高等代数线性方程组PPT课件
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高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
高等代数课件北大版第三章线性方程组
定义：将线性方程 组中的每一行进行 加减、倍乘等操作， 使得方程组简化
作用：将增广矩阵 化为阶梯形矩阵， 便于求解线性方程 组
步骤：对增广矩阵 进行初等行变换， 得到阶梯形矩阵
注意事项：变换过 程中需保持矩阵的 行列式不变，避免 出现错误结果
矩阵的逆法
定义：如果矩阵A存在逆矩阵，则称A为可逆矩阵 性质：可逆矩阵的行列式不为0 计算方法：通过行初等变换将矩阵变为单位矩阵，得到逆矩阵 应用：解线性方程组的重要工具之一
束优化问题等。
线性方程组在其他领域的应用
物理学中的应用：描述物理现象和规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。 经济学中的应用：分析经济问题，如供需关系、生产成本等。 计算机科学中的应用：解决优化问题、机器学习算法等。 统计学中的应用：处理数据分析和预测问题，如回归分析、主成分分析等。
线性方程组的扩展知识
添加标题
逆矩阵的计算方法：通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法计算行列式|A|，然后通过|A|*|A^(1)|=1计算逆矩阵A^(-1)。
添加标题
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、计算行列式、求向量空间的一组基等方面都有应用。
线性方程组的通解与特解的关系
通解与特解的定义
通解与特解的关系
通解与特解的求解方法
线性方程组在计算机科学中的应用
线性方程组在计算机图形学中 的应用：用于计算光照、纹理 映射和渲染等。
线性方程组在计算机视觉中的 应用：用于图像处理、特征提
取和目标检测等。
线性方程组在机器学习中的应 用：用于训练和优化模型，如 线性回归和逻辑回归。
线性方程组在人工智能领域的 应用：用于优化算法、求解约
通解与特解的应用
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高等代数课件--第三章 线性方程组§3.3 线性相关性
(*)
只有零解；向量1,2,…,s组线性相关的充 要条件是齐次线性方程组(*)有非零解．
在向量个数为n时，根据Cramer法 则，前一结论可改写 已知i=(ai1, ai2,…, ain), i=1,2,…,n, 则
1,2,…,s线性无关|aij|0
1,2,…,s线性相关|aij|=0
任意添加一个向量(如果还有的话)，所得
的部分向量组都线性相关，则此部分组称
为一个极大线性无关组。
等价定义：
设1, 2,…,s为Pn中的一个向量组，它 的一个部分组i1, i2,…,ir若满足
i) i1, i2,…,ir线性无关
ii) 对任意的j (1 j s), j可经i1, i2,…, ir 线性表出 则称i1, i2,…,ir为向量组1, 2,…,s的一个
§3.3 线性相关性
一个十分重要的概念
一、线性组合
定义： 对于向量,1, 2, …,s ,如果存 在P上的数k1,k2,…,ks使
= k11+ k22+ …+kss
则称向量为向量组1, 2, …,s的一个 线性组合．另一种称呼是，可以由向 量组1, 2, …,s线性表出。
极大线性无关组（简称极大无关组）
性质：
1) 通常一个向量组的极大无关组不唯 一。． 2) 一个线性无关的向量组的极大无关组就 是其自身．
3)一个向量组的任意两个极大无关组都等 价． 4) 一个向量组的任意两个极大无关组都含 有相同个数的向量．
2. 向量组的秩
定义 向量组的极大无关组所含向量
个数称为这个向量组的秩．
性质
1) 单独一个向量线性相关当且仅当它是零 向量；单独一个向量线性无关当且仅当它 是非零向量． 2) 一向量组线性相关的充要条件是其中 至少有一个向量可由其余向量线性表出．
高等代数--第二章 线性方程组
• 用初等变换化方程组为阶梯形方程组就 相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯 形矩阵. 所以，解方程组一般用增广矩阵 化简.
x1 2 x2 x3 2 x4 1 • 例 2 2 x1 4 x2 x3 x4 5 x 2 x 2 x x 4 2 3 4 1
答案：当 1 时，方程组无解 当 1 时，方程组有解
§2 n维向量空间 R
n
消元法是解方程组的一个行之有效的算 法。但有时需要直接从原方程来判是否 有解？并且，消元法化为阶梯形方程组 的过程中，最后剩下来的方程个数是否 是唯一的？这些问题都需要用向量的知 识来解决。
n维向量及其线性运算
2 x1 x2 3 x3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
方程组的解为（9，-1，-6）。
其中用到
1、互换两个方程的位置(位置变换)； 2、用一个非零数乘某一个方程(倍法变换)； 3、把一个方程的倍数加到另一个方程上 (消法变换). 定义1 变换1、2、3称为线性方程组的 初等变换.
