ( x0 ), 则f ( x)在[ x0 , x]
' x → x0
0
上满足拉格朗日定理条件，从而存在ξ ∈ ( x0 , x), 使得 f ( x) − f ( x0 ) = f ' (ξ ). x − x0
+ + 因ξ ∈ ( x0 , x), 故当x → x0 时, 必有ξ → x0 , 于是
f ( ξ + ∆x ) − f ( ξ ) ≥ 0; 若 ∆x < 0, 则有 ∆x f ( ξ + ∆x ) − f ( ξ ) ∴ f −′ ( ξ ) = lim ≥ 0; ∆x → −0 ∆x f ( ξ + ∆x ) − f ( ξ ) f +′ ( ξ ) = lim ≤ 0; ∆x → +0 ∆x
思路2： f (b) − f (a) 要构造的函数的导函数应该为ϕ ( x) = f ( x) − b−a f (b) − f (a ) ∴ϕ ( x ) = f ( x ) − x, b−a 可以验证：)ϕ ( x) ∈ C[a, b], (1 (2) ϕ (x) ∈ D(a, b), bf(a) - af(b) (3)ϕ (a) = ϕ (b) = , b-a ∴ 至少存在一点ξ ∈ (a, b),使得 f (b) − f (a ) ' ' ϕ (ξ ) = f (ξ ) − = 0. b−a
∴ 最值不可能同时在端点 取得 .
则在 ( a , b ) 内至少存在一点 ξ 使 f (ξ ) = M .
Q f ( ξ + ∆x ) ≤ f ( ξ ),
∴ f ( ξ + ∆ x ) − f ( ξ ) ≤ 0,
f ( ξ + ∆x ) − f ( ξ ) 若 ∆x > 0, 则有 ≤ 0; ∆x
'
又 Q f ( x) ∈ C[2,3], f ( x) ∈ D(2,3), f (2) = f (3) = 0 ∴ ∃ξ 2 ∈ (2,3), 使得f (ξ 2 ) = 0
'
又 Q f ( x) ∈ C[3,4], f ( x) ∈ D(3,4), f (3) = f (4) = 0 ∴ ∃ξ 3 ∈ (3,4), 使得f (ξ 3 ) = 0
f ( x )在[0, x ]上满足拉氏定理的条件 ,
∴ f ( x ) − f ( 0) = f ′( ξ )( x − 0), ( 0 < ξ < x ) 1 Q f ( 0 ) = 0, f ′ ( x ) = , 由上式得 ln(1 + x ) = x , 1+ x 1+ ξ 1 1 又Q0 < ξ < x < < 1, 1< 1+ ξ < 1+ x 1+ x 1+ ξ x x x ∴ < < x, 即 < ln(1 + x ) < x . 1+ x 1+ ξ 1+ x
' '
上连续， 设 f ( x )在 [a , b] 上连续， (a , b ) 内可导, 在
x0 , x0 + ∆x ∈ (a , b ), 则有
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) = f ′( x 0 + θ∆x ) ⋅ ∆x (0 < θ < 1).
也可写成 ∆y = f ′( x 0 + θ∆x ) ⋅ ∆x (0 < θ < 1). 增量∆y的精确表达式 . 拉格朗日中值公式又称有限增量公式 有限增量公式. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式 微分中值定理
f (b) − f (a) f ' (ξ) = ' 成立. g(b) −g(a) g (ξ) 成立.
几何解释: 几何解释 在曲线弧AB上至少有
一点C ( g (ξ ), f (ξ )), 在 该点处的切线平行于 弦AB.
Y
X = g(x) Y = f (x)
C
M
B
A
1
N
D
g(ξ2) g (b)
f ( x) − f ( x0 ) lim+ = lim+ f ' (ξ ) = lim+ f ' ( x) = A. x → x0 x → x0 x → x0 x − x0
同理可得 : f ( x) − f ( x0 ) lim− = A. x → x0 x − x0
所以f ( x)在x0点可导, 且f ' ( x0 ) = A
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) = f (b ).
f (b) − f (a 结论亦可写成 = f ′(ξ ). b−a
几何解释: 几何解释
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB .
y
C
y = f ( x)
M
N
D
B
A
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
证 分析 条件中与罗尔定理相差 f (a ) = f (b ). 分析:
Q f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条 件, ∴ 至少存在一个 ξ (在 x0 , x1 之间), 使得 f ′(ξ ) = 0.
但 f ′( x ) = 5( x 4 − 1) < 0, ( x ∈ (0,1)) 矛盾 ∴ 为唯一实根 . 矛盾,
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
取ξ = 1, (1 ∈ ( −1,3))
几何解释: 几何解释:
在曲线弧 AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y = f ( x)
o a
ξ1
ξ2 b
x
物理解释: 物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 折返点处 瞬时速 度等于零. 度等于零
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'
根个数的证明： 根个数的证明： 四次多项式的导函数为三次多项式， 四次多项式的导函数为三次多项式，而三次方程
f ( x) = 0
'
最多有三个根． 最多有三个根．
例2 证明方程 x 5 − 5 x + 1 = 0 有且仅有一个小于
1 的正实根 .
证 设 f ( x ) = x 5 − 5 x + 1,
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy） 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及 g(x) 在闭区间 [a,b]上连续 , 在开区间 (a,b) 内可导 , 且
g' (x) 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b)内 (x 内每一点处均不为零，
至少有一点 ξ(a < ξ < b),使等式
π π 又 Q f ( 0) = arcsin 0 + arccos 0 = 0 + = , 2 2 π 即C = . 2 π ∴ arcsin x + arccos x = . 2