合理添加平行线构造相似三角形培训资料.ppt
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相似三角形及平行线截相似三角形PPT课件
(2)△ADE与△ABC相似．理由是：
知1－练
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
由(1)知， AD = AE DE . AB AC BC
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.
感悟新知
知1－练
例2 如图，已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝ 2，OB＝2，∠C＝∠D.求： (1)△OAC与△OBD的相似比； (2)BD的长．
感悟新知
知识点 1 相似三角形及相关概念
知1－导
1.定义：如果两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似，
A A,B B,C C,
AB BC AC k, AB BC AC
⇔△ABC∽△A′B′C′.
感悟新知
要点精析： (1)判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相 知1－导
AD∥BP⇒△BMP∽△DMA⇒ MP BM .
MA DM
再将比例式化为等积式即可得证．
感悟新知
证明：∵AB∥DN， ∴△AMB∽△NMD， ∴ AM BM ,
NM DM
又∵AD∥BP， ∴△BMP∽△DMA，∴ MP BM ,
AM DM
∴ AM MP , ∴AM2＝MN·MP.
MN AM
先算：40 －30 ＝
10 15
2．30＋25＝ 55 78－40＝38 68＋20＝88 67－50＝ 17
10＋48＝ 5981－50＝ 4410＋27＝ 6574－20＝ 34
77
57
76
38
37＋40＝ 87－30＝ 26＋50＝ 98－60＝
小青蛙比大青蛙少吃了多少只虫子？
你能提出哪些数学问题？
知1－练
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
由(1)知， AD = AE DE . AB AC BC
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.
感悟新知
知1－练
例2 如图，已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝ 2，OB＝2，∠C＝∠D.求： (1)△OAC与△OBD的相似比； (2)BD的长．
感悟新知
知识点 1 相似三角形及相关概念
知1－导
1.定义：如果两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似，
A A,B B,C C,
AB BC AC k, AB BC AC
⇔△ABC∽△A′B′C′.
感悟新知
要点精析： (1)判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相 知1－导
AD∥BP⇒△BMP∽△DMA⇒ MP BM .
MA DM
再将比例式化为等积式即可得证．
感悟新知
证明：∵AB∥DN， ∴△AMB∽△NMD， ∴ AM BM ,
NM DM
又∵AD∥BP， ∴△BMP∽△DMA，∴ MP BM ,
AM DM
∴ AM MP , ∴AM2＝MN·MP.
MN AM
先算：40 －30 ＝
10 15
2．30＋25＝ 55 78－40＝38 68＋20＝88 67－50＝ 17
10＋48＝ 5981－50＝ 4410＋27＝ 6574－20＝ 34
77
57
76
38
37＋40＝ 87－30＝ 26＋50＝ 98－60＝
小青蛙比大青蛙少吃了多少只虫子？
你能提出哪些数学问题？
相似三角形的判定平行线法课堂PPT课件
分别交AD及CB的延长线于点E,F,EF交
AB于点H,AH:FB=1:2,则AG:GC的值
为______.
AE
D
HG
F
B
C
13
7.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上, CE,BD交于点F,若AE:BE=4:3,且BF=2,则
DF=______.
A
D
EF
B
C
14
BC=____。
A
D E F
B
G H I
C
9
3.如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、
GF交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共 有多少个?
解：与△ABC相似的三角形有: A
△AＤＥ △ＧＦＣ
G
D OE
△ＧＯＥ
B
C
F
相似具有传递性
10
4.如图，在△ABC中， AB=3AD,DE∥BC,EF∥AB,若
AD AE DE AB AC BC
∴△ADE∽△ABC
F
5
平行于三角形一边的直线和其他 两边相交，所构成的三角形与原三角 形相似．
6
平行于三角形一边的直线与其它两边（或 两边的延长线）相交,所得的三角形与原 三角形 相似
“A字”型
“8字”型
A
D
E
B （图1）
C
A
E
c
B
D
7
针对性练习
1.已知：如图，AB∥EF∥CD，
3
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我 们通过相似的定义证明这个结论.
