坐标变换
常用的坐标转换方法
常用的坐标转换方法
1. 平移转换呀，这就好像你把一件东西从这个地方挪到那个地方一样。
比如说，在地图上把一个标记点从左边移到右边，这个过程就是平移转换啦！
2. 旋转变换可神奇啦！就像你转动一个玩具，让它换个角度一样。
举个例子，你把一个图形沿着某个点旋转一定角度，哇，它就变样子啦！
3. 缩放转换哦，哎呀，这就跟你在看照片时放大缩小一样嘛。
比如你把一张地图缩小来看整体，或者放大看局部，这就是缩放转换的例子！
4. 镜像转换呢，就如同照镜子一样，会有个相反的影像出来。
像你把一个数字在镜子里看，不就是做了镜像转换嘛！
5. 极坐标转换呀，这个有点难理解哦，但你可以想象成在一个圆形的场地上找位置。
比如确定一个点在一个圆形区域里的具体位置，就是用极坐标转换呢！
6. 投影转换就好像是把一个东西的影子投到另一个地方呀。
比如说，把一个立体图形投影到一个平面上，这就是投影转换啦！
7. 复合转换可复杂啦，但也很有趣哟！就像是把好多步骤结合起来。
比如先平移再旋转，或者先缩放再镜像，这就是复合转换的实际运用呀！
我觉得这些坐标转换方法真的都好有意思，每种都有它独特的用途和奇妙之处，学会了它们，能让我们更好地处理和理解各种坐标相关的问题呢！。
直角坐标系坐标变换公式
直角坐标系坐标变换公式在数学中，直角坐标系是描述平面上点位置的一种常用方式。
当需要在不同坐标系之间进行转换时，我们可以利用坐标变换公式来实现。
本文将介绍二维平面上的直角坐标系坐标变换公式。
假设有一个点P在直角坐标系中的坐标为(x, y)，现在我们希望将其坐标转换为另一个直角坐标系下的坐标(x’, y’)。
为了实现这一转换，我们需要进行如下的操作：平移首先，我们需要对点P进行平移操作。
设平移向量为(a, b)，则点P在新坐标系下的坐标为(x + a, y + b)。
旋转接着，我们可以对点P进行旋转操作。
设旋转角度为θ，旋转中心为原点O(0, 0)，则点P在新坐标系下的坐标为：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)缩放最后，我们可以对点P进行缩放操作。
设缩放比例为(sx, sy)，则点P在新坐标系下的坐标为：x’ = x * sx y’ = y * sy综合变换将上述平移、旋转和缩放操作综合起来，我们可以得到点P在新坐标系下的完整变换公式：x’ = (x - xo) * cos(θ) * sx - (y - yo) * sin(θ) * sy + xo y’ = (x - xo) * sin(θ) * sx + (y - yo) * cos(θ) * sy + yo其中(xo, yo)为旋转中心，θ为旋转角度，(sx, sy)为缩放比例。
示例假设在某直角坐标系下，有一个点P(2, 3)，希望将其转换到新坐标系下，旋转角度为30度，旋转中心为原点O(0, 0)，缩放比例为1.5。
根据上述公式，我们可以计算出点P在新坐标系下的坐标为：x’ = (2 - 0) * cos(30) * 1.5 - (3 - 0) * sin(30) * 1.5 + 0 = 2.366 y’ = (2 - 0) * sin(30) * 1.5 + (3 - 0) * cos(30) * 1.5 + 0 = 3.133因此，点P在新坐标系下的坐标为(2.366, 3.133)。
坐标变换最通俗易懂的解释(推导+图解)
坐标变换的作用
在一个机器人系统中，每个测量元件测量同一物体得出的信息是不一样的，原因
实现坐标变换所需的数据
我们常用出发与坐标系原点终止于坐标系中坐标点的向量来表示坐标系中坐标点相对于坐标原点的位置（距离+方位）。
坐标系的相互转化必须以地球坐标系为媒介才可以实现，即坐标系的相互转化必须已知“任意坐标系中各个坐标轴在world坐标系中的坐标”：
位姿
坐标变换中旋转的实质
坐标变换的实质就是“投影”。
首先，我们解读一下向量是如何转化为坐标的：
其实，这个矩阵的乘法与卷积有着异曲同工之妙。
旋转矩阵的性质：
从B到A的转化：
从A到B的转化：
、都是单位正交仿真，因此
坐标变换中平移的实质
向量可以在坐标系中任意移动，只要不改变向量的方向和大小，向量的属性不会发生变化。
但是我们研究的是坐标系B中一个坐标点在坐标系A中的映射，因此
多坐标变换
首先，我们要知道世界坐标系下坐标系A/坐标系B的各个坐标轴在世界坐标系（参
如何实现坐标变换
其中O1O2是从O1指向O2的向量。
坐标转换最简单方法
坐标转换最简单方法
坐标转换是一种将一个坐标系统中的坐标转换为另一个坐标系统中的坐标的技术。
