湖南省长郡中学2020—2021学年度高二第一学期期中考试数学试题(含答案解析)
湖南省部分重点高中2020-2021学年第一学期期中联考高二数学试卷21-09-95B,含答案)
x
N
求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800.
(1)求该游乐项目每天的利润y(元)关于每天游玩该项目的人数x的函数关系式；
(2)当每天游玩该项目的人数x为多少时，该游乐公司获利最大？
21. (12分) 如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PD平面ABCD. 点E是AB 的中点，
过点E作平行于平面PAD的截面，与直线CD,PC,PB分别交于点F,G,H. (1)证明： GH//EF. (2)若四棱锥P-ABCD的体积为8 ，求四边形EFGH的面积． 3
符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,点 M(x0，y0)在抛物线C上，若| MF|= 4,则
A.x0= 3 C.|OM|= 21
B.y0=2 3 D.F的坐标为(0,1)
10. 巳知a,b,c是三条不重合的直线，平面 ,相交于直线c,a ,b , 若a,b为异面直线，则
进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要
10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元．如果每天有x人游玩该项目，需要另
投入成本f(x)
1
2
x2
20 x, 0
x
500,
x
N,
(单位：元)．同时为了满足防疫要
410x
3600000 x
100000,
x
≥
500,
下列说法可能成立的是
A.a与c相交，且b与c也相交
B.a//，且b//
C.a//c，且 b与c 相交
D. ac，且 bc
11. 已知点 P(1, −1)是角终边上的一点，则
长郡中学2020-2021学年度高二第一学期入学考试-答案
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湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题含答案
（ ）根据频率分布直方图估计这 位男生身高的中位数；
（ ）用分层抽样的方法在身高为 内抽取一个容量为 的样本，从样本中任意抽取 位男生，求这两位男生身高都在 内的概率．
23.已知数列 的前 项和为 ，且 对任意 都成立.
（Ⅰ）求 值；
（Ⅱ）证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（Ⅲ）设 ，求数列 的前 项和 .
24.已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P 轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4.
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且 （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
16.某中学高二年级甲班的学生共有25名女生和35名男生，现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛，则甲班中某女生被抽到的概率是________．
17.已知函数 （ ，且 ）的图像恒过定点 ，则 __________．
C. 有最大值， 有最大值D. 有最小值， 有最小值
二、多项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对得1分）
11.下列关于函数 的说法中正确的是（）
A. 为奇函数
B. 上单调递减
C. 不等式 的解集为
D. 不等式 的解集为
12.如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点，异面直 与 所成角的余弦值为 ，则（）
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(含答案)
故答案为：36.
【点睛】
与抛物线的焦点有关问题的解题策略：
1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；
2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点 到焦点 的距离： 或 .
7．A
【分析】
首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】
设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
求导得到 ， ，放缩得到导函数的正负，结合特殊值排除得到答案.
【详解】
，则 ； ，则 ，
当 时， ，函数单调递增，
，函数单调递增，A满足；
，故B不满足； ，故C不满足；
当 时， ， ，故D满足.
故选：AD.
【点睛】
本题考查了函数的新定义问题，利用导数判断函数的单调性，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10b分析实数1x2x满足1202xx???且????12fxfx?则必有1x2x分别在yx?ln2yx?上且??12ln2xx?212ex???????结合21xx?构造????ln2gxxx??12ex???????利用导数研究??gx单调性即可求出21xx?的最大值详解????01ln212xxfxxx??????????的图象如下存在实数1x2x满足1202xx???且????12fxfx?即??12ln2xx?212ex???????则??2122ln2xxxx???本卷由系统自动生成请仔细校对后使用答案仅供参考
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
故选:A．
【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，考查等差数列的性质，此题得出b和a的数量关系是关键,属于中档题.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）
16.椭圆 短轴的长为 ，则实数 _________。
三、解答题(本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
21。设命题 ：实数 满足 ，其中 ;命题 ：实数 满足 .
(1）当 时,若 为真，求 的取值范围;
（2）若 是 的必要不充分条件,求实数 的取值范围。
19.在平面区域 内任取一点 ，若 满足 的概率大于 ,则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
结合线性约束条件画出可行域， 满足 的概率大于 可转化为：符合条件的目标区域面积大于总区域面积的 ，结合三角形面积公式求解参数 ，再根据目标函数的移动特点进一步分析即可
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图,
直线 : , ： ，“ 或 "是“ ”的充要条件，则“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以C正确;
命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”，显然不正确，是假命题；
故选：C。
【点睛】本题考查命题真假的判断,综合性强,对于细节性问题考查到位，在平常学习中要学会思辨，学会把握知识的连贯性和特殊性,属于中档题
,甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数,D错误，故选D.
【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数,考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.
8。已知命题 ，命题 , ，则下列命题中为真命题的是
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
(2)若
AB
=
42 3
，求
Q
点的坐标.
七、解答题
20．设抛物线 y2 = 2 px ( p > 0) 的准线为 l，A、B 为抛物线上两动点， AA¢ ^ l 于 A¢ ，定
点 K (0,1) 使 KA + AA¢ 有最小值 2 ．
(1)求抛物线的方程；
(2)当
uuur KA
=
uuur l KB
（
l
1．A
参考答案：
【分析】根据法向量
r u
=
(1,
2,
-1)
,
r v
=
(-3,
-6,
3)
，可得
r v
=
r -3u
，可得法向量
r v
和
r u
平行即可
得解.
【详解】由
r v
=
r -3u
，
所以法向量
r v
和
r u
平行，
所以平面a 和 b 平行， 故选：A. 2．A 【分析】设 5 人分到的面包数量从小到大记为{an}，设公差为d ，可得
uuur uuuur uAuuNr × BuuMuur AN × BM
=
3 5´
= 6
30 10 .
