实验5解线性方程组的迭代法
大学数学实验报告----迭代(一)——方程求解
Do M n , n, 2, 100
运行结果：
M n_Integer : Module y, k , m 2; k m ^ n 1 ;
x Mod k, n ;
Print n, " ", PrimeQ n , " ", x, "
", GCD m, n
Do M n , n, 2, 100
2 True 0 2 3 True 1 1 4 False 0 2 5 True 1 1 6 False 2 2 7 True 1 1 8 False 0 2 9 False 4 1 10 False 2 2 11 True 1 1 12 False 8 2 13 True 1 1 14 False 2 2 15 False 4 1 16 False 0 2 17 True 1 1 18 False 14 2 19 True 1 1 20 False 8 2 21 False 4 1 22 False 2 2 23 True 1 1 24 False 8 2 25 False 16 1 26 False 2 2 27 False 13 1 28 False 8 2 29 True 1 1 30 False 2 2 31 True 1 1 32 False 0 2 33 False 4 1 34 False 2 2 35 False 9 1 36 False 32 2 37 True 1 1 38 False 2 2 39 False 4 1 40 False 8 2
99 False 3 27 100 False 1 67 Null2
m=4 时
输入程序：
M n_Integer : Module y, k , m 4; k m ^ n 1 ; x Mod k, n ; Print n, " ", PrimeQ n , " ", GCD m, n , " ", x Do M n , n, 2, 100
计算方法-线性方程组的迭代法实验
实验五 线性方程组的迭代法实验一. 实验目的（1）深入理解线性方程组的迭代法的设计思想，学会利用系数矩阵的性质以保证迭代过程的收敛性，以及解决某些实际的线性方程组求解问题。
（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 解决具体的方程求根问题。
二. 实验要求建立Jacobi 迭代公式、Gauss-Seidel 迭代公式和超松弛迭代公式，用Matlab 软件实现线性方程组求解的Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和超松弛迭代法，并用实例在计算机上计算。
三. 实验内容1. 实验题目（1）分别利用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代求解下列线性方程组，取()T 0,0,0,0,0,0=x ，要求精度510-=ε：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------------626050410100141010014001100410010141001014654321x x x x x x ①Jacobi 迭代：②Gauss-Seidel迭代：（2）分别取1ω、1.05、1.1、1.25和1.8，用超松弛法求解上面的方程组，要求精度=为5ε。
=10-超松弛迭代代码如下所示：运行时初始化如下：分别以不同的松弛因子代入，W=1：W=1.05W=1.1：W=1.25W=1.8：当最大迭代次数增加时，我们可以看到，x向量的各个元素都变无穷大了，迭代发散2. 设计思想要求针对上述题目，详细分析每种算法的设计思想。
求解线性方程组的迭代法，其实质是将所给的方程组逐步地对角化或三角化，即将线性方程组的求解过程加工成对角方程组或三角方程组求解过程的重复。
⑴Jacobi迭代:将一般形式的线性方程组归结为对角方程组求解过程的重复；⑵Gauss-Seidel迭代：将一般形式的线性方程组的求解归结为下三角方程组求解过程的重复；⑶超松弛法：选择合适的松弛因子，利用旧值生成新值，使迭代加速；四.实验体会对实验过程进行分析总结，对比求解线性方程组的不同方法的优缺点，指出每种方法的设计要点及应注意的事项，以及自己通过实验所获得的对线性方程组求解问题的各种解法的理解。
《解线性方程组的VRP-GMRES(m)迭代法》范文
《解线性方程组的VRP-GMRES(m)迭代法》篇一一、引言在科学计算和工程领域，线性方程组的求解是一个重要的研究课题。
传统的解法如高斯消元法、LU分解法等，在处理大规模或复杂问题时往往显得效率低下。
近年来，迭代法因其高效性和适应性，在求解线性方程组中得到了广泛应用。
其中，VRP-GMRES(m)迭代法因其收敛速度快、适用范围广等优点而备受关注。
本文旨在介绍VRP-GMRES(m)迭代法的原理、步骤及其在解线性方程组中的应用。
二、VRP-GMRES(m)迭代法原理VRP-GMRES(m)迭代法是一种基于Krylov子空间的迭代算法，用于求解线性方程组Ax=b。
该方法通过构造一系列的Krylov子空间，逐步逼近解向量x。
与传统的GMRES算法相比，VRP-GMRES(m)在每一步迭代中引入了重启策略和预处理技术，从而提高了算法的稳定性和收敛速度。
三、VRP-GMRES(m)迭代法步骤1. 初始化：选择一个初始向量x0和初始残差r0=b-Ax0。