在实际应用中，我们经常需要将一组坐标从一个坐标系统转换为另一个坐标系统，以满足不同的需求。
下面介绍最简单的坐标转换方法。
一、笛卡尔坐标系和极坐标系的转换
转换公式如下：
x=r*cosθ
y=r*sinθ
其中，r为半径，θ为极角。
二、笛卡尔坐标系和球坐标系的转换
转换公式如下：
x=r*sin(θ)*cos(φ)
y=r*sin(θ)*sin(φ)
z=r*cos(θ)
其中，r为半径，θ为极角，φ为方位角。
三、笛卡尔坐标系和地理坐标系的转换
转换公式如下：
x=(R+h)*cos(φ)*cos(λ)
y=(R+h)*cos(φ)*sin(λ)
z=(R*(1-e^2)+h)*sin(φ)
其中，R为地球半径，h为海拔高度，φ为纬度，λ为经度，e
为地球偏心率。
四、笛卡尔坐标系和UTM坐标系的转换
转换公式比较复杂，需要借助专业的软件或工具进行转换。
常用的软件有ArcGIS、QGIS等。
总体来说，坐标转换需要掌握一定的数学基础和专业知识，但随着科技的发展，现在已经有了很多方便快捷的坐标转换工具和软件，使得坐标转换变得更加简单和便捷。
平面直角坐标系与坐标变换
平面直角坐标系与坐标变换平面直角坐标系是描述平面上点的位置的一种常用坐标系。
它由两条相互垂直的坐标轴组成，分别被称为x轴和y轴，并且原点位于这两条轴的交点处。
在平面直角坐标系中，每个点都可以由一个有序数对 (x, y) 来表示，其中 x 表示点在x轴上的坐标，y 表示点在y轴上的坐标。
坐标变换是在不同坐标系之间进行转换的过程。
当我们需要在不同的坐标系中描述同一个点时，就需要进行坐标变换。
常见的坐标变换包括平移、旋转、缩放等操作。
1. 平移平移是将一个点沿着给定的方向和距离移动的操作。
在平面直角坐标系中，平移操作可以通过在原有坐标的基础上加上一个常量来实现。
对于点 P(x, y) 的平移操作，可以表示为 P'(x+a, y+b)，其中 (a, b) 是平移向量。
2. 旋转旋转是将一个点绕着某个中心点按照一定的角度进行旋转的操作。
在平面直角坐标系中，原点 O(0, 0) 是通常被选作旋转的中心点。
对于点 P(x, y) 的旋转操作，可以表示为 P'(x', y')，其中 x' 和 y' 的计算公式如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，θ 表示旋转的角度。
3. 缩放缩放是将一个点按照给定的比例进行放大或缩小的操作。
在平面直角坐标系中，缩放操作可以通过乘上一个比例因子来实现。
对于点P(x, y) 的缩放操作，可以表示为 P'(kx, ky)，其中 k 表示缩放的比例。
4. 坐标轴变换坐标轴变换是将坐标系的x轴和y轴进行调整的操作。
在平面直角坐标系中，坐标轴变换操作可以通过旋转和缩放来实现。
例如，如果我们需要将坐标系中的x轴和y轴交换，可以先进行一个旋转操作将x 轴旋转到y轴的位置，然后再进行一个缩放操作将x轴和y轴的刻度进行调整。
综上所述，平面直角坐标系与坐标变换是描述平面上点的位置和在不同坐标系之间进行转换的重要概念和操作。
坐标变换原理
坐标变换原理
坐标变换是一种数学操作，用来在不同的坐标系间进行转换。
它是将一个点或对象的位置从一个坐标系转换到另一个坐标系的方法。
在二维平面坐标系中，通常使用笛卡尔坐标系和极坐标系。
笛卡尔坐标系使用x和y轴来表示一个点的位置，而极坐标系使用半径和角度来表示。
坐标变换可以通过简单的公式来实现：
1. 笛卡尔坐标系转换为极坐标系：给定一个点的笛卡尔坐标(x, y)，可以通过以下公式计算其极坐标(r, θ)：
r = √(x² + y²)
θ = arctan(y/x)
2. 极坐标系转换为笛卡尔坐标系：给定一个点的极坐标(r, θ)，可以通过以下公式计算其笛卡尔坐标(x, y)：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
这些公式将一个点在不同坐标系中的位置进行相互转换。
通过这些转换，可以在不同坐标系之间准确地描述和定位对象的位置。
除了坐标系之间的转换，还可以进行其他类型的坐标变换，如平移、缩放和旋转。
在平移中，点的位置通过添加一个固定的偏移量来改变。
在缩放中，点的位置通过乘以一个缩放因子来改变。
在旋转中，点的位置通过应用旋转矩阵来改变。
通过这些坐标变换，可以单独或组合地对对象进行不同类型的变换，使其在平面内按照所需的方式移动、缩放和旋转。
这在计算机图形学和计算机视觉中经常使用，用于实现图像转换、模型变换等应用。
