偏导数的定义及其计算法

2 2 2 2 2 2
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三、小结
偏导数的定义 （偏增量比的极限） 偏导数的计算、偏导数的几何意义
⎧ 纯偏导 高阶偏导数 ⎨ ⎩ 混合偏导（相等的条件）
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思考题
若 函 数 f ( x , y ) 在 点 P0 ( x0 , y0 ) 连 续，能否断定 f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的偏导数必定存在？
同理可以定义函数 z = f ( x , y )对自变量 y 的偏导
∂z ∂f 数，记作 ， ， z y 或 f y ( x , y ) . ∂y ∂y
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偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f ( x, y, z ) 在 ( x, y, z ) 处
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1 ∵ ln x + y = ln( x 2 + y 2 ), 解 2 x ∂u y ∂u ∴ = 2 , , = 2 2 2 ∂x x + y ∂y x + y
2 2
∂ 2u ( x 2 + y 2 ) − x ⋅ 2 x y2 − x2 ∴ 2= = 2 , 2 2 2 2 2 ∂x (x + y ) (x + y ) ∂ 2u ( x 2 + y 2 ) − y ⋅ 2 y x2 − y2 = = 2 . 2 2 2 2 2 2 ∂y (x + y ) (x + y ) ∂ u ∂ u y −x x −y ∴ 2+ 2 = 2 + 2 2 2 2 2 = 0. ∂y (x + y ) (x + y ) ∂x
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观察例5中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函 数图象间的关系：
原 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
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导 函 数 图 形
二 阶 混 合 偏
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x2 + y2 y2 ⋅ 2 2 3 | y| (x + y )
( y 2 =| y |)
| y| = 2 . 2 x +y
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∂z = ∂y
1 x2 1− 2 2 x +y
2 2
⎛ ⎞ ′ x ⋅⎜ ⎜ x2 + y2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠y
=
x +y ( − xy ) ⋅ 2 2 3 | y| (x + y )
f ( x + ∆x , y , z ) − f ( x , y , z ) , f x ( x , y , z ) = lim ∆x → 0 ∆x f ( x , y + ∆y , z ) − f ( x , y , z ) , f y ( x , y , z ) = lim ∆y → 0 ∆y
f ( x , y , z + ∆z ) − f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) = lim . ∆z → 0 ∆z
( y ≠ 0)
x 1 =− 2 sgn 2 x +y y
∂z 不存在． ≠0 ∂y x = 0 y
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例 4
已知理想气体的状态方程 pV = RT
∂ p ∂V ∂ T ⋅ ⋅ = −1. （ R 为常数） ，求证： ∂V ∂T ∂ p
RT ∂p RT ⇒ =− 2; 证 p= V ∂V V RT ∂V R ∂T V pV V= ⇒ = ; = ; T= ⇒ p ∂T p ∂p R R ∂p ∂V ∂T RT R V RT = − 1. ⋅ ⋅ =− 2 ⋅ ⋅ =− ∂V ∂T ∂p V p R pV
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如果函数 z = f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z = f ( x , y )对 自变量 x 的偏导数，
∂z ∂ f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). ∂x ∂x
导数，记为
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∂z ∂f ， ，zx = = ∂ x x = x0 ∂ x x = x0 y y y y
0 0
x = x0 或 y = y0
f x ( x 0 , y0 ) .
同理可定义函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数， 为
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
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连续.
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4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z = f ( x , y ) 上一点,
如图
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几何意义:
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有关偏导数的几点说明：
∂u １、 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; ∂x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例如, 设z = f ( x , y ) = xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
解
| x⋅0|− 0 = 0 = f y (0,0). f x (0,0) = lim x →0 x
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例 1 求 z = x 2 + 3 xy + y 2 在点(1, 2) 处的偏导数．
解
∂z = 2x + 3 y ; ∂x
x =1 y=2
∂z = 3x + 2 y . ∂y
∂z ∴ ∂x ∂z ∂y
= 2×1 + 3× 2 = 8 , = 3×1 + 2× 2 = 7 .
= x + x = 2z .
y y
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原结论成立．
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x ∂z ∂z 例 3 设 z = arcsin ，求 ， . 2 2 ∂x ∂y x +y
解
∂z = ∂x
1 x2 1− 2 2 x +y
⎛ ⎞ ′ x ⋅⎜ ⎜ x2 + y2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠x
=
x =1 y=2
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例2
设 z = x ( x > 0, x ≠ 1) ，
y
x ∂z 1 ∂z = 2z . + 求证 y ∂x ln x ∂y
证
∂z yx y −1 , = ∂x
∂z x y ln x , = ∂y
x ∂z 1 ∂ z x y −1 1 y + = yx + x ln x ln x y ∂x ln x ∂y y
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某一邻域 内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 ∆x 时，相应地函数有增量 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) ，
f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 ∆x → 0 ∆x 此极限为函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 x 的偏
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y = y0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的 斜率.
偏导数 f y ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 x = x 0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0T y 对 y 轴的 斜率.
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问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
相等？
定理
2
如果函数 z = f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导
2
∂ z ∂ z 及 在区域 D 内连续，那末在该区域内 数 ∂y∂x ∂x∂y
这两个二阶混合偏导数必相等．
例 6
验证函数u( x , y ) = ln x 2 + y 2 满足拉普拉 ∂ 2u ∂ 2u 斯方程 2 + 2 = 0. ∂x ∂y
f ( x 0 , y0 + ∆ y ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆y → 0 ∆y ∂z ∂f ， ， z y x = x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . 记为 = = y = y0 ∂y x = x0 ∂ y x = x 0 y y y y
0 0
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思考题解答
不能. 例如,
f ( x, y) = x2 + y2 ,
在( 0,0)处连续,
但
f x (0,0) = f y (0,0) 不存在.
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作业 P69 T5, T8
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３、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续， 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
⎧ xy ⎪ x2 + y2 , 例如,函数 f ( x , y ) = ⎨ ⎪ 0, ⎩
x2 + y2 ≠ 0
,
x2 + y2 = 0
依定义知在( 0,0)处， f x ( 0,0) = f y ( 0,0) = 0 .
∂ z ∂ z ∂ z 2 2 = 6 xy , = 2 x 3 − 18 xy; = 6y , 2 3 ∂y 2 ∂x ∂x 2 ∂ z ∂ 2z = 6 x 2 y − 9 y 2 − 1, = 6 x 2 y − 9 y 2 − 1. ∂ x∂ y ∂y∂x
2
3 2
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定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
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例5
设 z = x 3 y 2 − 3 xy 3 − xy + 1，
Hale Waihona Puke Baidu
∂ 2z ∂ 2z ∂3z ∂ 2z ∂ 2z 求 2、 、 、 2及 3. ∂x ∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂y
∂z ∂z 2 2 3 解: = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x; = 3 x y − 3 y − y, ∂x ∂y
例6
设 u = e ax cos by ，求二阶偏导数.
解
∂u = ae ax cosby , ∂x ∂ 2u = a 2e ax cos by , ∂x 2 ∂ u = − abe ax sin by , ∂x∂y
2
∂u = − be ax sin by; ∂y ∂ 2u = − b 2e ax cos by , ∂y 2 ∂ 2u = − abe ax sin by . ∂y∂x
二、高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数为
∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ⎜ ⎟ = 2 = f xx ( x , y ), ⎜ ⎟ = 2 = f yy ( x , y ) ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂y ⎝ ∂ y ⎠ ∂y
纯偏导 混合偏导
∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z = f xy ( x , y ), ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟= = f yx ( x , y ) ∂ y ⎝ ∂ x ⎠ ∂ x∂ y ∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂y∂x