湖南省长郡中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含解析
长郡中学2018-2019学年度高二第二学期期末考试数学(理科)一、选择题。
1.设集合{}{}21,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ）A. 1B. 12-C.12D. -1【答案】A 【解析】 【分析】由{}1A B ⋂=得1A ∈且1B ∈，把1代入二次方程求得1m =，最后对m 的值进行检验. 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈且1B ∈， 所以3410m -+=，解得1m =.当1m =时，1{1,}3B =，显然{}1A B ⋂=，所以1m =成立，故选A. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意求出参数m 的值后要记得检验.2.已知函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，则函数()y f x =的定义域为（ ）A. [2,1][1,2]--UB. []1,2C. []0,3D. []1,8-【答案】D 【解析】 【分析】函数()21y f x =-中21x -的取值范围与函数()y f x =中x 的范围一样.【详解】因为函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，所以03x ≤≤，所以2118x -≤-≤，所以函数()y f x =的定义域为[]1,8-.选D.【点睛】求抽象函数定义域是一种常见题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量x 的取值范围的集合，而对应关系f 所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（ ）A.3B. 3-C.13D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】由单位圆中的三角函数线可得：终边关于y 轴对称的角α与角β的正弦值相等，所以1sin 3β=-，再根据同角三角函数的基本关系，结合余弦函数在第四象限的符号，求得cos β=3.【详解】角α与角β终边关于y 轴对称，且α是第三象限角，所以β为第四象限角，因为1sin 3α=-，所以1sin 3β=-，又22sin cos 1ββ+=，解得：cos β=3，故选A. 【点睛】本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系，考查基本的运算求解能力.4.已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. (.1)-∞- B. (3,)-+∞C. (13)-， D. ()3.1-【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<. 【详解】由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<， 解得：13a -<<，故选C.【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.5.已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（ ） (附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A. 4. 56%B. 13.59%C. 27. 18%D.31. 74%【答案】B 【解析】 【分析】利用3σ原则，分别求出(24),(57)P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59%P ξ<<=.【详解】正态分布2(1)3N ，中，1,3μσ==， 所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈，所以(57)(24)(47)13.59%2P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B.【点睛】本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.6.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当(2,0)x ∈-时，()31xf x =-，则()9f =（ ） A. 2- B. 2C. 23-D.23【答案】D 【解析】【分析】由等式()()22f x f x -=+可得函数()f x 的周期4T=，得到()9(1)f f =，再由奇函数的性质得()9(1)(1)f f f ==--，根据解析式()31xf x =-求出2(1)3f -=-，从而得到()9f 的值.【详解】因为()())()2(42f x f f x x f x -=⇒+=+，所以()f x 的周期4T =，所以()229(1)(1)()33f f f ==--=--=，故选D. 【点睛】由等式()()22f x f x -=+得函数()f x 的周期4T=，其理由是：(2)x -为函数()f x 自变量的一个取值，(2)x +为函数()f x 自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.7.函数()tan(2)3f x x π=-的单调递增区间为（ ）A. 5[,]()212212k k k Z ππππ-+∈ B. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈C. 5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈ D. 2(,)()63k k k Z ππππ++∈ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性，直接把23x π-代入tan y x =的单调递增区间，求出x 的范围即函数()f x 的单调递增区间.【详解】因为2232k x k πππππ-<-<+，解得：5,212212k k x k Z ππππ-<<+∈， 所以函数的单调递增区间为：5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈，故选C. 【点睛】本题考查正切函数单调递增区间，注意单调区间为一个开区间，同时要注意不能错解成222232k x k πππππ-<-<+，即把正、余弦函数的周期2k π与正切函数的周期k π混淆.8.函数()cos x f x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（ ）A. 0B. 1-C. 1【答案】C 【解析】分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可. 详解：由函数的解析式可得：()()()'cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()xf x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A.12πB.512π C.6π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+，因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B.【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.10.已知函数2(1),10()1x x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则11()f x dx -⎰=（ ） A. 3812π- B. 44π+ C. 3412π+D.3412π- 【答案】C 【解析】 【分析】由积分运算、微积分基本定理、积分的几何意义分别求出2101(1),,34x dx π-+==⎰⎰，从而求得1134()12f x dx π-+=⎰. 【详解】因为10111()()(),f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰由微积分基本定理得：0023011111()(1)(1)|33f x dx x dx x ---=+=+=⎰⎰，由积分的几何意义得：1(),4f x dx π==⎰⎰所以1134()12f x dx π-+=⎰，故选C. 【点睛】本题考查积分的运算法则及积分的几何意义的运用，考查数形结合思想和运算求解能力.11.若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A. 2-和0 B. 0 和1C. 1±D. 2±【答案】A 【解析】 由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得函数一条对称轴为π6x =,因此ππsin()1π()36k k ϕϕ+=±⇒=+∈Z ,由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4ππsin(π)1112036k b b b +++=-⇒=-±⇒=-或 ,选A. 点睛：求函数解析式sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法：(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. （4）由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴12.已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.725B.925C.1625D.2425【答案】B 【解析】π1tan 3tan 41tan 4ααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 7α=-，故2π1cos 2π1sin 212cos sin cos 4222ααααα⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-===+ ⎪⎝⎭，其中222sin cos tan 7sin cos sin cos tan 150αααααααα===-++，故19sin cos 225αα+=. 点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得tan α，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出,A C 选项.13.设函数()()224,ln 25xf x e xg x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ）A. ()()0g a f b <<B. ()()0f b g a <<C. ()()0g a f b <<D.()()0f b g a <<【答案】A 【解析】由题意得，函数()(),f x g x 在各自的定义域上分别为增函数， ∵()()120,130f e g =->=-<， 又实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点 ∴1,1a b <>，∴()(1)0,()(1)0g a g f b f ， 故()()0g a f b <<。
2018-2019学年湖南省五市十校高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省五市十校高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{2,4,6}M =，{1,2}N =，则M N ⋃=（ ） A ．{}2,4,6,1,2 B ．{}1,2,4,6C ．{}1,4,6D ．{}2【答案】B【解析】根据并集的概念和运算，求得两个集合的并集. 【详解】两个集合的并集是由两个集合所有的元素组合而成，故{}1,2,4,6M N ⋃=. 故选B. 【点睛】本小题主要考查两个集合并集的概念和运算，考查集合元素的互异性，属于基础题. 2．下列条件：①a b >；②b a >；③0a b >>；其中一定能推出22a b >成立的有（ ） A ．0个 B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D【解析】利用特殊值证得①②不一定能推出22a b >，利用平方差公式证得③能推出22a b >.【详解】对于①，若12>-，而()2212<-，故①不一定能推出22a b >； 对于②，若10>，而2201<，故②不一定能推出22a b >；对于③，由于0a b >>，所以0,0a b a b ->+>，故()()220a b a b a b -=+->，也即22a b >.故③一定能推出22a b >. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查实数大小比较，属于基础题.3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342a a =，11a =，则4S =（ ） A ．31B ．15C ．8D ．7【解析】利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q ，进而求得4S . 【详解】由于数列是等比数列，故32112a q a q =，由于11a =，故解得2q =，所以()4141151a q S q-==-.故选：B. 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.4．若实数x ，y 满足约束条件02030x y x y x -⎧⎪++⎨⎪-⎩………，则2x y +的最大值为（ ） A ．－3 B ．1C ．9D ．10【答案】C【解析】画出可行域，向上平移基准直线20x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，向上平移基准直线20x y +=到()3,3B 的位置，此时目标函数取得最大值为2339⨯+=. 故选C.本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5．已知向量(1,2)a =，(4,2)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．512π D ．2π 【答案】D【解析】利用夹角公式计算出两个向量夹角的余弦值，进而求得两个向量的夹角. 【详解】设两个向量的夹角为θ，则cos 0θ==，故π2θ=.故选：D. 【点睛】本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查向量数量积和模的坐标表示，属于基础题. 6．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，33S =，33a =，则1011a =（ ） A ．2019 B ．1010C ．2018D ．1011【答案】A【解析】利用基本元的思想，将已知条件转化为1a 和d 的形式，列方程组，解方程组求得1,a d ，进而求得1011a 的值. 【详解】由于数列是等差数列，故313133323S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,2a d =-=，故101111010120202019a a d =+=-+=.故选：A. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题. 7．函数()cos f x x x x =+在[],ππ-上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】由于()()()cos f x x x x f x -=-+=-，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C 选项.由于()π0f =，所以排除D 选项.由于ππππ03632f ⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭，所以排除B 选项. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题.8．如图，某人在点B 处测得某塔在南偏西60︒的方向上，塔顶A 仰角为45︒，此人沿正南方向前进30米到达C 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为（ ）A ．20米B ．15米C ．12米D ．10米【答案】B【解析】设塔底为O ，塔高为h ，根据已知条件求得,,OB OC BC 以及角OBC ∠，利用余弦定理列方程，解方程求得塔高h 的值. 【详解】设塔底为O ，塔高为h ，故,,60OB h OC OBC ==∠=，由于30BC =，所以在三角形OBC 中，由余弦定理得222330230cos60h h h =+-⨯⨯⨯，解得15h =米.故选B.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于基础题.9．若关于x 的不等式()22log 230ax x -+>的解集为R ，则a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】由()222log 23log 1ax x -+>得2231ax x -+>，即2220ax x -+>恒成立，由于0a =时，220x -+>在R 上不恒成立，故0480a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查对数函数的性质，考查一元二次不等式恒成立的条件，属于基础题.10．已知关于x 的不等式6x >+的解集为(,9)b ，则+a b 的值为（ ） A ．4 B ．5C ．7D ．9【答案】D【解析】将原不等式化简后，根据不等式的解集列方程组，求得,a b 的值，进而求得+a b 的值. 【详解】由6x >+得60x -<，依题意上述不等式的解集为(,9)b ，故609360b a ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得5,4a b ==（9b =舍去），故9a b +=. 故选:D. 【点睛】本小题主要考查类似：已知一元二次不等式解集求参数，考查函数与方程的思想，属于基础题.11．将函数()sin2f x x =的图像上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，则()y g x =在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．12B C ．12-D ． 【答案】A【解析】先按照图像变换的知识求得()g x 的解析式，然后根据三角函数求最值的方法，求得()g x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【详解】()sin 2f x x =图像上所有的点向左平移6π个单位长度得到πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到()2πsin 33g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由ππ42x -≤≤得π2π2π6333x ≤+≤，故()y g x =在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为π162f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选:A. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数值域的求法，属于基础题. 12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =-，则函数()(2)()1g x x f x =-+在区间[3,7]-上所有零点之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【解析】根据函数()f x 的奇偶性和对称性，判断出函数()f x 的周期，由此画出()f x 的图像.由()(2)()10g x x f x =-+=化简得()12f x x -=-，画出12y x -=-的图像，由()f x 与12y x -=-图像的交点以及对称性，求得函数()(2)()1g x x f x =-+在区间[3,7]-上所有零点之和.【详解】由于(2)()f x f x +=-，故1x =是函数()f x 的对称轴，由于()f x 为奇函数，故函数是周期为4的周期函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =-，由此画出()f x 的图像如下图所示.令()(2)()10g x x f x =-+=，注意到()20g ≠，故上述方程可化为()12f x x -=-，画出12y x -=-的图像，由图可知()f x 与12y x -=-图像都关于点()2,0对称，它们两个函数图像的4个交点,,,A B C D 也关于点()2,0对称，所以函数()(2)()1g x x f x =-+在区间[3,7]-上所有零点之和为428⨯=.故选:C.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、对称性以及周期性，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知直线l 过点(3,1)A ，(2,0)B ，则直线l 的倾斜角为______. 【答案】π4【解析】根据两点求斜率的公式求得直线l 的斜率，然后求得直线的倾斜角. 【详解】 依题意10132AB k -==-，故直线l 的倾斜角为π4. 【点睛】本小题主要考查两点求直线斜率的公式，考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AA 、AB 的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.【答案】π3【解析】将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角. 【详解】连接11,A B BC ，根据三角形中位线得到1//EF A B ，所以11BA C ∠是异面直线EF 与11A C 所成角.在三角形11A BC 中，1111A B BC AC ==,所以三角形11A BC 是等边三角形，故11π3BAC ∠=. 故填：π3.【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.15．如图，边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在线段BO 上运动，若1AB AO ⋅=，则AP BP ⋅的最小值为_______.【答案】34-【解析】以O 为原点建立平面直角坐标系，利用1AB AO ⋅=计算出,A B 两点的坐标，设出P 点坐标，由此计算出AP BP ⋅的表达式，，进而求得最值. 【详解】以O 为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设()(),0,0,,0,0A a B b a b -->>，则224a b +=①，由1A B A O⋅=得()()2,,01a b a a -⋅==②，由①②解得1,a b ==故()(1,0,0,A B -.设()0,,P t t ⎡-∈⎣，则AP BP ⋅()()1,t t =-⋅2t =233244t ⎛=--≥- ⎝⎭，当t =小值为34-. 故填：34-.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查向量数量积的坐标表示以及数量积求最值，考查二次函数的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 16．若正实数a ，b 满足4a b +=，则1411a b +++的最小值是________. 【答案】32【解析】将4a b +=配凑成116a b +++=，由此化简1411a b +++的表达式，并利用基本不等式求得最小值. 【详解】由4a b +=得116a b +++=，所以1411a b +=++()16141111a b a b ⎛⎫⋅⋅+++ ⎪⎝⎭+++11445611b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭13562⎛≥+= ⎝.当且仅当14411b a a b ++=++，即1,3a b ==时等号成立. 故填：32. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥.（1）求sin()cos 23cos()sin 2ππαβππβα⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值； （2）若点A 的横坐标为35，求sin()sin()αβαβ++-的值. 【答案】(1)-1；(2) 3225- 【解析】（1）用α表示出β，然后利用诱导公式化简所求表达式，求得表达式的值.（2）根据A 点的横坐标即cos α的值，求得sin α的值，根据诱导公式求得cos β的值，由此利用两角和与差的正弦公式，化简求得sin()sin()αβαβ++-的值.【详解】解：（1）∵2πβα=+ ∴sin sin cos 2πβαα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，cos cos sin 2πβαα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭∴sin()cos 23cos()sin 2a ππαβππβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭sin sin sin cos 1cos cos sin cos αβααβααα==-=- （2）由已知A 点的横坐标为35 ∴3cos 5α=，4sin 5α=，cos cos sin 2πβαα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭sin()sin()αβαβ++-2322sin cos 2sin 25αβα==-=-【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查利用诱导公式化简求值，考查两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于中档题.18．如图，三棱锥V ABC -中，VA VB AC BC ===，D 、E 、F 、G 分别是AB 、BC 、VC 、VA 的中点.（1）证明：AB ⊥平面VDC ；（2）证明：四边形DEFG 是菱形【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）根据等腰三角形的性质，证得,AB VD AB CD ⊥⊥,由此证得AB ⊥平面VDC .（2）先根据三角形中位线和平行公理，证得四边形DEFG 为平行四边形，再根据已知VB AC =,证得GD GE =，由此证得四边形DEFG 是菱形.【详解】解（1）因为VA VB =，D 是AB 的中点，所以AB VD ⊥因为AC BC =，D 是AB 的中点，所以AB CD ⊥又CD VD D =，CD ⊂平面VDC ，VD ⊂平面VDC所以AB ⊥平面VDC（2）因为D 、E 分别是AB 、BC 的中点所以DE AC 且2AC DE = 同理GF AC 且2AC GF = 所以DE GF 且DE GF =，即四边形DEFG 为平行四边形又VB AC =，所以GD DE =所以四边形DEFG 是菱形.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查证明四边形是菱形的方法，考查等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，cos sin C c B =+. （1）求角B ；（2）若a =b =AC 边上的高.【答案】(1) 3B π=； (2) 12【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，sin B B =，进而求得B 的大小.（2）利用正弦定理求得sin A ，进而求得A 的大小，由此求得sin C 的值，根据sin h a C =求得AC 边上的高.【详解】解：（1）cos sin C c B =+cos sin sin A B C C B =+)cos sin sin B C B C C B +=+cos sin B C B C +cos sin sin B C C B =+sin sin sin B C C B =sin B B =，∴3B π=（2）由正弦定理：sin sin a b A B =，∴sin sin 2a B Ab == ∵a b <∴A B <∴4A π=∴sin sin()C A B =+设AC 边上的高为h ，则有sin h a C ==【点睛】 本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查特殊角的三角函数值，属于中档题.20．已知数列{}n a 满足122n n n a a +=++，13a =.（1）证明：数列{}2n n a -为等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】(1)证明见解析；(2) n S 2122n n +=+-【解析】（1）将已知条件凑配成11222n n n n a a ++-=-+，由此证得数列{}2n n a -为等差数列.（2）由（1）求得数列{}2n n a -的通项公式，进而求得n a 的表达式，利用分组求和法求得n S .【详解】（1）证明：∵122n n n a a +=++ ∴11222n n n n a a ++-=-+又∵13a =∴1121a -=所以数列{}2n n a -是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）知，212(1)21n n a n n -=+-=-，所以221n n a n =+-.所以()23(13521)2222n n S n =+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+()212(121)212n n n -+-⋅=+-2122n n +=+-【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等差数列，考查分组求和法，属于中档题. 21．已知圆C 的圆心C 在x 轴的正半轴上，半径为2，且被直线3440x y --=截得的弦长为（1）求圆C 的方程；（2）设P 是直线50x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的切线PA ，切点为A ，证明：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.【答案】(1) 圆C ：22(3)4x y -+=. (2)证明见解析；(3,0)，(1,4)--.【解析】（1）设出圆心坐标，利用点到直线距离公式以及圆的弦长列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆C 的方程.（2）设出P 点坐标，根据过圆的切线的几何性质，得到过A ，P ，C 三点的圆是以PC 为直径的圆.设出圆上任意一点M 的坐标，利用0PM CM ⋅=，结合向量数量积的坐标运算进行化简，得到该圆对应的方程2235(3)0x y x y m x y +-+---=，根据方程过的定点与m 无关列方程组，解方程组求得该圆所过定点.【详解】解：（1）设圆心(,0)(0)C a a >，则圆心C 到直线3440x y --=的距离|34|5a d -=.因为圆被直线3440x y --=截得的弦长为∴1d ==. 解得3a =或13a =-（舍），∴圆C ：22(3)4x y -+=.（2）已知(3,0)C ，设(,5)P m m --，∵PA 为切线，∴PA AC ⊥，∴过A ，P ，C 三点的圆是以PC 为直径的圆. 设圆上任一点为(,)M x y ，则0PM CM ⋅=.∵(,5)PM x m y m =-++，(3,)CM x y =-，∴()(3)(5)0x m x y y m --+++= 即2235(3)0x y x y m x y +-+---=.若过定点，即定点与m 无关 令2235030x y x y x y ⎧+-+=⎨--=⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或14x y =-⎧⎨=-⎩，所以定点为(3,0)，(1,4)--. 【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查圆的弦长有关计算，考查曲线过定点问题的求解策略，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题.22．对于定义域相同的函数()f x 和()g x ，若存在实数m ，n 使()()()h x mf x ng x =+，则称函数()h x 是由“基函数()f x ，()g x ”生成的.（1）若函数2()423h x x x =++是“基函数2()3f x x x =+，()3g x kx =+”生成的，求实数k 的值；（2）试利用“基函数()13()log 91x f x -=+，()1g x x =-”生成一个函数()h x ，且同时满足：①(1)h x +是偶函数；②()h x 在区间[2,)+∞上的最小值为()32log 101-.求函数()h x 的解析式.【答案】(1) 23k =. (2) ()13()2log 9122x h x x -=+-+ 【解析】（1）根据基函数的定义列方程，比较系数后求得k 的值.（2）设出()h x 的表达式，利用()1h x +为偶函数，结合偶函数的定义列方程，化简求得m n =-，由此化简()h x 的表达式()13191log 3x x h x m --⎛⎫+= ⎪⎝⎭，构造函数11913x x y --+=，利用定义法证得21t y t +=在[)3,+∞上的单调性，由此求得21t y t +=的最小值，也即11913x x y --+=的最小值，从而求得()h x 的最小值，结合题目所给条件，求出,m n 的值，即求得()h x 的解析式.【详解】解：（1）由已知得()224233(3)x x m x x n kx ++=+++，即224233()3x x mx m nk x n ++=+++， 得34233m m nk n =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，所以23k =. （2）设()13()log 91(1)x h x m n x -=++-，则()3(1)log 91x h x m nx +=++. 由(1)(1)h x h x -+=+，得()()33log 91log 91x x m nx m nx -+-=++， 整理得391log 291x x m nx -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即3log 92x m nx -=， 即22mx nx -=对任意x 恒成立，所以m n =-.所以()13()log 91(1)x h x m m x -=+--()13log 91(1)x m x -⎡⎤=+--⎣⎦()1133log 91log 3x x m --⎡⎤=+-⎣⎦13191log 3x x m --⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 设11913x x y --+=，2x ≥，令13(3)x t t -=≥，则21t y t+=， 任取12,[3,)t t ∈+∞，且12t t < 则222121211t t y y t t ++-=-()()1212121t t t t t t --=，因为12,[3,)t t ∈+∞，且12t t <所以120t t -<，129t t >，1210t t ->，故()()1212121210t t t t y y t t ---=<即12y y <，所以21t y t+=在[3,)+∞单调递增， 所以21103t y t +=≥，且当3t =时取到“=”. 所以13319110log log 33x x --⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 又()h x 在区间[2,)+∞的最小值为()32log 101-，所以0m >，且2m =，此时，2n =-所以()13()2log 9122x h x x -=+-+【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查函数的单调性、奇偶性的运用，考查利用定义法证明函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查函数与方程的思想，综合性较强，属于中档题.。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高一下学期入学考试数学试题(带答案解析)
13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积= ，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 ，半径等于4米的弧田.下列说法不正确的是（ ）
A．“弦” 米，“矢” 米
（2）当 时，函数 的最大值与最小值的和为 ，求实数 的值．
24．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)设g(x)＝log4 ，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
25．设函数 是定义域为 的奇函数．
（1）若 ，求使不等式 对一切 恒成立的实数 的取值范围；
B．按照经验公式计算所得弧田面积（ ）平方米
C．按照弓形的面积计算实际面积为（ ）平方米
D．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据 )
14．已知函数 设 表示 中的较大值， 表示 中的较小值，记 得最小值为种新运算： ，已知函数 ，若函数
恰有两个零点，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
评卷人
得分
二、填空题
16．已知函数 的图象如图所示，则 _____．
17．若 的图象过点 ，则 ______.
18． _____.
19．已知函数 的定义域是 ，且满足 ， ，如果对于 ，都有 ，则不等式 的解集为_____．
12．B
【解析】
【分析】
由分段函数的解析式作出 的图象，由题意得出 为奇函数，根据函数关于原点对称作出 的图象，由数形结合得出答案.
