2006年1月浙江省自考试题近世代数

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近世代数题库

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一、填空题

1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.

2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.

3. 群G 的元素a 的阶是m ,b 的阶是n ,ba ab =,则≤ab ,如果),(m n = 1,则=ab

_____.

4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞,则<a >与________________同构;若|a |=n ,则<a >与

______________同构.

5. 设σ=(14)(235),τ=(153)(24),则|σ| = ____,στσ1- =______.

6. 设群G 的阶为m ,G a ∈,则=m a .

7. 设“~”是集合A 的一个关系,如果“~”满足_________________,则称“~”是A 的元素

间的一个等价关系.

8. 设σ=(23)(35),τ=(1243)(235)∈S 5,那么στ=___________(表示成若干个没有公共数

字的循环置换之积), τ是 (奇、偶)置换.

9. 设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为 .

10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .

11. 设G 为群,若对于任意的元G b a ∈,,都有ba ab =,则称群G 为 群.

1月浙江自考试题及答案解析近世代数

1月浙江自考试题及答案解析近世代数

1

浙江省2018年1月高等教育自学考试

近世代数试题

课程代码:10025

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的序号

填在题干的括号内。每小题3分,共15分)

1. 设集合A 含有n 个元素,那么A 的子集共有多少个?( )

A. n!

B. n 2

C. 2n

D. 2

1)n(n + 2. 下列法则,哪个是集A 的代数运算( )。 A. A=N a οb=a-b B. A=Z a οb=

2ab C. A=Q a οb=b

a D. A=R a οb=a+π 3. 设

则S 关于所给代数运算作成的代数体系中的可逆元素为( )。

A. a 与b

B. b 与c

C. c 与d

D. d 与a

4. 以下命题中,正确的是( )。

A. 任意一个环R ,必含有单位元

B. 环R 中至多有一个单位元

C. 环R 有单位元,则它的子环也有单位元

D. 一个环与其子环都有单位元,则两个单位元一定相同

5. p(素数)阶有限群的子群个数为( )。

A. 0

B. 1

C. 2

D. p

二、填空题(每空3分,共27分)

1. 设A={a,b,c,d},则A 到A 的一一映射共有____________个。

2. 设G 是6阶循环群,则G 的生成元有____________个。

3. 非零复数乘群C*中由-i 生成的子群是____________。

4. 剩余类环Z 7的零因子个数等于____________。

5. 素数阶有限群G 的非平凡子群个数等于____________。

6. 剩余类环Z 6的子环S={[0],[3]},则S 的单位元是____________。

近世代数测试题答案

近世代数测试题答案

近世代数测试题(A)参考答案

一、填空题(每题3分,共30分):

一、二、 3、或,或, 或

4、五、或六、特点(或特点数) 7、没有

八、一个极大理想九、不含真子域 10、代数元

二、选择题(每题4分,共20分):

一、D 二、 D 3、B 4、D 五、D

三、证明题(每题5分,共50分):

一、证明:显然是非空集合上的代数运算.

, 那么有

即, 对此运算知足结合律.

又, 即是的左单位元; 又, 有且, 即是在中的左逆元. 因此,对此运算作成一个群.

二、证明: 第一易知,中的单位是.

第二, 假设, 那么必是环的不可约元.

事实上, 假设是的任一因子, 那么有, 使, 故或.但不可能, 故只有或.

当时,是可逆元; 当时, 与相伴. 因此, 只有一般因子, 即是不可约元.

故, 是的不可约元.但, 而且又不与中的任一个相伴, 即9不能惟一分解.

3、证明:1), 那么, 于是.

再任取, 由知,. 故.

2) 不成立.

因为, 例如, 但.事实上,

. 即是由8生成的主办想.

4、证明:方式(一):

因为,是满同态,故.令

.

下证是商群到的一个同构映射. 1) 是映射: 设, 那么.因是同态满射,故

.

从而, 即是商群到的一个映射. 2) 是满射: , 因是同态

满射, 故有使. 从而在之下有逆象, 即是满射. 3) 是单射: 设, 那么

.

因是满射, 故有使

,

其中是的单位元. 于是故. 从而, 即是单射.

又显然在之下有

,

故是商群到的一个同构映射. 因此.

方式(二):利用群同态大体定理

因为,是满同态,故.

