高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.2

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高等代数二次型PPT课件

y2 1
k2
y2 2
kn
y2 n
k1
y1
( y1, y2 ,, yn)
k2
y2
,
kn yn
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
11
第11页/共32页
由于对任意的实对称矩阵A, 总有正交矩阵P ,
使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次
型,有
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
15
第15页/共32页
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3 2 5 Fra bibliotek2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
16
它的顺序主子式
5 2 4
5 0,
52 1 0,
2
1 2 1 0,
21
4 2 5
故上述二次型是正定的.

《高等代数》PPT课件

命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有:
0=0, a0=0.
a()=(a) = a.
a=0a=0 或 =0.
2021/8/17
15
三. 约定
设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵 (1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果是一个以向量为元素的矩阵, 即:
3) 0+ = 4) 对任意，存在，使得 + = 0，称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1 = .
2021/8/17
8
二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
2021/8/17
4
例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
高等代数课件
2021/8/17
1
第五章向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构

高等代数【北大版】课件

线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都为零，主对角线上的元素为特征值。通过相似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理解矩阵的性质和特征。

高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4

从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵，当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2

5-2(线性代数第五章)【VIP专享】

(x12 4x1x2 2x1x3) 2x22 3x32 8x2x3
(x1 2x2 x3)2 2(x22 2x2x3) 2x32
(x1 2x2 x3)2 2(x2 x3)2 4x32
令
y1
x1
2x2
x3
y2
x2 x3
y3
x3
即
y1 1 2 1 x1
1 1 0 1 0 1 z1
1
1
0
0
1
1
z2
0 0 1 0 0 1 z3
1 1 0 z1
1
1
2
z2
0 0 1 z3
方法总结
（1）如果二次型 f 中含有变量 xi 的平方项，则先把含有 xi 的项集中，按 xi 配方，然后按此法对其他变量逐步配方，直至将 f 配成平方和形式
例2 用正交变换法将二次型
f x1, x2, x3 x12 2x12 2x32 4x1x3
化为标准型，并写出所用的正交变换. 解二次型矩阵为
1 0 2
A
0
2
0
2 0 2
求A的特征值：
1 0 2
AE 0 2 0 22 6
2 0 2
22 3
则A的特征值为 1 2 2, 3 3
求A属于 1 2 2 的特征向量,求解齐次线性方程组
A 2E x 0
其一个基础解系
0
1
1
,
0
2
2
0
1
显然 a1, a2 正交，再单位化得
0
1
1
,
0
2 5
5
2 0
5 5
求 3 3的单位特征向量，即求解其次方程组

高等代数讲义ppt第五章二次型

顺序主子式全大于零。
二次型
§4 正定二次型
例题 1、判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。

扬大高等代数北大三版-第五章二次型

扬大高等代数北大三版-第五章二次型
目录
CONTENTS
• 引言 • 二次型的定义与性质 • 二次型的分类与判别式 • 二次型与矩阵的等价关系 • 二次型与线性变换的关系 • 特殊二次型与正定二次型
01
引言
背景介绍
二次型是代数学的一个重要分支，它在几何、物理和工程等领域有广泛的应用。
二次型的研究起源于二次方程的求解问题，后来逐渐发展成为一个独立的数学领域。
正定二次型的定义与性质
正定二次型的定义
正定二次型是指对于任意非零向量x，都有f(x)>0的二次型，其中f(x)是x的二次齐次函数。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些重要的性质，如正定性、对称性、可微性等，这些性质在解决数学问题时具有重要的作用。
正定二次型的应用
在数学物理中的应用
正定二次型在数学物理中有广泛的应用，如在量子力学、统计力学等领域中，正定二次型可以用来描述粒子的能量和动量等物理量。
线性变换与二次型的关系
二次型：一个多项式函数，可以表示为向量空间中向量的内积的线性组合，其中每个内积项都是两个向量的二次方。
二次型可以通过线性变换转换为标准形式，即一个只包含平方项的多项式。
线性变换可以将二次型转换为标准形式，从而简化二次型的计算和分析。
线性变换的应用
01
02
03
在几何学中，线性变换可以用来研究几何图形的形状和大小的变化。
实对称矩阵是满足$A^T = A$的矩阵，其中 $A^T$是矩阵A的转置。
二次型可以通过线性变换转换为矩阵形式，即$f(x_1, x_2, ..., x_n) = X^T A X$，其中$X$是列向量， $A$是实对称矩阵。
03