故 BM 与 NA 所成的角的余弦值为 30 . 10
故选：C. 5．A
【分析】由椭圆方程求得半焦距 c ，则渐近线方程及焦点位置设出双曲线方程，再由半焦
距 c 求得参数值得双曲线标准方程．
c= 【详解】由题意知
A． -
30 10
B． 30 6
C． 30 10
D． -
30 6
湖南省长沙市长郡中学2020至2021学年高二上学期期末数学试卷文科
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）i为虚数单位，复平面内表示复数z=的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）命题p：•＜0，命题q：∠BAC是钝角．p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）在如图所示的四个图示中，是结构图的是（）A．B．C．D．4．（3分）a，b，c，d四位同学各自对甲、乙两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和（y i﹣）2如下表：a b c d散点图残差平方和115 106 124 103哪位同学的实验结果体现拟合甲、乙两变量关系的模型拟合精度高？（）A．a B．b C．c D．d5．（3分）已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A．（，）B．C．（，）D．6．（3分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为10，若2a=16，则△ABF2的周长是（）A．32 B．36 C．42 D．527．（3分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误8．（3分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，539．（3分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度10．（3分）某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用2×2列联表进行独立性研究，经计算K2=7.069，则至少有（）的把握认为“学生的视力与座位有关”．附：P（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828A．95% B．99% C．97.5% D．90%11．（3分）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x 1.99 3 4 5.1 6.12y 1.5 4.04 7.5 12 18.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）A．y=2x﹣2 B．y=（）x C．y=log2x D．y=（x2﹣1）12．（3分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．13．（3分）设函数f n（x）=n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则f n（x）在[0，1]上的最大值为（）A．0B．1C．（1﹣）n D．4（）n+214．（3分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）15．（3分）定义在（0，+∞）的函数f（x）为单调函数，对任意的x∈（0，+∞）恒有f[f（x）﹣log4x]=5．x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个根，则x0所在区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为．17．（3分）已知A是曲线ρ=4cosθ上任一点，则点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为．18．（3分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为．19．（3分）已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的左、右两焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则=．20．（3分）已知f（x）是定义在[0，1]上的函数，g（x），h（x）是定义在R上的可导函数，且g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），并且f（x）满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．则f（）+f（）=．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）某医院眼科某天测量300名求医者的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列．（1）求出最大频率；（2）求出视力在4.6﹣5.0的人数．22．（8分）小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y．（1）在直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点共有几个？求点（x，y）落在直线x+y=7上的概率；（2）规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个规定公平吗？请说明理由．23．（8分）命题p：已知f（x）=x2+（m2﹣1）x+（m﹣2）的一个零点比1大，一个零点比1小．命题q：﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立．若￢p为假命题，p∧q为真命题，求m的取值范围．24．（8分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O：x2+y2=的切线l与椭圆相交于A，B两点，证明：以AB为直径的圆必经过原点．25．（8分）已知函数f（x）=lnx，g（x）+f（x）=px2﹣qx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）试用含有p的式子表示q；（2）若p≤0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）当x≠1，h（x）f（x）=x2﹣4tx+4t2，（其中t为常数），若t∈（0，），函数h（x）有三个极值点为a，b，c，且a＜b＜c．证明0＜2a＜b＜1＜c．湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）i为虚数单位，复平面内表示复数z=的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解答：解：∵z==，∴复平面内表示复数z=的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（3分）命题p：•＜0，命题q：∠BAC是钝角．p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行判断即可．解答：解：若•＜0，即||•||cos∠BAC＜0，即﹣1≤cos∠BAC＜0，则＜∠BAC≤π，则∠BAC是钝角不一定成立，反之若∠BAC是钝角，则cos∠BAC＜0，即•=||•||cos∠BAC＜0，则•＜0成立，即p是q的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量数量积的定义是解决本题的关键．3．（3分）在如图所示的四个图示中，是结构图的是（）A．B．C．D．考点：结构图．专题：算法和程序框图．分析：根据结构图的定义，对四个框图进行判断即可得到结论．解答：解：A中，，是流程图；B中，，是知识结构图；C中，，是直方图，D中，，是韦恩图，故选：B点评：本题考查了结构图的分析与判断问题，是基础题目．4．（3分）a，b，c，d四位同学各自对甲、乙两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和（y i﹣）2如下表：a b c d散点图残差平方和115 106 124 103哪位同学的实验结果体现拟合甲、乙两变量关系的模型拟合精度高？（）A．a B．b C．c D．d考点：散点图．专题：概率与统计．分析：根据散点图以及残差平方和的大小进行判断即可．解答：解：由散点图可知D的残差平方和最小，此时图象和回归方程拟合精度高，故选：D点评：本题主要考查散点图和残差平方和的应用，比较基础．[5．（3分）已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A．（，）B．C．（，）D．考点：直线的倾斜角；圆的参数方程．专题：直线与圆．分析：先将曲线的极坐标方程化为普通方程并求出直线的方程，再将二者联立即可解出．解答：解：将曲线（θ为参数，0≤θ≤π）消去参数θ，化为普通方程为（y≥0）．∵直线PO的倾斜角为，∴=1，∴直线po的方程为：y=x，联立（y≥0），解得，即P．故选D．点评：本题考查了将曲线的极坐标方程化为普通方程及直线与曲线相交的问题，熟练的计算是解决问题的关键》6．（3分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为10，若2a=16，则△ABF2的周长是（）A．32 B．36 C．42 D．52考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的定义可得AF2+BF2 =42，△ABF2的周长是（AF1 +AF2）+（BF1+BF2 ）=（AF2+BF2）+AB，计算可得答案．解答：解：由双曲线的定义可得AF2﹣AF1=2a，BF2 ﹣BF1=2a，∴AF2+BF2 ﹣AB=4a=32，即AF2+BF2 ﹣10=32，AF2+BF2 =42．△ABF2（F2为右焦点）的周长是（AF1 +AF2）+（BF1+BF2 ）=（AF2+BF2）+AB=42+10=52．故选：D．点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出AF2+BF2 =42是解题的关键．7．（3分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误考点：进行简单的演绎推理．专题：阅读型．分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些…”，不难得到结论．解答：解：∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C．点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．8．（3分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53考点：茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．解答：解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：=46．众数是45，极差为：68﹣12=56．故选：A．点评：本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．9．（3分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．10．（3分）某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用2×2列联表进行独立性研究，经计算K2=7.069，则至少有（）的把握认为“学生的视力与座位有关”．