湖南省五市十校2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题201907300362
湖南省五市十校2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考试范围：必修一、必修二、必修三:、必修四。
注意事项：1.答题前.考生务必将自己的扑名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={2，4，6}，N={1，2},则MUN = A. {2,4,6,1,2} B. {1,2,4,6}C. {1，4,6}D.{2}2.下列条件:①a>b;②b>a;③ab>0;其中一定能推出a 2>b 成立的有 A. 0个 B. 3个 C. 2个 D.1个3.已知等比数列{n a }的前n 项和为n S , 1,213==a a a n =2a3=1，则=4S A. 31 B. 15 C.8 D. 74.若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥++≥-03020x y x y x ,则y x +2的最大值为A.-3B.1C.9D.105.已知向量 a=(1，2)，b=(4，-2)，则a 与b 的夹角为 A. 6π B. 3π C. 125π D. 2π6.已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，3,333==a S ,则=1011aA.2019B. 1010C. 2018D. 10117.函数x x x x f +=cos )(在[ππ,-]上的图像大致为8.如图，某人在点B 处测得莱塔在南偏西60°的方向上，塔顶A 仰角为45°，此人沿正南方向前进30米到达C 处，测得塔顶A 的仰角为30°,则塔高为 A. 20 米 B. 15 米 C. 12 米D. 10 米9.若关于x 的不等式)32(log 22+-x ax >0的解集为R ，则a 的取值范围是 A. (0, 31) B. (0, 21) C. (+∞,21) D. (+∞,31)10.已知关于x 的不等式x a >6+x 的解集为(b,9),则a+b 的值为 A.4 B. 5 C.7 D.911.将函数x x f 2sin )(=的图像上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图像，则)(x g y =在区间[2,4ππ-]上的最小值为 A. 21 B. 23C. 21-D. 23-12.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当]0,1[-∈x 时，2)(x x f -=,则函数1)()2()(+-=x f x x g 在区间[-3,7]上所有零点之和为A.4B. 6C.8D. 12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省五市十校2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
湖南省五市十校2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,4,6}M =，{1,2}N =，则M N ⋃=（ ）A. {}2,4,6,1,2B. {}1,2,4,6C. {}1,4,6D. {}2 【答案】B【解析】【分析】根据并集的概念和运算，求得两个集合的并集.【详解】两个集合的并集是由两个集合所有的元素组合而成，故{}1,2,4,6M N ⋃=. 故选B.【点睛】本小题主要考查两个集合并集的概念和运算，考查集合元素的互异性，属于基础题.2.下列条件：①a b >；②b a >；③0a b >>；其中一定能推出22a b >成立的有（ ）A. 0个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】D【解析】【分析】利用特殊值证得①②不一定能推出22a b >，利用平方差公式证得③能推出22a b >.【详解】对于①，若12>-，而()2212<-，故①不一定能推出22a b >；对于②，若10>，而2201<，故②不一定能推出22a b >；对于③，由于0a b >>，所以0,0a b a b ->+>，故()()220a b a b a b -=+->，也即22a b >.故③一定能推出22a b >.故选：D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查实数大小比较，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342a a =，11a =，则4S =（ ）A. 31B. 15C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q ，进而求得4S .【详解】由于数列是等比数列，故32112a q a q =，由于11a =，故解得2q =，所以()4141151a q S q -==-.故选：B.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.4.若实数x ，y 满足约束条件02030x y x y x -⎧⎪++⎨⎪-⎩………，则2x y +的最大值为（ ） A. －3B. 1C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，向上平移基准直线20x y +=到()3,3B 的位置，此时目标函数取得最大值为2339⨯+=.故选C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.已知向量(1,2)a =r ，(4,2)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为（ ） A. 6π B. 3π C. 512π D. 2π 【答案】D【解析】【分析】利用夹角公式计算出两个向量夹角的余弦值，进而求得两个向量的夹角.【详解】设两个向量的夹角为θ，则cos 0525θ==⋅，故π2θ=. 故选：D.【点睛】本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查向量数量积和模的坐标表示，属于基础题.6.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，33S =，33a =，则1011a =（ ）A. 2019B. 1010C. 2018D. 1011 【答案】A【解析】【分析】利用基本元的思想，将已知条件转化为1a 和d 的形式，列方程组，解方程组求得1,a d ，进而求得1011a 的值.【详解】由于数列是等差数列，故313133323S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,2a d =-=，故101111010120202019a a d =+=-+=.故选：A.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.7.函数()cos f x x x x =+在[],ππ-上的图像大致为（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于()()()cos f x x x x f x -=-+=-，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C 选项.由于()π0f =，所以排除D 选项.由于ππππ03632f ⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭，所以排除B 选项.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题.8.如图，某人在点B 处测得某塔在南偏西60︒的方向上，塔顶A 仰角为45︒，此人沿正南方向前进30米到达C 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为（ ）A. 20米B. 15米C. 12米D. 10米【答案】B【解析】【分析】 设塔底为O ，塔高为h ，根据已知条件求得,,OB OC BC 以及角OBC ∠，利用余弦定理列方程，解方程求得塔高h 的值.【详解】设塔底为O ，塔高为h ，故,3,60OB h OC h OBC ==∠=o ，由于30BC =，所以在三角形OBC 中，由余弦定理得222330230cos60h h h =+-⨯⨯⨯o ，解得15h =米. 故选B.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于基础题.9.若关于x 的不等式()22log 230ax x -+>的解集为R ，则a 的取值范围是（ ） A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由()222log 23log 1ax x -+>得2231ax x -+>，即2220ax x -+>恒成立，由于0a =时，220x -+>在R 上不恒成立，故0480a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >. 故选：C.【点睛】本小题主要考查对数函数的性质，考查一元二次不等式恒成立的条件，属于基础题.10.已知关于x 的不等式6x >+的解集为(,9)b ，则+a b 的值为（ ）A. 4B. 5C. 7D. 9 【答案】D【解析】【分析】将原不等式化简后，根据不等式的解集列方程组，求得,a b 的值，进而求得+a b 的值.【详解】由6x >+得60x -<，依题意上述不等式的解集为(,9)b ，故609360b a ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得5,4a b ==（9b =舍去），故9a b +=. 故选:D.【点睛】本小题主要考查类似：已知一元二次不等式解集求参数，考查函数与方程的思想，属于基础题.11.将函数()sin 2f x x =的图像上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，则()y g x =在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A. 12 C. 12- D. 【答案】A【解析】【分析】先按照图像变换的知识求得()g x 的解析式，然后根据三角函数求最值的方法，求得()g x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【详解】()sin 2f x x =图像上所有的点向左平移6π个单位长度得到πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到()2πsin 33g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由ππ42x -≤≤得π2π2π6333x ≤+≤，故()y g x =在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为π162f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选:A.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数值域的求法，属于基础题.12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =-，则函数()(2)()1g x x f x =-+在区间[3,7]-上所有零点之和为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12 【答案】C【解析】【分析】根据函数()f x 的奇偶性和对称性，判断出函数()f x 的周期，由此画出()f x 的图像.由()(2)()10g x x f x =-+=化简得()12f x x -=-，画出12y x -=-的图像，由()f x 与12y x -=-图像的交点以及对称性，求得函数()(2)()1g x x f x =-+在区间[3,7]-上所有零点之和.【详解】由于(2)()f x f x +=-，故1x =是函数()f x 的对称轴，由于()f x 为奇函数，故函数是周期为4的周期函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =-，由此画出()f x 的图像如下图所示.令()(2)()10g x x f x =-+=，注意到()20g ≠，故上述方程可化为()12f x x -=-，画出12y x -=-的图像，由图可知()f x 与12y x -=-图像都关于点()2,0对称，它们两个函数图像的4个交点,,,A B C D 也关于点()2,0对称，所以函数()(2)()1g x x f x =-+在区间[3,7]-上所有零点之和为428⨯=.故选:C.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、对称性以及周期性，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空.13.已知直线l 过点(3,1)A ，(2,0)B ，则直线l 的倾斜角为______.【答案】π4【解析】【分析】根据两点求斜率的公式求得直线l 的斜率，然后求得直线的倾斜角. 【详解】依题意10132AB k -==-，故直线l 的倾斜角为π4. 【点睛】本小题主要考查两点求直线斜率的公式，考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AA 、AB 的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.【答案】π3 【解析】【分析】 将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角.【详解】连接11,A B BC ，根据三角形中位线得到1//EF A B ，所以11BA C ∠是异面直线EF 与11A C 所成角.在三角形11A BC 中，1111A B BC AC ==,所以三角形11A BC 是等边三角形，故11π3BAC ∠=. 故填：π3.【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.15.如图，边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在线段BO 上运动，若1AB AO ⋅=u u u r u u u r ，则AP BP ⋅u u u r u u u r 的最小值为_______.【答案】34-【解析】【分析】 以O 为原点建立平面直角坐标系，利用1AB AO ⋅=u u u r u u u r 计算出,A B 两点的坐标，设出P 点坐标，由此计算出AP BP ⋅u u u r u u u r的表达式，，进而求得最值.【详解】以O 为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设()(),0,0,,0,0A a B b a b -->>，则224a b +=①，由1AB AO ⋅=u u u r u u u r 得()()2,,01a b a a -⋅==②，由①②解得1,3a b ==故()(1,0,0,3A B --.设()0,,3P t t ⎡-∈⎣，则AP BP ⋅u u u r u u u r ()()1,3t t =-⋅23t t =233344t ⎛=--≥- ⎝⎭，当32t =时取得最小值为34-.故填：34-.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查向量数量积的坐标表示以及数量积求最值，考查二次函数的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16.若正实数a ，b 满足4a b +=，则1411a b +++的最小值是________. 【答案】32【解析】【分析】将4a b +=配凑成116a b +++=，由此化简1411a b +++的表达式，并利用基本不等式求得最小值.【详解】由4a b +=得116a b +++=，所以1411a b +=++()16141111a b a b ⎛⎫⋅⋅+++ ⎪⎝⎭+++11445611b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭11443526112b a a b ⎛++≥+⋅= ++⎝.当且仅当14411b a a b ++=++，即1,3a b ==时等号成立. 故填：32. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥.（1）求sin()cos 23cos()sin 2ππαβππβα⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值； （2）若点A 的横坐标为35，求sin()sin()αβαβ++-的值. 【答案】(1)-1；(2) 3225- 【解析】【分析】（1）用α表示出β，然后利用诱导公式化简所求表达式，求得表达式的值.（2）根据A 点的横坐标即cos α的值，求得sin α的值，根据诱导公式求得cos β的值，由此利用两角和与差的正弦公式，化简求得sin()sin()αβαβ++-的值.【详解】解：（1）∵2πβα=+ ∴sin sin cos 2πβαα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，cos cos sin 2πβαα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭∴sin()cos 23cos()sin 2a ππαβππβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭sin sin sin cos 1cos cos sin cos αβααβααα==-=- （2）由已知A 点的横坐标为35 ∴3cos 5α=，4sin 5α=，cos cos sin 2πβαα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭sin()sin()αβαβ++-2322sin cos 2sin 25αβα==-=- 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查利用诱导公式化简求值，考查两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，三棱锥V ABC -中，VA VB AC BC ===，D 、E 、F 、G 分别是AB 、BC 、VC 、VA 的中点.（1）证明：AB ⊥平面VDC ；（2）证明：四边形DEFG 是菱形【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，证得,AB VD AB CD ⊥⊥,由此证得AB ⊥平面VDC .（2）先根据三角形中位线和平行公理，证得四边形DEFG 为平行四边形，再根据已知VB AC =,证得GD GE =，由此证得四边形DEFG 是菱形. 【详解】解（1）因为VA VB =，D 是AB 的中点，所以AB VD ⊥因为AC BC =，D 是AB 的中点，所以AB CD ⊥又CD VD D =I ，CD ⊂平面VDC ，VD ⊂平面VDC所以AB ⊥平面VDC（2）因为D 、E 分别是AB 、BC 的中点所以DE AC P 且2AC DE =同理GF AC P 且2AC GF =所以DE GF P 且DE GF =，即四边形DEFG 为平行四边形又VB AC =，所以GD DE =所以四边形DEFG 是菱形.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查证明四边形是菱形的方法，考查等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 33cos sin a b C c B =+.（1）求角B ；（2）若2a =3b =AC 边上的高.【答案】(1) 3B π=；31+ 【解析】【分析】 （1）利用正弦定理化简已知条件，利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此3sin B B =，进而求得B 的大小.（2）利用正弦定理求得sin A ，进而求得A 的大小，由此求得sin C 的值，根据sin h a C =求得AC 边上的高.