坐标变换为我们提供了一种非常有用的工具，可以方便地在不同坐标系中进行准确的位置描述与处理。
机器人学--坐标转换
1
p px py pz T ,n nx ny nz T ,o ox oy oz T ,a ax ay az T
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换 及逆变换
3.变换方程初步 {B}:基坐标系 {T}:工具坐标系 {S}:工作台坐标系 {G}:目标坐标系
或工件坐标系 满足方程
A P
1
A B
R
0
A
PB 1
0
B P
1
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
(2-14)
AP Ax A y Az 1T ,BP Bx B y Bz 1T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A P ABTB P,
ABT
A B
R
0
A
PB0 1
(2-15,16)
Robotics 数学基础
ny
oy
ay
0
fx
f
yvers
f z s
fy fyvers c
fz fyvers fxs 0
nz 0
oz 0
az 0
0 1
fx
f z v ers 0
f y s
fy fzvers fxs 0
fz fzvers c 0
0 1
将上式对角线元素相加,并简化得
nx
oy
az
(
f
2 x
f
2 y
f
2023最新整理收集 do
something
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
2.1 位置和姿态的表示 2.2 坐标变换 2.3 齐次坐标变换 2.4 物体的变换及逆变换 2.5 通用旋转变换
坐标变换讲解
坐标变换讲解
坐标变换是指将一个坐标系中的点或向量转换到另一个坐标系中的过程。
在二维情况下，一般使用2x2的矩阵来表示坐标变换，而在三维情况下则使用3x3的矩阵。
在二维情况下，假设有两个坐标系A和B，坐标系A中的点P(x,y)需要转换到坐标系B中的点P'(x',y')。
坐标变换可以通过以下公式来实现：
[x'] = [a b] [x]
[y'] [c d] [y]
其中，a、b、c和d是转换矩阵的元素，它们定义了从坐标系A 到坐标系B的转换关系。
具体来说，a和d表示坐标轴的缩放因子，b和c表示坐标轴的旋转因子。
在三维情况下，坐标变换的方式稍有不同。
假设有两个坐标系A 和B，坐标系A中的点P(x,y,z)需要转换到坐标系B中的点P'(x',y',z')。
坐标变换可以通过以下公式来实现：
[x'] = [a b c] [x]
[y'] [d e f] [y]
[z'] [g h i] [z]
其中，a、b、c、d、e、f、g、h和i是转换矩阵的元素，它们定义了从坐标系A到坐标系B的转换关系。
具体来说，a、e和i表示坐标轴的缩放因子，b、c、d、f、g和h表示坐标轴的旋转和剪切因子。
需要注意的是，坐标变换不仅仅可以用矩阵表示，还可以使用四元数、欧拉角等方式进行表示。
此外，在实际应用中，坐标变换经常涉及到平移操作，可以通过引入齐次坐标进行处理。
总之，坐标变换是将一个坐标系中的点或向量转换到另一个坐标系中的过程，通过定义适当的转换矩阵或其他表示方式，可以实现不同坐标系之间的转换。
坐标变换公式
e ⋅ e j = ? e' ⋅ e = a 21 1 2
' i
' ' e1' , e2 , e3 是相互垂直的三个基本向量，所 是相互垂直的三个基本向量， 因为 ' ' 以 e1' × e2 ⋅ e3 = ±1, 即
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 = ±1. a33
41(1)已知e ⊥ r ,| e |= 1, 将r绕e右旋θ 得到r1 ,用e, r和θ 表 uuu r (2)给定O, A, P (O ≠ P)三点，将P绕OA右旋θ 得到P， 1 uuu uuu r r uuu r 用OA, 和θ 表出OP . OP 1 示r1；
从而可以得到下面一组正 交条件： 交条件：
2 2 2 a11 + a21 + a31 = 1,
a + a + a = 1,
2 12 2 22 2 32 2 2 2 a13 + a23 + a33 = 1,
a11a12 + a21a22 + a31a32 = 0, a12 a13 + a22 a23 + a32 a33 = 0, a13 a11 + a23 a21 + a33 a31 = 0.