先证明两个三角形的对应角相等. 在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
《利用平行线判定两个三角形相似》PPT课件
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
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1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！
夯实基础
*8.【中考·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上， 点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF 交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为( )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
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1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！
夯实基础
*8.【中考·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上， 点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF 交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为( )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
《用平行线判定三角形相似》PPT课件
1、“读”是我们学习语文最基本的方法之一，古人说，读书时应该做到“眼到，口到，心到”。我看，你们今天达到了这个要求。 2、大家自由读书的这段时间里，教室里只听见琅琅书声，大家专注的神情让我感受到什么叫“求知若渴”，我很感动。 3、经过这么一读，这一段文字的意思就明白了，不需要再说明什么了。 4、请你们读一下，将你的感受从声音中表现出来。 5、读得很好，听得出你是将自己的理解读出来了。特别是这一句，请再读一遍。
当 5<t≤6 时，如图③所示，过点 N 作 NF⊥AM，垂足为 F.
∴△CNF∽△CBO.∴NBOF＝CCNB. ∴NF＝45(10－t)． ∴S＝12×6×4－12×6－t×4510－t＝－25t2＋352t－12.
∴S＝25－t225（t20＋≤3t5≤25t－）1，2（5<t≤6）.
同学们下课啦
8．【中考·达州】如图，在△ABC中，BF平分∠ABC， AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连结DF并延长，交 AC 于 点 E. 若 AB ＝ 10 ， BC ＝ 16 ， 则 线 段 EF 的 长 为
( B) A．2 C．4
B．3 D．5
9．如图，已知 AB，CD，EF 都与 BD 垂直，垂足分别是 B， D，F，且 AB＝1，CD＝3，那么 EF 的长是( ) 1234 A.3 B.3 C.4 D.5
ZJ版九年级上
第4章 相似三角形
4．4 两个三角形相似的判定 ※第1课时 用平行线判定 三角形相似
提示：点击 进入习题
1A 2B 3C 4B
答案显示
5 见习题 6B 7C 8B提示：点击ຫໍສະໝຸດ 进入习题9C10 B
11 见习题
12 见习题
答案显示
13 见习题
1．【中考·河南】如图，在△ ABC 中，点 D，E 分别是 AB， AC 的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽ △ ABC；③AADE＝AACB，其中正确的有( A ) A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
当 5<t≤6 时，如图③所示，过点 N 作 NF⊥AM，垂足为 F.
∴△CNF∽△CBO.∴NBOF＝CCNB. ∴NF＝45(10－t)． ∴S＝12×6×4－12×6－t×4510－t＝－25t2＋352t－12.
∴S＝25－t225（t20＋≤3t5≤25t－）1，2（5<t≤6）.
同学们下课啦
8．【中考·达州】如图，在△ABC中，BF平分∠ABC， AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连结DF并延长，交 AC 于 点 E. 若 AB ＝ 10 ， BC ＝ 16 ， 则 线 段 EF 的 长 为
( B) A．2 C．4
B．3 D．5
9．如图，已知 AB，CD，EF 都与 BD 垂直，垂足分别是 B， D，F，且 AB＝1，CD＝3，那么 EF 的长是( ) 1234 A.3 B.3 C.4 D.5
ZJ版九年级上
第4章 相似三角形
4．4 两个三角形相似的判定 ※第1课时 用平行线判定 三角形相似
提示：点击 进入习题
1A 2B 3C 4B
答案显示
5 见习题 6B 7C 8B提示：点击ຫໍສະໝຸດ 进入习题9C10 B
11 见习题
12 见习题
答案显示
13 见习题
1．【中考·河南】如图，在△ ABC 中，点 D，E 分别是 AB， AC 的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽ △ ABC；③AADE＝AACB，其中正确的有( A ) A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
《相似三角形的判定》PPT课件(第2课时)
（多边形相似的概念）
B
C B’
C’
若两个三角形相似比为1，
说明了什么？
=
′ ′
∴ △ABC和△A’B’C’相似，相似比为k
记作△ABC∽△A’B’C’
注意：相似用符号”∽”表示，读作”相似
于”
′ ′
=
01
观察与思考
如图所示，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，
A1A2
第二十七章
27.2.2
相似三角形的判定
D E T E R M I N A T I O N
O F
S I M I L A R
（平行线分线段成比例）
T R I A N G L E
01
学习目标
1、了解相似三角形的基础。
2、了解平行线分线段成比例定理推论过程。
3、运用平行线分线段成比例定理进行三角形相似证
明及计算。
么？
A1
A2
A3
m
a
B1
B2
b
B3
c
n
01
小组讨论
在平面上任意作三条平行线(a∥b∥c)，用它们截两条直线(m，n)，
截得的对应线段成比例吗？
A1
A2
A3
m
a
B1
B2
b
B3
c
n
01
小结
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
几何语言：
A
若a∥b∥c
BB
， 1 2，你发现了什么？
A2A3
B2B3
n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.计算
《利用平行线判定三角形相似》PPT课件
止运动，设运动时间为 t 秒(t≥0)．
4
(1)直接用含 t 的式子表示：QB＝__8_－__2_t _，PD＝_3_t________；
素养核心练
(2)是否存在 t 值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值； 若不存在，说明理由，并探究如何改变点 Q 的速度(匀速运 动)，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形．
能力提升练 13．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC，点 E 在 CD
上，连接 AE 并延长，交 BC 的延长线于 F. (2)若 AB＝4，AD＝6，CF＝2，求 DE 的长．
解：∵△ADE∽△FCE，∴AFDC＝DCEE， ∴62＝4－DEDE，∴DE＝3.
