相似三角形一边的平行线(学生版)
三角形一边的平行线(二)
第3讲三角形一边的平行线（二）知识框架本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．3.1 三角形一边的平行线判定定理及推论我们来讨论三角形一边平行线性质定理的逆命题是否正确．如图，在ABC△中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD AEDB EC=，那么DE//BC吗？解析：要肯定上述问题结论的正确，只要证明有一个平行四边形的相对两边分别在直线DE和BC上．如图，过点C作平行于AB的直线CF，交直线DE于点F，得四边形BCFD．证明：∵CF//AB∵AD AECF EC=（三角形一边平行线性质定理的推论）又∵AD AE DB EC=∵ AD ADCF DB=，得CF DB=．由CF//DB，CF DB=，可知四边形BCFD是平行四边形∵ DF//BC，即DE//BC．根据比例的性质可知，在关系式∵AD AEDB EC=、∵AD AEAB AC=、∵BD CEAB AC=中，由其中一个可推出其余两个．因此，以关系式∵、∵、∵之一为已知条件，都可推出DE//BC．这样，就得到以下定理：三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，如果点D 、E 分别在边AB 、AC 的延长线或反向延长线上，且具备条件∵、∵、∵之一，那么也可以用上述同样的方法推出DE //BC ．由此由得到：三角形一边的平行线判定定理的推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．思考：如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE ADBC AB=，那么能否得到DE //BC ，为什么？例1. 如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，根据下列条件，试判断DE 与BC是 否平行． （1）3cm AD =，4cm DB =， 1.8cm AE =， 2.4cm CE =； （2）6cm AD =，9cm BD =，4cm AE =，10cm AC =； （3）8cm AD =，16cm AC =，6cm AE =，12cm AB =；（4）2AB BD =，2AC CE =．例2. 如图，::1:3AM MB AN NC ==，则:MN BC =__________．例1题图 例2题图例题分析例3. 如图，ABC △中，E 点在边AB 上，F 点在边AC 上，下列命题中不正确的是（ ）（A ）若EF //BC ，则AE AFEB FC=； （B ）若AE AFEB FC=，则EF //BC ； （C ）若EF //BC ，则AE EFAB BC=；（D ）若AE EFAB BC=，则EF //BC ． 例4. 如图，点D 、F 在ABC △的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC ，AF ADAD AB=．求证：EF //DC ．例5. 点D 、E 分别在ABC △的边AB 、AC 上，且DE //BC ，以DE 为一边作平行四边形DEFG ，延长BG 、CF 交于点H ，连接AH ，求证：AH //EF ．例6.如图，M为AB的中点，EF//AB，联结EM、FM分别交AF、BE于点C和点D．求证：CD//AB．例7.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BAF DAE∠=∠，AE与BD交于点G，又DF AD FC DF=．求证：四边形BEFG是平行四边形．3.2 平行线分线段成比例定理如图，已知ABC△，直线1l与边AB、AC分别相交于点D、E，直线2l与边AB、AC分别相交于点F、G，12////l l BC．那么所截得的线段是否成比例？解析：对于这个问题，只需讨论DF EGFB GC=是否成立即可．证明：如图，过点D作直线AC的平行线'l，设直线'l与BC、2l分别交于点'C、'G，则'DG EG=，''G C GC=.利用三角形一边的平行线的性质定理和等量代换，可得DF EGFB GC=．根据上述结论，在利用比例的性质，可知截得的线段成比例．如图，将ABC△的三边AB AC BC、、改为三条直线，则上述结论表述为：直线DB与EC被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．于是得到：平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．如图5，当直线2l过DB中点M，即DM MB=时，则EN NC=．也就是说：两直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．这是平行线分线段成比例定理的特例，也称为平行线等分线段定理．例1.如图，1l//2l//3l，3AB=，8AC=，10DF=，则EF的长为__________．例1题图知识精讲例题分析例2. 如图，直线1l 、2l 、3l 分别交直线4l 于点A 、B 、C ，交直线5l 于点D 、E 、F ，且1l //2l //3l ．已知3AB =，5AC =，9DF =，则EF 的长为________．例3. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，5AC =，3BC =，则:AE DF =___________．例2题图 例3题图例4. 命题“梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 、F 在AB 、CD 上，且::AE EB DF FC =，则EF //BC ”是__________命题．（填“真”或“假”） 例5. 已知线段a 、b 、c ，求作线段x ，使::a b c x =．例6. 如图，AB 、CD 、EF 都垂直于直线l ，12AB =，7EF =，:2:3BD DF =，求CD 的长．例7. 如图，ABC △中，M 为BC 中点，O 为AM 上一点，BO 的延长线交AC 于点D ，CO的延长线交AB 于点E ，PQ //BC ，且PQ 过点O 与AB 、AC 分别交于点P 和点Q ．求证：（1）PO OQ =；（2）DE //BC ．例8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 作EF//AB ，且10EF =，若:1:3AE ED =，求梯形ABCD 中位线的长．例9. 如图，已知点A 、C 、E 和点B 、F 、D 分别是O ∠两边上的点，且AB //ED ，BC//EF ．求证：AF //CD ．例10.如图，M、N分别是ABC△两边AB、AC的中点，P是MN上任一点，延长BP、CP交AC、AB于K、H，求AH AKHB KC+的值．例11.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE BC⊥于点E．（1）连接DE交OC于点F，作FG BC⊥于点G，求证：点G是线段BC的一个三等分点；（2）请你仿照（1）的作法，在原图上作出BC的一个四等分点（要求保留作图痕迹,可不写作法及证明过程）．3.3 课堂检测1. 如图，ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知=3AD ，5AB =，2AE =，43EC =，由此判断DE 和BC 的位置关系是__________，理由是_________________________．2. 在ABC △中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，以下能推出DE //BC 的条件是（ ）（A ）23AB AD =，12EC AE =； （B ）23AD AB =，23DE BC =；（C ）23AD DB =，23CE AE =； （D ）43AD AB =，43AE EC =．3. 在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，2AD =，3DB =，10BC =，要使DE//AC ，则BE =__________． 4. 如图，ABC △中，DE //BC ，AF ADDF DB=，求证：EF //CD ．5. 如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果6AB =，10BC =，8EF =，求DE 的长； （2）如果:3:5DE EF =，24AC =，求AB 、BC 的长．6. 如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，2AB =，3BC =，1AF =，BA的延长线交OF 的延长线于点E ，求AE ．7. 如图，在ABC △中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且EF //BC ，D 为BC 的中点，ED 、FD 的延长线分别交AC 、AB 的延长线于点H 、点G ，连接HG ，求证：EF //GH ．8. 如图1，在菱形ABCD 中，点G 是CD 边上的一点，联结BG 交AC 于F ，过F 作FH//CD 交BC 于H ，可以证明结论FH FGAB BG=成立（不必证明）． （1）如图2，上述条件中，若点G 在CD 的延长线上，其他条件不变时，结论FH FGAB BG=是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）在（1）的条件下，若已知4AB =，60ADC ∠=︒，9CG =，求线段BG 与FG 的长．BC=，在线段AB上9.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，4AB=，3取一点P，过点P作AC的平行线交BC于点E，连接EO，并延长交AD于点F，连接PF．（1）求证：PF//BD；（2）设的AP长为x，PEF△的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域．3.4 课后作业1. 在A ∠的一边上顺次有B 、C 两点，在另一边上顺次有D 、E 两点，下列条件能判断BD //CE 的个数是（）．（1）3cm AB =，4cm BC =， 1.8cm AD =， 2.2cm DE =； （2）:2:3AB AD =， 1.8cm AE =， 1.2cm AC =； （3）5cm AB =，6cm BC =， 4.4cm AE =， 2.4cm DE =； （4）10cm AB =，15cm AC =，10cm BD =，15cm EC =． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个2.ADE △中，点B 和点C 分别在AD 、AE 上，且2AB BD =，2AC CE =，则:BC DE =_______．3. 已知点D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 的反向延长线上的点，如果25AD AB =， 当=AEAC_______时，BD //CE ． 4. 如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上，且3DE =， 4.5BF =，25AD AE AC AB ==．求证：EF //AC ．5. 如图，在梯形ABCD 中，EF //AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，且分别与EF相交于点M 、N ，下列比例式中正确的是（ ）（A ）AO BO ABCO DO CD ==； （B ）AM BN MNCM DN AB ==； （C ）AE AB BF DE CD CF==；（D ）BD AC ABDN CM MN==． 6. 如图，1l //2l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，则不成立的是（ ）（A ）:2:1AE EC =； （B ）:2:5FG GD =； （C ）:2:5GF FD =；（D ）:1:2AG BC =第5题图 第6题图7. 如图，直线1l //2l //3l ，若5cm AB =，8cm BC =，2cm EG =，3cm GF =，求线段DE 与GC 的长．8. 如图，已知线段AB ，在线段AB 上求作一点C ，使得:1:2AC BC =．9. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，点G 是三角形的重心，8AB =． （1）求GC 的长；（2）过点G 的直线MN //AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．AB10. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的点，且AE FD EB AF ⋅=⋅，BG HC GC DH ⋅=⋅，连接EH 、GF 相交于点O ．求证：OE GO FO OH ⋅=⋅．11. 如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =， 求:AF BF 的值．12. 梯形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AD a =，BC b =．（1）如图（a ），如果点E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：EF //BC 且2a bEF +=； （2）如图（b ），如果AE DF mEB FC n==，判断EF 和BC 是否平行，并证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF ．图（a ） 图（b ）。
中考数学专题复习 专题20 相似三角形问题(学生版)
中考专题20 相似三角形问题一、比例1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =(或a ：b=c ：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。
2．黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。
这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。
相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。
2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
3．三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。
(3)两个三角形相似的判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
人教版备考2023中考数学二轮复习 专题19 相似三角形(学生版)
人教版备考2023中考数学二轮复习 专题19 相似三角形一、单选题1．（2022九上·义乌期中）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：16D ．无法确定2．（2022九上·镇海区期中）如图示，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．∠D =∠B B ．∠C =∠AEDC ．AB AD =AC AED ．AB AD =BC DE3．（2022·泸县模拟）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∼△ADE 的是（ ）A ．∠C =∠EB ．∠B =∠ADEC ．AB AD =BC DED ．AB AD =AC AE4．（2022九上·拱墅期中）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，若DE ∥BC ，AD AB =25，AE ＝6cm ，则AC 的长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．18cm5．（2022九上·镇海区期中）如图所示，在△ABC 中，D 、E 为AB 、AC 的中点，若S △ADE =2，则四边形DBCE 的面积为（ ）A．4B．6C．8D．106．（2022九上·镇海区期中）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD 于点E，CE＝4，CD＝6，则AC的长为（）A．8B．9C．10D．117．（2022九上·镇海区期中）如图，AB是半圆的直径，∠ABC的平分线分别交弦AC和半圆于E和D，若BE=2DE，AB=4，则AE长为（）A．2B．√2+1C．√6D．4√338．（2022九上·舟山期中）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC，则下列关系式中成立的有()①CDAB=DEAE；②CDAB=DEAB；③CEDE=BEAB；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BCA．2个B．3个C．4个D．5个9．（2022九上·新昌期中）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC的最小值为√3，其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③二、填空题10．（2022九上·宁波期中）如图，在△ABC中，AM是中线，G是重心，GD∥BC，交AC于D.若BC=6，则GD=.11．（2022九上·闵行期中）已知△ABC∽△A′B′C′，顶点A、B、C分别与顶点A′、B′、C′对应，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，如果BC=3，AD=6，B′C′=2，那么A′D′的长是．12．