2021高中数学教学与测试总复习
2021高考数学学业水平试总复习第18章复数教师用书教案
复数考纲展示考情汇总备考指导（1)复数的概念①理解复数的基本概念．②理解复数相等的充要条件．③了解复数的代数表示法及其几何意义。
2018年1月T4本章的重点是复数的相关概念与复数的运算,难点是复数的运算，解决本章问题时要熟练掌握复数的相关概念，把复数问题实数化.（2)复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算．2017年1月T3 2019年1月T2 2020年1月T2②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.复数的相关概念［基础知识填充］复数的有关概念(1)定义:形如a＋b i(a，b是实数,i是虚数单位)的数叫作复数，其中a叫作实部，b叫作虚部．(2)分类：满足条件(a,b为实数）复数的分类a＋b i为实数⇔b＝0a＋b i为虚数⇔b≠0a＋b i为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d（a，b,c，d∈R)．(4）共轭复数:a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）．(5）模：向量错误!的模叫作复数z＝a＋b i的模,记作|z|，即|z｜＝错误!（a，b∈R)．［学考真题对练］(2018·1月广东学考）设i是虚数单位，x是实数,若复数错误!的虚部是2，则x＝（）A．4 B．2C．－2 D．－4D［∵x1＋i＝错误!＝错误!－错误!i，∴－错误!＝2⇒x＝－4，故选D．]解决复数概念问题的方法及注意事项:（1）复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．（2）解题时一定要先看复数是不是a＋b i(a,b∈R）的形式，以确定实部和虚部．［最新模拟快练］1．（2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题）若复数z满足i·z＝－错误!（1＋i），则z的共轭复数的虚部是（) A．－错误!i B．错误!iC．－错误!D．错误!C[z＝错误!＝错误!i（1＋i）＝－错误!＋错误!i，共轭复数为－错误!－错误!i，虚部为－错误!.故选C．]2．（2019·佛山市学考模拟)设a,b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的(）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[因为a，b∈R，当“a＝0"时“复数a＋b i不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋b i＝0∈R”．而当“复数a＋b i是纯虚数”，则“a＝0"一定成立．所以a，b∈R,“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要不充分条件．］3．(2019·中山市学考模拟)若复数z满足i(z－3）＝－1＋3i(其中i是虚数单位），则z的实部为（)A．6 B．1C．－1 D．－6A[∵i z－3i＝－1＋3i，∴i z＝－1＋6i,∴z＝6＋i,故z的实部为6。
广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习第17章圆锥曲线与方程教师用书教案
第17章圆锥曲线与方程考纲展示考情汇总备考指导圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．④理解数形结合的思想．⑤了解圆锥曲线的简单应用.2017年1月T62017年1月T192018年1月T132018年1月T162019年1月T152020年1月T19本章的重点是圆锥曲线的定义、方程与几何性质的应用，难点是直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解决本章问题，要注意应用数形结合的思想方法，提升自己的运算求解能力，并且对本章的习题的选择不宜过难.圆锥曲线的定义与方程1．椭圆平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点F1，F2的距离叫作椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数；(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．双曲线平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在． 3．抛物线平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F 叫作抛物线的焦点，直线l 叫作抛物线的准线．[学考真题对练]1．(2017·1月广东学考)顶点在原点，准线为x ＝－2的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8yD ．x 2＝－8yA [由准线方程x ＝－2可知焦点在x 轴上，∴－p2＝－2⇒p ＝4，由y 2＝2px 可得y 2＝8x .]2．(2018·1月广东学考)设点P 是椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若|F 1F 2|＝43，则|PF 1|＋|PF 2|＝( )A ．4B ．8C ．4 2D ．47B [∵|F 1F 2|＝43＝2c ⇒c ＝23，∴a 2＝c 2＋b 2＝(23)2＋4＝16⇒a ＝4， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×4＝8，故选B ．]1.求圆锥曲线的方程时多用定义法和待定系数法，利用定义确定形状时，一定要注意定义的实质，如椭圆时2a ＞|F 1F 2|.2．求圆锥曲线标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，后定量，即先确定焦点所在的位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了方便，也可设方程为mx 2＋ny 2＝1的形式．3．对求抛物线的标准方程，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．[最新模拟快练]1．(2019·珠海市学考模拟)椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2， 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，可得|PF 2|＝8.]2．(2019·深圳市学考模拟)若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( )A ．－1<m <3B ．m >－1C ．m >3D ．m <－1B [依题意应有m ＋1>0，即m >－1.]3．(2019·韶关市高二期末检测)已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 24＋y 2＝1C ．y 24＋x 23＝1D ．y 24＋x 2＝1A [c ＝1，a ＝12×(2＋12＋0＋2－12＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]4．(2018·佛山市高二期末)动点P 到点M (1,0)，N (－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线C [∵||PM |－|PN ||＝2＝|MN |，∴点P 的轨迹是两条射线．]5．(2019·广州市学考模拟)以F (1,0)为焦点的抛物线的标准方程是( ) A ．x ＝4y 2B ．y ＝4x 2C ．x 2＝4yD ．y 2＝4xD [∵抛物线焦点为F (1,0)，∴可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，且p2＝1，则p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .]6．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)已知直线x ＝－2交椭圆x 225＋y 221＝1于A ，B 两点，椭圆的右焦点为F 点，则△ABF 的周长为 ．20 [椭圆x 225＋y 221＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝25－21＝4，又直线x ＝－2经过椭圆x 225＋y 221＝1的左焦点F 1，且椭圆的右焦点为F，由椭圆的定义可知，△ABF的周长为AF＋BF＋AB＝AF＋AF1＋BF＋BF1＝4a＝4×5＝20.]圆锥曲线的几何性质[基础知识填充]1．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)巧设双曲线方程．(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)．3．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右向左向上向下(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.[学考真题对练]1．(2019·1月广东学考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴为A 1A 2，P 为椭圆的下顶点，设直线PA 1，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1·k 2＝－12，则该椭圆的离心率为( )A ．32B ．22C ．12D ．14B [P (0，－b )，A 1(－a,0)，A 2(a,0)，k 1＝－b －00－－a －b a ，k 2＝－b －00－a ＝b a ，k 1·k 2＝－b2a 2＝－12，令a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝a 2－b 2＝1，∴e ＝c a ＝12＝22.]2．(2018·1月广东学考)双曲线x 29－y 216＝1的离心率为 .53[由已知，得a 2＝9⇒a ＝3，b 2＝16， ∴c 2＝a 2＋b 2＝9＋16＝25⇒c ＝5，∴双曲线的离心率为e ＝c a ＝53.]3．(2020·1月广东学考)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若△AF 1B 为等边三角形，则该椭圆的离心率为 ．33 [设点A 在x 轴上方，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， ∵△AF 1B 为等边三角形，∴2a ＝3b 2a，即2a 2＝3(a 2－c 2)，故椭圆的离心率e ＝c a ＝33．故答案为33．]1.研究椭圆几何性质的关键根据椭圆方程计算椭圆的基本量时，关键是将所给方程正确地化成椭圆的标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个轴上，从而求出a ，b ，进而求出椭圆的其他有关问题．2．与双曲线几何性质有关的求法 (1)双曲线的离心率的求法依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式，解方程即可求得．(2)双曲线的渐近线方程的求法依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．[最新模拟快练]1．(2019·佛山市学考模拟)双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x C [双曲线方程可化为标准形式：x 21－y 23＝1，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x .]2．(2018·茂名市学考模拟)椭圆y 29＋x 24＝1的焦点坐标是( )A ．(0，±5)B ．(±5，0)C ．(0，±13)D ．(±13，0)A [c 2＝9－4＝5，故焦点坐标为(0，±5)．]3．(2019·广州市学考模拟)抛物线y 2＝x 的准线方程为( ) A ．x ＝14B ．x ＝－14C ．y ＝14D ．y ＝－14B [抛物线y 2＝x 的开口向右，且p ＝12，所以准线方程为x ＝－14.]4．(2019·河源市学考模拟)已知抛物线x 2＝4y 上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是( )A ．0B ．12C ．1D ．2C [根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线定义，得y M ＋1＝2，解得y M ＝1.]5．(2019·惠州市高二期末检测)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则双曲线C 的方程是( )A ．x 24－y 25＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 22－y 25＝1D ．x 22－y 25＝1B [依题意得，c ＝3，e ＝32，所以a ＝2，从而a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝5，故选B ．]6．(2020·广东学考模拟)点M (2,0)到双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．43C ．233D ．4C [双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，∵点M (2,0)到双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为1，∴2ba 2＋b2＝1，∴a 2＋b 2＝4b 2，∴a 2＝3b 2＝3(c 2－a 2)， ∴4a 2＝3c 2，即2a ＝3c ， ∴e ＝c a＝23＝233，故选C ．] 7．(2018·广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))已知F 1，F 2为椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，若|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则C 的离心率为 .12[∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即4c ＝2a ，∴e ＝c a ＝12.] 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x (或y )的一元方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．①若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ⅰ.Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； ⅱ.Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；ⅲ.Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．②若a ＝0，b ≠0，即得到一个二元一次方程，则直线l 与圆锥曲线E 相交，且只有一个交点，ⅰ.若E 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ⅱ.若E 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． (2)圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋1k2|y 2－y 1|.[最新模拟快练]1．(2018·珠海市学考模拟题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的方程；(2)若P 是该椭圆上的一个动点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值．[解] (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意ca ＝32，且a ＝2，得c ＝3，b ＝1， ∴所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x ，y )，由(1)知F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y ) ＝x 2＋y 2－3＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24－3＝34x 2－2， ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→·PF 2→有最小值－2；当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1.2．(2019·深圳市高二期末检测)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] 假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当直线AB 与x 轴不垂直时，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入椭圆方程x 2＋3y 2＝5，消去y 整理，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－43k 2＋13k 2－5>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1·x 2＝3k 2－53k 2＋1.所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2. 将上式整理，得MA →·MB →＝6m －1k 2－53k 2＋1＋m 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2m －133k 2＋1－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m－13－6m ＋1433k 2＋1. 注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，解得m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.②当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A ，B 的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，23，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23， 当m ＝－73时，亦有MA →·MB →＝49.综上，在x 轴上存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，使MA →·MB →为常数．抛物线焦点弦问题的解法(1)由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解．(2)与焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合根与系数的关键求解．(3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式，也可以利用弦长公式，但由于弦过焦点，结合抛物线的定义得出焦点弦长为x 1＋x 2＋p ，同时由弦长x 1＋x 2＋p ≥2x 1x 2＋p ＝2p 知，通径是所有弦中最短的弦．。
广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习第10章三角函数教师用书教案