附：P（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828A．95% B．99% C．97.5% D．90%考点：独立性检验的应用．专题：概率与统计．分析：把观测值同临界值进行比较．得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系解答：解：∵K2=7.069＞6.635，对照表格：P（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828∴有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．故选B．点评：本题考查独立性检验，解题时注意利用表格数据与观测值比较，这是一个基础题11．（3分）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x 1.99 3 4 5.1 6.12y 1.5 4.04 7.5 12 18.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）A．y=2x﹣2 B．y=（）x C．y=log2x D．y=（x2﹣1）考点：回归分析．专题：常规题型．分析：根据所给的五组数据，在平面直角坐标系中画出五个点，观察这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，递增的速度比较快，排除B，C两个选项，当x=4时，不符合A选项，得到结果．解答：解：在直角坐标系中画出这几对数据的散点图，观察图形的变化趋势，这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，递增的速度比较快，排除B，C两个选项，当x=4时，不符合A选项，故选D．点评：本题考查选择合适的模型来拟合一组数据，考查作图法解题，考查四种函数的性质，本题是一个比较简单的综合题目．12．（3分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．点评：本题考查离散型随机变量的概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．13．（3分）设函数f n（x）=n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则f n（x）在[0，1]上的最大值为（）A．0B．1C．（1﹣）n D．4（）n+2考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；导数的综合应用．分析：对函数求导，令导数f′（x）=0，解得x的值，分析导函数的符号，确定函数在点x=取极大值，即函数的最大值，代入函数解析式即可求得结果．解答：解：f′（x）=2n2x（1﹣x）n﹣n×n2x2（1﹣x）n﹣1=n2x（1﹣x）n﹣1（2﹣2x﹣nx）=﹣n2x（1﹣x）n﹣1[（n+2）x﹣2]=0得x=0，或x=1，或x=f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴f（x）在[0，1]上的最大值为4（）n+2．故选：D．点评：此题考查利用函数的导数研究函数的最值问题，注意导数的运算法则的应用是正确解题的关键，考查运算能力，属中档题．14．（3分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）考点：椭圆的应用．专题：计算题．分析：由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．解答：解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵•=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C．点评：本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．15．（3分）定义在（0，+∞）的函数f（x）为单调函数，对任意的x∈（0，+∞）恒有f[f（x）﹣log4x]=5．x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个根，则x0所在区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）考点：根的存在性及根的个数判断；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法设f（x）﹣log4x=t，求出函数f（x）的表达式，利用导数化简方程，利用根的存在性定理进行判断即可．解答：解：设f（x）﹣log4x=t，则f（t）=5，即f（x）=log4x+t，当x=t时，f（t）=log4t+t=5，解得t=4，∵在（0，+∞）的函数f（x）为单调函数，∴f（x）=log4x+4，则f′（x）=，则方程f（x）﹣f′（x）=4等价为log4x+4﹣=4，即log4x﹣=0，即lnx4•log4x﹣=0，则lgx﹣=0，设h（x）=lgx﹣，则函数h（x）在（0，+∞）上为增函数，则h（1）=lg1﹣1=﹣1＜0，h（2）=lg2﹣=lg＜0，h（3）=lg3﹣=lg＞0，即在（2，3）内函数h（x）存在一个零点，即x0所在区间为（2，3），故选：B点评：本题主要考查函数解析式的求解，以及函数零点的判断，利用函数零点的判断条件，将函数与方程进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出事件：“劣弧的长度小于1”对应的弧长大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解．解答：解：如图所示，∵劣弧=1，∴劣弧=1，则劣弧的长度小于1的概率为P=故答案为：．点评：本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．17．（3分）已知A是曲线ρ=4cosθ上任一点，则点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为5．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，即可得出点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为d+r．解答：解：曲线ρ=4cosθ化为ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4，直线ρcosθ=﹣1化为x=﹣1．∴圆心（2，0）到直线x=﹣1的距离d=3，∴点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为d+r=3+2=5．故答案为：5．点评：本题把极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．18．（3分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；解答：解：y′=e x+x•e x+2，y′|x=0=3，∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．故答案为：y=3x+1点评：本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．19．（3分）已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的左、右两焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则=．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，根据椭圆方程求得焦距，进而利用三角形面积公式和内切圆的性质建立等式求得P点纵坐标，最后利用向量坐标的数量积公式即可求得答案．解答：解：椭圆+=1的a=2，b=，c=1．根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，不妨设P是椭圆+=1上的第一象限内的一点，S△PF1F2=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•==|F1F2|•y P=y P．所以y p=．则=（﹣1﹣x p，﹣y P）•（1﹣x P，﹣y P）=x p2﹣1+y p2=4（1﹣）﹣1+y p2=3﹣=故答案为：．点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义、向量的数量积基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．20．（3分）已知f（x）是定义在[0，1]上的函数，g（x），h（x）是定义在R上的可导函数，且g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），并且f（x）满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．则f（）+f（）=1．考点：导数的运算；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），可得，f′（x）≥0，于是f（x）在R上单调递增．由f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），可得f（1）=1，因此f （）=，=．必然有当时，f（x）=．可得，即可得出．解答：解：∵g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），∴，≥0，∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），∴f（1﹣0）=1﹣f（0），∴f（1）=1，∴f（）=f（1）=，，∴=．∴当时，f（x）=．∵，∴，∴+=1．故答案为：1．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）某医院眼科某天测量300名求医者的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列．（1）求出最大频率；（2）求出视力在4.6﹣5.0的人数．考点：频率分布直方图．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图，得出4.6～4.7间的频率最大，利用频数、等比数列的知识求出最大频率值；（2）根据后6组的频数成等差数列，且和为261，求出公差d，即可计算所求的结果．解答：解：（1）根据频率分布直方图，得组距为0.1，则4.3～4.4间的频数为300×0.1×0.1=3；4.4～4.5间的频数为300×0.1×0.3=9，所以4.6～4.7间的频率最大，为3×33=81，所以最大频率为0.27；（2）根据后6组的频数成等差数列，且共有300﹣39=261人，设公差为d，则6×81+•d=261，解得d=﹣15；所以视力在4.6～5.0的人数为：4×81+×（﹣15）=234．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了等差与等比数列的应用问题，是综合性题目．22．（8分）小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y．（1）在直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点共有几个？求点（x，y）落在直线x+y=7上的概率；（2）规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个规定公平吗？请说明理由．