【详解】解：（133cos sin a b C c B =+ 33cos sin sin A B C C B =+ 3)3cos sin sin B C B C C B +=+ 3cos 3sin B C B C +3cos sin sin B C C B =+ 3sin sin sin B C C B = 3sin B B =，tan B ∴= ∴3B π=（2）由正弦定理：sin sin a b A B =，∴sin sin 2a B Ab == ∵a b <∴A B <∴4A π=∴sin sin()C A B =+=设AC 边上的高为h，则有1sin 2h a C == 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查特殊角的三角函数值，属于中档题.20.已知数列{}n a 满足122n n n a a +=++，13a =.（1）证明：数列{}2n n a -为等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】(1)证明见解析；(2) n S 2122n n +=+-【解析】【分析】（1）将已知条件凑配成11222n n n n a a ++-=-+，由此证得数列{}2n n a -为等差数列.（2）由（1）求得数列{}2n n a -的通项公式，进而求得n a 的表达式，利用分组求和法求得n S .【详解】（1）证明：∵122n n n a a +=++∴11222n n n n a a ++-=-+又∵13a =∴1121a -=所以数列{}2n n a -是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）知，212(1)21n n a n n -=+-=-，所以221n n a n =+-所以()23(13521)2222n n S n =+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+()212(121)212n n n -+-⋅=+-2122n n +=+-【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等差数列，考查分组求和法，属于中档题.21.已知圆C 的圆心C 在x 轴的正半轴上，半径为2，且被直线3440x y --=截得的弦长为（1）求圆C 的方程；（2）设P 是直线50x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的切线PA ，切点为A ，证明：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.【答案】(1) 圆C ：22(3)4x y -+=. (2)证明见解析；(3,0)，(1,4)--.【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用点到直线距离公式以及圆的弦长列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆C 的方程.（2）设出P 点坐标，根据过圆的切线的几何性质，得到过A ，P ，C 三点的圆是以PC 为直径的圆.设出圆上任意一点M 的坐标，利用0PM CM ⋅=u u u u r u u u u r，结合向量数量积的坐标运算进行化简，得到该圆对应的方程2235(3)0x y x y m x y +-+---=，根据方程过的定点与m 无关列方程组，解方程组求得该圆所过定点.详解】解：（1）设圆心(,0)(0)C a a >，则圆心C 到直线3440x y --=的距离|34|5a d -=. 因为圆被直线3440x y --=截得的弦长为∴1d ==. 解得3a =或13a =-（舍），∴圆C ：22(3)4x y -+=.（2）已知(3,0)C ，设(,5)P m m --， ∵PA 为切线，∴PA AC ⊥，∴过A ，P ，C 三点的圆是以PC 为直径的圆.设圆上任一点为(,)M x y ，则0PM CM ⋅=u u u u r u u u u r .∵(,5)PM x m y m =-++u u u u r ，(3,)CM x y =-u u u u r，∴()(3)(5)0x m x y y m --+++= 即2235(3)0x y x y m x y +-+---=.若过定点，即定点与m 无关 令2235030x y x y x y ⎧+-+=⎨--=⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或14x y =-⎧⎨=-⎩，所以定点为(3,0)，(1,4)--. 【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查圆的弦长有关计算，考查曲线过定点问题的求解策略，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题.22.对于定义域相同的函数()f x 和()g x ，若存在实数m ，n 使()()()h x mf x ng x =+，则称函数()h x 是由“基函数()f x ，()g x ”生成的.（1）若函数2()423h x x x =++是“基函数2()3f x x x =+，()3g x kx =+”生成的，求实数k 的值；（2）试利用“基函数()13()log 91x f x -=+，()1g x x =-”生成一个函数()h x ，且同时满足：①(1)h x +是偶函数；②()h x 在区间[2,)+∞上的最小值为()32log 101-.求函数()h x 的解析式.【答案】(1) 23k =. (2) ()13()2log 9122x h x x -=+-+ 【解析】【分析】（1）根据基函数的定义列方程，比较系数后求得k 的值.（2）设出()h x 的表达式，利用()1h x +为偶函数，结合偶函数的定义列方程，化简求得m n =-，由此化简()h x 的表达式()13191log 3x x h x m --⎛⎫+= ⎪⎝⎭，构造函数11913x x y --+=，利用定义法证得21t y t +=在[)3,+∞上的单调性，由此求得21t y t +=的最小值，也即11913x x y --+=的最小值，从而求得()h x 的最小值，结合题目所给条件，求出,m n 的值，即求得()h x 的解析式.【详解】解：（1）由已知得()224233(3)x x m x x n kx ++=+++，即224233()3x x mx m nk x n ++=+++， 得34233m m nk n =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，所以23k =. （2）设()13()log 91(1)x h x m n x -=++-，则()3(1)log 91x h x m nx +=++.由(1)(1)h x h x -+=+，得()()33log 91log 91x x m nx m nx -+-=++， 整理得391log 291x x m nx -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即3log 92x m nx -=， 即22mx nx -=对任意x 恒成立，所以m n =-.所以()13()log 91(1)x h x m m x -=+--()13log 91(1)x m x -⎡⎤=+--⎣⎦()1133log 91log 3x x m --⎡⎤=+-⎣⎦13191log 3x x m --⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 设11913x x y --+=，2x ≥，令13(3)x t t -=≥，则21t y t+=， 任取12,[3,)t t ∈+∞，且12t t < 则222121211t t y y t t ++-=-()()1212121t t t t t t --=， 因为12,[3,)t t ∈+∞，且12t t <所以120t t -<，129t t >，1210t t ->，故()()1212121210t t t t y y t t ---=<即12y y <，所以21t y t+=在[3,)+∞单调递增，所以21103t y t +=≥，且当3t =时取到“=”. 所以13319110log log 33x x --⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 又()h x 在区间[2,)+∞的最小值为()32log 101-，所以0m >，且2m =，此时，2n =-所以()13()2log 9122x h x x -=+-+【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查函数的单调性、奇偶性的运用，考查利用定义法证明函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查函数与方程的思想，综合性较强，属于中档题.。
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|1＜x＜5}，则（∁R A）∩B＝（）A．（2，5）B．（2，+∞）C．[2，5）D．[2，+∞）2．（3分）函数y＝+log2（x+3）的定义域是（）A．R B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣3，0）∪（0，+∞）3．（3分）已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为（）A．2B．4C．8D．164．（3分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．，B．，C．，D．，5．（3分）设，且∥，则锐角α为（）A．30°B．60°C．75°D．45°6．（3分）函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）7．（3分）如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝（）A．B．C．D．8．（3分）函数y＝﹣x cos x的部分图象是（）A．B．C．D．9．（3分）已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．10．（3分）已知函数，则该函数的图象（）A．关于直线对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于直线对称11．（3分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．12．（3分）已知，是夹角为60°的两个单位向量，则＝2+与＝﹣3+2的夹角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°13．（3分）已知函数f（x）＝若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）14．（3分）已知函数，若要得到一个偶函数的图象，则可以将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度15．（3分）设f（x）＝若f（x）＝x+a有且仅有三个解，则实数a的取值范围是（）A．[1，2]B．（﹣∞，2）C．[1，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）＝．17．（3分）＝．18．（3分）幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为．19．（3分）函数y＝的单调递增区间是．20．（3分）半径为1的扇形AOB，∠AOB＝120°，M，N分别为半径OA，OB的中点，P 为弧AB上任意一点，则的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）已知函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点P（，0），图象中与点P最近的最高点是（，5）．（1）求函数解析式；（2）求函数的增区间．22．（8分）已知函数f（x）＝log a（其中a＞1）．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并给予证明；（Ⅲ）求使f（x）＞0的x取值范围．23．（8分）已知向量＝（sinθ，﹣2）与＝（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin（θ﹣φ）＝，0＜φ＜，求cosφ的值．24．（8分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x（吨）．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．（精确到0.1）25．（8分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f （x）＝1+a•（）x+（）x（1）当a＝1，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：∁R A＝{x|x≥2}；∴（∁R A）∩B＝[2，5）．故选：C．2．【解答】解：要使原函数有意义，只需，解得x∈（﹣3，0）∪（0，+∞），所以原函数的定义域为（﹣3，0）∪（0，+∞）．故选：D．3．【解答】解：因为扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，所以扇形的半径为：，所以扇形的面积为：＝4．故选：B．4．【解答】解：对于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．对于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．对于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．对于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．故选：B．5．【解答】解：由，且∥，则sinα﹣cosα＝0，解得tanα＝，又α为锐角，所以α＝60°．故选：B．6．【解答】解：函数f（x）＝2x+3x是增函数，f（﹣1）＝＜0，f（0）＝1+0＝1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．7．【解答】解：由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，，∴．故选：A．8．【解答】解：函数y＝﹣x cos x为奇函数，故排除A，C，又当x取无穷小的正数时，﹣x＜0，cos x→1，则﹣x cos x＜0，故选：D．9．【解答】解：∵两个非零向量，满足，∴，展开得到．故选：B．10．【解答】解：由2x+＝kπ，k∈z可得x＝，故该函数的图象关于点（，0）对称，k∈z．由2x+＝kπ+，可得x＝，k∈z，故该函数的图象关于直线x＝对称，k∈z．故选：B．11．【解答】解：∵，∴，故选：C．12．【解答】解：∵已知，是夹角为60°的两个单位向量，∴•＝1×1×cos60°＝，设＝2+与＝﹣3+2的夹角为θ，θ∈（0°，180°），∵||＝＝＝，||＝＝＝，•＝（2+）•（﹣3+2）＝﹣6+•+2＝﹣6++2＝﹣，∴cosθ＝＝＝﹣，∴θ＝120°，故选：C．13．【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f （a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选：C．14．【解答】解：数＝，要得到一个偶函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可．故选：B．15．【解答】解：函数f（x）＝，若的图象如图所示，（当x＞0时，函数的图象呈现周期性变化）由图可知：（1）当a≥3时，两个图象有且只有一个公共点；（2）当2≤a＜3时，两个图象有两个公共点；（3）当a＜2时，两个图象有三个公共点；即当a＜2时，f（x）＝x+a有三个实解．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．【解答】解：＝1+|1﹣|﹣＝1+﹣1﹣＝﹣＝0．故答案为：0．17．【解答】解：，所以sinα＝；故答案为：．18．【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα，∵幂函数f（x）的图象过点，∴4α＝，∴α＝﹣．∴f（8）＝＝＝，故答案为：．19．【解答】解：根据对数函数的定义可得：函数y＝的定义域为：（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）令t＝x2+4x﹣12，则，由对数函数的性质可得：函数在定义域内是减函数，由二次函数的性质可得：t＝x2+4x﹣12的单调递减区间是（﹣∞，﹣6），单调递增区间是（2，+∞），再根据复合函数的单调性是“同增异减”，所以函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣6）．故答案为：（﹣∞，﹣6）．20．【解答】解：由题意，设∠POM＝θ，则•＝（﹣）•（﹣）＝•﹣•﹣•+2＝××cos120°﹣1×cosθ﹣1×cos（120°﹣θ）+1＝﹣﹣cosθ﹣（﹣cosθ+sinθ）+1＝﹣（cosθ+sinθ）＝﹣sin（θ+30°），因为θ∈[0°，120°]，所以θ+30°∈[30°，150°]，所以sin（θ+30°）∈[，1]，所以•的取值范围是[，]．故答案为：[，]．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．【解答】解：（1）由已知点函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点，图象中与点P最近的最高点是．∴A＝5，，即T＝π∴ω＝2∴y＝5sin（2x+φ），将代入得5＝5sin（+φ）解得φ＝+2kπ，k∈Z令k＝0，则φ＝∴y＝5sin（2x）（2）令﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z则﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数的增区间为[﹣+kπ，+kπ），（k∈Z）22．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝log a（其中a＞1），可得＞0，即＜0，即（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）．（Ⅱ）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），故函数为奇函数．（Ⅲ）由f（x）＞0 可得＞1，即＜0，2x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故所求的x的取值范围为（0，1）．23．【解答】解：（1）∵向量＝（sinθ，﹣2）与＝（1，cosθ）互相垂直，∴sinθ×1+（﹣2）×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ．∵sin2θ+cos2θ＝1，∴4cos2θ+cos2θ＝1⇒cos2θ＝．∵θ∈（0，），∴cosθ＝，sinθ＝．（2）解法一：由sin（θ﹣φ）＝得，sinθcosφ﹣cosθsinφ＝⇒sinφ＝2cosφ﹣，∴sin2φ+cos2φ＝5cos2φ﹣2 cosφ+＝1⇒5cos2φ﹣2 cosφ﹣＝0．解得cosφ＝或cosφ＝﹣，∵0＜φ＜，∴cosφ＝．解法二：∵0＜θ，φ＜，∴﹣＜θ﹣φ＜．所以cos（θ﹣φ）＝＝．故cosφ＝cos[（θ﹣（θ﹣φ）]＝cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）＝×+×＝．24．【解答】解：（1）由题意知：x≥0，令5x＝4，得x＝；令3x＝4，得x＝．则当时，y＝（5x+3x）×1.8＝14.4x当时，当时，＝24x﹣9.6即得（2）由于y＝f（x）在各段区间上均单增，当x∈时，y≤f（）＜26.4当x∈时，y≤f（）＜26.4当x∈时，令24x﹣9.6＝26.4，得x＝1.5所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8+3.5×3＝17.70元乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝8.7元25．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝1+1•（）x+（）x．令t＝•（）x，由x＜0 可得t＞1，f（x）＝h（t）＝t2+t+1＝+，∵h（t）在（1，+∞）上单调递增，故f（t）＞f（1）＝3，故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，则当x≥0时，|f（x）|≤3恒成立．故有﹣3≤f（x）≤3，即﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3，即﹣4﹣≤a≤2﹣，∴[﹣4•2x﹣]≤a≤[2•2x﹣]．∴当x＝0时，[﹣4•2x﹣]的最大值为﹣4﹣1＝﹣5，[2•2x﹣]的最小值为2﹣1＝1，故有﹣5≤a≤1，即a的范围为[﹣5，1]．。