能力提升练 14．【中考·雅安】如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
基础巩固练
5．问题：“如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC， BC 上，且 DE∥BC，DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF.” 某同学的证明过程如下： 证明：①又∵DF∥AC；②∵DE∥BC；③∴△ADE∽△ABC； ④∴△DBF∽△ABC；⑤∴△ADE∽△DBF. 步骤正确的顺序是( D ) A．③②④①⑤ B．⑤②④①③ C．①③④②⑤ D．②③①④⑤
【答案】4
能力提升练
9．【中考·贵阳】如图，在△ABC 中，DE∥BC，AADB＝13，BC＝ 12，则 DE 的长是( B )
A．3
B．4
C．5
D．6
能力提升练
10．如图，在△ABC 中，DE∥BC，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，点 F 为 BC 边上一点，AF 与 DE 交于点 G.若DBCE＝13，则 AGGF＝____12________．
沪科版数学九年级上册22.2第1课时平行线与相似三角形 课件(共19张PPT)
第22章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第1课时 平行线与相似三角形
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件.2.会用平行线判定两个三角形相似，并进行证明和计算.
相似三角形的定义，平行线判定两个三角形相似.
相似三角形判定定理的预备定理的探索及证明.
回顾复习
A
B
C
D
E
知识点2 三角形相似判定的预备定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
“A”型
三角形相似常见的两种类型
B
Cห้องสมุดไป่ตู้
“X”型
例题示范
例1 如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80 cm，梯上点D距墙70 cm，BD长55 cm.求梯子的长.解：∵DE⊥AC,BC⊥AC, ∴DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ , ∴ , ∴AD=7×55=385 cm, ∴梯子长AB=AD+BD=385+55=440 cm.
C
3.如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB,AC,BC上，若DE∥BC,EF∥AB,测下列比例式一定成立的是( )A. B. C. D.4.如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果 ,那么 _____.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
B
用相似的定义证明△ADE∽△ABC.证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.如图，过点D作DF∥AC,交BC于点F，∵DE∥BC，DF∥AC， ∴ .∵四边形DFCE为平行四边形， ∴DE=FC，∴ ,∴ △ADE∽△ABC .
22.2 相似三角形的判定
第1课时 平行线与相似三角形
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件.2.会用平行线判定两个三角形相似，并进行证明和计算.
相似三角形的定义，平行线判定两个三角形相似.
相似三角形判定定理的预备定理的探索及证明.
回顾复习
A
B
C
D
E
知识点2 三角形相似判定的预备定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
“A”型
三角形相似常见的两种类型
B
Cห้องสมุดไป่ตู้
“X”型
例题示范
例1 如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80 cm，梯上点D距墙70 cm，BD长55 cm.求梯子的长.解：∵DE⊥AC,BC⊥AC, ∴DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ , ∴ , ∴AD=7×55=385 cm, ∴梯子长AB=AD+BD=385+55=440 cm.
C
3.如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB,AC,BC上，若DE∥BC,EF∥AB,测下列比例式一定成立的是( )A. B. C. D.4.如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果 ,那么 _____.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
B
用相似的定义证明△ADE∽△ABC.证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.如图，过点D作DF∥AC,交BC于点F，∵DE∥BC，DF∥AC， ∴ .∵四边形DFCE为平行四边形， ∴DE=FC，∴ ,∴ △ADE∽△ABC .
