垂线及其性质、画法
垂线及其性质、画法(课件)
对应练习
1、请你过点 P 画出线段 AB 或射线 AB 的垂线.
P
P
A
B
A
B
知识拓展
A
两条线段互相垂直 是指这两条线
段所在的直线互相垂直.
B
C
D
对应练习
2、如图，已知直线 l，作 l 的垂线.
l
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 无数条
知识拓展
在平面内，作已知直线的垂线有 无数条 ， 但过一 点作已知直线的垂线只有一条.
三、垂线段与点到直线的距离
在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段 (连接直线外 一点与垂足形成的线段) 最短. 简单的说： 垂线段最短.
直线外一点到已知直线的垂线段的长度就叫做点到直线的距离.
对应练习
1、如图，沙坑中留下一位同学跳远的足印，如何测量这位同 学的跳远成绩？为什么？
，且 ∠AOB=90°，∠COD=90°，∠AOD=5
4
求∠BOC的度数．
∠AOC．
巩固练习
7、如图所示，O 是直线AB上一点，∠AOC=
1 3
∠BOC，OC
是 ∠AOD 的平分线．
(1) 求 ∠COD 的度数．
(2) 判断 OD 与 AB 的位置关系，并说出理由．
巩固练习
8、点 O 是直线AB上的一点， OC 是射线，OM 平分 ∠AOC，
直线外一点到已知直线的垂线段
P
的长度 叫做点到直线的距离.
A B O Cl
垂线段与点到直线的距离的区别： 垂线段是一个几何图形，即垂线段是一条线段，长度
可以度量. 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量.
垂线的画法
垂线段是连接一点和它在给定直 线上垂足的线段。
垂线段与垂足概念
垂线段
从直线外一点到这条直线的垂线 段的长度，叫做点到直线的距离 。
垂足
如果两直线的夹角为直角，那么 就说这两条直线互相垂直，其中 一条直线叫做另一条直线的垂线 ，他们的交点叫做垂足。
垂线性质及其应用
垂线的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最 短。简称：垂线段最短。
若两点都在直线外，则先确定其中一点到直线的垂足，再以该垂足和另一点为端点 画直线。
在复杂图形中确定垂足位置
观察图形特点，找出 与已知直线构成直角 的点或线段。
在确定垂足位置后， 按照过一点或两点作 已知直线垂线的方法 进行绘制。
使用直角三角板或量 角器等工具进行辅助 ，确定垂足位置。
04
垂线在几何图形中应用举 例
垂线的性质：垂线段最短，即垂足到线段两 个端点的距离相等。
04
1. 将三角板的一条直角边与已知直线重合 。
2. 沿着直线移动三角板，直到另一条直角 边与已知点重合。
05
06
3. 沿着这条直角边画一条直线，这条直线 就是已知直线的垂线。
学生自我评价报告分享
学生可以分享自己在垂线画法学习过 程中的心得体会，如遇到的困难、如 何克服这些困难以及取得的进步等。
使用铅笔沿着直尺的另一条边轻轻地 画出垂线，使其经过已选定的点。
放置直尺
将直尺的一条边与已有点所在的直线 重合，确保直尺边与直线紧密贴合。
使用量角器和三角板辅助绘制
选择量角器和三角板
01
选择一个合适的量角器和三角板组合，确保能够准确地测量和
绘制所需角度。
放置量角器
02
四年级数学上册教案-5.1垂线的画法-人教版
四年级数学上册教案-5.1垂线的画法-人教版一、教学目标1. 让学生理解垂线的概念，掌握垂线的性质。
2. 学会使用直尺和圆规画垂线。
3. 培养学生的观察能力和动手操作能力。
二、教学内容1. 垂线的概念和性质2. 画垂线的方法三、教学重点与难点1. 教学重点：垂线的概念和性质，画垂线的方法。
2. 教学难点：如何正确使用直尺和圆规画垂线。
四、教学过程1. 导入新课通过复习旧知识，引导学生回顾直线的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解垂线的概念和性质（1）教师讲解垂线的概念：如果两条直线相交成直角，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。
（2）教师讲解垂线的性质：一条直线的垂线有无数条，且都相交于同一点。
3. 演示画垂线的方法（1）教师用直尺和圆规演示如何画垂线。
（2）学生跟随教师一起操作，学会画垂线的方法。
4. 练习画垂线学生分组练习画垂线，教师巡回指导，纠正错误。
5. 巩固练习（1）教师出示一些练习题，让学生独立完成。
（2）教师点评学生的练习，讲解典型错误。
6. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调垂线的概念、性质和画法。
五、课后作业1. 让学生完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 让学生回家后，向家长讲解垂线的概念和性质，以及如何画垂线。
六、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
七、附录1. 教学课件2. 练习题及答案注：本教案适用于人教版四年级数学上册第五单元第一节《垂线的画法》。
重点关注的细节：垂线的性质与画法在四年级数学上册的“垂线的画法”这一节中，垂线的性质与画法是学生需要掌握的核心知识点。
因此，对于这个重点细节，我们需要进行详细的补充和说明。
一、垂线的性质1. 定义：如果两条直线相交成直角，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。