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）所有的结果共有6×6种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线x+y=7上，列举当x=1，y=6；x=2，y=5；x=3，y=4；x=4，y=3；x=5，y=2；x=6，y=1，共有6种结果，由此得到所求的概率．（2）用列举法分别求得小王和小李赢的基本事件的个数，求得小王和小李赢的概率相等，从而得到这个规定公平．解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x+y=8上，当x=1，y=6；x=2，y=5；x=3，y=4，x=4，y=3；x=5，y=2；x=6，y=1，共有6种结果，∴根据古典概型的概率公式得到P==．（2）∵若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．而满足x+y≥10的（x，y）共有（4，6）、（6，4）、（5，6）、（6，5）、（6，6）、（5，5）6种情况．满足x+y≤4的（x，y）共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）6种情况．故小王和小李赢的概率相等，都等于=，故这个规定公平．点评：本题考查古典概型的概率公式，考查满足直线方程的点，考查利用列举法得到事件数，本题是一个基础题，适合文科学生做，列举时注意要以x为主来讨论，属于基础题．23．（8分）命题p：已知f（x）=x2+（m2﹣1）x+（m﹣2）的一个零点比1大，一个零点比1小．命题q：﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立．若￢p为假命题，p∧q为真命题，求m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：若￢p为假命题，p∧q为真命题，则p，q同时为真命题，然后分别求出p，q为真命题的等价条件即可解答：解：∵￢p为假命题，p∧q为真命题，∴p为真，q为真，命题p，设方程的两根分别为x1，x2，且x1＜x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1，•x2﹣（x1+x2）+1＜0，由根与系数的关系得：（m﹣2）+（m2﹣1）+1＜0，即﹣2＜m＜1，命题q：﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立，当x=时，函数y=≤﹣﹣+1取得最小值﹣，∴﹣4m2≤﹣，解得m≤﹣，或m≥，综上所述﹣2＜m≤﹣，或≤m＜1．点评：本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系，以及函数恒成立的问题，和一元二次方程根的关系，属于中档题．24．（8分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O：x2+y2=的切线l与椭圆相交于A，B两点，证明：以AB为直径的圆必经过原点．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过=、抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点，计算即得结论；（2）分直线l的斜率不存在、直线l的斜率为0、直线l的斜率存在且不为0三种情况讨论，利用韦达定理计算即得结论．解答：（1）解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，∴e==，即a=c，∵抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点，∴a=，∴c=b=1，∴椭圆C的方程为：；（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，∵直线l与圆O相切，∴直线方程为：x=或x=﹣，Ⅰ．联立与x=，可得：A（，），B（，﹣），∴以AB为直径的圆的方程为：（x﹣）2+y2=；Ⅱ．联立与x=﹣，可得：A（﹣，），B（﹣，﹣），∴以AB为直径的圆的方程为：（x+）2+y2=；综合Ⅰ、Ⅱ可知两圆过定点（0，0）；②当直线l的斜率为0时，∵直线l与圆O相切，∴切线方程为：y=或y=﹣，Ⅰ．联立与y=﹣，可得：A（，﹣），B（﹣，﹣），∴以AB为直径的圆的方程为：x2+（y+）2=；Ⅱ．联立与y=，可得：A（，），B（﹣，），∴以AB为直径的圆的方程为：x2+（y﹣）2=；综合Ⅰ、Ⅱ，显然过定点（0，0）；③当直线l的斜率存在且不为0时，联立与y=kx+m，消去y得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理知：x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=，=x1x2+y1y2=，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d==，即m2=（1+k2），从而=0，显然以AB为直径的圆经过原点；综合①②③可知：以AB为直径的圆必经过原点．点评：本题考查求椭圆方程，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．25．（8分）已知函数f（x）=lnx，g（x）+f（x）=px2﹣qx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）试用含有p的式子表示q；（2）若p≤0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）当x≠1，h（x）f（x）=x2﹣4tx+4t2，（其中t为常数），若t∈（0，），函数h（x）有三个极值点为a，b，c，且a＜b＜c．证明0＜2a＜b＜1＜c．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）由题意化简g（x）=﹣lnx+px2﹣qx，求导g′（x）=﹣+px﹣q；从而可得g′（1）=﹣1+p﹣q=0，从而解得；（2）先确定函数g（x）=﹣lnx+px2﹣qx的定义域，再求导g′（x）=﹣+px﹣q=，讨论以确定其正负，从而确定函数的单调性；（3）由题意化简h（x）=，求导h′（x）=，再令m （x）=2lnx﹣，求导m′（x）=；从而可判断0＜a＜t，b=2t＜1，c＞1；从而证明．解答：解：（1）由已知得g（x）=﹣lnx+px2﹣qx，g′（x）=﹣+px﹣q，又∵函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，∴g′（1）=﹣1+p﹣q=0，故q=p﹣1；（2）由（1）知，g（x）=﹣lnx+px2﹣qx的定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣+px﹣q=，①当p=0时，g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②当p=﹣1时，g′（x）=﹣≤0，故g（x）在（0，+∞）上是减函数；③当p＜﹣1时，g′（x）=；0＜﹣＜1；故g（x）在（0，﹣），（1，+∞）上是减函数，在（﹣，1）上是增函数；④当﹣1＜p＜0时，g′（x）=；﹣＞1；故g（x）在（0，1），（﹣，+∞）上是减函数，在（1，﹣）上是增函数；（3）证明：由题意得，h（x）=，h′（x）=令m（x）=2lnx﹣，m′（x）=；故m（x）=2lnx﹣在（0，t）上单调递减，在（t，+∞）上单调递增；而函数h（x）有三个极值点为a，b，c，则m（x）=2lnx﹣=0在（0，+∞）上有两个不相等相都不等于2t的根，且h（x）的一个极值点为2t；∵t∈（0，），m min（x）=m（t）=2lnt+1＜2ln+1＜0；m（1）=2ln1+2t﹣1=2t﹣1＜0；又∵a＜b＜c，∴0＜a＜t，b=2t＜1，c＞1；∴0＜2a＜b＜1＜c．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，难题在于构造函数以使问题简化，属于难题．。
长沙市长郡中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题(含答案)
长郡中学2021-2022学年度高二第一学期期中考试数学2021.11本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分100分．第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量()0,1,1a =- ，则向量a 的模a为（）A ．1B ．2C D ．122．数列{}n a 为等差数列，若244a a +=，则3a =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．双曲线221x y -=的离心率是（）A ．1B ．12C ．2D 4．直线123x y-+=在x 轴上的截距为（）A ．2B ．2-C ．3-D ．35．已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）A ．64πB ．48πC ．32πD ．16π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A ，(0,B ，动点M 满足4MA MB +=，则MA MB ⋅的最大值为（）A ．2-B ．0C ．1D ．27．如图所示，在正方体ABCD A B C D ''''-中，点E 是棱BC 的中点，点G 是棱DD '的中点，则异面直线GB 与B E '所成的角为（）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°8．对任一实数序列()123,,,A a a a = ，定义序列()213243,,A a a a a a a =--- …，它的第n 项为1n n a a +-．假定序列()A 的所有项都为1，且1820170a a ==，则2021a =（）A ．1000B ．2000C ．2003D ．4006二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）9．数列{}n a 满足11a =，对任意n *∈N ，都有11n n a a +=+，数列{}n a 前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A ．22a =B ．36a =C ．1060a =D ．()12n n n S +=10．已知直线:10l mx y ++=，A （1，2），B （3，3），则下列结论正确的是（）A ．当1m =时，直线l 的倾斜角为45°B 当0m =时，直线l 的斜率不存在C ．直线恒过定点()0,1-D ．当2m =时，直线l 与直线AB 垂直11．若函数y =的图象与直线20x y m -+=有公共点，则实数m 的可能取值为（）A ．1-B ．1C ．1-D ．012．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则以下结论正确的是（）A ．2p =B ．F 为AD 中点C ．2BD BF=D ．2BF =第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．已知M 是椭圆22:195x y C +=上的一点，则点M 到两焦点的距离之和是．14．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为．15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为钱．16．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离．