高等代数线性方程组PPT课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数乘： k (k1 ,k a2 , a,kn ) a,k P
向量加法满足以下四条运算规律
交换律： ( ) ( )
结合律：
零向量：O = (0，0，…，0)
有零元： O
有负元： ()O
负向量：- = (-a1，-a2，…，-an)
.
13
线性方程组
§2 n维向量空间
向量数乘满足以下两条运算规律
bs
wk.baidu.com
系数矩阵
. 未知向量
右端向量 4
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
§1 消元法
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a2
1x1
a2
2x2
a2nxn
b2
as1x1 as2x2 asnxn bs
Axb
其中
a11 a12
A
a21 as1
a22 as2
a1n
a2n
asn
x 1
x
x2 xn
b 1
b
b2
.
8
线性方程组
§1 消元法
(ii) 若 r < n，则阶梯形方程组为
c1x 11c12 x2c1rxrc1,r1xr1c1nxn d1
c22 x2c2rxrc2,r1xr1c2nxn
d2
(cii0)
crrxrcr,r1xr1crn xn dr
可改写为
自由未知量
c1x 11c12 x2c1rxr d1c1,r1xr1c1nxn
(cii 0)
0 0
0 0
.
7
线性方程组
§1 消元法
当 dr1 0时，该线性方程组无解。
当 dr1 0时，该方程组有解，并分两种情况：
(i) 若 r = n，则阶梯形方程组为
c11x1c12x2 c1nxn d1
c22x2 c2nxn
d2
(cii 0)
cnnxn dn
方程组有唯一解。
a2nxn
b2
as1x1 as2x2 asnxn bs
§1 消元法
当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。
当s=n时，若D = 0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。
当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。
.
3
线性方程组 ● 线性方程组的矩阵表示法
例3、 解齐次线性方程组
25xx11xx2242xx332xx4400 x1 3x2 6x3 5x4 0
.
§1 消元法
11
线性方程组 ● n 维向量
§2 n维向量空间
§2 n维向量空间
定义：数域P中n个数组成的有序数组(a1,a2,,an)称为数域P上的n维
向量，其中ai称为该向量的第i个分量。
(2) (1)
(3) kOO
(4 ) k O 当且 k 0 仅 或 . 当 O
14
线性方程组
§3 线性相关性
§3 线性相关性
● 向量组的线性关系
定义：设 ,1,2,,s 是P n中的向量，若存在数域P中的一组数
k1,k2,,ks使得
k 11 k22 ks s
有单位元： 1
定义：若V是数域P中n维向量的全体，若
考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称
结合律： k(l)(k)l V为数域P上的n维向量空间，记为P n。
向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律
分配律： k()kk 分配律： (kl)kl
由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质
(1) 0O
线性方程组
第三章 线性方程组
.
1
线性方程组
主要内容：
➢ 消元法 ➢ n 维向量空间 ➢ 线性相关性 ➢ 矩阵的秩 ➢ 线性方程组有解的判断定理 ➢ 线性方程组有解的结构
.
2
线性方程组
§1 消 元 法
考虑一般的线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
a22x2
定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换 化为一个阶梯形矩阵。
定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。
c11x1 c12x2 c1r xr c1n xn d1
c22x2 c2r xr c2n xn d2
crr xr crn xn 0
dr dr 1
a22 as2
称为该线性方程组的增广矩阵。
a1n b1
a2n asn
b2 bs
A
b
一个线性方程组的增广矩
阵可通过初等行变换化为
怎样的简单形式？
定理：对线性方程组的增广矩阵 A 进行初等行变换化为 B ， 则以B 为增广矩阵的线性方程. 组与原线性方程组同解。 6
线性方程组
§1 消元法
c22 x2c2rxr
d2c2,r1xr1c2nxn(cii0)
crrxr drcr,r1xr1crnxn
方程组有无穷多解。
.
9
线性方程组
例题：
例1、 解线性方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
例2、 解线性方程组
25xx11
x2 x2
2x3 4x3
x4 7 2x4 1
x1 3x2 6x3 5x4 0
.
§1 消元法
10
线性方程组
定理：在齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn 0
a21x1
a22x2
a2n xn
0
as1x1 as2x2 asn xn 0
中，如果 s < n，那它必有非零解。
● 向量相等
如果两个n维向量
( a 1 ,a 2 , ,a n ), ( b 1 ,b 2 , ,b n )
的对应分量都相等，即
aibi,(i1 ,2,,n)
就称这两个向量相等，记作 .
12
线性方程组
§2 n维向量空间
● 向量的运算
加法： ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 , ,a n b n ) 减法： ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 , ,a n b n )
➢ 用一个非零的数乘以矩阵的某一行；
➢ 把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行；
➢ 交换矩阵中某两行的位置；
方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。
.
