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导数公式练习题
导数公式练习题在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
了解和掌握导数的公式对于解决各种数学问题非常关键。
本文将通过一系列导数练习题，帮助读者加深对导数公式的理解和应用。
1. 求函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在 x = 2 处的导数。
解答：首先，我们可以使用导数的定义来求解。
导数的定义是函数在某一点上的斜率或者切线的斜率，可以通过极限的思想来表示。
根据导数的定义：f'(x) = lim (h->0) [f(x + h) - f(x)] / h代入 f(x) = x^2 + 3x - 2：f'(x) = lim (h->0) [(x + h)^2 + 3(x + h) - 2 - (x^2 + 3x - 2)] / h= lim (h->0) [x^2 + 2hx + h^2 + 3x + 3h - 2 - x^2 - 3x + 2] / h= lim (h->0) [2hx + h^2 + 3h] / h= lim (h->0) [2x + h + 3]= 2x + 3所以，函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在 x = 2 处的导数为 f'(2) = 2*2 + 3 = 7。
2. 求函数 g(x) = 5e^x - 3x 在 x = 0 处的导数。
解答：函数 g(x) = 5e^x - 3x 可以看作是两个函数相加的形式：f(x) = 5e^x 和 h(x) = -3x。
根据导数的性质，我们知道两个函数相加的导数等于两个函数分别求导后再相加。
首先，求 f(x) = 5e^x 的导数：f'(x) = (5e^x)' = 5e^x （指数函数的导数就是其本身）然后，求 h(x) = -3x 的导数：h'(x) = (-3x)' = -3 （常数函数的导数为 0）因此，函数 g(x) 的导数可以表示为：g'(x) = f'(x) + h'(x)= 5e^x - 3x + 0= 5e^x - 3x所以，函数 g(x) = 5e^x - 3x 在 x = 0 处的导数为 g'(0) = 5e^0 - 3*0 = 5。
经典求导练习题
经典求导练习题在本文中，将给出一系列经典求导练习题，通过解答这些问题，我们可以加深对求导运算的理解和应用能力。
以下是各种类型的求导题目，每个题目后都有详细的步骤和解析。
1. 简单的多项式求导问题：给定函数 f(x) = 3x^2 + 5x - 2，求 f'(x)。
解析：首先，根据求导法则，对于多项式函数来说，求导后指数减1，系数不变。
因此，对 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 6x + 5。
2. 反函数求导问题：给定函数 f(x) = ln(x)，求 f'(x)。
解析：我们知道，ln(x) 的反函数是e^x，且根据反函数求导法则，反函数的导数等于原函数的导数的倒数。
因此，f'(x) = 1/x。
3. 三角函数求导问题：给定函数 f(x) = sin(x)，求 f'(x)。
解析：根据三角函数的求导法则，sin(x) 的导函数是cos(x)，因此，f'(x) = cos(x)。
4. 复合函数求导问题：给定函数 f(x) = (2x + 1)^3，求 f'(x)。
解析：这是一个复合函数求导的例子。
根据链式法则，复合函数的导数等于外函数对内函数求导的结果乘以内函数对自变量的导数。
应用链式法则，我们可以得到 f'(x) = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^2。
5. 指数函数和对数函数求导问题：给定函数 f(x) = e^x，求 f'(x)。
解析：根据指数函数的求导法则，e^x 的导数等于其本身，因此f'(x) = e^x。
6. 隐函数求导问题：已知方程 x^2 + y^2 = 25，求当 x = 3 时，y 对 x 的导数。
解析：对方程两边同时求导，并利用隐函数求导法则，我们可以解得 dy/dx = -x/y。
当 x = 3 时，插入方程得到 y = 4，因此 dy/dx = -3/4。
通过以上一些经典求导练习题的解答，我们可以巩固和应用求导运算的方法和原则。
完整版)导数求导练习题
完整版)导数求导练习题1.若 $f(x) = \sin\alpha - \cos x$，则 $f'(\alpha)$ 等于什么？答：$f'(\alpha) = \cos\alpha$。
2.函数 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 2$，若 $f'(-1) = 4$，则 $a$ 的值等于什么？答：$f'(x) = 3ax^2 + 6x$，代入 $x=-1$ 得 $-3a + (-6) = 4$，解得 $a = -\frac{10}{3}$。
3.函数 $y=x\sin x$ 的导数是什么？答：$y' = \sin x + x\cos x$。
4.函数 $y=x^2\cos x$ 的导数是什么？答：$y' = 2x\cos x - x^2\sin x$。
5.若 $y=(2x^2-3)(x^2-4)$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = 4x^3 - 16x$。
6.若 $y=3\cos x - 4\sin x$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = -3\sin x - 4\cos x$。
7.与直线 $2x-6y+1=0$ 垂直，且与曲线 $y=x^3+3x^2-1$ 相切的直线方程是什么？答：曲线在点 $(-1.-1)$ 处的斜率为 $9$，所以切线方程为$y+1 = 9(x+1)$。
8.质点运动方程是 $s=t^2(1+\sin t)$，则当 $t=2$ 时，瞬时速度为什么？答：$v(t) = 2t(1+\sin t) + t^2\cos t$，代入 $t=2$ 得 $v(2) = 8+4\sqrt{2}$。
9.求曲线 $y=x^3+x^2-1$ 在点 $P(-1,-1)$ 处的切线方程。
答：曲线在点 $(-1,-1)$ 处的斜率为 $3(-1)^2+2(-1) = -1$，所以切线方程为 $y+1 = -(x+1)$。
函数求导练习题(含解析)
一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝，C为常数；（2）（xα）′＝，α为常数；（3）（a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝；（6）（cos x）′＝．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．6．求下列函数的导数．（Ⅰ）；（Ⅱ）．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．9．求下列函数的导数：（1）；（2）．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）解析一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝0，C为常数；（2）（xα）′＝αxα﹣1，α为常数；（3）（a x）′＝a x lna，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝cos x；（6）（cos x）′＝﹣sin x．分析：根据初等函数的导数公式，直接求解即可．解答：解：（1）（C）′＝0，（2）（xα）′＝αxα﹣1，（3）（a x）′＝a x lna，（4）（log a x）′＝，（5）（sin x）′＝cos x，（6）（cos x）′＝﹣sin x．故答案为：（1）0；（2）αxα﹣1；（3）a x lna；（4）；（5）cos x；（6）﹣sin x．