2. 垂线的唯一性：在平面几何中，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。
3. 垂线的传递性：如果直线l垂直于直线m，直线m垂直于直线n，那么直线l垂直于直线n。
《垂线的画法》教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂线的定义、性质以及画法。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.发展几何直观：观察和理解垂线在实际图形中的应用，提高对空间关系的感知。
2.加强逻辑推理：掌握垂线的定义和性质，通过推理分析垂线与直线的关系，培养严谨的逻辑思维。
3.提升数学建模能力：学会运用直角三角板和尺规两种方法作垂线，将理论知识应用于实际操作，提高解决几何问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂线的画法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找到垂直线的情况？”（例如，挂画框时需要确保画框垂直于墙面）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂线的画法的奥秘。
《垂线的画法》教案
一、教学内容
本节课选自人教版数学八年级上册第四章《几何图形初步》中的《垂线的画法》一节。教学内容主要包括以下两个方面：
2.2 垂线
2.2 垂线【知识精华点击】课标要求1. 了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；2. 了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离.本节重点是两条直线互相垂直的概念、性质和画法，“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用；难点是画给定直线的垂线以及对点到直线的距离的概念的理解. 教材详析1.垂线(1)定义：当两条直线相交成的4个角中，有一个角是直角时，就叫做这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
理解垂直要注意以下三点：①掌握垂直的表示法垂直用符号“⊥”来表示，如图 2.2-1，“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”可记为AB ⊥CD,垂足为O ，并在图中任意一个角处作上直角记号,OD C B A图2.2-1②理解垂直与相交的关系垂直是相交的特殊情形，即相交成的角是直角时就是垂直。
所以两条直线互相垂直就一定相交，反过来，两条直线相交就不一定互相垂直。
③弄清“互相垂直”与“垂线”的联系和区别“互相垂直”是两条直线间的一种特殊位置关系，“垂线”则是两条直线互相垂直时其中的一条直线对另一条直线的称呼。
两条直线“互相垂直”时，其中的一条直线就是另一条直线的“垂线”。
反之，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么这两条直线就一定互相垂直。
(2)几何推理：包括正用（判定）和反用（性质）的推理过程。
如图2.2-1， 判定：∵∠AOB=90°,∴AB ⊥CD ； 性质：∵AB ⊥CD ，∴∠AOB=90°。
(3)垂直的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(4) 垂线的画法①通过直线上的已知点画与这条直线垂直的直线（如图2.2-2（1））：第一步：把三角板的一条直角边与直线重合；第二步：沿着直线左右移动三角板，使直角顶点与直线上的已知点重合；第三步：沿另一条直角边画一条直角边画一条直线。
垂线的画法教案
垂线的画法教案doc教案章节：第一章至第五章第一章：垂线的概念1.1 教学目标：让学生了解垂线的定义和特点。
让学生掌握垂线的基本画法。
1.2 教学内容：垂线的定义：垂线是与另一条线段或平面相交，且交点与该线段或平面的端点之间的线段。
垂线的特点：垂线与另一条线段或平面相交，且交点与该线段或平面的端点之间的线段是垂直的。
1.3 教学步骤：1. 引入垂线的概念，让学生观察图片中的垂线。
2. 解释垂线的定义和特点，让学生理解垂线的概念。
3. 演示垂线的画法，让学生跟随老师一起画出垂线。
4. 让学生练习画垂线，并提供练习题进行巩固。
第二章：垂线的性质2.1 教学目标：让学生了解垂线的性质。
让学生掌握垂线的应用。
2.2 教学内容：垂线的性质：垂线与另一条线段或平面相交，且交点与该线段或平面的端点之间的线段是垂直的。
垂线的应用：垂线在几何图形中的应用，如求解角度、距离等问题。
2.3 教学步骤：1. 回顾垂线的概念，引入垂线的性质。
2. 解释垂线的性质，让学生理解垂线的重要性质。
3. 演示垂线的应用，让学生跟随老师一起解决几何问题。
4. 让学生练习应用垂线解决实际问题，并提供练习题进行巩固。
第三章：垂线的画法3.1 教学目标：让学生掌握垂线的画法。
让学生能够独立完成垂线的画法。
3.2 教学内容：垂线的画法：利用直尺和圆规画垂线的方法。
3.3 教学步骤：1. 引入垂线的画法，让学生了解垂线画法的基本工具。
2. 演示垂线的画法，让学生跟随老师一起画出垂线。
3. 让学生练习画垂线，并提供练习题进行巩固。
第四章：垂线的应用4.1 教学目标：让学生了解垂线在实际问题中的应用。
让学生能够运用垂线解决实际问题。
4.2 教学内容：垂线的应用：垂线在实际问题中的应用，如求解角度、距离等问题。
4.3 教学步骤：1. 引入垂线的应用，让学生了解垂线在实际问题中的重要性。