我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O ，探测器在()A 处以12km/s 的速度匀速直线飞向距月心2000km 的圆形轨道上的某一点P ，在点P 处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18km /s 的速度匀速直线飞至()0,3000B ，这一过程最少用时s ．四、解答题（本题共6小题，每小题8分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）已知ABC △三个顶点是()1,4A -，()2,1B --，()2,3C ．（1）求BC 边上的垂直平分线的直线方程；（2）求点A 到BC 边所在直线的距离．18．（8分）已知双曲线C 与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且它的一条渐近线为43y x =．（1）求椭圆的焦点坐标；（2）求双曲线C 的标准方程．19．（8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,31n S n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭在直线12y x =上．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ，以及数列{}n a 通项公式；（2）若数列{}n b 满足：10n n b a =-，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值．20．（8分）已知m ∈R ，直线()2:14l mx m y m -+=和圆22:84160C x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？21．（8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ，90PBC ∠=︒，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AB AD BC ====．（1）求证：CD ⊥平面PBD ；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为，求二面角B PC D --的正切值．22．（10分）设抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，已知OM =，3MF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，P 为C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别与C 的准线相交于D ，E 两点，证明：以线段DE 为直径的圆经过x 轴上的两个定点．长郡中学2021—2022学年度高二第一学期期中考试数学参考答案题号123456789101112答案C B D B CCBDADCDABCDABC一、单项选择题1.C2.B3.D4.B5.C6.C易知M 的轨迹为椭圆，其方程为2214y x +=，设(),M x y ，则2214y x =-，∴()()222223,313244y y MA MB x y x y x y y ⎛⎫⋅=--⋅--=+-=+--=- ⎪⎝⎭ ，因为[]2,2y ∈-，所以[]230,34y ∈，即[]2322,14y -∈-，∴()max1MA MB ⋅= .故选C.7.B 8.D【解析】依题意知A ∆是公差为1的等差数列，设其首项为a ，通项为n b ，则()111n b a n n a =+-⨯=+-，于是()()()()()()1111111111221122n n n k k k k k n a n a n n a a a a a b a a n a --+==-++-⎡⎤--⎣⎦=+-=+=+=+-+∑∑.由于1820170a a ==，即111713602016201510080a a a a ++=⎧⎨++⨯=⎩，解得1016a =-，117136a =.故()202120192020171362020101640062a ⨯=+⨯-+=.故选D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.AD10.CD11.ABCD12.ABC 【解析】如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l ，则直线方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，联立222y pxp y x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩，得22122030x px p -+=.解得32A x p =，16Bx p =，由32422pAF p p =+==，得2p =.∴抛物线方程为24y x =.1163B x p ==，则14133BF =+=；4831cos 6032BF BD ===︒，∴2BD BF =，48433BD BF +=+=，则F 为AD 中点.∴运算结论正确的是A 、B 、C.故选：ABC.三、填空题13.614.83【解析】：∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积211822333V Sh ==⨯⨯=.15.23【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a d +，2a d +，则根据题意有()()()()()()()()22522a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎪⎨-+-=++++⎪⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=.16.80009【解析】设PA a =，PB b =，飞行过程所用时间121218123PA PB t a b ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令23PC b =，即23PC PB =，设点()0,C m 在圆形轨道内，取点P 坐标为()0,2000，而()0,3000B ，由23PC PB =得()22000300020003m -=-，40003m =，即40000,3C ⎛⎫⎪⎝⎭，设动点(),P x y ，当23PC PB ==，化简整理得2222000x y +=，即满足23PC PB =的动点P 的轨迹就是给定的圆形轨道，所以距月心2000km 的圆形轨道上的任意点P 均有23PC PB =成立，如图，连PC ，于是有320003PA PC AC +==≥，当且仅当P 为线段AC 与圆形轨道交点时取“＝”，即有()111320008000121812121239PA PB t PA PC AC =+=+⋅=⋅=≥，所以这一过程最少用时8000s 9.四、解答题17.【解析】（1）∵()2,1B --，()2,3C ，∴31122BC k +==+，则所求直线的斜率为：1k =-.又BC 的中点D 的坐标为()0,1，所以BC 边上的中垂线所在的直线方程为：10x y +-=.（2）直线BC 的方程为：10x y -+=，则点()1,4A -到直线:10BC x y -+=的距离为：d ==.18.【解析】（1）椭圆2214924x y +=的焦点坐标为()5,0±.（2）设C 的方程为()220916x y λλ-=>，即221916x y λλ-=，依题意91625λλ+=，解得1λ=，所以C 的标准方程为：221916x y -=.19.【解析】（1）由题意知：312n S nn =+，则232n n n S +=，当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，131n n n a S S n -=-=-；而13112a =⨯-=，∴31n a n =-，*n ∈N .（2）311n b n =-，当1,2,3n =时0n b <，当4n ≥时0n b >，故()3min 15n S S ==-.20.【解析】（1）∵21mk m =+，∴20km m k -+=（*），（求出斜率表达式给2分）∵m ∈R ，∴当0k ≠时，0∆≥，解得1122k -≤≤且0k ≠，又当0k =时，0m =，方程（*）有解，综上所述，1122k -≤≤.（2）假设直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧.设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，则120ACB ∠=︒.∵圆()()22:424C x y -++=，∴圆心()4,2C -到l 的距离为1.1=，整理得423530m m ++=∵254330∆=-⨯⨯<，∴423530m m ++=无实数解.因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧.21.【解析】（1）证明：在四边形ABCD 中，ADBC ∥，90ABC ∠=︒，22AB AD BC ===，所以ABD △，BCD △都为等腰直角三角形，即CD DB ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，90PBC ∠=︒，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，所以直线PB ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以PB CD ⊥，又PB BD B ⋂=，所以CD ⊥平面PBD .（2）以B为原点，BC ，BP ，BA 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图，2BC =，则1AB =，CDBD ==，因为直线PD 与底面ABCD 所成角的正切值为，所以在Rt PBD △中，tan PB PDB BD ∠===∴4PB =.设平面PBC 和平面PDC 法向量分别为m ，n ，易知可取()0,0,1m = ，(),,n x y z，因为()2,4,0PC =- ，()1,0,1CD =-，所以00PC n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2400x y x z -=⎧⎨-+=⎩，令2z =，解得()2,1,2n = .设所求二面角为θ，所以2cos 3m nm nθ⋅===，∴tan 2θ=.22.【解析】（1）设点()00,M x y ，因为点M 在抛物线C上，OM =2002200212y px x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得200212x px +=，即()22012x p p +=+.因为00x >，则0x p =-.因为3MF =，则032p x +=32p -=，所以221232p p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得2440p p -+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程是24y x =.（2）设直线l 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=.设点211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，则124y y t +=，124y y =-.设点2,4m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12211444PA y m k y m y m -==+-，直线PA 的方程为2144m y m x y m ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭.令1x =-，得21114414my m y m y m y m ⎛⎫-=-+= ⎪++⎝⎭，所以点1141,my D y m ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.同理，点2241,my E y m ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.设以线段DE 为直径的圆与x 轴的交点为(),0N a ，则1141,my DN a y m ⎛⎫-=+- ⎪+⎝⎭ ，2241,my EN a y m ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭.因为DN EN ⊥，则0DN EN ⋅= ，即()212124410my my a y m y m--++⋅=++，∴()()()()()()()2221212122212121244416416161444my my m y y m y y m mt a y m y m y y m y y m m mt ---+++-+=-=-==++++++-，得1a =或3-.故以线段DE 为直径的圆经过x 轴上的两个定点()1,0和()3,0-。