点评：本题主要考查初等函数的导数公式，比较基础．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．分析：利用导数的运算性质逐个化简即可求解．解答：解：（1）由已知可得y′＝2x﹣7；（2）由已知可得y′＝1+2cos x．点评：本题考查了导数的运算性质，属于基础题．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．分析：（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．解答：解：（1）f（x）＝3x4+sin x则f′（x）＝12x3+cos x；（2），则f′（x）＝+﹣2e2x﹣1．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（1）∵y＝ln（2x+1），∴y′＝×2＝，（2）∵，∴y′＝﹣sin（﹣2x）×（﹣2）＝2sin（﹣2x）＝﹣2sin（2x﹣）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．分析：根据复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式求导计算即可．解答：解：（1）∵，∴．（2）∵g（x）＝（8﹣3x）7，∴g'（x）＝7（8﹣3x）6⋅（8﹣3x）'＝﹣21（8﹣3x）6．（3）∵p（x）＝5cos（2x﹣3），∴p'（x）＝﹣5sin（2x﹣3）⋅（2x﹣3）'＝﹣10sin（2x﹣3）．（4）∵w（x）＝ln（5x+6）2，∴点评：本题考查导数的计算，注意复合函数的导数计算，属于基础题．（Ⅰ）；（Ⅱ）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）＝．（Ⅱ）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．分析：利用导数的运算性质化简即可求解．解答：解：（1）因为f（x）＝sin x cos x＝sin2x，所以f′（x）＝cos2x×＝cos2x，（2）∵y＝，∴y′＝＝．点评：本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：根据导数的公式，即可依次求解．解答：解：（1）y'＝＝．（2）因为y＝（2x2+3）（3x﹣2）＝6x3﹣4x2+9x﹣6，所以y′＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查导数的运算，属于基础题．（1）；（2）．分析：（1）先展开f（x），然后求导即可；（2）根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可．解答：解：（1），；（2）．点评：本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：结合基本初等函数的求导公式及求导法则求解即可．解答：解：（1）S（t）＝＝t+，所以S′（t）＝1﹣；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2），所以h′（x）＝4x（3x﹣2）+3（2x2+3）＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查了基本初等函数的求导公式及求导法则，属于基础题．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．分析：利用复合函数的导函数的求法，结合导数的运算求解即可．解答：解：（1），所以；（2）所以．点评：本题考查了导函数的求法，重点考查了导数的运算，属基础题．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．分析：直接利用基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算求解即可．解答：解：（1）令t＝1﹣2x2，则，所以；（2）．点评：本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算，考查了运算能力，属于基础题．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．分析：由已知结合函数的求导公式即可求解．解答：解：（1）y′＝cos x+；（2）y′＝﹣sin x+1；（3）y′＝sin x+x cos x；（4）y′＝＝；（5）y′＝6x+cos x﹣x sin x；（6）y′＝＝﹣．点评：本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．分析：根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．解答：解：（1）y′＝3x2﹣2；（2）y′＝sin（2x+5）+2x cos（2x+5）．点评：本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）．分析：利用导数的运算法则以及常见函数的导数进行求解即可．解答：解：（1）因为y＝（x2+3x+3）e x+1，所以y'＝[（x2+3x+3）e x+1]'＝（x2+3x+3+2x+3）e x+1＝（x2+5x+6）e x+1＝（x+2）（x+3）e x+1；（2）因为，所以．点评：本题考查了导数的运算，主要考查了导数的运算法则以及常见函数的导数公式，考查了化简运算能力，属于基础题．。
导数初学练习题
导数初学练习题导数是微积分的重要概念之一，它描述了函数在特定点的变化率。
对于初学者来说，练习解题是理解和掌握导数的关键。
本文将提供一些导数初学练习题，帮助读者加深对导数概念和计算方法的理解。
1. 计算下列函数关于自变量 x 的导数：(1) f(x) = 3x^2 - 2x + 1解析：首先将函数展开，得到 f(x) = 3x^2 - 2x + 1。
然后，按照导数的定义，对每一项进行求导：f'(x) = 2 * 3x^(2-1) - 1 * 2x^(1-1) + 0 = 6x - 2所以，f(x) = 3x^2 - 2x + 1 的导数为 f'(x) = 6x - 2。
(2) g(x) = sqrt(x) - 1解析：将函数展开为 g(x) = x^(1/2) - 1。
按照导数的定义，对每一项进行求导：g'(x) = (1/2) * x^((1/2)-1) - 0 = (1/2) * x^(-1/2)所以，g(x) = sqrt(x) - 1 的导数为 g'(x) = (1/2) * x^(-1/2)。
2. 求以下函数在指定点处的导数：(1) h(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x, 在 x = 2 处的导数。
解析：根据导数的定义，我们需要计算 h(x) 在 x = 2 处的斜率。
这可以通过求 h(x) 在 x = 2 处的导数来实现。
首先，我们计算 h'(x) = 6x^2 + 6x - 4。
然后，代入 x = 2，得到：h'(2) = 6 * 2^2 + 6 * 2 - 4 = 32所以，h(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x 在 x = 2 处的导数为 32。
(2) m(x) = e^x, 在 x = 0 处的导数。
解析：函数 m(x) = e^x 的导数等于其本身，即 m'(x) = e^x。
因此，在 x = 0 处的导数为：m'(0) = e^0 = 1所以，m(x) = e^x 在 x = 0 处的导数为 1。
导数公式的练习题及答案