2. 演示垂线解决实际问题的方法，让学生跟随老师一起解决实际问题。
2.1.2 垂线的定义与性质 课件 2021--2022学年北师大版七年级数学下册
知识点3：垂线的性质
【例3】如图，已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足
为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( C )
知识点3：垂线的性质
导引：根据题意可知，过点B有AB，CB都与直线l垂直，由垂线的性
质可知，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
所以A、B、C三点在一条直线上．
归纳：利用直线的性质解答题目，要注意直线性质满足的条件： 1. 在平面内； 2. 过一点，点的位置可以在直线上也可以在直线外； 3. 相交所成的角必须是直角，以上三条缺一不可.
1.在同一平面内，下列语句正确的是( C )
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．和一条直线垂直的直线有两条 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若两直线相交，则它们一定垂直
bbb
b
b
α ）α
a
知识要点
垂直定义： 两条直线相交成四个角，如果有一 个角是直角，那么称这两条直线互 相垂直.
注意：两条线段互相垂直是指 这两条线段所在的直线互相垂 直.
垂直的表示法 如果直线AB与直线CD垂直，那
么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
如果用l、m表示这两条直线， 那么直线l与直线m垂直，可记作： A l⊥m（或m ⊥ l）.
2.如图，如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重
合(即O，M，N三点共线)，其理由是( )
C
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一
条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一
条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
人教版七年级数学课件《垂线》
人教版数学七年级下册
情景引入
人教版数学七年级下册
情景引入
人教版数学七年级下册
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特
殊的位置关系？
知识精讲
人教版数学七年级下册
在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a、b
所成的角∠α也会发生变化.
当∠α=90°时，我们说a 与b互相垂直，记作a⊥b.
线，并且只能画出一条垂线.
即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线
段的长度，叫做点到直线的距离.
人教版数学七年级下册
THE END!
祝各位同学们学业进步、天天向上！
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短.
简单说成：垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直
线的距离.
知识精讲
人教版数学七年级下册
现在，你知道水渠该怎ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ挖了吗？在书中图5.1-8中画出来，如
果图中比例尺为1:100000，水渠大约要挖多长？
则：沿着垂线段PH挖渠能使渠道最短.
知识精讲
人教版数学七年级下册
如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处如何挖渠能使
渠道最短？
知识精讲
人教版数学七年级下册
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3，A4，A5，
…，其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO，PA1，PA2，
PA3，PA4，PA5，…的长短，这些线段中，哪一条最短？
垂线的定义和性质
垂线的定义和性质
1、垂线的定义和性质
1垂直的定义
当两条线相交形成的四个角之一为90度时，这两条线就称为相互垂直。
2垂直线的定义
两条线相互垂直，其中一条称为另一条线的垂线，相交处称为垂直脚。
三。
垂线的性质
（1）只有一条直线垂直于通过一个点的已知直线；
（2）在所有连接线外一点和线上各点的线段中，垂直线段最短。
4点到线的距离
从线外一点到线的垂直截面的长度称为点到线的距离。
一个点和一条直线之间的距离是一个正值，一个量，而不是一个数字，所以你不能画距离，你只能测量距离。
2、垂直线示例
在体育课上，教师衡量跳远成绩的依据是什么___
A.垂直的定义
B.两点之间的最短线段
C.最短垂直线段
两点成一条直线
答案：C
分析：老师测量跳远成绩的依据是：最短垂直线。
所以选择C。
七年级数学,垂线的定义、画法
四、练习与小结
2.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线
的垂线.如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线.