湖南省部分重点高中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题
高二数学试卷考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择題）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：人教A 版必修1~5，选修2-1第一、二章．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“24,log 2x x ∀>>”的否定是（ ）A ．0204,log 2x x ∃>B ．24,log 2x x ∀>C ．0204,log 2x x ∃D ．24,log 2x x ∀ 2．抛物线2116y x =的准线方程是（ ） A ．4y = B ．8y = C ．4y =- D ．8y =-3．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.6y x a=+，则ˆa =（ ）A ．4.2B ．4.6C ．4.7D ．4.94．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 22sin cos 0b A a A B -=，则ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=，则这个数列的前9项和等于（ ） A ．45 B ．452 C ．55 D ．5526．已知正数,m n 满足1250.2m n -=，则12m n+的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．127．已知平面向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+，则“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过原点O 的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A B 1 C D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点()00,M x y 在抛物线C 上，若||4MF =，则（ ）A ．03x =B ．0y =C ．||OM =D ．F 的坐标为(0,1)10．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线,,c a b αβ⊂⊂，若,a b 为异面直线，则下列说法可能成立的是（ ）A ．a 与c 相交，且b 与c 也相交B ．//a β，且//b αC ．//a c ，且b 与c 相交D ．a c ⊥，且b c ⊥ 11．已知点(1,1)P -是角α终边上的一点，则（ ） A ．函数()sin(2)f x x α=+的对称轴方程为3()82k x k ππ=+∈Z B ．函数()sin(2)f x x α=+的对称轴方程为()82k x k ππ=+∈Z C ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是奇函数 D ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是偶函数 12．已知ln ln ,1,1,01x y x y m >≠≠<<，则（ ） A ．mmx y > B ．11(1)log (1)log y x x m y m +++<+C ．x y mmxy > D ．log log 1x m m y ⋅>第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在等差数列{}n a 中，已知143,1a a =-=，则7a =_______．14．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF 的周长是___． 15．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，，若函数()()g x f x a =+恰有一个零点，则a 的取值范围是______．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C的离心率12e ⎛∈ ⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①212AB BD ==，②sin ,BAD ABD D ∠=∠为BC的中点，③,6DAB AB π∠==个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求AC 的长；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，在ABC 中，4ACB π∠=，点D 在线段BC 上，10AD =，_________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c C 为锐角，且3,ab ABC =． （1）求角C ；（2）若ABC，求ABC 的周长． 19．（12分）记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，32n a +是6和124n S +的等比中项，且12a ≠． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若等比数列{}n b 的公比为12，且123111,,2b b b -成等差数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．20．（12分）2020年“国庆、中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元．如果每天有x 人游玩该项目，需要另投入成本2120,0500,2()3600000410100000,500,x x x x f x x x x x ⎧+<<∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩N N，（单位：元）．同时为了满足防疫要求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800．（1）求该游乐项目每天的利润y （元）关于每天游玩该项目的人数x 的函数关系式； （2）当每天游玩该项目的人数x 为多少时，该游乐公司获利最大？ 21．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是AB 的中点，过点E 作平行于平面PAD 的截面，与直线,,CD PC PB 分别交于点,,F G H ． （1）证明：//GH EF ．（2）若四棱锥P ABCD -的体积为83，求四边形 EFGH 的面积．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F，且离心率为2，点M 为椭圆C 上的动点，12F MF 面积的最大值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 的上顶点，直线1MF 交椭圆C 于点N ，过点1F 的直线l （直线l 的斜率不为1）与椭圆C 交于,P Q 两点，点P 在点Q 的上方，若11:3:2F MPF NQSS=，求直线l 的方程．高二数学试卷参考答案1．A 全称命题的否定是特称命题．2．C 化为标准方程为216x y =，易知该抛物线的准线方程为4y =-． 3．D 由表可得，12345 5.567783, 6.755x y ++++++++====，代入回归直线ˆˆ0.6yx a =+，得ˆ6.70.63a=⨯+，解得ˆ 4.9a =． 4．B 由sin 22sin cos 0b A a A B -=，得2sin cos 2sin cos 0b A A a A B -=，即cos cos 0b A a B -=．由正弦定理得sin cos cos sin 0B A B A -=，即sin()0B A -=，所以A B =．5．B 数列{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=，则128910a a a a +++=，所以195a a +=，所以()19994522a a S +⨯==．6．B 由1250.2m n -=，可得2255m n --=，所以22m n +=，1211214424(2)22422n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1,12m n ==时，取得等号．7．B 若,m n 的夹角为锐角，则0m n ⋅>，且,m n 不共线，则2220,(2)(1)2m n λλλλ⋅=+++>++≠，解得43λ>-且0λ≠．所以“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的必要不充分条件． 8．D 由题可知123FOA π∠=，易得112FOA F AF ～，所以11112FO F A F A F F =，可得1F A =．在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅，解得22AF c =． =．9．AC 由题可知(1,0)F ，由0||1MF x =+，所以03x =，212y =，||OM ===．故选AC ．10．ACD 若//a β且//b α，可知////a b c ，与,a b 为异面直线矛盾，B 错误，其他三种情况都可能成立．故选ACD ．11．AD 根据题意知角α为第四象限角，且tan 1α=-，则2()4k k παπ=-+∈Z ，所以()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2()42x k k πππ-=+∈Z ，解得3()82k x k ππ=+∈Z ，所以函数()sin(2)f x x α=+的对称轴方程为35()()cos 3cos(3)cos3824k x k g x x x x πππαπ⎛⎫=+∈⋅=++=+=- ⎪⎝⎭Z 为偶函数．故选AD ． 12．AB 因为ln ln x y >，所以0x y >>．选项A ，令()mf t t =，又01m <<，所以()f t 在(0,)+∞上单调递增，所以mmx y >，所以A 正确． 选项B ，111111lg(1)lg(1)(1)log (1)log lg lg lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)x y y x x y x y x m y m m m y x x y ++++⎡⎤⎡⎤+++-++-+=⋅-=⋅⎢⎥⎢⎥+++⋅+⎣⎦⎣⎦，因为0,01x y m >><<，所以B 正确．