设是群到商群的映射. 因为

(完整版)历年全国自考线性代数试题及答案

(完整版)历年全国自考线性代数试题及答案

浙02198# 线性代数试卷 第1页(共25页)

全国2010年7月高等教育自学考试

试卷说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵;A *表示A 的伴随矩阵;R (A )表示矩阵A 的秩;|A |表示A 的行列式;E 表示单位矩阵。

1.设3阶方阵A=[α1,α2,α3],其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量, 若|B |=|[α1+2α2,α2,α3]|=6,则|A |=( )A.-12 B.-6 C.6 D.12

2.计算行列式

=----3

23

2

020005

1020203

( )A.-180 B.-120C.120 D.180

3.设A =⎥

⎢⎣⎡4321,则|2A *|=( )A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1,α2,α3,α4都是3维向量,则必有 A. α1,α2,α3,α4线性无关 B. α1,α2,α3,α4线性相关 C. α1可由α2,α3,α4线性表示

D. α1不可由α2,α3,α4线性表示

5.若A 为6阶方阵,齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2,则R (A )=( )A .2 B 3C .4 D .5

6.设A 、B 为同阶矩阵,且R (A )=R (B ),则( )A .A 与B 相似

B .|A |=|B |

C .A 与B 等价

D .A 与B 合同

7.设A 为3阶方阵,其特征值分别为2,l ,0则|A +2E |=( )A .0 B .2C .3

D .24

8.若A 、B 相似,则下列说法错误..的是( )A .A 与B 等价 B .A 与 B 合同C .|A |=|B | D .A 与B 有相同特征 9.若向量α=(1,-2,1)与β= (2,3,t )正交,则t =( )A .-2 B .0C .2

近世代数经典题与答案

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1.设为整数加群, ,求

解在 Z中的陪集有:

, , ,

, , 所以, .

2、找出的所有子群。

解:S3显然有以下子群:本身;((1))={(1)};((12))

={(12),(1)};((13))={(13),(1)};((23))={(23),(1)};((123))={(123),(132),(1)}

若S3的一个子群H包含着两个循环置换,那么H含有(12),(13)这两个2-循环置换,那么H含有(12)(13)=(123),(123)(12)=(23),因而H=S3。同理,若是S3的一个子群含有两个循环置换(21),(23)或(31),(32)。这个子群也必然是S3。

用完全类似的方法,可以算出,若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换,那么这个子群也必然是S3。

7.试求高斯整环的单位。

解设 () 为的单位, 则存在 , 使得 , 于是

因为 , 所以 . 从而 , , 或 . 因此可能的单位只有

显然它们都是的单位. 所以恰有四个单位:

5.在中, 解下列线性方程组:

解: 即 , .

12. 试求的所有理想.

解设为的任意理想, 则为的子环,则 , , 且 .

对任意的 , , 有 ,

近世代数试题库

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近世代数

答案:

D 5、设A=R (实数域),B=R+(正实数域)f?:a - 10a??^A 则f

是从A 到B 的()

A 、单射

B 、满射

C 、一一映射

D 既非单射也非满射

答案:D

&有限群中的每一个元素的阶都()

一、单项选择题 1、若 A={1, 2, 3, 5}, B={2, 3, 6, 7},则 A c B =()

A {1 , 2, 3, 4}

B 、{2 , 3, 6, 7}

C 、{2 , 3}

D 、{1 , 2, 3, 5, 6, 7}

答案:C

2、循环群与交换群关系正确的是()

A 循环群是交换群

B 、交换群是循环群

C 、循环群不一定是交换群

D 以上都不对 答案:A

3、下列命题正确的是()

A n 次对换群S n 的阶为n!