过一点画一条线段的垂线，其实就是画这条线段所
在的直线的垂线.
四、练习与小结
小结：谈谈你对垂线的认识. （1）垂线的定义、几何符号语言. （2）垂线的性质及画法. （3）垂直是相交的一种特殊情况，垂直属于相 交，但又不同于一般的相交，只有两条直线相交成 直角时，它们的位置关系才能称作互相垂直.
选做题：第6题.
叫做这两条直线互相垂直，它是直线相交的一种特殊情
形.其交点叫垂足.
A C O B D
如图，记作：AB⊥CD,垂足是O.“⊥”是垂直符号.
二、探究垂线的概念
2.发现生活中的垂直实例. 生活中有许多直线互相垂直的例子，你能举出一 些例子吗？
你能再举出其他
二、探究垂线的概念
二、探究垂线的概念
围棋盘的横线和竖线
四、练习与小结
小结：谈谈你对垂线的认识. （4）垂直与垂线不同，垂直是指两条直线的位 置关系，而垂线是指两条直线互相垂直时，其中的
一条叫做另一条的垂线.两者也有联系，只有在垂
直的情况下，才会有垂线. （5）在同一平面内，过一点有且只有一条直
线与已知直线垂直.
五、布置作业
必做题：习题5.1第3，4，5题.
铅垂线和水平线
三、探究垂线的画法
问题1：用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这
样的直线你能画几条？
无数 问题2：经过直线l上一点A画直线 条 l 的垂线，这样
一条 问题3：经过直线l外一点B画直线 源自 的垂线，这样的垂线能画几条？
的直线能画几条？
一条
三、探究垂线的画法
垂线
2.如图, AC⊥BC, ∠C=900 ,线段AC、BC、CD 中最短的是( C )
(A) AC (B) BC (C) CD (D) 不能确定 C B
A
D
3.直线I上有ABC三点，直线I外有一点，且 PA=2,PB=3，PC=5,那么P到直线I的距离 （ ） Ａ等于2 B小于2 C小于或等于2 Ｄ大于2且小于3 4.如图所示，何大伯从A处牵牛到河边I处饮 Ａ 水，应沿怎么的路线最近？ 。
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。 α b 2.垂直的表示： O 用“⊥”和直线字母表示垂直
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O， 则记为： a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
B
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) ∵ ∠DOE= 50° （已知） B A O ∴ ∠DOB=40°(互余的定义) C F ∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等） 又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义） ∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130° ∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－ 80°=100°(邻补角定义)
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线 段PA的长度叫做点P到直线l的距离.
l
例：如图，是一个同学跳远的位置 A 跳远成绩怎么表示? l 回顾：两点距离、点到线的距离 解:过P点作PA⊥l于 P 点A ，垂线段PA的长 A 度就是该同学的跳远成 绩.