答案
例5
x1 2 x2 x3 x4 x5 1 2 x x 3x 2 x x 0 1 2 3 4 5 x1 3x2 2 x3 2 x4 3x5 2 3x1 11x2 2 x3 2 x4 x5 2
（7）
这时，有无穷多组解。由（7）式，我们可以把
x1, x2 ,, xr 通过 xr 1,, xn 表示出来，这样一
组表达式称为方程组（1）的一般解， 而
xr 1,, xn 称为一组自由未知量。
• r>n，是不可能的 • 总之：首先将方程组化为阶梯形的方程组， 若
高等代数 线性方程组
增广矩阵
9
a11 x1 a12 x2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
AX O
~ A ( A | O)
2 3 1
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
1 3 41 21 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0 , 2 或 3时齐次方程组有非零解.
1 r ( 1)r r ( 1)r 0 0 0
2 3 1 3
7 1 0 1 1 0 3 r (1)r 0 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2
1 2 0
4 0 3 0 4 3 3 0
k 0或k =2
7
例2 问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？ 1 解: D 2 1
3
其中c为任意常数.
例4 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时 有唯一解? 有无穷多个解 无解? , ?
解:
对增广矩阵 A 作初等行变换，
A1 1
1
1
1 1 r r 1 1 1 3 2
阶梯形矩阵
行简化阶梯形矩 阵
9
a11 x1 a12 x2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
AX O
~ A ( A | O)
2 3 1
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
1 3 41 21 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0 , 2 或 3时齐次方程组有非零解.
1 r ( 1)r r ( 1)r 0 0 0
2 3 1 3
7 1 0 1 1 0 3 r (1)r 0 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2
1 2 0
4 0 3 0 4 3 3 0
k 0或k =2
7
例2 问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？ 1 解: D 2 1
3
其中c为任意常数.
例4 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时 有唯一解? 有无穷多个解 无解? , ?
解:
对增广矩阵 A 作初等行变换，
A1 1
1
1
1 1 r r 1 1 1 3 2
阶梯形矩阵
行简化阶梯形矩 阵
线性方程组解PPT课件
VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词
线性代数ppt课件
c12 1
c1r c2r 1
dr1 0且rn时，唯一解；
dr1 0且rn时，无穷多解。
c1n d1 c2n d2
crn 0
ddrr1
x1x23x4x5 2 例、求解方程组4x1x1x22x22x36x3x43x144x5 7
2x14x22x34x47x5 1
x1 c12x2
x2
c1nxn d1 c2nxn d2
xr crnxn dr 0dr1
(r n)
（其中r为阶梯形方程组中方程式的个数。）
5
线性代数
第二章 线性方程组
第1节 Gauss消元法
由阶梯形方程组知原方程组（*）的解有以下三种情况：
（ 1 ） d r 1 0 ， 则 方 程 组 无 解 ；
（2）dr1 0且rn，则方程组（*）可化为如下
x1 c12x2 ...c1nxn d1
阶梯形方程组...... x2 ...c2nxn d2
xn dn
1 c12 由于系数行列式D 1
c1n c2n 10，
1
由Cramer法则，方程组（*）解唯一。
6
线性代数
6 x2 9 x2
3x3 5 10 x3 2
x1 3x2 2 x3 6
（3） 2x1x1 3x62x2 5x33x351 x1 3x2 5x3 4
第1节 Gauss消元法
4
线性代数
第二章 线性方程组
第1节 Gauss消元法
用Gauss消元法可以解一般的线性方程组（*），消元的结 果得到一个与原方程组同解的“标准”的阶梯形方程组或 出现矛盾式，可得如下一般形式：
《线性代数》第四章：线性方程组-PPT课件
三角形线性方程组要求方程组所含方程的个数等于未知量的个数且第个方程第个变量的系数三角形线性方程组是一类特殊的情形解法也简单由克莱姆法则可以判断其解惟一一般只需要从最后一个方程开始求解逐步回代就可求出方程组的全部解11定义416线性方程组中自上而下的各方程所含未知量个数依次减少这种形式的方程组称为n元阶梯形线性方程组
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