相似三角形的判定及有关性质 复习课件 PPT
题型二 化归法 转化化归思想方法是解决数学问题的灵魂，平面 几何在证明一些等积式时，往往将其转化为比例 式，当证明的比例式中的线段在同一直线上时， 常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积 式来代换相应的量，证明比例式成立也常用中间 比来转化证明.
例 2 如图，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，点 P 是 AB 上与 A，B 不重合的一个动点，连 接 PC，过点 P 作 PQ∥AC 交 BC 于点 Q. (1)如果 a，b 满足关系式 a2＋b2－12a－16b＋100＝0，c 是不等式组22xx－ ＋3 13><x6－x＋24， 1 的最大整数解，试说明△ABC 的形状. (2)在(1)的条件下，设 AP＝x，S△PCQ＝y，求 y 与 x 的函 数关系式，并注明自变量 x 的取值范围.
5.直角三角形的射影定理
(1)射影的概念 从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线 上的正射影，简称射影. 一般地，一个点集(如线段或其他几何图形)中所有的 点在某条直线上的射影集合，称这个点集在这条直线 上的射影.如一条线段在一条直线上的射影就是线段的 两个端点在这条直线上的射影间的线段.
2.平行线分线段成比例定理
(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边的直线(或两边 的延长线)所得的对应线段成比例. 推论2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三 角形，所得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例. 推论1的逆定理：如果一条直线截三角形两边或两边的延长 线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的 第三边. (2)三角形内角平分线定理 定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段比等于 夹这个角的两边比.
人教版数学九年级下册第二十七章27.2.3用平行线判定三角形相似课件(共48张PPT)
合作探究
知识点 1 平行线截三角形相似
如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于 点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？
解析：直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似，我们通过相似
的定义证明它，即证明∠A=∠A, ∠ADE=∠B,
∠AED=∠C,
AD =
A由E前面DE的.结论可得，
应角所夹的边是对应边；
(4)相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对
应边所夹的角是对应角．
2 易错小结
如图所示，△AOB∽△COD，下列各式中正确的有( ) A
① AB BO ； CD CO
② AB AO ； CD DO
③ AO BO ； OD CO
A．1个
B．2个
④ AO BO . CO DO
如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A．0 对 B．3 对 如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.
通过建立相似三角形数学模型可以解决实际问题. 利用证三角形相似求线段的长的方法：当三角
C．2 对
D．1 对
如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？
AG ＝ AC
AF EC
3 【中考·恩施州】如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝ ∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，
则DE的长为( )C A．6
B．8 C．10 D．12
4 【中考·贵港】如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°
B．57.5尺
2相似三角形平行线判定三角形相似-华东师大版九年级数学上册课件
D
E
DE∥BC
【解】 ∵点D是边AB三等分点
B
C
AD 1
AB 3
∵DE∥BC
∴△ADE∽ △ABC（ 平行于三角形一边的直线， 和其他两边相交所构成的三角形和原三角形类似）
DE AD 1， BC AB 3
∴BC=3DE=15
对应练习1 课本P64练习
如图，在△ABC中，点D是边AB四等分 点，DE∥AC,DF ∥ BC,AC=8，BC=12. 求四边形DECF的周长。
平行于三角形一边的直线，和其他两边
（或两边的延长线）相交所构成的三角形与
原三角形类似．
A
ED
A
D
E
B “A”字形 C
B
C
“X”字形
∵DE∥BC, ∴△ADE∽ △ABC
∵DE∥BC, ∴△ADE∽ △ABC
例题解析
例1
如图，在△ABC中，点D是边AB三等分点，
DE∥BC,DE=5，求BC的长。
A
分析：点D是边AB三等分点
§23.3 类似三角形（1）
——平行线判定类似
知识回顾
1、两个边数相同的多边形,如果各边对应__成__比__例___, 各角对应__相__等___,那么这两个多边形类似。
2、类似多边形的____对__应__边______成比例， __对_应__角___相等。
知识点 1 类似三角形的概念
在类似多边形中，最简单的是类似三角形。
A
A'
则类似比k=
AB (或 A'B'
BC 或 B 'C '
AC A'C
) '
B
C
C'
合理添加平行线构造相似三角形.完美版PPT
H(1)试找出图中的相似三角形? 结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF
⊿BCF∽ ⊿BAC. ∴tan∠CAD＝∠ABC=
⊿ADE∽ 合理添加平行线构造相似三角形
BD=CD
⊿ABC
∽
⊿DBH
(2)若AE:AC=1:2,则DE:BC=_______;
(2)若AE:AC=1:2,则DE:BC=1：___2____;
BF=4
结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF
2、CD²=AD×BD BC²=BD×AB AC²=AD×AB
用一用
（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上 的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m，
问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
（1）∵⊿BDA∽⊿BAC
yA
∴∠CAD＝∠ABC ∴tan∠CAD＝∠ABC= ∵BC=4
3 4
B(-3,0) O
D
∴AC=BC·tan ∠ABC=3 ∴CD=AC·tan ∠CAD=3×
3=
4
9 4
C(1,0) x ∴OD=OC+CD=1+ 9 = 1 3
合理添加平行线构造相似三角 形
问题
给你一个△ABC和平行于BC边的一条直 线MN；
你能用直线MN去截AB与AC边，使截得 的 三角形与原三角形相似吗？
基本图形1
A型
E M
（及两边的延长线）
平行于三角形一边的直线和其他两 边相交，所构成的三角形与原三角 形相似。
A D
N
B M
沪科版数学九年级上册2第1课时平行线与相似三角形课件
新知讲授
类似三角形的性质及有关概念
在类似多边形中，最简单的就是类似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′,
∠C=∠C′,
且 AB A/ B/
BC B/C/
AC A/C /
k
我们就说△ABC与△A′B′C′_类__似___，记作
__△__A_B_C__∽__△__A_′B__′C_′__，△ABC与△A′B′C′类似比是k， 则△A′B′C′与△ABC的类似比是__k1__.
反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有 ∠A=_∠__A_′_,∠B=_∠__B_′_,∠C=_∠__C_′,
且 AB
A/ B/
BC B/C/
AC A/C /
k
类似比为1时，类似的 两个图形有什么关系？
当类似比等于1时，类似图形是全等图形， 全等是一种特殊的类似.
典例精析
例1 △ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则 △ABC与△DEF能否类似？说明理由．
平行线与类似三角形
探究归纳
如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
解:类似，在△ADE与△ABC中，
A
∠A= ∠A.
∵ DE//BC，
D
E
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C，
B
F
C
过E作EF//AB交BC于F，则 AE = BF AC BC
∵DBFE是平行四边形， ∴DE=BF.
第22章 类似形
沪科版数学九年级上册
22.2 类似三角形的判定
第1课时 平行线与类似三角形
本节目标
学习目标
1.理解类似三角形的定义，掌握定义中的两个条件； （重点）
讲相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理ppt
相似三角形判定方法
相似三角形性质及应用
证明方法
根据相似三角形的定义及平行线的性质可证明。
性质一
相似三角形的对应角相等
性质二
相似三角形的对应边成比例
应用举例
在几何问题中，经常使用相似三角形的性质来解决问题；例如，测量不可直接测量的距离、角度等问题。
证明方法
根据相似三角形的定义及平行线的性质可证明。
平行线等分线段定理证明方法
应用一：在几何作图中的应用
1. 在几何作图中，常常需要画出平行且相等的线段，这时可以利用平行线等分线段定理来画出这些线段。
2. 通过选择合适的平行线和截点，利用平行线等分线段定理来画出需要的图形。
应用二：在证明其他几何定理中的应用
1. 在证明其他几何定理时，有时需要利用平行线等分线段定理来证明某些线段相等。
相似三角形与平行线等分线段定理的关系
通过平行线等分线段定理，可以解决一些相似三角形的问题，例如证明两个三角形相似、求比例尺等。
在解决相似三角形问题时，需要注意对应边和对应行线等分线段定理解决相似三角形问题
VS
相似三角形与平行线等分线段定理在日常生活中有着广泛的应用，例如测量、绘图、装修等。
2. 通过选择合适的平行线和截点，利用平行线等分线段定理来证明需要的结论。
平行线等分线段定理的应用
03
相似三角形与平行线等分线段定理的联系
平行线等分线段定理可以作为判断相似三角形的一种方法，即如果两条直线平行且被第三条直线所截，那么对应线段成比例。
利用平行线等分线段定理可以推导出三角形相似的条件，即如果一个角对应相等，则两个三角形相似。
03
经典例题解析
02
01
已知三角形ABC与三角形DEF相似，求AB的对应边。
《相似三角形的判定——利用平行线》课件 湘教版PPT
1．如图，在△ABC中，点D，G在AB边上，点E，H在 AC边上，DE∥GH∥BC，则图中的相似三角形有
( C) A．1对练
2．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( D ) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
感悟新知
知识点 2 相似三角形性质的应用
知1－练
如图所示，已知在 □ABCD 中，E 为 AB 延长线上
的一点，AB = 3BE，DE 与 BC 相交于点 F， 请找
出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
解题秘方：紧扣“平行线截三角形相似
的两种基本图形：‘A’型
和‘ X ’型”进行查找 .