（2022九上·北仑期中）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED ＝1，BD＝4，那么AB＝.13．（2022九上·宝山期中）如图，矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．已知BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，那么△ABC的面积是cm2．14．（2022九上·南海月考）如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过秒钟△APQ与△ABC相似？15．（2022九上·乐山期中）如图，在矩形ABCD和矩形AEGH中，AD∶AB=AH∶AE=1∶2.则DH∶CG∶BE=.16．（2022九上·宁波期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折得到△FBE，连接CF并延长交BE的延长线于点P.若AB=5，AE=1.则∠P=，PC=.三、作图题17．（2022九上·海曙期中）如图是8×6的正方形网格，已知△ABC，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）.（1）将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，得到△A 1B 1C 1，请在图1中作出△A 1B 1C 1. （2）在图2中，在AC 所在直线的左侧找一格点E ，画∠AEC=∠B. （3）在图3中，仅用无刻度直尺在线段AC 上找一点M ，使得AM MC =23.18．（2022九上·金华月考）如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC （小正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件.（1）与△ABC 有一公共角； （2）与△ABC 相似但不全等.四、解答题19．（2022·泸县模拟）已知：D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，AB =8，AD =3，AC =6，AE =4，求证：△ABC ∼△AED .20．如图，∠CAB =∠CBD ，AB =4，AC =6，BD =7.5，BC =5，求CD 的长．21．（2021·广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．22．（2021·光明模拟）如图，在直角坐标系中，直线y=−12x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，以AB为直径作圆O1，过B作圆O1的切线交x轴于点C．（1）求C点的坐标；（2）设点D为BC延长线上一点，CD=BC，P为线段BC上的一个动点（异于B，C），过P点作x轴的平行线交AB于M，交DA的延长线于N，试判断PM+PN的值是否为定值，如果是，则求出这个值；如果不是，请说明理由．五、综合题23．（2022九上·宁波期中）定义：若一动点P到一条线段AB的两个端点的距离满足PA=4PB，则称P 为线段AB的KZ点，但点P不是线段BA的KZ点.（1）如图1，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=17，若点C是线段AB的KZ点，求AC的长.（2）如图2，在ΔABC中，D是边AB上一点，连结CD，若点A分别是线段CD，线段BC的KZ点.求证：C是线段BD的KZ点（提示：证明△ADC与△ACB相似）.（3）如图3，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=120°，点E，F分别是BC，CD上的点，且满足∠AEF= 120°.连结AF，若点E是线段AF的KZ点.求DF的长.24．（2022九上·宁波期中）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是斜边AB上一动点(0<AD<3.2)，以点A为圆心，AD长为半径作圆A交AC于点F，连结CD并延长交圆A于点E，连结AE，DF.（1）求证：∠FAE=2∠FDC.（2）如图2，若AE∥CB，求EC的长.（3）如图3①若AD平分∠FAE，求圆A的半径长；②当点D在斜边AB上运动时，直接写出CD⋅DE的最大值.25．（2022九上·镇海区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB，交BC于点E，连结AE交BD于点F. 已知∠AFD=∠ADB+∠CDE，（1）①假设∠ABD=α，则∠AFD=.②证明：AB=AE；（2）若AB2=BF⋅BD，AD=2，求CB的长；（3）若CE=2，AB=8，求DE的长.26．（2022九上·镇海区期中）（1）【基础巩固】如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，AF交DE于点G，求证：DGEG=BF CF.（2）【尝试应用】如图2，已知D、E为△ABC的边BC上的两点，且满足BD=2DE=4CE，一条平行于AB的直线分别交AD、AE和AC于点L、M和N，求LMMN的值.（3）【拓展提高】如图3，点E是正方形ABCD的边CD上的一个动点，AB=3，延长CD至点F，使DF=2DE，连接CG，求CG的最小值.27．（2022九上·闵行期中）已知，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D、E分别在边AB、BC上，且均不与顶点B重合，∠ADE=∠A（如图1所示），设AD=x，BE=y．（1）当点E与点C重合时（如图2所示），求线段AD的长；（2）在图1中当点E不与点C重合时，求y关于x的函数解析式及其定义域；（3）我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形．请阅读理解以上定义，完成问题探究：如图1，设点F在边AB上，CE=3，如果四边形ACEF是等邻角四边形，求线段AF的长．答案解析部分1．【答案】A【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴它们的相似比为1：2.故答案为：A.【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．2．【答案】D【知识点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵∠1=∠2∴∠CAB=∠EADA、∠D=∠B，两个三角形的对应角相等，那么△ABC∽△ADE，故A选项不符合题意；B、∠C=∠AED，两个三角形的对应角相等，那么△ABC∽△ADE，故B选项不符合题意；C、ABAD=ACAE，两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等，那么△ABC∽△ADE，故C选项不符合题意；D、ABAD=BCDE，∠B与∠D的大小无法判断，即无法判定△ABC∽△ADE，故D选项符合题意.故答案为：D.【分析】由∠1=∠2可推出∠CAB=∠EAD，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以添加∠B=∠D或∠C=∠AED，根据两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等的三角形相似可以添加AB AD=ACAE，从而一一判断得出答案.3．【答案】C【知识点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE，A、∵∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；B、∵∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；C、∵∠BAC=∠DAE，ABAD=BC DE，∴△ABC 与△ADE 不相似，故C 符合题意； D 、∵∠BAC=∠DAE ，AB AD =AC AE ，∴△ABC ∽△ADE ，故D 不符合题意； 故答案为：C【分析】由∠1=∠2可证得∠BAC=∠DAE ，要使△ABC ∽△ADE ，可以添加另外两组对应角中的一组对应角相等，可对A ，B 作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C ，D 作出判断.4．【答案】C【知识点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵DE ∥BC ，AD AB =25，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC ＝AD AB =25，∵AE ＝6cm ，∴AC ＝52AE ＝52×6＝15（cm ），∴AC 的长为15cm. 故答案为：C.【分析】易证△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.5．【答案】B【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵D 、E 为AB 、AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DE=12BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC =(DE BC )2=14∴S △ABC =4S △ADE =8∴S 四边形DBCE ＝S △ABC −S △ADE =8-2=6. 故答案为：B.【分析】先根据三角形的中位线定理证明DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，即可由S四边形DBCE＝S△ABC−S△ADE求出四边形DBCE的面积．6．【答案】B【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵AC平分∠BAD，∴BC⌢=CD⌢，∴∠BDC＝∠CAD，∵∠ACD＝∠DCE，∴△CDE∽△CAD，∴CD：AC＝CE：CD，∴CD2＝AC•CE，∴62＝4（4+AE），∴AE＝5，∴AC＝AE+CE＝9，故答案为：B.【分析】根据同弧所对的圆周角相等及角平分线的定义可得∠BDC=∠CAD=∠BAC，又∠ACD＝∠DCE，可推出△CDE∽△CAD，根据相似三角形对应边成比例得CD：AC＝CE：CD，代入数值，求解可得AE，进而根据AC=AE+CE算出答案.7．【答案】D【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：∵∠CDB=∠CAB，∠DCA=∠DBA∴△CBE∽△ABE∴CDAB=DEBE=12∴CD=12AB=2∵BD平分∠ABC∴∠CBD=∠ABD∴∠DAC=∠CBD=∠ABD=∠ACD ∴AD=CD=2∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°∴sin∠ABD=ADAB=24=12∴∠ABD=30°∴∠DAE=30°∴AE=ADcos30°=4√3 3，故答案为：D.【分析】根据同弧所对的圆周角相等得∠CDB=∠CAB，∠DCA=∠DBA，根据两组角对应相等的两个三角形相似得△CBE∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例可得CD=2，根据圆周角定理结合角平分线的定义推出∠DAC=∠CBD=∠ABD=∠ACD，根据等角对等边可得AD=CD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，进而根据正弦三角函数的定义及特殊角的锐角三角函数值得∠ABD=30°，进而根据余弦函数的定义，由AE=ADcos30°可算出答案.8．【答案】B【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F，∵梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90°，∴∠A+∠D=90°，∠DCB+∠ABC=180°，∴∠D=90°，∴DE⊥CD，EA⊥AB∵CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC ，∴DE=EF=EA，∠DCB=2∠ECB，∠ABC=2∠EBC，∴∠ECB+∠EBC=90°，∴∠CEB=90°；在Rt△CDE和Rt△CFE中{CE=CEDE=FE∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL）∴CD=CF，同理可证AB=BF，∵∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠DCE=∠AEB，∵∠D=∠A=90°，∴△CDE∽△EAB，∴CDAE=DEAB，CEDE=BEAB，故③正确，①②错误；∵∠CFE=∠CBE=90°，∠ECF=∠ECB，∴△ECF∽△BCE，∴CFEC=ECBC∴CE2=CD×BC，故④正确；同理可证△BEF∽△BCE，∴BE2=BF×BC=AE×BC，故⑤正确；∴正确结论的序号为③④⑤，一共3个.故答案为：B【分析】过点E作EF⊥BC于点F，利用梯形的性质和平行线的性质可证得∠A+∠D=90°，∠DCB+∠ABC=180°，利用角平分线的性质可证得DE=EF=EA，∠DCB=2∠ECB，∠ABC=2∠EBC，从而可推出∠CEB=90°；利用HL证明Rt△CDE≌Rt△CFE，利用全等三角形的性质可得到CD=CF，同理可知AB=BF；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似可证得△CDE∽△EAB，利用相似三角形的对应边成比例，可对①②③作出判断；同理可证得△ECF∽△BCE，利用相似三角形的对应边成比例，可证得CE2=CD×BC，可对④作出判断；同理可证得BE2=AE×BC，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.9．【答案】A【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∵AP=CQ，∴CP=BQ，∵PC=2AP，∴BQ=2CQ ，如图，过P 作PD ∥BC 交AQ 于D ，∴△ADP ∽△AQC ，△POD ∽△BOQ ，∴PD CQ =AP AC =13，PD BQ =OP BO ，∴CQ=3PD ， ∴BQ=6PD ，∴BO=6OP ；故①正确； 过B 作BE ⊥AC 于E ， 则CE=12AC=4，∵∠C=60°， ∴BE=4√3，∴PE=√PB 2−BE 2=1，∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误； 在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠C=60°， 在△ABP 与△CAQ 中， {AB =AC ∠BAP =∠C AP =CQ， ∴△ABP ≌△ACQ （SAS ）， ∴∠ABP=∠CAQ ，PB=AQ ， ∵∠APO=∠BPA ， ∴△APO ∽△BPA ， ∴AP PB =OP AP，∴AP 2=OP•PB ，∴AP 2=OP•AQ.故③正确；以AB 为边作等边三角形NAB ，连接CN ，∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB ， ∵∠PBA=∠QAC ，∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA =60°+∠BAQ+60°+∠QAC =120°+∠BAC =180°，∴点N ，A ，O ，B 四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB 的中心M ， 设CM 于圆M 交点O′，CO′即为CO 的最小值， ∵NA=NB ，CA=CB ， ∴CN 垂直平分AB ， ∴∠MAD=∠ACM=30°， ∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°， 在Rt △MAC 中，AC=3，∴MA=AC•tan ∠ACM=√3，CM=2AM=2√3， ∴MO′=MA=√3，即CO 的最小值为√3，故④正确. 综上：正确的有①③④. 故答案为：A.【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC ，由已知条件可知AP=CQ ，则CP=BQ ，结合PC=2AP 可得BQ=2CQ ，过P 作PD ∥BC 交AQ 于D ，易证△ADP ∽△AQC ，△POD ∽△BOQ ，根据相似三角形的性质可得CQ=3PD ，则BQ=6PD ，据此判断①；过B 作BE ⊥AC 于E ，则CE=12AC=4，利用勾股定理可得PE ，进而判断②；利用SAS 证明△ABP ≌△ACQ ，得到∠ABP=∠CAQ ，PB=AQ ，证明△APO ∽△BPA ，利用相似三角形的性质可判断③；以AB 为边作等边△NAB ，连接CN ，则∠NAO+∠NBO=180°，故点N ，A ，O ，B 四点共圆，且圆心即为等边△NAB 的中心M ，设CM 于圆M 交点O′，CO′即为CO 的最小值，易知∠MAD=∠ACM=30°，∠MAC=90°，根据三角函数的概念可得MA、CM，据此判断④.10．【答案】2【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用【解析】【解答】解：∵AM是中线，BC=6，∴BM=CM=3，∵G是重心，∴AGAM=23，∵GD∥BC，∴△AGD∽△AMC，∴DGMC=AGAM=23，∴DG3=23，∴DG=2.故答案为：2.【分析】易得MB=CM=3，根据重心的性质可得AGAM=23，根据平行三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△AGD∽△AMC，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可得DG的长.11．【答案】4【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，BC=3，AD=6，B′C′=2，∴BC：B′C′=AD：A′D′，∴6：A′D′=3：2，∴A′D′的长是4，故答案为：4【分析】根据相似三角形的性质可得BC：B′C′=AD：A′D′，再将数据代入求出A′D′的长即可。