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学2018级高一下学期期末考试数学试卷及解析
2018-2019学年长郡中学2018级高一下学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.11的等比中项是（ ）A. 1B. －1C. ±1D. 12 【答案】C【解析】试题分析：设两数的等比中项为)21111x x x ∴==∴=±，等比中项为-1或12.如果0b a <<，那么下列不等式错误的是（ ）A. 22a b >B. 0a b ->C. 0a b +<D. b a >【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性质或比较法对各选项中不等式的正误进行判断.【详解】0b a <<Q ，0a b ∴->，0a b +<，则()()220a b a b a b -=-+<，22a b ∴<，可得出b a >，因此，A 选项错误，故选：A.3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ） A. 79 B. 49 C. 23 D. 59【答案】D【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5，因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选： D. 4.若经过两点()4,21A y +、()2,3B -的直线的倾斜角为34π，则y 等于（ ） A. 1-B. 2C. 0D. 3- 【答案】D【解析】【分析】 由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值.【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，则该直线的斜率为3tan 14π=-， 由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，故选：D. 5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A. B.C. D.。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析【KS5U 高考】
长郡中学2018-2019学年度高二第二学期期末考试数学(理科)一、选择题。
1.设集合{}{}21,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ）A. 1B. 12-C.12D. -1【答案】A 【解析】 【分析】由{}1A B ⋂=得1A ∈且1B ∈，把1代入二次方程求得1m =，最后对m 的值进行检验. 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈且1B ∈， 所以3410m -+=，解得1m =.当1m =时，1{1,}3B =，显然{}1A B ⋂=，所以1m =成立，故选A. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意求出参数m 的值后要记得检验.2.已知函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，则函数()y f x =的定义域为（ ）A. [2,1][1,2]--UB. []1,2C. []0,3D. []1,8-【答案】D 【解析】 【分析】函数()21y f x =-中21x -的取值范围与函数()y f x =中x 的范围一样.【详解】因为函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，所以03x ≤≤，所以2118x -≤-≤，所以函数()y f x =的定义域为[]1,8-.选D.【点睛】求抽象函数定义域是一种常见题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量x 的取值范围的集合，而对应关系f 所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（ ）A.3B. 3-C.13D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】由单位圆中的三角函数线可得：终边关于y 轴对称的角α与角β的正弦值相等，所以1sin 3β=-，再根据同角三角函数的基本关系，结合余弦函数在第四象限的符号，求得cos β=3.【详解】角α与角β终边关于y 轴对称，且α是第三象限角，所以β为第四象限角，因为1sin 3α=-，所以1sin 3β=-，又22sin cos 1ββ+=，解得：cos β=3，故选A. 【点睛】本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系，考查基本的运算求解能力.4.已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. (.1)-∞- B. (3,)-+∞C. (13)-， D. ()3.1-【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<. 【详解】由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<， 解得：13a -<<，故选C.【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.5.已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（ ） (附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A. 4. 56%B. 13.59%C. 27. 18%D.31. 74%【答案】B 【解析】 【分析】利用3σ原则，分别求出(24),(57)P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59%P ξ<<=.【详解】正态分布2(1)3N ，中，1,3μσ==， 所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈，所以(57)(24)(47)13.59%2P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B.【点睛】本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.6.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当(2,0)x ∈-时，()31xf x =-，则()9f =（ ） A. 2- B. 2C. 23-D.23【答案】D【解析】 【分析】由等式()()22f x f x -=+可得函数()f x 的周期4T=，得到()9(1)f f =，再由奇函数的性质得()9(1)(1)f f f ==--，根据解析式()31xf x =-求出2(1)3f -=-，从而得到()9f 的值.【详解】因为()())()2(42f x f f x x f x -=⇒+=+，所以()f x 的周期4T =，所以()229(1)(1)()33f f f ==--=--=，故选D. 【点睛】由等式()()22f x f x -=+得函数()f x 的周期4T=，其理由是：(2)x -为函数()f x 自变量的一个取值，(2)x +为函数()f x 自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.7.函数()tan(2)3f x x π=-的单调递增区间为（ ）A. 5[,]()212212k k k Z ππππ-+∈ B. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈C. 5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈ D. 2(,)()63k k k Z ππππ++∈ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性，直接把23x π-代入tan y x =的单调递增区间，求出x 的范围即函数()f x 的单调递增区间.【详解】因为2232k x k πππππ-<-<+，解得：5,212212k k x k Z ππππ-<<+∈， 所以函数的单调递增区间为：5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈，故选C. 【点睛】本题考查正切函数单调递增区间，注意单调区间为一个开区间，同时要注意不能错解成222232k x k πππππ-<-<+，即把正、余弦函数的周期2k π与正切函数的周期k π混淆.8.函数()cos xf x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（ ）A. 0B. 1-C. 1D.2【答案】C 【解析】分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可. 详解：由函数的解析式可得：()()()'cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()xf x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A.12πB.512π C.6π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+，因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B. 【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.10.已知函数2(1),10()1x x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则11()f x dx -⎰=（ ）A. 3812π-B. 44π+C. 3412π+D.3412π- 【答案】C 【解析】 【分析】由积分运算、微积分基本定理、积分的几何意义分别求出2101(1),,34x dx π-+==⎰⎰，从而求得1134()12f x dx π-+=⎰. 【详解】因为10111()()(),f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰由微积分基本定理得：023011111()(1)(1)|33f x dx x dx x ---=+=+=⎰⎰，由积分的几何意义得：1(),4f x dx π==⎰⎰所以1134()12f x dx π-+=⎰，故选C. 【点睛】本题考查积分的运算法则及积分的几何意义的运用，考查数形结合思想和运算求解能力.11.若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A. 2-和0 B. 0 和1 C. 1± D. 2±【答案】A【解析】 由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得函数一条对称轴为π6x =,因此ππsin()1π()36k k ϕϕ+=±⇒=+∈Z ,由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4ππsin(π)1112036k b b b +++=-⇒=-±⇒=-或 ,选A. 点睛：求函数解析式sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法：(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. （4）由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴12.已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.725B.925C.1625D.2425【答案】B 【解析】π1tan 3tan 41tan 4ααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 7α=-，故2π1cos 2π1sin 212cos sin cos 4222ααααα⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-===+ ⎪⎝⎭，其中222sin cos tan 7sin cos sin cos tan 150αααααααα===-++，故19sin cos 225αα+=.点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得tan α，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出,A C 选项.13.设函数()()224,ln 25xf x e xg x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ）A. ()()0g a f b <<B. ()()0f b g a <<C. ()()0g a f b <<D.()()0f b g a <<【答案】A 【解析】由题意得，函数()(),f x g x 在各自的定义域上分别为增函数， ∵()()120,130f e g =->=-<， 又实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点 ∴1,1a b <>，∴()(1)0,()(1)0g a g f b f ， 故()()0g a f b <<。
湖南省重点名校2018-2019学年高一下学期期末达标测试数学试题含解析
湖南省重点名校2018-2019学年高一下学期期末达标测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间四边形ABCD 中，2AD = ， 23BC =，E ，F 分别是AB ， CD 的中点 ，7EF =，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为（ ）A ．150︒B ．60︒C ．120︒D ．30︒【答案】D【解析】【分析】平移两条异面直线到相交，根据余弦定理求解.【详解】如图所示：设BD 的中点为O ，连接,EO FO ，所以,EO AD FO BC ，则EOF ∠是,AD BC 所成的角或其补角，又111,3,722EO AD FO BC EF =====根据余弦定理得：3cos 23EOF ∠==所以150EOF ∠=︒，异面直线AD 与BC 所成角的为30︒，故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角和余弦定理.注意异面直线所成的角的取值范围是(]0,90︒︒.2．已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若2sin b a B =，则A 等于() A ．30 B ．60 C ．60120或 D ．30150或【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理把边化为对角的正弦求解.【详解】 12sin sin 2sin sin ,sin =A=30A=150 D.2b a B B A B A ︒︒=∴=即，则或，选 【点睛】本题考查正弦定理，边角互换是正弦定理的重要应用，注意增根的排除. 3．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）A ．AB DC =B ．AD AB AC += C ．AB AD BD -= D ．0AD CB +=【答案】C【解析】【分析】 根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可. 【详解】在平行四边形ABCD 中,显然有AB DC =,0AD CB +=,故A,D 正确;根据向量的平行四边形法则,可知AD AB AC +=,故B 正确;根据向量的三角形法,AB AD DB -=,故C 错误;故选:C.【点睛】本题考查平面向量的基本定义和运算法则,属于基础题.4．已知点P 在正ABC ∆所确定的平面上，且满足PA PB PC AB ++=，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】C【解析】【分析】根据向量满足的条件确定出P 点的位置，再根据三角形有相同的底边，确定高的比即可求出结果.【详解】因为PA PB PC AB PB PA ++==-，所以2PC PA =-，即P 点在边AC 上，且13AP AC =， 所以P 点到AB 的距离等于C 点到AB 距离的13， 故ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比为1:3.选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，三角形的面积，属于中档题.5．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件A 与C 互斥B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．【详解】 A 为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B 为三件产品全是次品，C 为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A 与B 是互斥事件；A 与C 是包含关系，不是互斥事件；B 与C 是互斥事件，故选B ．【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用．6．茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则x ，y 的值分别为A ．4,5B ．5,4C ．4,4D ．5,5【答案】A【解析】【分析】 根据众数的概念可确定x ；根据平均数的计算方法可构造方程求得y .【详解】甲组数据众数为124 4x ∴= ∴甲组数据的中位数为124∴乙组数据的平均数为：1161161251201281341246y ++++++=，解得：5y = 本题正确选项：A【点睛】 本题考查茎叶图中众数、中位数、平均数的求解，属于基础题.7．已知ABC ∆中，(2,8)AB =，(3,4)AC =-，若BM MC =，则AM 的坐标为 （ ）A ．1(,6)2-B ．5(,2)2C ．(1,12)-D ．(5,4) 【答案】A【解析】【分析】根据(2,8)AB =，(3,4)AC =-，可得BC ；由BM MC =可得M 为BC 中点，即可求得BM 的坐标，进而利用AM AB BM =+即可求解．【详解】因为(2,8)AB =，(3,4)AC =-所以(5,4)BC AC AB =-=--因为BM MC =，即M 为BC 中点 所以15,222BM BC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭所以()512,8,2,622AM AB BM ⎛⎫⎛⎫=+=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以选A【点睛】本题考查了向量的减法运算和线性运算，向量的坐标运算，属于基础题．8．直线2y x =-与圆226480x y x y ++-+=相交于点,A B ，则AB =（ ）A B ．5 C D ．5【答案】D【解析】【分析】 利用直线与圆相交的性质可知2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要求AB ，只要求解圆心到直线2y x =-的距离.【详解】由题意圆226480x y x y ++-+=，可得圆心()3,2-，半径5r =， 圆心到直线2y x =-的距离2655d -==. 则由圆的性质可得2221695255AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 所以AB =65. 故选：D【点睛】本题考查了求弦长、圆的性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.9．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =，则c =( )A ．23B ．2C ．2D ．