2. 构建Krylov子空间：通过迭代过程，构建一系列的Krylov 子空间Vn，其中n为迭代次数。
3. 最小二乘问题求解：在每个Krylov子空间中，求解最小二乘问题以获得搜索方向。
4. 重启策略：当达到预设的重启次数m时，重新开始新一轮的迭代过程。
5. 预处理技术：在迭代过程中引入预处理技术，如Jacobi预处理、SOR预处理等，以提高算法的稳定性和收敛速度。
6. 终止条件：当残差满足预设的终止条件时，停止迭代，输出解向量x。
四、VRP-GMRES(m)迭代法在解线性方程组中的应用VRP-GMRES(m)迭代法广泛应用于各种工程和科学计算领域，如流体动力学、电磁场计算、结构力学等。
通过引入重启策略和预处理技术，该方法可以有效地处理大规模、复杂和病态的线性方程组。
与传统的迭代法和直接法相比，VRP-GMRES(m)具有更高的计算效率和更好的稳定性。
此外，该方法还可以根据具体问题的特点进行定制化改进，以满足不同领域的需求。
第五章 解线性方程组的迭代解法
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
(精校版)迭代法解线性方程组数值分析实验报告
(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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数学与计算科学学院《数值分析》课程设计题目：迭代法解线性方程组专业：信息与计算科学学号: 1309302—24姓名：谭孜指导教师：郭兵成绩:二零一六年六月二十日一、前言：(目的和意义）1.实验目的①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤.②了解雅可比迭代法，高斯—赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。
2。
实验意义迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。
迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。
比较雅可比迭代法，高斯—赛德尔迭代方法和松弛法,举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较.二、数学原理：设有方程组b Ax = …① 将其转化为等价的,便于迭代的形式f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,), 并由此构造迭代公式f Bx x k k +=+)()1( …③ 式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。
对任意的初始向量)0(x ，由式③可求得向量序列∞0)(}{k x ，若*)(lim x x k k =∞→，则*x 就是方程①或方程②的解。
此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。
构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性 1。
雅可比迭代法基本原理设有方程组),,3,2,1(1n i b x a j j nj ij ==∑= …①矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠从式①中第i 个方程中解出x,得其等价形式)(111j nj j ij ii i x a b a x ∑≠=-= …②取初始向量),,,()0()0(2)0(1)0(n x x x x =，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式： )(111)()1(∑≠=++-=nj j i k j ij ii k ib x a a x…③ 也可记为矩阵形式：J x J k F B x k +==)()1( …④ 若将系数矩阵A 分解为A=D —L-U ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--=--00000000000000111211212211212222111211n n n nn n nn nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a U L D A式中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a D2211,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0000121323121nn n n a a a a a a L ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000122311312n n n n a a a a a a U 。
线性方程组的迭代式求解方法
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
实验五-解线性方程组的迭代法报告
实验五 解线性方程组的迭代法一、问题提出对实验四所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法和SOR 方法计算其解。