高等代数课件--第三章线性方程组§3.6线性方程组解的结构
......................................arrxr ar,r1xr1 第五页，共16页。
arnxn
我们知道自由未知量的任意一组值都确定了 方程组(1)的一个解。
用组数 (1,0,…,0), (0,1,…,0),…,(0,0,…,0)
第二页，共16页。
2 ．基础解系
定义 齐次线性方程组(1)的一组解
1,2,…,r，若满足
1) 1,2,…,r线性无关；
2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可由
1,2,…,r线性表出；
则称1,2,…,r为齐次线性方程组(1) 的一个
基础解系；
第三页，共16页。
4 ．基础解系存在性
定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的情 况下，它有基础解系，并且基础解系所 含解向量的个数等于nr, 其中r 为方程组
系数矩阵的秩。
第四页，共16页。
证：若r=n, 方程组只有零解，不存在基础解系
a11 a12? … a1r
若R(A) =r<n，不妨设
a21 a22? … a2r ………………
0,
则(1)可写成
a r1 ar2? … arr
a11x1a12x2 a1rxr a1,r1xr1 a1nxn
a21x1a22x2 a2rxr a2,r1xr1 a2nxn
来代替自由未知量(xr+1,…,xn), 就得到(2)的解， 也就是(1)的nr个解:
1 (c11,c12, ,c1r,1， 0，， 0）
2 (c21,c22, ,c2r， 0， 1，， 0）
(3)
nr (cnr,1,cnr,2,第六页，共1,6页c。nr,r， 0， 0，， 1）
高等代数课件第三章-线性方程组
as1 x1 as2 x2 L asn xn bs
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零， 则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2,L , ．s)
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解．
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
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a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零， 则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2,L , ．s)
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解．
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L
大学线性代数课件线性方程组第四章 线性方程组
4 4
1 2 2 1 1 0 2 53
0
1
2
4
3
0
1
2
4 3
0 0 0 0 00 0 0
对应于矩阵
1 0 0
0 1 0
2 2 0
5
4 3
0
3
的同解方程组为
x 1
x 2
2x 3
2x 3
5 3
4 3
x 4
x 4
0 0
x =2 1
x 3
5 3
x 4
移项得， xx12=2x32x3
然而，许多线性方程组并不能同时满足这两个条件. 为此，必须讨论一般情况下线性方程组的求解方法和解 的各种情况.
§2 齐次线性方程组
一般地,齐次线性方程组可以写成
a11x1 a12 x2 a1n xn 0,
a21x1 a22 x2 a2n xn
0,
am1x1 am2 x2 amn xn 0.
(1)
am1x1 am2 x2 amnxn bm.
其中x1, x2,, xn是n个未知量,
m是方程组所包含的方程 个数,
aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)称为方程组的系数 ,
bj ( j 1,2,, m)称为常数项 .
A
aij
,
mn
x1
x
x2
,
xn
n1
x1 7x2 5x3 2, 2x1 5x2 3x3 3,
3x1 2x2 8x3 17.
解:对增广矩阵进行行初等变换
A
b
1 2
7 5 5 3
2 1 7 3 0 19
5 13
2 1
高等代数第7章线性变换PPT课件
特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向 量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如，两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和；线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线 性变换，则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂， 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得， 从而简化相关计算。
高等代数课件PPT之第3章线性方程组
该方程组的一个解；而该方程组的解的全体称为
它的解集合；
若两个方程组有相同的解集合，称它们是同解的.