第10章 三角函数考纲展示考情汇总备考指导(1)任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念．②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.本章的重点是三角函数的定义、图象和性质，难点是三角恒等变换与三角函数图象、性质的综合应用，学习时熟练掌握三角函数的图象和性质是前提条件，熟练掌握和应用三角函数公式，三角恒等变换的方法与技巧是保障.(2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)．理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝tan x⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)2017年1月T8 2018年1月T12 2018年1月T17 2019年1月T16 2020年1月T6的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.三角函数的定义1．任意角和弧度制(1)角的概念及分类：角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形．按旋转方向可分为正角、负角、零角；按终边落在平面直角坐标系中的位置，可分为象限角、轴线角．(2)终边相同角的表示：凡是与角α终边相同的角，都可以表示成α＋k ·360°(k ∈Z )的形式，特例：终边在x 轴上的角的集合为{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k ·90°，k ∈Z }．(3)弧长和扇形的面积公式：在弧度制下，扇形的弧长公式为l ＝αr ，扇形的面积公式为S ＝12lr ＝12αr 2，其中α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角的弧度数．2．任意角的三角函数的定义利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数，设P (x ，y )是角α的终边上任意一点(与原点不重合)，记r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝yr，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．[学考真题对练]1．(2017·1月广东学考)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P (5，－2)，下列等式不正确的是( )A ．sin α＝－23B ．sin(α＋π)＝23C ．cos α＝53D ．tan α＝－52D [∵r ＝x 2＋y 2＝52＋－22＝3，sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.∴A，B ，C 正确，D 错误．tan α＝y x ＝－25＝－255.] 2．(2020·1月广东学考)若sin α>0，且cos α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由sin α>0，可得α为第一、第二及y 轴正半轴上的角； 由cos α<0，可得α为第二、第三及x 轴负半轴上的角． ∴取交集可得，α是第二象限角．故选B ．]3．(2019·1月广东学考)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (4，－3)，则cos α＝ .45 [r ＝42＋－32＝5，cos α＝x r ＝45.]已知角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；方法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r，cos α＝x r.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．1．(2018·深圳市学考模拟题)已知角β的终边经过点P (1，－2)，则sin β＝( ) A ．－2 B ．－12C ．－255D ．55C [∵角β的终边经过点P (1，－2)，∴x ＝1，y ＝－2，|OP |＝5，因此根据三角函数的定义可得sin β＝－25＝－255，故选C ．]2．(2019·东莞学考模拟题)已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α等于( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34D [根据三角函数的定义，知tan α＝y x ＝－34.]3．(2019·揭阳市学考模拟题)设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( )A ．25 B ．25或－25 C ．－25D ．与a 有关C [∵a <0，∴r ＝－4a2＋ 3a2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝y r ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.]4．(2019·佛山高一期中)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第 象限．二 [因为点P (tan α，cos α)在第三象限，则tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限．]5．(2018·揭阳高一月考)已知角α的终边经过点P (m ，22)，sin α＝223且α为第二象限．(1)求m 的值；(2)若tan β＝2，求sin αcos β＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin βcos π＋αcos －β－3sin αsin β的值．[解] (1)由三角函数定义可知sin α＝223＝22m 2＋8，解得m ＝±1，∵α为第二象限角，∴m ＝－1. (2)由(1)知tan α＝－22，sin αcos β＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin βcos π＋αcos －β－3sin αsin β＝－sin αcos β＋3cos αsin βcos αcos β＋3sin αsin β＝－tan α＋3tan β1＋3tan αtan β＝－－22＋321＋－22×32＝211.三角函数的基本关系与诱导公式 [基础知识填充]1．同角三角函数的基本关系式2．三角函数的诱导公式利用三角函数的定义，可以得到诱导公式，即α＋k2π(k ∈Z )与α之间函数值的关系，主要有六组常用的诱导公式：公式一：sin(α＋k ·2π)＝sin α，k ∈Z ， cos(α＋k ·2π)＝cos α，k ∈Z ， tan(α＋k ·π)＝tan α，k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α. 公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α. [学考真题对练](2018·1月广东学考)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝23，且0<θ<π，则tan θ＝ .52 [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ＝23，且0<θ<π，∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53， ∴tan θ＝sin θcos θ＝53×32＝52.]1.用诱导公式化简三角函数的步骤(1)将负角的三角函数化为正角的三角函数． (2)将正角的三角函数化为0～2π的角的三角函数． (3)最后化为锐角的三角函数．2．求同角三角函数值的一般步骤(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限； (2)对角所在的象限进行分类讨论； (3)利用两个基本公式求出其余三角函数值；(4)根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出某三角函数值．[最新模拟快练]1．(2018·揭阳高一月考)sin 600°的值是( ) A ．12 B ．32C ．－32D ．－12C [sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°) ＝－sin 120°＝－32.] 2．(2019·韶关高二期末)已知sin α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( ) A ．14 B ．－14C ．154D ．－154B [cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－14.] 3．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．22B [∵cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12.]4．(2019·蛇口市学考模拟题)若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )A ．－23aB ．－32aC ．23a D ．32a B [由条件得－sin α－sin α＝－a ，故sin α＝a2，原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．(2019·珠海市学考模拟题)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43B ．54C ．－34D ．45D[sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.] 6．(2018·揭阳高一月考)函数y ＝sin 2x －cos x 的值域为 ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 [y ＝sin 2x －cos x ＝1－cos 2x －cos x ＝ －⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋54∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54.]三角函数的图象和性质 三角函数的图象与性质 解析式 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 RR{x |x ∈R 且x ≠k π＋x2，k ∈Z }值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎢⎡2k π－π2，⎦⎥⎤2k π＋π2(k ∈Z )上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 (k ∈Z )上递减 在[2k π－π，2k π](k ∈Z ) 上递增，在 [2k π，2k π＋π](k ∈Z )上递减在开区间⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π (k ∈Z )上都是增函数最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1无对称性对称中心： (k π，0)(k ∈Z )对称轴：x ＝k π＋π2，(k ∈Z )对称中心： ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π，(k ∈Z )对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，0(k ∈Z )对称轴： 无(2018·1月广东学考)函数f (x )＝4sin x cos x ，则f (x )的最大值和最小正周期分别为( )A ．2和πB ．4和πC ．2和2πD ．4和2πA [∵f (x )＝2sin 2x ，∴f (x )max ＝2，最小正周期为T ＝2π2＝π，故选A ．]三角函数性质的解法(1)奇偶性的判断方法：由正、余弦函数的奇偶性可判断出y ＝A sin ωx 和y ＝A cos ωx 分别为奇函数和偶函数．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期为2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为π|ω|求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．(4)求三角函数的最值(值域)：形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求最值(值域)．[最新模拟快练]1．(2019·惠州学考模拟题)函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数A [由f (－x )＝－x －sin x ＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，可知f (x )是奇函数．] 2．(2019·广州学考模拟题)下列函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2D ．y ＝|sin 2x |C [y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π；y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2.]3．(2019·汕头高一期中检测)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65 B ．1 C ．35D ．15A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.]4．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数A [y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，故选A ．]5．(2018·江门市学考模拟题)函数f (x )＝12－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈ZB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈ZC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈ZD ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z C [f (x )＝12－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 2＝－12sin 2x ，即求12sin 2x 的单调递减区间：2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z .选C ．]6．(2018·揭阳高一月考)下面结论正确的是( ) A ．sin 400°>sin 50° B ．sin 220°<sin 310° C ．cos 130°>cos 220°D ．cos(－40°)<cos 310°C [A 中sin 400°＝sin 40°<sin 50°；B 中sin 220°＝－sin 40°，sin 310°＝－sin 50°，由于sin 50°>sin 40°，所以sin 220°>sin 310°；C 中cos 220°＝cos 140°<cos 130°；D 中cos(－40°)＝cos 40°，cos 310°＝cos 50°，由于cos 50°<cos 40°，所以cos(－40°)>cos 310°，故选C ．]7．(2019·潮州高二月考)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ是偶函数，则φ＝ .π2＋k π，k ∈Z [由诱导公式得若f (x )是偶函数，则φ＝π2＋k π，k ∈Z .]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象主要有以下两种方法： ①用“五点法”作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点的纵坐标，描点、连线后得出图象．②用“图象变换法”作图：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(ⅰ)先平移后伸缩：y ＝sin x 的图象――――――――――→向左φ＞0或向右φ＜0平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象―――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(ⅱ)先伸缩后平移：y ＝sin x 的图象横坐标变成原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin ωx 的图象――――――――――――→向左φ ＞0或向右φ ＜0平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中各参数的物理意义：[最新模拟快练]1．(2019·深圳高一月考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度D [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴需要将y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．]2．(2019·佛山市学考模拟题)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数D [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数．]3．(2019·东莞市学考模拟题)下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D [由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．]4．(2019·清远市学考模拟题)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 D [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误．]5．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝ .π2 [由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T 2＝222－22，∴T ＝4，∴ω＝π2.]6．(2018·深圳市高一期中)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(其中φ为常数，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则φ＝ .π3 [由2×π3＋φ＝π得φ＝π3.] 7．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如图所示坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2π2＝π，初相为－π4.(2)列表并描点画出图象：x －π2 －3π8 －π8 π83π8 π2 2x －π4 －5π4－π－π2π23π4 y 2 1 1－2 1 1＋22故函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象是8．(2018·韶关市高一期末)实验室某一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t －π3，t ∈[0,24]．(1)求实验室这一天上午10点的温度；(2)当t 为何值时，这一天中实验室的温度最低． [解] (1)依题意f (t )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t －π3，t ∈[0,24] 实验室这一天上午10点，即t ＝10时，f (10) ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12×10－π3＝4sin π2＝4，所以上午10点时，温度为4 ℃.(2)因为0≤t ≤24，所以－π3≤π12t －π3≤5π3，令θ＝π12t －π3，即－π3≤θ≤5π3，所以y ＝4sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3故当θ＝3π2时，即t ＝22时，y 取得最小值，y min ＝4sin3π2＝－4 故当t ＝22时，这一天中实验室的温度最低．。
广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习第11章平面向量教师用书教案