坐标变换公式： 坐标变换公式：
x = a1 + a11 x + a12 y + a13 z , 这是从新 ' ' ' y = a2 + a21 x + a22 y + a23 z , 坐标求旧
' ' '
常用坐标系介绍及变换PPT课件
目录
• 常用坐标系介绍 • 坐标变换基础 • 坐标变换的应用 • 坐标变换的数学表达 • 坐标变换的物理意义 • 坐标变换的计算机实现
01
常用坐标系介绍
笛卡尔坐标系
01
02
03
直角坐标系
以原点为中心，x轴、y轴、 z轴分别代表三个相互垂 直的坐标轴，用于描述平 面和空间中的点。
二维坐标变换
总结词
二维坐标变换是指平面内的坐标变化， 包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
二维坐标变换涉及平面内的点，可以 通过平移、旋转或缩放等操作进行坐 标变化。这种变换在平面几何、图形 处理等领域应用广泛，可以通过矩阵 运算实现快速变换。
三维坐标变换
总结词
三维坐标变换是指空间中的坐标变化，包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
三维坐标变换涉及空间中的点，可以通过平移、旋转或缩放等操作进行坐标变化。这种变换在三维建模、动画制 作、机器人控制等领域应用广泛，需要使用三维矩阵运算进行实现。
03
坐标变换的应用
图形变换
图形变换是指通过数学方法将一个二维或三维图形在坐标系 中进行平移、旋转、缩放等操作，以达到改变图形位置、大是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个单元，可 以分析物体的受力情况和形变程度。有限元分析在工程领域中有着广泛 的应用，可以提高设计效率和精度。
06
坐标变换的计算机实现
OpenGL中的坐标变换
投影变换
将三维场景投影到二维屏 幕上，包括正交投影和透 视投影。
视图变换
将场景中的坐标系与观察 者的坐标系进行关联，实 现视景体裁剪。
旋转变换不改变图形的大小和形状， 只改变其方向。
坐标平移与坐标变换
坐标平移与坐标变换在数学和几何学中，坐标平移和坐标变换是两个重要的概念。
它们允许我们在平面或空间中以简单的数学方式移动、转换和操作对象的位置，从而方便地进行各种计算和分析。
本文将介绍坐标平移和坐标变换的基本概念、原理以及应用。
一、坐标平移坐标平移是指在平面或空间中，通过改变坐标系的原点位置，将对象从一个位置平移至另一个位置的过程。
坐标平移通常使用向量运算来表示，即通过将每个点的坐标加上一个平移向量来实现位置的改变。
在二维平面中，假设原有坐标系的原点为O，要将点A(x,y)平移到新的位置B(x',y')，则平移向量为P(x'-x, y'-y)。
通过将点A的坐标加上平移向量P，可得到点B的新坐标。
在三维空间中，类似地，平移操作也可以通过向量运算来表示。
假设点A的坐标为(x,y,z)，点B的坐标为(x',y',z')，则平移向量为P(x'-x,y'-y, z'-z)。
通过将点A的坐标加上平移向量P，即可得到点B的新坐标。
坐标平移在各种几何应用中广泛应用。
例如，在计算机图形学中，可以使用坐标平移来移动、旋转和缩放三维模型，实现各种视觉效果。
此外，在机器人学和工程学中，坐标平移也常用于描述和控制物体的位置和运动。
二、坐标变换坐标变换是指将对象的坐标从一个坐标系转换为另一个坐标系的过程。
与坐标平移类似，坐标变换也可以通过向量运算来实现。
不同的是，坐标变换涉及到坐标轴的旋转、缩放和平移等操作，因此需要引入变换矩阵来描述这些操作。
在二维平面中，假设有两个坐标系，原有坐标系的原点为O，新坐标系的原点为O'，坐标变换需要考虑旋转角度θ、缩放比例k以及平移向量P。
若点A在原有坐标系中的坐标为(x,y)，则经过坐标变换后，点A在新坐标系中的坐标为(x',y')。
坐标变换的过程可以表示为如下矩阵运算：```| x' | | cosθ -sinθ | | kx | | Px || | = | | * | | + | || y' | | sinθ cosθ | | ky | | Py |```在三维空间中，坐标变换涉及到更多的操作，如旋转、缩放、平移和剪切等。
坐标变换知识点总结
坐标变换知识点总结坐标变换是指在一个坐标系中的点通过一定的变化规则，转换到另一个坐标系中的过程。
坐标变换在数学、物理、工程等多个领域中都有广泛的应用。
下面是坐标变换的一些重要知识点总结。
1.坐标系的描述：坐标系是用来描述几何空间中的点的一种数学工具。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系等。
直角坐标系由x、y、z轴构成，其中x轴是水平方向，y轴是垂直方向，z轴是垂直于x-y平面的方向。
2.坐标向量：在直角坐标系中，一个点的坐标可以用一个向量表示，这个向量称为坐标向量。
坐标向量的形式为(x,y,z)，其中x、y、z分别表示点在x、y、z轴上的坐标值。
3.坐标变换的表示：坐标变换可以通过矩阵的乘法运算来表示。
假设从坐标系A变换到坐标系B，其中点的坐标向量在坐标系A中表示为P，坐标系B中表示为P'，那么坐标变换可以表示为P'=AP，其中A为变换矩阵。
4.坐标变换矩阵的求解：坐标变换矩阵的求解可以通过点的转换关系来进行。