导数公式的练习题及答案1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y?f在x?x0处的瞬时变化率是?x?0limf?f，?x我们称它为函数y?f在x?x0处的导数，记作f?或y?|x?x0，即f?=lim?x?0f?f?x2. 导数的几何意义: 当点Pn趋近于P时，函数y?f 在x?x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k?lim3. 导函数二．导数的计算1. 基本初等函数的导数公式. 导数的运算法则. 复合函数求导?x?0f?f?f?xn?x0y?f和u?g,称则y可以表示成为x的函数,即y?f)为一个复合函数 y??f?)?g?三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数y?f的极值的方法是:如果在x0附近的左侧f??0,右侧f??0,那么f是极大值; 如果在x0附近的左侧f??0,右侧f??0,那么f是极小值;.函数的最大值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数y?f在[a,b]上的最大值与最小值的步骤求函数y?f在内的极值；将函数y?f的各极值与端点处的函数值f，f比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题1、已知函数f?2x?1的图象上一点及邻近一点，则2?y等于?xA．4B．4?xC．4?2?xD．4?2?x2、如果质点M按规律S?3?t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度为A．4B．4.1C．0.41D．33、如果质点A按规律S?2t3运动，则在t?3秒的瞬时速度为A．B．18C．54D．8111在点处的切线斜率为_________，切线方程为__________________． x225、已知函数f?ax?2，若f??1，则a?__________．4、曲线y??6、计算：f?5x?7，求f?；f?y?221x?2，求f?；21，求y?|x?0 x?17、在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t存在函数关系S?10t?5t2，t?20,?t?0.1时的求t?20的速度． 1、函数y??S； ?t的导数是1?4?141323A．xB．xC．x5D．?x55555112、曲线y?x2在点处切线的倾斜角为225???A．1B．?C．D．4443、已知曲线y?x?2x?2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是A．B． C．D．2x在点处的切线方程为____________________．x?135、曲线y?x在点处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形面积为__________．4、曲线y?6、求下列函数的导数：y?x?log3x；y??2x?1．13?；y?cos2x．sinx?cosx求f在点处的切线方程；求过点的切线方程．、函数y?的导数是A．6x5?12x B．4?2x C．2 D．2?3x、已知y?333321sin2x?sinx，那么y?是A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数D．非奇非偶函数 10、曲线y?e1x2在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为2C．2e D．e22211、已知f?ln，若f??1，则实数a的值为__________． A．e2B．4e12、y?sin3x在处的切线斜率为__________________．1?x，?1?x?1． 1?x13、求下列函数的导数：f?f?e?x2?2x?3；y?lncos2x??14、已知f? ，求f．1?sin2x41、函数f?e的单调递增区间是A． B．C． D．2、设函数y?f在定义域内可导，y?f的图象如图1所示，则导函数y?f?可能为A2xB C D3、若函数f?x?ax?x?6在内单调递减，则实数a的取值范围是A．a?1B．a?13C．a?1D．0?a?14、函数f?ax?x在R上为减函数，则实数a的取值范围是______________．、求函数f?2x?lnx的单调区间．、设函数f?xe．kx2求曲线y?f在点)处的切线方程；求函数f的单调区间；若函数f在区间内单调递增，求k的取值范围．、函数y?4x2?1的单调递增区间是 x11A． B． C．D．8、若函数y?x3?x2?mx?1是R上的单调函数，则实数m 的取值范围是A． B．D．．函数f?lnx?1313131312x的图象大致是10、如果函数y?f的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数y?f在区间内单调递增；②函数y?f在区间内单调递减；③函数y?f在区间内单调递增；④当x?2时，函数y?f有极小值；⑤当x??12121时，函数y?f有极大值.32则上述判断中正确的是____________．11、已知函数f?x?ax?bx?c，g?12x?4，若f?0，且f 的图象在点)处的切线方程为y?g．求实数a，b，c的值；求函数h?f?g的单调区间 12、已知函数f?13、已知函数f?12x?lnx?x在上是增函数，求实数a的取值范围．x?1?alnx，f的单调区间．1．C ．B3．C4．4；y?4x?4．?7．210.5；2101?1?381x111．C．C ．B4．y??x?2．6．；?；ln?233xln3?sinx?cosx7．y?4x?3；y?e；1?x814．?9111．D．D ．A4．a?0．增区间，减区间22116．y?x；k?0时，增区间，减区间kk11k?0时，增区间，减区间；[?1,0)?和，减区间12．a?213．a?0时，增区间为a?0时，在基本初等函数的导数公式及导数运算法则练习姓名班级713?1．曲线y＝x－2在点?－1，－处切线的倾斜角为?3?A．30°B．45° C．135°D．60°．设f＝31A641－1x2xf′等于57B.C．－667D.63．若曲线y＝x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为A．4x－y－3＝032B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝04．已知f＝ax＋9x＋6x－7，若f′＝4，则a的值等于A.193B.16101 D.3314325．已知物体的运动方程是st－4t＋16t，则瞬时速度为0的时刻是A．0秒、2秒或4秒B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒6．曲线y＝x－2x＋1在点处的切线方程为A．y＝x－1B．y＝－x－1 D．y＝－2x－23C．y＝2x－2x7．若函数f＝esinx，则此函数图象在点)处的切线的倾斜角为A.π2B．0C．钝角D．锐角?ππ8．曲线y＝xsinx在点?－，处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为 ?22?πA.21222B．π C．2πD.＋π)29．设f0＝sinx，f1＝f0′，f2＝f1′，…，fn＋1＝fn′，n∈N，则f2011等于A．sinxB．－sinx C．cosxD．－cosx10．f与g是定义在R上的两个可导函数，若f、g满足f′＝g′，则f与g满足A．f＝g B．f－g为常数C．f＝g＝0 11．函数y＝在x＝1处的导数等于A．1 B．2C．D．412．若对任意x∈R，f′＝4x，f＝－1，则f＝第 - 1 - 页共 1页32D．f＋g为常数A．x34mB．x－D．x＋21*}的前n项和是 f44C．4x－513．设函数f＝x＋ax的导数为f′＝2x＋1，则数列{ A.n＋2nn＋1B. C.D.n＋1n＋1n－1nn14．二次函数y＝f的图象过原点，且它的导函数y＝f′的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f的图象的顶点在A．第一象限32B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．函数y＝的导数为A．6x＋12xB．4＋2xC．24252332D．2·3x316．若函数f＝ax＋bx＋c满足f′＝2，则f′＝A．－1B．－ C．2D．