B 整环一定是域

C 、交换环一定是域

D 以上都不对

答案:A I

4、关于陪集的命题中正确的是()设 H 是G 的子群,那么 对于 V aH'bH,有 aH cbH ,或aH =bH

B 、 以上都对

A、有限

B、无限

C 为零D

答案:A

答案:D

8、若S 是半群,则()

A 、任意 abc^S,都有 a(bc)=(ab)c

B 、任意 a,^ S,都有

ab=ba C 必有单位元D 任何元素必存在逆元

答案:A

9、在整环Z 中,6的真因子是()

A 、±1,±6

B 、±2, ±3

C ±1, ±2

D ±3, ±6

答案:B

10、偶数环的单位元个数为()

A 、0个

B 、1个

C 2个

D 无数个

答案:A

设A 1,A 2,…,A n 和D 都是非空集合,而f 是A^

A n 到D 的一个映射,那么()

近世代数一

近世代数一

一、单项选择题(每小题3分,共12分)

1.设A=R(实数集),B=R +(正实数集) υ:a →10a +1,∀a ∈A 则ϕ是从A 到B 的( )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射

2.剩余类加群Z 6中,元素[1]的阶是( )。 A.1 B.2 C.3 D.6

3.7阶循环群的生成元个数是( )。 A.1 B.2 C.6 D.7

4.设R=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛Z b a b 00a 、,

那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环,则这个矩阵环是( )。 A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环 二、填空题(每小题3分,共24分)

1.设集合A 含有m 个元,则A 的子集共有_____个.

2.每一个有限群都和一个_____群同构.

3.设a 、b 是群G 的两个元,则(ab)-2=_____.

4.在3次对称群S 3中与元(1 2 3)不可交换的元有_____个.

5.剩余类环Z m 是无零因子环的充要条件是_____.

6.设F 是域,则F [x ]与欧氏环的关系是_____.

7.设Q 为有理数域,S={2,3},则Q(S)=____.

8.42i 在Q 上的次数是_____.

三、(本题共3小题,第1小题14分,第2、3小题各10分,共34分) 1.设B 4={e 、a 、b 、ab}乘法表为

以上定义的群叫做Ktein 四元群(简称四元群) (i)找出B 4的所有子群.

(ii)找出与B 4同构的S 4(4次对称群)的子群. 2.设Z 是整数环,

《近世代数》作业参考答案

《近世代数》作业参考答案

《近世代数》作业参考答案

一.概念解释

1.代数运算:一个集合B A ⨯到集合D 的映射叫做一个B A ⨯到D 的代数运算。

2.群的第一定义:一个非空集合G 对乘法运算作成一个群,只要满足:

1)G 对乘法运算封闭;

2)结合律成立:)()(bc a bc a =对G 中任意三个元c b a ,,都成立。

3)对于G 的任意两个元b a ,来说,方程b ax =和b ya =都在G 中有解。

3.域的定义:一个交换除环叫做一个子域。

4.满射:若在集合A 到集合A 的映射Φ下,A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象,则称Φ为A 到A 的满射。

5.群的第二定义:设G 为非空集合,G 有代数运算叫乘法,若:(1)G 对乘法封闭;

(2)结合律成立;(3)单位元存在;(4)G 中任一元在G 中都有逆元,则称G 对乘法作成群。

6.理想:环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环,简称理想,假若:

(1)N b a N b a ∈-⇒∈,(2)N ar N ra N r N a ∈∈⇒∈∈,,

7.单射:一个集合A 到A 的映射,a a →Φ:,A a A a ∈∈,,叫做一个A 到A 的单射。 若:b a b a ≠⇒≠。

8. 换:一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。

9. 环:一个环R 若满足:(1)R 至少包含一个不等于零的元。

(2)R 有单位元。

(3)R 的每一个非零元有一个逆元,则称R 为除环。

10.一一映射:既是满射又是单射的映射,叫做一一映射。

11.群的指数:一个群G 的一个子群H 的右陪集(或左陪集)的个数,叫做群H 在G 里的指数。

近世代数(含答案)

近世代数(含答案)

近世代数

一、单项选择题

1、6阶有限群的任何一个子群一定不是( C )

。 A .2阶 B .3阶 C .4阶 D .6阶

2、设G 是群,G 有( C )个元素,则不能肯定G 是交换群。

A .4个

B .5个

C .6个

D .7个

3、下面的代数系统(,*)G 中,( D )不是群。

A .G 为整数集合,*为加法

B .G 为偶数集合,*为加法

C .G 为有理数集合,*为加法

D .G 为有理数集合,*为乘法

4、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( C )是子群。

A .{}a

B .{},a e

C .{}3,e a

D .{}3,,e a a

5、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( B )

A .*a b a b =−

B .{}*max ,a b a b =

C .*2a b a b =+

D .a b a b +=−

二、填空题

1、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于( 25 )