高等代数第5章二次型

则2 a ij x i x j a ij x i x j a ji x j x i ,
于是
f a11 x a12 x1 x 2 a1n x1 x n
2 1
a 21 x 2 x1 a 22 x a 2 n x 2 x n
2 2
... an1 xn x1 an 2 xn x2 ann x
5.1.
二次型及其矩阵表示
5.1.1 二次型的定义及表示
系数在数域P中,含有n个未知量的二次齐次多项式
f x1 , x2 , , xn
2 a11 x1 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 x n 2 a22 x2 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
拉格朗日配方法若二次型含有的平方项则先把含有的乘积项集中然后配方再对其余的变量同样进行直到都配成平方项为止经过非退化线若二次型中不含有平方项但是则先作可逆线性替换化二次型为含有平方项的二次型然后再按1中方法配方
第5章
二次型
5.1 5.2 5.3 5.4
二次型及其矩阵表示二次型的标准形惯性定理和规范形实二次型的正定性
拉格朗日配方法的步骤
1. 若二次型含有 x i 的平方项，则先把含有 x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性替换，就得到标准形； 2. 若二次型中不含有平方项，但是 a ij 0 ( i j ),则先作可逆线性替换 x i yi y j k 1,2,, n且k i , j x j yi y j x y k k 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方。
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3

高等代数北大版二次型5

x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
n
anj x j
j1
10/10/2023§5.1 二次型旳矩阵表数学达与计算科学学院
n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j
j1
j1
n
xn anj x j
j1
n
n
nn
( xi aij x j )
注 1）③或④为非退化旳
C=
cij
为可逆矩阵 .
nn
2）若X＝CY为非退化线性替代，则有非退化
线性替代 Y C 1X .
10/10/2023§5.1 二次型旳矩阵表数学达与计算科学学院
3、二次型经过非退化线性替代仍为二次型
实际上，
f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX
X CY
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替代.
10/10/2023§5.1 二次型旳矩阵表数学达与计算科学学院
例2 解析几何中旳坐标轴按逆时针方向旋转解角度
y
.
y
x
0
x
即变换
x
y
x cos y sin x sin y cos
它是非退化旳.
∵系数行列式
cos sin
sin cos
1.
aij xixj
i1 j1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
10/10/2023§5.1 二次型旳矩阵表数学达与计算科学学院
注意: 1）二次型旳矩阵总是对称矩阵,即 A A. 2）二次型与它旳矩阵相互唯一拟定，即
若 X AX X BX 且 A A, B B，则 A B. （这表白在选定文字 x1, x2 ,..., xn下，二次型

北大精品课件高等代数(上)

第一学期第一次课第一章代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。

1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。

如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。

例1.1 典型的数域举例：复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。

命题任意数域K 都包括有理数域Q 。

证明设K 为任意一个数域。

由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。

于是K aaK a a ∈=∈-=10，。

进而∈∀m Z 0>,K m ∈+⋯⋯++=111。

最后，∈∀n m ,Z 0>，K n m ∈，K nmn m ∈-=-0。

这就证明了Q ⊆K 。

证毕。

1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ⋂；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ⋃；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。

定义（集合的映射）设A 、B 为集合。

如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为).(,:a f a B A f →如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。

第五章二次型--精品PPT课件

设 f (x1…xn) = X’AX是K上n元二次型, 做非退化线性替换X=CY, 其中C是K上的n阶可逆阵. 则 f ( x1…xn ) = Y’C’YCY = g( y1…yn ).
定义: A , B∈Kn×n , A与B称为合同的,如果存在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同, A’= A, 则B’=B.
p=n.
f (x1 … xn)是半正定型
f (x1 … xn)的正惯性指数
p=r ≤ n.
f (x1 … xn)是负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数q=n.
f (x1 … xn)是半负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数
q=r ≤ n.
正定二次型与正定矩阵_3
定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1).A是正定阵. (2).对任意0≠X∈Rn×1, 有X’AX > 0. (3).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5).A的正惯性指数p = n. (6).A的所有主子式 > 0. (7).A的所有顺序主子式 > 0. (8).A的所有特征值 > 0.
注 2 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有
(n+1)(n+2)/2类
正定二次型与正定矩阵_1
设f (x1 … xn)是R上n元二次型,如果对
(a1,a2,…,an)≠0，恒有：
(1).f (a1 … an) > 0, 则称 f (x1 … xn)是正定二次型. (2).f (a1 … an)≥0,则称 f (x1 … xn)是半正定二次型. (3) .f (a1 … an) < 0,则称 f (x1 … xn)是负定二次型. (4) . f (a1 … an)≤0, 则称 f (x1 … xn)是半负定二次型.