第2讲 三角形一边的平行线(一) (学生版)
第2讲三角形一边的平行线（一）【学习目标】三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A”字型和“X”字形这两个基本图形，为后面学习相似三角形奠定基础．【基础知识】一、三角形一边的平行线性质定理1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知ABC∆，直线//l BC，且与AB、AC所在直线交于点D和点E，那么AD AE DB EC=．二、三角形一边的平行线性质定理推论1、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D、E分别在ABC∆的边AB、AC上，//DE BC，那么DE AD AE BC AB AC==．2、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．【考点剖析】考点一：三角形一边的平行线性质定理例1．如图，在ABC ∆中，15AB =，10AC =，//DE BC ，6BD =，求CE ．例2．阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下2.7米宽的亮区（如图）．已知亮区一边 到窗下的墙角距离8.7CE =米，窗口 1.8AB =米，求窗口底边离地面的高BC ．例3．在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上，//DE BC ，若:2:3AD AB =， 12EC =厘米，则AC = ．例4．如图在ABC ∆中，CD 平分ACB ∠，//DE BC ，5AC =厘米，3:5AD AB=，求DE 的长．例5．如图，已知在ABC ∆中，//DE BC ，//EF AB ，2AE CE =，6AB =，9BC =，求四边形BDEF 的周长．例6．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD BC ⊥于点D ，点F 是BC 中点，过点F 作BC 的垂线交AB 于点E ，:3:2BD DC =，则:BE EA =．例7．如图，已知////AB CD EF ，14OA =，16AC =，8CE =，12BD =，求OB 、DF 的长．例8．如图，已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，//DE BC ，:3:4ECD BCD S S ∆∆=，求EC 的长．例9．如图，P 为ABCD 对角线BD 上任意一点．求证：PQ PI PR PS =．例10．如图，在平行四边形ABCD 中，CD 的延长线上有一点E ，BE 交AC 于点F ，交 AD 于点G ．求证：2BF FG EF =．例11．如图，点C 在线段AB 上，AMC ∆和CBN ∆都是等边三角形．求证：（1）MD AM DC CN =； （2）MD EB ME DC =．考点二：三角形一边的平行线性质定理推论例1．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且//DE BC ．（1）如果2DE =，6BC =，3AD =，求AB 的长；（2）如果2DE =，6BC =，8BD =，求AD 、AB 的长； （3）如果35AD BD =，求DE BC的值．例2．已知小智的身高是 1.6CD =米，他在路灯下的影长2DE =米，小智与路灯灯杆的 底部B 的距离为3DB =米，则路灯灯泡A 距地面的高度AB = 米．例3．如图，一根直立于水平地面的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕点A 按逆时针 反向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设AB 垂直于地面时的影子为AC （假 定AC AB >），影子的最大值为m ，最小值为n ，有下列结论：① m AC >；②m=AC ；③n AB =；④影子的长度先增大后减小.其中正确的序号是．例4．已知：MN // PQ ，a b ≠，c x ≠，则满足关系式bc x a=的图形是（ ）例5．如图，ABCCF=，求EC的长．AE=，4∆中，//DE BC，3DF=，5DE=，2例6．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，若:1:2BF BE=DE EC=，则:．例7．如图，在ABCBC=，G是ABC∆的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H，求∆中，6GH的长．例8．如图，已知////=，求EF的长．（用m、n的代数式表示）．=，CD nAB CD EF．AB m例9．如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，13AE EC =，BE 的延长线交CD 的延长线于点G ，交AD 于点F ，求:BF FG 的值．例10．如图，12//l l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，求:AE EC 的值．例11．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在AB 上，且//EO BC ，已知3AD =，6BC =．求EO 的长．例12．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，3AD =，5BC =，E 、F 是两腰上的点， 且//EF AD ，:1:2AE EB =，求EF 的长．【真题演练】一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC ∆中，//BC MN ，//DN MC ，下列结论正确的是（ ）A ．AM AM NC AB = B ．AD DN DM MC = C ．AM AN MB AC =D ．DN MN MC BC= 2．（2021·上海九年级专题练习）如图，//DE BC ，//EF AB ，则下列式子中成立的是（ ）A ．AD BF DB EC = B ．AB DE BC AC = C ．EF AC AB CE = D ．AD BF DB FC=3．（2021·上海九年级一模）如图，已知BD 与CE 相交于点A ，DE ∥BC ，如果AD=2，AB=3，AC=6，那么AE 等于（ ）A ．125B ．185C ．4D ．94．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）如图，在ABC 中，//DE BC ，若23AD DB =，则:ADE BEC S S △△等于（ ）A ．2:15B ．4:15C ．4:9D ．3:155．（2020·上海市金山初级中学九年级月考）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，且3AD DB ==，则AE EC的值为（ ）A ．1B ．2C ．13D ．236．（2021·上海九年级专题练习）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若23AD DB =，则AE EC 等于( )A．13B．25C．23D．357．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知线段a、b、c，求作线段abxc=，下列作法中正确的是（）A．B．C．D．8．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）A．AE DFEC BC=B．AE CFEC FB=C．DE DFBC AC=D．FC ECBC AC=9．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，则下列比例式中正确的是（）A．OC OAOD OB=B．OC ODAD BC=C．OC OABC AD=D．BC ADOB OA=二、填空题10．（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE=2CE，AB=6，BC=9，那么四边形BDEF 的周长是_________．11．（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，//DE BC ，13DA BA = ，9BC =，那么ED =_________．12．（2020·上海九年级月考）如图，△ABC 中，D 、F 在AB 边上，E 、G 在AC 边上，DE //FG //BC ，且AD ：DF ：FB ＝3：2：1，若AG ＝15，则EC 的长为_____．13．（2020·上海上外附中）如图，在梯形ABCD 中，//3,5,,AD BC AD BC E F ==、是两腰上的点，且//,:1:2,EF AD AE EB =则EF =__________14．（2020·上海炫学培训学校有限公司）△ABC 中，AB=AC=10，重心G 到底边BC 的距离为2，那么AG=_________．15．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知点O 是△ABC 的重心，过点O 作EF ∥BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若BC ＝6，则EF ＝________．16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，G 为△ABC 的重心，GE ∥AB ，则BE CE＝_________．三、解答题17．（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在BC 、AC 上，BE 平分∠ABC ，DE ∥BA ，如果CE =24，AE =26，AB =45，求DE 和CD 的长．18．（2021·上海九年级专题练习）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线与，求证：2OC OA OE =⋅．19．（2020·上海九年级月考）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE//BC．（1）若S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，求S△BDE；（2）若S△BDE＝m，S△BCE＝n，求S△ABC（用m、n表示）．【过关检测】1.已知线段a、m、n，且ax mn=，求作x，作法正确的是（）2.如图，//EF AB，//DE BC，下列各式正确的是（）（A）AD BFBD CF=（B）AE CEED BC=（C）AE BDEC AD=（D）AD ABED BC=3.如图，ABC∆中，AB ACBE EC=，53ABAC=，//DE AC，求:AB BD的值．4.如图，在ABC∆，//DE BC，DE与边AB、AC分别交于点D、E．（1）已知6AD=，8BD=，4AE=，求CE、AC的长；（2）已知:2:5AE AC=，10AB=，求AD的长．5.如图，菱形ADEF内接于ABC∆，16AB=，14BC=，12AC=，求BE的长．6.如图，////AB EF DC，已知20AB=，80CD=，求EF的长．7.如图，在ABC∆中，D是边BC上一点，//DF AB，//DE CA．（1）求证：AE CF EB FA=；（2）如果2CF=，5AC=，6AB=，求AE、DE的长．8.如图，P是ABC∆的中线AD上一点，//PE AB，//PF AC．求证：BE CF=．9.如图，在ABC∆中，//DE BC，且:2:3AD AB=，求:EO EB的值．10.在ABC∆中，AB AC=，如果中线BM与高AD相交于点G，求AG AD．11.如图ABC∆，点D、E分别在BC、AC上，BE平分ABC∠，//DE BA．如果24CE=，26AE=，45AB=，求DE和CD的长．。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的 对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意 ：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1） 定义 ：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全 等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE
三角形一边的平行线(解析版)
三角形一边的平行线【知识梳理】1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线//l BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， //DE BC ，那么DE AD AE BC AB AC ==．3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果AD AEDB EC=那么l //BC ．6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么DF EGFB GC=．7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【考点剖析】 一．三角形的重心（共13小题）1．（2023•青浦区一模）三角形的重心是（ ） A ．三角形三条角平分线的交点 B ．三角形三条中线的交点C ．三角形三条边的垂直平分线的交点D ．三角形三条高的交点【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果． 【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 故选：B ．【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．2．（2023•奉贤区一模）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心．如果AD ＝6，那么线段DG 的长是 ．BCD E FG【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果．【解答】解：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，∴DG＝AG＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．3．（2022秋•杨浦区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC 的长为．【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，则AD＝6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG＝4，∴点D为BC的中点，且AG＝4，∴DG＝2，∴AD＝AG+DG＝6，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边的中线，∴BC＝2AD＝12．故答案为12．【点评】本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．同时考查了直角三角形的性质．4．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝10，则线段GE的长为（）A．B．C．D．【分析】因为点G是△ABC的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1，可知点D为BC的中点，，根据GE⊥AC，可得∠AEG＝90°，进而证得△AEG∽△ACD，从而得到，代入数值即可求解．【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，∴点D为BC的中点，，∵CB＝10，∴，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，∵∠C＝90°，∴∠AEG＝∠C＝90°，∵∠EAG＝∠CAD（公共角），∴△AEG∽△ACD，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．5．（2021秋•松江区期末）如图，已知点G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5【分析】连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，S△BG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，则2S△BGD＝S△ABG，进而得到3S△BDG＝S△ABC，即可求解．【解答】解：连接AG延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，∴D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，∵AG＝2GD，∴2S△BDG＝S△ABG，∴3S△BGD＝S△ABD，∴3S△BDG＝S△ABC，∴S△BDG：S△ABC＝1：3，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键．6．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P、Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为6，则PQ的长为．