第3章 线性方程组
消元法 n 维向量空间 向量组的线性相关性 矩阵的秩 线性方程组有解判别定理 线性方程组解的结构
§3.1 高斯消元法
高斯消元法是中学所讲的用消元法解二元、三元 线性方程组的发展. 基本思想是：逐次把方程组中 一部分方程变成含未知量较少的方程，直到得到一 个一元一次方程，进而求出方程组的解.
a11 a12 a1n b1
a21
a22
a2n
b2
as1
as2
asn
bs
消元法解方程组的过程 就是对数表中的行作变 换的过程；一个方程组 对应着一张数表
2. 矩阵及其初等变换
(1)矩阵的定义 数域P上的s×n个数排成的s行(横的)
n列(纵的)的数表
a11
a12
a1n
a21
a22
a2
第3章 线性方程组
上一章利用行列式理论解决了一类特殊的线 性方程组 (方程个数与未知量个数相等且系 数行列式不为零)的求解问题.本章讨论一般 的线性方程组，即形如
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1a22 as1 x1 as2
x2 x2
a2n xn asn xn
a21c1
a22c2
a2ncn b2
as1c1
as2c2
asncn bs
可见(c1 ,c2,…,cn)也为(**)的解；同理可证(**)的任
一解也为也为(*)的解.因此(**)与(*)同解. 由引例可见,对方程组施行初等变换,只是系数和
常数项在变,与未知量x1 ,x2,…,xn无关. 因此可以擦去 未知量，只写出其系数和常数项——一张数表：
它的解集合；
若两个方程组有相同的解集合，称它们是同解的.
第3章 线性方程组
消元法 n 维向量空间 向量组的线性相关性 矩阵的秩 线性方程组有解判别定理 线性方程组解的结构
§3.1 高斯消元法
高斯消元法是中学所讲的用消元法解二元、三元 线性方程组的发展. 基本思想是：逐次把方程组中 一部分方程变成含未知量较少的方程，直到得到一 个一元一次方程，进而求出方程组的解.
a11 a12 a1n b1
a21
a22
a2n
b2
as1
as2
asn
bs
消元法解方程组的过程 就是对数表中的行作变 换的过程；一个方程组 对应着一张数表
2. 矩阵及其初等变换
(1)矩阵的定义 数域P上的s×n个数排成的s行(横的)
n列(纵的)的数表
a11
a12
a1n
a21
a22
a2
第3章 线性方程组
上一章利用行列式理论解决了一类特殊的线 性方程组 (方程个数与未知量个数相等且系 数行列式不为零)的求解问题.本章讨论一般 的线性方程组，即形如
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1a22 as1 x1 as2
x2 x2
a2n xn asn xn
a21c1
a22c2
a2ncn b2
as1c1
as2c2
asncn bs
可见(c1 ,c2,…,cn)也为(**)的解；同理可证(**)的任
一解也为也为(*)的解.因此(**)与(*)同解. 由引例可见,对方程组施行初等变换,只是系数和
常数项在变,与未知量x1 ,x2,…,xn无关. 因此可以擦去 未知量，只写出其系数和常数项——一张数表：
高等代数课件--第三章 线性方程组§3.1 消元法
增广矩阵
a11 a 21 A a s1
a12 a 22 as 2
a1 n b1 a 2 n b2 a sn bs
二、消元法
1．引例 解线性方程组
2 x1 x 2 3 x 3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 2x x 2x 5 1 2 3
三、齐次线性方程组的解
定理1 在齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a s1 x1 a s 2 x 2 a sn x n 0
第三章 线性方程组
——解决一般的线性方程组的解的 相关问题，解的结构问题
§3.1 消元法
一、一般线性方程组
1．一般线性方程组是指形式为
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a s1 x1 a s 2 x 2 a sn x n bs
成恒等式，则称有序数组(k1, k2,…, kn)是(1)的
一个解．
解集合 方程组(1)的解的全体所成集合称 为它的解集合．
解集合是空集时就称方程组(1)无解．
3．同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合， 则称它们是同解的
4．方程组的系数矩阵与增广矩阵
系数矩阵
a11 a 21 A a s1 a12 a 22 as 2 a1 n a2 n a sn