5
线性方程组
§1 消元法
● 增广矩阵
线性方程组与增广矩阵
由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵
是一一对应的
a11 a12
A
a21 as1
向量加法满足以下四条运算规律
交换律： ( ) ( )
结合律：
零向量：O = (0，0，…，0)
有零元： O
有负元： ()O
负向量：- = (-a1，-a2，…，-an)
.
13
线性方程组
§2 n维向量空间
向量数乘满足以下两条运算规律
bs
wk.baidu.com
系数矩阵
. 未知向量
右端向量 4
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
§1 消元法
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a2
1x1
a2
2x2
a2nxn
b2
as1x1 as2x2 asnxn bs
Axb
其中
a11 a12
A
a21 as1
a22 as2
a1n
a2n
asn
x 1
x
x2 xn
b 1
b
b2
.
8
线性方程组
§1 消元法
(ii) 若 r < n，则阶梯形方程组为
c1x 11c12 x2c1rxrc1,r1xr1c1nxn d1
c22 x2c2rxrc2,r1xr1c2nxn
d2
(cii0)
crrxrcr,r1xr1crn xn dr
可改写为
自由未知量
c1x 11c12 x2c1rxr d1c1,r1xr1c1nxn
(cii 0)
0 0
0 0
.
7
线性方程组
§1 消元法
当 dr1 0时，该线性方程组无解。
当 dr1 0时，该方程组有解，并分两种情况：
(i) 若 r = n，则阶梯形方程组为
c11x1c12x2 c1nxn d1
c22x2 c2nxn
d2
(cii 0)
cnnxn dn
方程组有唯一解。
a2nxn
b2
as1x1 as2x2 asnxn bs
§1 消元法
当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。
当s=n时，若D = 0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。
当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。
.
3
线性方程组 ● 线性方程组的矩阵表示法
例3、 解齐次线性方程组
25xx11xx2242xx332xx4400 x1 3x2 6x3 5x4 0
.
§1 消元法
11
线性方程组 ● n 维向量
§2 n维向量空间
§2 n维向量空间
定义：数域P中n个数组成的有序数组(a1,a2,,an)称为数域P上的n维
向量，其中ai称为该向量的第i个分量。
(2) (1)
(3) kOO
(4 ) k O 当且 k 0 仅 或 . 当 O
14
线性方程组
§3 线性相关性
§3 线性相关性
● 向量组的线性关系
定义：设 ,1,2,,s 是P n中的向量，若存在数域P中的一组数
k1,k2,,ks使得
k 11 k22 ks s
有单位元： 1
定义：若V是数域P中n维向量的全体，若
考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称
结合律： k(l)(k)l V为数域P上的n维向量空间，记为P n。
向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律
分配律： k()kk 分配律： (kl)kl
由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质
(1) 0O
线性方程组
第三章 线性方程组
.
1
线性方程组
主要内容：
➢ 消元法 ➢ n 维向量空间 ➢ 线性相关性 ➢ 矩阵的秩 ➢ 线性方程组有解的判断定理 ➢ 线性方程组有解的结构
.
2
线性方程组
§1 消 元 法
考虑一般的线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
a22x2
定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换 化为一个阶梯形矩阵。
定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。
c11x1 c12x2 c1r xr c1n xn d1
c22x2 c2r xr c2n xn d2
crr xr crn xn 0
dr dr 1
a22 as2
称为该线性方程组的增广矩阵。
a1n b1
a2n asn
b2 bs
A
b
一个线性方程组的增广矩
阵可通过初等行变换化为
怎样的简单形式？
定理：对线性方程组的增广矩阵 A 进行初等行变换化为 B ， 则以B 为增广矩阵的线性方程. 组与原线性方程组同解。 6
线性方程组
§1 消元法
c22 x2c2rxr
d2c2,r1xr1c2nxn(cii0)
crrxr drcr,r1xr1crnxn
方程组有无穷多解。
.
9
线性方程组
例题：
例1、 解线性方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
例2、 解线性方程组
25xx11
x2 x2
2x3 4x3
x4 7 2x4 1
x1 3x2 6x3 5x4 0
.
§1 消元法
10
线性方程组
定理：在齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn 0
a21x1
a22x2
a2n xn
0
as1x1 as2x2 asn xn 0
中，如果 s < n，那它必有非零解。
● 向量相等
如果两个n维向量
( a 1 ,a 2 , ,a n ), ( b 1 ,b 2 , ,b n )
的对应分量都相等，即
aibi,(i1 ,2,,n)
就称这两个向量相等，记作 .
12
线性方程组
§2 n维向量空间
● 向量的运算
加法： ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 , ,a n b n ) 减法： ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 , ,a n b n )
➢ 用一个非零的数乘以矩阵的某一行；
➢ 把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行；
➢ 交换矩阵中某两行的位置；
方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。
.
5
线性方程组
§1 消元法
● 增广矩阵
线性方程组与增广矩阵
由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵
是一一对应的
a11 a12
A
a21 as1