北京市西城区2014届高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案

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【2014西城高三二模】北京市西城区2014届高三二模试卷数学理

北京市西城区2014年高三二模试卷数学（理科） 2014．5第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是（）．A ．(,2]-∞-B ．[2,)-+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞2．在复平面内，复数2(12i)z =+对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线2y x =为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）．A ．5B ．52C ．3D ．324．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）． A ． 2A ∈，且4A ∈ B ．2A ∈，且4A ∈C ． 2A ∈，且25A ∈D ．2A ∈，且17A ∈5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）．A ．1B ．2C ．π2D ．π7．在平面直角坐标系xOy中，不等式组0,0,80xyx y⎧⎪⎨⎪+-⎩………所表示的平面区域是α，不等式组04,010xy⎧⎨⎩剟剟所表示的平面区域是β．从区域α中随机取一点(,)P x y，则P为区域β内的点的概率是（）．A．14B．35C．34D．158．设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω．若Ω是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ①()x Ω的最大值为2；②()()x y Ω+Ω的取值范围是[2,22]； ③()()x y Ω-Ω恒等于0．其中所有正确结论的序号是（）． A ．①B ．②③C ．①②D ．①②③第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．61()x x+的二项展开式中，常数项为_________．10．在ABC V 中，若14,3,cos 3a b A ===，则sin A =______，B =______．11．如图，AB 和CD 是圆O 的两条弦，AB 与CD 相交于点E ，且4,:4:1C E D E A E B E ===，则AE =_______；ACBD=______．12．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为_________．13．设抛物线2:4C y x =的焦点为,F M 为抛物线C 上一点，(2,2)N ，则MF M N +的取值范围为_________．14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x y =∈∈N N 上的一个映射，正整数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)f x y z =，对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：(,)x y (,)n n (,)m n (,)n m(,)f x yn m n - m n +则(3,5)f =_______，使不等式(2,)4x f x …成立的x 集合是_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点(cos,2sin),(sin,0)A Bθθθ，其中θ∈R．（I）当2π3θ=，求向量ABuu u r的坐标；（II）当π[0,]2θ∈时，求ABuu u r的最大值．16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的,A B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A班的5名学生的视力检测结果：43．，51．，46．，41．，49．．B班的5名学生的视力检测结果：51．，49．，40．，40．，45．．（I）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（II）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（III）现从班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X表示其中视力大于46．的人数，求X的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,ABC AC BC H ⊥为PC 的中点，M 为AH 的中点，2,1PA AC BC ===（I ）求证：AH ⊥面PBC ；（II ）求PM 与平面AHB 所成角的正弦值（III ）设点N 在线段PB 上，且,PNMN PBλ=∥平面ABC ，求实数λ的值．18．（本小题满分13分）已知函数12e ()44x f x ax x +=++，其中a ∈R（I ）若0a =，求函数()f x 的极值；（II ）当1a >时，试确定函数()f x 的单调区间．19．（本小题满分14分）设,A B 是椭圆22:143x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x 轴于点M （与点,A B 不重合），O 为坐标原点．（I ）如果点M 是椭圆W 的右焦点，线段MB 的中点在y 轴上，求直线AB 的方程；（II ）设N 为x 轴上一点，且4OM ON ⋅=uuu r uuu r，直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ，证明：点B 与点C 关于x 轴对称．20．（本小题满分14分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*1,n n n a a a +∈<N ．设*m ∈N ，记使得n a m …成立的n 最大值为m b ．（I ）设数列为1，3，5，7，L ,写出123,,b b b 的值；（II ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ；（III ）设12,p p a q a a a A =+++=L ，求12q b b b +++L 的值．（用,,p q A 表示）。

北京市西城区2014届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版解析

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|02}A x x =<<，0{|1}B x x =-≥，则集合AB =（）（A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）(1,2) （D ）[1,2)2.已知命题p ：“x ∀∈R ，23x -<”，那么p ⌝是（）（A ）x ∀∈R ，23x ->，（B ）x ∀∈R ，23x -≥ （C ）x ∃∈R ，23x -< （D ）x ∃∈R ，23x -≥3.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k =（）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 【答案】A 【解析】试题分析：=1,3(3OA AB =-（），，k-3)，因为OA AB ⊥，故0O AA B ⋅=，即-3+3(k-3)=0，解得4k =.考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直.4.若坐标原点在圆22()()4x m y m -++=的内部，则实数m 的取值范围是（）（A ）11m -<< （B ）m -<（C ）m -< （D ）22m -<<【答案】C 【解析】试题分析：∵(0,0)在22()()4x m y m -++=的内部，则有22(0)(0)4m m -++<，解得m -< C.考点：1、点和圆的位置关系；2、二次不等式的解法. 5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）34 （B ）45 （C ）56（D ）16.若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（）（A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b << （D ）0b a <<7.定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[1,0]x ∈-时，()f x 的最小值为（）（A ）18- （B ） 14- （C ）0 （D ） 148.在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组0,0,2x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤所表示的平面区域为D . 在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v ，则由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为（）（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数z 满足2i=1iz +，那么||z =______．10.在等差数列{}n a 中，11a =，8104a a +=，则公差d =______；前17项的和17S =______．11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则cos C =______；c = ______．【答案】13- 【解析】试题分析：∵1cos()3A B +=，∴1c o s (-)3C π=，则1c o s -3C =，由余弦定理得，222c 2cos a b ab C =+-，c =考点：1、诱导公式；2、余弦定理.13.设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 则[(1)]f f -=______；若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取值范围是______．14.．设{(,)|(,)0}M x y F x y ==为平面直角坐标系xOy 内的点集，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +<，则称点集M 满足性质P . 给出下列三个点集：○1{(,)|cos 0}R x y x y =-=； ○2{(,)|ln 0}S x y x y =-=； ○322{(,)|1}T x y x y =-=. 其中所有满足性质P 的点集的序号是______．【答案】①③三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()f α=[π,π]α∈-，求α的值；（Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,. 考点：1、三角方程；2、两角和与差的三角函数；3、三角函数的单调性. 16.（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，所以事件B 的结果有7种，它们是：(88,90)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92). 因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率7()9P B. 考点：1、平均数；2、古典概型；3、茎叶图. 17.（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：平面BDGH //平面AEF ；甲组乙组 891 a822（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积.（Ⅱ）证明：在C E F ∆中，因为,G H 分别是,CE CF 的中点，所以//GH EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//GH 平面AEF . 设AC BD O =，连接OH ，在ACF ∆中，因为OA OC =，CH HF =，所以//OH AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以//OH 平面AEF .又因为OHGH H =，,OH GH ⊂平面BDGH ，所以平面//BDGH 平面AEF .（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得 AC ⊥平面BDEF ，AO =，四边形BDEF 的面积3BDEFS =⨯，所以四棱锥A BDEF -的体积1143BDEFV AO S =⨯⨯=. 同理，四棱锥C BDEF -的体积24V =.所以多面体ABCDEF 的体积128VV V =+=考点：1、直线和平面垂直的判定；2、面面平行的判定；3、几何体的体积. 18.（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值.19.（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为(0)k k >.设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D . 判断四边形ABDC 是否为梯形，并说明理由.试题解析：（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. 由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-，令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，所以 114k ->，解得 34k <，因为 0k >，所以 304k <<.20.（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）若1114,2a q ==，求3T ；（Ⅱ）证明： n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为n a N *Î；（Ⅲ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<.（Ⅲ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==， 120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤.。

北京市西城区2014届高三数学二模理科数学试卷(带解析)

北京市西城区2014届高三数学二模理科数学试卷（带解析）1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,2]-∞- （B ）[2,)-+∞ （C ）(,2]-∞ （D ）[2,)+∞ 【答案】Ｄ【解析】试题分析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，{|}B x x a =<，A B A =，则A B ⊆，2a ≥．考点：集合的运算．2．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】Ｂ【解析】试题分析：2=(12i)34z i +=-+，在复平面内对应的点位于第二象限．考点：复数的运算，复数的几何意义．3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）（A （B （C （D 【答案】Ａ【解析】试题分析：由题意可得2b a =，即22222241b c a e a a-===-，所以25e =，即e = 考点：双曲性的几何意义．4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A ．，且B ．，且C ．，且D ．，且【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该四棱锥是底面对角线长为2，高为4的正四棱锥，因此它的底考点：三视图．5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由b c =得，0b c -=，得()0a b c ⋅-=；反之不成立，故()0a b c ⋅-=是b c =的必要而不充分条件．考点：充要条件的判断．6．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）（A ）1 （B ）2 （C ）π2（D ）π【答案】Ｂ【解析】图形的面积，2222cos sin 2S xdx xππππ--===⎰，故选B ．考点：定积分求面积。

北京市西城区-第一学期期末考试高三数学理及答案

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（）（A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin 3A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（）（A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）36．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）（A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形（D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ，则实数m 的取值范围是（）（A ）(4,8) （B ）(4,) （C ）(0,4)（D ）(8,)侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12．如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）2 x3ya321258zE FCB A已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p时，求q 的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p，16q ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值；（Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.B CDA B 1C 1E FA 1 D 1设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<；（Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤，解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ，所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p +13+q =1. ……………… 2分又因为14p，所以q =512． ……………… 3分（Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则CAB AB AB ，且A ，B 独立.由上表可知， 1()2P A ，()P B p .所以()()()()P C P AB P AB P AB ……………… 5分111(1)222p pp1122p . ……………… 6分因为114()225P C p ，所以35p. ……………… 7分又因为113p q ，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分（Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ，所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合），所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=，解得22e a =，3e b =. …………………5分（Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. …………………8分设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分因为 ||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k )8)(8(32)(102212121--++-=x x k x x k x kx 0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->，所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分（Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。