。 2、一个有单位元的无零因子的( 交换环 )称为整环。

3、群的单位元是( 唯一 )的,每个元素的逆元素是( 唯一 )的。

4、一个子群H 的右、左陪集的个数( 相等 )。

5、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的( 特征 )。

6、设群G 中元素a 的阶为m ,如果n

a e =,那么m 与n 存在整除关系为( |m n )

。 7、如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则1[()]f f a −=( a )。

8、循环群的子群是( 循环群 )。 9、若{}2,5A =,

近世代数10套试题

近世代数10套试题

《近世代数》试卷1(时间120分钟)

二、判断题(对打“√”,错打“×”,每小题2分,共20分)

1. ()循环群的子群是循环子群。

2. ()满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

3. ()存在一个4阶的非交换群。

4. ()素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。

5. ()无零因子环的特征不可能是2001。

6. ()无零因子环的同态象无零因子。

7. ()模97的剩余类环Z97是域。

8. ()在一个环中,若左消去律成立,则消去律成立。

9. ()域是唯一分解整环。

10. ()整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

一、填空题(共20分,第1、4、6小题各4分,其余每空2分)

1. 设A、B是集合,| A |=3,| B |=2,则共可定义个从A到B的映射,其中

有个单射,有个满射,有个双射。

2. 设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为,子群H=< a3>的在G中的指数是。

3. 设G=< a>是10阶循环群,则G的非平凡子群的个数是。

4. 在模12的剩余环R={[0], [1], ……, [11]}中,[5]+[10]=,[5]·[10]=,方程x2=[1]的所有根为。

5. 环Z6的全部零因子是。

6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环,因为它的元素α=在Z[√-3 ]中有两种本

(共30分)

1.设S3是3次对称群,a=(123)∈S3.

(1)写出H=< a>的所有元素.

(2)计算H的所有左陪集和所有右陪集.

(3)判断H是否是S3的不变子群,并说明理由.

2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

近世代数10套试题

近世代数10套试题

《近世代数》试卷1(时间120分钟)

二、判断题(对打“√”,错打“×”,每小题2分,共20分)

1. ()循环群的子群是循环子群。

2. ()满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

3. ()存在一个4阶的非交换群。

4. ()素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。

5. ()无零因子环的特征不可能是2001。

6. ()无零因子环的同态象无零因子。

7. ()模97的剩余类环Z97是域。

8. ()在一个环中,若左消去律成立,则消去律成立。

9. ()域是唯一分解整环。

10. ()整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

一、填空题(共20分,第1、4、6小题各4分,其余每空2分)

1. 设A、B是集合,| A |=3,| B |=2,则共可定义个从A到B的映射,其中

有个单射,有个满射,有个双射。

2. 设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为,子群H=< a3>的在G中的指数是。

3. 设G=< a>是10阶循环群,则G的非平凡子群的个数是。

4. 在模12的剩余环R={[0], [1], ……, [11]}中,[5]+[10]=,[5]·[10]=,方程x2=[1]的所有根为。

5. 环Z6的全部零因子是。

6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环,因为它的元素α=在Z[√-3 ]中有两种本

(共30分)

1.设S3是3次对称群,a=(123)∈S3.

(1)写出H=< a>的所有元素.

(2)计算H的所有左陪集和所有右陪集.

(3)判断H是否是S3的不变子群,并说明理由.

近世代数习题与答案

近世代数习题与答案

近世代数习题与答案

一、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分) 一、 (从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是()。

(A) {1,-1,i ,-i } (B) {1,-1} (C) {1,-1,i }

2、设H 是群G的子群,a ,b ∈G,则aH = bH 的充要条件是()。

(A) a -1b -1∈H (B) a -1b ∈H (C) ab -

1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中,Z 6 的极大理想是( )。

(A) (2),(3) (B) (2) (C)(3)

4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。

(A) 6 (B) 3 (C) 2

5、下列不成立的命题是( )。

(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环

二、填空题(本题共5空,每空3分,共15分)(请将正确答案填入空格内) 1、R 为整环,a ,b ∈R ,b |a ,则(b )(a )。

2、F 是域,则[](())F x f x 是域当且仅当。

3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中,规定等价关系~:

A ~

B ?秩(A )=秩(B ),则这个等价关系决定的等价类有________个。

4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。

5、12的剩余类环Z 12的可逆元是。

三、判断题(本题共5小题,每小题2分,共10分)(请在你认为正确的题后括号内打“√”,错误的打“×”) 1、设G 是群,?≠H ,若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ,则H≤G .. ()

近世代数习题与答案

近世代数习题与答案

一、 选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分) (从下列备选答案中选择正确答案)

1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是( )。

(A) {1,-1,i ,-i } (B) {1,-1} (C) {1,-1,i }

2、设H 是群G的子群,a ,b ∈G,则aH = bH 的充要条件是( )。

(A) a -1b -1∈H (B) a -1b ∈H (C) ab -

1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中,Z 6 的极大理想是( )。

(A) (2),(3) (B) (2) (C)(3)

4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。

(A) 6 (B) 3 (C) 2

5、下列不成立的命题是( )。

(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环

二、填空题(本题共5空,每空3分,共15分)

(请将正确答案填入空格内)

1、R 为整环,a ,b ∈R ,b |a ,则(b ) (a )。

2、F 是域,则[](())F x f x 是域当且仅当 。

3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中,规定等价关系~:

A ~

B ⇔秩(A )=秩(B ),则这个等价关系决定的等价类有________个。

4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。

5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。

三、判断题(本题共5小题,每小题2分,共10分) (请在你认为正确的题后括号内打“√”,错误的打“×”)

1、设G 是群,∅≠H ,若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ,则H≤G .. ( )

《近世代数》练习题及答案.doc

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《近世代数》练习题及答案

1. B u A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现?

解只有在A=B时才能出现。证明如下:

当A=B时,即有BA, A(Z B,若有' a e A而a £ B ,显然矛盾;

若BuA,但B不是A的真子集,可知凡属于A的兀素不可能不属于B,故A=B

2.A=(1, 2, 3, .... , 100},找一个AXA 到 A 的映射。

S(a"2)= 1

易证。102都是AXA到A的映射。

3.在你为习题1所找的映射下,是不是A的每一个元都是AXA的一个元的象?

解在0]下,有' A的元不是AX A的任何元的象;

容易验证在啊下,A的每个元都是AXA的一个元的象。

4.A={所有实数}。

O (a, b) Ta+b=aOb

这个代数运算适合不适合结合律?

解这个代数运算不适合结合律。

(aOb) Oc=a+2b+2c, aO (bOc) =a+2b+4c

(aOb) Oc#aO (bOc)除c=0

5.假定巾是A与A间的一个---- 映射,a是A的一个元。

厂[0(a)] = ?,如尸(«)] = ?

解厂渺(a)] = a0[户(a)]未必有意义;

当巾是A的一个一一变换时

(/)-' [©(a)] =。0[厂(a)] = a.

6.假定A和,对于代数运算。和:来说同态,云和云对于代数运算:和;来说同态, 证明A和云对于代数运算。和;来说同态。

、〒S '• a — a表示A到屈勺同态满射

iiE /Il —— ». _—,

©2 :。t。表示A SU A的同态满射

容易验证。是A到葡满射

a。b T ONMa。b)l =(/)2(a。b) = a。b

代数学引论(近世代数)答案

代数学引论(近世代数)答案

代数学引论(近世代数)答案

第⼀章代数基本概念

习题解答与提⽰(P54)

1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.

证明:

对任意a,b G,由结合律我们可得到

(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b

再由已知条件以及消去律得到

ba=ab,

由此可见群G为交换群.

2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.

证明: [⽅法1]

对任意a,b G,

ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)

=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab

因此G为交换群.

[⽅法2]

对任意a,b G,

a2b2=e=(ab)2,

由上⼀题的结论可知G为交换群.

3.设G是⼀⾮空的有限集合,其中定义了⼀个乘法ab,适合条件:

(1)a(bc)=(ab)c;

(2)由ab=ac推出a=c;

(3)由ac=bc推出a=b;

证明G在该乘法下成⼀群.