【分析】连接DE，由G是△ABC的重心，可证DE是△ABC的中位线，从而可求出DE的长．延长EP交BC 于F点，连接DF，利用三角形重心的定义和性质得到EP＝2PF，DQ＝2QF，再证明△FPQ∽△FED得到即可．【解答】解：连接DE，延长EP交BC于F点，连接DF，如图，∵G是△ABC的重心，∴D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴．∵P点是△BCE的重心，∴F点为BC的中点，EP＝2PF，∵Q点是△BCD的重心，∴点Q在中线DF上，DQ＝2QF，∵∠PFQ＝∠EFD，，∴△FPQ∽△FED，∴，∴，故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．7．（2022秋•徐汇区期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，设点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，则两重心E与F之间的距离是．【分析】取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF．根据含30度角的直角三角形的性质求出AC＝2BC＝2，利用勾股定理得出AB＝，根据等边三角形的性质得出CD＝AD＝AC＝2，∠CAD＝60°，那么∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，利用勾股定理求出BD＝．然后证明△EOF∽△BOD，得出EF＝BD＝．【解答】解：如图，取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠30°，BC＝1，∴AC＝2BC＝2，AB＝＝＝，∵△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝AC＝2，∴∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∴BD＝＝＝．∵点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，∴＝＝，又∠EOF＝∠BOD，∴△EOF∽△BOD，∴＝＝＝，∴EF＝BD＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形重心的定义与性质，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．8．（2022秋•黄浦区月考）已知点G是△ABC的重心，那么S△ABG：S△ABC＝．【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，由此即可计算．【解答】解：延长AG交BC于D，∵点G是△ABC的重心，∴BD＝CD，AG：DG＝2：1，∴AG：AD＝2：3，∴S△ABG：S△ABD＝2：3，∵S△ABD：S△ABC＝1：2，∴S△ABG：S△ABC＝1：3．故答案为：1：3．【点评】本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质．9．（2023•金山区一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是．【分析】分别求出d的最小值和最大值，即可得到d的取值范围．【解答】解：当E与B重合时，G1与G2重合，此时d最小为0，当E与A重合时，G1G2最大，连接并延长AG1交BC于H，连接并延长DG2交AC于K，连接HK，过G2作G2T⊥AH于T，如图：∵G1为等腰直角三角形ABC的重心，∴H为BC中点，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝AH＝＝3，∵AG1＝2G1H，∴AG1＝2，G1H＝，∵G2是为等腰Rt△CDE的重心，∴K为AC中点，∴∠AKD＝∠CKD＝90°，∠AKH＝∠CKH＝90°，∴∠AKD+∠AKH＝180°，∴D，K，H共线，∵AK＝CK＝DK＝AC＝AB＝3＝HK，∴G2K＝DK＝1，G2D＝DK﹣G2K＝2，∴G2H＝G2K+HK＝4，∵TG2∥ED，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴TG2＝2，TH＝2，∴TG1＝TH﹣G1H＝，∴G1G2＝＝，∴G1G2最大值为，∴G1G2的范围是0≤G1G2≤，故答案为：0≤d≤．【点评】本题考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握三角形重心的性质．10．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△P AB、△P AC的重心分别为G1、G2，那么的值为．【分析】由重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，得到△AG1G2∽△ADE，推出△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，而△ADE的面积＝×△ABC的面积，即可解决问题．【解答】解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，∵D是PB中点，E是PC中点，∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，∴的值为．故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键是掌握三角形重心的性质．11．（2022秋•徐汇区期中）已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝6，那么AG的长为．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．【解答】解：∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝6，∴CD＝BC＝3，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AG＝×＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．12．（2018•宝山区校级自主招生）G为重心，DE过重心，S△ABC＝1，求S△ADE的最值，并证明结论．【分析】设AD＝mAB，AE＝nAC，由G为△ABC重心得＝3，再由当＝＝时，有最大值，则mn有最小值，而无论D、E任何移动，mn，即可求出S△ADE的最值．【解答】解：S△ADE的最大值为，最小值为．证明：假设△ABC面积为S1，△ADE面积为S2，设AD＝mAB，AE＝nAC，∵G为△ABC重心，∴＝3，∴S2＝AD•AE•sinA＝mAB•nAC•sinA＝mnS1，当＝＝时，有最大值，则mn有最小值，而无论D、E任何移动，mn，∴S1≤S2≤S1，∴S△ADE的最大值为，最小值为．【点评】本题主要考查了三角形重心的性质，解决此题的关键是根据G为△ABC重心得到＝3．13．（2019秋•嘉定区校级月考）如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，且EF+BC＝7.2cm，求BC的长．【分析】如果连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，结合EF+BC＝7.2cm来求BC的长度．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．∵G为△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF过点G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝．又EF+BC＝7.2cm，∴BC＝4.32cm．【点评】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似．相似三角形的三边对应成比例．二．平行线分线段成比例（共1914．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必须等于．【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须即可得出BE的长．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，∴要使DE∥AC，∴，∴，解得：BE＝6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须是解决问题的关键．15．（2022秋•闵行区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（）A．B．C．D．【分析】由AB∥CD∥EF，可得出＝，代入AC＝3CE，BF＝10，即可求出DF的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴DF＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．16．（2023•宝山区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．【解答】解：∵AD：BD＝1：3，∴，∴当时，，∴DE∥BC，故A选项能够判断DE∥BC；而C，B，D选项不能判断DE∥BC．故选：A．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．17．（2022秋•嘉定区校级期末）如果点H、G分别在△DEF中的边DE和DF上，那么不能判定HG∥EF 的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DEC．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：A、当DH：EH＝DG：GF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；B、当HG：EF＝DH：DE∥EF，本选项符合题意；C、当EH：DE＝GF：DF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；D、当DE：DF＝DH：DG，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．18．（2023•徐汇区一模）如图，a∥b∥c，若，则下面结论错误的是（）A．B．C．D．【分析】已知a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．【解答】解：由，得＝＝，故A不符合题意；∵a∥b∥c，∴＝＝，故B不符合题意；根据已知条件得不出＝，故C符合题意；由＝，得＝＝，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．19．（2021秋•嘉定区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AC：AE＝3：5，那么下列结论正确的是（）A．BD：DF＝2：3B．AB：CD＝2：3C．CD：EF＝3：5D．DF：BF＝2：5【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BD：DF＝AC：CE＝3：2，A选项错误，不符合题意；AB：CD的值无法确定，B选项错误，不符合题意；CD：EF的值无法确定，C选项错误，不符合题意；DF：BF＝CE：AE＝2：5，D选项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．20．（2023•长宁区一模）如图，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的长等于．【分析】由AD∥BE∥CF，可得＝，即＝，可解得DF＝18，从而EF＝DF﹣DE＝12．【解答】解：如图：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝5，DE＝6，AC＝15，∴＝，解得DF＝18，∴EF＝DF﹣DE＝18﹣6＝12，故答案为：12．【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，列出比列式．21．（2023•松江区一模）如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么线段EF的长是．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵DE＝3，∴＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．22．（2022秋•松江区月考）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB ＝4，AC＝6，求EC．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝6﹣＝．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．（2022秋•松江区月考）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG＝AF•AB．【分析】（1）由平行可得＝，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC；（2）由平行可知＝＝，可得出结论．【解答】（1）解：∵DE∥BC，∴＝，又＝，AE＝3，∴＝，解得AC＝9，∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；（2）证明：∵DE∥BC，EF∥CG，∴＝＝，∴AD•AG＝AF•AB．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．24．（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意．【解答】解：当时，无法判断AD∥BC，故选项A不符合题意；当＝时，∠AFB＝∠DFE，则△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但无法判断AD∥BC，故选项B不符合题意；当时，无法判断AD∥BC，故选项C不符合题意；当时，∠FED＝∠BEC，则△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判断判断AD∥BC，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的长等于（）A．4B．C．D．8【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出BC．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵BE＝24，∴，解得：．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．26．（2022秋•浦东新区期末）如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判定即可．【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故本选项符合题意；B．∵DF∥AC，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，即＝，故本选项不符合题意；D．∵DE∥BC，DF∥AC，∴，，∴＝，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的性质，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．27．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE＝．【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，∵DF＝12，∴DE+DE＝12，解得：DE＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例是解题关键．28．（2022•宝山区二模）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求证：四边形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，联结DE，求DE的长．【分析】（1）根据菱形的判定方法解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，∴＝，∵DF∥AC，∴＝，∴＝，∴EF∥AB，又∵DF∥AC，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AB＝2AC，AE＝AC，∴AE＝AB，∴AD＝AE，∵四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE是菱形；（2）如图，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，＝＝＝，＝＝＝，∴△ADE∽△ACB，∵BC＝1，∴DE＝．【点评】本题主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些判定定理和性质定理是解答本题的关键．29．（2021秋•杨浦区校级月考）如图，点D为△ABC中内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD 上一点，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求证：EF∥BC；（2）当，求的值．