自相关函数与互相关函数 不错的材料
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2.4.3 相关函数
1.自相关函数
自相关函数是信号在时域中特性的平均度量,它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系,其定义式为
(2.4.6)
对于周期信号,积分平均时间T为信号周期。对于有限时间内的信号,例如单个脉冲,当T趋于无穷大时,该平均值将趋于零,这时自相关函数可用下式计算
(2.4.7)
自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值,它是时移变量τ的函数。
例如信号的自相关函数为
若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成,即
,则
对于正弦信号,由于,其自相关函数仍为
由此可见,正弦(余弦)信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分,其频率不变,幅值等于原幅值平方的一半,即等于该频率分量的平均功率,但丢失了相角的信息。
自相关函数具有如下主要性质:
(1)自相关函数为偶函数,,其图形对称于纵轴。因此,不论时移方向是导前还是滞后(τ为正或负),函数值不变。
(2)当τ=0时,自相关函数具有最大值,且等于信号的均方值,即
(2.4.8)(3)周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
(4)若随机信号不含周期成分,当τ趋于无穷大时,趋于信号平均值的平方,即
(2.4.9)
实际工程应用中,常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程
度,定义式为
(2.4.10)
当τ=0时,=1,说明相关程度最大;当τ=∞时,,说明信号x(t)与
x(t+τ)之间彼此无关。由于,所以。值的大小表示信号相关性的强弱。
自相关函数的性质可用图2.4.3表示。
图2.4.3 自相关函数的性质
常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示,自相关函数的典型应用包括:(1)检测信号回声(反射)。若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声,那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值(另一峰值在处),这样可根据确定反射体的位置,同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。
时间历程自相关函数图形
正
弦
波
正
弦
波
加
随
机
噪
声
窄
带
随
机
噪
声
宽
带
随
机
噪
声
图2.4.4四种典型信号的自相关函数
(2)检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于周期信号的自相关函数仍是周期性的,而随机噪声信号随着延迟增加,它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后,被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息,而排除了随机信号的干扰。图2.4.5所示为噪声对相关函数的影响。
图 2.4.5噪声对相关函数的影响
2.互相关函数
随机信号x(t)和y(t)的互相关函数定义为
(2.4.11)
互相关函数具有如下性质:
(1)互相关函数不是偶函数,是不对称的。
图2.4.6为两个随机信号x(t)和y(t)及其互相关函数图形,其峰值偏离了原点的位置反
映了两信号的时差。例如在
位置达到最大值,则说明y(t)
导前时间x(t)与
y(t)最相似。
(2),即x(t)与y(t)互换后,它们的互相关函数对称于纵轴(图2.4.7),说明使信号y(t)在时间上导前与使另一信号x(t)滞后,其结果是一样的。
(3)若两个随机信号x(t)和y(t)没有同频率周期成分,是两个完全独立的信号,则当时有
(2.4.12)
(4)频率相同的两个周期信号的互相关函数仍是周期信号,其周期与原信号相同。
例如两个周期信号为和,则其互相关函数为
(2.4.13)
用互相关系数表示互相关程度,即
(2.4.14)
互相关系数反映了两个随机信号之间的相关性,且。若x(t)和y(t)之间没有同频率的周期成分,那么当τ很大时就彼此无关,即。
微弱信号的检测
互相关函数的这些性质,使得它在检测技术中具有广泛的应用。最常见的应用有以下几种:
(1)确定时间延迟。假如某信号从A点传播到另一点B点,那么在两点拾取的信号x(t)和y(t)之间的互相关函数,将在相当于两点之间时间延迟τ的位置上出现一个峰值。利用确定延迟时间的方法可以测量物体的运动速度,图2.4.8为测定轧钢时钢板运
动速度的示意图。利用两个距离为d的光电传感器A和B,得到钢板表面反射光强度变化的光电信号x(t)和y(t),经互相关分析,确定时移τ,当τ等于钢板通过两个测点间的时
间时,两信号的互相关函数为最大值,则运动物体的速度为
(2)识别传输路径。假如信号从A点到B点有几个传输路径,则在互相关函数中就有几个峰值,每个峰值对应于延迟了时间的一个路径,例如用于声源和声反射路径的识别。
(3)检测淹没在外来噪声中的信号。假如信号s(t)受到外界的干扰形成复合信号
a(t)和b(t),即a(t)=s(t)+n(t),b(t)=s(t)+m(t),(s(t)是有用信号,可以是确定性的或者随机的,而n(t)和m(t)是互不相关的噪声),那么互相关函数将仅含有a(t)和b(t)中的相关部分s(t)的信号,而排除了外来噪声的干扰。
(4)系统脉冲响应的测定。在随机激励试验中,假如以随机白噪声作为试验信号输
入被测系统,则输入信号与输出信号的互相关函数就是被测系统的脉冲响应。这
种测量方法的优点可以在系统正常工作过程中测量。测量时,其他信号都与试验信号无关,因而对互相关函数没有影响,不影响脉冲响应的测量。
互相关分析:地下输油管道漏损部位的检测