031017．设函数f＝，则f′＝A．0B．－1 C．－60D．6018．函数y＝sin2x－cos2x的导数是π??A．2cos?2x－?4??π??B．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2x D．22cos?2x ＋?4??119．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为42A．3B． C．11D.x220．设函数f是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f在x＝5处的切线的斜率为1A51B．5D．5?π1221．设f＝ax－bsinx，且f′＝1，f′?＝a＝________，b＝________.?3?222．设f＝x－3x－9x＋1，则不等式f′＜0的解集为________．3．曲线y＝cosx在点P?32?π，1处的切线的斜率为______．?32?x24．已知函数f＝ax＋be图象上在点P处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f的解析式是____________．25．若f＝x，φ＝1＋sin2x，则f[φ]＝_______，φ[f]＝________.6．设函数f＝cos，若f＋f′是奇函数，则φ＝________.7．函数y＝的导数为________．8．函数y＝x1＋x的导数为________．三、解答题第 - - 页共 1页22829．求下列函数的导数：1111＋x1x24x4xy＝x；y＝；y＝sin＋cosy＝xx44x1－x1x30．求下列函数的导数：e＋1x＋cosxy＝xsinx； y＝ln；yx y＝.e－1x＋sinx22x.31．求下列函数的导数：y＝cos；y＝cosx·sin3x； y＝xloga； y＝log2 2sinx232．设f＝f′＝·g，求g．1＋x33．求下列函数的导数：是可导函数)第 - - 页共 1页222x－1. x＋1?1?2y＝f??；y＝fx＋1)．?x?34．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．17．已知曲线C1：y＝x与C2：y＝－.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．18．求满足下列条件的函数f：f是三次函数，且f＝3，f′＝0，f′＝－3，f′＝0；f′是一次函数，xf′－f＝1.222第 - - 页共 1页基本初等函数的导数公式及导数运算法则答案一、选择题7?13?1．曲线yx－2在点?－1，－?处切线的倾斜角为?3?A．30° C．135° [答案] B[解析] y′|x＝－1＝1，∴倾斜角为45°.．设f31A67C6[答案] B1－1B．45° D．60°x2xx，则f′等于5B.67D.63．若曲线y＝x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 A．4x－y－3＝0C．4x－y＋3＝0[答案] A [解析] ∵直线l的斜率为4，而y′＝4x，由y′＝4得x＝1而x＝1时，y＝x＝1，故直线l的方程为：y－1＝4即4x－y－3＝0.4．已知f＝ax＋9x＋6x－7，若f′＝4，则a的值等于 A.C.193103B.D.16313332344B．x＋4y－5＝0 D．x＋4y＋3＝0[答案] B[解析] ∵f′＝3ax＋18x＋6，16∴由f′＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝.3∴选B.第 - - 页共 1页2基本初等函数的导数公式及导数运算法则1．y?x31导数为 x22．y＝xsin2x导数为3．y?x2lnx导数为ex4．y?导数为 x5．函数y＝2在x＝1处的导数等于6．函数y＝2的导数为7．设函数f＝10，则f′＝8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是9．函数y＝1＋x的导数为________．10．若对任意x∈R，f′＝4x3，f＝－1，则f＝11．江西)若函数f＝ax4＋bx2＋c满足f′＝2，则f′＝基本初等函数的导数公式及导数运算法则1．y?x31导数为 x22．y＝xsin2x导数为3．y?xlnx导数为ex4．y?导数为 x5．函数y＝2在x＝1处的导数等于6．函数y＝2的导数为7．设函数f＝10，则f′＝8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是9．函数y＝1＋x的导数为________．10．若对任意x∈R，f′＝4x3，f＝－1，则f＝11．江西)若函数f＝ax4＋bx2＋c满足f′＝2，则f′＝。
（完整）高等数学——导数练习题
（完整）高等数学——导数练习题一．选择题1.若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim000，则xx f x x f x ?-??+→?)()2(lim000等于( ) A.k 2 B.k C.k 21D.以上都不是2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( )A ．sinαB ．cosαC ．sinα+cosαD ．2sinα3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(?1)=4,则a 的值等于( )A ．319 B ．316 C ．313D ．3104.函数y =x sin x 的导数为( )A ．y ′=2x sin x +x cos xB ．y ′=x x 2sin +x cos xC ．y ′=xx sin +x cos x D ．y ′=xx sin －x cos x5.函数y =x 2cos x 的导数为( )A ．y ′=2x cos x －x 2sin xB ．y ′=2x cos x +x 2sin xC ．y ′=x 2cos x －2x sin xD ．y ′=x cos x －x 2sin x6.函数y =22xax +（a >0）的导数为0，那么x 等于（）A ．aB ．±aC ．－aD ．a 27. 函数y =xxsin 的导数为（）A ．y ′=2sin cos xxx x + B ．y ′=2sin cos xxx x - C ．y ′=2cos sin x xx x -D ．y ′=2cos sin x xx x +8.函数y =2)13(1-x 的导数是（）A ．3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3)13(6-x D ．－2)13(6-x9.已知y =21sin2x +sin x ，那么y ′是（） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值，又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数10.函数y =sin 3（3x +4π）的导数为（）A ．3sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）B ．9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）C ．9sin 2（3x +4π）D ．－9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）11.函数y =cos （sin x ）的导数为（）A ．－［sin （sin x ）］cos xB ．－sin （sin x ）C ．［sin （sin x ）］cos xD ．sin （cos x ）12.函数y =cos2x +sin x 的导数为（）A ．－2sin2x +xx2cos B ．2sin2x +xx 2cosC ．－2sin2x +xx 2sin D ．2sin2x －xx 2cos13.过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为（）A ．