【分析】（1）先根据相似比的性质得出＝，＝，故可得出＝，由此即可得出结论；（2）先根据EF∥BC得出∠AEF＝∠ABC，再由DG∥BD得出∠AEG＝∠ABD，故可得出∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，故可得出△EGF∽△BDC根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．【解答】（1）证明：∵EG∥BD，∴＝，∵GF∥DC，∴＝，∴＝，∴EF∥BC；（2）解：∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∵EG∥BD，∴∠AEG＝∠ABD，∴∠AEF﹣∠AEG＝∠ABC﹣∠AED，即∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，∴△EGF∽△BDC，∵，∴＝＝，∴＝（）2＝．【点评】熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．30．（2021秋•宝山区校级月考）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；（2）由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．31．（2022秋•奉贤区期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC ＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的长；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的长．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解；（2）过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．求出BJ，可得结论．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），∴DF＝DE+EF＝4+＝（cm）．（2）如图，过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．∴CK＝CF﹣FK＝40cm，∵BJ∥CK，∴＝，∴＝，∴BJ＝15cm，∴BE＝BJ+JE＝15+40＝55cm．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．32．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于点M，CD、EF交于点N．（1）求证：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2AM＝1，求线段DN的长．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥DE得到OA•OD＝OE•OB，由BC∥EF得到OC•OF＝OE •OB，所以OA•OD＝OC•OF，即＝，于是可判断AF∥CD；（2）先利用BC∥EF得到＝＝，则可设OB＝5x，BF＝4x，再由AF∥CD得到＝＝，＝＝，所以FD＝6x，接着由FN∥BC得到＝＝，于是可设DN＝3a，则CN＝2a，然后证明四边形MFNC为平行四边形得到MF＝CN＝2a，最后利用＝得到＝，求出a从而得到DN的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴＝，即OA•OD＝OE•OB，∵BC∥EF，∴＝，即OC•OF＝OE•OB，∴OA•OD＝OC•OF，即＝，∴AF∥CD；（2）解：∵OA：AC：CE＝3：2：4，∴OC：CE＝5：4，∵BC∥EF，∴＝＝，设OB＝5x，则BF＝4x，∵AF∥CD，∴＝＝，＝＝∴FD＝OF＝×9x＝6x，∵FN∥BC，∴＝＝＝，设DN＝3a，则CN＝2a，∵FN∥CM，MF∥CN，∴四边形MFNC为平行四边形，∴MF＝CN＝2a，∵＝，即＝，解得a＝1，∴DN＝3a＝3．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【过关检测】一、单选题A．4【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例得到35BC ADBE AF==，即可求出BC．【详解】解：∵AB CD EF∥∥，∴35 BC ADBE AF==，∵24 BE=，∴3 245 BC=，解得：725 BC=．故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．九年级校考期中）在ABC中，分别在ABC的边【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、AD DEAB BC=，不能判定DE BC∥，故A符合题意；B、∵AD AE AB AC=，∴DE BC∥，故B不符合题意；C、∵AED C∠=∠，∴DE BC∥，故C不符合题意；D、∵AD AE BD EC=，∴DE BC∥，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九年级单元测试）在ABC中，点【答案】B【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．【详解】如图：∵DE∥AC，AE：EB=3：2，∴32 AE CDEB BD==∴23BD CD =∵DF AB ∥， ∴23AF BD FC CD == 故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键． 在ABC 的边 【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例可得47AE AD AC AB ==，则可以推出当47AF AE AD AC ==，即37DF AD =时，EF CD ∥．【详解】解：DE BC ∥，43AD DB =，∴44437AE AD AD AC AB AD DB ====++，∴当47AF AE AD AC ==时，EF CD ∥，此时74377DF AD AF AD AD −−===，故A 选项符合题意； B ，C ，D 选项均不能得出EF CD ∥．故选A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握“如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”．5．（2023·上海浦东新·校考一模）如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE BC ∥的条件是（ ）A ．::AD AB DE BC =B ．::AD DB DE BC = C ．::AD DB AE EC =D ．::AE AC AD DB =【答案】C 【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．【详解】解：设DE BC ∥，那么AD AB AE AC AD DB AE EC DB AB EC AC ===::，::，::，选项A 、B 、D 、不符合平行线分段成比例定理．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．∵AD DB AE EC =::，∴DE BC ∥．故选：C ．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解答此题的关键的是明确哪些对应线段成比例．学生初学，容易出错．九年级校考期中）在ABC 中，点【答案】B【分析】利用如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边可对各选项进行判断即可．【详解】当AD AE DB EC =或AD AE AB AC =时, DE BC ∥, 当AD AE DB EC =时，可得23AE EC =，当AD AE AB AC =时，可得25AE AC =， 即23AE EC =或25AE AC =.所以B 选项是正确的，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．二、填空题 7．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）在ABC 中，点D 、E 分别在线段AB 、AC 的延长线上，DE 平行于BC ，1AB =，3BD =，2AC =，那么AE =___________．【答案】8【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可．【详解】∵DE AB ∥ ∴AB AC AD AE = ∵1AB =，3BD =，2AC =，∴124AE =∴8AE =故答案为：8．【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理．8．（2022春·上海普陀·九年级校考期中）如图，ABCD Y 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么:AFE FEDC S S 四边形的值为____．【答案】15/0.2【分析】证明12AF EF AE CF BF BC ===，推出24BCF ABF AEF S S S ==，设AEF S m =，则2ABF S m =，4CBF S m =，求出四边形FEDC 的面积，可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∴AF EF AE CF BF BC ==， ∵ E 是边AD 的中点，∴1122AE DE AD BC ===，∴12AF EF AE CF BF BC ===， ∴24BCF ABF AEF S S S ==，设AEF S m =，则2ABF S m =，4S m ， ∴6ACB ADC S S m ==， ∴65FECD S m m m =−=四边形， 1::55AFE FECD S S m m ==四边形； 故答案为：15．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．9．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，AD 、BC 相交于点O ，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AB CD EF ∥∥，如果6CE =，4EO =，5BO =，6AF =，那么AD = ___________．【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理得到EO FO BO AO =，EO FO CE DF =，求得4893FO AF ==，4DF =即可解决问题.【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，EO FO BO AO =，EO FO CE DF =，∵4EO =，5BO =，∴45FO AO =， ∵6AF =，∴4893FO AF ==，∵6CE =，∴8436DF =，∴4DF =，∴6410AD AF DF =+=+=．故答案为：10．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，四边形ABCD 中，AD BC EF ∥∥，如果3810AE AB CD ===，，，则CF 的长是________．【答案】254【分析】根据平行线分线段成比例得出AE DF AB CD =，求出154DF =，即可得出答案． 【详解】∵AD BC EF ∥∥， ∴AE DF AB CD =， ∵3810AE AB CD ===，，， ∴3810DF =， 解得：154DF =， ∴15251044CF CD DF =−=−=， 故答案为：254．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确得出比例线段是解题的关键． 11．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）在ABC 中，点D 、E 分别在直线AB 、AC 上，如果DE BC ∥，1AB =，2AC =，3AD =，那么CE =________．【答案】4【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可．【详解】解：作如下图：∵DE BC ∥，∴AB AC AD AE =， ∵1AB =，2AC =，3AD =，∴123AE =，∴6AE =，∴624CE AE AC =−=−=，故答案为：4．【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理．。
九夏3-平行线有关的比例线段2-学生版
章节相似三角形第三课时三角形一边平行线判定教学内容教学目标：1.经历三角形一边的平行线性质定理推论的推导；2.掌握三角形一边的平行线性质定理推论的应用；3.理解该定理的不同图形情况，并能灵活运用；4.了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；5.掌握三角形一边的平行线的判定定理；6.并能运用该定理证明有关两直线平行的问题.教学重点：1.三角形一边的平行线性质定理推论的理解和应用；2.三角形一边的平行线性质定理推论和性质定理的联系和区别；3.三角形的重心的性质；4.三角形一边的平行线的判定定理；5.三角形一边的平行线的判定定理的应用.教学难点：1.三角形一边的平行线性质定理推论的理解和应用；2.三角形一边的平行线性质定理推论和性质定理的联系和区别；3.三角形的重心的性质；4.三角形一边的平行线的判定定理；5.三角形一边的平行线的判定定理的应用.第一部分知识要点1.三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
2.三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
3.平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。
4.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
格式：如果直线L 1∥L 2∥L 3， AB ＝ BC ， 那么：A 1B 1＝B 1C 1，如图l说明：由此定理可知推论1和推论2推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
格式：如果梯形ABCD ，AD ∥BC ，AE ＝EB ，EF ∥AD ，那么DF=FC ，如图2 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
格式：如果△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，那么AE ＝EC ，如图3 说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况。
相似三角形的性质定理(3种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