假设已知坐标系A中的三个基向量a1、a2、a3与坐标系B中的三个基向量b1、b2、b3之间的转换关系为：a1=s11b1+s12b2+s13b3a2=s21b1+s22b2+s23b3a3=s31b1+s32b2+s33b3其中s11、s12、s13等为常数，那么可以得到坐标变换矩阵A为：A=[s11s12s13s21s22s23s31s32s33]5.坐标轴的旋转变换：坐标轴的旋转变换是指基于原有坐标轴的旋转操作，将点的坐标映射到新的坐标系中。
旋转变换可以通过对坐标向量进行矩阵乘法操作来实现。
假设已知原有坐标系中点的坐标为P，将x轴顺时针旋转角度θ得到的新的坐标系中点的坐标为P'，那么旋转变换可以表示为：P' = [cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 0001]×P6.坐标轴的缩放变换：坐标轴的缩放变换是指基于原有坐标轴的缩放操作，将点的坐标映射到新的坐标系中。
解析几何中的坐标变换
解析几何中的坐标变换几何学是一门研究空间和图形性质的学科，而解析几何则是利用代数方法来研究几何学问题的分支。
在解析几何中，坐标变换是一个重要概念，它们被广泛应用于表示、分析和解决几何形状之间的关系。
本文将从坐标变换的基本原理、常见坐标变换形式、坐标变换的性质和应用等方面进行解析几何中的坐标变换的探讨。
1. 坐标变换的基本原理在解析几何中，我们通常使用笛卡尔坐标系统来表示平面或空间中的点。
笛卡尔坐标系统以坐标轴为基准线，通过给每个点指定相应的坐标值来唯一地确定空间中的位置。
坐标轴通常用直角坐标系表示，其中x轴、y轴和z轴垂直于彼此，并交于原点O。
坐标变换是通过一系列数学变换将源坐标系转换为目标坐标系的过程。
源坐标系和目标坐标系之间的变换通常包括平移、旋转、缩放和剪切等操作。
坐标变换的基本原理是利用矩阵乘法来表示各种变换矩阵，然后将源坐标与变换矩阵相乘得到目标坐标。
2. 常见坐标变换形式在几何学中，有几种常见的坐标变换形式，包括平移、旋转、缩放和剪切等变换。
下面将对每种变换形式进行简要介绍：2.1 平移平移是指将点沿着指定方向移动一段距离的操作。
平移操作可以用一个平移向量来表示，平移向量的坐标分别对应x轴、y轴和z轴上的平移距离。
对于平移向量(t_x, t_y, t_z)，源坐标(x, y, z)通过以下公式变换为目标坐标(x', y', z')：x' = x + t_xy' = y + t_yz' = z + t_z2.2 旋转旋转是指将点围绕某个中心点按照一定角度旋转的操作。
旋转可以分为绕x轴旋转、绕y轴旋转和绕z轴旋转三种情况。
对于绕x轴旋转，源坐标(x, y, z)通过以下公式变换为目标坐标(x', y', z')：x' = xy' = y * cosθ - z * sinθz' = y * sinθ + z * cosθ其中θ表示旋转角度。
坐标转换最简单方法
坐标转换最简单方法
如果需要将一个坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系，可以使用以下方法：
1. 确定原始坐标系和目标坐标系的坐标轴方向和单位。
通常，坐标系有两种类型：笛卡尔坐标系和极坐标系。
笛卡尔坐标系是平面直角坐标系，其中x轴和y轴相互垂直，并且所有坐标轴的单位是相同的。
极坐标系由径向(r)和极角(θ)组成，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与正半轴的夹角。
例如，如果需要将笛卡尔坐标系(x,y)转换为极坐标系(r,θ)，则需要知道x轴和y轴的方向，该坐标系的单位以及每个点到原点的距离和夹角。
2. 计算坐标变换公式。
在确定坐标轴方向和单位后，可以使用几何和三角函数计算转换公式。
例如，在笛卡尔坐标系和极坐标系之间进行转换时，可以将x和y坐标转换为r和θ坐标：
r = sqrt(x^2 + y^2)
θ = atan(y/x)
其中，sqrt表示平方根，atan表示反正切函数（可以使用计算器或在线工具计算）。
其中，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数。
3. 执行坐标转换。
最后，将原始坐标中的值代入公式并进行计算，以得到目标坐标。
计算θ：atan(4/3) ≈ 0.93（约为53度）
因此，点(3,4)在极坐标系中的坐标为(5,0.93)。
需要注意的是，坐标转换可能会涉及其他的变量和参数，如旋转角度、平移距离等。
因此，在执行坐标转换之前，需要确保所有参数和公式都正确、明确地定义，并按照正确的顺序执行转换的步骤。
坐标变换 雅可比
坐标变换雅可比一、引言在数学和物理学中，坐标变换是一种常见的数学工具，用于描述不同坐标系之间的关系和转换方式。
雅可比矩阵则是描述多元函数的变化率的重要工具。
本文将介绍坐标变换和雅可比矩阵的基本概念，并探讨它们在不同领域的应用。
二、坐标变换1. 基本概念坐标变换是将一个点或者一组点从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。
在二维空间中，坐标变换通常涉及平移、旋转、缩放等操作。
2. 坐标变换的数学描述设原坐标系为(x,y)，目标坐标系为(u,v)，某点P在原坐标系下的坐标为(x,y)，在目标坐标系下的坐标为(u,v)。
则坐标变换可以表示为以下线性变换：$ \begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b\\c &d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$3. 应用领域坐标变换在计算机图形学、机器人学、物理学等领域都有广泛的应用。