2y －8x +7=0B ．2y +8x +7=0C ．2y +8x －9=0D ．2y －8x +9=014.函数y =ln （3－2x －x 2）的导数为（）A ．32+x B ．2231x x -- C ．32222-++x x xD ．32222-+-x x x15.函数y =lncos2x 的导数为（）A ．－tan2xB ．－2tan2xC ．2tan xD ．2tan2x16.已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( )A. 21>-B.21≥-≤b b ，或C. 21<<-bD. 21≤≤-b 17.函数的单调递增区间是 ( )x e x x f )3()(-=A. B.(0,3) C.(1,4) D. 18.函数y =xxa 22-（a >0且a ≠1），那么y ′为（）A ．xxa 22-ln aB ．2（ln a ）xx a 22- C ．2（x －1）xx a 22-·ln aD ．（x －1）xx a22-ln a19.函数y =sin32x 的导数为（）A ．2（cos32x ）·32x ·ln3B ．（ln3）·32x ·cos32xC ．cos32xD ．32x ·cos32x20.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．421.曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y22.函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（）A ．1B ．2C ．3D ．423.已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为（）A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f24.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（）A.2B.3C.4D.525.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.(,0)-∞D.(0,2) 26.函数()323922y x x x x =---<<有（）A.极大值5，极小值－27B.极大值5，极小值－11C.极大值5，无极小值D.极小值－27，无极大27.三次函数()x ax x f +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则（）A.0>aB.0<a< p="">)2,(-∞),2(+∞C.1=aD.31=a 28.在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．029.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（）A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 30.下列求导运算正确的是（） A 、3211)1(xx x -='+B 、(log 2x )′=1xln2C 、(x 2cosx )′=?2xsinxD 、(3x )′=3x log 3e 31.已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．－1 D ．1 32.函数3y x x =+的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 33. 函数y =x ln 的导数为（）A ．2x x lnB ．x x ln 2C ．xx ln 1 D ．xx ln 2134.设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定 35.函数x x y 33-=的极大值为m ，极小值为n ，则n m +为（） A ．0 B ．1 C ．2D ．436.函数xx y 142+=单调递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),21(+∞ D ．),1(+∞37.函数在上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．有最大值D ．有最小值 38.函数xxy ln =的最大值为（） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 二．填空题1.()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是。
求导公式练习及导数与切线方程.docx
考点分析：以解答题的形式考查函数的单调性和极值；近几年高考对导数的考查每年都有, 选择题、填空题、解答题都出现过，且最近两年有加强的趋势。
知识点一：常见基本函数的导数公式（1 ）： f ： - ■-（ C 为常数-（2'I （n为有理数）/⑴=（3）/（A）=SE 兀，/ '⅛）=（4）了S）Fg，/ 'l⅛）==- sin K （5）了⑴ F, WZ（6） J-FIn&（7）丁（町=恤卞，了（可（8）「∙' √ ■，I- 工知识点二：函数四则运算求导法则设/（兀），宫G）均可导（1）和差的导数:UXQ±g（χ）]T0±N（χ）（2）积的导数：J ； Z . I Z I .■ ：■' 1Z 1丄I=J r gg〔补-fg 宣S（3）商的导数:一―「三二（"：「-）知识点三：复合函数的求导法则1•一般地，复合函数•- -H-对自变量K的导数」：，等于已知函数A对中间变量■- 「'儿的导数「丄，乘以中间变量仅对自变量T的导数'、，即■"--亠二或∕,J<P（⅛]=∕,⅛）-<P W题型一：函数求导练习例一：函数y=e x sinx的导数等于______________例二：函数y= （x2+ι）e x的导数为_______________例三：函数f (x) =CoS (2- 3x)的导数等于_____变式练习：1求函数y=—二的导数.2.求函数y= (1+cos2x) 2的导数.3 .求y=e2x cos3x 的导数.题型二：用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(χo, y o)及斜率，其求法为：设P(χo, y o)是曲线y f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y y o f (X O)(X X o).若曲线y f (x)在点P(xω f(x°))的切线平行于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为X X0.下面例析四种常见的类型及解法.类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数 f (X),并代入点斜式方程即可.例1曲线y X33X2 1在点(1, 1)处的切线方程为( )A.y 3x 4B. y 3x 2C. y4x 3D. y 4x 5解：由 f (x) 3x26x则在点(1, 1)处斜率k f (1) 3 ,故所求的切线方程为y ( 1)3(x 1),即y 3x 2 ,因而选B.2 8待定切点法.类型四：已知过曲线外一点，求切线方程类型「二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决∙例2与直线2x y 4 0的平行的抛物线y χ2的切线方程是( )A. 2xy30 B∙ 2xy30C. 2x y 1 0D. 2x y 1 0解：设P(X o, y o)为切点，则切点的斜率为y ∣χ X。
导数的基本公式14个例题
导数的基本公式14个例题一、导数的基本公式。
1. 常数函数的导数：若y = C（C为常数），则y^′=0。
- 例如：y = 5，求y^′。
- 解析：根据常数函数导数公式，y^′ = 0。
2. 幂函数的导数：若y=x^n，则y^′ = nx^n - 1。
- 例如：y=x^3，求y^′。