二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；2、分别对不同精度要求，如34510,10,10ε---=由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；3、对方程组2，3使用SOR 方法时，选取松弛因子ω=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；4、给出各种算法的设计程序和计算结果。
三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；3、体会上机计算时，终止步骤(1)k k xx ε+∞-<或k>（给予的迭代次数），对迭代法敛散性的意义；4、 体会初始解0x ，松弛因子的选取，对计算结果的影响。
四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C 或matlab 开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果．解：J迭代算法：程序设计流程图：源程序代码：#include<stdlib.h>#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){float a[50][51],x1[50],x2[50],temp=0,fnum=0;int i,j,m,n,e,bk=0;printf("使用Jacobi迭代法求解方程组:\n");printf("输入方程组的元：\nn=");scanf("%d",&n);for(i=1;i<n+1;i++)x1[i]=0;printf("输入方程组的系数矩阵:\n");for(i=1;i<n+1;i++){j=1;while(j<n+1){scanf("%f",&a[i][j]);j++;}}printf("输入方程组的常数项:\n");for(i=1;i<n+1;i++){scanf("%f",&a[i][n+1]);}printf("\n");printf("请输入迭代次数:\n");scanf("%d",&m);printf("请输入迭代精度:\n");scanf("%d",&e);while(m!=0){for(i=1;i<n+1;i++){for(j=1;j<n+1;j++){if (j!=i)temp=a[i][j]*x1[j]+temp;}x2[i]=(a[i][n+1]-temp)/a[i][i];temp=0;}for(i=1;i<n+1;i++){fnum=float(fabs(x1[i]-x2[i]));if(fnum>temp) temp=fnum;}if(temp<=pow(10,-4)) bk=1;for(i=1;i<n+1;i++)x1[i]=x2[i];m--;}printf("原方程组的解为:\n");for(i=1;i<n+1;i++){if((x1[i]-x2[i])<=e||(x2[i]-x1[i])<=e){printf("x%d=%7.4f ",i,x1[i]);}}}运行结果：GS迭代算法：#include<iostream.h>#include<math.h>#include<stdio.h>const int m=11;void main(){int choice=1;while(choice==1){double a[m][m],b[m],e,x[m],y[m],w,se,max; int n,i,j,N,k;cout<<"Gauss-Seidol迭代法"<<endl;cout<<"请输入方程的个数：";cin>>n;for(i=1;i<=n;i++){cout<<"请输入第"<<i<<"个方程的各项系数："; for(j=1;j<=n;j++)cin>>a[i][j];}cout<<"请输入各个方程等号右边的常数项:\n"; for(i=1;i<=n;i++){cin>>b[i];}cout<<"请输入最大迭代次数：";cin>>N;cout<<"请输入最大偏差：";cin>>e;for(i=1;i<=n;i++){x[i]=0;y[i]=x[i];}k=0;while(k!=N){k++;for(i=1;i<=n;i++){w=0;for(j=1;j<=n;j++){if(j!=i)w=w+a[i][j]*y[j];}y[i]=(b[i]-w)/double(a[i][i]);}max=fabs(x[1]-y[1]);for(i=1;i<=n;i++){se=fabs(x[i]-y[i]);if(se>max)max=se;}if(max<e){cout<<endl;for(i=1;i<=n;i++)cout<<"x"<<i<<"="<<y[i]<<endl; break;}for(i=1;i<=n;i++){x[i]=y[i];}}if(k==N)cout<<"迭代失败！！"