相似三角形的性质定理（3种题型）【知识梳理】一、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 二、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比． 三、相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【考点剖析】题型一：相似三角形性质定理1例1.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长． 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BEA B E B ∴=即11362E B =，114E B =【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．例2.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119A C =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长． 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD A C A D ∴=即1296AD =，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 例3.求证：相似三角形对应高的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADkA D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高，11190BDA B D A ∴∠=∠=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质． 例4.求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的 中线．求证： 11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，1111AB CBkA B C B ==；又AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D B C =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADkA B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．例5.求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠ 的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，111BAC B A C ∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B A C ∴∠=∠∠=∠，111BAD B A D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例 6.如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =． 求证：1111AD BEA DB E =【解析】AB C D EA 1E 1D 1 C 1B 1证明：1111AB ADA B A D =，又111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，111ABD A B D ∴∠=∠，又1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例7.如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ．【解析】解：BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE ∴=，又BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例8.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【答案】2360cm ．AB C DEFABC D EFGH K【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=−矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，，GF AGBC AB ∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC ∴+=,3813248x x −∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例9.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG 的边长．【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD APBC AB AH ∴==．406040x x −∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系． 例10.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．ABCDEF GH P【答案】23(4)4x y x x =>−．【解析】解：如图， 矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD AD BC AB ∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠=． DEC AHC ∴∠=∠， //DE AH ∴，DE BDAH AB ∴=， 1DG DEBC AH ∴+=， 641BC x ∴+=，64xBC x ∴=−，又12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>−．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．题型二：相似三角形性质定理2例11.若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( )（A ）1:4 （B ）1:2 （C ）2:1 （D ）1:2【答案】B【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例12.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【答案】112015BC A B ==，．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==；又111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==．【总结】本题考查相似三角形的性质．例13.如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三 角形周长为2acm ，则5260a a −=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ． 【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例14.如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC ∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为．【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，AD 是BC 上的高，ABCD EF//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=，312AEF C ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例15.如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【答案】152cm ．【解析】解：梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+−梯形， 31667PDC PDC C C ∆∆∴=+−，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例16.如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C 不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【答案】247．【解析】解：CPQ PABQC C ∆=四边形，ABCD PABCPQCP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=−+−+， 5AB =，3BC =，90C ∠=，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=−+−+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB ，CP CQCA CB ∴=，∴643CP CP −=，247CP =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．题型三：相似三角形性质定理3例17.（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【答案】（1）10000；（2）10．【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．例16.两个相似三角形的面积分别为5cm 2和16cm 2，则它们的对应角的平分线的比为（ ）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对．【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方． 【总结】本题考查相似三角形的性质．例18.如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【答案】36．ABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例19.如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又28ACD S cm ∆=，218ABC S cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例20.如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED 的面积相等，求AD :BD 的值．【答案】21+．ABCDABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCEDS S ∆=四边形，12ADE ABC S S ∆∆∴=，12AD AB ∴=，12121AD DB ∴==+−．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例21.如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【答案】3． 【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥，，90CDA BEC ∴∠=∠=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=， 30CBE CAD ∴∠=∠=，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．例22.如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ， 交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CFAD的值．A B CDEF【答案】21．【解析】解：//EF BD ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD ∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEG EBCGS S ∆=四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆，90ACD ACB ∴∠=∠=，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，则它们的周长比为（ ） A ．1:4 B ．1:2C ．1:16D ．以上答案都不对【答案】A【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比．【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，∴两个相似三角形的相似比为1:4， ∴周长的比为1:4．ABCDEFG故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．在ABC 的边，ABC 的面积是A ．4B ．8【答案】A【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，再证明AGF ABC ∽，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x 的方程即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，∵ABC 的面积是32，8BC =， ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−， ∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽， ∴GF AMBC AH = ， 888x x −∴= ，解得∶4x =，即这个正方形的边长是4． 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 3．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）已知两个相似三角形的相似比为49：，那么它们的面积比为（ ） A ．23： B ．818：C ．49：D ．1681：【答案】D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案．【详解】解：两个相似三角形的相似比为49：， ∴它们的面积比1618：故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 九年级统考期中）已知ABC 的三边长分别为，DEF 的一边长，如果这两个三角形相似，那么DEF 的另两边长可能是（【答案】B【分析】根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意DEF 中为5cm 边长的对应边可能是6cm 或7.5cm 或9cm ，所以有三种情况．【详解】解：设DEF 的另两边为cm,cm x y ， 若DEF 中为5cm 边长的对应边为6cm ， 则：567.59x y==，解得：254x =，152y =； 若DEF 中为5cm 边长的对应边为7.5cm ，则：57.569x y ==，解得：4x =，6y =；若DEF 中为5cm 边长的对应边为9cm ， 则：5967.5x y ==，解得：103x =，256y =； 结合选项可得B 选项可选． 故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例的三角形相似．解此题的关键要注意DEF 中为5cm 边长的对应边不确定，答案不唯一，要仔细分析，小心别漏解．九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，在ABC 中，:ADEABCSS为（A ．3:5 【答案】C【分析】根据DE BC ∥可知ADEABC ，由:3:2AD DB =可知:3:5AD AB =,即相似比为3:5,再利用面积比是相似比的平方，即可判断求解． 【详解】解：∵DE BC ∥， ∴ADEABC ，∵:3:2AD DB =， ∴:3:5AD AB =，2239525ADE ABCSAD SAB ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．用到的知识为：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似，相似三角形对应边的比相等，都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．DEF 的最短边长为，那么DEF 的周长等于（126【答案】D【分析】由相似三角形的性质：周长的比等于相似比，求出相似比即可求得结果． 【详解】ABC DEF ∽，∴相似比为3193k ==，13ABC DEFC C∴=，33(356)42DEFABCCC ∴==⨯++=；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是关键．是ABC 的重心，四边形与ABC 面积的比值是（【答案】B【分析】连接DE ，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，从而得到ADE ACB △△∽，进而得到221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，继而得到13DEGBDESS =，14ADEABCSS =，可得1116212DEGABCABCSS S =⨯=，再由ADEDEGAEGD S SS=+四边形，即可．【详解】解：如图，连接DE ，∵点G 是ABC 的重心，∴点D ，E 分别为,AC AB 的中点，∴1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，∴ADE ACB △△∽， ∴12DG EG DE BG CG BC ===， ∴221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==， ∴13DEGBDES S =，14ADE ABCSS =，∴111326DEGABDABDS S S =⨯=， ∴1116212DEG ABCABCSS S =⨯=，∴1114123ADEDEGABCABCABCAEGD S SS S S S =+=+=四边形，即四边形AEGD 与ABC 面积的比值是13．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． 二、填空题8．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）已知ABC 与DEF 相似，且ABC 与DEF 的面积比为1:4，若DEF 的周长为16，那么ABC 的周长等于________．【答案】8【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出ABC 与DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵相似三角形ABC 与DEF 面积的比为1:4， ∴它们的相似比为1:2，∴ABC 与DEF 的周长比为1:2， ∵DEF 的周长为16， ∴ABC 的周长等于8， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）已知ABC ∽111A B C △，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，AB ：113A B =：4，BE 、11B E 分别是它们的对应角平分线，则BE ：11B E =______． 【答案】3：4【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可． 