2014北京西城区高三期末数学(理)试题

北京市第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B =（）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（）（A ）4 （B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（）（A ）1- （B ）i -（C ）1（D ）i6．若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（）（A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b << （D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（）（A ）116- （B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（）（A）（B）（C）（D）5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（）（A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = _____．10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++=______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13．如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是；（2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．侧(左)视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值；（Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.甲组乙组 891a822 F B CEAHD18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.。

北京市西城区实验学校2014届高三1月月考数学(理)Word版及答案

北京市西城区实验学校2014年1月月考高三数学（理科）试题班级姓名学号题号I 卷 II 卷总分一二 151617 18 19 20 得分试卷说明：试卷分值 150 ，考试时间 120分钟，I 卷为选择题，共8个小题，II 卷为填空题和解答题，包括第9至第20题。

I 卷一．选择题（共8个小题，每题5分，共40分。

每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在本题后边相应的答题框内）1．命题“x ∀∈R ，3210x x -+≤”的否定是（）.A. 不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B. 存在x ∈R ，3210x x -+≤ C. 存在x ∈R ，3210x x -+> D. 对任意的x ∈R ，3210x x -+>2．已知集合2{|1}M x x ==，集合{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则a 的值为（）. A. 1 B. 1- C. 1或1- D. 0，1或1- 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,,a b c若222()tan a c b B +-=,则角B 为（）.A.6πB.3πC.6π或56πD.3π或23π 4．已知) ,(4sin )(实数为b a bx x a x f ++=，且5)10(ln =f ，则)101(ln f 的值是（）.A .5-B .3-C .3D .随b a ,取不同值而取不同值5．某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂八年来这种产品的年产量y 可用图像表A .B .C . D.6．某正弦型函数的图像如右图，则该函数的解析式可以为（A ．2sin()26x y π=-B ．52sin()212x y π=+C ．332sin()24x y π=-- D ．32sin()24x y π=-+7．设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( ). A ．9π=xB ．6π=xC ．3π=xD ．2π=x8．设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系)10()10(x f x f -=+，)20()20(x f x f +-=-，则)(x f 是（）.A .偶函数，但不是周期函数B .偶函数，又是周期函数C .奇函数，但不是周期函数D .奇函数，又是周期函数选择题答案填入以下答题框1 2345678II 卷二．填空题（共6个小题，每空5分，共30分，请将正确答案填写在横线上）9. 等差数列}{n a 中，若15741=++a a a ，3963=++a a a ，则852a a a ++=______.10．数列{}n a 的前n 项和2n S 231,,n n n N +=++∈则n a = ．11．已知两个单位向量a 与b 的夹角为3π，若（a b λ+）⊥（a b λ-），则λ= .12．已知α是第二象限角，3sin()35πα+=-，则cos α=_________.13.已知51cos sin =+θθ，且2πθπ≤≤，则θ2cos = .14．已知凸函数的性质定理：“若函数f (x )区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有)...()](...)()([12121nx x x f x f x f x f n nn +++≤+++”，若函数y =sin x 在区间(0,π)上是凸函数，则在∆ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值是 .三．解答题（共6个小题，共80分，请写出必要的演算过程和证明步骤） 15．（16分）设)1,(cos -=x ，)1,cos (sin --=x x ，函数1()2f x a b =⋅- （1）用五点作图法画出函数)(x f 在一个周期上的图象；（2）求函数)(x f 的单调递减区间和对称中心的坐标；（3）求不等式1()2f x ≥的解集; （4）如何由y x =的图象变换得到)(x f 的图象. 解: （1）16．（12分）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求,a b 的值；（2）若对任意的()1,1t ∈-，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+->恒成立，求k 的取值范围.xyo17．（13分）已知函数3211()132f x x x =-+，x ∈R . （1）求函数()f x 的极大值和极小值; （2）求函数图象经过点3(,1)2的切线的方程；（3）求函数3211()132f x x x =-+的图象与直线1y =所围成的封闭图形的面积.18．（12分）在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =. （1）若32BA BC =，求a c +的值；（2）求11tan tan A C+的值.19．（13分）已知函数()ln af x x x=-. （Ⅰ）若0,a >求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值；（Ⅲ）若2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.20．（14分）已知函数()e x f x kx x =-∈R ，. （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．高三理科数学答案一.选择题（每小题5分，共40分）1 234 5 678CD D CBC A D二、填空题（每小题5分,共30分）9. 9 10. 41,26,1n n n +≥⎧⎨=⎩11. -1或112.410+-13. 725-14. 233三、解答题： 15．解:（１）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ -----7分 16．（1）因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b a bf 解得即从而有.212)(1a x f x x ++-=+ 又由a a f f ++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a -----5分（2）由（1）知,121212212)(1++-=++-=+x x x x f易知)(x f 在R 上为减函数因)(x f 是奇函数，从而不等式22(2)(2)0f t t f t k -+->等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t ->--=-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得 2222t t t k -<-+即对一切()21,1,320t t t k ∈---<横成立,从而()()10, 5.10g k g -≤⎧⎪∴≥⎨≤⎪⎩ -----7分17．解：（1）()f x 的极大值为(0)1;f =()f x 的极小值为5(1);6f =-----4分（2）1y =或3148y x =-；-----4分（3）()3209(1)64f x dx -=⎰.-----5分18．（1）由23=⋅得：23cos =⋅B ac ，因B cos 43=，所以：2=ac ，即：由余弦定理B ac c a b cos 2222⋅-+=得5cos 2222=⋅+=+B ac b c a于是：()9452222=+=++=+ac c a c a 故c a +3= -----6分（2）由Bcos 43=得47sin =B ，由ac b =2得C A B sin sin sin 2=，-----6分19．解：（1）由题意：()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x af x x x x+'=+=． 0,a >当，()f x 单调递增区间是()0,+∞； -----4分（2）由（1）可知：2()x af x x+'=① 若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上为增函数，min 33[()](1),22f x f a a ∴==-=∴=-（舍去）．② 若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上为减函数，min 3[()]()122a ef x f e a e ∴==-=⇒=-（舍去）． ③ 若1e a -<<-，令()0f x '=得x a =-，当1x a <<-时，()0,()f x f x '<∴在(1,)a -上为减函数，当a x e -<<时，()0,()f x f x '>∴在(,)a e -上为增函数，min 3[()]()ln()12f x f a a a ∴=-=-+=⇒=11tan tan A C +()B C A C A A C A C C C A A C A 2sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos cot cot +=+=+=+774sin 1sin sin 2===B B B综上可知：a = -----4分（3）22(),ln a f x x x x x <∴-<．又30,ln x a x x x >∴>-令232116()ln ,()()1ln 3,()6x g x x x x h x g x x x h x x x x -''=-==+-=-=， ()h x 在[1,)+∞上是减函数，()(1)2h x h ∴<=-，即()0g x '<，()g x ∴在[1,)+∞上也是减函数，()(1)1g x g ∴<=-．令1a ≥-得()a g x >，∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-． -----5分20．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． -----3分（Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． -----5分（Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故12(1)(2)()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N ，． -----5分。

2014年北京市西城区高三二模数学(理)试卷Word版带解析

北京市西城区2014年高三二模试卷数学（理科） 2014.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,2]-∞-（B ）[2,)-+∞（C ）(,2]-∞（D ）[2,)+∞解析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，,A B A A B =⊆ ,所以满足2a ≥，所以答案选择D. 知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算难度系数：22．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限解析：22=(12i)14434z i i i +=++=-+，所以复数对应的点（-3,4）点在第二象限。

知识点; 推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方难度系数：23．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）（A ）5（B ）52（C ）3（D ）32解析：双曲线的渐近线方程为b y x a =±，2222222,,5,5,5bc a b c a e e a∴==+===，所以答案为C知识点：解析几何---------圆锥曲线--------双曲线难度系数：34．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）（A ） 2A ∈，且4A ∈ （B ）2A ∈，且4A ∈（C ） 2A ∈，且25A ∈ （D ）2A ∈，且17A ∈解析：有三视图可得，该四棱锥是底面边长为2的正方形，高为4的正四棱锥，所以每个侧棱长为24117+=。

北京市西城区2014届高三第二次模拟考试--数学理

北京2014年高三二模数学（理）试题郭伟峰第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么C U (A ∩B)A ．{0,1}B ．{2,3}C ．{0,1,4}D ．{0,1,2,3,4}2．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅=A ．1B ．2C ．i -D ．i3．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是A ．2sin =ρθB ．2sin =-ρθC ．2cos =ρθD ．2cos =-ρθ4．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值，则判断框内可以填入A ．10k ≤B ．16k ≤C ．22k ≤D ．34k ≤5．设122a =，133b =，3log 2c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b << 6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是A ．m n ⊥，n ∥αB ．m ∥β，⊥βαC ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥αD ．m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是A B C D ．8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k=+有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是A ．111[1,)(,]243--B ．111(1,][,)243--C ．111[,)(,1]342--D ．111(,][,1)342-- 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙，则 x 甲______x 乙．（填入：“>”，“=”，或“<”）10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）11．在△ABC 中，2BC =，AC ，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．12．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则CD =______．13．在等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，则n a =______；设*21()1n n b n a =∈-N ，则数列{}n b 的前n 项和n S =______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．16．（本小题满分13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ；（Ⅱ）证明：AM ∥平面PBC ；（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m +=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(,55，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m19．（本小题满分14分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值．20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x = 是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩ 对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈ ，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．。

