直线的参数方程及其应用举例

直线的参数方程及应用

问题1：（直线由点和方向确定）

求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l

设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点.

1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，

P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，

又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α

即⎩

⎨⎧+=+=αα

sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程

∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点

P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；

特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线⎧+=0t

x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；

⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧；

问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一

对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴，

以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系.

问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ，

x

x

则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？

P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ 问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2

参数分别为t 1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？

根据直线l 参数方程t 的几何意义，

P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l

上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P |＝|P 2P |

P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<0

一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，

所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2 则t 3＝2

21t t + （∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义，

∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ）

总结：

1、 直线参数方程的标准式

(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是

⎩⎨⎧+=+=α

αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣

(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3

则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t

t +,∣P 0P 3∣=2

21t t +

(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0

2、 直线参数方程的一般式

过点P 0(00,y x )，斜率为a

b

k =的直线的参数方程是

⎩

⎨⎧+=+=bt y y at

x x 00 （t 为参数）

例题：

1、参数方程与普通方程的互化

x

例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义.

解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－3

1=－3

3

设倾斜角为α，tg α=－3

3,α= π65, cos α =－23, sin α=2

1

1l 的参数方程为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

-

=t y t x 2

1

2

31 （t 为参数）

t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的数量.由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=-

=-(2) 21(1) 2

3

1t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-

∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.

点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.

例2：化直线2l 的参数方程⎩

⎨⎧+=+-= t 313y t

x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，

说明∣t ∣的几何意义. 解：原方程组变形为⎩⎨

⎧=-=+ (2) t

31

(1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ， 得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3

π

普通方程为

01333=++-y x

(1)、(2)两式平方相加,得2

2

2

4)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2

)1()3(2

2-++y x

∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半.

点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程

为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=t

y t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程的标准形式，(-2

3)2+(2

1)2=1, t 的几何

意义是有向线段M M 0的数量.直线2l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t

313y t x 是非标准的形

式，12＋(3)2=4≠1，此时t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.

你会区分直线参数方程的标准形式吗？