选项C ，yx mmxy >等价于()()11y x mmxy>，当4,3x y ==时，3434464,381,43==<，所以C 错误．选项D ，log log m m y x >，但是log ,log m m y x 的正负性无法确定，所以D 错误．故选AB ． 13．5 因为147,,a a a 成等差数列，所以1742a a a +=，即74125a a a =-=． 14．16 由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==．15．(,1)-∞ 令()0f x a +=，得()a f x =-，结合函数()y f x =-的图象（图略）可知，1a <．16．9⎛⎝⎭ 因为31x y x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31xy x =-的对称中心为11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b +=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e -==+--．因为123e ⎛∈ ⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而293a ⎛∈ ⎝⎭． 17．解：选择条件①，在 ABD 中，由余弦定理可得2225cos 29AB BD AD B AB BD +-==⋅， 4分则sin 9B ==． 7分 在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACC B=，可得12sin sin AB B AC C ⨯⋅===． 10分选择条件②，在ABD中，sin BAD ABD ∠=∠，可得BD == 3分又D 为BC的中点，所以CD = 5分 在ADC 中，由余弦定理得2222cos AD CD AC CD AC ACB =+-⋅∠， 7分 得210020020AC AC =+-，即10AC =． 10分 选择条件③，在ABD 中，由余弦定理可得2222cos 100BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，即10BD =， 3分则210,,33AD BD ADB ADC ππ==∠=∠=． 6分 在ADC 中，由正弦定理得sin sin AD AC C ADC =∠，可得sin sin AD ADCAC C⋅∠==． 10分18．解：（1）因为13sin sin 224ABCSab C C ===，所以sin C =， 2分 又C 为锐角，所以60C ︒=． 4分 （2）设ABC 外接圆的半径为R，则2sin 3c R C ==， 6分所以4c ==． 7分因为2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-， 9分 所以216()9a b =+-，解得5a b +=， 11分所以549a b c ++=+=，即ABC 的周长为9． 12分19．解：（1）因为32n a +是6和124n S +的等比中项，所以2316?24n n a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭①， 1分当2n 时，21131624n n a S --⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭②，由①-②得2211336622n n n n a a S S --⎛⎫⎛⎫+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2分化简得2213322n n a a -⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13322n n a a --=+或者133022n n a a -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（舍去），故13(2)n n a a n --=，数列{}n a 为等差数列． 3分因为21131624a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得11a =或12a =（舍去）， 4分所以数列{}n a 是首项为1、公差为3的等差数列，所以32n a n =-． 5分 （2）由123111,,2b b b -成等差数列，可得1321122b b b +-=， 可得23122q b q +-=， 6分又12q =，所以112b =， 7分 所以12n n b =． 8分由（1）得322n n nn a b -=， 所以234147103222222n n n T -=+++++，2345111471035322222222nn n n n T +--=++++++， 两式相减得23411111113232222222n nn n T +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭， 所以123111111111323213222131313112222222212n n n n n n nn n n T ---⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=+⨯-=+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-3442nn +=-． 12分20．解：（1）当0500x <<时，2211400201000038010000(0500,)22y x x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-<<∈ ⎪⎝⎭N ； 2分当500800x 时，3600000360000400410100000100001090000(500800,)y x x x x x x x ⎛⎫=--+-=-++∈ ⎪⎝⎭N ． 4分所以2138010000,0500,23600001090000,500800,x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ，． 5分（2）由（1）可得，当0500x <<时，221138010000(380)6220022y x x x =-+-=--+， 7分当380x =时，max 62200y =． 8分 当500800x 时，36000010900002090000120009000078000y x x x ⎛⎫=-++-⋅=-+= ⎪⎝⎭， 10分 当且仅当600x =时，max 78000y =． 11分 综上，当每天游玩该项目的人数x 为600时，该游乐公司获利最大，为78000元． 12分 21．（1）证明：//,BC AD BC ⊄平面PAD ，//BC ∴平面PAD ， 1分又平面//PAD 平面 EFGH ，//BC ∴平面 EFGH ． 2分BC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面EFGH GH =，//BC GH ∴． 3分同理，//BC EF ， 4分//GH EF ∴． 5分（2）解：由18433P ABCD V PD -=⋅⋅=，得2PD =． 6分 平面//PAD 平面 EFGH ，且平面PAB平面EFGH EH =，平面PCD平面EFGH GF =，//,//PA HE PD GF ∴． 8分又点E 是AB 的中点，可知,,G H F 分别为,,PC PB CD 的中点，2,1,1EF GH GF ∴===，且GF CD ⊥， 10分∴四边形 EFGH 的面积为(12)1322+⨯=． 12分22．解：（1）12F MF 面积最大值max 12112122S F F b c b bc =⋅=⋅⋅==． 2分又2c a =，所以b c =，解得11b c =⎧⎨=⎩，， 4分即1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． 5分 （2）由题可得直线1MF 的方程为1y x =+，联立22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得41,33N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1113NF MF =． 7分 因为11:3:2F MP F NQSS=，则111111121sin sin 232NF QF QF N MF PF PF M ⎛⎫⋅∠=⋅∠ ⎪⎝⎭，得112QF PF =． 8分当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为()()11221,,,,x my P x y Q x y =-，由点P 在点Q 的上方，则212y y =-．联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()222210m y my +--=，则1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 10分得12121212y y y y y y +=-⎧⎨=-⎩，，则22221222m m m -⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，得22,7m m ==． 11分 又1212202my y y m +==-<+，则7m =不符合题意，所以7m =-． 故直线l的方程为770x +=． 12分。
长郡中学2020-2021学年度高二第一学期入学考试-答案(无水印)
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2024最新长郡中学高二上学期期中数学试卷(新题型：19题)(提高篇)(解析版)
2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（提高篇）参考答案与试题解析第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（23-24高二上·广东清远·期中）在四面体OOOOOOOO 中，点MM ,NN 分别为线段OOOO ,OOOO 的中点，若MMNN�������⃗=xxOOOO�����⃗+yyOOOO �����⃗+zzOOOO �����⃗，则xx +yy +zz 的值为（ ）A ．32B ．1C ．12D ．14 【解题思路】先依据空间向量基本定理利用向量OOOO �����⃗,OOOO �����⃗,OOOO �����⃗表示向量MMNN �������⃗，进而求得xx ,yy ,zz 的值，即可求得xx +yy +zz 的值. 【解答过程】由MMNN �������⃗=OONN ������⃗−OOMM ������⃗=12OOOO �����⃗+12OOOO �����⃗−12OOOO �����⃗ 又MMNN �������⃗=xxOOOO �����⃗+yyOOOO �����⃗+zzOOOO �����⃗，则⎩⎪⎨⎪⎧xx −12yy =12zz =12 所以xx +yy +zz =12故选：C. 2．（5分）（23-24高二上·广东广州·期中）已知点OO (2,−3),OO (−5,−2)，若直线ll :mmxx −yy +mm +1=0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．�−43,34�B ．�−∞,−43�∪�34,+∞�C ．�−34,43�D ．�−∞,−34�∪�43,+∞� 【解题思路】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.【解答过程】由mmxx −yy +mm +1=0，得yy −1=mm (xx +1)，所以直线l 的方程恒过定点PP (−1,1)，斜率为mm .因为OO(2,−3)，OO(−5,−2)，所以kk PPPP=−3−12+1=−43，kk PPPP=−2−1−5+1=34.