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学 2014.1（理科）试卷满分：150分考试时间：120分钟题号一二三本卷总分1718 19 20 21 22 分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．圆2221x y y ++=的半径为( ) A. 1B.2C. 2D. 42．双曲线1922=-y x 的实轴长为( ) A. 4B. 3C. 2D. 13．若(,1,3)x =-a ，(2,,6)y =b ，且//a b ，则( ) A. 1,2x y ==- B. 1,2x y == C. 1,22x y ==- D. 1,2x y =-=-4．命题“x ∀∈R ,20x ≥”的否定为( ) A. x ∀∈R ，20x < B. x ∀∈R ，20x ≤ C. x ∃∈R ，20x ≥D. x ∃∈R ，20x <5． “n m =”是“方程122=+ny mx 表示圆”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6．关于直线,a b 以及平面,M N ,下列命题中正确的是( )A. 若//a M ，//b M ，则//a bB. 若//a M ，b a ⊥，则b M ⊥C. 若b M ⊂，且a b ⊥，则a M ⊥D. 若a M ⊥，//a N ，则M N ⊥7．已知12,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，8AB =，则22AF BF +=( ) A. 2B. 10C. 12D. 148．某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（） A. 8B. 6C. 4D.839．已知平面内两个定点(1,0),(1,0)A B -，过动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN BN =⋅，则动点M 的轨迹是（）A. 圆B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线10. 已知正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F ，G 分别是线段B B 1，AB 和1A C 上的动点，观察直线CE 与F D 1，CE 与1DG ．给出下列结论：①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得1D F ⊥CE ； ②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得⊥CE F D 1； ③对于任意给定的点E ，存在点G ，使得1D G ⊥CE ； ④对于任意给定的点G ，存在点E ，使得⊥CE 1D G ．其中正确结论的个数是（） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 已知抛物线的准线为1-=x ，则其标准方程为_______.12. 命题“若x y >，则x y >”的否命题是：__________________.222俯视图侧视图正视图F DA BC A 1B 1C 1D 1E G13. 双曲线221412x y -=的离心率为_______；渐近线方程为_______.14. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.15. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是边长为1的正方形，1D B 与平面ABCD 所成的角为45，则棱1AA 的长为_______；二面角1B DD C --的大小为_______.16. 已知M 为椭圆22143x y +=上一点，N 为椭圆长轴上一点，O 为坐标原点. 给出下列结论：① 存在点,M N ，使得OMN ∆为等边三角形； ② ②不存在点,M N ，使得OMN ∆为等边三角形；③存在点,M N ，使得90OMN ∠=；④不存在点,M N ，使得90OMN ∠=. 其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 底面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面PAD ；（Ⅱ）求证：MN AB ⊥.18.（本小题满分13分）已知圆C 经过坐标原点O 和点(2,2)，且圆心在x 轴上.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点(1,2)，且l 与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.ABCDNPMD ABCA 1B 1C 1D 119.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC CB CC ===，E 是AB 中点.（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A CE ；（Ⅱ）求直线11A C 与平面1A CE 所成角的正弦值.20.（本小题满分14分）如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，CD AB //，BC AB ⊥，ABE ∆为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，222AB CD BC ===，P 为CE 中点．（Ⅰ）求证：AB ⊥DE ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在ABE ∆内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ，如果存在，求PQ 的长；如果不存在，说明理由． BECDP·ABCA 1B 1C 1E21.（本小题满分13分）已知抛物线2:12C y x =，点(1,0)M -，过M 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标等于2，求直线l 的斜率；（Ⅱ）设点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点.22.（本小题满分14分）已知,,A B C 为椭圆22:22W x y +=上的三个点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若,A C 所在的直线方程为1y x =+，求AC 的长；（Ⅱ）设P 为线段OB 上一点，且3OB OP =，当AC 中点恰为点P 时，判断OAC ∆的面积是否为常数，并说明理由.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.C3.A4.D5.B6.D7.C8.C9.D 10. B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. x y 42= 12. 若x y ≤，则x y ≤. 13. 2，3y x =±14. π:2 15. 2,45 16. ①④注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分；16题，仅选出①或④得3分；错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.17. 证明：（Ⅰ）取PD 中点Q ，连结AQ,NQ .因为 N 是PC 中点，所以 1//2NQ DC . ………………2分又M 是AB 中点，1//2AM DC , 所以 //AM NQ ，四边形AQNM 是平行四边形. ………4分所以 //MN AQ . ………………5分因为 MN Ë平面PAD ，AQ Ì平面PAD ，所以 //MN 平面PAD . ………………7分（Ⅱ）因为 PA ^平面ABCD ,所以 PA AB ^. ………………8分又 ABCD 是矩形，所以 AB AD ^. ………………9分所以 AB ^平面PAD , ………………10分所以 AB AQ ^. ………………11分又 //AQ MN ,所以 AB MN ^. ………………13分18. 解：（Ⅰ）设圆C 的圆心坐标为(,0)a ，ABCDNPM Q依题意，有22(2)2a a =-+， ………………2分即2248a a a =-+，解得2a =， ………………4分所以圆C 的方程为22(2)4x y -+=. ………………6分（Ⅱ）依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1， ………………8分所以直线1x =符合题意. ………………9分另，设直线l 方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，则2211k k +=+， ………………11分解得34k =-， ………………12分所以直线l 的方程为32(1)4y x -=--，即34110x y +-=. ………………13分综上，直线l 的方程为10x -=或34110x y +-=. 19.（Ⅰ）证明:因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11CC AC ,CC BC ^^，又90ACB?o，即AC BC ^. ………………2分如图所示，建立空间直角坐标系C xyz -.(200)A ,,,1(022)B ,,,(110)E ,,,1(202)A ,,，所以 1=(222)AB ,,-uuu r ，=(110)CE ,,uur ， 1=(202)CA ,,uuu r. ………………4分又因为 10AB CE ?uuu r uur ，110AB CA ?uuu r uuu r， ………………6分所以 1AB CE ^，11AB CA ^，1AB ^平面1ACE . ………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，1=(222)AB ,,-uuu r是平面1ACE 的法向量， ………………9分 11==(200)C A CA ,,uuu r uu r， ………………10分则 111111111cos C A AB C A ,AB C A AB ×狁=uuu u r uuu ruuu u r uuu r uuu u r uuu r 33=. ………………12分设直线11A C 与平面1ACE 所成的角为q ，则111sin =cos C A ,AB 狁uuu u r uuu rq 33=. 所以直线11A C 与平面1ACE 所成角的正弦值为33. ………………13分 20. （Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结OD,OE ， ………………1分 A BC A 1B 1C 1E x y z因为△ABE 是正三角形，所以AB OE ^. 因为四边形ABCD 是直角梯形，12DC AB =，AB //CD ，所以四边形OBCD 是平行四边形，OD //BC ，又 AB BC ^，所以 AB OD ^. 所以 AB ^平面ODE ，………………3分所以 AB DE ^. ………………4分（Ⅱ）解：因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB OE ^，所以OE ^平面ABCD ，所以 OE OD ⊥. ………………5分如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系.则 (100)A ,,，(100)B ,,-，(001)D ,,，(101)C ,,-，(030)E ,,.所以 =(101)AD ,,-uuu r ,=(031)DE ,,-uuu r， ………………6分设平面ADE 的法向量为1n 111=()x ,y ,z ，则1100DE ADìï?ïíï?ïïîuuu r uuu r n n 1111300y z x z ìï-=ïÛíï-+=ïî， ………………7分令11z =，则11x =,133y =.所以1n 3=(11)3,,. ………………8分同理求得平面BCE 的法向量为2n =(310),,-， ………………9分设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则cos θ1212×=n n n n 77=.所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为77. ………………10分（Ⅲ）解：设22(0)Q x ,y ,，因为131()222P ,,-，所以22131()222PQ x ,y ,=+--uu u r ，=(100)CD ,,uu u r ,=(031)DE ,,-uuu r . 依题意00PQ CD PQ DEìï?ïíï?ïïîuu u r uu u ruu u r uuu r，，即22102313()022x ,y ,ìïï+=ïïïíïï-+=ïïïî………………11分 A B E CDP·yxz O解得 212x =-，233y =. ………………12分符合点Q 在三角形ABE 内的条件. ………………13分所以，存在点13(0)23Q ,,-，使PQ ^平面CDE ，此时33PQ =.…………14分 21.解：（Ⅰ）设过点(1,0)M -的直线方程为(1)y k x =+，由 2(1),12,y k x y x =+⎧⎨=⎩ 得2222(212)0k x k x k +-+=. ………………2分因为 20k ≠，且2242(212)4144480k k k ∆=--=->，所以，(3,0)(0,3)k ∈- . ………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122122k x x k -+=，121x x =. ………………5分因为线段AB 中点的横坐标等于2，所以2122622x x k k+-==， ………………6分解得2k =±，符合题意. ………………7分（Ⅱ）依题意11(,)A x y '-，直线212221:()y y A B y y x x x x +'-=--， ………………8分又 21112y x =，22212y x =，所以 222112()y x x y y y =-+-， ………………9分12212112y y x y y y y =--- ………………10分因为 221212144144y y x x ==，且12,y y 同号，所以1212y y =， ………………11分所以 2112(1)y x y y =--， ………………12分所以，直线A B '恒过定点(1,0). ………………13分22. 解：（Ⅰ）由2222,1x y y x ⎧+=⎨=+⎩ 得2340x x +=，解得0x =或43x =-， ………………2分所以,A C 两点的坐标为(0,1)和41(,)33--， ………………4分所以423AC =. ………………5分（Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），则(2,0)B ，因为3OB OP =，P 在线段OB 上，所以2(,0)3P ，求得423AC =，……6分所以OAC ∆的面积等于4224=23391⨯⨯. ………………7分 ②若B 不是椭圆的左、右顶点，设:(0)AC y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y C x y ，由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=， ………………8分 122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，所以，AC 的中点P 的坐标为222(,)2121km mk k -++， ………………9分所以2263(,)2121km mB k k -++，代入椭圆方程，化简得22219k m +=. ……………10分计算 AC 2212121()4kx x x x =++-22222212121k k m k ++-=+…………11分281=9k m+. ………………12分因为点O 到AC 的距离O AC d -=21m k+. ………………13分所以，OAC ∆的面积2OAC O AC S AC d ∆-1=⋅228142991m k m k 1+=⨯⋅=+. 综上，OAC ∆面积为常数49. ………………14分。