- 解析：根据幂函数导数公式，n = 3，所以y^′=3x^2。
- 例如：y = x^(1)/(2)，求y^′。
- 解析：n=(1)/(2)，根据公式y^′=(1)/(2)x^(1)/(2)-1=(1)/(2)x^-(1)/(2)=(1)/(2√(x))。
3. 正弦函数的导数：若y = sin x，则y^′=cos x。
- 例如：y=sin x，求y^′。
- 解析：根据正弦函数导数公式，y^′=cos x。
4. 余弦函数的导数：若y=cos x，则y^′ =-sin x。
- 例如：y = cos x，求y^′。
- 解析：根据余弦函数导数公式，y^′=-sin x。
5. 指数函数y = a^x的导数（a>0,a≠1）：y^′=a^xln a。
- 例如：y = 2^x，求y^′。
- 解析：根据指数函数导数公式，a = 2，所以y^′=2^xln2。
6. 对数函数y=log_ax的导数（a>0,a≠1,x>0）：y^′=(1)/(xln a)。
- 例如：y=log_2x，求y^′。
- 解析：根据对数函数导数公式，a = 2，所以y^′=(1)/(xln2)。
- 特别地，当a = e时，y=ln x，y^′=(1)/(x)。
- 例如：y=ln x，求y^′。
- 解析：根据自然对数函数导数公式，y^′=(1)/(x)。
7. 正切函数的导数：若y=tan x=(sin x)/(cos x)，则y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
- 例如：y = tan x，求y^′。
- 解析：根据正切函数导数公式，y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
导数练习题专升本
导数练习题专升本导数是高等数学中的一个重要概念，也是专升本考试中常常涉及的一个知识点。
掌握导数的概念和求导方法，对于专升本考试中的数学部分至关重要。
下面，我将提供一些导数练习题，帮助同学们巩固和加深对导数的理解。
1. 求下列函数的导数：a) f(x) = x^2 + 3x - 2b) g(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x + 1c) h(x) = e^x + ln(x)2. 求下列函数关于给定变量的导数：a) f(x) = sin(x)，求f'(π/6)b) g(x) = cos(2x)，求g'(π/3)c) h(x) = tan(x)，求h'(π/4)3. 求下列函数的导数，并求出在给定点处的导数值：a) f(x) = √x，求 f'(9)b) g(x) = 3/x^2，求 g'(2)c) h(x) = ln(x^2 + 1)，求 h'(1)4. 求下列函数的高阶导数：a) f(x) = x^3 - 5x^2 + 3x + 2，求 f''(x)b) g(x) = sin(2x)，求 g''(x)c) h(x) = e^x + x^2，求 h''(x)5. 求下列函数的导函数：a) f(x) = ln(x) * sin(x)b) g(x) = e^x * cos(x)c) h(x) = ln(x^2 + 1) / x以上都是一些常见的导数练习题，通过反复练习这些题目，可以加深对导数概念和求导方法的理解，提高解题能力。
在解答这些题目时，需要注意使用链式法则、乘法法则、商法则等求导规则，确保计算正确。
此外，要特别注意指数函数、对数函数、三角函数等特殊函数的求导方法。
专升本考试中的数学部分注重基础知识的掌握和运用，所以对于导数的理解和运用是至关重要的。
掌握好导数的概念和求导方法，可以帮助我们解决更复杂的数学问题，提高数学运算能力。
(完整版)导数求导练习题
同步练习1．若f （x ）=sin α－cos x ，则f ′（α）等于A ．sin αB ．cos αC ．sin α+cos αD ．2sin α2．f (x ）=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1）=4，则a 的值等于A ．319B ．316 C ．313D ．3103．函数y =x sin x 的导数为A ．y ′=2x sin x +x cos xB ．y ′=xx 2sin +x cos xC ．y ′=xx sin +x cos xD ．y ′=xx sin －x cos x4．函数y =x 2cos x 的导数为A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin xD ．y ′=x cos x －x 2sin x5。
若y =(2x 2-3）(x 2-4）,则y ’= . 6。
若y =3cosx -4sinx ,则y ’= .7．与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是______． 8．质点运动方程是s =t 2(1+sin t ）,则当t =2时，瞬时速度为___________． 9.求曲线y=x3+x2-1在点P(—1，-1)处的切线方程。
同步练习1．函数y =22xax +（a >0)的导数为0，那么x 等于A ．aB ．±aC ．－aD ．a 22．函数y =xxsin 的导数为 A ．y ′=2sin cos xxx x + B ．y ′=2sin cos xxx x - C ．y ′=2cos sin xxx x - D ．y ′=2cos sin xxx x + 3。
若21,2xy x +=-则y ’= .4。
若423335,x x y x -+-=则y'= 。
5。
若1cos ,1cos xy x+=-则y'= .6．已知f （x ）=354337xx x x ++，则f ′（x )=___________．7．已知f (x ）=xx++-1111，则f ′（x ）=___________．8．已知f （x ）=xx2cos 12sin +，则f ′（x ）=___________．9．求过点(2，0）且与曲线y =x1相切的直线的方程．10。
高等数学导数求导练习题
高等数学导数求导练习题一、基本初等函数求导1. 求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 5 的导数。
2. 求函数 f(x) = (3x + 1)^4 的导数。
3. 求函数 f(x) = 1/(x^2 1) 的导数。
4. 求函数f(x) = √(x^2 + 3) 的导数。
5. 求函数 f(x) = 2^x 3^x 的导数。
二、复合函数求导6. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^3 的导数。
7. 求函数 f(x) = sin(2x + 1) 的导数。
8. 求函数 f(x) = ln(e^x + 1) 的导数。
9. 求函数 f(x) = cos^2(x) 的导数。
10. 求函数 f(x) = (1 + x^2)^5 的导数。
三、隐函数求导11. 已知 y = x^3 + y^3，求 dy/dx。
12. 已知 x^2 + y^2 = 25，求 dy/dx。
13. 已知 e^y = x^2 + y^2，求 dy/dx。
14. 已知 sin(x + y) = y^2，求 dy/dx。
15. 已知 ln(x^2 + y^2) = 2x，求 dy/dx。
四、参数方程求导16. 已知参数方程 x = t^2，y = t^3，求 dy/dx。
17. 已知参数方程 x = cos(t)，y = sin(t)，求 dy/dx。
18. 已知参数方程 x = 2t + 1，y = 3t^2 2，求 dy/dx。
19. 已知参数方程 x = e^t，y = e^(2t)，求 dy/dx。
20. 已知参数方程 x = asin(t)，y = acos(t)，求 dy/dx。
五、高阶导数21. 求函数 f(x) = x^4 2x^3 + 3x^2 的二阶导数。
22. 求函数 f(x) = e^x sin(x) 的一阶和二阶导数。
23. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的一阶和二阶导数。
24. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^(3) 的一阶和二阶导数。
一元一次方程求导练习题
一元一次方程求导练习题一、基本求导题1. 求导数：y = 3x + 52. 求导数：y = 7 2x3. 求导数：y = 4x 64. 求导数：y = 5x + 85. 求导数：y = 9x 12二、含常数项求导题1. 求导数：y = 4x + 102. 求导数：y = 3x 83. 求导数：y = 6x + 154. 求导数：y = 8x 205. 求导数：y = 11x + 26三、含系数求导题1. 求导数：y = 5x^2 + 2x2. 求导数：y = 8x^3 3x3. 求导数：y = 4x^2 + 6x4. 求导数：y = 9x^3 5x5. 求导数：y = 7x^2 + 10x四、复合函数求导题1. 求导数：y = (3x + 4)^22. 求导数：y = (5 2x)^33. 求导数：y = (7x 6)^24. 求导数：y = (9x 8)^35. 求导数：y = (11 10x)^2五、实际应用题1. 某物体的速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系为v = 4t + 3，求物体在t = 2s时的加速度。
2. 某商品的成本C（单位：元）与生产数量x（单位：件）的关系为C = 5x + 10，求生产100件商品时的边际成本。
3. 某企业的产量Q（单位：件）与时间t（单位：天）的关系为Q = 6t 4，求企业在第3天的日产量增长率。
4. 某城市的人口P（单位：万人）与时间t（单位：年）的关系为P = 8t + 2，求该城市在未来第5年的人口增长率。
5. 某商品的销售额S（单位：万元）与广告费用x（单位：万元）的关系为S = 10x + 5，求广告费用为20万元时的销售额增长率。
六、参数方程求导题1. 已知参数方程 x = 2t + 1，y = 3t 2，求 dy/dx。
2. 已知参数方程 x = 4t^2 3，y = t^3 + 2，求 dy/dx。
3. 已知参数方程 x = cos(t)，y = sin(t)，求 dy/dx。
导数求导例题
导数求导例题导数求导是数学中一个重要的概念，它是求解函数变化率的一种方法。
它的基本概念是：一个函数的导数可以表示函数在某一点处的变化率，可以用来计算函数的变化率。
这种变化率是非常有用的，因为可以帮助我们实现函数上某一点的变化情况。
导数求导是基本微积分的重要内容之一，它是研究函数极限、积分、不定积分等数学问题的前提。
熟悉如何求取和分析函数的导数是基本微积分的主要内容。
因此，对于函数和它的极限、积分、不定积分等问题的学习，了解导数求导是至关重要的。
下面我们就以一个典型的例题来说明如何求取函数的导数。
例题：求下列函数的导数y = x^3 + 4x^2 -7解：首先我们需要定义x和y：当 x = 0，y = -7当x发生变化时，y也发生变化，即 y 与 x 之间存在函数关系：y = x^3 + 4x^2 -7此时，我们可以用累加法求函数的导数：即求函数 y = f(x)导数，则需先求函数的一阶导数。
f(x) = 3x^2 + 8x这样，我们就得到了函数 y = x^3 + 4x^2 -7一阶导数为f(x) = 3x^2 + 8x 。
接下来，我们就可以求函数的二阶导数：f(x) = 6x + 8这样，我们就得到了函数 y = x^3 + 4x^2 -7二阶导数为f(x) = 6x + 8 。
同理，求函数的三阶导数：f(x) = 6这样，我们就得到了函数 y = x^3 + 4x^2 -7三阶导数为f(x) = 6 。
因此，我们可以总结出：函数 y = x^3 + 4x^2 -7一阶导数为 f(x) = 3x^2 + 8x，二阶导数为 f(x) = 6x + 8，三阶导数为 f(x) = 6 。
了解导数求导的方法，进一步了解函数的特性也就变得更加容易，可以帮助我们深入研究函数的极限、积分、不定积分等问题。
因此，导数求导是基本微积分中的一个重要内容，非常有必要深入研究。
专升本求导练习题及答案
专升本求导练习题及答案### 专升本求导练习题及答案#### 练习题一：基本求导公式题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) 的导数。
解答：根据求导的基本公式，\( (x^n)' = nx^{n-1} \)，我们可以逐项求导：- 对于 \( 3x^2 \)，导数为 \( 2 \times 3x = 6x \)。
- 对于 \( 2x \)，导数为 \( 1 \times 2 = 2 \)。
- 对于常数项 \( -5 \)，导数为 \( 0 \)。
因此，\( f'(x) = 6x + 2 \)。
#### 练习题二：复合函数求导题目：求函数 \( g(x) = (2x^3 - 1)^4 \) 的导数。
解答：使用链式法则求导，设 \( u(x) = 2x^3 - 1 \)，则 \( g(x) = u^4 \)。
- 首先求 \( u(x) \) 的导数：\( u'(x) = 6x^2 \)。
- 然后应用链式法则：\( g'(x) = 4u^3 \cdot u'(x) \)。
- 代入 \( u(x) \) 和 \( u'(x) \) 的值：\( g'(x) = 4(2x^3 -1)^3 \cdot 6x^2 \)。
#### 练习题三：隐函数求导题目：已知 \( xy^3 + y\sin(x) = 1 \)，求 \( y \) 关于 \( x \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \)。
解答：首先对等式两边同时对 \( x \) 求导：- 对 \( xy^3 \) 求导，使用乘积法则：\( y^3 + 3xy^2 \cdot\frac{dy}{dx} \)。
- 对 \( y\sin(x) \) 求导，同样使用乘积法则：\( \sin(x) +y\cos(x) \cdot \frac{dy}{dx} \)。
将求导结果代入原方程，得到：\[ y^3 + 3xy^2 \cdot \frac{dy}{dx} + \sin(x) + y\cos(x) \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \]将含有 \( \frac{dy}{dx} \) 的项移到方程一边，解出\( \frac{dy}{dx} \)：\[ \frac{dy}{dx} (3xy^2 + y\cos(x)) = -y^3 - \sin(x) \]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{-y^3 - \sin(x)}{3xy^2 + y\cos(x)} \]#### 练习题四：参数方程求导题目：已知参数方程 \( x = t^2 \)，\( y = \sin(t) \)，求 \( y \) 关于 \( x \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \)。
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同步练习
1．若f （x ）=sin α－cos x ，则f ′（α）等于
A ．sin α
B ．cos α
C ．sin α+cos α
D ．2sin α 2．f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′（－1）=4，则a 的值等于
A ．319
B ．316
C ．313
D ．310
3．函数y =x sin x 的导数为
A ．y ′=2x sin x +x cos x
B ．y ′=
x
x 2sin +x cos x
C ．y ′=x
x sin +x cos x D ．y ′=
x
x sin －x cos x
4．函数y =x 2cos x 的导数为 A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin x D ．y ′=x cos x －x 2sin x
5.若y =(2x 2-3)(x 2-4),则y ’= .