方程．于是(1)就变成
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a s 2 x 2 a sn x n bs
线性代数课件PPT 第3章.线性方程组
2) (α β) γ α ( β γ（) 加法结合律）
3) 存在任意一个向量α，有α 0n α 4）存在任意一个向量α，存在负向量-α，使α (α) 0n
5) 1α α
6) k(lα) (kl)α（数乘结合律）
7) k(α β) kα kβ（数乘分配律）
m
kiai k1α1 k2α2 L kmαm
i 1
称为向量组α1, α2,L , αm在数域F上的一个线性组合。如果记
m
β kiαi，就说β可由α1, α2,L , αm线性表示。 i 1
10
3.1 n维向量及其线性相关性
线性相关性 定义：如果对m个向量α1, α2, α3, ... , αm∈Fn，有m个不全 为0的数k1,k2,...,km∈F，使
α=(a1 a2 an) 其中ai 称为α的第i个分量。
向量写成行的形式称为行向量，向量写作列的形式称为 列向量（也可记作行向量的转置）。
a1
αT
a2
M
an
3
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的定义 数域F上全体n元向量组成的集合，记作Fn。
4
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的运算
定义：设α=(a1, a2, ... , an)，β=(b1, b2, ... , bn)∈Fn，k∈F，
定义：
1）α=β,当且仅当ai=bi (i=1,...,n)； 2）向量加法（或α与β之和）为
α β (a1 b1, a2 b2 , ... , an bn )
k1α1 k2α2 L kmαm 0n
成立，则称α1, α2, α3, ... ,αm线性相关；否则，称α1, α2, α3, ... ,αm线性无关。
高等代数课件 高等代数(线性方程组)(2)
之后剩下的那些向量，则
1 i1
k ik
0 ik 1
0im
0
其 说中 明各i1向,量, 的ik ,系ik数1 , λ1,,…im,λk,0,…线,性0不相全关为，0也，就这
是α1,…, αm 线性相关. 由于﹛ α1,…, αm ﹜的任何一个子集线
性相关都将导致﹛ α1,…, αm ﹜线性相关，
要使﹛ α1,…, αm ﹜线性无关，必须它的所
有子集线性无关.
□
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利用解线性方程组判定线性相关
定义向量组u1,…,um的线性相关或线性无关所 用的等式
(2.2.3)
可以看成以λ1 , … , λm为未知数的一个方程. 这个 方程至少有一组解 (λ1 , … , λm)=(0,…,0)
有唯一解的条件。
其中
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定义 将任意数域F上的 n维数组(x1,x2,…,xn)
看成向量，将这些数组的全体组成的集合Fn
看成向量空间，称为n维数组空间。
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• n维数组空间中的向量的加法
设 ( a1 , a 2 ,, a n ), (b1 , b2 ,bn )
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因此, 线性相关和线性无关的定义可这样来理解:
(1)u1,…,um线性相关等价于方程 (2.2.3)有非零解
(λ1 , … , λm) (0,…,0) (2)u1,…,um线性无关等价于方程 (2.2.3)只有一 组 解(λ1 , … , λm)=(0,…,0) 设u1,…,um都是n维数组向量, 不妨将其中每个 向量uj (1 j m)写成列向量的形式
线性代数 线性方程组的基本概念PPT课件
综合 (线性方程组解的判定)
对于线性方程组 A X = b， 有
(1) 当 (2) 当 (3) 当
r( A) r( A~) 时 ，n方程组有无穷多解; r( A) r( A~) 时，n方程组有唯一解; r( A) r(时A~，) 方程组有无解。
其中 A~ ( A b) .
第10页/共15页
二、线性方程组解的存在性与惟一性
3. 关于齐次线性方程组的一些结论
补
对于齐次线性方程组
Amn X有如下0结, 论：
(1) 一定有(零)解。
因为 r ( A) r ( A 0).
(2) 只有零解 r( A) n; 有非零解 r( A) n.