在计算机图形学中，坐标变换用于实现图像的平移、旋转、缩放等变换效果。
三、雅可比矩阵1. 基本概念雅可比矩阵是描述多元函数的变化率的矩阵。
对于多元函数$F: \\mathbb{R}^n \\rightarrow \\mathbb{R}^m$，其雅可比矩阵J F定义为：$J_F = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial f_1}{\\partial x_1} & \\cdots &\\frac{\\partial f_1}{\\partial x_n}\\\\ \\vdots & \\ddots & \\vdots\\\\\\frac{\\partial f_m}{\\partial x_1} & \\cdots & \\frac{\\partial f_m}{\\partial x_n} \\end{bmatrix}$2. 物理意义雅可比矩阵可以描述函数在某点处的线性变化率，是微分方程中常用的工具之一。
坐标变换
坐标在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换。
实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小，位置都不变，仅仅指改变点的坐标与曲线的方程坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴坐标轴的平移公式设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x y）在新坐标系x’O’y’中的坐标（x’y’）设新坐标的原点O’在原坐标系xoy中的坐标是（h k）则（1）x=x’+h y=y’+k或（2）x’=x-h y’=y-k公式（1）（2）叫平移或移轴公式[说明]坐标轴平移时，点的位置，曲线的形状，大小，有关线段的长度都不改变，因而，坐标轴平移前后，圆锥曲线的5个参数a b c p(焦准距), e的值都不改变不含xy项的二元二次方程的化简与讨论用配方法化简不含xy项的二元二次方程的步骤如下表方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0( A、C不同时为0)所表示的圆锥曲线如下当 AC>0 椭圆AC<0 双曲线AC=0 抛物线坐标轴的旋转坐标轴的原点和长度的单位不变，使坐标轴按同一方向绕原点旋转某一角度，这种坐标系的变换叫做坐标轴的旋转，简称轴转。
坐标轴的旋转公式设坐标轴的旋转角度θ，在平面内任取一点M，它在坐标系x0y和x’0’y’的坐标分别为(x y) (x’ y’)那么，M在两个不同的坐标系里的坐标关系是X=x’cosθ-y’sinθ①Y=x’sinθ+y’cosθ由此解出X’=xcosθ+ysinθ②Y’=-xsinθ+ycosθ公式1 是新坐标表示原坐标的旋转变换公式公式2是用原坐标表示新坐标的旋转变换公式统称为旋转转轴公式。
如何使用全站仪进行坐标变换与坐标转换
如何使用全站仪进行坐标变换与坐标转换全站仪是一种测量仪器，广泛应用于土木工程、建筑工程等领域。
它能够高精度地测量地面各点的坐标，并且还能进行坐标变换和坐标转换。
在实际的工程测量中，合理地利用全站仪进行坐标变换和坐标转换，有助于提高测量的精度和效率。
本文将介绍如何使用全站仪进行坐标变换和坐标转换的方法和技巧。
一、什么是坐标变换和坐标转换？坐标变换是指将一个坐标系中的点的坐标转换为另一个坐标系中的坐标。
在工程测量中，常常需要将测量数据从局部坐标系转换为全局坐标系，或者从一个全局坐标系转换为另一个全局坐标系。
坐标变换的目的是使不同坐标系下的测量数据能够有效地对应和比较。
坐标转换是指将一种坐标表示方式转换为另一种坐标表示方式。
在工程测量中，使用的坐标表示方式有多种，如笛卡尔坐标、大地坐标、平面坐标等。
坐标转换的目的是使不同的坐标表示方式可以互相转换，方便计算和处理。
二、全站仪进行坐标变换的基本原理全站仪通过测量仪器自身的方向、仰角和距离等参数，可以测量出目标点相对于仪器的坐标。
基于这些测量数据，可以采用坐标变换的方法将目标点的坐标转换为其他坐标系中的坐标。
在进行坐标变换时，需要先确定参考点。
参考点是已知坐标的一个点，在使用全站仪进行测量时，可以通过测量该点的坐标来确定坐标系之间的转换关系。
一般情况下，参考点的坐标已经通过其他测量手段（如GPS）获得。
坐标变换的基本原理是利用已知坐标的参考点，通过测量目标点与参考点之间的距离和角度等参数，计算出目标点相对于参考点的坐标。
然后通过坐标转换的方法，将目标点的坐标转换为其他坐标系中的坐标。
三、全站仪进行坐标转换的方法全站仪进行坐标转换的方法有多种，常见的有：1. 坐标基准转换：坐标基准转换是将一个坐标系下的坐标转换为另一个坐标系下的坐标。
这种转换常常用于将局部坐标系的测量数据转换为全球坐标系（如大地坐标系）的测量数据。
基于已知的参考点坐标，可以利用全站仪测量目标点相对于参考点的坐标，然后通过坐标基准转换的公式，将目标点的坐标转换为全球坐标系中的坐标。
测量坐标转换公式推导过程
测量坐标转换公式推导过程一、二维坐标转换（平面坐标转换）（一）平移变换。
1. 原理。
- 设原坐标系O - XY中的一点P(x,y)，将坐标系O - XY平移到新坐标系O' - X'Y'，新坐标系原点O'在原坐标系中的坐标为(x_0,y_0)。