由题意可知，作出图形如图所示，由图象可知，mm≥34或mm≤−43，所以实数m的取值范围为�−∞,−43�∪�34,+∞�.故选：B.3．（5分）（23-24高二上·重庆·期中）已知EEEE是棱长为8的正方体的一条体对角线，点MM在正方体表面上������⃗⋅MMEE������⃗的最小值为（）运动，则MMEEA．−48B．−32C．−16D．0������⃗⋅MMEE������⃗的表达式|OOMM������⃗|2−48，确【解题思路】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得MMEE������⃗|的最小值，即得答案.定|OOMM【解答过程】如图，EEEE是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为√82+82+822=4√3,�����⃗=−OOEE�����⃗，设外接球球心为OO，则OOEE������⃗⋅MMEE������⃗=(MMOO������⃗+OOEE�����⃗)⋅(MMOO������⃗+OOEE�����⃗)=(MMOO������⃗+OOEE�����⃗)⋅(MMOO������⃗−OOEE�����⃗)则MMEE=|MMOO������⃗|2−|OOEE�����⃗|2=|MMOO������⃗|2−(4√3)2=|OOMM������⃗|2−48,由于点MM在正方体表面上运动，������⃗|2的最小值为球心OO与正方体面的中心连线的长，故|OOMM即为正方体棱长的一半，为82=4，������⃗⋅MMEE������⃗的最小值为42−48=−32，所以MMEE故选：B.4．（5分）（23-24高二上·广东珠海·期中）已知抛物线yy2=2ppxx，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且OOEE=2EEOO，则直线AB的斜率为（）A．1 B．√2C．2√2D．无法确定【解题思路】结合题意及抛物线的定义，分析该几何图形，利用△OOOOOO为直角三角形，得到边角关系，进而求得斜率.【解答过程】结合题意：可知抛物线yy2=2ppxx的准线为：xx=−pp2，如图所示：过OO,OO分别作准线的垂线OOMM,OONN，垂足为MM,NN,过点OO作OOMM的垂线，垂足为点OO,设OOEE=2xx，直线OOOO的倾斜角为αα，因为OOEE=2EEOO,所以EEOO=xx,OOOO=3xx，由抛物线的定义：OOEE=OOMM=2xx,OOEE=OONN=xx，结合图形易知：OONN=OOMM，∠OOOOOO=αα,所以OOOO=OOMM−OOMM=xx，在直角三角形△OOOOOO中，OOOO=√OOOO2−OOOO2=2√2xx，所以直线AB的斜率kk=tanαα=tan∠OOOOOO=PPBB PPBB=2√2xx xx=2√2.故选：C.5．（5分）（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：xx29+yy2=1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：xx2+(yy−4)2=1上一点，则|PPPP|−|PPEE|的最小值为（）A．−2√6B．2√6C．−5+2√6D．−7+2√6【解题思路】要求的|PPPP|−|PPEE|最小值，根据椭圆的定义可以转化为|PPPP|+|PPEE|−6（其中EE为椭圆的左焦点），即求|PPPP|+|PPEE|的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题．【解答过程】如图，由题可知，圆MM的圆心坐标为(0,4)，半径为1，设椭圆OO的左焦点为EE，即EE�−2√2,0�，则|PPPP|−|PPEE|=|PPPP|−(2aa−|PPEE|)=|PPPP|+|PPEE|−6，故要求|PPPP|−|PPEE|的最小值，即求|PPPP|+|PPEE|的最小值，所以|PPPP|+|PPEE|的最小值等于|MMEE|−1=√8+16−1=2√6−1，即|PPPP|−|PPEE|的最小值为−7+2√6，故选：D．6．（5分）（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆OO的方程为xx2+yy2=9，直线ll:xx+2yy−10=0，点PP是直线ll上的一动点，过PP作圆OO OO,OO，当四边形PPOOOOOO的面积最小时，直线OOOO的方程为（）A．2xx+4yy+9=0B．4xx+2yy+9=0C．4xx+2yy−9=0D．2xx+4yy−9=0【解题思路】由题意可得当点PP到圆心的距离最小时，切线PPOO,PPOO的长度最小，此时四边形PPOOOOOO的面积最小，求出点PP的坐标，以OOPP为直径的圆的方程，两圆相减得到直线OOOO的方程.【解答过程】由圆OO 的方程为xx 2+yy 2=9可知圆心OO (0,0)，半径rr =3，点PP 到圆心的距离最小时，切线PPOO ,PPOO 的长度最小，此时四边形PPOOOOOO 的面积最小，所以kk OOPP ×�−12�=−1，kk OOPP =2，所以直线OOPP 的方程为yy =2xx ， 联立�yy =2xx xx +2yy −10=0 ，解得PP (2,4)， 以OOPP =√22+42=√20为直径，以OO ,PP 中点(1,2)为圆心的圆方程为(xx −1)2+(yy −2)2=5， 两圆方程相减可得直线OOOO 的方程2xx +4yy −9=0，故选：D.7．（5分）（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线OO ：xx 2aa 2−yy 2bb 2=1(aa >0,bb >0)的左、右焦点分别为EE 1(−cc ,0)，EE 2(cc ,0)，过点EE 1的直线ll 与双曲线OO 的左支交于点OO ，与双曲线OO 的一条渐近线在第一象限交于点OO ，且|EE 1EE 2|=2|OOOO |（OO 为坐标原点）.下列三个结论正确的是（ ）①OO 的坐标为(aa ,bb )；②|OOEE 1|−|OOEE 2|>2aa ；③若OOOO �����⃗=3EE 1OO �������⃗，则双曲线OO 的离心率1+√173； A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③【解题思路】按题意利用双曲线的定义或进行坐标运算逐个判断即可【解答过程】对于①：由题意可知直线OOOO :yy =bb aa xx ， 设OO �xx 0,bb aa xx 0�(xx 0>0)，则|OOOO |=�xx 02+�bb aa xx 0�2=ccxx 0aa =cc ，可得xx 0=aa即OO (aa ,bb )，故①正确； 对于②：设直线ll 与双曲线的右支交于点MM ，由双曲线的定义可得：|MMEE 1|−|MMEE 2|=2aa ， 在△MMOOEE 2中可得|MMOO |>|MMEE 2|−|OOEE 2|，即|MMOO |−|MMEE 2|>−|OOEE 2|， 所以|MMEE 1|−|MMEE 2|=|OOEE 1|+|MMOO |−|MMEE 2|>|OOEE 1|−|OOEE 2|，即|OOEE 1|−|OOEE 2|<2aa ，故②错误； 对于③：设OO (xx 1,yy 1)(xx 1<0)，由EE 1(−cc ,0)，可得OOOO �����⃗=(aa −xx 1,bb −yy 1)，EE 1OO �������⃗=(xx 1+cc ,yy 1)， 因为OOOO �����⃗=3EE 1OO �������⃗，则�aa −xx 1=3(xx 1+cc )bb −yy 1=3yy 1 ，解得�xx 1=aa−3cc 4yy 1=bb 4 ， 即OO �aa−3cc 4,bb 4�，由点OO 在双曲线上可得�aa−3cc 4�2aa 2−�bb 4�2bb 2=1，整理得3cc −aa =√17aa ，解得ee =1+√173，故③正确；故选：C.8．（5分）（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体OOOOOOAA−OO1OO1OO1AA1中，P为线段OO1OO上的动点，则下列结论错误的是（）A．直线OO1PP与OOAA所成的角不可能是ππ6B．当OO1PP=2PPOO时，点AA1到平面OO1OOPP的距离为23C．当OO1PP=2PPOO时，OOPP=2√143D．若OO1PP�������⃗=13OO1OO�������⃗,则二面角OO−OO1PP−OO1的平面角的正弦值为√36【解题思路】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用空间中的距离公式计算BC 后可判断它们的正误，利用向量法可求面面角的余弦值后结合同角的三角函数基本关系式计算后可判断D 的正误.【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系，则OO(0,0,0),OO(2,0,0),OO(2,2,0),AA(0,2,0)，OO1(0,0,2),OO1(2,0,2),OO1(2,2,2),AA(0,2,2)，对于A，设OO1PP�������⃗=ttOO1OO�������⃗=tt(0,2,−2)=(0,2tt,−2tt)(0≤tt≤1)，故PP(2,2tt,2−2tt)，故OO1PP�������⃗=(2,2tt,−2tt)，而OOAA������⃗=(−2,2,0)，设直线OO1PP与OOAA所成的角为θθ，则cosθθ=�PPBB������⃗⋅PPPP�����⃗�PPBB������⃗��PPPP�����⃗��=4−4tt2√2×√4+4tt2+4tt2，若直线OO1PP与OOAA所成的角是π6，则4−4tt2√2×√4+8tt2=√32，整理得到：4tt2+4tt+1=0，此方程在[0,1]上无实数解，故直线OO1PP与OOAA所成的角不可能是π6，故A正确.对于B，当OO1PP=2PPOO时，结合A中分析可得tt=23，故PP�2,43,23�，�����⃗=�0,43,23�，而OOOO1��������⃗=(−2,0,2)，设平面OO1OOPP的法向量为mm��⃗=(xx,yy,zz)，故OOPP则�mm��⃗⋅OOPP�����⃗=0mm��⃗⋅OOOO1��������⃗=0即�43yy+23zz=0−2xx+2zz=0，取xx=2，则yy=−1，zz=2，故mm��⃗=(2,−1,2)，又AA1OO1����������⃗=(0,−2,0)，故AA1到平面OO1OOPP的距离为�mm���⃗⋅BB1PP1�����������⃗|mm���⃗|�=23，故B正确.对于C，当OO1PP=2PPOO时，又B的分析可得PP�2,43,23�，故OOPP�����⃗=�2,43,23�，�����⃗�=�4+209=√563=2√143，故C正确.故�OOPP对于D，当OO1PP�������⃗=13OO1OO�������⃗时，结合OO的分析可得tt=13，此时PP�2,23,43�，�����⃗=�0,23,43�，而OOOO1��������⃗=(−2,0,2)，设此时平面OO1OOPP的法向量为nn�⃗=(aa,bb,cc)，故OOPP则�nn�⃗⋅OOPP�����⃗=0nn�⃗⋅OOOO1��������⃗=0即�23bb+43cc=0−2aa+2cc=0，取aa=1，则bb=−2，cc=1，故nn�⃗=(1,−2,1)，又OO1PP�������⃗=PP�2,23,−23�，OO1OO1���������⃗=(2,0,0)，设平面OO1OO1PP的法向量为ss⃗=(uu,vv,ww)，则�nn�⃗⋅OO1PP�������⃗=0nn�⃗⋅OO1OO1���������⃗=0即�2uu+23vv−23ww=02uu=0，取vv=1，则uu=0，ww=1，故ss⃗=(0,1,1)，故cos⟨ss⃗,nn�⃗⟩=2√6×√2=√36，故二面角OO−OO1PP−OO1的平面角的正弦值为√336，故D错误.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。