<<endl;choice=0;}}SOR方法：# include <stdio.h># include <math.h>#include<stdlib.h>/**********定义全局变量**********/float **a; /*存放A矩阵*/float *b; /*存放b矩阵*/float *x; /*存放x矩阵*/float p; /*精确度*/float w; /*松弛因子*/int n; /*未知数个数*/int c; /*最大迭代次数*/int k=1; /*实际迭代次数*//**********SOR迭代法**********/void SOR(float xk[]){int i,j;float t=0.0;float tt=0.0;float *xl;xl=(float *)malloc(sizeof(float)*(n+1)); for(i=1;i<n+1;i++){t=0.0;tt=0.0;for(j=1;j<i;j++)t=t+a[i][j]*xl[j];for(j=i;j<n+1;j++)tt=tt+a[i][j]*xk[j];xl[i]=xk[i]+w*(b[i]-t-tt)/a[i][i];}t=0.0;for(i=1;i<n+1;i++){tt=fabs(xl[i]-xk[i]);tt=tt*tt;t+=tt;}t=sqrt(t);for(i=1;i<n+1;i++)xk[i]=xl[i];if(k+1>c){if(t<=p)printf("\nReach the given precision!\n"); elseprintf("\nover the maximal count!\n");printf("\nCount number is %d\n",k);}elseif(t>p){k++;SOR(xk);}else{printf("\nReach the given precision!\n"); printf("\nCount number is %d\n",k);}}/**********程序*****开始**********/void main(){int i,j;printf("SOR方法\n");printf("请输入方程个数:\n");scanf("%d",&n);a=(float **)malloc(sizeof(float)*(n+1)); for(i=0;i<n+1;i++)a[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(n+1));printf("请输入三对角矩阵:\n");for(i=1;i<n+1;i++)for(j=1;j<n+1;j++)scanf("%f",&a[i][j]);for(i=1;i<n+1;i++)for(j=1;j<n;j++)b=(float *)malloc(sizeof(float)*(n+1)); printf("请输入等号右边的值:\n");for(i=1;i<n+1;i++)scanf("%f",&b[i]);x=(float *)malloc(sizeof(float)*(n+1)); printf("请输入初始的x:");for(i=1;i<n+1;i++)scanf("%f",&x[i]);printf("请输入精确度:");scanf("%f",&p);printf("请输入迭代次数:");scanf("%d",&c);printf("请输入w(0<w<2):\n");scanf("%f",&w);SOR(x);printf("方程的结果为:\n");for(i=1;i<n+1;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}程序运行结果讨论和分析：①迭代法具有需要计算机的存贮单元较少,程序设计简单,原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点.②迭代法在收敛性及收敛速度等方面存在问题.[注:A必须满足一定的条件下才能运用以下三种迭代法之一.在Jacobi中不用产生的新数据信息,每次都要计算一次矩阵与向量的乘法,而在Gauss利用新产生的信息数据来计算矩阵与向量的乘法.在SOR中必须选择一个最佳的松弛因子,才能使收敛加速.]经过计算可知Gauss-Seidel方法比Jacobi方法剩点计算量,也是Jacobi方法的改进.可是精确度底,计算量高,费时间,需要改进.SOR是进一步改进Gauss-Seidel 而得到的比Jacobi,Gauss-Seidel方法收敛速度快,综合性强.改变松弛因子的取值范围来可以得到Jacobi,Gauss-Seidel方法.③选择一个适当的松弛因子是关键.结论：线性方程组1和2对于Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法均不收敛，线性方程组3收敛。
解线性方程组的迭代法
(0) (1) (k ) x1 x1 x1 (0) (1) (k ) (0) (1) (k ) x x2 , x x2 ,, x x2 , x (0) x (1) x(k ) 3 3 3
或写为 x B0 x f , 其中
0 4 B0 11 6 12 3 8 0 3 12 2 8 1 , 11 0 20 8 33 f . 11 36 12
5
( k 1) (k ) (k ) x1 (3 x2 2 x3 20) / 8, x ( k 1) (4 x ( k ) x ( k ) 33) /11, 1 3 2 ( k 1) (k ) (k ) x3 (6 x1 3x2 36) /12.
7
构造迭代法
x1( k 1) 2 x2 ( k ) 5, ( k 1) (k ) x 3 x 5. 1 2
则对任何的初始向量，得到的序列都不收敛.
对于给定方程组 x Bx f， 设有唯一解 x * ，则
x* Bx * f .
（1.5）
又设 x ( 0 ) 为任取的初始向量，按下述公式构造向量序列
4
任取初始值，例如取 x ( 0) (0, 0, 0)T .