【详解】解：ABC ∽111A B C △，BE ∴：11B E AB =：113A B =：4，故答案为：3：4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，DE BC ∥，:2:3AE EC =，则:OE OB =________．【答案】2:5【分析】根据:2:3AE EC =可求出:2:5AE AC =，再根据三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：∵:2:3AE EC =，∴25AE AC =，∵DE BC ∥，∴25DE AE BC AC ==，且DEO CBO △∽△， ∴25OE DE OB CB ==， 故答案为：2:5．【点睛】本题主要考查比例的性质，相似三角形的性质，理解平行线的性质，相似三角形的性质是解题的关键．11．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4，如果DEF 的周长为24，那么ABC 的周长是___________．【答案】18【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得:3:4ABCDEFCC=，又因为DEF 的周长是24，再建立方程即可．【详解】解：∵ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4， ∴:3:4ABCDEFCC=，∵DEF 的周长是24， ∴:243:4ABCC=∴ABC 的周长是18， 故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比． 12．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽，则AF BG EF HG ⨯=⨯，即可得到答案． 【详解】90C ∠=︒，正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上， 90A B ∴∠+∠=， 90B BHG ∠+∠=，Rt Rt AFE HGB ∴∽， =24AF BG EF HG ∴⨯=⨯．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．，如果ABC 三边长分别是DEF 的两边长为【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】解：∵ABC DEF △△∽，∵ABC ，2，2，DEF 的两边长为1x∴21x ==，解得：x所以DEF ．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键．14．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）已知111ABC A B C :△△，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，11:3:5AB A B =，E 、1E 分别是边AC 、11AC 的中点，如果1BE =，那么11B E 的长为________． 【答案】53/213【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可．【详解】解答：解：∵11111:35ABC A B C AB A B =∽，:，∴对应中线BE 、11B E 的比值为35:，∴11135B E =::， ∴1153B E =． 故答案为：53．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比． 15．（2022秋·上海杨浦·九年级统考期中）如果两个相似三角形的面积比为3:4，那么它们对应高之比为__________．2 【分析】根据相似三角形的性质，两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为两个相似三角形的面积比为3:42；再结合两个相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：两个相似三角形的面积比为3:4，∴2，∴2，2．【点睛】本题考查相似三角形的性质应用，熟练掌握形式三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比是解决问题的关键． 16．（2023·上海·一模）如果ABC ∽DEF ，且ABC 的三边长分别为3、4、5， DEF 的最短边长为6，那么DEF 的周长等于________．【答案】24【分析】先设DEF 的周长等于c ，再根据相似三角形周长的比等于相似比即可求出c 的值．【详解】解；设DEF 的周长等于l ，∵ABC ∽DEF ，ABC 的三边长分别为3、4、5，DEF 的最短边长为6， ∴33546c ++=，解得24c = ．故答案为：24．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比． 17．（2023·上海黄浦·统考一模）已知ABC 的三边长分别为2、3、4，DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，那么DEF 的最短边的长是______．【答案】12 【分析】先计算出ABC 的周长，进而得出相似比为16∶，进而得出答案． 【详解】解：∵ABC 的三边长分别为2、3、4，∴ABC 的周长为：9∵DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，∴ABC 与DEF 的周长比为95416=∶∶， ∴ABC 与DEF 的相似比为16∶， 设DEF 的最短边的长是x ，则：216x =∶∶，解得∶12x =．故答案为∶12．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．18．（2023·上海宝山·一模）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为 _____厘米．【答案】18【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．【详解】解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24=x ，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键． 19．（2022·上海·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比是 9:25， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．【答案】3【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25∴两个三角形相似比为3:5设：另一三角形对应边上的高为x∴355x =，解得x=3 故答案为：3【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 20．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．【答案】【分析】过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，首先由勾股定理得出AB 的长，由面积法即可求出CM 的长，可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，AB ∴，1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△，∴AC BC CM AB ⋅∴===， ∵正方形DEFG 内接于ABC ，GF EF MN ∴==，GF AB ∥，CGF CAB ∴△∽△，CN GF CM AB ∴=，EF −=，解得：EF =，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 21．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边BC AC 、上，ABE C ∠=∠，DE AB ∥，如果6AB =，9AC =，那么:BDE CDE S S △△的值是______．【答案】4:5【分析】根据已知证明ABE ACB ∽，得出4AE =，进而得出5EC =，根据DE AB ∥，根据平行线分线段成比例，得出45AE BD EC DC ==，即可求解． 【详解】解：∵BAE CAB ∠=∠，ABE C ∠=∠，∴ABE ACB ∽，∵6AB =，9AC =，∴AB AE AC AB =∴24AB AE AC ==，∴945EC AC AE =−=−=，∵DE AB ∥，∴45AE BD EC DC == ∴:BDE CDE S S △△=::4:5BD DC AE EC ==，故答案为：4:5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．（2023·上海·一模）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为______．【答案】8+8【分析】根据 “优美梯形”的定义，得到ABD BDC ∽△△，从而得到90CBD BAD ∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，推出2BD AB CD =⋅，算出BD =再根据勾股定理，得到AD 、BC 的长，即可得到该直角梯形的周长．【详解】解：根据题意，作图如下，ABCD 为直角梯形，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，90ABD ADB ∴∠+∠=︒，90ADB BDC ∠+∠=︒，ABD BDC ∴∠=∠，直角梯形ABCD 是“优美梯形”，ABD BDC ∴∽，90CBD BAD ∴∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，2BD AB CD ∴=⋅，2AB =，4CD =，BD ∴，在Rt ABD 中，2AD ，在Rt BCD △中，BC =∴该梯形的周长2428AB BC CD DA =+++=++=+故答案为：8+【点睛】本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 23．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于点O ，如果2ABC ACD S S =，那么COD S △：ABC S =______．【答案】1：3/13【分析】首先根据2ABC ACD S S =，可得AD ：1BC =：2；然后根据AOD ∴∽COB ，可得AO ：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，进而可得AOD S：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2，设AOD S k =，分别表达OCD S 和ABC S 进而可得结论．【详解】解：在梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC ACD S S =，AD ∴：1BC =：2；//AD BC ，AOD ∴∽COB ，AO ∴：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，AOD S∴：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2， 设AOD S k=，则4BOC S k =，2AOB OCD S S k ==， 6ABC AOB BOCS S S k ∴=+=， COD S ∴：2ABC S k =：61k =：3．故答案为：1：3．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．三、解答题24．（上海·九年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB ＝7，求CD 的长．【答案】143【详解】试题分析：由题意易得△COD ∽△AOB ，由此可得：CD DO AB BO =；由△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，可得：23DO BO =，再结合AB=7即可求得CD 的长.试题解析：∵AB ∥DC ，∴△COD ∽△AOB ， ∴CD DO AB BO =，∵△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6， ∴23DO BO =， ∴23CD DO AB BO ==， 又∵AB ＝7， ∴273CD =， ∴CD ＝143.【答案】20平方厘米【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解．【详解】解：设两个三角形的面积分别为x ，y ，则有22365x y x y ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，解得2045x y =⎧⎨=⎩；答：较小三角形面积为20平方厘米．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方．26．（2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC ∆的边15BC =，高10AH =，求：正方形DEFG 的边长和面积．【答案】6，36【分析】由正方形的性质可得DG //BC ，不难证明ADG △∽ABC ，即DG AM BC AH =，设正方形的边长为x ，分别表示出对应边的长度并代入DG AM BC AH =求解，即可得出正方形的边长，即可得出正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x ，正方形DEFH ，AH ⊥BC ，∴DG=GF=MH=x ，DG //BC ，∴ADG=B ∠∠，AM=10－x ，在ADG △与ABC 中，ADG=BAC BAC B ∠=∠⎧⎨∠∠⎩，∴ADG △∽ABC ，∴DG AM BC AH =，∴101510x x −=， 解得：x=6，S=6×6=36．答：正方形的边长为6，面积为36．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，设正方形的边长为x ，根据相似比等于高之比列方程求解是解题关键．27．（上海·九年级阶段练习）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．【答案】48mm【分析】设正方形EF=EG=ID=x，根据正方形的性质，得到EF∥BC，△AEF∽△ABC，列出比例式EF AIBC AD=，代入计算即可．【详解】∵四边形EFHG是正方形，AD是高，∴ EF∥BC，四边形EGDI是矩形，∴ EG=ID，设正方形EF=EG=ID=x，∴△AEF∽△ABC，∴EF AI BC AD=，∵ BC＝120mm，高AD＝80mm，∴80 12080x x−=，解得x=48，故正方形的边长为48mm．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键．。
平行线相似三角形性质和判定
A
D
DA
B
E
BE
C
F
C
F
2019/7/14
推 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 论 边的延长线)所得的线段对应成比例.
2019/7/14
平行线等分线段定理
P
G. F. E.
A
D
C
B
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他
直线上截得的线段也相等。
推论1
小结 拓展
图形的相似
1.形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例.
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似 三角形.
△ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF. 注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
性质定理
判定定理
平行于三角形一边的直线截其他两
边所在的直线，截得的对应线 段成比例.
平行于三角形的一边的直线， 截其它两边所在的直线，截得 的三角形的三边与原三角形的 三边对应成比例.
如果一条直线截三角形的两边的延 长线(这两边的延长线在第三边 的 同侧),所得的对应线段成比例，那 么这条直线平行于三角形的第三边.
相似三角形
1. 相似图形三角形的判定方法：
通过定义 （三边对应成比例，三角相等） 平行于三角形一边的直线（预备定理） 三边对应成比例（SSS） 两边对应成比例且夹角相等（SAS） 两角对应相等（AA） 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例
（HL）
相似三角形的性质：
对应角相等。 对应边成比例。 对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。
相似三角形的判定——利用平行线课件(湘教版)
知1－导
如图，在 △ABC 中，D 为AB上任意一点. 过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.
△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗? 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它
们的边长是否对应成比例 ? △ADE 与△ABC 之间有什么关系 ? 平行移动 DE
的位置，你的结论还成立吗?
CD CF
∵ AE ＝ EB,
∴
AE = 1 . CD 2
∴ AF = 1 .
CF 2
又 AF =2 ，∴ CF =4.