2. 公式推导。
- 对于点P在新坐标系中的坐标(x',y')，根据平移的几何关系，我们可以得到x = x'+x_0，y = y'+y_0，则x'=x - x_0，y'=y - y_0。
（二）旋转变换。
1. 原理。
- 设原坐标系O - XY绕原点O逆时针旋转θ角得到新坐标系O - X'Y'。
对于原坐标系中的点P(x,y)，我们要找到它在新坐标系中的坐标(x',y')。
- 根据三角函数的定义，设OP = r，α是OP与X轴正方向的夹角，则x = rcosα，y = rsinα。
- 在新坐标系中，x'=rcos(α-θ)，y'=rsin(α - θ)。
2. 公式推导。
- 根据两角差的三角函数公式cos(A - B)=cos Acos B+sin Asin B和sin(A -B)=sin Acos B-cos Asin B。
- 对于x'=rcos(α-θ)=r(cosαcosθ+sinαsinθ)，因为x = rcosα，y = rsinα，所以x'=xcosθ + ysinθ。
- 对于y'=rsin(α-θ)=r(sinαcosθ-cosαsinθ)，所以y'=-xsinθ + ycosθ。
（三）一般二维坐标转换（平移+旋转）1. 原理。
- 当既有平移又有旋转时，先进行旋转变换，再进行平移变换。
2. 公式推导。
- 设原坐标系O - XY中的点P(x,y)，先将坐标系绕原点O逆时针旋转θ角得到中间坐标系O - X_1Y_1，根据旋转变换公式，P在O - X_1Y_1中的坐标(x_1,y_1)为x_1=xcosθ + ysinθ，y_1=-xsinθ + ycosθ。
常用坐标系介绍及变换
常用坐标系介绍及变换1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系之一、它由两条垂直的坐标轴组成，通常被标记为x轴和y轴。
每个点都可以用一个有序的数对(x,y)来表示，其中x是点在x轴上的位置，y是点在y轴上的位置。
直角坐标系广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
2.极坐标系极坐标系是另一种常见的坐标系。
它使用一个有序的数对(r,θ)来表示一个点，其中r是点到极点的距离，θ是点与极轴的夹角。
极坐标系适用于描述圆形和对称图形，例如极坐标系可以更方便地表示一个点相对于圆心的位置。
3.三维直角坐标系三维直角坐标系是在直角坐标系的基础上增加了一条垂直于x轴和y轴的z轴。
每个点可以用一个有序的数对(x,y,z)来表示。
三维直角坐标系广泛应用于空间几何、工程学、计算机图形学等领域。
4.柱坐标系柱坐标系是一种类似于极坐标系的坐标系，但它增加了一个z坐标轴，也被称为高度坐标轴。
一个点可以用一个有序的数对(r,θ,h)来表示，其中r是点到z轴的距离，θ是点到x轴的夹角，h是点在z轴上的位置。
5.球坐标系球坐标系是一种三维坐标系，它使用一个有序的数对(r,θ,φ)来表示一个点，其中r是点到原点的距离，θ是点到x轴的夹角，φ是点到z轴的夹角。
球坐标系适用于描述球体和球对称图形。
在不同坐标系之间进行坐标变换是很常见的操作。
常见的坐标变换包括：1.直角坐标系与极坐标系的变换：直角坐标系到极坐标系的变换可以通过以下公式实现：r=√(x^2+y^2)θ = arctan(y / x)极坐标系到直角坐标系的变换可以通过以下公式实现：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)2.直角坐标系与三维直角坐标系的变换：直角坐标系到三维直角坐标系的变换可以通过以下公式实现：x=x'y=y'z=z'三维直角坐标系到直角坐标系的变换可以通过以下公式实现：x'=xy'=yz'=z3.极坐标系与柱坐标系的变换：极坐标系到柱坐标系的变换可以通过以下公式实现：r'=rθ'=θh'=z柱坐标系到极坐标系的变换可以通过以下公式实现：r=r'θ=θ'z=h'以上是一些常见的坐标系介绍及变换。
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坐标变换
作者：徐守兵
来源：《化学教学》2010年第04期
文章编号：1005-6629(2010)04-0069-03中图分类号：G633.8文献标识码：B
1、从2009年江苏高考最后一问谈起
试题：在1个Cu2O晶胞中(如图1所示)，所包含的Cu原子数目为_____。
作为全卷的最后一问，格外引起考生和教师的关注，应当说试题并不难，可答完试题后，也许有些老师和同学会进一步追问：该晶胞属哪种类型?可能首先想到的解答是体心立方，因为该晶胞的顶点和体心处均为氧原子。
但根据晶胞的平移对称性，对于体心立方，当顶点平移到体心时，所有的原子均应复原，由图2可知，当氧原子从顶点A处平移到体心B点处时，铜原子C应当平移到D点处，可实际上晶胞中D点处并无对应的铜原子存在，即铜原子没有复原，由此可见，仅关注氧原子。
就判断晶胞为体心立方是不正确的。
从图1呈现的晶胞形状看，晶胞参数a＝b＝c，a＝β＝γ＝90°，有4个通过体对角线的3重旋转轴，完全符合立方晶胞的要求，表明它确属立方晶系，但由于它没有作为体心立方，还应该有的3个通过体心、垂直于晶面的4重旋转轴，所1以Cu2O晶胞只能属于简单立方，对应空间点阵只有一个点阵点，该点阵点对应的结构基元包含2个O原子、4个Cu原子。
那么，在识别晶胞时，还有没有识别常见晶胞的新视角。
避免犯错误呢?