书本习题。
1、选择题：
1、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( D )
垂线的定义和性质垂直的判定定理和性质定理垂线的画法步骤
一、垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
二、垂线的定义：1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
2.直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB 垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
三、垂直的判定：垂线的定义。
四、垂线的画法1.画垂线有两种情况，一种是已知一条直线，过这个直线之外的一个点画这个直线的垂线；另一种情况是已知一条直线，过这个线上的某一点作这个直线的垂线。
这两种情况画垂线都需要用到工具，有直尺、直角三角尺还有笔。
2.第一种情况，首先把直尺放好，直尺的一条边要和已知的那条直线重合，然后把直角三角尺的其中一个直角边靠在直尺上，保持三角尺的另一个边和直尺垂直的情况下，慢慢移动直角三角尺，直到直线外的某一点和直尺三角尺的另一条边重合，最后沿着直角三角尺的另一条边过直线外的那一点画出来直线，这条直线就是那条已知直线的垂线。
3.第二种情况，也是要先把直尺作为一个标准放好，直尺的一条边要和已知的直线重合在一起，把直角三角形的一个直角边靠在直尺上，保持直尺不动，直角三角尺慢慢移动，直到直角三角尺的顶点和已知的那个点重合，沿着直角三角尺的另一条直角边过已知的点画一条直线，这条直线就是要画的垂线。
五、线线垂直的性质和判定定理如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。
线线垂直是指两条线是垂直关系，分为平面两直线垂直和空间两直线垂直两种。
平面两直线垂直：两直线垂直→斜率之积等于1；两直线斜率之积等于1→两直线垂直。
空间两直线垂直：所成角是直角，两直线垂直。
六、线面垂直的判定方法⑴定义(反证法);⑵判定定理:⑶b⊥α,a∥ba⊥α; （线面垂直性质定理）⑷α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）;⑸α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a β a⊥α（面面垂直性质定理）。
七年级数学垂线的概念、画法、性质与角度计算
相交线之垂线在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b。
当b的位置变化时，a、b所成的∠α也会发生变化。
当∠α＝90°时（如图1），你能得到什么结论？我们说a与b互相垂直，记作a⊥b。
（图1）【知识梳理1】垂线的相关概念及推理1.当∠α＝90°时（如图1）此时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b。
（图2）2.垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。
如图2，AB⊥CD，垂足为O。
注：（1）∠α可以是四个角中的任意一个角，不是限定不变的某一个角。
（2）在画图时，要标记直角符号“┐”，垂线是一条直线而不是线段或射线。
3.推理格式∵∠AOC＝90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义）反过来也成立：∵AB⊥CD于点O（已知）∴∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°（垂直的定义）注：垂直的定义既是垂直的性质，也是垂直的判定方法。
【重点剖析】遇到线段、射线的垂直问题，指的是它们所在的直线互相垂直，画线段或射线的垂线是指画它们所在直线的垂线，垂足可能在线上，也可能在其延长线上。
【知识梳理2】垂线的画法经过一点作（已知直线上或直线外），画已知直线的垂线，步骤如下：①靠线：让直角三角板的一条直角边（或某条刻度线）与已知直线重合；②靠点：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已知点；③画线：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的已知直线的垂线。
例：1.在下列各图中，过点P 画出射线AB 或线段AB 的垂线 2.过点P 作∠AOB 两边的垂线【例题精讲】例1.下列说法正确的有（ ）①两条直线相交，交点叫垂足；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；④在同一平面内，一条线段有无数条垂线；⑤过任意一点不可能向一条射线或线段所在的直线作垂线；⑥若直线1l ⊥2l ，则1l 是2l 的垂线，2l 不是1l 的垂线。
垂线及其性质、画法
举一反三 1.请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线.
结论：画一条线段或射线的垂线，就是画它
们所在直线的垂线.
学以致用
2.如图，直线l表示一条公路，点P是一所学校所在的位置， 要修一条从学校到公路的道路，如何修才能使道路最短？ 画出所修道路的示意图. 学校
沪科版教材七年级数学下册
10.1 相 交 线 （第二课时）
合肥市行知学校 吴子赟
温故知新
两直线相交
01 形成小于平角的角有几个？ 02 若∠AOC=30°，其它角分别为多少度？
思考：已知直线AB，在直线AB上取一点O，画直线CD，要求：
（1）直线CD过点O； （2）∠AOC=30°.
再思考
当∠AOC=45°时， 直线CD能画几条？
公路
基本事实2 两点之间的所有连线中，线段最短.
两点之间线段最短
基本事实4
在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短.
垂线段最短
概念类比
两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
及时反馈
1.△ABC中，∠C=90°，AC=5㎝,BC=12㎝,AB=13㎝.请指出： （1）点A到直线BC的距离、点B到直线AC的距离是哪些线段的长; （2）如何表示点C到直线AB的距离呢？
反思盘点
一般
特殊
画法
性质
应用
位置关系
平面内两 直线相交
Hale Waihona Puke 数量关系平面内两 直线垂直
基本事实 过一点有且只 有一条直线垂直 于已知直线
基本事实
垂线段最 短
点到直线的距离
垂线的画法及性质
垂线的概念、画法和垂线的性质.
教学难点
垂线的画法.