第11章 平面向量考纲展示考情汇总备考指导(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景． ②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． ③理解向量的几何表示. 本章的重点是平面向量的数量积及其应用，难点是平面向量的线性运算，平面向量基本定理及其应用，解决与向量有关的问题，要始终把握向量的两个根本特征：方向和大小，透彻地理解向量数量积的意义和相关公式的应用.(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义.2018年1月T10 2019年1月T13(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2017年1月T7 2019年1月T4 2020年1月T16(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2018年1月T6(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.平面向量的线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为03.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .[学考真题对练]1.(2018·1月广东学考)如图，O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是( )A ．DA →－DC →＝AC →B ．DA →＋DC →＝DO → C ．OA →－OB →＋AD →＝DB →D ．AO →＋OB →＋BC →＝AC →D [对于A 项，DA →－DC →＝CA →，错误；对于B 项，DA →＋DC →＝2DO →，错误；对于C 项，OA →－OB →＋AD →＝BA →＋AD →＝BD →，错误；对于D 项，AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →，正确．故选D ．]2．(2019·1月广东学考)如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，BC →＝4BD →，用a ，b 表示AD →，正确的是( )A ．AD →＝14a ＋34bB ．AD →＝54a ＋14bC ．AD →＝34a ＋14bD ．AD →＝54a －14bC [AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14BC →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝14AC →＋34AB →＝34a ＋14b .]3．(2020·1月广东月考)设向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，m )，若b ∥a ，则m ＝ . －6 [根据题意，向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，m )， 若b ∥a ，则有1×m ＝3×(－2)，即m ＝－6.]平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略：(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．[最新模拟快练]1．(2019·珠海高一期中)化简AB →＋BD →－AC →－CD →＝( ) A ．AD → B ．DA → C ．BC →D ．0D [AB →＋BD →－AC →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0.]2.(2019·佛山市学考模拟)如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →A [CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.]3.(2018·珠海市高一期中)如图所示，在三角形ABC 中，BD ＝2CD ．若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．13a ＋23bB ．23a ＋13bC ．23a －13b D ．23a －23b A [∵BC →＝AC →－AB →＝b －a ， ∴BD →＝23BC →＝23b －23a ，∴AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23b －23a ＝13a ＋23b .]4.(2019·汕头高一月考)如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋cA [DC →＝AC →－AD →＝AB →＋BC →－AD →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c .]5．(2019·东莞市学考模拟)平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形B [因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →，所以AB 綊CD ，故四边形ABCD 是平行四边形．]6．(2020·广东学考模拟)若a ＝(2,3)与b ＝(－4，y )共线，则y ＝ . －6 [若a ＝(2,3)与b ＝(－4，y )共线，则2y －3×(－4)＝0. 解得y ＝－6.]平面向量的坐标运算[基础知识填充]1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 2．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[学考真题对练]1．(2019·1月广东学考)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2，－1)，则|a ＋b |＝( ) A ．1 B ． 5 C ．5D ．25C [a ＋b ＝(4，－3)，|a ＋b |＝42＋－32＝5.]2．(2017·1月广东学考)已知三点A (－3,3)，B (0,1)，C (1,0)，则|AB →＋BC →|＝( ) A ．5 B ．4 C ．13＋ 2D ．13－ 2A [∵AB →＝(3，－2)，BC →＝(1，－1)， ∴AB →＋BC →＝(4，－3)， ∴|AB →＋BC →|＝42＋－32＝5.]平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题，A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．[最新模拟快练]1．(2018·佛山市高一月考)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(6,3) B ．(7,3) C ．(2,1)D ．(7,2)B [a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．]2．(2019·佛山高一期末)已知 AB →＝(1，－1)，C (0,1)，若CD →＝2AB →，则点D 的坐标为( ) A ．(－2,3) B ．(2，－3) C ．(－2,1)D ．(2，－1)D [设D (x ，y )，则CD →＝(x ，y －1)，2AB →＝(2，－2)，根据CD →＝2AB →得(x ，y －1)＝(2，－2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y －1＝－2，解得D (2，－1)．]3．(2019·东莞市学考模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则实数x 的值为( )A ．8B ．2C ．－2D ．－8B [∵a ∥b ，∴4－2x ＝0，得x ＝2.]4．(2019·深圳市高一月考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2D [由⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.]5．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，若a ∥b ，则tan θ＝( )A ．33 B ． 3C ．－33D ．－ 3B [∵a ∥b ，∴sin θ－3cos θ＝0，即sin θ＝3cos θ.故tan θ＝ 3.] 6．(2019·惠州市学考模拟)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为 ．⎝⎛⎭⎪⎫35，－45 [∵AB→＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.]平面向量的数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积 定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a·b投影|a |cos θ叫作向量a 在b 方向上的投影，|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a·a . (4)cos θ＝a·b|a ||b |. (5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则 (1)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.[学考真题对练](2018·1月广东学考)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(0,2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．(2a －b )⊥b C ．|a |＝|b |D ．a·b ＝3B [对于A 项，1×2－0×1≠0，错误；对于B 项，2a －b ＝(2,0)，b ＝(0,2)， 则2×0＋0×2＝0⇒(2a －b )⊥b ，正确；对于C 项，|a |＝2，|b |＝2，错误； 对于D 项，a·b ＝1×0＋1×2＝2，错误．故选B ．]求两个向量的数量积的三种方法 (1)利用定义，a·b ＝|a ||b |cos θ. (2)利用向量的坐标运算，a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)利用数量积的几何意义．[最新模拟快练]1．(2019·广州高一期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－1)，若a ⊥b ，则实数x 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即x －2＝0，解得x ＝2.]2．(2019·汕头市学考模拟)已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，若(k a ＋b )⊥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．－3B ．3C ．－13D ．13D [因为a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，(k a ＋b )⊥(3a －b )，所以(k a ＋b )(3a －b )＝0，即3k －1＝0，k ＝13.]3．(2019·肇庆高一期末)已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2B [∵|a|＝10，|b|＝5，a·b ＝5.∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝510×5＝22.又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]．∴a 与b 的夹角为π4.]4．(2019·惠州市学考模拟)已知|a |＝32，|b |＝6，且a ＋b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是( )A ．30°B ．90°C ．45°D ．135°D [设a 与b 的夹角为θ，则由题意可得a ·b ＝32×6cos θ＝182cos θ，又因为(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝18＋182cos θ＝0，可得cos θ＝－22，∴θ＝135°.] 5．(2019·东莞高一月考)已知|a|＝3，|b|＝32，a·b ＝34，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．150°A [由|a·b|＝|a||b |cos θ＝3×32 cos θ＝34，得cos θ＝12，又θ∈[0°，180°]，∴向量a 与b 的夹角θ＝60°.]6．(2018·韶关市高一期末)在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则AB →·BC →＝( ) A ．18 B ．36 C ．－18D ．－36C [易得cos B ＝35，则AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝5×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－18.]7．(2018·茂名市学考模拟)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(m,1)．若向量a ，b 的夹角为2π3，则实数m ＝( )A ．－ 3B ． 3C ．－3或0D ．2- 2 - A[cos 2π3＝3m ＋12m 2＋1＝－12，解得m ＝－ 3.] 8．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试模拟)已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －3b |等于( )A ．7B ．10C ．13D ．4A [|a －3b |2＝|a |2＋9|b |2－6|a ||b |cos 60°＝1＋9－6×1×1×12＝7，故|a －3b |＝7.]9.(2018·揭阳学考模拟题)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，D 在斜边BC 上，且CD ＝2DB ，那么AB →·AD →的值为( )A ．3B ．5C ．6D ．9C [AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝AB →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋13AC →－AB →＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →＝23|AB →|2＝6.] 10．(2019·蛇口市学考模拟)已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，－2)，若a ⊥b ，则|a |＝ .52 [由于a ⊥b ，故a ·b ＝－1－2x ＝0，x ＝－12，故|a |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋12＝52.]。
广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习第1章集合与函数概念教师用书教案
第1章集合与函数概念考纲展示考情汇总备考指导函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质.2017年1月T2，2017年1月T14，2018年1月T32018年1月T142019年1月T32019年1月T192020年1月T52020年1月T7集合的基本运算1．集合的概念与性质集合是指定的某些对象的全体．集合中元素的特性有：确定性(集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可)、互异性(集合中的元素应该是互不相同的)、无序性(集合中元素的排列是无序的)．元素和集合的关系是属于或不属于关系．表示集合的方法要掌握字母表示法、列举法、描述法及Venn图法．根据元素个数的多少集合可分为：有限集、无限集．2．集合间的基本关系及基本运算关系或运算自然语言符号语言图形语言A⊆B(或B⊇A)集合A中任意一个元素都是集合B中的元素.A⊆B(或B⊇A) ⇔(x∈A⇒x∈B)A∩B由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合.A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合.A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A已知全集U，集合A⊆U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做A相对于U的补集.∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}1．(2018·1月广东学考)已知集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|－1≤x<2}，则M∩N＝( ) A．{0,1,2} B．{－1,0,1}C．M D．NB[M∩N＝{－1,0,1}，故选B．]2．(2019·1月广东学考)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{－2，0,2}，则A∪B＝( ) A．{0,2} B．{－2,4}C．[0,2] D．{－2,0,2,4}D[A∪B＝{－2,0,2,4}．]3．(2020·1月广东学考)已知集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{1,2,3}，则M∪N＝( ) A．M B．NC．{－1,0,1,2,3} D．{1,2}C[∵M＝{－1,0,1,2}，N＝{1,2,3}，∴M∪N＝{－1,0,1,2,3}．故选C．]集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．[最新模拟快练]1．(2020·广东学考模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3,4}，故选A．]2．(2019·深圳学考模拟题)已知A＝{2,4,5}，B＝{3,5,7}，则A∪B＝( )A．{5} B．{2,4,5}C．{3,5,7} D．{2,3,4,5,7}D[A∪B＝{2,3,4,5,7}，故选D．]3．(2019·佛山高一期中) 设集合A＝{x|－2＜x＜7 }，B＝{x|x＞1，x∈N}，则A∩B 的元素的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6C[A∩B＝{x|－2＜x＜7，且x＞1，x∈N} ，即A∩B＝{2,3,4,5,6}，因此，A与B的交集中含有5个元素．]4．(2018·深圳市高一月考)若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则( ) A．A B B．A BC．A＝B D．A∩B＝∅A[因2x>0，而x2≥0，∴B A．]5．(2018·东莞市高一期末)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B 等于( )A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅C[A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，所以A∩B＝{x|0≤x≤1}．]6．(2018·佛山市高一期末)已知全集U＝R，则正确表示集合A＝{－1,0,1}和B＝{x|x2＝x}关系的韦恩图是( )B[∵集合B＝{x|x2＝x}，∴集合B＝{0,1}，∵集合A＝{－1,0,1}，∴B⊆A．]7．(2019·广州高一月考)已知集合A＝{x|－2<x<3}，集合B＝{x|x<1}，则A∪B＝( ) A．(－2,1) B．(－2,3)C．(－∞，1) D．(－∞，3)D[∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x<1}，∴A∪B＝{x|x<3}＝(－∞，3)．选D．]8．(2019·潮州高一期末)已知集合A＝{3,4,5,6}，B＝{a}，若A∩B＝{6}，则a＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6D [∵A ∩B ＝{6}，∴6∈B ，∴a ＝6.]函数及其表示1．函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．2．函数的三要素定义域、值域和对应关系． 3．函数的表示解析法、列表法、图象法．[学考真题对练]1．(2018·1月广东学考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－1，x ≥02x，x <0，设f (0)＝a ，则f (a )＝( )A ．－2B ．－1C ．12D ．0C [∵a ＝f (0)＝03－1＝－1，∴f (a )＝f (－1)＝2－1＝12，故选C ．]2．(2019·1月广东学考)函数y ＝log 3(x ＋2)的定义域为( ) A ．(－2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．[2，＋∞)A [x ＋2>0，x >－2.]3．(2020·1月广东学考)函数f (x )＝x 2－4x 的定义域是( ) A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D ．(－∞，0]∪ [4，＋∞)D [要使f (x )有意义，则x 2－4x ≥0，解得x ≤0或x ≥4， ∴f (x )的定义域是(－∞，0]∪ [4，＋∞)．故选D ．]1.常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R . (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R . (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．1．(2019·揭阳学考模拟题)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，0]∪[1，＋∞) C ．(0,1)D ．[0,1]A [由题意得：x 2－x >0，解得：x >1或x <0，故函数的定义域是(－∞，0)∪(1，＋∞)．]2．(2019·汕头学考模拟题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤02x ＋1，x >0，则f (－2)＋f (1)＝( )A ．3B ．6C ．7D ．10B [f (－2)＋f (1)＝3＋3＝6.]3．(2019·深圳高一月考)下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )A [A 选项中，当x ＝0时，有两个y 与之对应，与定义矛盾．]4．(2018·东莞市高一月考)若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 B [设t ＝3x ＋2，∴x ＝t －23，所以函数式转化为f (t )＝3(t －2)＋8＝3t ＋2，所以函数式为f (x )＝3x ＋2.]5．(2018·汕头市高一期中)下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝1，y ＝xxB ．y ＝x －1×x ＋1，y ＝x 2－1 C ．y ＝x ，y ＝3x 3D ．y ＝|x |，y ＝(x )2C [A 选项y ＝1，y ＝x x定义域不同，不表示同一函数；B ．