高等代数课件(北大版)第五章二次型§54

2019/9/16§5. 4 正定二次型数学与计算科学学院
3、正定矩阵的必要条件
1）实对称矩阵 A (aij )nn 正定 aii 0, i 1, 2, , n.
证：若A正定，则二次型 f ( x1, x2 , , xn ) XAX
正定.
取
Xi (0,
,0, 1 ,0, 第i个
ai1i1 Qk ai2i1
ai1i2 ai2i2
a a iki1 iki2
ai1ik ai2ik
aik ik
称为A的一个k 阶主子式.
即行指标与列指标相同的k阶子式
2019/9/16§5. 4 正定二次型数学与计算科学学院
5、（定理6）
nn
实二次型 f ( x1, x2, , xn )

d1
d2
dn
即，D与E合同.
2019/9/16§5. 4 正定二次型数学与计算科学学院
例1、设 A 为 n 阶正定矩阵，证明
（1） A1是正定矩阵；（2） kA(k 0)是正定矩阵；（3）A*是正定矩阵；（4） Am 是正定矩阵（m为任意整数）；（5）若 B 亦是正定矩阵，则 A＋B 也是正定矩阵；
即，A1与单位矩阵E合同. 故，A1正定. （2）由于A 正定，对 X Rn , X 0, 都有 X AX 0,
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2019/9/16§5. 4 正定二次型数学与计算科学学院
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
5）正定二次型 f ( x1, x2 , , xn ) 的标准形为

47高等代数(北大三版)第五章矩阵PPT课件

n
a
m
1
am2
a
m
n
b
m
1
bm 2
bm
n
5
A和B加法定义为:
a11 b11 ABa21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn bmn
定义3（矩阵的乘法）给定一个 mn矩阵和一个 n l
矩阵
a11 a12
A
a21
a22
am1 am 2
a1n
a2n
amn
b11 b12
b1l
B
b21
b22
b2l
bn1 bn 2
bnl
6
A和B的乘法定义为
n
a1i bi1 i1
n
AB a2ibi1
i1
n
amibi1
i1
n
a1i bi 2
i 1 n
a2i bi 2
i 1
n
ami bi 2
二、教学目的 1. 掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。 2. 掌握转置矩阵及其运算性质。 3. 掌握方阵的幂、方阵的多项式。
三、重点、难点矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。
3
5.1.1 认识矩阵
设F是数域, 用F的元素 a i j 排成的m行n列的数表
例6 证明: 如果CAAC,CBBC, 则有 (AB)CC(AB); (AB)CC(AB).
10
5.1.4 方阵的多项式
单位矩阵 :主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为单位矩

高等代数讲义第五章

③
称为由 x1, x2 ,L, xn到y1, y2 ,L, yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
§5.1 二次型的矩阵表示
例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度 θ
y
.
y′
x′
θ
0
x
即变换
⎧x =
⎨ ⎩
y
=
x′ cosθ − y′ sinθ x′ sinθ + y′ cosθ
aij xi x j
i =1
1≤i< j≤n
§5.1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
1）约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有 f ( x1, x2 ,L, xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + LL + a1n x1 xn
+ a21 x2 x1 + a22 x22 + L + a2n x2 xn
⇒ B′ = (C′AC )′ = C′A′C = C′AC = B
2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与
原二次型矩阵是合同的.
进而，有: 若A′ = A, B′ = B,
二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY
⇔ A与B合同.
§5.1 二次型的矩阵表示
例2 证明：矩阵A与B合同，其中
⎛ λ1
f = ax2 + 2bxy + cy2
选择适当角度 θ,逆时针旋转坐标轴
{x = x′cosθ − y′sinθ y = x′cosθ + y′sinθ
f = a′x′2 + c′y′2