感悟新知
解： ∵四边形ABCD 是平行四边形，
感悟新知
知识点 1 平行线判定三角形相似定理
知1－导
如图，在 △ABC 中，D 为AB上任意一点. 过点 D 作BC
的平行线 DE，交 AC 于点 E.
(1) △ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗?
(2) 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它
们的边长是否对应成比例 ?
(3) △ADE 与△ABC 之间有什么关系 ? 平行移动 DE
∴ AB∥CD ，AD∥BC，
∴△BEF ∽△CDF ，△BEF ∽△AED.
∴△BEF ∽△CDF ∽△AED .
∴△BEF
∽△CDF
，相似比
k1
=
BE CD
=
1; 3
△BEF
∽△AED
，相似比
k2
=
BE AE
=
1; 4
△CDF
∽△AED
，相似比
k3
=
CD AE
=
3. 4
( C) A．1对练
2．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( D ) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
感悟新知
知识点 2 相似三角形性质的应用
知1－练
如图所示，已知在 □ABCD 中，E 为 AB 延长线上
的一点，AB = 3BE，DE 与 BC 相交于点 F， 请找
出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
解题秘方：紧扣“平行线截三角形相似
的两种基本图形：‘A’型
和‘ X ’型”进行查找 .
感悟新知
解： ∵四边形ABCD 是平行四边形，
感悟新知
知识点 1 平行线判定三角形相似定理
知1－导
如图，在 △ABC 中，D 为AB上任意一点. 过点 D 作BC
的平行线 DE，交 AC 于点 E.
(1) △ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗?
(2) 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它
们的边长是否对应成比例 ?
(3) △ADE 与△ABC 之间有什么关系 ? 平行移动 DE
∴ AB∥CD ，AD∥BC，
∴△BEF ∽△CDF ，△BEF ∽△AED.
∴△BEF ∽△CDF ∽△AED .
∴△BEF
∽△CDF
，相似比
k1
=
BE CD
=
1; 3
△BEF
∽△AED
，相似比
k2
=
BE AE
=
1; 4
△CDF
∽△AED
，相似比
k3
=
CD AE
=
3. 4
利用平行线判定三角形相似PPT课件
3
3
∴23＝NNGF，26＝MMGB，即NNGF＝12，MMGB＝14，
∴2NG＝NF，4MG＝MB.
∵E 为 AB 的中点，EH∥AD，∴G 为 BF 的中点，
∴BG＝GF＝12BF＝12 AB2＋AF2＝52， ∴NG＝13GF＝56，MG＝15BG＝12， ∴MN＝NG＋MG＝43.
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动 点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运 动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的 速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ.点P， Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一 点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．
6.
如图，在▱ABCD 中，E 是边 DC 上一点，AE 交 BD
于 F，若 DE＝2，EC＝3，则AEFF＝___52_____．
【点拨】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.
∵DE＝2，EC＝3，∴AB＝CD＝5，
∵AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，
∴AEFF＝EADB，∴AEFF＝52.