证明:[⽅法1]

设G={a1,a2,…,a n},k是1,2,…,n中某⼀个数字,由(2)可知若i j(I,j=1,2,…,n),有a k a i a k a j------------<1>

a i a k a j a k------------<2>

再由乘法的封闭性可知

G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n}------------<3>

G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k}------------<4>

全国高等教育自学考试模拟试题《线性代数》(共五套)

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全国高等教育自学考试模拟试题《线性代数》(共五套)

全国高等教育自学考试

线性代数试题课程代码:02198

说明:本卷中,A T 表示矩阵A 转置,det(A )表示方阵A 的行列式,A -1表示方阵A 的逆矩阵,(α,β)表示向量α,β的内积,E 表示单位矩阵.

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A 是4阶方阵,且det(A )=4,则det(4A )=( ) A .44 B .45 C .46

D .47

2.已知A 2+A +E =0,则矩阵A -1=( ) A .A +E B .A -E C .-A -E

D .-A +

E 3.设矩阵A ,B ,C ,X 为同阶方阵,且A ,B 可逆,AXB =C ,则矩阵X =( ) A .A -1CB -1 B .CA -1B -1 C .B -1A -1C

D .CB -1A -1

4.设A 是s×n 矩阵(s ≠n),则以下关于矩阵A 的叙述正确的是( ) A .A T A 是s×s 对称矩阵 B .A T A =AA T

C .(A T A )T =AA T

D .AA T 是s×s 对称矩阵

5.设α1,α2,α3,α4,α5是四维向量,则( ) A .αl ,α2,α3,α4,α5一定线性无关 B .αl ,α2,α3,α4,α5一定线性相关C .α5一定可以由α1,α2,α3,α4线性表出D .α1一定可以由α2,α3,α4,α5线性表出

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浙江省2006年1月高等教育自学考试

近世代数试题

课程代码:10025

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有()个元素。

A.2

B.5

C.7

D.10

2.设A=B=R(实数集),如果A到B的映射

ϕ:x→x+2,∀x∈R,

则ϕ是从A到B的()

A.满射而非单射

B.单射而非满射

C.一一映射

D.既非单射也非满射

3.设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有()

A.(1),(123),(132)

B.(12),(13),(23)

C.(1),(123)

D.S3中的所有元素

4.设Z15是以15为模的剩余类加群,那么,Z15的子群共有()个。

A.2

B.4

C.6

D.8

5.下列集合关于所给的运算不作成环的是()

A.整系数多项式全体Z[x]关于多项式的加法与乘法

B.有理数域Q上的n级矩阵全体M n(Q)关于矩阵的加法与乘法

C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”:∀m,n∈Z,m n=0

D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”:∀m,n∈Z,m n=1

二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设“~”是集合A的一个关系,如果“~”满足___________,则称“~”是A的一个等价关系。

1

7.设(G,·)是一个群,那么,对于∀a,b∈G,则ab∈G也是G中的可逆元,而且(ab)-1=___________。

8.设σ=(23)(35),τ=(1243)(235)∈S5,那么στ=___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。

9.如果G是一个含有15个元素的群,那么,根据Lagrange定理知,对于∀a∈G,则元素a 的阶只可能是___________。

10.在3次对称群S3中,设H={(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群,则商群G/H中的元素(12)H=___________。

11.设Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}是以6为模的剩余类环,则Z6中的所有零因子是___________。

12.设R是一个无零因子的环,其特征n是一个有限数,那么,n是___________。

13.设Z[x]是整系数多项式环,(x)是由多项式x生成的主理想,则(x)=_____________ ___________。

14.设高斯整数环Z[i]={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,则Z[i]中的所有单位是___________ ___________。

15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)

16.设Z为整数加群,Z m为以m为模的剩余类加群,ϕ是Z到Z m的一个映射,其中

ϕ:k→[k],∀k∈Z,

验证:ϕ是Z到Z m的一个同态满射,并求ϕ的同态核Kerϕ。

17.求以6为模的剩余类环Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}的所有子环,并说明这些子环都是Z6的理想。

18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系,并举例说明唯一分解环未必是主理想环。

四、证明题(本大题共3小题,第19、20小题各10分,第21小题5分,共25

分)

19.设G={a,b,c},G的代数运算“ ”

由右边的运算表给出,证明:(G, )

作成一个群。

2

3

20.设

,Z c ,a 0c 0a I ,Z d ,c ,b ,a d c b a

R ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫

⎝⎛= 已知R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明:I 是R 的一个子环,但不是理想。 21.设(R ,+,·)是一个环,如果(R ,+)是一个循环群,证明:R 是一个交换环。

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