特别，若 m ＜ n ，即方程的个数小于未知量的个数， 则必有非零解。
(3) 若 m = n ，即 A 为方阵，则
P111
对于线性方程组
AX b, 令
A ( A1, A2 , , An ) ,
x1
则得到向量形式为
(
A1 ,
A2 , ,
An
)
x2
b
,
即 x1 A1 x2 A2 xn An b .
xn
将右端项表示成系数阵的列向量的线性组合
第5页/共15页
二、线性方程组解的存在性与惟一性
1. 线性方程组解的存在性
§4.1 线性方程组的基本概念
一、线性方程组的几种表示形式 二、线性方程组解的存在性与惟一性 三、等价的线性方程组
第1页/共15页
一、线性方程组的几种表示形式
在第一章中，讨论了方程的个数与未知量的个数相等的 方程组， 而实际问题中，方程组的方程个数与未知量的个数 不一定相等。
下面将讨论一般线性方程组。 需要探讨的问题
大学高等数学ppt课件第七章1线性方程组的求解
所以，方程组（*）只有唯一的一组解
1
所以有
1
1
解得
1 1
1 1 0 1 1
0且 3
小结：
（1） 向量组
1 , 2 , , n
线性相关
齐次线性方程组
x11 x22
（2） 向量组
xnn 0
有非零解
1 , 2 , , n
线性无关
齐次线性方程组
是向量组 （， 1 21 ， ），2 （2，3，6）， =（5，8，13）， 例2 设 1
1 , 2 , , n 线性表示，或称向量 1 , 2 , , n 的线性组合。
, kn ，使得 k11 k22
1 ,2 , ,n ,
，如果存在
knn 成立，
因为 1， 2，3 线性无关
k1 k3 0 所以有 k1 k 2 0 k k 0 2 3
解得
k1 k2 k3 0
所以向量组
1 2，2 3，3 1 线性无关。
例6 设 1 , 2 , 3 线性无关，又 1 1 2 23 , 2 2 3 , 3 21 2 33 ，试证明 1, 2 , 3 线性相关 证明 设 k11 k2 2 k3 3 0 则有
由于
所以
1, 2 ,, m
ki li k
线性无关，
(i 1,2, , m)
所以 可由向量组
1，2， ，m
且表示方法唯一 线性表示，
定理 向量组
1 , 2 ,, n
线性相关的充分必要条件
是该向量组中至少有一个向量可由其余的向量组线性
表示。
证明 因为向量组
1
所以有
1
1
解得
1 1
1 1 0 1 1
0且 3
小结：
（1） 向量组
1 , 2 , , n
线性相关
齐次线性方程组
x11 x22
（2） 向量组
xnn 0
有非零解
1 , 2 , , n
线性无关
齐次线性方程组
是向量组 （， 1 21 ， ），2 （2，3，6）， =（5，8，13）， 例2 设 1
1 , 2 , , n 线性表示，或称向量 1 , 2 , , n 的线性组合。
, kn ，使得 k11 k22
1 ,2 , ,n ,
，如果存在
knn 成立，
因为 1， 2，3 线性无关
k1 k3 0 所以有 k1 k 2 0 k k 0 2 3
解得
k1 k2 k3 0
所以向量组
1 2，2 3，3 1 线性无关。
例6 设 1 , 2 , 3 线性无关，又 1 1 2 23 , 2 2 3 , 3 21 2 33 ，试证明 1, 2 , 3 线性相关 证明 设 k11 k2 2 k3 3 0 则有
由于
所以
1, 2 ,, m
ki li k
线性无关，
(i 1,2, , m)
所以 可由向量组
1，2， ，m
且表示方法唯一 线性表示，
定理 向量组
1 , 2 ,, n
线性相关的充分必要条件
是该向量组中至少有一个向量可由其余的向量组线性
表示。
证明 因为向量组
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a2nxn
b2
as1x1 as2x2 asnxn bs
§1 消元法
当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。
当s=n时，若D = 0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。
当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。
.
3
线性方程组 ● 线性方程组的矩阵表示法
bs
系数矩阵
. 未知向量
右端向量 4
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
➢ 用一个非零的数乘以矩阵的某一行；
➢ 把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行；
➢ 交换矩阵中某两行的位置；
方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。
.
5
线性方程组
§1 消元法
● 增广矩阵
线性方程组与增广矩阵
由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵
是一一对应的
a11 a12
A
a21 as1
例3、 解齐次线性方程组
25xx11xx2242xx332xx4400 x1 3x2 6x3 5x4 0
.