课后训练
【思路点拨】正确使用试电笔时通过人体的电流用欧姆定律公 式计算，“220 V 40 W”灯泡正常工作时的电流用电功率公式 计算。通过试电笔的电流 I 笔＝RU笔＝1.12×2100V6 Ω＝2×10－4 A，灯泡 正常工作时的电流 I 灯＝PU灯＝24200WV＝121 A，然后求两电流间的 倍数关系。
课堂导练
2．(中考·天津)在家庭电路中，从进户开始要顺次安装下列 元器件再接用电器，其先后次序正确的是( B ) A．电能表、保险装置、总开关 B．电能表、总开关、保险装置 C．保险装置、电能表、总开关 D．总开关、电能表、保险装置
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课件
问题
给你一个△ABC和平行于BC边的一条直 线MN；
你能用直线MN去截AB与AC边，使截得 的 三角形与原三角形相似吗？
课件
基本图形
A型
E M
（及两边的延长线）
平行于三角形一边的直线和其他两 边相交，所构成的三角形与原三角 形相似。
A D
N
B M
C N
D
E
S型
如果用直线MN去截AB与课件 AC边所在直线
A
F
E
B
D
C
G 图1-3
课件
小结：
这节课你学到了什么？
课件
合理添加平行线 构造相似三角形
E
D
M
N
A型
S型
课件
B 10b
C D 5b
C
课件
相似三角形
E A
F
添平行线构造相似三角形的基本图形。
若D为BC中点,ED交AB于点F, 且EF:FD=2:3,
试求AF:FB的值.
解：过点F作FM//AC,交BC于点M
B
D MC
E
A
F
2a
F
3a
B 8b
M 2bC
D 3bM2bC
课件
相似三角形
E F
添平行线构造相似三角形的基本图形。
相似三角形 添平行线构造相似三角形的基本图形。
若点D为BC中点,ED交AB于点F,
E
且EF:FD=2:3,
A
F
M
试求AF:FB的值.
解：过点F作FM//BC,交AC于点M
B
D
C
E
1.利用FM平行截三角形两边 可得到哪种相似的基本图形？
2a A
F 2b M
F 2b M
3a
2.可写出图中的相似三角形吗？ 3.怎么将两个图形顺利过渡呢？
若D为BC中点,ED交AB于点F, 且EF:FD=2:3,
A
试求AF:FB的值.
B
D
C
你还有其他方案吗？
课件
相似三角形
E
A
F
M
添平行线构造相似三角形的基本图形。
E
A F
E
A F M
E
A F
M
B
D
CB
D M CB
D
CB
D
C
E
A F
MB
D
C
E
M
A F
B
D
C
课件
用一用 添平行线构造相似三角形的基本图形。
练习1．已知：如图1，过△ABC的顶点C作一条直线与
中线AD和边AB分别交于点E和点F ,且AE:ED = 4:1。
求:AF:FB的值。
证法一：过点D作DG∥CF交AB于G点，
∵DG∥CF
A
∴△BDG∽△BCF
∵AD是△ABC的中线 ∴BD:BC=BG:BF=1:2
∴BG=FG ∵DG∥EF
F
G
E
∴△AEF∽△ADG ∴AE:AD=AF:AG
F EG
B
D
C
图1-2
课件
用一用 添平行线构造相似三角形的基本图形。
练习1．已知：如图1，过△ABC的顶点C作一条直线与 中线AD和边AB分别交于点E和点F ,且AE:ED = 4:1。
求:AF:FB的值
证法三：过B点作BG∥CF交AD的延长线于点G（如图1-3），
BG∥CF,则∠GBD=∠ECD 在△BDG和△CDE中 ∵∠BDG=∠CDE， BD=CD ∠GBD=∠ECD ∴△BDG≌△CDE ∴DG=DE
2：3
相似三角形 添平行线构造相似三角形的基本图形。
例：若点D为BC中点,ED交AB于点F,且 EF:FD试=求2:3A,F:FB的值.
ห้องสมุดไป่ตู้
1. △AFE和△BFD相似吗？
E
A
2.题目中有其他相似三角形吗？ F
3.能构造涉及AF和BF(或AB）
B
D
C
的相似三角形吗？
4.利用平行线构造相似三角形的 基本图形，能动手试试吗课？件
合理添加平行线 构造相似三角形
课件
练一练
E M
b
a
DN
2a
2b
b
H
已知:MN∥BC,过点D作DH∥EC交BC延长线于点 H(1)试找出图中的相似三角形?