将这些值代入(1.3) 式右边 (若(1.3)式为等式即求得
方程组的解，但一般不满足). 得到新的值
(1) (1) (1) T x (1) ( x1 , x2 , x3 ) (2.5, 3, 3)T ,
再将 x (1) 分量代入(1.3)式右边得到 x ( 2 )，反复利用这个计
解线性方程组的迭代法
解线性方程组的迭代法Haha送给需要的学弟学妹摘要:因为理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的，但是实际情况是否如此，需要我们来具体检验。
系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，是著名的病态问题。
因而决定求解Hx b =此线性方程组来验证上述问题。
详细过程是通过用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法求解Hx b =线性方程组。
关键词：病态方程组、Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法、SOR 迭代法目录：一、问题背景介绍二、建立正确额数学模型 三、求解模型的数学原理1、Gauss 消去法求解原理2、Jacobi 迭代法求解原理3、G-S 迭代法求解原理4、SOR 迭代法求解原理5、Jacobi 和G-S 两种迭代法收敛的充要条件 四、计算过程（一）Hilbert 矩阵维数n=6时1、Gauss 消去法求解2、Jacobi 迭代法求解3、G-S 迭代法求解4、SOR 迭代法求解（二）Hilbert 矩阵维数n=20、50和100时1、G-S 迭代法求解图形2、SOR 迭代法求解图形 五、编写计算程序 六、解释计算结果1、Gauss 消去法误差分析2、G-S 迭代法误差分析3、SOR 迭代法误差分析G-S 迭代法与SOR 迭代法的误差比较 七、心得体会正文：一、问题背景介绍。
理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？二、建立正确的数学模型。
考虑方程组Hx b =的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(), , ,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解（为方便计算，笔者取x 的各个分量等于1），再计算出右端,b Hx =这样Hx b =的解就明确了，再用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法分别求解,Hx b =将求解结果与给定解比较，而后求出上述四种方法的误差，得出哪种方法比较好。
解线性方程组的迭代法
0.9906
0.0355
5 1.01159 0.9953
1.01159 0.01159
6 1.000251 1.005795 1.000251 0.005795
7 0.9982364 1.0001255 0.9982364 0.0017636
可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而且迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
从而得迭代公式
x1
a12 a11
x2
a13 a11
x3
b1 a11
x2
a21 a22
x1
a23 a22
x3
b2 a22
x3
a31 a33
M 00.8 00..75
但(M)=0.8<1,所以迭代法 x(k+1)=Mx(k)+g 是收敛的.
由(3.5)式可见,‖M‖越小收敛越快,且当‖x (k) -x(k-1) ‖很小时,‖x(k) –x*‖就很小,实际中用‖x (k) x(k-1) ‖<作为
迭代终止的条件。 例如，对例1中的Jacobi迭代计算结果
+‖x(k+1) –x*‖‖M‖‖x(k) –x(k-1)‖+‖M‖‖x(k) –x*‖ 从而得‖x(k) –x*‖‖M‖‖x (k) -x(k-1) ‖/（1- ‖M‖）
(3.5) (3.6)
估计式(3.5)得证。利用(3.5)式和
‖x(k+1) 得到
-x(k)
‖‖M‖‖x
(k)
-x(k-1)
‖
解线性方程组 的迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法，又称坐标下降法，是一种用于解线性方程组的迭代求解方法，常用于线性规划以及单纯形法等技术。
早在上世纪50年代，此方法就在解决
线性规划问题中得到了广泛应用，到目前为止，这种技术仍然广泛使用。
线性方程组迭代法是一种基于不断迭代调整变量，使目标函数达到最优结果的
迭代求解法。
其基本步骤是：
(1) 初始化目标函数变量：首先，初始化线性方程组的目标函数的变量；
(2) 评估梯度：选择合适的算法计算目标函数的梯度；
(3) 根据该梯度更新变量：更新目标函数变量的值，使得在此次更新之后的值
更加有利于满足线性方程组的要求；
(4) 重复上述步骤，直到目标函数足够接近最优值为止；
线性方程组迭代法能够快速地求解出线性规划问题的最优解，因此，它在计算
机上经常被用来优化问题，进而提高系统运行效率。
随着网络技术的发展，线性方程组迭代法在互联网领域得到了广泛应用，这在大大缩短了计算机程序的运行时间，提高了互联网的效率。
同时，线性方程组迭代法也有助于提高系统的性能，改善用户的体验，提升企业的品牌形象。
实验五__解线性方程组的迭代法