1 【答案】B【解析】 1333,sin A ===3cos A =, 所以()222313232c c =+-⨯⨯，整理得2320,c c -+=求得1c =或 2.c若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出3cos 2A =后，要及时判断出0030,60AB ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.10．已知满,x y 足条件0{02x y y x ≤≥-≤，则目标函数z x y =+的最小值为A ．0B ．1C ．D ．【答案】C【解析】作出不等式区域如图所示：求目标函数z x y =+的最小值等价于求直线y x z =-+的最小纵截距.平移直线经过点A(-2,0)时z 最小为-2.故选C.11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C += A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒ 【答案】B【解析】【分析】 由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A C +的值．【详解】在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯， b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ．【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．12．若tan <0α, cos <0α,则α的终边所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由一全正二正弦三正切四余弦可得α的终边所在的象限为第二象限，故选B.考点：三角函数二、填空题：本题共4小题13．设,αβ为使互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：①//,,//m n n m αα⊂若则②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则；其中正确命题的序号为 ．【答案】④【解析】试题分析：根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质定理，及面面垂直的性质定理，对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．解：当m ∥n ，n ⊂α，，则m ⊂α也可能成立，故①错误； 当m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，m 与n 相交时，α∥β，但m 与n 平行时，α与β不一定平行，故②错误； 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行也可能异面，故③错误； 若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，由面面平行的性质，易得n ⊥β，故④正确 故答案为④考点：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系．点评：熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理，是解答本题的关键，属于基础题．14．一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒方向航行1) n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发沿北偏东30︒方向航行 mile 后到达海岛C ，如果下次直接从A 沿北偏东θ方向到达C ，则θ=______.【答案】45【解析】【分析】首先根据余弦定理求出20AC =，在根据正弦定理求出30CAB ∠=，即可求出θ【详解】有题知1807530135ABC ∠=-+=222100(31)2)210(31)102cos135400AC =+-⨯⨯=.所以20AC =.在ABC 中，sin sin BC AC CAB ABC=∠∠， 即102sin 2CAB =∠1sin 2CAB ∠=. 所以30CAB ∠=，753045θ=-=故答案为：45【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的实际应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.15．已知等差数列{}n a ，*n N ∈，12339a a a ++=，45633a a a ++=，则789a a a ++=______.【答案】27【解析】【分析】利用等差中项的基本性质求得213a =，511a =，并利用等差中项的性质求出8a 的值，由此可得出78983a a a a ++=的值.【详解】由等差中项的性质可得1232233913a a a a a ++==⇒=，同理4565533311a a a a a ++==⇒=，由于2a 、5a 、8a 成等差数列，所以5282a a a =+，则852*******a a a =-=⨯-=，因此，7898327a a a a ++==.故答案为：27.【点睛】本题考查利用等差中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题.16．若3x π=是方程2cos()1x α+=的解，其中(0,2)απ∈，则α=______. 【答案】43π 【解析】【分析】把3x π=代入方程2cos （x+α）＝1，化简根据α∈（0，2π），确定函数值的范围，求出α即可．【详解】∵3x π=是方程2cos （x+α）＝1的解，∴2cos （3π+α）＝1，即cos （3π+α）＝12． 又α∈（0，2π），∴3π+α∈（3π，73π）．∴3π+α＝53π．∴α＝43π． 故答案为43π 【点睛】 本题考查三角函数值的符号，三角函数的定义域，考查逻辑思维能力，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019年高一下学期入学考试数学试题(解析版)
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高一下学期入学考试数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知A ＝{1，3}，B ＝{3，4，5}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{3}B ．{4，5}C ．{1，2，4，5}D ．{3，4，5}2．已知函数f(x)={3−x +1(x ≤0)x a +2(x ＞0)，若f （f （﹣1））＝18，那么实数a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知f （x ）＝2x +2﹣x ，若f （a ）＝3，则f （2a ）＝（ ） A ．5B ．7C ．9D ．114．设α是第三象限角，且|cos α2|＝﹣cos α2，则α2所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．下列各式中，值为√32的是（ ） A ．sin15°cos15° B ．cos 2π12−sin 2π12C ．1+tan15°1−tan15°D ．√1+cos30°26．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →=a →，BE →=b →，则BC →为（ ） A ．43a →+23b →B ．23a →+43b →C ．23a →−23b →D ．23b →−43a →7．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）为减函数，且f （﹣1）＝1，若f （x ﹣2）≥﹣1，则x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，3]B ．（﹣∞，1]C ．[3，+∞）D ．[1，+∞）8．已知点A （0，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），则AB →在CD →方向上的投影为（ ） A ．3√22B ．√2C ．−3√22D ．−3√1529．函数y ＝e |lnx |﹣|x ﹣1|的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．正方形ABCD 边长为2，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于M ，交CD 于N ，P 为平面上一点，且2OP →=λOB →+(1−λ)OC →，则PM →⋅PN →的最小值是（ ）A ．−34 B ．﹣1C ．−74D ．﹣211．2cos10°cos20°−tan20°=（ ）A ．1B ．√3−12C ．√3D ．√3212．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）+f （x ）＝0，且f （x ）={−log 2(1−x)，x ∈(−1，0]−12x 2−3x −72，x ∈(−∞，−1]，若关于x 的方程f （x ）＝t （t ∈R ）恰有5个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1+x 2+x 3+x 4+x 5的取值范围是（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，1）C ．（1，2）D ．（2，3）13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=12(弦×矢+矢2)，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田．下列说法不正确的是（ ）A ．“弦”AB ＝4√3米，“矢”CD ＝2米B ．按照经验公式计算所得弧田面积（4√3+2）平方米C ．按照弓形的面积计算实际面积为（16π3−2√3）平方米D ．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据√3≈1.73，π≈3.14） 14．已知函数f （x ）＝x 2﹣2（a +2）x +a 2，g （x ）＝﹣x 2+2（a ﹣2）x ﹣a 2+8．设H 1（x ）＝max {f （x ），g （x ）}，H 2（x ）＝min {f （x ），g （x ）}，（其中max {p ，q }表示p ，q 中的较大值，min {p ，q }表示p ，q 中的较小值）．记H 1（x ）的最小值为A ，H 2（x ）的最大值为B ，则A ﹣B ＝（ ） A ．a 2﹣2a ﹣16B ．a 2+2a ﹣16C ．﹣16D ．1615．定义一种新运算：a •b ={b ，(a ≥b)a ，(a ＜b)已知函数f （x ）＝（1+4x ）•log 2x ，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 恰有两个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．（1，2]B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（0，1）二、填空题：把答案填写在题中的横线上.16．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）的图象如图所示，则f （2）＝ ．17．若f （x ）＝a x （a ＞0）的图象过点（2，4），则a ＝ ． 18．cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝ ．19．已知函数f （x ）的定义域是（0，+∞），且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(12)=1，如果对于0＜x ＜y ，都有f （x ）＞f （y ），则不等式f （﹣x ）+f （3﹣x ）≥﹣2的解集为 ．20．如图，Rt △ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，O 为BC 的中点，以O 为圆心，1为半径的半圆与BC 交于点D ，P 为半圆上任意一点，则BP →⋅AD →的最小值为 ．三、解答题：解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 21．已知向量a →=(1，2)，向量b →=(−3，2)． （1）求向量a →−2b →的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka →+b →与向量a →−2b →共线． 22．（1）计算：(log 23)2−log 23⋅lg6lg2+log 26． （2）若tanα=−13，求sinα+2cosα5cosα−sinα．23．已知函数f(x)=√3sinxcosx +cos 2x +a ． （1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间；（2）当x ∈[−π6，π3]时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值．24．已知函数f （x ）=log 4(4x +1)+kx （k ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）设g （x ）=log 4(a ⋅2x −43a)，若函数f （x ）与g （x ）的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． 25．设函数f(x)=a 2x −1a x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．（1）若f （1）＞0，求使不等式f （kx ﹣x 2）+f （x ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立的实数k 的取值范围； （2）若函数f （x ）的图象过点P(1，32)，是否存在正数m （m ≠1），使函数g(x)=log m [a 2x +a −2x −mf(x)]在[1，log 23]上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【详解详析】∵A ＝{1，3}，B ＝{3，4，5}， ∴A ∩B ＝{3} 故选：A ．2．【详解详析】∵函数f(x)={3−x +1(x ≤0)x a +2(x ＞0)，f （f （﹣1））＝18，∴f （﹣1）＝3+1＝4，f （f （﹣1））＝f （4）＝4a +2＝18， 解得a ＝2． 故选：C ．3．【详解详析】∵f （x ）＝2x +2﹣x ，f （a ）＝3， ∴2a +2﹣a ＝3， f （2a ）＝22a +2﹣2a＝4a +4﹣a ＝（2a +2﹣a ）2﹣2＝9﹣2＝7．故选：B ．4．【详解详析】α是第三象限角，即2kπ+π＜α＜2kπ+3π2，k ∈z ，由此得kπ+π2＜α2＜kπ+3π4，k ∈z ，则α2是第二或第四象限角． 又|cos α2|=−cos α2得cos α2≤0，所以α2是第二象限角． 故选：B ．5．【详解详析】A 选项，sin15°×cos15°=12sin30°=14≠√32，不正确； B 选项，cos 2π12−sin 2π12=cos π6=√32，正确； C 选项，1+tan15°1−tan15°=tan45°+tan15°1−tan45°tan15°=tan （450+150）＝tan60°=√3≠√32，不正确； D 选项，√1+cos30°2=√1+√322=√2+√32≠√32，不正确．故选：B ．6．【详解详析】如图，设AB →=m →，AC →=n →，则BC →=n →−m →{a →=12(m →+n →)b →=12n →−m →∴n →=43a →+23b →，m →=23a →−23b →∴BC →=23a →+43b →故选：B ．7．【详解详析】∵f （x ）是奇函数，在[0，+∞）上单调递减， ∴f （x ）在R 上单调递减， 又f （1）＝﹣f （﹣1）＝﹣1， ∴f （x ﹣2）≥﹣1⇔f （x ﹣2）≥f （1）， ∴x ﹣2≤1， 即x ≤3． 故选：A ．8．【详解详析】根据题意，点A （0，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4）， 则AB →=（1，1），CD →=（5，5），则有AB →•CD →=1×5+1×5＝10，|CD →|=√25+25=5√2， 则AB →在CD →方向上的投影AB →⋅CD →|CD →|=52=√2；故选：B ．9．【详解详析】由y ＝e |lnx |﹣|x ﹣1|可知：函数过点（1，1）， 当0＜x ＜1时，y ＝e ﹣lnx﹣1+x =1x +x ﹣1，y ′=−1x 2+1＜0．∴y ＝e﹣lnx﹣1+x 为减函数；若当x ＞1时，y ＝e lnx ﹣x +1＝1，故选：D ．10．【详解详析】根据题意，2OP →=λOB →+(1−λ)OC →，∴2OP →的终点在线段BC 上， ∴|2OP →|≥1， ∴|OP →|≥12， ∴OP →2≥14；又O 是MN 的中点， ∴OM →+ON →=0→，∴OM →•ON →≥√2×√2×cosπ＝﹣2， ∴PM →⋅PN →=（OM →−OP →）•（ON →−OP →）=OM →•ON →−OP →•（OM →+ON →）+OP →2≥−2﹣0+14=−74， ∴PM →•PN →的最小值是−74．故选：C ．11．【详解详析】∵2cos10°cos20°−tan20°=2cos10°cos20°−sin20°cos20°=2cos(30°−20°)cos20°−sin20°cos20°=2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)cos20°−sin20°cos20°=√3cos20°+sin20°cos20°−sin20°cos20°=√3．故选：C．12．【详解详析】∵f（﹣x）+f（x）＝0，∴f（x）是奇函数，f（x）的函数图象关于原点对称．作出函数f（x）的图象如图所示：由图象可知t∈（﹣1，1），设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，根据二次函数的对称性可知：x1+x2＝﹣6，﹣1＜x3＜1，x4+x5＝6，∴x1+x2+x3+x4+x5＝x3∈（﹣1，1）．故选：B．13．【详解详析】如图，由题意可得∠AOB=2π3，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD=π3，∠DAO=π6，OD=12AO=12×4=2，可得矢＝4﹣2＝2，由AD＝AO sinπ3=4×√32=2√3，可得弦＝2AD＝4√3，所以弧田面积=12（弦×矢+矢2）=12（4√3×2+22）＝4√3+2平方米．实际面积=12⋅2π3⋅42−12⋅4√3⋅2=16π3−4√3，16π3−8√3−2=0.907≈0.9．可得A，B，D正确；C错误．故选：C．14．【详解详析】f（x）＝g（x），即x2﹣2（a+2）x+a2＝﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8，即x2﹣2ax+a2﹣4＝0，解得x＝a+2或x＝a﹣2．f（x）与g（x）的图象如图．由图象及H1（x）的定义知H1（x）的最小值是f（a+2），H2（x）的最大值为g（a﹣2），A﹣B＝f（a+2）﹣g（a﹣2）＝（a+2）2﹣2（a+2）2+a2+（a﹣2）2﹣2（a﹣2）2+a2﹣8＝﹣16．解法二：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]＝2x2﹣4ax+2a2﹣8＝2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8＝0，解得x＝a±2，此时f（x）＝g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）＝max{f（x），g（x）}＝f（x）＝[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）＝min{f（x），g（x）}＝g（x）＝﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）＝max{f（x），g（x）}＝g（x），H2（x）＝min{f（x），g（x）}＝f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）＝max{f（x），g（x）}＝f（x），H2（x）＝min{f（x），g（x）}＝g（x），故A＝g（a+2）＝﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12＝﹣4a﹣4，B＝g（a﹣2）＝﹣4a+12，∴A﹣B＝﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）＝﹣16．