授课类型
新授课
课时
1
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
问题1：如图10－1－57，(1)∠AOC的对顶角是哪个角，这两个角的大小关系怎样？(2)∠AOC的邻补角有几个，是哪几个角？
图10－1－57
问题2：如图10－1－58，当∠AOC＝90°时，∠AOD，∠DOB，∠BOC等于多少度？为什么？这种位置关系有几种？直线AB，CD的位置关系怎样？
第2课时垂线及其性质、画法
课题
第2课时 垂线及其性质、画法
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.使学生理解垂线的概念及表示，垂线的性质和点到直线的距离概念．
2．在理解概念的基础上，使学生会用三角尺或量角器画垂线，掌握一点到一直线的距离的测量方法．
3．逐步训练学生正确使用几何符号、几何语言，逐步熟悉推理的格式.
数学思考
3.过一个钝角的顶点作这个角两边的垂线，若这两条垂线的夹角为40°，则此钝角的度数为()
A.140°B．160°C．120°D．110°
4..如图10－1－66，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数为________°.
图10－1－66
图10－1－67
5..如图10－1－67，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠DOE＝4∠COE，求∠AOD的度数.
通过作图理解点到直线的距离，把抽象的几何知识转化为具体的平面模型，提高了学生动手动脑的能力，同时更加清晰地认识到点到直线的所有线段中，垂线段最短.
问题解决
垂线的概念与性质
149垂线的概念与性质知识点：垂线的定义：两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直,a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：a⊥b或b⊥a. 垂线的性质：1.经过直线或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.2.连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，垂线段最短.注：⑴两条直线垂直是两直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角.⑵线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在的直线互相垂直.⑶垂线与垂线段的区别：垂线是一条直线，不可度量；垂线段是一条线段，可度量.经典例题：例题1．下列判断错误的是（）.A.一条线段有无数条垂线；B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直；C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；D.若两条直线相交，则它们互相垂直.答案：D.解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.故选：D.例题2 如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于（）A． 30°B． 34°C． 45°D． 56°答案：B．解析：根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．解：∵CO⊥AB，∠1=56°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，∴∠2=∠3=34°．故选B．例题3 如图，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ．则∠SQT等于（）A． 42°B． 64°C． 48°D． 24°答案：A．解析：利用垂直的概念和互余的性质计算．解：∵∠PQR等于138°，QT⊥PQ，∴∠PQS=138°﹣90°=48°，又∵SQ⊥QR，∴∠PQT=90°，∴∠SQT=42°．故选A．例题4如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）A． 2.5 cm B． 3 cm C． 4 cm D． 5 cm答案：A．解析：利用垂线段最短分析．解：已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，故选A．例题5已知如图，AO⊥BC，DO⊥OE,若∠COE=35°，则∠AOD的度数是（）．A．30° B．35° C．40°D． 45°答案：B．解析：已知AO⊥BC，DO⊥OE，就是已知∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，利用同角或等角的余角相等，从而得到相等的角．由（1）知，∠AOD=∠EOC，故可求解．解：（1）∵AO⊥BC，DO⊥OE，∴∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，∠BOD+∠AOD=90°，∠AOD+∠AOE=90°，∠AOE+∠COE=90°，∴∠DOA=∠EOC，∠DOB=∠AOE，∠AOB=∠AOC，∠AOB=DOE，∠AOC=∠DOE；∠AOD=∠EOC=35°．∴∠AOD的度数是35°．故选：B．。
5.1.2垂线
D
C
B
思考：在直角三角形的三条边中哪一条最长？
A
C
答:直角所对的边即斜边最长.
拓展应用1 如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车 站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近）， 请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。 垂线段最短
张庄
例4、如图,量出（1）村庄A与货场B的距离, （2）货场B到铁道的距离。
b
O
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
a
2.垂直的表示： 用“⊥”和直线字母表示垂直
α
b
O
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为： a⊥b或b⊥a, 垂足为O.
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图 5.1-6中的一些互相垂直的线条.
P
Q
A
B
O
A
练习3.
①过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（C ）.
A
B
C
D
请你画图，并用尺 量一下，看看哪一 条线段最短？
P
此问题就是“直线外一点与已知直线上各点所连的线段中,有没有最短的 线段?”
垂线段的概念： 由直线外一点向直线引垂线，这点与垂 足间的线段叫做垂线段。 例如：如图，PA⊥l于点A ，线段PA 叫做点P到直线l的垂线段.