实验五 解线性方程组的迭代法5.1实验目的① 掌握解线性方程组的雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法；② 培养编程与上机调试能力.5.2算法步骤5.2.1迭代法的基本思想根据方程组Ax b =设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一初始向量(0)x代入迭代公式，求出(1)x，再以(1)x 代入同一迭代公式，求出(2)x ，如此反复进行，得到向量序列(){}k x .当(){}k x 收敛时，其极限即为原方程组的解.5.2.2雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组设方程组Ax b =的系数矩阵对角线元素0(1,2,...,)ii a i n ≠=，M 为最大迭代次数，ε为容许误差. 雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组算法步骤如下：① 取初始向量(0)(0)(0)12(,,...,)T n x x x x =，令0k =.② 对1,2,...,i n =，计算(1)()11()n k k i i ij j j ii j ix b a x a +=≠=-∑. ③ 如果(1)()1n k k i i i xx ε+=-<∑，则输出(1)k x +，结束；否则执行④④ 如果k M ≥，则不收敛，终止程序；否则1k k ←+，转②5.2.3高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法在雅可比（Jacobi ）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解.基于这种设想构造的迭代公式称为高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法. 算法可相应地从雅可比（Jacobi ）迭代法改造得到.5.3实验内容应用雅可比迭代和高斯-塞德尔算法分别求解线性方程组1231231238322041133631236x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩要求：选择不同的迭代次数，观察输出结果；5.4 实验程序：雅可比迭代：function [xk,k]=f5_Jacobi(x0,A,b,m)e=10.^(-4);[r,n]=size(x0);n=max(r,n);x0=reshape(x0,1,n);k=0;while k<mk=k+1;for i=1:nxk(i)=(b(i)-sum(A(i,:).*x0)+A(i,i)*x0(i))./A(i,i);endif sum(abs(xk-x0))<ebreak;endx0=xk;end高斯-塞德尔算法function [xk,k]=f5_Gs(x0,A,b,m)e=10.^(-5);[r,n]=size(x0);n=max(r,n);x0=reshape(x0,1,n);xk=[];k=0;while k<mk=k+1;for i=1:nxk(i)=(b(i)-sum(A(i,1:i-1).*xk(1:i-1))-sum(A(i,i+1:n).*x0(i+1:n)))./A( i,i);endif sum(abs(xk-x0))<ebreak;endx0=xk;end5.5 实验求解：在command window窗口输入如下命令求解方程组>> A=[8,-3,2;4,11,-1;6,3,12];>> b=[20;33;36];>> [xk,k]=f5_Jacobi(x0,A,b,20)xk =3.0000 2.0000 1.0000k =12>> [xk,k]=f5_Jacobi(x0,A,b,5)xk =3.0003 1.9840 1.0010k =5>> [xk,k]=f5_Gs(x0,A,b,20)xk =3.0000 2.0000 1.0000 k =8>> [xk,k]=f5_Gs(x0,A,b,5)xk =2.9998 2.0001 1.0001 k =5。
解线性方程组的迭代法实际应用
解线性方程组的迭代法实际应用
现今，互联网行业的发展速度越来越快，数据和信息的传播变得越来越重要，因此，熟练掌握并利用数据和信息变得越来越必要。
迭代法是解决线性方程组最重要的算法之一，在互联网行业中也有广泛的应用。
迭代法能够有效的求出不同的近似解，而且计算速度较快，能够满足互联网行业的快速发展。
比如运行在分布式环境中的搜索引擎，其中有大量的系统参数，如摆放有系统服务器到网络以及运行配置等，这些参数有很多线性方程组，这些线性方程组很难使用传统的数学方法来求解，而使用迭代法可以快速得到这些方程组的答案，为搜索引擎提供良好的运行环境。
另外，现代的宽带技术和视频技术极大的提高了节目的传输效率。
它们的实现依赖于复杂的线性方程，迭代法可以有效的帮助实现技术的快速发展。
此外，依靠迭代法的快速求解，将抗性算法转换为原始算法，也可以有效改进网络的性能，比如入侵检测算法中，使用迭代引入抗性算法来更新原始算法，结合专业技术确定加密规则，从而更有效的防止非法攻击。
总之，迭代法在互联网行业中发挥着重要作用，在搜索引擎、宽带技术和入侵检测算法等方面，迭代法及其所需技术都可以极大地提升网络系统的效率，确保互联网系统的可靠性和安全性，完善互联网的运作环境。
第五章解线性方程组的迭代法
能找到一种范数成立.)