y ＝x －1×x ＋1，y ＝x 2－1定义域不同，不表示同一函数；D ．y ＝|x |，y ＝(x )2定义域不同，不表示同一函数，选C ．]6．(2019·广州高一期末)函数y ＝x |x |的图象大致是( )C [y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以选C ．]函数的基本性质1．函数的最值函数最大(小)值首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ；其次函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )．2．函数的单调性如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜(＞)f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增(减)函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．3．函数的奇偶性如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )[f (－x )＝－f (x )]，那么函数f (x )就称为偶(奇)函数．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．函数的奇偶性是一个整体的概念．函数具有奇偶性的一个前提条件是定义域关于原点对称．[学考真题对练]1．(2018·1月广东学考)设函数f (x )是定义在R 上的减函数，且f (x )为奇函数，若x 1<0，x 2>0，则下列结论不正确的是( )A ．f (0)＝0B ．f (x 1)>0C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2≤f (2)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1≤f (2)D [对于A 项，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，正确； 对于B 项，∵f (x )为R 上的减函数，∴x 1<0⇒f (x 1)>f (0)＝0，正确； 对于C 项，∵x 2>0，∴x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2(当且仅当x 2＝1x 2，即x 2＝1时等号成立)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2≤f (2)，正确；对于D 项，∵x 1<0，∴x 1＋1x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1＋1－x 1≤－2－x 1·1－x 1＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1≥f (－2)＝－f (2)，错误．故选D ．]2．(2020·1月广东学考)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋3 B ．f (x )＝x 2－2 C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝1xB [对于A ，f (x )＝x ＋3，为一次函数，不是偶函数，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 2－2，为二次函数且其对称轴为y 轴，是偶函数，符合题意， 对于C ，f (x )＝x 3，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝1x，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意；故选B ．]3．(2019·1月广东学考)已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－4x ，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝ .－x 2－4x [∵x >0时，f (x )＝x 2－4x ， ∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝x 2＋4x ，又∵y ＝f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x .](1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.[最新模拟快练]1．(2019·佛山高一月考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1C [函数y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数，y ＝2x为非奇非偶函数，y ＝x 2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C ．]2．(2020·广东学考模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (1)的x 取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(－1,1)B [根据题意，f (x )为偶函数，则f (2x －1)<f (1)⇒f (|2x －1|)<f (1)， 又由函数在区间[0，＋∞)上单调递增， 则f (|2x －1|)<f (1)⇒|2x －1|<1， 解得：0<x <1，故选B ．]3．(2018·东莞市高一月考)已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A ．12B ．－12C ．1D ．－1A [∵函数f (x )＝1x 在区间[1,2]上单调递减，∴A ＝1，B ＝12，∴A －B ＝12，故选A ．]4．(2019·揭阳高一期末)f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝ .－2 [f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2.]5．(2019·中山学考模拟题)若函数y ＝3x 2－ax ＋5在[－1,1]上是单调函数，则实数a 的取值范围是 ．(－∞，－6]∪[6，＋∞) [因为函数y ＝3x 2－ax ＋5在[－1,1]上是单调函数，所以a6≤－1或a6≥1，解得a ≤－6或a ≥6.∴实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[6，＋∞)．]6．(2018·广州市学考模拟题)已知指数函数y ＝g (x )满足：g (2)＝4，定义域为R 的函数f (x )＝－g x ＋n2g x ＋m是奇函数．(1)确定y ＝g (x )的解析式；(2)求m ，n 的值；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．[解] (1)由题意设g (x )＝a x ，a >0且a ≠1，则g (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，所以y ＝g (x )＝2x .(2)由(1)知：f (x )＝－2x ＋n 2x ＋1＋m ，因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即n －12＋m＝0⇒n ＝1，∴f (x )＝1－2x 2x ＋1＋m ，又由f (1)＝－f (－1)知1－24＋m ＝－1－12m ＋1⇒m ＝2. (3)由(2)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式： f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2，即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.。
2021广东省高三数学学业水平合格考试总复习教师用书：第章圆与方程
考纲展示考情汇总备考指导圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2017年1月T122018年1月T192019年1月T122020年1月T12本章的重点是求根据所给条件求圆的方程、直线与圆的位置关系的判定与应用,难点是与圆有关的综合问题，解决与圆有关的问题时，要特别注意应空间直角坐标系①了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置．②会推导空间两点间的距离公式。
用圆的几何性质，而不是只应用代数运算，前者往往更简洁.求圆的方程1．圆的标准方程圆心坐标是(a,b),半径是r的圆的标准方程是(x－a）2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般方程当方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0满足D2＋E2－4F〉0时表示圆，此圆的圆心坐标为错误!，半径为错误!错误!.［学考真题对练]1．（2017· 1月广东学考)已知点A（－1, 8）和B（5，2），则以线段AB为直径的圆的标准方程是（)A．（x＋2)2＋(y＋5）2＝3错误!B．(x＋2)2＋（y＋5)2＝18C．(x－2)2＋（y－5)2＝32D．(x－2)2＋(y－5）2＝18D［圆的标准方程为(x－a)2＋（y－b）2＝r2，其中圆心为C错误!＝（2,5），半径为r＝错误!错误!＝3错误!.∴所求圆的标准方程为(x－2）2＋（y－5)2＝18.］2．（2018· 1月广东学考）圆心为两直线x＋y－2＝0和－x＋3y ＋10＝0的交点，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程是．(x－4）2＋(y＋2)2＝2 ［联立错误!得错误!⇒圆心为(4,－2），则圆心(4，－2)到直线x＋y－4＝0的距离为d＝错误!＝错误!，故圆的半径为错误!。
∴圆的标准方程为(x－4)2＋（y＋2）2＝2。
《高中数学教学与测试》(总复习)学生用书-课后练习B册Ch1-3
櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐殾殾殾殾练习巩固思考运用拓展探究犅册班 级姓 名学 号２ 充要条件与量词 班级： 姓名： 学号：１．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）Ａ．任意一个有理数，它的平方是有理数Ｂ．任意一个无理数，它的平方不是有理数Ｃ．存在一个有理数，它的平方是有理数Ｄ．存在一个无理数，它的平方不是有理数２．下列命题是假命题的是（ ）Ａ． 狓∈犚，ｌｏｇ２狓＝０Ｂ． 狓∈犚，ｃｏｓ狓＝１Ｃ． 狓∈犚，狓２＞０Ｄ． 狓∈犚，２狓＞０３．（２０１８·上海卷）已知犪∈犚，则“犪＞１”是“１犪＜１”的（ ）Ａ．充分非必要条件Ｂ．必要非充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既非充分又非必要条件４．（２０１９·全国Ⅱ卷）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）Ａ．α内有无数条直线与β平行Ｂ．α内有两条相交直线与β平行 Ｃ．α，β平行于同一条直线Ｄ．α，β垂直于同一平面５．（多选）下列结论正确的有（ ）Ａ．若犪＞犫＞０，则犪犮２＞犫犮２Ｂ．命题“ 狓＞０，２狓≥狓２”的否定是“ 狓＞０，２狓＜狓２”Ｃ．“三个连续自然数的乘积是６的倍数”是存在性命题Ｄ．“狓＜１”是“狓－１２＜１２”的必要不充分条件６．（多选）使不等式１＋１狓＞０成立的一个充分不必要条件是（ ）Ａ．狓＞２Ｂ．狓≥０Ｃ．狓＜－１或狓＞１Ｄ．－１＜狓＜０［］，ｔａｎ狓≤犿”是真命题，则实数犿的最小值为．７．若“ 狓∈０，π４８．（２０１８·北京卷）能说明“若犳（狓）＞犳（０）对任意的狓∈（０，２］都成立，则犳（狓）在［０，４４７２］上是增函数”为假命题的一个函数是．９．已知集合犃＝｛狓１４＜２狓≤８｝，犅＝｛狓｜狓２－２犿狓＋犿２－１＜０｝，犆＝｛狓｜｜狓－犿｜＜２｝．（１）若犿＝２，求集合犃∩犅．（２）在犅，犆两个集合中任选一个，补充在下面的问题中，并解答：条件狆：狓∈犃，条件狇：狓∈，求使狆是狇的必要非充分条件的犿的取值范围．１０．设命题狆：实数狓满足狓２－４犪狓＋３犪２＜０，命题狇：实数狓满足｜狓－３｜＜１．（１）若犪＝１，且狆，狇同为真命题，求实数狓的取值范围；（２）若犪＞０且狇是狆的充分不必要条件，求实数犪的取值范围．４４８１１．下列命题是真命题的是（ ）Ａ． 狓０∈犚，ｅ狓０≤０Ｂ． 狓∈犚，２狓＞狓２Ｃ．犪＋犫＝０的充要条件是犪犫＝－１Ｄ．犪＞１，犫＞１是犪犫＞１的充分条件１２．（多选）下列命题正确的是（ ）Ａ． 狓＞０，ｌｎ狓＋１ｌｎ狓≤２Ｂ．命题“ 狓∈（０，＋∞），ｌｎ狓＝狓－１”的否定是“ 狓∈（０，＋∞），ｌｎ狓≠狓－１”Ｃ．设狓，狔∈犚，则“狓≥２且狔≥２”是“狓２＋狔２≥４”的必要不充分条件Ｄ．设犪，犫∈犚，则“犪≠０”是“犪犫≠０”的必要不充分条件１３．已知狆：｜狓｜≤犿（犿＞０），狇：－１≤狓≤４，若狆是狇的充分条件，则犿的最大值为；若狆是狇的必要条件，则犿的最小值为．１４．命题狆：实数犿满足不等式犿２－３犪犿＋２犪２＜０（犪＞０）；命题狇：实数犿满足方程狓２犿－１＋狔２犿－５＝１表示双曲线．（１）若命题狇为真命题，求实数犿的取值范围；（２）若狆是狇的充分不必要条件，求实数犪的取值范围．４４９ １５．已知函数犳（狓）＝３狓２＋２狓－犪２－２犪，犵（狓）＝１９６狓－１３，若对任意狓１∈［－１，１］，总存在狓２∈［０，２］，使得犳（狓１）＝犵（狓２）成立，求实数犪的取值范围．（１）已知实数集犃＝｛狓｜犪１狓＝犫１，犪１犫１≠０｝，犅＝｛狓｜犪２狓＝犫２，犪２犫２≠０｝，证明：犃＝犅的充要条件是犪１犪２＝犫１犫２；（２）已知实数集犃＝｛狓｜犪１狓２＋犫１狓＋犮１＝０，犪１犫１犮１≠０｝，犅＝｛狓｜犪２狓２＋犫２狓＋犮２＝０，犪２犫２犮２≠０｝，问犪１犪２＝犫１犫２＝犮１犮２是犃＝犅的什么条件？请给出说明过程．４５０ ４ 基本不等式 班级： 姓名： 学号：１．函数犳（狓）＝狓２＋４｜狓｜的最小值为（ ）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８２．若狓＞０，狔＞０，则狓＋２狔＝２２狓槡狔的一个充分不必要条件是（ ）Ａ．狓＝狔Ｂ．狓＝２狔Ｃ．狓＝２且狔＝１Ｄ．狓＝狔或狔＝１３．若正数犿，狀满足２犿＋狀＝１，则１犿＋１狀的最小值为（ ）Ａ．３＋２槡２Ｂ．３＋槡２Ｃ．２＋２槡２Ｄ．３４．已知正数狓，狔满足３狓狔＋狔２－４＝０，则３狓＋５狔的最小值为（ ）Ａ．１Ｂ．４Ｃ．８Ｄ．１６５．（多选）下列函数的最大值是１２的是（ ）Ａ．狔＝狓２＋１１６狓２Ｂ．狔＝狓１－狓槡２，狓∈［０，１］Ｃ．狔＝狓２狓４＋１Ｄ．狔＝狓＋４狓＋２，狓＞－２６．（多选）设正实数狓，狔满足狓＋２狔＝３，则下列说法正确的是（ ）Ａ．狔狓＋３狔的最小值为４Ｂ．狓狔的最大值为９８Ｃ．槡狓＋２槡狔的最小值为槡６Ｄ．狓２＋４狔２的最小值为９２７．已知正实数狓，狔满足狓＋狔＝１，则狔狓＋２狓狔的最小值为．８．（２０１９·天津卷）设狓＞０，狔＞０，狓＋２狔＝５，则（狓＋１）（２狔＋１）狓槡狔的最小值为．４５１ ９．已知狓＞３，求狔＝狓＋４狓－３的最小值，并说明狓为何值时狔取得最小值．下面是某位同学的解答过程：解：因为狓＞３，所以４狓－３＞０，根据均值不等式有狔＝狓＋４狓－３≥２狓·４狓－３槡，其中等号成立当且仅当狓＝４狓－３，即狓（狓－３）＝４，解得狓＝４或狓＝－１（舍），所以狔＝狓＋４狓－３的最小值为２４×４４－３槡＝８．因此，当狓＝４时，狔＝狓＋４狓－３取得最小值８． 该同学的解答过程是否有错误？如果有，请指出错误的原因，并给出正确的解答过程．１０．若犪＞０，犫＞０，且１犪＋１犫＝槡犪犫．（１）求犪３＋犫３的最小值；（２）是否存在犪，犫，使得２犪＋３犫＝６？请说明理由．１１．在△犃犅犆中，犃＝π６，△犃犅犆的面积为２，则２ｓｉｎ犆ｓｉｎ犆＋２ｓｉｎ犅＋ｓｉｎ犅ｓｉｎ犆的最小值为（ ）Ａ．槡３２Ｂ．槡３３４Ｃ．３２Ｄ．５３４５２１２．（多选）设狓，狔∈（０，＋∞），犛＝狓＋狔，犘＝狓狔，以下四个命题正确的是（ ）Ａ．若犘＝１，则犛有最小值２Ｂ．若犛＝２犘，则犛有最小值４Ｃ．若犛２＝犘＋１犘，则犛２有最小值２Ｄ．若犛＋犘＝３，则犘有最大值１１３．若实数狓，狔满足狓＞狔＞０，且ｌｏｇ２狓＋ｌｏｇ２狔＝１，则２狓＋１狔的最小值是，狓－狔狓２＋狔２的最大值为．１４．已知实数狓＞０，狔＞０，且２狓狔＝狓＋狔＋犪（狓２＋狔２）（犪∈犚）．（１）当犪＝０时，求狓＋４狔的最小值，并指出取最小值时狓，狔的值；（２）当犪＝１２时，求狓＋狔的最小值，并指出取最小值时狓，狔的值．第１５题图１５．某校学生处为了更好地开展高一社团活动，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报．该海报含有大小相等的三个矩形栏目，这三栏的面积之和为６００００ｃｍ２，四周空白的宽度为１０ｃｍ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为５ｃｍ．（１）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；（２）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的２倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小？并求最小值．４５３在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即犱＝犿犽，其中犱是弹簧拉伸的距离（单位：ｃｍ），犿是物体的质量（单位：ｇ），犽是弹簧弹性系数（单位：ｇ／ｃｍ）．弹簧弹性系数分别为犽１，犽２的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数犽满足１犽＝１犽１＋１犽２，并联时得到的弹簧系数犽满足犽＝犽１＋犽２．已知物体质量为２０ｇ，当两个弹簧串联时拉伸距离为１ｃｍ，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（ ）Ａ．１４ｃｍ Ｂ．１２ｃｍＣ．１ｃｍＤ．２ｃｍ４５４ ６ 函数的概念及表示 班级： 姓名： 学号：１．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为狔＝２狓２＋１、值域为｛５，１９｝的“孪生函数”共有（ ）Ａ．１个Ｂ．５个Ｃ．９个Ｄ．１２个２．（２０１８·全国Ⅰ卷）设函数犳（狓）＝２－狓，狓≤０，１，狓＞０，烅烄烆则满足犳（狓＋１）＜犳（２狓）的狓的取值范围是（ ）Ａ．（－∞，－１］Ｂ．（０，＋∞）Ｃ．（－１，０）Ｄ．（－∞，０）３．若函数狔＝犳（狓）的定义域是（０，１），则狔＝犳（狓２）的定义域是（ ）Ａ．（－１，０）Ｂ．（－１，０）∪（０，１）Ｃ．（０，１）Ｄ．［０，１］４．设犳（狓）＝槡狓，０＜狓＜１，２（狓－１），狓≥１，烅烄烆若犳（犪）＝犳（犪＋１），则犳（１犪）＝（ ）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８５．（多选）下面各组函数是同一函数的是（ ）Ａ．狔＝－２狓槡３与狔＝－２槡狓Ｂ．狔＝狓槡２与狔＝｜狓｜Ｃ．狔＝狓槡＋１·狓槡－１与狔＝（狓＋１）（狓－１槡）Ｄ．犳（狓）＝狓２－２狓－１与犵（狋）＝狋２－２狋－１６．（多选）若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“孪生函数”．例如，函数狔＝狓２，狓∈［１，２］与函数狔＝狓２，狓∈［－２，－１］即为“孪生函数”．给出下面四个函数，其中能够被用来构造“孪生函数”的是（ ）Ａ．狔＝［狓］（［狓］表示不超过狓的最大整数，如［０．１］＝０）Ｂ．狔＝狓＋狓槡＋１Ｃ．狔＝１狓－ｌｏｇ３狓Ｄ．狔＝狓＋１狓＋１４５５７．（２０１８·江苏卷）函数犳（狓）＝ｌｏｇ２狓槡－１的定义域为．８．已知函数犳（狓）＝２－狓，狓≤－１，狓＋１，狓＞－１，烅烄烆则犳［犳（－２）］＝，不等式犳（狓）≥２的解集为．９．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ０．５（狓２－２犪狓＋３）的定义域为（－∞，１）∪（３，＋∞）．（１）求实数犪的值；（２）求函数犳（狓）在［５，＋∞）上的值域．１０．已知函数犳（狓）＝狆狓２＋１狓的图象经过点（２，５２）．（１）求函数犳（狓）的解析式；（２）写出函数犳（狓）的定义域；（３）当狋＞１２时，试直接写出函数犳（狓）在区间１２，狋［］上的最小值犵（狋）．１１．已知函数犳（狓）＝１＋狓１－狓的定义域为犃，函数狔＝犳［犳（狓）］的定义域为犅，则（ ）Ａ．犃∪犅＝犅Ｂ．犃 犅Ｃ．犃＝犅Ｄ．犃∩犅＝犅１２．（多选）已知犳（狓）是一次函数，若犳［犳（狓）］＝６狓＋３＋犳（狓），则犳（狓）的解析式可以是（ ）Ａ．犳（狓）＝－３狓＋１Ｂ．犳（狓）＝３狓＋１Ｃ．犳（狓）＝２狓－３２Ｄ．犳（狓）＝－２狓－３２４５６ １３．已知函数犳（狓）＝４｜狓｜＋２－１的定义域是［犪，犫］（犪，犫为整数），值域是［０，１］，则满足条件的一个整数对（犪，犫）为，这样的整数对一共有个．１４．已知命题狆：函数狔＝ｌｇ（犪狓２＋２狓＋犪）的定义域为犚，命题狇：函数犳（狓）＝２狓２－犪狓在（－∞，１）上单调递减．（１）若“狆∧（瓙狇）”为真命题，求实数犪的取值范围；（２）设关于狓的不等式（狓－犿）（狓－犿＋２）＜０的解集为犃，当命题狆为真命题时，犪的取值集合为犅，若犃∩犅＝犃，求实数犿的取值范围．１５．（１）已知犳（狓＋１狓）＝狓２＋１狓２，求犳（狓）的解析式；（２）已知犳（狓）是二次函数，且犳（０）＝０，犳（狓＋１）＝犳（狓）＋狓＋１，求犳（狓）的解析式；（３）已知函数犳（狓）满足犳（－狓）＋２犳（狓）＝２狓，求犳（狓）的解析式．４５７对定义域分别是犇犳，犇犵的函数狔＝犳（狓），狔＝犵（狓）．规定：函数犺（狓）＝犳（狓）犵（狓），狓∈犇犳，狓∈犇犵，犳（狓），狓∈犇犳，狓 犇犵，犵（狓），狓 犇犳，狓∈犇犵．