⊿ADE∽ ⊿ABC ∽ ⊿DBH
(2)若AE:AC=1:2,则DE:BC=1：___2____;
(3)若AE:AC=1:2,则 AC:DH=_______; 课件
∵ AE:ED = 4:1
B
D
C
图1
∴AF:FG=4:1
∴AF:FB=4:2=2:1
课件
用一用 添平行线构造相似三角形的基本图形。
练习1．已知：如图1，过△ABC的顶点C作一条直线与 中线AD和边AB分别交于点E和点F ,且AE:ED = 4:1。
求:AF:FB的值 A
证法二：过点D作DG∥AB交CF于G点，
问题
给你一个△ABC和平行于BC边的一条直 线MN；
你能用直线MN去截AB与AC边，使截得 的 三角形与原三角形相似吗？
课件
基本图形
A型
E M
（及两边的延长线）
平行于三角形一边的直线和其他两 边相交，所构成的三角形与原三角 形相似。
A D
N
B M
C N
D
E
S型
如果用直线MN去截AB与课件 AC边所在直线
A
F
E
B
D
C
G 图1-3
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E
D
M
N
A型
S型
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B 10b
C D 5b
C
课件
相似三角形
E A
F
添平行线构造相似三角形的基本图形。
若D为BC中点,ED交AB于点F, 且EF:FD=2:3,
试求AF:FB的值.
解：过点F作FM//AC,交BC于点M
B
D MC
E
A
F
2a
F
3a
B 8b
M 2bC
D 3bM2bC
课件
相似三角形
E F
添平行线构造相似三角形的基本图形。
相似三角形 添平行线构造相似三角形的基本图形。
若点D为BC中点,ED交AB于点F,
E
且EF:FD=2:3,
A
F
M
试求AF:FB的值.
解：过点F作FM//BC,交AC于点M
B
D
C
E
1.利用FM平行截三角形两边 可得到哪种相似的基本图形？
2a A
F 2b M
F 2b M
3a
2.可写出图中的相似三角形吗？ 3.怎么将两个图形顺利过渡呢？
若D为BC中点,ED交AB于点F, 且EF:FD=2:3,
A
试求AF:FB的值.
B
D
C
你还有其他方案吗？
课件
相似三角形
E
A
F
M
添平行线构造相似三角形的基本图形。
E
A F
E
A F M
E
A F
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B
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CB
D M CB
D
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D
C
E
A F
MB
D
C
E
M
A F
B
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C
课件
用一用 添平行线构造相似三角形的基本图形。
练习1．已知：如图1，过△ABC的顶点C作一条直线与
中线AD和边AB分别交于点E和点F ,且AE:ED = 4:1。
求:AF:FB的值。
证法一：过点D作DG∥CF交AB于G点，
∵DG∥CF
A
∴△BDG∽△BCF
∵AD是△ABC的中线 ∴BD:BC=BG:BF=1:2
∴BG=FG ∵DG∥EF
F
G
E
∴△AEF∽△ADG ∴AE:AD=AF:AG
F EG
B
D
C
图1-2
课件
用一用 添平行线构造相似三角形的基本图形。
练习1．已知：如图1，过△ABC的顶点C作一条直线与 中线AD和边AB分别交于点E和点F ,且AE:ED = 4:1。
求:AF:FB的值
证法三：过B点作BG∥CF交AD的延长线于点G（如图1-3），
BG∥CF,则∠GBD=∠ECD 在△BDG和△CDE中 ∵∠BDG=∠CDE， BD=CD ∠GBD=∠ECD ∴△BDG≌△CDE ∴DG=DE
2：3
相似三角形 添平行线构造相似三角形的基本图形。
例：若点D为BC中点,ED交AB于点F,且 EF:FD试=求2:3A,F:FB的值.
ห้องสมุดไป่ตู้
1. △AFE和△BFD相似吗？
E
A
2.题目中有其他相似三角形吗？ F
3.能构造涉及AF和BF(或AB）
B
D
C
的相似三角形吗？
4.利用平行线构造相似三角形的 基本图形，能动手试试吗课？件
合理添加平行线 构造相似三角形
课件
练一练
E M
b
a
DN
2a
2b
b
H
已知:MN∥BC,过点D作DH∥EC交BC延长线于点 H(1)试找出图中的相似三角形?
⊿ADE∽ ⊿ABC ∽ ⊿DBH
(2)若AE:AC=1:2,则DE:BC=1：___2____;
(3)若AE:AC=1:2,则 AC:DH=_______; 课件
∵ AE:ED = 4:1
B
D
C
图1
∴AF:FG=4:1
∴AF:FB=4:2=2:1
课件
用一用 添平行线构造相似三角形的基本图形。
练习1．已知：如图1，过△ABC的顶点C作一条直线与 中线AD和边AB分别交于点E和点F ,且AE:ED = 4:1。
求:AF:FB的值 A
证法二：过点D作DG∥AB交CF于G点，