《数值分析》 主讲教师
16
证明：x *的存在性及迭代序列的收敛性已由定理给出。
同时有：x(k) x* x(k) x(k1) x(k1) x*
x(k) x(k1) x(k1) x*
x(k) x(k1) B x(k) x*
x(k) x* 1 x(k) x(k1) 1 q
设ARnn非奇异，用迭代法解方程组Ax b，首先要构 造迭代序列，可将方程改写为不动点形式x Bx f， 并由此构造迭代公式x(k1) Bx(k) f,k 0,1, , 其中B R nn称为迭代矩阵。
定义：若迭代法x(k1) Bx (k) f , k 0,1, 生成的序列{x(k)} 满足 lim x(k) x* ,x(0) R n则称迭代法收敛的。
显然有：
lim x(k) x lim x(k) x 0
k
k
（依范数 收敛）
《数值分析》 主讲教师
6
矩阵范数、谱半径
对于方阵A
aij
,有
nn
n
A
max 1in
j 1
aij
矩阵的行范数
n
A max 1 1 jn
i 1
aij
矩阵的列范数
称(A)= max 1 jn
j
xi
i 1
1 范数
x
n
1/2
x2
2 i1 i
2 范数
x
max
1in
xi
范数
一般的，定义p 范数 :
n
p 1/p
x x
p
i i 1
《数值分析》 主讲教师
4
范数的等价性：
称范数
,
线性方程组的迭代法
1 20 D 1b
1 8
24 1.2 12 1.5 1 15 30 2
x1( k 1) 0 0.1 0.15 x1( k ) 1.2 ( k 2) x ( k ) 1.5 0 0.125 2 x2 0.125 ( ( x3k 1) 0.133 3 0.2 0 x3k ) 2.0
将方程组AX=b的系数A分解成 A=D+L+U 其中D=diag(a11,a22,,ann) ，L和U分别是A的 对角线下方元素和上方元素组成的严格下三角 阵与严格上三角阵. 即
0 0 a2 1 0 A a n1 an 2
0 a1 1 0 0 0 a1 2 0 0 a2 2 0 0 0 0 0 0 an n 0 0
k 1 r k 1 0 0 (k )
所以Gauss-Seidel迭代 法收敛.
定理 超松弛法收敛的必要条件为 0<<2
证 设其迭代矩阵G的特征值为1,2,, n , 由于迭代收敛,故有 max i 1 1 i n 从而 det G 12 n (max i ) n 1
a
j 1 j i
n
ij
aii
n
(i 1,2, , n )
aij aii 1
故
GJ
max
1i n j 1 j i
从而Jacobi迭代收敛
* * * * 设方程组的精确解为 X ( x1 , x2 , xn )
计算方法 5 解线性方程组的迭代法.
( I L) Ux ( I L) f
(k )
1
1
这表明：Gauss-Seidel迭代实际上是Jacobi迭代! 上面的迭 代矩阵被称为G-S迭代法的迭代矩阵.
若方程组为：Ax=b. 则令A=D-L-U,于是
Dx ( k 1) Lx( k 1) Ux( k ) b ( D L) x( k 1) Ux( k ) b x ( k 1) ( D L)1Ux( k ) ( D L)1 b
4. 最速下降法与共轭梯度法–
解对称正定线性方程组的方法
最速下降法与共轭梯度法，是求最优化问题的重要方法. 在此，使用它们 解线性方程组。
途径：求解线性方程组问题等价地转化成求极值问题！
考察二次函数： 1 F ( x ) ( Ax, x ) (b, x ) 的极小值问题.和 线性方程组：Ax=b 之间的关系 2 如此不断地 定理4.1 设A为对称正定矩阵，则下列两个问题等价 修正下去 1 * x*是极值问题 min F ( x ) ( Ax , x ) ( b , x ) 的解 x 是Ax b的解. xR n 2 * x 引理 设 ( ) F ( x* x ),
x Bx f xi bij x j fi , i 1,
构造迭代格式
j 1
n
, n.