扬大高等代数北大三版--第五章二次型-PPT精品文档

5
(3) 合同具有传递性（ A1 = C1/AC1，A2 = C2/A1C2 → A2 = C2/ (C1/AC1)C2 = (C1C2)/A(C1C2) ）.
二次型
8) 线性替换X = CY下 f (x1, x2, …, xn) = X/AX = Y/BY, 因B = C/AC,
故： X = CY为可逆线性替换时，二次型 X/AX 与 Y/BY的矩阵合同; → 为用矩阵来研究这类二次型的变换奠定了基础，提供了思路；
8
高等代数
*2
性质：
4) 若C可逆，则X = CY是可逆线性替换，且Y = C－1X也是可逆的线性替换；
5) f (x1, x2, …, xn) = X/AX 是 P 上的 n 元二次型，经线性替换 X = CY 化成 f (x1, x2, …, xn) = Y/BY ，则 B = C/AC . 证明： f (x1, x2, …, xn) = X/AX = (CY)/A(CY) = Y/(C/AC)Y = Y/ BY. 由于 B/ = (C/AC)/ = C/A/C// = C/AC = B → Y/BY 是 P 上 n 元二次型，且 B = C/AC 成立. □
2019/2/20 课件 5
二次型
*3 性质：
高 1) 在二次型 f (x1, x2, …, xn) = X/AX中，矩阵A为对称矩阵；等 2）把一阶矩阵A = (a)看成数a, 则一元二次型代 f (x) = a11x12 = (x1)/(a11)(x1) = X/AX；数 3) 数域P上， f (x , x , …, x ) 与n阶对称矩阵一一对应.

y
y/
x x / c o s y / s in / / y x s in y cos

高等代数课件 5.2 标准形

为标准型, 转化为求可逆阵C , 使得 C T AC 为对角阵.
d1 d2 T C AC = B = 为对角阵, 化二次型 d n
注此时
2
二次型的标准形
一、用配方法化二次型成标准形
例化二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3 为标准形, 并求所用的变换矩阵. 含x1的平方项含有x1的项配方解去掉配方后多出的项
8
二次型的标准形
注 (1)正交变换法化的标准型系数是A 的特征值, 而配方法则与它无关. (2)使用不同的方法, 所得到的标准形可能不相同 (标准型不唯一). (3)标准形中含有的项数必定相同, 项数等于所给二次型的秩. 且其中所含的正项的个数(负项的个数) 是固定的, 称为二次型的正(负)惯性指数.
9
二次型的标准形
注对对称阵A, 求可逆阵 C 使 CT AC = Λ 为对角阵. 设 C = P1 P2 Ps 为初等矩阵之积.而C T = PsT P2T P1T ,
T (i , j ) = E (i , j ) E C AC = P P P AP1 P2 Ps = Λ . 1 0 0 1 0 0 注三种初等矩阵: 0 0 1 A 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 ← 第 i 行 0 1 E (i , j ) = ← 第 j 行 1 0
= ( x1 + 2 x2 )2 − 3( x2 + x3 )2 y1 = x1 + 2 x2 若令 y2 = x2 + x3 , y =x 3 3