2、分数坐标
借助于坐标系，可以更好地表征晶胞中各原子在空间的相对位置。
晶体的坐标系称为晶轴系，晶轴系以晶胞参数a、b、c分别为晶轴x、v、z的单位向量(如图3)，坐标原点习惯用字母D表示，本文中的晶轴系在平移前坐标原点均取和该图一致。
晶胞中任一原子P的位置可用向量代表。
则(x，y，z)称为P点的坐标。
由于P点在晶胞内，x、y、z≤1，因此习惯上称x、y、z为原子P的分数坐标。
采用分数坐标时，晶胞中原子坐标组数与晶胞中实际占有的原子个数相当，即净含几个原子就写几组坐标。
以常见的金属晶体晶胞为例(见表1)：
3、用分数坐标变换识别晶胞类型
根据点阵的定义：按连接其中任意两点的矢量将所有的点平移而能复原的一组无限多个点。
因而，将空间点阵中的一个点平移到另外一个点时，虽然该点的分数坐标值有变化，但由上述点阵的平移呈对称性，空间点阵中点的分数坐标整体上应该是等价的、复原的。
对于有实际内容的晶胞，当根据晶胞参数初步判断出晶胞类型后，按相应的点阵型式，将坐标原点从起始原点平移到另一点阵点对应位置时。
该点阵点对应原子的分数坐标当然会有变化，但这种变化应只是同一类型原子的分数坐标之间的一种交换，就整个晶胞而言，同样也应是不变的，这就为我们提供了一种识别晶胞类型的新视角。
如金刚石晶胞，从它的大小和形状可以初步判断为面心立方，确证时可以先写出晶胞中所有点的分数坐标，图4中A点的分数坐标为1/2，1/2，0，再将坐标原点从O点平移到A点，此时A点的分数坐标为O，O，O，这也就意味着，其他所有碳原子的分数坐标的x值均减去1/2、y值均减去1/2，而z值均保持不变。
需要注意的是，进行变换操作时，若分数坐标值出现负数，根据点阵的平移对称性，应该加上1。
由表2数据可见平移前后，晶胞内碳原子的分数坐标不变，确证金刚石晶胞为面心立方。
4、分数坐标在晶胞变换中的应用
再观察Cu2O晶胞，从分数坐标变换的角度看，如果Cu2O是体心立方，则当坐标原点移到体心时，体心O原子的分数坐标从(1/2，1/2，1/2)变为(O，O，O)，此时所有Cu原子的分数坐标x、y、z应分别减去1/2、1/2、1/2，平移后cu原子应当复原，而实际上表3平移前后的数据可以看出，Cu原子没有复原，而是从图1位置平移到以体心氧原子为对称中心的对称处了，可见，Cu2O晶胞不是体心立方，由于对称性降低，而只能是简单立方。
有趣的是，有同学会提出这样的问题，若将Cu2O晶胞的顶点从氧原子变为铜原子，该晶胞将如何画?类似地晶胞变换问题，应当说对空间想象能力有较高的要求，笔者在近期的化学竞赛辅导教学中发现，从分数坐标变换角度可以化难为易，变换时可先结合图1写出平移前晶胞中氧原子和铜原子的分数坐标，然后再将坐标原点从氧原子平移到其中一个铜原子(3/4，
1/4，1/4)处，使其分数坐标为
(O，O，O)，根据变换规则可得表4中的平移后的分数数据，进而根据平移后的分数坐标数据不难画出以铜原子为顶点的Cu2O晶胞图，见图5所示。