2014北京西城区高三期末数学(理)试题答案

55
2014.1
13．1
2
14． (1,1)
π
注：第 10、13、14 题第一问 2 分，第二问 3 分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：因为 g ( x )
sin(
x
π )(
0) 的最小正周期为 π
，
3
所以 2 ，解得 ω 2 ． |ω|
5
55
分
………………13
由
y3
1 k
k
2 5
，得 k
1
5
26
，验证知符合题意.
所以当 k 1 26 时， O D 有最小值 2 5 .
5
5
分
………………14
20．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：由等比数列{an} 的 a1 =
4 ，q =
1， 2
得 a1 = 4 ， a2 = 2 ， a3 = 1 ，且当 n > 3 时， 0 < an < 1 .
因为 bn = [an ] ，
所以 a1 [3, 4) ， an [2, 3)(2≤ n≤2014) . 分
由 q a2 ，得 q 1 . a1
分
因为 a2014 a2 q 2012 [ 2, 3) ，
所以 q 2012 ≥ 2 2 ， a2 3
所以
2 q 2012 1 ，即
21 ( ) 2012 q 1 .
(92, 90) ， (92, 91) ，
(92, 92) ，
……………… 9 分
则这两名同学成绩之差的绝对值 X 的所有取值为 0,1, 2, 3, 4 .

北京市西城区2014年高三5月二模数学理试卷(word版)

北京市西城区2014年高三5月二模数学（理科） 2014.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,2]-∞-（B ）[2,)-+∞（C ）(,2]-∞（D ）[2,)+∞2．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）（A（B（C（D4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）（A ） 2A Î，且4A Î （BA ，且4A Î（C ） 2A Î，且A （DAA俯视图侧(左)视图5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）（A ）1（B ）2（C ）π2（D ）π7. 在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是α，不等式组4100,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是（）（A ）14（B ）35（C ）34（D ）158. 设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω.若Ω是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ○1 ()x Ω○2 ()()x y Ω+Ω的取值范围是；○3 ()()x y Ω-Ω恒等于0.其中所有正确结论的序号是（）（A ）○1（B ）○2○3（C ）○1○2（D ）○1○2○3第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．61()x x+的二项展开式中，常数项为______． 10. 在△ABC 中，若4a =，3b =，1cos 3A =，则sin A =_____；B =_____． 11．如图，AB 和CD 是圆O 的两条弦， AB 与CD 相交于点E ，且4C E D E ==，:4:1AE BE =，则 AE =______；ACBD=______.12．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为______．13. 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，(2,2)N ，则||||MF MN +的取值范围是 .14. 已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x yN N =挝上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f下的象为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：(,)x y (,)n n (,)m n (,)n m (,)f x yn m n -m n +则(3,5)f =__________，使不等式(2,)4xf x ≤成立的x 的集合是_____________.C D. OE BA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点(cos )A θθ，(sin ,0)B θ，其中θ∈R .（Ⅰ）当2π3θ=时，求向量AB 的坐标；（Ⅱ）当π[0,]2θ∈时，求||AB 的最大值.16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B 班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（Ⅲ）现从A 班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X 表示其中视力大于4.6的人数，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点， M 为AH 的中点，2PA AC ==，1BC =. （Ⅰ）求证：⊥AH 平面PBC ；（Ⅱ）求PM 与平面AHB 成角的正弦值；（Ⅲ）设点N 在线段PB 上，且PNPBλ=，//MN 平面ABC ，求实数λ的值.18．（本小题满分13分）ABCPHM已知函数12e ()44x f x ax x +=++，其中a ∈R .（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当1a >时，试确定函数()f x 的单调区间.19．（本小题满分14分）设,A B 是椭圆22: 143x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x 轴于点M （与点,A B 不重合），O 为坐标原点.（Ⅰ）如果点M 是椭圆W 的右焦点，线段MB 的中点在y 轴上，求直线AB 的方程；（Ⅱ）设N 为x 轴上一点，且4OM ON ⋅=，直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ，证明：点B 与点C 关于x 轴对称.20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ，记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b .（Ⅰ）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（Ⅱ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ；（Ⅲ）设p a q =，12p a a a A +++=，求12q b b b +++的值.（用,,p q A 表示）参考答案及评分标准高三数学（理科） 2014.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．B 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．20 10．3π411．8 2 12．13- 13．[3,+)∞14．8 {1,2}注：第10，11，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得(sin cos ,)AB θθθ=-， ……………… 2分当 2π3θ=时，2π2πsin cos sin cos 33θθ-=-=， ……………… 4分2π3θ==，所以 AB =. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为 (sin cos ,)AB θθθ=-，所以 222||(sin cos )()AB θθθ=-+ ……………… 7分21sin 22sin θθ=-+ ……………… 8分1sin 21cos 2θθ=-+- ……………… 9分π2)4θ=-+. ……………… 10分因为 π02θ≤≤，所以 ππ5π2444θ+≤≤. ……………… 11分所以当π5π244θ+=时，2||AB 取到最大值2||2(32AB =-=，…… 12分即当π2θ=时，||AB……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +，………… 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. ……………… 3分从数据结果来看A 班学生的视力较好. ……………… 4分（Ⅱ）解：B 班5名学生视力的方差较大. ……………… 7分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，A 班的5名学生中有2名学生视力大于4.6.则X 的所有可能取值为0，1，2. ……………… 8分所以 3335C 1(0)C 10P X ===；……………… 9分213235C C 3(1)C 5P X ===； ……………… 10分123235C C 3(2)C 10P X ===. ……………… 11分所以随机变量X……………… 12分故1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，所以 PA BC ⊥， ……………… 1分又因为 AC BC ⊥， PAAC A =，所以 ⊥BC 平面PAC ， ……………… 2分又因为 ⊂AH 平面PAC ，所以 BC AH ⊥. ……………… 3分因为，AC PA =H 是PC 中点，所以 AH PC ⊥，又因为 PCBC C =，所以 ⊥AH 平面PBC . ……………… 5分（Ⅱ）解：在平面ABC 中，过点A 作，BC AD // 因为 ⊥BC 平面PAC ，所以 ⊥AD 平面PAC ，由 PA ⊥底面ABC ，得PA ，AC ，AD 两两垂直，所以以A 为原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,1)H ，11(0,,)22M . ……………… 6分设平面AHB 的法向量为(,,)x y z =n ，因为 (0,1,1)AH =，(1,2,0)AB =，由 0,0,AH AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得 0,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩ 令1=z ，得(2,1,1)=-n . ……………… 8分设PM 与平面AHB 成角为θ，因为 )23,21,0(-=PM ，所以sin cos ,PM PM PM θ⋅=<>==⋅n n n，即 sin 15θ=.……………… 10分（Ⅲ）解：因为 (1,2,2)PB =-，PN PB λ=，所以 (,2,2)PN λλλ=-，又因为 13(0,,)22PM =-，所以 13(,2,2)22MN PN PM λλλ=-=--. ……………… 12分因为 //MN 平面ABC ，平面ABC 的法向量(0,0,2)AP =，所以 340MN AP λ⋅=-=，解得 43=λ. ……………… 14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数1e ()44x f x x +=+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-. ……………… 1分11122e (44)4e 4e ()(44)(44)x x x x xf x x x ++++-'==++. ……………… 3分令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：∞……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞．所以当0x =时，函数()f x 有极小值e(0)4f =. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为 1a >，所以 22244(2)(1)0ax x x a x ++=++->，所以函数()f x 的定义域为R ， ……………… 7分求导，得12112222e (44)e (24)e (42)()(44)(44)x x x ax x ax x ax a f x ax x ax x +++++-++-'==++++，…… 8分令()0f x '=，得10x =，242x a=-， ……………… 9分当 12a <<时，21x x <，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：+∞故函数()f x 的单调减区间为(2,0)a -，单调增区间为(,2)a-∞-，(0,)+∞． ……………… 11分当 2a =时，210x x ==，因为12222e ()0(244)x x f x x x +'=++≥，（当且仅当0x =时，()0f x '=）所以函数()f x 在R 单调递增. ……………… 12分当 2a >时，21x x >，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：)∞故函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-，单调增区间为(,0)-∞，4(2,)a-+∞．综上，当 12a <<时，()f x 的单调减区间为4(2,0)a -，单调增区间为4(,2)a-∞-，(0,)+∞；当 2a =时，函数()f x 在R 单调递增；当 2a >时，函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-；单调增区间为(,0)-∞，4(2,)a -+∞． ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆W 的右焦点为(1,0)M ， ……………… 1分因为线段MB 的中点在y 轴上，所以点B 的横坐标为1-，因为点B 在椭圆W 上，将1x =-代入椭圆W 的方程，得点B 的坐标为3(1,)2-±. ……………… 3分所以直线AB （即MB ）的方程为3430x y --=或3430x y +-=.…………… 5分（Ⅱ）证明：设点B 关于x 轴的对称点为1B （在椭圆W 上），要证点B 与点C 关于x 轴对称，只要证点1B 与点C 重合，.又因为直线AN 与椭圆W 的交点为C （与点A 不重合），所以只要证明点A ，N ，1B 三点共线. ……………… 7分以下给出证明：由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ，则122(,)B x y -. 由 223412,,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩ 得 222(34)84120k x kmx m +++-=， ……………… 9分所以 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->， 122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+. ……………… 10分在y kx m =+中，令0y =，得点M 的坐标为(,0)m k -，由4OM ON ⋅=，得点N 的坐标为4(,0)k m-， ……………… 11分设直线NA ，1NB 的斜率分别为NA k ，1NB k ，则 1211122121212444444()()NA NB k k x y y x y y y y m m k k k k k k x x x x m mm m+⨯++⨯--=-=++++ ，………12分因为 21112244k k x y y x y y m m+⨯++⨯ 21112244()()()()k k x kx m kx m x kx m kx m m m =+++⨯++++⨯2121242()()8k k x x m x x k m=++++2222412482()()()83434m k km k m k k m k-=⨯++-+++ 22323824832243234m k k m k k k k k---++=+ 0=， ……………… 13分所以 10NA NB k k -=，所以点A ，N ，1B 三点共线，即点B 与点C 关于x 轴对称. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……………… 3分（Ⅱ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……………… 4分又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 5分设2 a k =，则 2k ≥.假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥.所以21b =，2k b =.因为{}n b 为等差数列，所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*n ∈N .这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. ……………… 6分又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . ……………… 7分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. ……………… 8分（Ⅲ）解：设2 (1)a k k =>，因为123n a a a a <<<<<，所以1211k b b b -====，且2k b =，所以数列{}n b 中等于1的项有1k -个，即21a a -个； ……………… 9分设3 ()a l l k =>，则112l k k b b b -+====，且3l b =，所以数列{}n b 中等于2的项有l k -个，即32a a -个； ……………… 10分 ……以此类推，数列{}n b 中等于1p -的项有1p p a a --个. ……………… 11分所以1221321(1())))2((p q p b b b a a a a a p a p -++=-+--+-+++ 121(1)p p a a p a a p -=-----++ 121()p p p pa p a a a a -=+-++++ (1)p q A =+-.即12(1)q q A b b b p ++++=-. ……………… 13分。