烅烄烆（１）若函数犳（狓）＝１狓－１，犵（狓）＝狓２，写出函数犺（狓）的解析式；（２）求问题（１）中的函数犺（狓）的值域；（３）若犵（狓）＝犳（狓＋α），其中α是常数，且α∈［０，π］，请设计一个定义域为犚的函数狔＝犳（狓）及一个α的值，使得犺（狓）＝ｃｏｓ４狓，并予以证明．４５８８ 函数的奇偶性、对称性与周期性 班级： 姓名： 学号：１．已知函数犳（狓）＝狓２－犪狓，狓≤０，犪狓２＋狓，狓＞０烅烄烆为奇函数，则犪＝（ ）Ａ．－１Ｂ．１Ｃ．０Ｄ．±１２．设函数犳（狓）＝１ｅ狓－１＋犪，若犳（狓）为奇函数，则不等式犳（狓）＞１的解集为（ ）Ａ．（０，１）Ｂ．（－∞，ｌｎ３）Ｃ．（０，ｌｎ３）Ｄ．（０，２）３．已知犳（狓）为定义在犚上的奇函数，且满足犳（狓＋４）＝犳（狓），当狓∈（０，２）时，犳（狓）＝２狓２，则犳（３）＝（ ）Ａ．－１８Ｂ．１８Ｃ．－２Ｄ．９４．函数犳（狓）满足３犳（狓）犳（狔）＝犳（狓＋狔）＋犳（狓－狔）（狓，狔∈犚），且犳（１）＝１３，则犳（２０２０）＝（ ）Ａ．２３Ｂ．－２３Ｃ．－１３Ｄ．１３５．（多选）若定义在犚上的增函数狔＝犳（狓－１）的图象关于点（１，０）对称，且犳（２）＝２，令犵（狓）＝犳（狓）－１，则下列结论一定成立的是（ ）Ａ．犵（１）＝０Ｂ．犵（０）＝－１Ｃ．犵（－１）＋犵（１）＜０Ｄ．犵（－１）＋犵（２）＞－２６．（多选）已知犳（狓）是定义在犚上的奇函数，犳（狓＋１）是偶函数，且当狓∈（０，１］时，犳（狓）＝－狓（狓－２），则（ ）Ａ．犳（狓）是周期为２的函数Ｂ．犳（２０１９）＋犳（２０２０）＝－１Ｃ．犳（狓）的值域为［－１，１］Ｄ．犳（狓）的图象与曲线狔＝ｃｏｓ狓在（０，２π）上有４个交点７．（２０１９·全国Ⅱ卷）已知犳（狓）是奇函数，且当狓＜０时，犳（狓）＝－ｅ犪狓．若犳（ｌｎ２）＝８，则犪＝．８．已知犳（狓）是犚上最小正周期为２的周期函数，且当０≤狓＜２时，犳（狓）＝狓３－狓，则４５９函数狔＝犳（狓）的图象在区间［０，４］上与狓轴的交点的个数为．９．设犳（狓）是定义域为犚的周期函数，最小正周期为２，且犳（１＋狓）＝犳（１－狓），当－１≤狓≤０时，犳（狓）＝－狓．（１）判断犳（狓）的奇偶性；（２）试求出函数犳（狓）在区间［－１，２］上的表达式．１０．函数犳（狓）的定义域为犇＝｛狓｜狓≠０｝，且满足对于任意狓１，狓２∈犇，有犳（狓１狓２）＝犳（狓１）＋犳（狓２）． （１）求犳（１）的值；（２）判断犳（狓）的奇偶性并证明你的结论；（３）如果犳（４）＝１，犳（狓－１）＜２，且犳（狓）在（０，＋∞）上是增函数，求狓的取值范围．４６０１１．已知犳（狓）是定义在犚上的函数，且满足犳（狓＋２）犳（狓）＝－１，当２≤狓≤３时，犳（狓）＝狓，则犳（－１１２）＝（ ）Ａ．５２Ｂ．－５２Ｃ．３２Ｄ．－３２１２．（多选）已知偶函数犳（狓）满足犳（狓）＋犳（２－狓）＝０，下列说法正确的是（ ）Ａ．函数犳（狓）是以２为周期的周期函数Ｂ．函数犳（狓）是以４为周期的周期函数Ｃ．函数犳（狓＋２）为偶函数Ｄ．函数犳（狓－３）为偶函数１３．（２０１９·北京卷）设函数犳（狓）＝ｅ狓＋犪ｅ－狓（犪为常数），若犳（狓）为奇函数，则犪＝；若犳（狓）是犚上的增函数，则犪的取值范围是．１４．设函数犳（狓）是定义在犚上的奇函数，对任意实数狓，有犳（３２＋狓）＝－犳（３２－狓）成立． （１）求证：狔＝犳（狓）是周期函数，并指出其周期；（２）若犳（１）＝２，求犳（２）＋犳（３）的值；（３）若犵（狓）＝狓２＋犪狓＋３，且狔＝｜犳（狓）｜犵（狓）是偶函数，求实数犪的值．４６１ １５．已知函数犳（狓）在犚上满足犳（４－狓）＝犳（狓），犳（１４－狓）＝犳（狓），且在闭区间［０，７］上，只有犳（１）＝犳（３）＝０．（１）求证：犳（狓）既不是奇函数，也不是偶函数；（２）试求函数犳（狓）在区间［－１００，１００］上的零点个数．设犳（狓）是定义在犚上的周期为３的函数，当狓∈［－２，１）时，犳（狓）＝｜犿狓＋１｜，－２≤狓＜０，ｌｎ（狓＋狀），０≤狓＜１，烅烄烆其中犿，狀∈犚．若犳（－６）＝０，且函数犳（狓）的值域为［０，２］，求犿与狀的值．４６２１０ 指数与对数 班级： 姓名： 学号：１．已知犿１０＝２，则犿＝（ ）Ａ．１０槡２Ｂ．－１０槡２Ｃ．２槡１０Ｄ．±１０槡２２．已知犪犿＝４，犪狀＝３，则犪犿－２槡狀的值为（ ）Ａ．２３Ｂ．６Ｃ．３２Ｄ．２３．若ｌｏｇ犪３＝犿，ｌｏｇ犪５＝狀，则犪２犿＋狀的值是（ ）Ａ．１５Ｂ．７５Ｃ．４５Ｄ．２２５４．下列等式正确的是（ ）Ａ．ｌｏｇ犪（狓·狔）＝ｌｏｇ犪狓·ｌｏｇ犪狔Ｂ．ｌｏｇ犪（狓＋狔）＝ｌｏｇ犪狓＋ｌｏｇ犪狔Ｃ．ｌｏｇ犪（狓÷狔）＝ｌｏｇ犪狓÷ｌｏｇ犪狔Ｄ．ｌｏｇ犪狓－ｌｏｇ犪狔＝ｌｏｇ犪（狓狔－１）５．（多选）在下列各式中，一定成立的有（ ）Ａ．（狀犿）７＝狀７犿１７Ｂ．１２（－３）槡４＝３槡３Ｃ．４狓３＋狔槡４＝（狓＋狔）３４Ｄ．３槡槡９＝３槡３６．（多选）在下列命题中，真命题是（ ）Ａ．若ｌｏｇ１８９＝犪，ｌｏｇ１８５４＝犫，则１８２犪－犫＝３２Ｂ．若ｌｏｇ狓２７＝３（ｌｏｇ３１８－ｌｏｇ３２），则狓＝±槡３Ｃ．若ｌｏｇ６［ｌｏｇ３（ｌｏｇ２狓）］＝０，则狓－１２＝槡２４Ｄ．若狓２＋狔２－４狓－２狔＋５＝０，则ｌｏｇ狓（狔狓）＝０７．２７２３＋１６－１２－（１２）－２－（８２７）－２３＝．８．如果狓，狔∈犚，且２狓＝１８狔＝６狓狔，那么狓＋狔的值为．４６３ ９．已知犪１２＋犪－１２＝４，求下列各式的值：（１）犪＋犪－１；（２）犪２＋犪－２．１０．（１）已知ｌｏｇ狓８＝６，求狓的值；（２）已知ｌｏｇ３（狓２－１０）＝１＋ｌｏｇ３狓，求狓的值．１１．历史上，许多伟大的数学家都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位．正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“２狆－１（狆是质数）”的质数称为梅森数．迄今为止共发现了５１个梅森数，前４个梅森数分别是２２－１＝３，２３－１＝７，２５－１＝３１，２７－１＝１２７，３，７是１位数，３１是２位数，１２７是３位数．已知第１０个梅森数为２８９－１，则第１０个梅森数的位数为（参考数据：ｌｇ２≈０．３０１）（ ）Ａ．２５Ｂ．２９Ｃ．２７ Ｄ．２８１２．（多选）已知正数狓，狔，狕满足３狓＝２狔＝１２狕，下列结论正确的有（ ）Ａ．６狕＞２狔＞３狓Ｂ．１狓＋２狔＝１狕Ｃ．狓＋狔＞（槡３＋２２）狕 Ｄ．狓狔＞８狕２４６４ １３．已知犿＝（１２）２３狀＝４狓，则ｌｏｇ４犿＝；满足ｌｏｇ狀犿＞１的实数狓的取值范围是．１４．某药厂生产一种口服液，按药品标准要求，其杂质含量不能超过０．０１％．若初始时该药品含杂质０．２％，每次过滤可使杂质含量减少１３，问至少应过滤几次才能使得这种液体达到要求？（已知ｌｇ２≈０．３０１０，ｌｇ３≈０．４７７１）１５．尽管目前人类无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量犈（单位：焦耳）与地震里氏震级犕之间的关系为ｌｇ犈＝４．８＋１．５犕．２０１１年３月１１日，日本东北部海域发生里氏９．０级地震，它所释放出来的能量是２００８年５月１２日我国汶川发生的里氏８．０级地震的多少倍？（精确到１，参考数据：槡１０≈３．１６）４６５（多选）拉普拉斯称赞对数是一项使天文学家寿命倍增的发明，对数可以将大数之间的乘、除运算简化为加、减运算．２０１７年５月２３日至２７日，围棋世界冠军柯洁与ＤｅｅｐＭｉｎｄ公司开发的程序“ＡｌｐｈａＧｏ”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能围棋复杂度的上限约为犕＝３３６１．而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为犖＝１０８０．若两数常用对数之差的绝对值不超过１，则称两数“可相互替代”．下列数值与犕犖的值“可相互替代”的有（参考数据：ｌｇ２≈０．３０１，ｌｇ３≈０．４７７）（ ）Ａ．１０９１ Ｂ．１０９２Ｃ．１０９３Ｄ．１０９４４６６ １２ 对数函数 班级： 姓名： 学号：１．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ犪（狓＋２），若图象过点（６，３），则犳（２）的值为（ ）Ａ．－２Ｂ．２Ｃ．１２Ｄ．－１２２．已知函数犳（狓）＝２ｌｏｇ１２狓的值域为［－１，１］，则函数犳（狓）的定义域是（ ）Ａ．槡２２，槡２熿燀燄燅Ｂ．［－１，１］Ｃ．１２，２［］Ｄ．（－∞，槡２２燄燅∪［槡２，＋∞）３．已知犪，犫＞０，且犪≠１，犫≠１．若ｌｏｇ犪犫＞１，则（ ）Ａ．（犪－１）（犫－１）＜０Ｂ．（犪－１）（犪－犫）＞０Ｃ．（犫－１）（犫－犪）＜０Ｄ．（犫－１）（犫－犪）＞０４．已知函数狔＝ｌｏｇ２（狓２－２犽狓＋犽）的值域为犚，则犽的取值范围是（ ）Ａ．（０，１）Ｂ．［０，１）Ｃ．（－∞，０］∪［１，＋∞）Ｄ．｛０｝∪［１，＋∞）５．（多选）已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ５（狓２－２狓－３），则下列结论正确的是（ ）Ａ．函数犳（狓）的单调递增区间是［１，＋∞）Ｂ．函数犳（狓）的值域是犚Ｃ．函数犳（狓）的图象关于狓＝１对称Ｄ．不等式犳（狓）＜１的解集是（－２，－１）∪（３，４）６．（多选）设函数犳（狓）＝ｌｏｇ１２狓，下列四个命题正确的是（ ）Ａ．函数犳（｜狓｜）为偶函数Ｂ．若犳（犪）＝｜犳（犫）｜，其中犪＞０，犫＞０，犪≠犫，则犪犫＝１Ｃ．函数犳（－狓２＋２狓）在（１，２）上为单调递增函数Ｄ．若０＜犪＜１，则｜犳（１＋犪）｜＞｜犳（１－犪）｜７．１６世纪末至１７世纪初，在自然科学（特别是天文学）领域经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数．由课本知识可知，对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０且犪≠１）与指数函数狔＝犪狓（犪＞０且犪≠１）互为反函数．若函数狔＝４６７犳（狓）是函数狔＝犪狓（犪＞０且犪≠１）的反函数，且函数狔＝犳（狓）的图象经过点（犪，２犪），则犪＝． 第８题图８．如图，已知犃，犅是函数犳（狓）＝ｌｏｇ２（１６狓）图象上的两点，犆是函数犵（狓）＝ｌｏｇ２狓图象上的一点，且直线犅犆垂直于狓轴．若△犃犅犆是等腰直角三角形（其中犃为直角顶点），则点犃的横坐标为．９．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ１２（狓＋２）－ｌｏｇ１２（２－狓）．（１）判断犳（狓）的奇偶性；（２）解关于狓的不等式犳（狓）≥ｌｏｇ１２（３狓）．１０．设犇是函数狔＝犳（狓）定义域内的一个子集，若存在狓０∈犇，使得犳（狓０）＝－狓０成立，则称狓０是犳（狓）的一个“准不动点”，也称犳（狓）在区间犇上存在准不动点．已知犳（狓）＝ｌｏｇ１２（４狓＋犪·２狓－１），狓∈［０，１］．（１）若犪＝１，求函数犳（狓）的准不动点；（２）若函数犳（狓）在区间［０，１］上不存在准不动点，求实数犪的取值范围．４６８１１．已知函数犳（狓）＝ｌｎ１＋狓１－狓＋狓＋１，且犳（犪）＋犳（犪＋１）＞２，则犪的取值范围是（ ）Ａ．（－１２，＋∞）Ｂ．（－１，－１２）Ｃ．（－１２，０）Ｄ．（－１２，１）１２．（多选）关于函数犳（狓）＝｜ｌｎ｜２－狓｜｜，下列描述正确的有（ ）Ａ．函数犳（狓）在区间（１，２）上单调递增Ｂ．函数狔＝犳（狓）的图象关于直线狓＝２对称Ｃ．若狓１≠狓２，但犳（狓１）＝犳（狓２），则狓１＋狓２＝４Ｄ．方程犳（狓）＝０有且仅有两个解１３．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ２（狓２＋槡犪－狓）是犚上的奇函数，则实数犪的值为；已知函数犵（狓）＝犿－｜２狓－犪｜，若犳（狓）≤犵（狓）对狓∈－３４，２［］恒成立，则犿的取值范围为．１４．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ４（４狓＋１）＋犽狓（犽∈犚）为偶函数．（１）求犽的值；（２）若方程犳（狓）＝ｌｏｇ４（犿２狓－１）有解，求实数犿的取值范围．４６９ １５．设函数犳（狓）的定义域为犇，若存在狓０∈犇，使得犳（狓０＋１）＝犳（狓０）＋犳（１），则称狓０为函数犳（狓）的“旺点”．（１）求函数犳（狓）＝２狓＋３狓在犚上的“旺点”；（２）若函数犵（狓）＝ｌｏｇ２犪１＋狓２在（０，＋∞）上存在“旺点”，求正实数犪的取值范围．对于函数犳１（狓），犳２（狓），犺（狓），如果存在实数犪，犫使得犺（狓）＝犪犳１（狓）＋犫犳２（狓），那么称犺（狓）为犳１（狓），犳２（狓）的生成函数．（１）设犳１（狓）＝ｌｏｇ４狓，犳２（狓）＝ｌｏｇ１４狓，犪＝２，犫＝１，生成函数犺（狓）．若不等式２犺２（狓）＋３犺（狓）＋狋＜０在狓∈［４，１６］上有解，求实数狋的取值范围．（２）函数犵１（狓）＝ｌｏｇ３（９狓－１＋１），犵２（狓）＝狓－１是否能生成一个函数犺（狓），同时满足：①犺（狓＋１）是偶函数；②犺（狓）在区间［２，＋∞）上的最小值为２ｌｏｇ３１０－２？若能，求函数犺（狓）的解析式；若不能，请说明理由．４７０ １４ 函数与方程 班级： 姓名： 学号：１．函数犳（狓）＝｜狓－２｜－ｌｎ狓在定义域内的零点的个数为（ ）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３２．已知函数犳（狓）＝２狓，狓≥２，（狓－１）３，狓＜２，烅烄烆若关于狓的方程犳（狓）＋犽＝０有两个不同的实根，则实数犽的取值范围是（ ）Ａ．（０，１）Ｂ．［０，１］Ｃ．（－１，０）Ｄ．［－１，０］３．偶函数犳（狓）满足犳（狓－１）＝犳（狓＋１），且在狓∈［０，１］时，犳（狓）＝２狓，则关于狓的方程犳（狓）＝（１２）狓在狓∈［０，４］上解的个数是（ ）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５４．已知函数犳（狓）＝３｜狓－１｜，狓＞０，－狓２－２狓＋１，狓≤０，烅烄烆若关于狓的方程［犳（狓）］２＋（犪－１）犳（狓）－犪＝０有７个不等的实根，则实数犪的取值范围是（ ）Ａ．（－２，１）Ｂ．［２，４］Ｃ．（－２，－１）Ｄ．（－∞，４］５．（多选）已知函数犳（狓）＝－狓２－３狓，狓＜０，犳（狓－３），狓≥０，烅烄烆以下结论正确的是（ ）Ａ．犳（狓）在区间［４，６］上是增函数Ｂ．犳（－２）＋犳（２０２０）＝４Ｃ．若函数狔＝犳（狓）－犫在（－∞，６）上有６个零点狓犻（犻＝１，２，３，４，５，６），则∑６犻＝１狓犻＝９Ｄ．若方程犳（狓）＝犽恰有１个实根，则犽＜０第６题图６．（多选）定义域和值域均为［－犪，犪］（常数犪＞０）的函数狔＝犳（狓）和狔＝犵（狓）的图象如图所示，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）Ａ．方程犳［犵（狓）］＝０有且仅有三个解Ｂ．方程犵［犳（狓）］＝０有且仅有三个解４７１Ｃ．方程犳［犳（狓）］＝０有且仅有九个解Ｄ．方程犵［犵（狓）］＝０有且仅有一个解７．设函数狔＝狓３与狔＝（１２）狓－２的图象的交点为（狓０，狔０），若狓０∈（狀，狀＋１），狀∈犖，则狀＝．８．已知函数犳（狓）＝２狓，狓≤０，｜ｌｏｇ２狓｜，狓＞０，烅烄烆则方程犳［犳（狓）］＝２的根的个数是．９．已知函数犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０），满足犳（０）＝２，犳（狓＋１）－犳（狓）＝２狓－１．（１）求函数犳（狓）的解析式；（２）若函数犵（狓）＝犳（狓）－犿狓的两个零点分别在区间（－１，２）和（２，４）内，求犿的取值范围．１０．已知函数犳（狓）＝１狓＋１－３，狓∈（－１，０］，狓，狓∈（０，１］，烅烄烆且犵（狓）＝犳（狓）－犿狓－犿在（－１，１］内有且仅有两个不同的零点，求实数犿的取值范围．４７２１１．定义在犚上的函数犳（狓）＝ｌｇ｜狓－２｜，狓≠２，１，狓＝２，烅烄烆若关于狓的方程犳２（狓）＋犫犳（狓）＋犮＝０恰好有５个不同的实数解狓１，狓２，狓３，狓４，狓５，则犳（狓１＋狓２＋狓３＋狓４＋狓５）等于（ ）Ａ．ｌｇ２Ｂ．ｌｇ４Ｃ．ｌｇ８Ｄ．１１２．（多选）设函数犳（狓）＝｜狓｜狓＋犫狓＋犮，则下列结论正确的是（ ）Ａ．当犫＞０时，函数犳（狓）在犚上有最小值Ｂ．当犫＜０时，函数犳（狓）在犚上有最小值Ｃ．对任意的实数犫，函数犳（狓）的图象关于点（０，犮）对称Ｄ．方程犳（狓）＝０可能有三个实数根１３．设函数犳（狓）＝２狓－犪，狓＜１，４（狓－犪）（狓－２犪），狓≥１．烅烄烆若犪＝１，则犳（狓）的最小值为；若犳（狓）恰有２个零点，则实数犪的取值范围是．１４．已知函数犳（狓）＝｜ｌｏｇ２狓｜，狓＞０，狓２＋２狓＋２，狓≤０，烅烄烆方程犳（狓）－犪＝０有四个不同的实根并分别记为狓１＜狓２＜狓３＜狓４．（１）若将狓４的所有取值记为集合犇，求犇；（２）设犵（狓）＝犳（狓）－犽狓（狓∈犇）有两个零点，求实数犽的取值范围．４７３ １５．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ２（２狓＋１）＋犪狓，狓∈犚．（１）若犳（狓）是偶函数，求实数犪的值；（２）当犪＞０时，关于狓的方程犳［犳（狓）－犪（１＋狓）－ｌｏｇ４（２狓－１）］＝１在区间［１，２］上恰有两个不同的实数解，求实数犪的取值范围．已知狓∈犚，符号［狓］表示不超过狓的最大整数，若函数犳（狓）＝［狓］狓－犪（狓≠０）有且仅有３个零点，则实数犪的取值范围是．４７４。
广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习第14章数列教师用书教案
数列考纲展示考情汇总备考指导(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数. 本章的重点是等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式的应用，难点是应用转化与化归的方法求数列的和，学习本章要熟练掌握数列的相关公式，并且注意数列与函数的异同点.(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.2018年1月T152018年1月T202019年1月T142019年1月T172020年1月T82020年1月T17等差数列[基础知识填充]1．数列的概念及简单表示法 (1)数列是按一定顺序排列的一列数．(2)如果数列{a n }的第n 项与项数n 之间的关系可用一个式子(即a n ＝f (n ))来表示，则这个式a n ＝f (n )叫数列的通项公式．(3)数列是一种特殊函数，是定义在正整数集(或它的有限子集)上的特殊函数． (4)数列的表示方法有：①解析法(通项公式法)；②列表法；③图象法；④递推法．(5)a n 与S n 的关系式：a n ＝2．等差数列(1)定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)，这是证明一个数列是等差数列的依据，也可用2a n ＋1＝a n＋a n ＋2(n ∈Z ＋)来判断．(2)公差为d 的等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，另外，等差数列任意两项之间的关系为：a n ＝a m ＋(n －m )d .(3)等差中项：若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫a 与b 的等差中项，可以表示为A ＝a ＋b2.(4)前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2或na 1＋12n (n －1)d (n ∈N ＋)．(5)等差数列的性质：①若公差d >0，则{a n }是递增等差数列． ②若公差d <0，则{a n }是递减等差数列．③若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别地，当m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .④若{a n }是等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…，仍成等差数列，且公差为n 2d .[学考真题对练]1．(2019·1月广东学考)若数列{a n }的通项a n ＝2n －6，设b n ＝|a n |，则数列{b n }的前7项和为( )A ．14B ．24C ．26D ．28C [前7项和为|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＋|a 7|＝|－4|＋|－2|＋|0|＋|2|＋|4|＋|6|＋|8|＝4＋2＋0＋2＋4＋6＋8＝26.]2．(2020·1月广东学考)在等差数列{a n }中，若a 5＝－15，a 10＝－10，则a 20＝( ) A ．－20 B ．－5 C ．0D ．5C [等差数列{a n }中，若a 5＝－15，a 10＝－10，a 10－a 5＝5d ，d ＝a 10－a 55＝－10－－155＝1，所以a 20＝a 5＋15d ＝－15＋15×1＝0，故选C ．]3．(2018·1月广东学考)若等差数列{a n }满足a 1＋a 3＝8，且a 6＋a 12＝36. (1)求{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝a n ＋1－2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d .∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝8a 6＋a 12＝36⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋2d ＝8a 1＋5d ＋a 1＋11d ＝36⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝2∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)由(1)知，a n ＝2n ，∴b n ＋1＝a n ＋1－2a n ＝2(n ＋1)－2×2n ＝－2n ＋2，∴b n ＝－2(n －1)＋2＝－2n ＋4，又∵b 1＝2适合上式，∴b n ＝－2n ＋4(n ∈N *)． ∴b n ＋1－b n ＝－2n ＋2－(－2n ＋4)＝－2， ∴数列{b n }是首项为2，公差为－2的等差数列． ∴S n ＝2n ＋n n －12×(－2)＝2n －n 2＋n ＝－n 2＋3n .等差数列中求值问题的方法1．求项与求和：关键是确定等差数列的首项a 1，公差d ，进而利用相关公式求解，同时注意利用等差数列的性质求解．2．