§1 消元法
11
线性方程组 ● n 维向量
§2 n维向量空间
§2 n维向量空间
定义：数域P中n个数组成的有序数组(a1,a2,,an)称为数域P上的n维
向量，其中ai称为该向量的第i个分量。
线性方程组
第三章 线性方程组
.
1
线性方程组
主要内容：
➢ 消元法 ➢ n 维向量空间 ➢ 线性相关性 ➢ 矩阵的秩 ➢ 线性方程组有解的判断定理 ➢ 线性方程组有解的结构
.
2
线性方程组
§1 消 元 法
考虑一般的线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
a22x2
定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换 化为一个阶梯形矩阵。
定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。
c11x1 c12x2 c1r xr c1n xn d1
c22x2 c2r xr c2n xn d2
crr xr crn xn 0
dr dr 1
c22 x2c2rxr
d2c2,r1xr1c2nxn(cii0)
crrxr drcr,r1xr1crnxn
方程组有无穷多解。
.
9
线性方程组
例题：
例1、 解线性方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
例2、 解线性方程组
25xx11
x2 x2
2x3 4x3
x4 7 2x4 1
x1 3x2 6x3 5x4 0
.
§1 消元法
10
线性方程组
定理：在齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn 0
a21x1
a22x2
a2n xn
0
as1x1 as2x2 asn xn 0
中，如果 s < n，那它必有非零解。
有单位元： 1
定义：若V是数域P中n维向量的全体，若
考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称
结合律： k(l)(k)l V为数域P上的n维向量空间，记为P n。
向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律
分配律： k()kk 分配律： (kl)kl
由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质
(1) 0O
● 向量相等
如果两个n维向量
( a 1 ,a 2 , ,a n ), ( b 1 ,b 2 , ,b n )
的对应分量都相等，即
aibi,(i1 ,2,,n)
就称这两个向量相等，记作 .
12
线性方程组
§2 n维向量空间
● 向量的运算
加法： ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 , ,a n b n ) 减法： ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 , ,a n b n )
a22 as2
称为该线性方程组的增广矩阵。
a1n b1
a2n asn
b2 bs
A
b
一个线性方程组的增广矩
阵可通过初等行变换化为
怎样的简单形式？
定理：对线性方程组的增广矩阵 A 进行初等行变换化为 B ， 则以B 为增广矩阵的线性方程. 组与原线性方程组同解。 6
线性方程组
§1 消元法
(2) (1)
(3) kOO
(4 ) k O 当且 k 0 仅 或 . 当 O
14
线性方程组
§3 线性相关性
§3 线性相关性
● 向量组的线性关系
定义：设 ,1,2,,s 是P n中的向量，若存在数域P中的一组数
k1,k2,,ks使得
k 11 k22 ks s
.
8
线性方程组
§1 消元法
(ii) 若 r < n，则阶梯形方程组为
c1x 11c12 x2c1rxrc1,r1xr1c1nxn d1
c22 x2c2rxrc2,r1xr1c2nxn
d2
(cii0)
crrxrcr,r1xr1crn xn dr
可改写为
自由未知量
c1x 11c12 x2c1rxr d1c1,r1xr1c1nxn
§1 消元法
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a2
1x1
a2
2x2
a2nxn
b2
as1x1 as2x2 asnxn bs
Axb
其中
a11 a12
A
a21 as1
a22 as2
a1n
a2n
asn
x 1
x
x2 xn
b 1
b
b2
(cii 0)
0 0
0 0
.
7
线性方程组
§1 消元法
当 dr1 0时，该线性方程组无解。
当 dr1 0时，该方程组有解，并分两种情况：
(i) 若 r = n，则阶梯形方程组为
c11x1c12x2 c1nxn d1
c22x2 c2nxn Biblioteka d2 (cii 0)
cnnxn dn
方程组有唯一解。
数乘： k (k1 ,k a2 , a,kn ) a,k P
向量加法满足以下四条运算规律
交换律： ( ) ( )
结合律：
零向量：O = (0，0，…，0)
有零元： O
有负元： ()O
负向量：- = (-a1，-a2，…，-an)
.
13
线性方程组
§2 n维向量空间
向量数乘满足以下两条运算规律