2014西城区高三(上)期末数学(理科)

2014西城区高三（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}，则集合A∩B=（）A．（0，1） B．（0，1]C．（1，2） D．[1，2）2．（5分）已知复数z满足z=，那么z的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i3．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则c=（）A．4 B．C．3 D．4．（5分）执行如图的程序框图，输出的S等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知圆C：（x+1）2+（y﹣1）2=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（）A．y=x+2﹣B．y=x C．y=x﹣2D．y=x+16．（5分）若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足（）A．a2＞b2B．C．0＜a＜b D．0＜b＜a7．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．08．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，3），B（﹣2，k），若向量，则实数k=．10．（5分）若等差数列{a n}满足a1=，a4+a6=5，则公差d=；a2+a4+a6+…+a20=．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为．12．（5分）甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是．（用数字作答）13．（5分）如图，B，C为圆O上的两个点，P为CB延长线上一点，PA为圆O的切线，A为切点．若PA=2，BC=3，则PB=；=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，记不等式组所表示的平面区域为D．在映射T：的作用下，区域D内的点（x，y）对应的象为点（u，v）．（1）在映射T的作用下，点（2，0）的原象是；（2）由点（u，v）所形成的平面区域的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=cosωx，g（x）=sin（ωx﹣）ω＞0），且g（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）若f（α）=，α∈[﹣π，π]，求α的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）+g（x）的单调增区间．16．（13分）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．17．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角H﹣BD﹣C的大小．18．（13分）已知函数f（x）=（x+a）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＜1时，试确定函数g（x）=f（x﹣a）﹣x2的零点个数，并说明理由．19．（14分）已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB的斜率为k，O为坐标原点．（Ⅰ）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．20．（13分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，且a n＞0（n∈N*），[a n]表示不超过实数a n的最大整数（如[2.5]=2），记b n=[a n]，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．（Ⅰ）若a1=4，q=，求T n；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n，都有T n=2n+1，证明：（）＜q＜1．（Ⅲ）证明：S n=T n（n=1，2，3，…）的充分必要条件为：a1∈N*，q∈N*．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵A={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1≤x＜2}=[1，2）．故选D2．【解答】z===1+i，∴z的虚部为1．故选：C．3．【解答】∵cos（A+B）=，∴cosC=﹣，在△ABC中，a=3，b=2，cosC=﹣，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣=17，∴c=．故选：D．4．【解答】根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S=0+n=2第2次循环：S=+n=3…第4次循环：S═++…+n=5此时，n=5输出S=1﹣=故选B．5．【解答】由题意，M为直线y=﹣x与圆的一个交点，代入圆的方程可得：（x+1）2+（﹣x﹣1）2=1．∵劣弧的中点为M，∴x=，∴，∵过点M的圆C的切线的斜率为1，∴过点M的圆C的切线方程是y﹣1+=x﹣+1，即y=x+2﹣．故选A．6．【解答】由题意，曲线ax2+by2=1可化为．∵曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，∴，∴b＞a＞0．故选C．7．【解答】当x∈[﹣2，﹣1]时，x+2∈[0，1]，∴f（x+2）=（x+2）2﹣（x+2）=x2+3x+2，又f（x+1）=2f（x），∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=2f（x+1）=4f（x），∴4f（x）=x2+3x+2（﹣2≤x≤﹣1），∴f（x）=（x2+3x+2）=﹣（﹣2≤x≤﹣1），∴当x=﹣时，f（x）取得最小值﹣．故选：A．8．【解答】∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴y min=；x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴y max=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3，6]．故选D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵=（1，3），=（﹣2，k）﹣（1，3）=（﹣3，k﹣3），向量，∴=（1，3）•（﹣3，k﹣3）=﹣3+3（k﹣3）=0，解得k=4．故答案为：4．10．【解答】等差数列{a n}满足a1=，a4+a6=5=2a5，∴a5=，∴=+4d，则公差d=．∴a2+a4+a6+…+a20=10（a1+d）+×2d=10×1+45=55，故答案为：，55．11．【解答】由正三棱柱的侧视图可知该三棱柱是平放着的三棱柱，如图：其中三棱柱的棱长为2，则三棱柱的正视图为矩形ABCD，其中AB=2，AD为正三角形的高，即AD=，∴此三棱柱正（主）视图的面积为2×，故答案为：2．12．【解答】由题意知本题需要分步来解，第一步甲大学生选实习公司，有=6种方法，第二步乙大学生选实习公司，有=4种方法，由乘法原理得：两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法有6×4=24种．故答案是24．13．【解答】∵PA是圆O的切线，PBC是割线，∴PA2=PB•PC，∵PA=2、BC=3，∴22=PB•（PB+3），解得PB=1（舍负）．∵PA切圆O于点A，∴∠BAP=∠C，又∵∠APB=∠CPA，∴△CPA∽△APB，可得==2．故答案为：1，214．【解答】不等式组所表示的平面区域D如图，（1）由，解得：．∴在映射T的作用下，点（2，0）的原象是（1，1）．（2）由，得．代入不等式组，得．可行域如图，∴点（u，v）所形成的平面区域的面积为．故答案为：（1）（1，1）；（2）π．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）解：因为g（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期π，∴，解得ω=2，由f（α）=，得=，即，∴2，k∈Z，∵α∈[﹣π，π]，∴α∈{}；（Ⅱ）函数y=f（x）+g（x）=+=+sin2xcos﹣cos2xsin=sin2x+cos2x=sin（2x+），由，解得kπ﹣，所以函数y=f（x）+g（x）的单调增区间为[kπ﹣]，k∈Z．16．【解答】（Ⅰ）由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等，得，解得a=1；（Ⅱ）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，a的取值有：0，1，2，…，9共有10种可能．由（Ⅰ）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，∴当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P（A）=；（Ⅲ）设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）”为事件B，当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92）．∴事件B的结果有7种，它们是：（88，90），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92）．∴两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）的概率P（B）=．17．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，∴ON∥ED，∵ED⊥平面ABCD，∴ON⊥平面ABCD，由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，∴A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），E（﹣1，0，3），F（1，0，3），C（0，，0），H（，，）∵AC⊥平面BDEF，∴平面BDEF的法向量=（0，2，0）．设直线DH与平面BDEF所成角为α，∵=（，，），∴sinα=|cos＜，＞|=||=，∴直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得=（﹣，，），=（2，0，0）．设平面BDH的法向量为=（x，y，z），则令z=1，得=（0，﹣，1）由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为=（0，0，﹣3），则cos＜，＞==﹣，由图可知二面角H﹣BD﹣C为锐角，∴二面角H﹣BD﹣C的大小为60°．18．【解答】（Ⅰ）因为f（x）=（x+a）e x，x∈R，所以f′（x）=（x+a+1）e x．令f′（x）=0，得x=﹣a﹣1．当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：故f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣a﹣1）；单调增区间为（﹣a﹣1，+∞）．（Ⅱ）结论：函数g（x）有且仅有一个零点．理由如下：由g（x）=f（x﹣a）﹣x2，得方程xe x﹣a=x2，显然x=0为此方程的一个实数解．所以x=0是函数g（x）的一个零点．当x≠0时，方程可化简为e x﹣a=x．设函数F（x）=e x﹣a﹣x，则F′（x）=e x﹣a﹣1，令F′（x）=0，得x=a．当x变化时，F（x）和F′（x）的变化情况如下：即F（x）的单调增区间为（a，+∞）；单调减区间为（﹣∞，a）．所以F（x）的最小值F（x）min=F（a）=1﹣a．因为a＜1，所以F（x）min=F（a）=1﹣a＞0，所以对于任意x∈R，F（x）＞0，因此方程e x﹣a=x无实数解．所以当x≠0时，函数g（x）不存在零点．综上，函数g（x）有且仅有一个零点．19．【解答】（Ⅰ）抛物线y=x2的焦点为（0，）．…（1分）由题意，得直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣1），…（2分）令x=0，得y=1﹣k，即直线AB与y轴相交于点（0，1﹣k）．…（3分）∵抛物线W的焦点在直线AB的下方，∴1﹣k＞，解得k＜．…（5分）（Ⅱ）设B（x1，x12），C（x2，x22），则∵A（1，1）且AB⊥AC，∴即（x1+x2）+x1•x2=﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又∵y′=2x，∴B、C处的切线的斜率为k1=2x1，k2=2x2，∴B、C处的切线方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1）和y﹣x22=2x2（x﹣x2），联立解得D（，x1•x2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设x1x2=t，由（x1+x2）+x1•x2=﹣2得=﹣1﹣，∴|OD|2=（﹣1﹣）2+t2=t2+t+1﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当t=﹣时，|OD|2min=，∴|OD|min=﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．【解答】（Ⅰ）解：∵等比数列{a n}中，a1=4，q=，∴a1=4，a2=2，a3=1，且当n＞3时，0＜a n＜1．…（1分）∵b n=[a n]，∴b1=4，b2=2，b3=1，且当n＞3时，b n=[a n]=0．…（2分）∴T n=．…（3分）（Ⅱ）证明：∵T n=2n+1（n≤2014），∴b1=T1=3，b n=T n﹣T n﹣1=2，（2≤n≤2014）．…（4分）∵b n=[a n]，∴a1∈[3，4），a n∈[2，3），（2≤n≤2014）．…（5分）由q=，得q＜1．…（6分）∵∈[2，3），∴，∴，即（）＜q＜1．…（8分）（Ⅲ）证明：（充分性）∵a1∈N*，q∈N*，∴∈N*，∴b n=[a n]=a n对一切正整数n都成立．∴S n=a1+a2+…+a n，T n=b1+b2+…+b n，∴S n=T n．…（9分）（必要性）∵对于任意的n∈N*，S n=T n，当n=1时，由a1=S1，b1=T1，得a1=b1；当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，b n=T n﹣T n﹣1，得a n=b n．对一切正整数n都有a n=b n．由，a n＞0，得对一切正整数n都有，…（10分）公比q=为正有理数．…（11分）假设q不属于N*，令q=，其中p，r∈，r≠1，且p与r的最大公约数为1．∵a1是一个有限整数，∴必然存在一个整数k（k∈N），使得a1能被r k整除，而不能被r k+1整除．又∵，且p与r的最大公约数为1．不属于Z，这与（n∈N*）矛盾．∴a k+2∴q∈N*．∴．…（13分）。