方程与函数的思想：等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 和前n 项和公式S n ＝na 1＋12n (n －1)d 中共含有五个量：a n ，a 1，d ，S n ，n ，知道其中三个量可利用公式构建方程(组)求出其余两个量，即“知三求二”；若涉及求等差数列前n 项和的最值问题，则可把前n 项和看作关于n 的二次函数，利用函数的性质求解，此时注意n ∈N ＋.1．(2019·珠海市学考模拟)已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15 B ．22 C ．7D ．29A [设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.]2．(2020·广东学考模拟)等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．24C [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 2＝2，a 5＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2a 1＋4d ＝8，解得a 1＝0，d ＝2， ∴a 9＝a 1＋8d ＝16.故选C ．]3．(2018·茂名市学考模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则其前10项的和为( )A ．100B ．210C ．380D ．400B [由a 2＝7，a 4＝15得2d ＝a 4－a 2＝8，即d ＝4，则a 10＝a 2＋8d ＝7＋32＝39，S 10＝12×10×(7－4＋39)＝210.]4．(2019·深圳市学考模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 6＝11，a 5＋a 8＝39，则公差d 为( ) A ．－14 B ．－7 C ．7D ．14C [∵a 3＋a 6＝11，a 5＋a 8＝39，则4d ＝28，解得d ＝7.]5．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( )A ．41B ．48C ．49D ．56C [设S n ＝An 2＋Bn ，由题知，⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝9S 5＝25A ＋5B ＝25，解得A ＝1，B ＝0，∴S 7＝49，故选C ．]6．(2019·揭阳市学考模拟)在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51D ．52D [∵a n ＋1－a n ＝12，∴数列{a n }是首项为2，公差为12的等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)·12＝2＋n －12，∴a 101＝2＋101－12＝52.]7．(2019·珠海市学考模拟)在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝ .190 [S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10＋a 102＝19a 10＝19×10＝190.]8．(2019·蛇口高一月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝ .13 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由6S 5－5S 3＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13.] 9．(2019·东莞市学考模拟)在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前5项和． [解] (1)∵a 4＝a 2＋2d ，∴4＝2＋2d ，∴d ＝1， ∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2＋(n －2)＝n .(2)∵b n ＝2n，∴b 1＝2，b 2＝4，b 3＝8，b 4＝16，b 5＝32，S 5＝2＋4＋8＋16＋32＝62. 即数列{b n }的前5项和为62.等比数列等比数列 (1)定义：a n ＋1a n＝q (q 为常数，且q ≠0)，这是证明一个数列是等比数列的依据，还可用a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N ＋，a n ≠0)来判断．(2)公比为q (q ≠0)的等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1.另外：等比数列任意两项之间的关系为a n ＝a m ·qn －m(q ≠0)．(3)等比中项：若a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项，则可表示为G ＝±ab . (4)等比数列前n 项和公式：(5)等比数列的性质：①若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈Z ＋)，则a n ·a m ＝a p ·a q . 特别地：当m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p .②若数列{a n }是等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…，仍成等比数列(当S n ≠0时)，且公比为q n.[学考真题对练]1．(2018·1月广东学考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．4(2n－1)2B ．4(2n －1＋1)2C ．44n －13D ．44n －1＋23C [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n－2)＝2×2n－2n＝2n；当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2适合上式． ∴a n ＝2n (n ∈N *)⇒a 2n ＝(2n )2＝4n，∴{a 2n }是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝41－4n1－4＝44n－13，故选C ．] 2．(2019·1月广东学考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，则a 4＝ . 8 [q ＝a 2a 1＝2，a 4＝a 2·q 2＝8.]3．(2020·1月广东学考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S 2＝3，则S 3＝ .7 [根据题意，等比数列{a n }中a 1＝1，S 2＝3，则a 2＝S 2－S 1＝S 2－a 1＝3－1＝2， 则其公比q ＝a 2a 1＝2， 故a 3＝a 2q ＝4，则S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋2＋4＝7，故答案为7.]等比数列中的基本计算在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1与q 列方程组求解．[最新模拟快练]1．(2019·揭阳市学考模拟)在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81B [由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.]2．(2020·广东学考模拟)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11B ．5C ．－8D ．－11D [由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 11＋25a 11－22＝－11.]3．(2018·佛山市学考模拟)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和等于( )A ．2n －1B ．2n－1 C ．2n＋1D ．2n ＋1B [由题意知S n ＝1×1－2n1－2＝2n－1.]4．(2018·广东省普通高中学业水平考试模拟题)在各项为正数的等比数列{a n }中，若a 1·a 4＝13，则log 3a 2＋log 3a 3＝( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3A [原式＝log 3a 2a 3＝log 3a 1a 4＝log 313＝－1.]5．(2018·揭阳学考模拟题)设数列{a n }的前n 项和为S n ，如果a 1＝1，a n ＋1＝－2a n (n ∈N *)那么S 1，S 2，S 3，S 4中最小的是( )A ．S 1B ．S 2C ．S 3D ．S 4D [S 1＝a 1＝1，S 2＝1－2＝－1，S 3＝S 2＋a 3＝－1＋4＝3.S 4＝S 3＋a 4＝3－8＝－5，所以，S 4最小．]6．(2019·深圳市学考模拟)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q＝ .1或－12 [∵a 3＝32，S 3＝92，∴a 1＋a 2＋a 3＝92，则a 1＋a 2＝3，∴32q 2＋32q ＝3化简得2q 2－q－1＝0，解得q ＝1或－12.]7．(2019·佛山高一期中检测)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝4，则数列{lg a n }的通项公式为 ．lg a n ＝(n －3)lg 2 [∵a 5＝a 4q ，∴q ＝2，∴a 1＝a 4q 3＝14，∴a n ＝14·2n －1＝2n －3，∴lg a n＝(n －3)lg 2.]8．(2019·潮州市学考模拟)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和． [解] (1)∵{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得a 1＝－10，d ＝2.∴a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.(2)∵等比数列{b n }满足b 1＝8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－10－8－6＝－24，∴q ＝b 2b 1＝－248＝－3，∴{b n }的前n 项和S n ＝8[1－－3n]1－－3＝2－2(－3)n.数列的综合应用[最新模拟快练]1．(2019·东莞市学考模拟)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且a 2，a 3＋1，a 4成等差数列． (1)求a 1及a n ；(2)设b n ＝a n ＋n ，求数列{b n }的前5项和S 5.[解] (1)由已知得a 2＝2a 1，a 3＋1＝4a 1＋1，a 4＝8a 1，又a 2，a 3＋1，a 4成等差数列，可得：2(a 3＋1)＝a 2＋a 4，所以2(4a 1＋1)＝2a 1＋8a 1，解得a 1＝1，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)因为b n ＝2n －1＋n ，所以S 5＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝(1＋2＋…＋16)＋(1＋2＋…＋5)＝1·1－251－2＋51＋52＝31＋15＝46.2．(2019·茂名市高一期中检测) 等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2a 1＋8d.解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2)b n ＝1na n ＝2nn ＋1＝2n －2n ＋1， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －2n ＋1＝2n n ＋1. 3．(2018·韶关市高一期末)已知等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 1＋a 2,2(a 1＋a 4)成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，求证：S n <6.[解] (1)∵{a n }为等差数列，∴a 2＝a 1＋d ＝a 1＋2，a 4＝a 1＋3d ＝a 1＋6， ∵a 1，a 1＋a 2,2(a 1＋a 4)成等比数列，∴(a 1＋a 2)2＝2a 1(a 1＋a 4)，故有(2a 1＋2)2＝2a 1(2a 1＋6)， 解得a 1＝1，∴a n ＝1＋2×(n －1)＝2n －1.(2)证明：a n 2n －1＝2n －12n －1S n ＝120＋321＋522＋…＋2n －12n －1 ① 12S n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ②①－②得12S n ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－2n －12n ＝1＋2×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n －12n＝1＋2－12n －2－2n －12n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫42n ＋2n －12n ＝3－2n ＋32n∴S n ＝6－2n ＋32n －1.∵n ∈N *，2n ＋32n －1>0，∴S n ＝6－2n ＋32n －1<6.数列求和的方法 (1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (3)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写，再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (4)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.。
广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习第1章集合与函数概念教师用书教案
第1章集合与函数概念考纲展示考情汇总备考指导函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质.2017年1月T2，2017年1月T14，2018年1月T32018年1月T142019年1月T32019年1月T192020年1月T52020年1月T7集合的基本运算1．集合的概念与性质集合是指定的某些对象的全体．集合中元素的特性有：确定性(集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可)、互异性(集合中的元素应该是互不相同的)、无序性(集合中元素的排列是无序的)．元素和集合的关系是属于或不属于关系．表示集合的方法要掌握字母表示法、列举法、描述法及Venn图法．根据元素个数的多少集合可分为：有限集、无限集．2．集合间的基本关系及基本运算关系或运算自然语言符号语言图形语言A⊆B(或B⊇A)集合A中任意一个元素都是集合B中的元素.A⊆B(或B⊇A) ⇔(x∈A⇒x∈B)A∩B 由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合.A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合.A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A 已知全集U，集合A⊆U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做A相对于U的补集.∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}1．(2018·1月广东学考)已知集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|－1≤x<2}，则M∩N＝( ) A．{0,1,2} B．{－1,0,1}C．M D．NB[M∩N＝{－1,0,1}，故选B．]2．(2019·1月广东学考)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{－2，0,2}，则A∪B＝( ) A．{0,2} B．{－2,4}C．[0,2] D．{－2,0,2,4}D[A∪B＝{－2,0,2,4}．]3．(2020·1月广东学考)已知集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{1,2,3}，则M∪N＝( ) A．M B．NC．{－1,0,1,2,3} D．{1,2}C[∵M＝{－1,0,1,2}，N＝{1,2,3}，∴M∪N＝{－1,0,1,2,3}．故选C．]集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．[最新模拟快练]1．(2020·广东学考模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3,4}，故选A．]2．(2019·深圳学考模拟题)已知A＝{2,4,5}，B＝{3,5,7}，则A∪B＝( )A．{5} B．{2,4,5}C．{3,5,7} D．{2,3,4,5,7}D[A∪B＝{2,3,4,5,7}，故选D．]3．(2019·佛山高一期中) 设集合A＝{x|－2＜x＜7 }，B＝{x|x＞1，x∈N}，则A∩B 的元素的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6C[A∩B＝{x|－2＜x＜7，且x＞1，x∈N} ，即A∩B＝{2,3,4,5,6}，因此，A与B的交集中含有5个元素．]4．(2018·深圳市高一月考)若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则( ) A．A B B．A BC．A＝B D．A∩B＝∅A[因2x>0，而x2≥0，∴B A．]5．(2018·东莞市高一期末)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B 等于( )A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅C[A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，所以A∩B＝{x|0≤x≤1}．]6．(2018·佛山市高一期末)已知全集U＝R，则正确表示集合A＝{－1,0,1}和B＝{x|x2＝x}关系的韦恩图是( )B[∵集合B＝{x|x2＝x}，∴集合B＝{0,1}，∵集合A＝{－1,0,1}，∴B⊆A．]7．(2019·广州高一月考)已知集合A＝{x|－2<x<3}，集合B＝{x|x<1}，则A∪B＝( ) A．(－2,1) B．(－2,3)C．(－∞，1) D．(－∞，3)D[∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x<1}，∴A∪B＝{x|x<3}＝(－∞，3)．选D．]8．(2019·潮州高一期末)已知集合A＝{3,4,5,6}，B＝{a}，若A∩B＝{6}，则a＝( ) A．3 B．4C．5 D．6D [∵A ∩B ＝{6}，∴6∈B ，∴a ＝6.]函数及其表示1．函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．2．函数的三要素定义域、值域和对应关系． 3．函数的表示解析法、列表法、图象法．[学考真题对练]1．(2018·1月广东学考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－1，x ≥02x，x <0，设f (0)＝a ，则f (a )＝( )A ．－2B ．－1C ．12D ．0C [∵a ＝f (0)＝03－1＝－1，∴f (a )＝f (－1)＝2－1＝12，故选C ．]2．(2019·1月广东学考)函数y ＝log 3(x ＋2)的定义域为( ) A ．(－2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．[2，＋∞)A [x ＋2>0，x >－2.]3．(2020·1月广东学考)函数f (x )＝x 2－4x 的定义域是( ) A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D ．(－∞，0]∪ [4，＋∞)D [要使f (x )有意义，则x 2－4x ≥0，解得x ≤0或x ≥4， ∴f (x )的定义域是(－∞，0]∪ [4，＋∞)．故选D ．]1.常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x(a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R . (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．1．(2019·揭阳学考模拟题)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，0]∪[1，＋∞) C ．(0,1)D ．[0,1]A [由题意得：x 2－x >0，解得：x >1或x <0，故函数的定义域是(－∞，0)∪(1，＋∞)．]2．(2019·汕头学考模拟题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤02x ＋1，x >0，则f (－2)＋f (1)＝( )A ．3B ．6C ．7D ．10B [f (－2)＋f (1)＝3＋3＝6.]3．