故选：C．15．【详解详析】令1+4x=log2x，可解得x＝4，此时函数值为2，而且当0＜x≤4时，1+4x ≥log2x，当x＞4时1+4x＜log2x，故f（x）＝（1+4x ）•log2x={1+4x，x＞4log2x，0＜x≤4，函数g（x）＝f（x）﹣k恰有两个零点等价于函数f（x）与y＝k的图象有两个交点，作出函数的图象：由图象可知，k的取值范围为（1，2）故选：B．二、填空题：把答案填写在题中的横线上.16．【详解详析】根据函数f （x ）＝sin （ωx +φ）的图象可得34•T =34•2πω=3﹣1，ω=3π4．再根据五点法作图可得3π4×1+φ=π2， ∴φ=−π4，∴f （x ）＝sin （3π4x −π4）， ∴f （2）＝sin （3π2−π4）＝sin 5π4=−sin π4=−√22， 故答案为：−√22． 17．【详解详析】函数f （x ）的图象过点（2，4），可得4＝a 2，又a ＞0，解得a ＝2． 故答案为：218．【详解详析】cos18°⋅cos42°−cos72°⋅sin42°=cos18°⋅cos42°−sin18°⋅sin42°=cos60°=12， 故答案为：12．19．【解答】解（1）∵f （xy ）＝f （x ）+f （y ） ∴令x ＝y ＝1得f （1）＝f （1）+f （1）， ∴f （1）＝0 再令x ＝2，y =12，∴f （1）＝f （2）+f （12）＝0，∴f （2）＝﹣1 令x ＝y ＝2，∴令x ＝y ＝2得f （4）＝f （2）+f （2）＝﹣2， ∵对于0＜x ＜y ，都有f （x ）＞f （y ）． ∴函数在（0，+∞）减函数， ∵f （﹣x ）+f （3﹣x ）≥﹣2． ∴f （x ）+f （x ﹣3）≥f （4）， ∴f [x （x ﹣3）]≥f （4），∴{−x ＞03−x ＞0x(x −3)≤4，解得﹣1≤x ＜0∴原不等式的解集为[﹣1，0）， 故答案为：[﹣1，0）．20．【详解详析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （﹣2，0），A （0，2），D （1，0），设P （x ，y ），故BP →=（x +2，y ），AD →=（1，﹣2），所以BP →⋅AD →=x ﹣2y +2．令x ﹣2y +2＝t ，根据直线的几何意义可知，当直线x ﹣2y +2＝t 与半圆相切时，t 取得最小值，由点到直线的距离公式可得√5=1，t ＝2−√5，即BP →⋅AD →的最小值是2−√5． 故答案为：2−√5．三、解答题：解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21．【详解详析】（1）∵a →=(1，2)，b →=(−3，2)，∴a →−2b →=(1，2)−2(−3，2)=(7，−2)；（2）ka →+b →=k （1，2）+（﹣3，2）＝（k ﹣3，2k +2），由（1）知a →−2b →=（7，﹣2），∵ka →+b →与a →−2b →共线，∴7（2k +2）＝﹣2（k ﹣3），解得k =−12．22．【详解详析】（1）(log 23)2−log 23⋅lg6lg2+log 26=(log 23)2−log 23⋅log 26+log 26＝log 23（log 23﹣log 26）+log 26＝﹣log 23+log 26＝1；（2）tanα=−13，∴cosα≠0，∴sinα+2cosα5cosα−sinα=sinα+2cosαcosα5cosα−sinαcosα=tanα+25−tanα=516． 23．【详解详析】（1）函数f(x)=√3sinxcosx +cos 2x +a=√32sin2x +12（1+cos2x ）+a ＝sin （2x +π6）+a +12，∴函数f （x ）的最小正周期为T =2π2=π； 令−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π，k ∈Z ；解得−π3+k π≤x ≤π6+k π，k ∈Z ；∴f （x ）的单调递增区间为[−π3+k π，π6+k π]，k ∈Z ；（2）当x ∈[−π6，π3]时，2x +π6∈[−π6，5π6]， 令2x +π6=−π6，解得x =−π6，此时函数f （x ）取得最小值为f （x ）min =−12+a +12=a ；令2x +π6=π2，解得x =π6，此时函数f （x ）取得最大值为f （x ）max ＝1+a +12=32+a ； 又f （x ）的最大值与最小值的和为a +（32+a ）=32，∴a ＝0．24．【详解详析】（1）由函数f （x ）是偶函数可知，f （x ）＝f （﹣x ），…（1分） 所以log 4（4x +1）+kx ＝log 4（4﹣x +1）﹣kx ，所以log 44x +14−x +1=−2kx ，…即x ＝﹣2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k =−12．…（5分）（2）函数f （x ）与g （x ）的图象有且只有一个公共点，即方程log 4（4x +1）−12x =log 4(a ⋅2x −43a)有且只有一个实根，即方程2x +12x =a •2x −43a 有且只有一个实根．…（6分）令t ＝2x ＞0，则方程（a ﹣1）t 2−43at ﹣1＝0有且只有一个正根．…（7分） ①当a ＝1时，则t =−34，不合题意；…（8分）②当a ≠1时，△＝0，解得a =34或﹣3． 若a =34，则t ＝﹣2，不合题意；若a ＝﹣3，则t =12；…（10分） ③若方程有一个正根与一个负根，即−1a−1＜0， 解得a ＞1．…（11分）综上所述，实数a 的取值范围是{﹣3}∪（1，+∞）．…（12分）25．【详解详析】（1）f （x ）＝a x ﹣a ﹣x ，由f （1）＞0得 a −1a ＞0，又 a ＞0， ∴a ＞1，∵f （kx ﹣x 2）+f （x ﹣1）＜0，函数f （x ）是奇函数，∴f （kx ﹣x 2）＜f （1﹣x ），∵a ＞1，f （x ）＝a x ﹣a ﹣x 在R 上为增函数，即 kx ﹣x 2＜1﹣x 对一切x 恒成立，即x 2﹣（k +1）x +1＞0在R 恒成立，有△＜0，∴（k +1）2﹣4＜0，得﹣3＜k ＜1，所以k 的取值范围是（﹣3，1），（2）假设存在正数m （m ≠1）符合，∵f （x ）过(1，32)， ∴a ＝2，∴g(x)=log m [(2x −2−x )2−m(2x −2−x )+2]，设s ＝2x ﹣2﹣x ，h （s ）＝s 2﹣ms +2，（i ） 若0＜m ＜1，则函数h （s ）＝s 2﹣ms +2在[32，83]上最小值为1， ∵对称轴=m 2＜12，ℎ(s)min =ℎ(32)=174−32m =1⇒m =136（舍）， （ii ） 若m ＞1，则h （s ）＝s 2﹣ms +2＞0在[32，83]上恒成立，且最大为1，最小值大于0，①{12＜m 2≤2512ℎ(s)max =ℎ(83)=1⇒m =7324， 此时 m 2=7348∈[32，83]，ℎ(s)min =ℎ(7348)＜0， 故不合题意②{m 2＞2512ℎ(s)max =ℎ(32)=1⇒{m ＞256m =136⇒m ，此时无解，综上所述，不存在正数m（m≠1）满足条件．。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题长郡中学2017-2018学年度高一第一学期期末考试数学一、选择题：1.设集合$A=\{1,3\}$，集合$B=\{1,2,4,5\}$，则集合$A\cup B=$（）。
A。
$\{1,3,1,2,4,5\}$B。
$\{1\}$C。
$\{1,2,3,4,5\}$D。
$\{2,3,4,5\}$2.已知$\tan\alpha=-3$，$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$，则$\sin\alpha$的值为（）。
A。
$\frac{1}{2}$B。
$-\frac{3}{2}$C。
$-\frac{1}{2}$D。
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$3.已知$a=4$，$b=3$，且$\vec{a}$与$\vec{b}$不共线，若向量$\vec{a}+k\vec{b}$与$\vec{a}-k\vec{b}$互相垂直，则$k$的值为（）。
A。
$\pm\frac{4}{3}$B。
$\pm\frac{3}{4}$C。
$\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$D。
$\pm2$4.如果奇函数$f(x)$在区间$[2,8]$上是减函数且最小值为6，则$f(x)$在区间$[-8,-2]$上是（）。
A。
增函数且最小值为-6B。
增函数且最大值为-6C。
减函数且最小值为-6D。
减函数且最大值为-65.方程$2x+3x-7=0$的解所在的区间为（）。
A。
$(-1,0)$B。
$(0,1)$C。
$(1,2)$D。
$(2,3)$6.$\triangle ABC$中，内角$A,B,C$所对的边分别是$a,b,c$，若$a^2-c^2+b^2=ab$，则$\angle C=$（）。
A。
$30^\circ$B。
$60^\circ$C。
$120^\circ$D。
$60^\circ$或$120^\circ$7.$\triangle ABC$中，内角$A,B,C$所对边的长分别为$a,b,c$，若$\frac{\cos A}{\cos B}=\frac{b}{a}$，则$\triangle ABC$为（）。
湖南省长郡中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题
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答题卡
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长郡中学2018-2019高一第二学期开学考卷-数学试卷
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2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共15小题）.1．经过两点A（4，0），B（0，﹣3）的直线方程是（）A．3x﹣4y﹣12＝0B．3x+4y﹣12＝0C．4x﹣3y+12＝0D．4x+3y+12＝0 2．已知a＞b＞0，则下列不等式中正确的是（）A．|a|＜|b|B．C．﹣a＞﹣b D．a2＜b23．已知直线ax+3y＝1与直线3x﹣y+2＝0互相垂直，则a＝（）A．﹣3B．﹣1C．3D．14．在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝（）A．B．C．D．5．函数y＝＞3）的最小值为（）A．4B．3C．2D．56．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a8＝0，S11＝33，则公差d的值为（）A．1B．2C．3D．47．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球9．我国2015年以来，第x年（2015年为第一年）的国内生产总值y（万亿元），数据如表：x12345y6975839299由散点图分析可知y与x线性相关，若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是y＝7.7x+a，则实数a的值为（）A．61.3B．60.5C．59.9D．59.610．已知两条不同直线l，m，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m B．若α∥β，m∥α，l⊥β，则l⊥mC．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l∥m D．若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m 11．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB 的长为（）A．4B．4C．8D．412．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四五世纪．其卷中《算筹分数之法》里有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织通五尺．问：日织几何？”意思是有一女子擅长织布，每天织布都比前一天多1倍，5天共织了5尺布．现请问该女子第3天织了多少布？（）A．1尺B．尺C．尺D．尺13．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．14．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（）A．B．C．D．15．由直线x+2y﹣7＝0上一点P引圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为（）A．2B．C．2D．2二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．不等式x2﹣kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n＝S n﹣1+1（n≥2），则a4＝．18．如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为米．19．三棱锥A﹣BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD＝2，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为．20．已知数据x1，x2，…，x10的方差为1，且（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（x10﹣2）2＝170，则数据x1．x2，x3，…，x10的平均数是．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若a+b＝7，△ABC的面积等于，求c边长．22．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：2x+y﹣4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．23．某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试．全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人．（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数）（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：（1）EF∥平面PCD；（2）平面PAB⊥平面PCD．25．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且a n+1＝（n∈N*）．（1）设b n＝2n﹣1a n（n∈N*），求证：数列{b n}为等差数列；（2）求S n；（3）若对任意n∈N*，不等式S n≥4﹣2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．经过两点A（4，0），B（0，﹣3）的直线方程是（）A．3x﹣4y﹣12＝0B．3x+4y﹣12＝0C．4x﹣3y+12＝0D．4x+3y+12＝0【分析】直接利用两点式方程，求出直线方程即可．解：由直线方程的两点式可得经过两点A（4，0），B（0，﹣3）的直线方程为，即3x﹣4y﹣12＝0．故选：A．2．已知a＞b＞0，则下列不等式中正确的是（）A．|a|＜|b|B．C．﹣a＞﹣b D．a2＜b2【分析】根据a＞b＞0，根据不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．解：∵a＞b＞0，∴|a|＞|b|，，﹣a＜﹣b，a2＞b2．故选：B．3．已知直线ax+3y＝1与直线3x﹣y+2＝0互相垂直，则a＝（）A．﹣3B．﹣1C．3D．1【分析】根据两直线垂直列出方程求得a的值．解：由直线ax+3y＝1与直线3x﹣y+2＝0互相垂直，所以3a+3×（﹣1）＝0，解得a＝1．故选：D．4．在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用正弦定理即可求解．解：由正弦定理得：，∴，∴，解得：b＝3，故选：B．5．函数y＝＞3）的最小值为（）A．4B．3C．2D．5【分析】函数化为y＝，利用基本不等式即可得出结论．解：∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴y＝≥+3＝5，当且仅当，即x＝4时，函数的最小值为5．故选：D．6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a8＝0，S11＝33，则公差d的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：∵a2+a8＝0，S11＝33，∴2a1+8d＝0，11a1+d＝33，解得d＝3．故选：C．7．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】由已知可得圆锥的母线长，再由圆锥的侧面积公式求解．解：∵圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，∴圆锥的母线长l＝2．∴该圆锥的侧面积为S＝π×1×2＝2π．故选：B．8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确故选：C．9．我国2015年以来，第x年（2015年为第一年）的国内生产总值y（万亿元），数据如表：x12345y6975839299由散点图分析可知y与x线性相关，若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是y＝7.7x+a，则实数a的值为（）A．61.3B．60.5C．59.9D．59.6【分析】计算、，代入y关于x的线性回归方程中求出实数a的值．解：由表中数据，计算＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝×（69+75+83+92+99）＝83.6，代入y关于x的线性回归方程y＝7.7x+a中，得a＝﹣7.7×＝83.6﹣7.7×3＝60.5，所以实数a的值为60.5．故选：B．10．已知两条不同直线l，m，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m B．若α∥β，m∥α，l⊥β，则l⊥mC．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l∥m D．若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案．解：对于A，由α∥β，l⊂α，m⊂β，得l∥m或l与m异面，故A错误；对于B，若α∥β，l⊥β，则l⊥α，又m∥α，则l⊥m，故B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，m∥β，则l与m的位置关系是平行、相交或异面，相交与平行时，可能垂直，也可能不垂直，故D错误．故选：B．11．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB 的长为（）A．4B．4C．8D．4【分析】先根据余弦定理求出∠C度数，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD＝7，AC＝8，DC＝5，由余弦定理得cos C＝＝＝，因为是三角形内角，∴∠C＝60°，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠C＝60°，由正弦定理＝得：AB＝＝4．故选：D．12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四五世纪．其卷中《算筹分数之法》里有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织通五尺．问：日织几何？”意思是有一女子擅长织布，每天织布都比前一天多1倍，5天共织了5尺布．现请问该女子第3天织了多少布？（）A．1尺B．尺C．尺D．尺【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可直接求解．解：由题意可知，每天织布的数量是以2为公比的等比数列，设首项a1，则＝5，解可得，a1＝，a3＝＝．