高等代数北大版教案-第5章二次型

第五章二次型§1二次型的矩阵表示一授课内容：§1二次型的矩阵表示二教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同 .三教学重点：矩阵表示二次型四教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况.五教学过程：定义：设 P 是一数域，一个系数在数域 P 中的x1, x2,, x n的二次齐次多项式f ( x , x, , x ) a x 22a x1x22a x xn12n11112 1 n 1a22 x222a2 n x2 x n a nn x n2(3)称为数域 P 上的一个n元二次型，或者，简称为二次型 .例如： x12x1 x23x1 x32x224x2 x33x32就是有理数域上的一个3 元二次型 .定义 1设 x1 , x2 ,, x n， y1, y2 ,, y n是两组文字，系数在数域P中的一组关系式x1c11 y1c12 y2c1 n y nx2c21 y1c22 y2c2 n y n(4)x n c n1 y1c n2 y2c nn y n称为 x1 , x2 ,, x n到 y1 , y2 , , y n的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式cij0 ，那么线性替换 (4) 就称为非退化的 .二次型的矩阵表示：令 a ij aji， i j 由于x i x j x j x i,那么二次型(3)就可以写为f (x, x, , x ) a x2 a x x2a x x12n11112 11n 1 na21 x2x1a22 x22a2nx2xn+a n1x n x1an2xnx2a nn x n2n n(5)a ij x i x ji 1j 1把 (5) 的系数排成一个n n 矩阵a11a12a1nA a21a22a2n an1an2ann它称为二次型 (5) 的矩阵 . 因为a ijaji， i , j 1,2,, n ，所以A A .我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型 (5) 的矩阵都是对称的 .x1令 Xx2 , 于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，x na11a12a1n x1 X AX x1x2a21a22a2n x2x nan1an 2ann x na11 x1a12 x2a1n x n x1x2x na21 x1a22 x2a2n x na n1 x1a n 2 x2a nn x nn nx j.aijxii 1 j 1故 f ( x1 , x2 , , x n )XAX .显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的. 由此还能得到，若二次型f ( x 1 , x 2 , , x n ) X AX X BX且A A,BB ，则， AB线性替换的矩阵表示c 11c 12c 1ny 1令 Cc 21 c22 c 2 n, Yy 2, 那么，线性替换 (4) 可以写成，cn1cn2 cnny nx 1 c11c12c1ny 1 x 2 c 21c 22c 2 ny 2 x ncn1 cn2 cnny n或者 X CY.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系 .设 f ( x 1 , x 2 ,, x n ) X AX ， A A ，(7) 是一个二次型，作非退化的线性替换X CY (8)得到一个 y 1 , y 2 ,, y n 的二次型 Y BY .现在来看矩阵 B 与矩阵 A 的关系把(8) 代入 (7) 有f (x 1 , x 2 , , x n ) X AX(CY ) A(CY ) Y C ACYY (C AC)YY BY .容易看出，矩阵 C AC 也是对称的，事实上，(CAC)C AC CAC .由此，即得B CAC.定义 2数域 P 上 n n 矩阵 A, B 称为合同的，如果有数域 P 上可逆的n n 矩阵 C ，使B CAC.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有(1) 反身性 A EAE.(2) 对称性由 B CAC，即得A (C1 ) ( 1 ).B C(3) 传递性由 A1C1 AC1，A2C2 A1C2，即得A2(C1C2 ) A(C1C2 ) .因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的 .§2标准形一授课内容：§2标准形二教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.三教学重点：化普通的二次型为标准形.四教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.五教学过程：I导入可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型d1 x12d 2 x22 d n x n2(1)II讲授新课定理 1二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1) 的形式 .不难看出，二次型 (1) 的.d1 00x1d1 x12d2 x22 d n x n21x 2xn0 d 20x2.= x0 0d n x n反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项 .定理 2在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵 .定义二次型 f ( x1 , x2 ,, x n ) 经过非退化的线性替换所变成的平方和称为 f ( x , x ,, x ) 的一个标准形.例化二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 2x1x26x2 x32x1 x3为标准形 .解：作非退化的线性替换x1y1y2x2y1y2x3 y3则 f ( x1 , x2 , x3 ) 2( y1y2 )( y1y2 ) 6( y1y2 ) y32( y1y2 ) y32 y22y2 4 y y 8 y2y32( y1y3)2 2 y2 2 y28y2y3121332z1y1y3y1z1z3再令z2y2或y2z2z3y3y3z3则 f ( x1 , x2 , x3 )2z122z228z2 z32z322z122( z22z3 ) 26z32.w1z1z1w1最后令w2 z22z3或 z2w22w3w3z3z3w3则 f ( x1 , x2 , x3 )2w122w226w32是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，x1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 w1 1 13w1x21 1 0 0 1 0 0 1 2 w20 1 1w2.x30 0 1 0 0 1 0 0 1 w30 01w3用矩阵的方法来解例化二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1 x3为标准形 .011解： f (x1, x2 , x3 ) 的矩阵为 A10 3 .1301 10取 C1110 ,则A1C1 AC1001110011110202110103110024.001130001240101再取 C20 10 ，则A2C2 A1C2001100202101200010*********.101240001042100再取 C30 1 2 ，则A3C3 A2C3001100200100010024012021042001A3是对角矩阵，因此令110101100113C C1C2C31100100121 1 1 ，001001001001就有200CAC 020.006作非退化的线性替换X CY即得f ( x , x , x ) 2 y22y2 6 y2.