北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试理科数学(含答案)

北京市西城区2014－2015学年度高三第一学期期末试数学理第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin 4B =，则（）（A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件2．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b（D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面x O 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（）（A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）3第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）（A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形（D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（）（A ）(4,8) （B ）(4,)+ （C ）(0,4)（D ）(8,)+侧(左)视图正(主)视图俯视图11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12．如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____． 13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面A B C D ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1BCE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值；（Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）B CDA B 1C 1E FA 1 D 1已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)Pm m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.20．（本小题满分13分）设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<；（Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤，解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ，所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p +13+q =1. ……………… 2分又因为14p =，所以q =512． ……………… 3分（Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立.由上表可知， 1()2P A =，()P B p =. 所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分 111(1)222p p p =?+? 1122p =+. ……………… 6分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A BC D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分又因为1A F ⊄平面1BCE ，EC ⊂平面1BCE ，所以1A F ∥平面1BCE . …………………4分（Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ，所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10AE m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A BCD ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合），所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=，解得22e a =，3e b =. …………………5分（Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. …………………8分设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分因为||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->，所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分（Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。

北京市西城区2014年高三二模数学(理)试卷

北京市西城区2014年高三二模试卷数学（理科） 2014.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,2]-∞-（B ）[2,)-+∞（C ）(,2]-∞（D ）[2,)+∞2．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）（A（B（C（D4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）（A ） 2A Î，且4A Î （BA ，且4A Î（C ） 2A Î，且A （DAA俯视图侧(左)视图5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）（A ）1（B ）2（C ）π2（D ）π7. 在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是α，不等式组4100,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是（）（A ）14（B ）35（C ）34（D ）158. 设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω.若Ω是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ○1 ()x Ω○2 ()()x y Ω+Ω的取值范围是； ○3 ()()x y Ω-Ω恒等于0.其中所有正确结论的序号是（）（A ）○1（B ）○2○3（C ）○1○2（D ）○1○2○3第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．61()x x+的二项展开式中，常数项为______．10. 在△ABC 中，若4a =，3b =，1cos 3A =，则sin A =_____；B =_____． 11．如图，AB 和CD 是圆O 的两条弦， AB 与CD 相交于点E ，且4CE D E ==，:4:1AE BE =，则 AE =______；ACBD=______.12．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为______．13. 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点， (2,2)N ，则||||MF MN +的取值范围是 .14. 已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x yN N =挝上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：(,)x y (,)n n (,)m n (,)n m(,)f x yn m n -m n +则(3,5)f =__________，使不等式(2,)4xf x ≤成立的x 的集合是_____________.C D. OE BA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、 15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点(cos )A θθ，(sin ,0)B θ，其中θ∈R .（Ⅰ）当2π3θ=时，求向量AB 的坐标；（Ⅱ）当π[0,]2θ∈时，求||AB 的最大值.16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B 班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（Ⅲ）现从A 班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X 表示其中视力大于4.6的人数，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点， M 为AH 的中点，2PA AC ==，1BC =. （Ⅰ）求证：⊥AH 平面PBC ；（Ⅱ）求PM 与平面AHB 成角的正弦值；（Ⅲ）设点N 在线段PB 上，且PNPBλ=，//MN 平面ABC ，求实数λ的值. 18．（本小题满分13分）已知函数12e ()44x f x ax x +=++，其中a ∈R .（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当1a >时，试确定函数()f x 的单调区间. 19．（本小题满分14分）设,A B 是椭圆22: 143x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x 轴于点M （与点,A B 不重合），AC PHMO 为坐标原点. （Ⅰ）如果点M 是椭圆W 的右焦点，线段MB 的中点在y 轴上，求直线AB 的方程；（Ⅱ）设N 为x 轴上一点，且4OM ON ⋅=，直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ，证明：点B 与点C 关于x 轴对称.20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ，记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b .（Ⅰ）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（Ⅱ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ；（Ⅲ）设p a q =，12p a a a A +++=，求12q b b b +++的值.（用,,p q A 表示）1．D 2．B 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．D9．20 10．3π4 11．8 2 12．13-13．[3,+)∞ 14．8 {1,2}注：第10，11，14题第一问2分，第二问3分.15．（Ⅰ）解：由题意，得(sin cos ,)AB θθθ=-， ……… 2分当 2π3θ=时，2π2π1sin cos sin cos 332θθ+-=-=， …… 4分2π32θ==-，所以 AB =. …… 6分（Ⅱ）解：因为 (sin cos ,)AB θθθ=-，所以 222||(sin cos )()AB θθθ=-+ ………… 7分21sin 22sin θθ=-+ ……… 8分1sin 21cos 2θθ=-+- ………… 9分π2)4θ=+. ………… 10分因为 π02θ≤≤，所以 ππ5π2444θ+≤≤. …… 11分所以当π5π244θ+=时，2||AB取到最大值2||2(32AB =--=，… 12分即当π2θ=时，||AB… 13分16．（Ⅰ）解：A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +，…… 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. ……… 3分从数据结果来看A 班学生的视力较好. ……… 4分（Ⅱ）解：B 班5名学生视力的方差较大. …… 7分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，A 班的5名学生中有2名学生视力大于4.6.则X 的所有可能取值为0，1，2. … 8分所以 3335C 1(0)C 10P X ===； … 9分213235C C 3(1)C 5P X ===； … 10分 123235C C 3(2)C 10P X ===. ……… 11分所以随机变量X…… 12分故1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. …… 13分17．（Ⅰ）证明：因为 PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，所以 PA BC ⊥， … 1分又因为 AC BC ⊥， PAAC A =，所以 ⊥BC 平面PAC ， ……… 2分又因为 ⊂AH 平面PAC ，所以 BC AH ⊥. … 3分因为，AC PA =H 是PC 中点，所以 AH PC ⊥，又因为 PCBC C =，所以 ⊥AH 平面PBC . ……………… 5分（Ⅱ）解：在平面ABC 中，过点A 作，BC AD //因为 ⊥BC 平面PAC ，所以 ⊥AD 平面PAC ，由 PA ⊥底面ABC ，得PA ，AC ，AD 两两垂直，所以以A 为原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,1)H ，11(0,,)22M . 设平面AHB 的法向量为(,,)x y z =n ，因为 (0,1,1)AH =，(1,2,0)AB =，由 0,0,AH AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得 0,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩令1=z ，得(2,1,1)=-n . … 8分设PM 与平面AHB 成角为θ，因为 )23,21,0(-=PM ，所以sin cos ,PM PM PM θ⋅=<>==⋅n n n，即 sin 15θ=. ……………… 10分（Ⅲ）解：因为 (1,2,2)PB =-，PN PB λ=，所以 (,2,2)PN λλλ=-，又因为 13(0,,)22PM =-，所以 13(,2,2)22MN PN PM λλλ=-=--. ……… 12分因为 //MN 平面ABC ，平面ABC 的法向量(0,0,2)AP =，所以 340MN AP λ⋅=-=，解得 43=λ. ………… 14分18.（Ⅰ）解：函数1e ()44x f x x +=+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-.…… 1分11122e (44)4e 4e ()(44)(44)x x x x xf x x x ++++-'==++. …… 3分令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞．所以当0x =时，函数()f x 有极小值e(0)4f =. ……… 6分（Ⅱ）解：因为 1a >，所以 22244(2)(1)0ax x x a x ++=++->，所以函数()f x 的定义域为R ， ……… 7分求导，得12112222e (44)e (24)e (42)()(44)(44)x x x ax x ax x ax a f x ax x ax x +++++-++-'==++++， (8)分令()0f x '=，得10x =，242x a=-， …… 9分当 12a <<时，21x x <，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：)故函数()f x 的单调减区间为(2,0)a -，单调增区间为(,2)a-∞-，(0,)+∞．……… 11分当 2a =时，210x x ==，因为12222e ()0(244)x x f x x x +'=++≥，（当且仅当0x =时，()0f x '=）所以函数()f x 在R 单调递增. …… 12分当 2a >时，21x x >，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：故函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-，单调增区间为(,0)-∞，4(2,)a -+∞．综上，当 12a <<时，()f x 的单调减区间为4(2,0)a -，单调增区间为4(,2)a-∞-，(0,)+∞；当 2a =时，函数()f x 在R 单调递增；当 2a >时，函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-；单调增区间为(,0)-∞，4(2,)a -+∞． ……… 13分 19．（Ⅰ）解：椭圆W 的右焦点为(1,0)M ， ……… 1分因为线段MB 的中点在y 轴上，所以点B 的横坐标为1-，因为点B 在椭圆W 上，将1x =-代入椭圆W 的方程，得点B 的坐标为3(1,)2-±. ……… 3分所以直线AB （即MB ）的方程为3430x y --=或3430x y +-=.……… 5分（Ⅱ）证明：设点B 关于x 轴的对称点为1B （在椭圆W 上），要证点B 与点C 关于x 轴对称，只要证点1B 与点C 重合，.又因为直线AN 与椭圆W 的交点为C （与点A 不重合），所以只要证明点A ，N ，1B 三点共线. 以下给出证明：由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ，则122(,)B x y -. 由 223412,,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩ 得 222(34)84120k x kmx m +++-=， ……… 9分所以 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，122834kmx x k +=-+，212241234m x x k-=+. ………… 10分在y kx m =+中，令0y =，得点M 的坐标为(,0)mk-，由4OM ON ⋅=，得点N 的坐标为4(,0)km-， … 11分设直线NA ，1NB 的斜率分别为NA k ，1NB k ，则 1211122121212444444()()NA NB k kx y y x y y y y m m k k k k k k x x x x m m m m+⨯++⨯--=-=++++ ，………12分因为 21112244k k x y y x y y m m+⨯++⨯ 21112244()()()()k k x kx m kx m x kx m kx m m m=+++⨯++++⨯2121242()()8k k x x m x x k m=++++2222412482()()()83434m k kmk m k k m k-=⨯++-+++ 22323824832243234m k k m k k k k k ---++=+0=， … 13分所以 10NA NB k k -=，所以点A ，N ，1B 三点共线，即点B 与点C 关于x 轴对称. …… 14分20．（Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……… 3分（Ⅱ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……… 4分又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. …… 5分设2 a k =，则 2k ≥.假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥.所以21b =，2k b =.因为{}n b 为等差数列，所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*n ∈N .这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. …… 6分又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . … 7分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. ……… 8分（Ⅲ）解：设2 (1)a k k =>，因为123n a a a a <<<<<，所以1211k b b b -====，且2k b =，所以数列{}n b 中等于1的项有1k -个，即21a a -个； …… 9分设3 ()a l l k =>，则112l k k b b b -+====，且3l b =，所以数列{}n b 中等于2的项有l k -个，即32a a -个； … 10分 ……以此类推，数列{}n b 中等于1p -的项有1p p a a --个. …… 11分所以1221321(1())))2((p q p b b b a a a a a p a p -++=-+--+-+++ 121(1)p p a a p a a p -=-----++121()p p p pa p a a a a -=+-++++(1)p q A =+-.即12(1)qq A bb b p++++=-. … 13分。