(2019·深圳高一月考)下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )A [A 选项中，当x ＝0时，有两个y 与之对应，与定义矛盾．]4．(2018·东莞市高一月考)若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4B [设t ＝3x ＋2，∴x ＝t －23，所以函数式转化为f (t )＝3(t －2)＋8＝3t ＋2，所以函数式为f (x )＝3x ＋2.]5．(2018·汕头市高一期中)下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝1，y ＝xxB ．y ＝x －1×x ＋1，y ＝x 2－1 C ．y ＝x ，y ＝3x 3D ．y ＝|x |，y ＝(x )2C [A 选项y ＝1，y ＝x x定义域不同，不表示同一函数；B ．y ＝x －1×x ＋1，y ＝x 2－1定义域不同，不表示同一函数；D ．y ＝|x |，y ＝(x )2定义域不同，不表示同一函数，选C ．]6．(2019·广州高一期末)函数y ＝x |x |的图象大致是( )C [y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以选C ．]函数的基本性质1．函数的最值函数最大(小)值首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ；其次函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )．2．函数的单调性如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜(＞)f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增(减)函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．3．函数的奇偶性如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )[f (－x )＝－f (x )]，那么函数f (x )就称为偶(奇)函数．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．函数的奇偶性是一个整体的概念．函数具有奇偶性的一个前提条件是定义域关于原点对称．[学考真题对练]1．(2018·1月广东学考)设函数f (x )是定义在R 上的减函数，且f (x )为奇函数，若x 1<0，x 2>0，则下列结论不正确的是( )A ．f (0)＝0B ．f (x 1)>0C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2≤f (2) D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x1≤f (2) D [对于A 项，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，正确； 对于B 项，∵f (x )为R 上的减函数，∴x 1<0⇒f (x 1)>f (0)＝0，正确； 对于C 项，∵x 2>0，∴x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2(当且仅当x 2＝1x 2，即x 2＝1时等号成立)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2≤f (2)，正确；对于D 项，∵x 1<0，∴x 1＋1x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1＋1－x 1≤－2－x 1·1－x 1＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1≥f (－2)＝－f (2)，错误．故选D ．]2．(2020·1月广东学考)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋3 B ．f (x )＝x 2－2 C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝1xB [对于A ，f (x )＝x ＋3，为一次函数，不是偶函数，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 2－2，为二次函数且其对称轴为y 轴，是偶函数，符合题意， 对于C ，f (x )＝x 3，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝1x，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意；故选B ．]3．(2019·1月广东学考)已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－4x ，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝ .－x 2－4x [∵x >0时，f (x )＝x 2－4x ， ∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝x 2＋4x ，又∵y ＝f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x .](1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.[最新模拟快练]1．(2019·佛山高一月考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1C [函数y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数，y ＝2x为非奇非偶函数，y ＝x 2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C ．]2．(2020·广东学考模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (1)的x 取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(－1,1)B [根据题意，f (x )为偶函数，则f (2x －1)<f (1)⇒f (|2x －1|)<f (1)， 又由函数在区间[0，＋∞)上单调递增， 则f (|2x －1|)<f (1)⇒|2x －1|<1， 解得：0<x <1，故选B ．]3．(2018·东莞市高一月考)已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A ．12B ．－12C ．1D ．－1A [∵函数f (x )＝1x 在区间[1,2]上单调递减，∴A ＝1，B ＝12，∴A －B ＝12，故选A ．]4．(2019·揭阳高一期末)f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝ .－2 [f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2.]5．(2019·中山学考模拟题)若函数y ＝3x 2－ax ＋5在[－1,1]上是单调函数，则实数a 的取值范围是 ．(－∞，－6]∪[6，＋∞) [因为函数y ＝3x 2－ax ＋5在[－1,1]上是单调函数，所以a6≤－1或a6≥1，解得a ≤－6或a ≥6.∴实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[6，＋∞)．]6．(2018·广州市学考模拟题)已知指数函数y ＝g (x )满足：g (2)＝4，定义域为R 的函数f (x )＝－g x ＋n2g x ＋m是奇函数．(1)确定y ＝g (x )的解析式； (2)求m ，n 的值；2 (3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．[解] (1)由题意设g (x )＝a x ，a >0且a ≠1，则g (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，所以y ＝g (x )＝2x .(2)由(1)知：f (x )＝－2x ＋n 2x ＋1＋m ，因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即n －12＋m＝0⇒n ＝1，∴f (x )＝1－2x 2x ＋1＋m ，又由f (1)＝－f (－1)知1－24＋m ＝－1－12m ＋1⇒m ＝2. (3)由(2)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式： f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2，即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.。
2021广东省高三数学学业水平合格考试总复习标准示范卷4
标准示范卷（四）（时间：90分钟；分值：150分，本卷共4页）一、选择题（本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合M＝{1,2}，N＝｛0,1，3｝，则M∩N＝（）A．{1｝B．｛0，1｝C．{1，2｝D．｛1，2，3｝A[由题得M∩N＝{1,2}∩｛0，1,3｝＝{1}．]2．设S n是等差数列｛a n｝的前n项和,已知a5＝9，S2＝4，则a2＝( ）A．1 B．2C．3 D．5C[设等差数列｛a n｝的公差为d,则a5＝a1＋4d＝9，S2＝2a1＋d ＝4,解得a1＝1,d＝2，∴a2＝a1＋d＝3。
]3．“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B［当a·b＝0时，a，b的夹角为直角,故“a·b≥0"不能推出“a与b的夹角为锐角”．当“a与b的夹角为锐角"时，a·b＝｜a｜·｜b|·cos〈a，b〉>0，即能推出“a·b≥0"．综上所述，“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．]4．在x轴、y轴上的截距分别是－2，3的直线方程是（）A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0C[由直线的截距式得,所求直线的方程为错误!＋错误!＝1，即3x－2y＋6＝0。
］5．已知a，b是两条异面直线,c∥a，那么c与b的位置关系( ) A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直C[a，b是两条异面直线，c∥a,那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．若c∥b，因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a，b是两条异面直线矛盾．故选C．]6．在平行四边形ABCD中，错误!＋错误!等于( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．|错误!|A［错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.］7．圆（x－1）2＋y2＝1与直线y＝错误!x的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．直线过圆心A［由圆的方程得圆心坐标为(1,0),半径r＝1，因为(1,0)到直线y＝错误!x的距离d＝错误!＝错误!〈1,所以圆与直线的位置关系为相交．］8．方程x3－2＝0的根所在的区间是( )A．(－2,0）B．（0,1)C．(1，2) D．(2,3)C[∵x3－2＝0，∴x3＝2，故x＝错误!，∵y＝错误!是增函数，∴错误!<错误!<错误!,1〈错误!〈2,即方程x3－2＝0的根所在的区间是（1,2)，故选C．］9．一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形;③圆;④椭圆．其中正确的是（)A．①B．②C．③D．④C[其俯视图若为圆,则正视图中的长度与侧视图中的宽度应一样，由图中可知其正视图的长度与侧视图的宽度不一样，因此其俯视图不可能是圆．故选C．]10．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品｝，事件B＝｛抽到二等品｝，事件C＝｛抽到三等品｝,且已知P(A）＝0。
2021广东省高三数学学业水平合格考试总复习教师用书：第6章直线与方程
考纲展示考情汇总备考指导直线与方程① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及2017年1月T52019年1月T52020年1月T4本章的重点是根据所给条件求直线的方程,难点是两条直线的位置关系的判定，易错点是在根据两直线的位置关系求参数的值时,容意漏解或出现增根,出错的根本原因是没有掌握两直线平行或垂直的充要条件。
一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
直线的倾斜角、斜率和位置关系1．直线的倾斜角和斜率（1)倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定此时直线的倾斜角为0°。
当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫直线l的倾斜角．注：倾斜角的取值范围为错误!.（2)直线的斜率当直线l的倾斜角θ≠90°时（即直线与x轴不垂直)，直线l的斜率存在，且斜率k＝tan θ.当直线的倾斜角为θ（θ≠90°）,斜率为k,则k≥0⇔θ∈错误!；k<0⇔θ∈错误!.(3)直线l经过两点P1(x1,y1），P2(x2，y2）（x1≠x2)的斜率k＝错误!.注:任何直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率．2．两条直线平行和垂直的判定(1）当直线l1∥l2或l1与l2重合,倾斜角α1＝α2。
若斜率存在，则k1＝k2.若斜率不存在，则k1与k2都不存在．（2）直线l1∥l2,若斜率存在，则k1＝k2，且在y轴上的截距不同，若斜率不存在，则l1与l2都垂直于x轴且在x轴上的截距不同．(3)若斜率存在，且直线l1⊥l2，则k1·k2＝－1.若其中有一条斜率不存在，且l1⊥l2，则另一条直线斜率为0.（4）若直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，且A1，A2，B1,B2都不为零．①l1∥l2⇔错误!＝错误!≠错误!.②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0。
2021高考数学学业水平试总复习标准示范卷2含解析
标准示范卷（二）（时间：90分钟;分值:150分，本卷共4页)一、选择题（本大题共16小题,每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1．已知集合M＝｛1，2，4,8｝，N＝{2,4，6,8}，则M∩N＝() A．{2,4｝B．{2，4，8}C．{1,6} D．｛1,2，4，6,8}B［由M＝｛1，2,4,8｝，N＝｛2,4，6,8｝，得M∩N＝{1,2,4，8}∩{2，4，6,8}＝{2，4,8}．故选B．]2．已知cos α＝错误!，那么cos（－2α)等于（）A．－32B．－错误!C．错误!D．错误!B[∵cos α＝错误!，∴cos（－2α）＝cos 2α＝2cos2α－1＝2×错误!错误!－1＝－错误!．]3．lg 0。
001＋ln e＝（）A．72B．－错误!C．－错误!D．错误!B［原式＝lg 10－3＋ln e错误!＝－3＋错误!＝－错误!。
]4．若a为实数且2＋a i1＋i＝3＋i,则a＝（）A．－4 B．－3 C．3 D．4D[因为2＋a i1＋i＝3＋i，所以2＋a i＝(3＋i）(1＋i)＝2＋4i，故a＝4，选D．]5．设x∈R，则“x〉3”是“x2－2x－3>0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[x2－2x－3〉0⇔x>3或x<－1。
由于｛x|x>3｝是｛x|x>3或x〈－1｝的真子集,∴“x〉3”是“x2－2x－3〉0”的充分不必要条件．]6．已知点（m,1)(m>0）到直线l：x－y＋2＝0的距离为1,则m＝(）A．错误!B．2－错误!C．错误!－1 D．错误!＋1C［由题意知错误!＝1，∴|m＋1｜＝错误!，解得m＝错误!－1或m＝－错误!－1.又m〉0，∴m＝错误!－1.故选C．]7．如果正△ABC的边长为1，那么错误!·错误!等于（)A．－错误!B．错误!C．1 D．2B［∵正△ABC的边长为1，∴错误!·错误!＝｜错误!|·|错误!｜cos A＝1×1×cos 60°＝错误!。
广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习标准示范卷3
标准示范卷(三)(时间：90分钟；分值：150分，本卷共4页)一、选择题(本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知集合A ＝{x |(x －4)(x ＋2)<0}，B ＝{－3，－1,1,3,5}则A ∩B ＝( ) A ．{－1,1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{－1,1,3,5}D ．{－3,5}A [因为A ＝{x |(x －4)(x ＋2)<0}＝{x |－2<x <4}，B ＝{－3，－1,1,3,5}，所以A ∩B ＝{－1,1,3}，故选A ．] 2．若实数b 满足：(3＋b i)(1＋i)－2是纯虚数，则实数b ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2C [(3＋b i)(1＋i)－2＝1－b ＋(b ＋3)i 是纯虚数，所以1－b ＝0，b ＝1.] 3．函数f (x )＝2－x ＋x 的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0,2)D ．[0,2]D [由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤2，故选D ．]4．已知向量a ＝(1,3)，向量b ＝(x ，－1)，若a ⊥b ，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－1D ．1B [由于两个向量垂直，故a ·b ＝x －3＝0，x ＝3.]5．取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是( ) A ．12B ．13C ．14D ．不确定B [P ＝13.]6．倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2的直线方程是( ) A ．x －y ＋2＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x ＋y －2＝0D ．x ＋y ＋2＝0 A [易知k ＝1，则直线方程为y ＝x ＋2，即x －y ＋2＝0.]7．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )A ．32πB ．2πC ．3πD ．4πA [由三视图可知，该几何体为圆柱，故其表面积为2×π×⎝⎛⎭⎫122＋2π×12×1＝32π，故选A ．] 8．命题“∀x ∈R ，f (x )g (x )≠0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )＝0且g (x )＝0 B ．∀x ∈R ，f (x )＝0或g (x )＝0 C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0且g (x 0)＝0 D ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝0D [根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得：命题“∀x ∈R ，f (x )g (x )≠0”的否定是“∃x 0∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝0”，故选D ．]9．把函数y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位得到y ＝g (x )的图象，再把y ＝g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 A [把函数y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位得到y ＝g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，再把y ＝g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，故选A ．] 10．过点P (1，－3)的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝13y 或x 2＝－13yB ．x 2＝13yC ．y 2＝－9x 或x 2＝13yD ．x 2＝－13y 或y 2＝9xD [当抛物线的焦点在x 轴上时，设方程为y 2＝mx ， 则9＝m ，即y 2＝9x ，当抛物线的焦点在y 轴上时，设方程为x 2＝my ，则1＝－3m ，m ＝－13，故x 2＝－13y ，故选D ．]11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．5 B ．10 C ．252D ．254D [因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5， 令x ＝0得y ＝52.