知2－讲
总结
知2－讲
利用成比例线段求线段的长的方法： 对于被平行线所截形成“A”型或“X”型的图
形，当所求的线段或已知线段在平行的边上时，通常 考虑通过证三角形类似，再利用类似三角形的对应边 的比相等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求 出线段的长；当所求的线段或已知线段不在平行的边 上时，则考虑直接用平行线截线段成比例求线段的长 .
知1－讲
•∵ 四边形 DFCE为平行四边形，
•∴DE = FC . •∴AD AE DE .
AB AC BC
•∴ △ ADE ∽△ABC .
知1－讲
归纳
知1－讲
•由此得到如下结论： • 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截 得的三角形与原三角形类似.
知1－讲
例1 如图所示，已知在 □ABCD 中，E 为 AB 延长线上
的一点，AB = 3BE，DE 与 BC 相交于点 F， 请找 出图中各对类似三角形，并求出相应的类似比.
解题秘方：紧扣“平行线截三角形类似 的两种基本图形：‘A’型 和‘ X ’型”进行查找 .
解： ∵四边形ABCD 是平行四边形，
相似三角形一边的平行线(学生版)
精锐教育学科教师辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数： 3课题三角形一遍平行线专题教学目的掌握三角形一边的平行线性质常见题目的解题技巧教学内容【典型例题分析】【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC,则下列比例式中正确的是（）A.;B. ;C. ;D. .【借题发挥】1.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，,则DE= 。
【例2】如图，四边形ABCD是菱形，且AB=14，BC=12,AC=10,则BE等于（）A.5; B.6; C.7; D.8.【借题发挥】1.如图，若DE∥B A，DF∥BC，，AB=9，BC=6,则BEDF周长= 。
【例3】如图，在△ABC中，E是AC中点，延长BC到D，使DC=BC，连接DE，并延长交AB于F，则DE：EF= 。
【借题发挥】1．如图，，G为AF的中点，则＝_______。
【例4】（变式）如图，已知BD=DC,求证：EA FB=EC FA.【借题发挥】1．如图，D、E分别为△ABC的AB和AC上的点，且BC的延长线交DE的延长线于F点，且.求证：DB=EC。
【例5】（变式）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，延长AD到E，延长AB交CE于P。
若AD=2DE。
求证AP=3AB.【借题发挥】1. 如图，在△ABC的边BC，CA上各取一点P和Q，若BP：PC=CQ：QA=2：3，设AP，BQ的交点为K。
求BK：KQ的值。
【随堂练习】1．如图，△ABC中，点P在BC上，四边形ADPE为平行四边形，则＝________。
2．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，求线段BF的长．3．△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，，FC＝2，AC＝6，求DE和CE长4．如图，AM是△ABC中BC边上的中线，过点B作直线交AM于点P，交AC于点Q。
求证：AP：PM=2AQ：QC。
5．如图，E为AC的中点，点F在AB上，且AF:AB=2:5，FE与BC的延长线相交于D，求EF：ED的值。
相似三角形一边的平行线20151101(1)
教师姓名 张衍 学生姓名 张浩天年 级初三上课时间2015.11.1学 科 数学课题名称三角形一边的平行线（1）教学目标1、通过以往试卷及作业的完成情况分析新接学生已学知识点的掌握情况2、复习、掌握三角形一边的平行线的概念及性质3、了解三角形重心的概念及性质教学重难点能够结合图形进行简单的比例线段分析，掌握学生的强弱项情况和学习特点，为进一步制定教学计划做准备。
一、课题引入1、如图，△ABC 中，若D 是BC 的中点，则S △ABD ：S △ACD= ，S △ABD ：S △ABC= ，若D 是BC 上的点，S △ABD ：S △ACD= 。
第1题图 第2题图2、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，找出面积相等的三角形。
同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比。
如图（1）：ABD ADC S BD S DC =；如图（2）：若A D ∥BC,则ADC ABC S ADS BC= 二、知识点讲解思考：如图BD ∥CE ，当31BC AB =时，?DE AD = 当m n BC AB =时?DE AD =B D CACn oA BD（2）（1）DCBAD CBAEC DB A如图：在△ACE 中如果BD ∥CE思考：?BC AB=与S △ABD 和S △BCD 有何关系？ ?DEAD=与S △ABD 与S △BDE 有何关系？ 结论：BCD ABD S S BC AB ∆∆= BDEABD S S DE AD ∆∆= DE ADBC AB = 三角形一边平行线的性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。
上述三角形中，还有其他比例线段吗？AE AD AC AB = AEDEAC BC = 例1、如图在△ADE 中，如果BC ∥DE ，AD=12，BD=8，EC=6那么：AB=??=BDABAC=? AE=?例2、如图，在中Rt △ABC 中∠C=90°ED ⊥BC,D 为垂足，BD=3cm DC=2cm AB=6cm.求BE 和EA 的长例3、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥DC ，求证AD 2=AB ·AFH ED CB A H ED CB AED CBAEDC BAF E D CBA思考：△ABC 中，若DE ∥BC ，则AD AE AB AC，它们的值与DEBC 相等吗？为什么？有了上述结论，我们可以把三角形一边的平行线的性质定理表示为：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
相似三角形的判定平行线法
∴△ADE∽△ABC
F
平行于三角形一边的直线和其他 两边相交"所构成的三角形与原三角形 相似．
平行于三角形一边的直线与其它两边或两 边的延长线相交"所得的三角形与原三角 形 相似
“A字”型
“8字”型
A
D
E
B （图1）
C
A
E
c
B
D
针对性练习
1.已知：如图"AB∥EF∥CD"
D HG
F
B
C
7.如图"在平行四边形ABCD中"点E在AB上" CE"BD交于点F"若AE:BE=4:3"且BF=2"则
DF=______.
ADEFB NhomakorabeaC
E F
在△ABC和△A’B’C’中"如果
∠A=∠A’" ∠B=∠B’" ∠C=∠C’"
注意顺序
我们就说△ABC与△A’B’C’相似" 记作:△ABC∽△A’B’C’. k就是它们的相似比.
如果k=1"这两 个三角形有怎
样的关系
思考
如图"在△ABC 中"DE//BC" DE分别交AB"AC 于点D"E" △ADE与△ABC有什么关系
1写出图中的相似三角形
2求线段FC的长
A
D
E
B
F
C
5.如图"在如图"在△ABC中"点D在边AB上
"BD=2AD"
DE∥BC交AC于点E"若线段DE=5"则线段BC的
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A.5 ; B.6 ; C.7 ; D.8 .
【借题发挥】
1.如图，若DE∥BA，DF∥BC， ，AB=9 ，BC=6 ,则 BEDF周长= 。
【例3】如图，在△ABC中，E是AC中点，延长BC到D，使DC=BC，连接DE，并延长交AB于F，则DE：EF=。
A.1:6; B.1:8; C.1:9; D.1:10.
5.如图，AD是△ABC的中线，E是CA边上的三等分点，BE交AD于F，则AF：FD等于（ ）
A.1：1;B.2：1;C.3：1;D.4：1.
填空题：
1. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若AF：FD=1：3，则AE：EB=。
【课堂总结】
【说明】本节课讲解的一线三角和后面的基本图形的解题技巧的再次讲解
【课后作业】
一、基础巩固练习：
选择题：
1．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则 为（）
A、1 5 B、1 4 C、1 3 D、1 2
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AB，那么下列比例式中正确的是（）
2．如图，△ABC中，AD＝2DC，G是BD中点，AC延长线交BC于E，求 的值。
3. 如图，△ABC中，点D是AC的中点，3BE=2EC，AE与BD相交于点F。求DF：BF的值.
4．如图，BG:BE＝14:16，G为AF中点，求BF:FC的值。
5．已知：BE是等腰三角形ABC的角平分线，∠ACB=90o,延长BC到点D，使CD=CE，连结AD与BE的延长线交于点F，说明：AE·AC=2AF2。（8分）
2．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝5.5cm，BD=11cm，DE＝5cm，那么BF＝________cm。
3．如图，△ABC中，点P在BC上，四边形ADPE为平行四边形，则 ＝_______。
解答题：
1．如图，△ABC中，EF∥BC，FD∥AB，AE＝18，BE＝12，CD＝14，求线段EF的长。
3．△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， ，FC＝2，AC＝6，求DE和CE长
4．如图，AM是△ABC中BC边上的中线，过点B作直线交AM于点P，交AC于点Q。求证：AP：PM=2AQ：QC。
5．如图，E为AC的中点， 点F在AB上，且AF:AB=2:5，FE与BC的延长线相交于D，求EF：ED的值。
【借题发挥】
1. 如图，在△ABC的边BC，CA上各取一点P和Q，若BP：PC=CQ：QA=2：3，设AP，BQ的交点为K。求BK：KQ的值。
【随堂练习】
1．如图，△ABC中，点P在BC上，四边形ADPE为平行四边形，则 ＝________。
2．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，求线段BF的长．
（A） ＝ ；（B） ＝ ；（C） ＝ ；（D） ＝ ．
3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，四边形ADEF是菱形，AB＝15，AC＝10，则菱形的周长是（ ）。
A. 6；（B）16；（C）24；（D）32。
4. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，且AF：FD=1：5，连接CF并延长交AB于E，则AE：BE等于（ ）
【借题发挥】
1．如图， ，G为AF的中点，则 ＝_______。
【例4】（变式）如图，已知BD=DC,求证：EA FB=EC FA.
【借题发挥】
1．如图，D、E分别为△ABC的AB和AC上的点，且BC的延长线交DE的延长线于F点，且 .求证：DB=EC。
【例5】（变式）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，延长AD到E，延长AB交CE于P。若AD=2DE。求证AP=3AB.
学科教师辅导讲义
年级：辅导科目：数学三角形一边的平行线性质常见题目的解题技巧
教学内容
【典型例题分析】
【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC,则下列比例式中正确的是（ ）
A. ; B. ; C. ; D. .
【借题发挥】
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， ,则DE=。