1. 各分量的计算顺序无关。 2. 迭代格式仅有前后两步有关。 3. 新的近似解是已知近似解的线性函数。
任取初始向量x (0) , 给出迭代格式 x ( k 1) Bx ( k ) f xi( k 1) bij x (j k ) fi ,
1) 最速下降法或梯度法
如何选择搜索方向？
函数值增加最快的方向 F ( x k )
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西华数学与计算机学院上机实践报告
课程名称：计算方法A
年级： 上机实践成绩： 指导教师：严常龙
姓名： 上机实践名称：解线性方程组的迭代法
学号： 上机实践日期： 上机实践编号：1
上机实践时间：16:00-17:40 一、目的
1．通过本实验加深对Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、松弛迭代法的构造过程的理解；
2．能对上述三种迭代法提出正确的算法描述编程实现，进一步理解迭代法的改进过程；
二、内容与设计思想
自选线性方程组，编制一个程序，分别用Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 和松弛迭代法求解，比较三
种迭代法收敛速度的快慢。
三、使用环境
操作系统：Windows XP
软件环境：Microsoft Visual C++
四、核心代码及调试过程
题目要求，求解下面的方程组，分别用Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法求解
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+-+=+-+9
.369.57.34.05.16
.163.11.89.06.58.18.25.33.63.11.155.04.43.22.74321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 1.Jacobi 迭代法
#include<stdio.h>
#include<math.h>
main()
{
int i,j,n=4,cj=0;
float a[5][5],x[5],y[5],g[5],b[5][5],x1[5];
float max,sum=0.0;
a[0][0]=7.2;a[0][1]=2.3;a[0][2]=-4.4;a[0][3]=0.5;
a[1][0]=1.3;a[1][1]=6.3;a[1][2]=-3.5;a[1][3]=2.8;
a[2][0]=5.6;a[2][1]=0.9;a[2][2]=8.1;a[2][3]=-1.3;
a[3][0]=1.5;a[3][1]=0.4;a[3][2]=3.7;a[3][3]=5.9;
y[0]=15.1;y[1]=1.8;y[2]=16.6;y[3]=39.6;
x[0]=1;x[1]=1;x[2]=1;x[3]=1;
printf("初始矩阵为\n");
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
printf("%f\t",a[i][j]);
}
printf("\n");
}
for(i=0;i<n;i++)
{
g[i]=y[i]/a[i][i];//求出常数项除以x[i]的系数;
for(j=0;j<n;j++)
{
b[i][j]=-a[i][j]/a[i][i];
}
b[i][i]=0;
}
printf("变换后的矩阵为\n");
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
printf("%f\t",b[i][j]);
}
printf("\n");
}
do
{ cj++;
for(i=0;i<n;i++)
{
x1[i]=x[i];
}
for(i=0;i<n;i++)
{ sum=g[i];
for(j=0;j<n;j++)
{
sum=sum+b[i][j]*x1[j];// Gauss-Seidel迭代sum=sum+b[i][j]*x[j];就可以了
}
x[i]=sum;
}
max=fabs(x[0]-x1[0]);
for(i=0;i<n;i++)
{
if(fabs(x[i]-x1[i])>max)
{
max=fabs(x[i]-x1[i]);
}
}
}while(max>pow(10,-6));
printf("函数的值为\n");
for(i=0;i<n;i++)
{
printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);
}
printf("循环次数为%d\n",cj);
}
1. Jacobi迭代法的值
2.Gauss-Seidel迭代法
五、总结
通过本次上机实验，我掌握了Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和松弛迭代法求解线性方程组。
编程序实现这3种解线性方程组的方法，就要先熟悉具体的操作步骤，逻辑思路要清晰。
在程序实现过程种，我主要运用了数组存储数据，调用了数组类型的子函数，编写了求逆矩阵的子函数并在主函数中调用，熟练的使用了数组和循环语句。
我编写的程序具有一定的通用性和可读性，可以解决这一类计算。
六、附录
参考：《数值计算方法与算法》（第二版）。