令y ＝0得x ＝5，故S △＝12×52×5＝254.]12．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3D [由正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，即sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3.] 13．函数f (x )＝ln|x |＋1x的图象大致为( )A [由四个选项的图象可知f (1)＝1，令x ＝1e ，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1＋e>1＝f (1)，由此排除C 选项．令x ＝e ，f (e)＝1＋1e >1＝f (1)，由此排除B 选项．由于f (－e 100)＝100－1e100>0，排除D 选项．故选A ．]14．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时取等号．故选C ．]15．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋2e x －2e x ，其中e 是自然对数的底，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－1，12 D ．⎣⎡⎦⎤－1，12 D [由f ′(x )＝x 2－4＋2e x ＋2e －x ≥x 2－4＋24e x ·e －x ＝x 2≥0，知f (x )在R 上单调递增，且f (－x )＝－13x 3＋4x ＋2e －x－2e x ＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，故f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤f (－2a 2)⇔a －1≤－2a 2⇔2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12.故选D ．]16．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 4a 10＝16，则a 6＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8B [∵a 4＝a 6q 2，a 10＝a 6q 4，q ＝2，∴a 4a 10＝a 6q 2·a 6·q 4＝16，a 26＝16q 2＝164＝4， 又a 6>0，∴a 6＝2.故选B ．]二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分．把答案填写在题中横线上)17．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 .16 [40×400150＋150＋400＋300＝16.]18．一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球，从这个口袋中任取两个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是 .23[两个红球编号为1,2，两个白球编号为3,4，从中任取两个球，共有以下6个结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，其中恰有一个红球的结果有4个，故所求的概率为46＝23.]19．已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3a 2＋3b 2－3c 2＋2ab ＝0，则tan C ＝ . －22 [△ABC 中，∵3a 2＋3b 2－3c 2＋2ab ＝0， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－23ab 2ab ＝－13，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223， 故tan C ＝sin Ccos C＝－2 2.]20．如图，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限且∠PF 1F 2＝120°，△PF 1F 2的面积为 .335[由已知，得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.② 将②代入①，得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin 120°＝12×65×2×32＝335.]21．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝ .23 [∵直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，且l 1⊥l 2，∴a ×1＋2(a －1)＝0，即a ＋2a －2＝0，解得a ＝23.]三、解答题(本大题共2小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)22．(本小题满分20分)如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点，求证：(1)FD ∥平面ABC;(2)AF ⊥平面EDB ．[证明] (1)∵F 是BE 的中点，取BA 的中点M ，连接CM ，FM ，∴FM ∥EA ，FM ＝12EA ＝a ，∵EA 、CD 都垂直于平面ABC ，∴CD ∥EA ，∴CD ∥FM ，又CD ＝a ＝FM ， ∴四边形FMCD 是平行四边形，∴FD ∥MC ，FD ⊄平面ABC ，MC ⊂平面ABC ∴FD ∥平面ABC ．(2)因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，所以CM ⊥AB ，又EA 垂直于平面ABC ，∴CM ⊥AE ，又AE ∩AB ＝A ，所以CM ⊥面EAB ，∵AF ⊂面EAB∴CM ⊥AF ，又CM ∥FD ，从而FD ⊥AF ，因F 是BE 的中点，EA ＝AB ，所以AF ⊥EB ． EB ，FD 是平面EDB 内两条相交直线，所以AF ⊥平面EDB ．23．(本小题满分20分)已知公差不为零的等差数列{a n }满足：a 1＝3，且a 1，a 4，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S n 表示数列{a n }的前n 项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n ．[解] (1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由题可知a 1·a 13＝a 24， 即3(3＋12d )＝(3＋3d )2，解得d ＝2， 则a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1． (2)由上述推理知S n ＝n (n ＋2)， 则T n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12n ＋1－12n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.。
2020—2021年高考总复习数学(文)高三教学质量检测试题及参考答案一(精品试题).docx
年普通高中教学质量检测文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第II卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设全集{}10U x x N x *=∈<且 ，已知集合{}2,3,6,8A =，{}50B x x =-≥，则集合=U A B ⋂（）ð A. {}15,7,9， B. {}5,7,9 C.{}7,9D.{}5,6,7，8,92．在复平面内，复数122i z i-=-对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2的列联表：参照附表，以下结论正确是A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．只有不超过1%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”4．已知命题:,sin cos 2p x R x x ∃∈+=，2:,10q x R x x ∀∈++>，则下列命题中正确的是A. p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∨⌝（）D.p q ⌝∧⌝（）（）男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由公式K 2= n(ad ―bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，算得K 2=110×(40×30―20×20)260×50×60×50≈7.8.附表（临界值表）：P(K 2≥k ) 0.050 0.0100.001 k3.841 6.63510.8285. 设函数()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦A.1-B.1C.2-D.26．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点且垂直于实轴的直线交双曲线的渐近线于,A B 两点，已知AB 等于虚轴长的两倍，则该双曲线的离心率为A.52B.3C.5D. 27. 执行如右图所示的程序框图，输出S 的结果是A.6B.24C.120D.8408.右图是一个四面体的三视图，这三个视图均为腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为A.32 B.34 C.38 D.2开始S =1，i =1i =i +1S =S ·ii >4?输出S结束是否9. 设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值10．关于函数()2sin 223cos 2f x x x =+，下面结论正确的是A.在区间71212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减 B. 在区间71212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增C. 在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减 D. 在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增11.已知抛物线x y C 16:2=的焦点为F ，直线1:-=x l ，点A l ∈，线段AF 与抛物线C 的交点为B ,若FB FA 5=,则=FA A.26 B.34 C. 35D.4012．设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是 A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.ln 2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C.ln 20,2⎛⎫⎪⎝⎭D.ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2021广东省高三数学学业水平合格考试总复习教师用书：第3章函数的应用含解析
考纲展示考情汇总备考指导函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2018年1月T5本章的重点是求函数的零点，判断函数零点的个数及其所在的区间，难点是根据函数的零点的情况求参数的取值范围，学习本章时要注意应用数形结合的思想方法、转化与化归的思想方法解决问题.求函数的零点、判断零点的个数1．函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点与方程的根、函数图象与x轴交点的关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．3．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[最新模拟快练]1．(2019·惠州学考模拟)函数y＝ln x的零点是()A．(0,0)B．x＝0C．x＝1 D．不存在C[令ln x＝0，解得x＝1.]2．(2019·江门学考模拟)函数f(x)＝2x－1的零点为()A．1 B．0C．(1,0) D．(0,0)B[函数的零点即相应方程的根．由2x－1＝0得x＝0，∴函数f(x)＝2x－1的零点为0.]3．(2018·揭阳学考模拟题)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为()A．0B．1C．2D．3B[由f(x)＝0得x－2＝x，在同一坐标系内做出函数y＝x－2，y＝x的图象，如图所示，二者有1个交点，即f(x)有1个零点．]4．(2019·东莞高一月考)方程2－x＝－x2＋3的实数解的个数为()A．2 B．3 C．1 D．4A[令f(x)＝2－x，g(x)＝－x2＋3，绘制这两个函数的函数图象，可得故有2个交点，故选A．]5．(2018·东莞市高一期中)下列函数没有零点的是()A．f(x)＝0 B．f(x)＝2C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－1 xB[函数f(x)＝2，不能满足方程f(x)＝0，因此没有零点．]6．(2019·梅州高一期末)函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为．x＝1或x＝10[由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.]7．(2018·佛山市高一期中考试)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为．－2[令f(x)＝21－x－4＝0解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x ＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.]利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.判断函数零点所在的区间1．(2019·佛山高一期末)对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实数解D．方程f(x)＝0可能无实数解D[∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有零点，即方程f(x)＝0可能无实数解．]2．(2019·深圳学考模拟)函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间是()A．(－2,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)C[∵函数f(x)＝－x3－3x＋5是单调递减函数，又∵f(1)＝－13－3×1＋5＝1>0，f(2)＝－23－3×2＋5＝－9<0，∴函数f(x)的零点必在区间(1,2)上，故必存在零点的区间是(1,2)，故选C．]3．(2018·深圳市高一期中)若x0是函数f(x)＝ln x与g(x)＝2x的图象交点的横坐标，则x0属于区间()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)C[设h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－2x，h(1)＝－2<0，h(2)＝ln 2－1<0，h(3)＝ln 3－23>0，故x0∈(2,3)．]4．(2019·江门学考模拟)根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是()A．(－1,0)C．(1,2) D．(2,3)C[令f(x)＝e x－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程e x－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．]5. (2019·肇庆学考模拟)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)B[因为函数f(x)＝2x＋3x在其定义域内是递增的，那么根据f(－1)＝12－3＝－52<0，f(0)＝1＋0＝1>0，那么由函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(－1,0)，选B．]6．(2018·佛山市学考模拟题)已知函数f(x)＝2x＋log3x的零点在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1，k －12上，则整数k 的值为 ． 1 [∵函数f (x )＝2x ＋log 3x 在(0，＋∞)单调递增．∴函数f (x )＝2x ＋log 3x 最多有一个零点．当k ＝1时，区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1，k －12为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，当x →0时，f (x )→－∞，当x ＝12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－log 32>0，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上存在零点，因此必然k ＝1.]确定函数零点所在的区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是把函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的方法.函数零点的应用(2018·广东学业水平真题)设实数a 为常数，则函数f (x )＝x 2－x ＋a (x ∈R )存在零点的充分必要条件是( )A ．a ≤1B ．a >1C ．a ≤14D ．a >14 C [由已知可得，Δ＝1－4a ≥0⇒a ≤14，故选C ．]已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围；(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[最新模拟快练]1．(2018·肇庆市学考模拟题)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1 C ．－1<a <15D ．a <－1B [由题意，要使函数f (x )在区间(－1,1)上存在一个零点，则有f (－1)f (1)<0，即(a ＋1)(－5a ＋1)<0，所以(a ＋1)(5a －1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>05a －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<05a －1<0，解得a >15或a <－1.]2．(2018·清远市高一月考)若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 有零点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1D ．0<m ≤1B [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥1)2x －1(x <1)，画图象可知－1≤m <0，故选B ．]3．(2019·汕头学考模拟)若函数f (x )＝mx －1在(0,1)内有零点，则实数m 的取值范围是 ．m >1 [f (0)＝－1，要使函数f (x )＝mx －1在(0,1)内有零点，需f (1)＝m －1>0，即m >1.]4．(2019·佛山学考模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为 ．－3 [设函数f (x )的两个零点为x 1，x 2，根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2aa ＝－2.又因为x 1＝1，所以x 2＝－3.]5．(2019·广州高一期中)设函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，且g (1)＝－a2. (1)求证：函数g (x )有两个零点；(2)讨论函数g (x )在区间(0,2)内的零点个数． [解] (1)证明：∵g (1)＝a ＋b ＋c ＝－a 2， ∴3a ＋2b ＋2c ＝0，∴c ＝－32a －b .∴g (x )＝ax 2＋bx －32a －b ， ∴Δ＝b 2－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －b ＝(2a ＋b )2＋2a 2.∵a >0，∴Δ>0恒成立， 故函数g (x )有两个零点．(2)根据g (0)＝c ，g (2)＝4a ＋2b ＋c ，又由(1)知3a ＋2b ＋2c ＝0，∴g (2)＝a －c . (ⅰ)当c >0时，有g (0)>0， 又∵a >0，∴g (1)＝－a2<0，故函数g (x )在区间(0,1)内有一个零点，故在区间(0,2)内至少有一个零点． (ⅱ)当c ≤0时，g (1)<0，g (0)＝c ≤0，g (2)＝a －c >0， ∴函数f (x )在区间(1,2)内有一零点，综合(ⅰ)(ⅱ)，可知函数g (x )在区间(0,2)内至少有一个零点.。