北京市西城区2014届高三一模试卷-数学理-Word版内含答案

北京市西城区2014年高三一模试卷数学（理科） 2014.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合()U A B =ð（）（A ）(,2]-∞（B ）(,1]-∞（C ）(2,)+∞（D ）[2,)+∞2. 已知平面向量(2,1)=-a ，(1,1)=b ，(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为（）（A ）2（B ）12（C ）114（D ）114-3．在极坐标系中，过点π(2,)2且与极轴平行的直线方程是（）（A ）2ρ=（B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为（）（A ）4 （B ）16 （C ）256 （D ）3log 165．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（）（A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x （B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x6． “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______． 10. 若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.12．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：○1 当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ○2 (0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；○3 (0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．8. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（）（A ） 4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个BADC. PD CP15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b 的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽样．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==.（Ⅰ）求证：1⊥BC D E ；（Ⅱ）求证：1B C // 平面1BED ；（Ⅲ）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3，求线段1D E 的长度. 18．（本小题满分13分）1已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩≤ 其中0a ≥．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足108d -<<；（Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个(3)m m ≥项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1231122m m c c c c -++++-≤.北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2014.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．25-10．8 4x =-11． 12．(3,5) 13．4814．○2,○3注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==， ……………… 3分又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 5分（Ⅱ）解：因为 cos =B ，(0,π)∈B ，所以 sin B ==. ………………7分由正弦定理sin sin =a bA B ， ………………9分得 sin 3sin ==b Aa B. ………………10分因为 222b c a bc +=+，所以 2250--=c c ，解得 1=±c 因为 0>c ，所以 1=c . ………………11分故△ABC 的面积1sin 2S bc A == ………………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =. ……………… 2分（Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. ……………… 4分所以按分层抽样法，购买灯泡数24()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为4． ……………… 6分（Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3. ……………… 7分由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.10.150.25+=， ……… 8分从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，所以033127(0)C (1)464P X ==⨯-=， 1231127(1)C (1)4464P X ==⨯⨯-=， 2213119(2)C ()(1)4464P X ==⨯-=， 33311(3)C ()464P X ==⨯=. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望2727913()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分（注：写出1(3,)4XB ，3311()C ()(1)44k kk P X k -==-，0,1,2,3k =. 请酌情给分）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形，所以 BC CD ⊥，1BC CC ⊥，又因为 1=CDCC C ，所以 BC ⊥平面11DCC D ， ………………2分因为 1D E ⊂平面11DCC D ，所以1BC D E ⊥. ………………4分（Ⅱ）证明：因为 1111//, BB DD BB DD =，所以四边形11D DBB 是平行四边形. 连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点. 在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，所以 1//EF B C . ..................6分又因为 1⊄B C 平面1BED ，⊂EF 平面1BED ，所以 1//B C 平面1BED . (8)（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E ⊥，又因为 1D E CD ⊥，BCCD C =，所以 1D E ⊥平面ABCD . ………………9分设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，1ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建立空间直角坐标系，设1D E a =，则11(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), (0,1,0), (1,2,), (1,0,0)E B D a C B a G . 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ，因为1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==，由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩ 令1x =，得(1,1,0)=-n . ………………11分设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ，因为1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==，由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =，得(0,,1)a =-m . ………………12分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3， 1得||π|cos ,|cos 3⋅<>===m n m n m n ， ………………13分解得1a =. ………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得()(ln )ln 1f x x x x ''==+，其中0x >， ……………… 2分所以 (1)1f '=，又因为(1)0f =，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. ……………… 4分（Ⅱ）解：先考察函数2()23g x x x =-+-，x ∈R 的图象，配方得2()(1)2g x x =---， ……………… 5分所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且max ()(1)2g x g ==-.……………… 6分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1a ≤. ……………… 8分以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象，则 ()ln 1h x x '=+，令()ln 10h x x '=+=，解得1e=x . ……………… 9分随着x 变化时，()h x 和()h x '的变化情况如下：即函数()h x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，且min 11()()e e==-h x h . ……… 11分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1e≥a . ……………… 12分因为 12e->-（即min max ()()h x g x >），所以a 的取值范围为1,e[1]. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D . ……………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， ……………… 3分即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||2CD =，所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. ……………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……………… 6分由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>，（*） ……………… 8分由韦达定理，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ……………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k mk-+==+-， ………………10分解得2k =±. ……………… 11分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.12|x x -= ……………… 12分即12||3||mx x k-==，解得m =. ……………… 13分验证知（*）成立.所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为y x =±，或25y x =-±. ……………… 14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列12，13，16； ……………… 2分（Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥，所以 210d b b =-<. ……………… 3分若 11b = ，由{}n b 为{}n a 的一个5项子列，得212b ≤，所以 2111122d b b =--=-≤. 因为 514b b d =+，50b >，所以 515411d b b b =-=->-，即14d >-. 这与12d -≤矛盾. 所以 11b ≠.所以 112b ≤， ……………… 6分因为 514b b d =+，50b >，所以 51511422d b b b =-->-≥，即18d >-，综上，得108d -<<. ……………… 7分（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++.因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列，所以 q 为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤. 设 (,Kq K L L*=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）. 当1K =时，因为 112q L =≤，北京市西城区2014届高三一模试卷-数学理-Word 版内含答案11 / 11 所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++ 211111()()222≤-++++m ， 112()2-=-m ，所以 112312()2m m c c c c -++++-≤. ……………… 10分当1K ≠时，因为 11111m m m m K c c qa L ---==⨯是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以 1*()-=⨯∈m a K M M N ，所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++ 1232111111()----=++++m m m m M K K L K L L . 因为 2L ≥，*K M ∈N ，，所以 21112311111()()2()2222m m m c c c c --++++++++=-≤. 综上， 1231122m m c c c c -++++-≤. ……………… 13分。

