直线的参数方程的应用

例1、已知 l1过点 P(? 5 , 0) , 倾斜角的正切为
3, 4
l2 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 , 且 l1 与 l2 相交
于点 Q( x 0 , y0 )。
(1) 写出 l1 的参数方程；
(2) 化 l2 的方程为参数方程；
(3) 求 | PQ | .
例2、已知直线
l
:
? ? ?
经过点 M 0(x 0 , y0), 倾斜角为?
直线的参数方程的标准形式为
? x ? x 0 ? t cos ?
? ?
y
?
来自百度文库
y0 ?
t sin ?
( t为参数 )
t 的几何意义：M 0M 的数量。 ① M0 对应 t0 ,M 对应t
② 注意 t 的正负号
③ | M 0M |?| t |
t 的几何意义：M 0M 的数量。
程的一般形式为 ? x ? x 0 ? a t
? ?
y
?
y0 ?
bt
注意：
(t为参数 ) k ? b a
① 当且仅当 a2 + b2 =1 且 b≥0
才是标准形式， t才具有上述意义
②
标准形式为
? ??
x
?
x0 ?
?
? ??
y
?
y0 ?
|a | t
a2 ? b2 |b| t
a2 ? b2
③若 A , B是直线上两点，则
①若M 1、M 2是直线上的两点，对应 t1、 t2 , 则 |M 1M 2|=|t 1-t2|
②若M 0为M 1，M 2的中点，则 t1 + t 2= t 0 =0
③若M 为M1，M2的中点， 则 M0M= t M = t1 ? t 2
2
经过点 M 0(x 0 , y0), 倾斜角为 ? 直线的参数方
x y
? ?
? 1 ? 3t(t为参数 2 ? 4t
)
与椭圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1交于 A、B
9
16
求 | AB | 和点 P(? 1 , 2) 到A、B的距离之和。
分析：P(-1 ,2) 在直线上，为M0
| PA |? a2 ? b2 | tA |
练习、已知
l1过点 P (4 , 3) , 倾斜角的正切为
( ab ? 0 取正号 ab ? 0 取负号）
|AB|= a2 ? b2 | t A ? tB |
复习巩固 1、已知直线的参数方程
将其化为普通方程。
为
? ?? ?
x
?
1?
1 2
t
? ??
y
?
3t 2
(t为参数 )
2、已知直线的参数方程
为
? ?
x
?
1?
t
(t为参数 )
? y ? ?5? 3 t
将其化为标准形式。
2, 3
l2 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 , 且 l1 与 l2 相交
于点 Q( x 0 , y0 )。
(1) 写出 l1 的参数方程；
(2) 化 l2 的方程为参数方程；
(3) 求 | PQ | .
练习：
1、直线
? ?? ?
x
?
1?
1 2
t
(t是参数 ) 和 x ? y ? 2 3 ? 0
? ??
y
?
?5
?
3t 2
的交点与点（ 1 , ? 5) 间的距离是 ____ .
2、直线
?? ?
x
?
?2?
2 t (t是参数 ) 上与点（? 2 , 3) 间
?? y ? 3 ? 2 t
的距离是 2 的点的坐标是 _____ .