故选：D．13．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】连接AD1，证得AD1∥BC1，可得∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角，连接D1M，设正方体的棱长为2，求解三角形可得异面直线AM与BC1所成角的余弦值．解：如图，连接AD1，∵AB＝C1D1，AB∥C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，则∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角，连接D1M．设正方体的棱长为2，则，．∴cos∠．即异面直线AM与BC1所成角的余弦值是．故选：A．14．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果解：三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3…B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…共有9×10＝90个，其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…其有4×10＝40个，∴三位数的回文数中，偶数的概率P＝＝；故选：D．15．由直线x+2y﹣7＝0上一点P引圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为（）A．2B．C．2D．2【分析】根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，即可得圆心坐标与半径，由直线与圆相切的性质可得|PA|2＝|MP|2﹣r2＝|MP|2﹣3，分析可得|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，据此分析可得答案．解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝3，则圆的圆心为（1，﹣2），半径r＝，设圆心为M，则|PA|2＝|MP|2﹣r2＝|MP|2﹣3，则|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，且|MP|的最小值即M到直线x+2y﹣7＝0的距离，|MP|最小值＝＝2，则|PA|最小值＝＝，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．不等式x2﹣kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是（﹣2，2）．【分析】设y＝x2﹣kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y＝x2﹣kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．解：依题意，设y＝x2﹣kx+1，因为不等式x2﹣kx+1＞0对任意实数x都成立，所以△＝k2﹣4＜0，解得k∈（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n＝S n﹣1+1（n≥2），则a4＝8．【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．解：数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n＝S n﹣1+1（n≥2），可得a2＝S1+1＝2，a3＝S2+1＝a1+a2+1＝4，a4＝S3+1＝a1+a2+a3+1＝8，故答案为：8．18．如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为米．【分析】利用AB表示出BC，BD．让BD减去BC等于20即可求得AB长．解：设AB＝hm，则BC＝h，BD＝h，则h﹣h＝20，∴h＝m，故答案为．19．三棱锥A﹣BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD＝2，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为．【分析】由于BD过球心，所以可得∠BAD＝∠BCD＝90°，AO⊥面BCD，推出BC＝CD时体积最大求解即可．解：当BD过球心，所以∠BAD＝∠BCD＝90°，所以AO⊥面BCD，V A﹣BCD＝•BC•CD•OA，当BC＝CD时体积最大，因为BD＝2，OA＝，所以BC＝CD＝2，所以最大体积为：•2•2•＝；故答案为：．20．已知数据x1，x2，…，x10的方差为1，且（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（x10﹣2）2＝170，则数据x1．x2，x3，…，x10的平均数是﹣2或6．【分析】由数据x1，x2，…，x10的方差为1，且（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（x10﹣2）2＝170，把所给的式子进行整理，两式相减，得到关于数据的平均数的一元二次方程，解方程即可．解：∵数据x1，x2，…，x10的方差为1，∴（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x10﹣）2＝10，∴（x12+x22+…+x102）+10﹣2（x1+x2+…+x10）＝10，∴（x12+x22+…+x102）﹣10＝10，①∵（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（x10﹣2）2＝170，∴（x12+x22+…+x102）﹣4（x1+x2+…+x10）+40＝170，∴（x12+x22+…+x102）﹣40+40＝170，②将②﹣①得，∴﹣4﹣12＝0，解得＝﹣2，或＝6，故答案为：﹣2或6．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若a+b＝7，△ABC的面积等于，求c边长．【分析】（1）利用余弦定理化简已知等式可得：a2+b2﹣c2＝ab，进而可求cos C的值，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求ab＝12，结合已知由余弦定理即可求解c的值．解：（1）∵，∴a＝c•+b，整理可得：a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）∵C＝，△ABC的面积等于＝ab sin C＝ab，∴ab＝12，∵a+b＝7，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝49﹣3×12＝13，可得c＝．22．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：2x+y﹣4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．【分析】（1）化曲线C为圆的一般方程，再由5﹣m＞0求得m的取值范围；（2）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求得m值．解：（1）由C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0，得（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5﹣m，若方程C表示圆，则5﹣m＞0，即m＜5；（2）圆C的半径为，圆心（2，1）到直线2x+y﹣4＝0的距离d＝，又|MN|＝，∴，解得m＝4．23．某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试．全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人．（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数）（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率．【分析】（1）依题意a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6，解得a，b，由中位数公式，即可得出答案．（2）设在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，用列举法，结合古典概率模型，即可得出答案．解：（1）依题意a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6，解得a＝0.020，b＝0.026，中位数为≈112.31．（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A由题意知，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共15种，抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2）共8种，所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：（1）EF∥平面PCD；（2）平面PAB⊥平面PCD．【分析】（1）取PC中点G，连接DG、FG．由三角形中位线定理可得GF∥BC，GF ＝BC．再由已知得到DE∥BC，DE＝BC，可得GF∥DE，GF＝DE，则四边形DEFG 为平行四边形，得到EF∥DG．由直线与平面平行的判定可得EF∥平面PCD；（2）由底面ABCD为矩形，得CD⊥AD．再由已知结合平面与平面垂直的性质可得CD ⊥平面PAD．得到CD⊥PA．进一步得到PA⊥平面PCD．从而可得平面PAB⊥平面PCD．【解答】证明：（1）取PC中点G，连接DG、FG．在△PBC中，∵F，G分别为PB，PC的中点，∴GF∥BC，GF＝BC．∵底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴GF∥DE，GF＝DE，则四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG．又∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，EF∥平面PCD；（2）∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD．∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．又∵PA⊥PD，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，∴PA⊥平面PCD．∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．25．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且a n+1＝（n∈N*）．（1）设b n＝2n﹣1a n（n∈N*），求证：数列{b n}为等差数列；（2）求S n；（3）若对任意n∈N*，不等式S n≥4﹣2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）运用等差数列的定义和数列的递推式，化简整理，即可得证；（2）求得a n＝n•（）n﹣1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到S n；（3）原不等式可化为λ≥对n∈N*恒成立，可令c n＝，判断{c n}的单调性，求得其最大值，可得实数λ的取值范围．解：（1）b n+1＝2n a n+1＝2n（）＝2n﹣1a n+1＝b n+1，即b n+1﹣b n＝1，所以数列{b n}为首项为b1＝20a1＝1，公差为1的等差数列；（2）由（1）可得b n＝n，即2n﹣1a n＝n，可得a n＝n•（）n﹣1，S n＝1•（）0+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n﹣1，S n＝1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，两式相减，得S n＝1+（）1+（）2+…+（）n﹣1﹣n•（）n＝﹣n•（）n，化简得S n＝4﹣（n+2）•（）n﹣1；（3）不等式S n≥4﹣2λ﹣，即4﹣（n+2）•（）n﹣1＞4﹣2λ﹣，化为λ≥对n∈N*恒成立，令c n＝，则c n+1﹣c n＝﹣＝，所以n≤3时，c n+1﹣c n＞0，即c n+1＞c n；n＝4时，c n+1﹣c n＝0，即c n+1＝c n；n≥5时，c n+1﹣c n＜0，即c n+1＜c n；所以c1＜c2＜c3＜c4＝c5＞c6＞c7＞…，所以{c n}的最大值为c4＝c5＝，所以λ≥．。
湖南省五市十校2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(扫描版)
湖南省五市十校2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（扫描
版）
湖南省五市十校2019年上学期高一年级期末考试
数学（B卷）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
°或
三、解答题：共70分. 其中第17题10分;第18-22题每题12分，共60分.
------------- 5）：由已知：
------------- 10
）因为，是的中点，所以
，是的中点，所以 ---------- 2
，平面平面
平面
）因为、分别是、
∥且
∥且
∥且即四边形为平行四边形
，所以
是菱形
--------------------3
----------------------6）由正弦定理：
，则有
）证明：
）知，，所以
）设圆心
则圆心的距离. --------------- (2
截得的弦长为
（舍）圆
）已知
为切线，，三点的圆是以
若过定点，即定点与无关
或 . --------------- (12
，所以
）设.
，得
整理得，即
对任意恒成立，所以
，令，则
，且
，
，且
，故
，所以单调递增，
，且当时取到“
，
在区间的最小值为，所以，且，此时，
------------- 12。
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长郡中学2018-2019学年度高一第二学期期末考试
数学
时量:120分钟满分:100分
一、选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.21+与21-两数的等比中项是
A. 1
B. 1-
C. 1±
D. 12
2.如果b <a <0，那么下列不等式错误的是
A. a 2
>b 2
B. a 一b >0
C. a +b <0
D. b a >
3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为
A.
79 B. 49 C. 23 D. 59
4.若经过两点A （4，2y +1），B(2，—3)的直线的倾斜角为 34
π
，则y 等于
A.一1
B.2
C. 0
D.一3
5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是
6.在等差数列{}n a 中，a 3+a 9=24一a 5一a 7，则a 6=
A. 3
B.6
C. 9
D. 12 7.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，它的体积是 33R 33R 36R 36R 8.不等式2
30x x -<的解集为
A. {}03x x <<
B. {
}3003x x x -<<<<或 C. {}30x x -<< D. {
}33x x -<<
9.在各项均为正数的数列{}n a 中.对任意m ，n N *
∈，都有m n m n a a a +=⋅。
若664a =，则
a 9等于
A. 256
B. 510
C. 512
D. 1024 10.同时投掷两枚股子，所得点数之和为5的概率是 A.
14 B. 19 C. 16 D. 112
11.在正四面体ABCD 中。
E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为 A.
16
B. 3
C. 13
D. 6
12.已知直线l 1： 2
213(1)20,:(1)03
x a y l x a y a +--=+--=，若l 1//l 2， 则a 的值为
A. a =1或a =2
B. a =1
C. a =2
D. 2a =- 13.在数列{}n a 中，若1212
12111,,()2n n n a a n N a a a *++==
=+∈，设数列{}n b 满足21
log ()n
b n
n N a *=
∈，则n b 的前n 项和S n 为 A. 2n
一1 B. 2n
一2 C. 2n+1
一1 D. 2n+1
一2
14.若满足条件60C ︒
=
a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是
A.
B.
C. 2)
D.(1.2)
15.
曲线
13y -=与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是 A. 2[0,
][
,)3
3π
ππ B. [,]33ππ- C. 2[,)3ππ D. [0,)3
π
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)
★16.设x ，y 满足约束条件11y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为_______。
17.已知数列{}n a 为等差数列. 75114,21a a a -==，若S k =9.则k=____________。
18.若过点P(2.3)作圆M ：2
2
21x x y -+=的切线l .则充线l 的方程为_______。
19.某公司租地建仓库，梅月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离(公里)成反比.而每月库存货物的运费y 2(万元)与仓库到车站的距离(公里)成正比.如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，由于地理位置原因.仓库距离车站不超过4公里.
那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为_______万元.
20.如图是一正方体的表面展开图.B 、N 、Q 都是所在棱的中点.则在原正方体中，①MN 与CD
异面;②MN//平面PQC;③平面MPQ ⊥平面CQN;④EQ 与平面AQB 形成的线面角的正弦值是23
;⑤二面角M 一BQ 一E 的余弦值为
4
5
.其中真命题的序号是___________
三、解答题(本大题共5小题.每小题8分，共40分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.)
21.已知x >0，y >0，且280x y xy +-=，求 (1)xy 的最小值;(2)x +y 的最小值.
22.锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若23
cos cos sin 3
b C
c B a A += (1)求A;
(2)若53,21ABC S a ∆==，求△ABC 的周长.
★23.如图，边长为2的正方形ABCD 中.
(1)点E 是AB 的中点.点F 是BC 的中点.将△AED 、△DC'F 分别沿DE 、DF 折起，使A. C 两点重合于A'.求证:A'D ⊥ EF; (2)当BE= BF=
1
4
BC 时，求三棱锥A'一EFD 的体积.
24.已知圆C ：2
2
230x y x ++-=.
(1)求圆C 的半径和圆心坐标;
(2)斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求△C'DE 面积最大时直线m 的方程.
25.已知正项数列{}n a 的前n 项和为S n ，对任意n N *
∈，点(a n ，S n )都在函数 ()22
f x x =-的图象上.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)若数列(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和T n ;
(3)已知数列{}n c 满足111
(),()1
n n c n N a n n *=
--∈+，若对任意n N *∈，存在011
[,]22
x ∈-使得120()n c c c f x a ++
+≤-成立，求实数a 的取值范围.。