§3唯一性一授课内容： § 3 唯一性二教学目的：通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正 ( 负 ) 惯性指数，符号差 .三教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别.四教学难点：实二次型的唯一性五教学过程：在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关 . 二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩 . 至于标准形的系数就不是唯一的 .例二次型 f (x 1 , x 2 , x 3 ) 2x 1 x 2 6x 2 x 3 2 x 1 x 3 经过非退化的线性替换x 1 1 1 3 w 1 x 2 011w 2 x 30 01w 3得到标准形2w 12 2w 22 6w 32 .而经过非退化的线性替换11 1x 1 2 y 11 x 211 y2 23 x 3y 313就得到另一个标准形2 y 121y 222y 32 .2 3这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.对于复数域的情形设 f ( x1 , x2 , , x n ) 是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后， f ( x1 , x2 , , x n ) 变为标准形，不妨设标准形为d1 y12d2 y22d r y r2， d i0 ， i 1,2, , r(1)易知， r 就是 f ( x1, x2 ,, x n ) 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换y11z1d1y r1z r(2)d ryr 1z r1y n z n(1)就变为z12z22z r2(3)(3)称为复二次型 f (x1 , x2 , , x n ) 的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定 .定理 3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的 .定理 3 换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为11的对角矩阵 . 从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等 .对于实数域的情形设 f ( x1 , x2 ,, x n ) 是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使 f ( x1 , x2 ,, x n ) 变为标准形，d1 y12 d p y p2 d p 1 y2p 1d r y r2(4)d i 0 i 1,2, , r， r 就是 f ( x1 , x2 ,, x n ) 的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换y11z1d1y r 1z r(5) d ryr 1zr 1y n z n(4)就变为z12z2p z2p 1z r2(6)(6)称为实二次型 f (x1 , x2 , , x n ) 的规范形.显然，规范形完全被r, p这两个数所决定 .定理 4( 惯性定理 ) 任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的 .定义 3在实二次型 f ( x1 , x2 , , x n ) 的规范形中，正平方项的个数p称为 f ( x1 , x2 ,, x n ) 的正惯性指数，负平方项的个数r p 称为f ( x1 , x2 , , x n ) 的负惯性指数，它们的差 p (r p) 2 p r 称为f ( x1 , x2 ,, x n ) 的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数 .§4 正定二次型一授课内容：§ 4 正定二次型二教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定( 负定，半正定，半负定，不定 ) 二次型或矩阵 .( 顺序 ) 主子式的定义，掌握各种类型的判别法.三教学重点：正定二次型.四教学难点：判别方法五教学过程：定义 4 实二次型 f (x1, x2,, x n ) 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 c1, c2 , , c n都有 f (c1 ,c2 ,,c n )0 .显然，二次型12,, x n)x12x n2f ( x , x是正定的，因为只有在 c1 c2c n0 时， c12c n2才为零.一般的，实二次型f ( x1 , x2 , , x n )d1x12d2 x22 d n x n2是正定的，当且仅当 d i 0 i1,2, , n .可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变 .定理 5 n元实二次型 f ( x1, x2,, x n ) 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n .定理 5 说明，正定二次型 f ( x1, x2,, x n ) 的规范形为y12y n2(5)定义 5 实对称矩阵 A 称为正定的，如果二次型X AX 正定.因为二次型 (5) 的矩阵是单位矩阵 E ，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同 .推论正定矩阵的行列式大于零 .定义 6子式a11a12a1iP i a21a22a2i(i1,2,, n) ai1ai 2aii称为矩阵 A(a ij )nn的顺序主子式.定理 6实二次型n n f (x1 , x2 ,, x n )aijxixj X AXi 1j1是正定的充分必要条件为矩阵 A 的顺序主子式全大于零 .例判断二次型f ( x , x, x3) 5x2x 2x24x x28x x34x2x12123113是否正定 .解： f (x1, x2 , x3 ) 的矩阵为524212425它的顺序主子式5252450，0 ，21 2 021425因之， f ( x1 , x2 , x3 ) 正定.与正定性平行，还有下面的概念.定义 7设 f ( x1, x2,, x n ) 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数 c1 , c2 , , c n，如果都有 f ( c1 ,c2 , , c n ) 0，那么 f (x1 , x2 ,, x n ) 称为负定的；如果都有 f (c1, c2 , ,c n ) 0 ，那么 f (x1, x2 ,, x n ) 称为半正定的；·５８·如果都有 f (c1 , c2 , ,c n )0 ，那么 f ( x1 , x2 ,, x n ) 称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么 f ( x1 , x2 ,, x n ) 就称为不定的.对于半正定，我们有定理 7 对于实二次型 f (x1, x2, , x n)X AX ，其中 A 是实对称的，下面条件等价：(1) f ( x1 , x2 , , x n ) 是半正定的.(2)它的正惯性指数与秩相等 .(3)有可逆实矩阵 C ，使d1d2，其中， d i 0 i 1,2, , n .C ACd n(4)有实矩阵 C使 A C C .(5) A 的所有主子式皆大于或等于零 .注意：在(5) 中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的 .比如， f ( x1 , x2 )x22x1x200x1就是一个反例 .01x2·５９·。