北京市西城区2014届高三二模数学(理科)试卷(有答案)

北京市西城区2014年高三二模试卷数学（理科） 2014．5第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（）．A ．(,2]-∞-B ．[2,)-+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞2．在复平面内，复数2(12i)z =+对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线2y x =为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）． A ．5B ．5C ．3D ．3 4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）．A ． 2A ∈，且4A ∈B ． 2A ∈，且4A ∈C ． 2A ∈，且25A ∈D ．2A ∈，且17A ∈5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）．A ．1B ．2C ． π2D ．π7．在平面直角坐标系xOy中，不等式组0,0,80xyx y⎧⎪⎨⎪+-⎩所表示的平面区域是α，不等式组04,010xy⎧⎨⎩所表示的平面区域是β．从区域α中随机取一点(,)P x y，则P为区域β内的点的概率是（）．A．14B．35C．34D．158．设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω．若Ω是边长为1的正方形，给出下列三个结论：①()x Ω的最大值为2； ②()()x y Ω+Ω的取值范围是[2,22]；③()()x y Ω-Ω恒等于0．其中所有正确结论的序号是（）．A ．①B ．②③C ．①②D ．①②③第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．61()x x +的二项展开式中，常数项为_________．10．在ABC 中，若14,3,cos 3a b A ===，则sin A =______，B =______．11．如图，AB 和CD 是圆O 的两条弦，AB 与CD 相交于点E ，且4,:4:1CE DE AE BE ===，则AE =_______；AC BD=______．12．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为_________．13．设抛物线2:4C y x =的焦点为,F M 为抛物线C 上一点，(2,2)N ，则MF MN +的取值范围为_________．14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x y =∈∈N N 上的一个映射，正整数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)f x y z =，对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：则(3,5)f =_______，使不等式(2,)4x f x 成立的x 集合是_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点(cos),(sin,0)A Bθθθ，其中θ∈R．（I）当2π3θ=，求向量AB的坐标；（II）当π[0,]2θ∈时，求AB的最大值．为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的,A B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A班的5名学生的视力检测结果：43．，51．，46．，41．，49．．B班的5名学生的视力检测结果：51．，49．，40．，40．，45．．（I）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（II）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（III）现从班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X表示其中视力大于46．的人数，求X的分布列和数学期望．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,ABC AC BC H ⊥为PC 的中点，M 为AH 的中点，2,1PA AC BC ===（I ）求证：AH ⊥面PBC ；（II ）求PM 与平面AHB 所成角的正弦值（III ）设点N 在线段PB 上，且,PN MN PBλ=∥平面ABC ，求实数λ的值．已知函数12e ()44x f x ax x +=++，其中a ∈R （I ）若0a =，求函数()f x 的极值；（II ）当1a >时，试确定函数()f x 的单调区间．设,A B是椭圆22:143x yW+=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB交x轴于点M（与点,A B不重合），O为坐标原点．（I）如果点M是椭圆W的右焦点，线段MB的中点在y轴上，求直线AB的方程；（II）设N为x轴上一点，且4OM ON⋅=，直线AN与椭圆W的另外一个交点为C，证明：点B与点C关于x轴对称．在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*1,n n n a a a +∈<N ．设*m ∈N ，记使得n a m 成立的n 最大值为m b ．（I ）设数列为1，3，5，7，,写出123,,b b b 的值；（II ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ；（III ）设12,p p a q a a a A =+++=，求12q b b b +++的值．（用,,p q A 表示）。

北京市西城区2014届高三上学期期末考试数学理试题-Word版含答案

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学〔理科〕第Ⅰ卷〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B =〔〕〔A 〕(0,1)〔B 〕(0,1]〔C 〕(1,2)〔D 〕[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 假设3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =〔〕〔A 〕4〔B〔C 〕3〔D4．执行如下列图的程序框图，输出的S 值为〔〕〔A 〕34 〔B 〕45〔C 〕56〔D 〕12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为〔〕〔A 〕1-〔B 〕i -〔C 〕1〔D 〕i5．已知圆22:(1)(1)1C xy 与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是〔〕6．假设曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足〔〕〔A 〕22a b > 〔B 〕11a b< 〔C 〕0a b <<〔D 〕0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为〔〕〔A 〕116-〔B 〕 18-〔C 〕 14-〔D 〕 08. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形〔含三角形〕的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕第Ⅱ卷〔非选择题共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，假设向量OA AB ⊥，则实数k =_____．10．假设等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++=______．〔A 〕22y x 〔B 〕112y x 〔C 〕22y x〔D 〕12y x11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧〔左〕视图如下列图，那么此三棱柱正〔主〕视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. 〔用数字作答〕13．如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 假设2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . 〔1〕在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是；〔2〕由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值13分〕已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.〔Ⅰ〕假设()f α=[π,π]α∈-，求α的值；〔Ⅱ〕求函数()()y f x g x =+的单调增区间.侧(左)视图216．〔本小题总分值13分〕以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．〔Ⅰ〕假设甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值；〔Ⅱ〕求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；〔Ⅲ〕当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．〔本小题总分值14分〕如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.〔Ⅰ〕求证：AC ⊥平面BDEF ；〔Ⅱ〕求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值；〔Ⅲ〕求二面角H BD C --的大小.18．〔本小题总分值13分〕已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的单调区间；〔Ⅱ〕当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.甲组乙组 890 1a822 F BCEAHD19．〔本小题总分值14分〕已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点.〔Ⅰ〕假设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；〔Ⅱ〕设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．〔本小题总分值13分〕设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数〔如[2.5]2=〕,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . 〔Ⅰ〕假设114,2a q，求n T ；〔Ⅱ〕假设对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n ，证明：120122()13q <<. 〔Ⅲ〕证明：n n S T 〔1,2,3,n 〕的充分必要条件为1,a q N N .北京市西城区2013 —2014学年度第一学期期末高三数学〔理科〕参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．410．125511．12．2413．1214．(1,1)π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：因为π()sin()(0)3g x xωω=->的最小正周期为π，所以2||ωπ=π，解得2ω=． (3)分由()fα=2α=即cos2α=， (4)分所以π22π4kα=±，k∈Z.因为[π,π]α∈-，所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分〔Ⅱ〕解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- (8)分1sin 222x x =+ πsin(2)3x =+， (10)分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． (12)分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分〔Ⅱ〕解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. (5)分由〔Ⅰ〕可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a=时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能． (6)分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A==． (7)分〔Ⅲ〕解：当2a=时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，..................9分则这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0,1,2,3,4. (10)分因此2(0)9P X==，2(1)9P X==，1(2)3P X==，1(3)9P X==，1(4)9P X==. (11)分所以随机变量X的分布列为： (12)分所以X的数学期望221115()01234993993E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． (13)分17．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC BD⊥. (1)分因为平面BDEF⊥平面ABCD，且四边形BDEF是矩形，所以ED⊥平面ABCD， (2)分又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. ……………… 3分因为 EDBD D =，所以 AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分〔Ⅱ〕解：设ACBD O =，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ，由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，BF =所以 (0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F ，C ，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF 的法向量AC =. …………7分设直线DH 与平面BDEF 所成角为α，由 33()22DH =，得 32sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⨯⋅=<>===，所以直线DH 与平面BDEF . (9)分〔Ⅲ〕解：由〔Ⅱ〕，得13(,)222BH =-，(2,0,0)DB =. 设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n (10)分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则01cos ,2ED ED ED⋅⨯<>===-n n n . (13)分由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60. ………………14分18.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下： (5)分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分〔Ⅱ〕解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分当0x ≠时，方程可化简为ex ax -=. 设函数()e x a F x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->，所以对于任意x ∈R ，()0F x >，因此方程ex ax -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. (1)分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，所以 114k ->，解得 34k <. ……………… 5分〔Ⅱ〕解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. (8)分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-，即2112y x x x =-. ……………… 9分同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =- (10)分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-，所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. ………………11分因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==，所以OD 42(,)55D --时等号成立． (13)分由3125y k k =-=-，得15k =，验证知符合题意.所以当k =OD有最小值. (14)分20．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：由等比数列{}n a 的14a ，12q，得14a ，22a ，31a ，且当3n 时，01na . (1)分所以14b ，22b ，31b ，且当3n 时，[]0n n b a . (2)分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ (3)分〔Ⅱ〕证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. (4)分因为 []nn b a ，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥，所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ……………… 8分〔Ⅲ〕证明：〔充分性〕因为1a N ，q N ，所以11nna a q N ，所以 []n n n b a a 对一切正整数n 都成立.因为 12n n S a a a ，12n n T b b b ，所以 nn S T . ……………… 9分〔必要性〕因为对于任意的n N ，n n S T ，当1n =时，由1111,a S b T ，得11a b ；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =. 由 nb Z ，0n a ，得对一切正整数n 都有na N ， (10)分所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分假设 qN ，令pqr，其中,,1p r r N ，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k kN ，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r +整除.又因为111211k k k k a p a a q r++++==，且p 与r 的最大公约数为1.所以2ka Z ，这与n a N 〔n N 〕矛盾.所以q *∈N . 因此1a N ，q *∈N . (13)分。