6. 若y =3cosx -4sinx ,则y ’= .
7．与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是______．
8．质点运动方程是s =t 2（1+sin t ），则当t =2
时，瞬时速度为___________．
9.求曲线y=x3+x2-1在点P （-1，-1）处的切线方程.
同步练习
1．函数y =2
2x a
x +（a >0）的导数为0，那么x 等于
A ．a
B ．±a
C ．－a
D ．a 2
2．函数y =x
x
sin 的导数为
A ．y ′=2
sin cos x
x
x x + B ．y ′=
2
sin cos x
x
x x - C ．y ′=2
cos sin x
x
x x -
D ．y ′=2
cos sin x x
x x + 3.若2
1,2x
y x +=-则y ’= .
4.若423
335
,x x y x -+-=
则y ’= . 5.若1cos ,1cos x
y x
+=
-则y ’= .
6．已知f （x ）=
3
54
33
7x
x x x ++，则f ′（x ）=___________．
7．已知f （x ）=x
x
++-1111，则f ′（x ）=___________．
8．已知f （x ）=x
x
2cos 12sin +，则f ′（x ）=___________．
9．求过点（2，0）且与曲线y =x
1
相切的直线的方程．
10.质点的运动方程是23
,s t t
=+求质点在时刻t=4时的速度.
同步练习
1．函数y =
2
)
13(1
-x 的导数是 A ．
3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3)13(6-x D ．－2
)13(6
-x
2．已知y =
2
1
sin2x +sin x ，那么y ′是 A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值，又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数
3．函数y =sin 3（3x +4π
）的导数为
A ．3sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）
B ．9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π
）
C ．9sin 2（3x +4π）
D ．－9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π
）
4.若y=（sinx-cosx 3)，则y ’= .
5. 若y=2cos 1x +，则y ’= .
6. 若y=sin 3(4x+3)，则y ’= .
7．函数y =（1+sin3x ）3是由___________两个函数复合而成．
8．曲线y =sin3x 在点P （3π
，0）处切线的斜率为___________．
9.求曲线2211
(2,)(3)4
y M x x =-在处的切线方程.
10. 求曲线sin 2(,0)y x M π=在处的切线方程.
同步练习
1．函数y =cos （sin x ）的导数为
A ．－［sin （sin x ）］cos x
B ．－sin （sin x ）
C ．［sin （sin x ）］cos x
D ．sin （cos x ）
2．函数y =cos2x +sin x 的导数为
A ．－2sin2x +
x
x
2cos B ．2sin2x +
x
x 2cos
C ．－2sin2x +x
x 2sin D ．2sin2x －
x
x 2cos
3．过曲线y =
11+x 上点P （1，2
1
）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 A ．2y －8x +7=0 B ．2y +8x +7=0 C ．2y +8x －9=0 D ．2y －8x +9=0
4．函数y =x sin （2x －2π）cos （2x +2
π
）的导数是______________．
5．函数y =)32cos(π
-x 的导数为______________．
6．函数y =cos 3
x 1的导数是___________．
1．函数y =ln （3－2x －x 2）的导数为
A ．32+x
B ．
2
231
x x --
C ．3
2222-++x x x
D ．32222-+-x x x
2．函数y =lncos2x 的导数为
A ．－tan2x
B ．－2tan2x
C ．2tan x
D ．2tan2x
3．函数y =x ln 的导数为
A ．2x x ln
B ．
x
x ln 2
C ．x
x ln 1 D ．
x
x ln 21
4．在曲线y =
5
9
++x x 的切线中，经过原点的切线为________________． 5．函数y =log 3cos x 的导数为___________． 6.函数y =x 2lnx 的导数为 .
7. 函数y =ln （lnx ）的导数为 . 8. 函数y =lg (1+cosx )的导数为 . 9. 求函数y =ln 2
2
132x x +-的导数．
10. 求函数y =
12．求函数y =ln （21x +－x ）的导数．
1．下列求导数运算正确的是
A ．（x +x 1）′=1+21x
B ．（log 2x ）′=2ln 1
x
C ．（3x ）′=3x log 3e
D ．（x 2cos x ）′=－2x sin x 2．函数y =x
x
a 22
-（a >0且a ≠1），那么y ′为
A ．x
x
a 22
-ln a
B ．2（ln a ）x
x a 22
-
C ．2（x －1）x
x
a 22
-·ln a
D ．（x －1）x
x
a 22
-ln a
3．函数y =sin32x 的导数为 A ．2（cos32x ）·32x ·ln3
B ．（ln3）·32x ·cos32x
C ．cos32x
D ．32x ·cos32x
4．设y =x
x e
e 2
)12(+，则y ′=___________． 5．函数y =x
22的导数为y ′=___________．
6．曲线y =e x －e ln x 在点（e ，1）处的切线方程为___________．
7.求函数y=e 2x lnx 的导数.
8．求函数y =x x （x >0）的导数．。