P
l A
注意： 点P到直线l的距离是垂线段PA的长度，而不是垂线段PA.
想一想：
已知：如图AD＜AE ＜AC＜AB能说AD的长是A到BC的距离吗？ 答：不能。
A
B
D EC
如图，怎样测量 点A 到 直线m 的距离？
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第2课时 垂线
石梁九年制学校 佘宁刚 2018.5.23
新课引入
日常生活中，如下图中的两条直线的关系很常 见，你能再举出其他例子吗？
垂线的定义
当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就 说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线，它们的交点叫做垂足.
【解析】因为∠AOE和∠BOF是对顶角，所以∠BOF=∠AOE =40°,又∠BOD=50°，所以∠DOF=∠BOD+∠BOF=90°， 所以EF⊥CD.
4.如图，AB丄BD于点B，CD丄BD于点D，则 ∠ABD=___9_0_°___，∠CDB=___9_0_°____.
【解析】由垂直的定义得，∠ABD=90°,∠CDB=90°.
作业：1、P121第3题
2、O为直线AB上一点，OM平分∠AOC，
OM⊥ON.
求证： ON平分∠BOC
预习：垂线的性质
1、垂线有哪些性质，画图并用文字说明。 2、什么叫点到直线的距离，画图并用文 字说明。
5.如图，直线AB，CD，EF都经过点O，且AB⊥CD， ∠COE=35°，求∠DOF，∠BOF的度数. 【解析】因为∠DOF与∠COE是 对顶角，所以∠DOF=∠COE= 35°，又因为AB⊥CD，所以 ∠BOD=90°，所以∠BOF=∠DOF+ ∠BOD=35°+90°=125°.
课堂小结
(1)线段和射线都有垂线； (2)垂线的画法 (3)过一点有且只有一条直线
基本事实：过一点有且只有一条直线垂直于已 知直线
线段、射线与某一条直线互相垂直，是指 线段、射线所在直线与该直线互相垂直。
画一条线段或射线的垂线，就是画它们 所在直线的垂线
画图：作CD⊥AB，垂足为D.
.C
AHale Waihona Puke B画图：作CD⊥AB，垂足为D.
C
B
A
随堂训练
1.下列说法中，不正确的是( D ) A.在同一平面内，经过一点只能画一条直线和已知直线垂直 B.一条直线可以有无数条垂线 C.在同一平面内，过射线的端点与该射线垂直的直线只有 一条 D.过直线外一点并过直线上一点可画一条直线与该直线垂直 【解析】选D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过 直线外一点并过直线上一点不一定有一条直线与已知直线垂 直.故D错.
如图，直线AB、CD互相垂直，记作
C
AB CD垂足为O.
∵∠ COB=90°
A
∴ AB CD ∵ AB CD
∴ ∠COB=90°
O
B
D
【例】如图,∠ACB=90°,D是AB上一点，且 ∠ADC=∠BDC,请写出图中互相垂直的线段，并简要说明 理由. 【解题探究】图中互相垂直的线段有 AC⊥BC,AB⊥CD,AD⊥CD,BD⊥CD. 理由如下：∵∠ACB=90°, ∴ AC⊥BC(垂直的定义)， ∵∠ADC=∠BDC, 又∵∠ADC+∠BDC=180°, ∴ ∠ADC=∠BDC=90°, ∴ AB⊥CD,AD⊥CD,BD⊥CD(垂直 的定义).
2.如图，点D在直线AB上，当∠1与∠2具备条件_∠__1_=_∠__2_时， CD与AB的位置关系是垂直.
【解析】因为∠1与∠2互补，所以当∠1＝∠2=90°时，CD 与AB垂直.
3.如图，三条直线AB，CD和EF相交于点O，∠AOE=40°, ∠BOD=50°，则图中互相垂直的两条直线是_E_F__和__C_D_.
过一点画已知直线的垂线
方法1：用直尺 过一点画已知直线的垂线的三个步骤
1.靠，让三角尺的一条直角边紧靠在已知直线上; 2.移，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边过已知点; 3.画，沿不与已知直线重合的直角边画一直线，则该直线 就是已知直线的垂线.
m
B A
C
则直线m即为所求垂线．
方法2：折纸
操作：在一张纸上画一条直线，如何在这张纸 上画直线？