2006年1月浙江省自考试题近世代数
近世代数题库
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群
一、填空题
1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.
2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.
3. 群G 的元素a 的阶是m ,b 的阶是n ,ba ab =,则≤ab ,如果),(m n = 1,则=ab
_____.
4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞,则<a >与________________同构;若|a |=n ,则<a >与
______________同构.
5. 设σ=(14)(235),τ=(153)(24),则|σ| = ____,στσ1- =______.
6. 设群G 的阶为m ,G a ∈,则=m a .
7. 设“~”是集合A 的一个关系,如果“~”满足_________________,则称“~”是A 的元素
间的一个等价关系.
8. 设σ=(23)(35),τ=(1243)(235)∈S 5,那么στ=___________(表示成若干个没有公共数
字的循环置换之积), τ是 (奇、偶)置换.
9. 设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为 .
10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .
11. 设G 为群,若对于任意的元G b a ∈,,都有ba ab =,则称群G 为 群.
1月浙江自考试题及答案解析近世代数
1
浙江省2018年1月高等教育自学考试
近世代数试题
课程代码:10025
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的序号
填在题干的括号内。每小题3分,共15分)
1. 设集合A 含有n 个元素,那么A 的子集共有多少个?( )
A. n!
B. n 2
C. 2n
D. 2
1)n(n + 2. 下列法则,哪个是集A 的代数运算( )。 A. A=N a οb=a-b B. A=Z a οb=
2ab C. A=Q a οb=b
a D. A=R a οb=a+π 3. 设
则S 关于所给代数运算作成的代数体系中的可逆元素为( )。
A. a 与b
B. b 与c
C. c 与d
D. d 与a
4. 以下命题中,正确的是( )。
A. 任意一个环R ,必含有单位元
B. 环R 中至多有一个单位元
C. 环R 有单位元,则它的子环也有单位元
D. 一个环与其子环都有单位元,则两个单位元一定相同
5. p(素数)阶有限群的子群个数为( )。
A. 0
B. 1
C. 2
D. p
二、填空题(每空3分,共27分)
1. 设A={a,b,c,d},则A 到A 的一一映射共有____________个。
2. 设G 是6阶循环群,则G 的生成元有____________个。
3. 非零复数乘群C*中由-i 生成的子群是____________。
4. 剩余类环Z 7的零因子个数等于____________。
5. 素数阶有限群G 的非平凡子群个数等于____________。
6. 剩余类环Z 6的子环S={[0],[3]},则S 的单位元是____________。
近世代数测试题答案
近世代数测试题(A)参考答案
一、填空题(每题3分,共30分):
一、二、 3、或,或, 或
4、五、或六、特点(或特点数) 7、没有
八、一个极大理想九、不含真子域 10、代数元
二、选择题(每题4分,共20分):
一、D 二、 D 3、B 4、D 五、D
三、证明题(每题5分,共50分):
一、证明:显然是非空集合上的代数运算.
, 那么有
即, 对此运算知足结合律.
又, 即是的左单位元; 又, 有且, 即是在中的左逆元. 因此,对此运算作成一个群.
二、证明: 第一易知,中的单位是.
第二, 假设, 那么必是环的不可约元.
事实上, 假设是的任一因子, 那么有, 使, 故或.但不可能, 故只有或.
当时,是可逆元; 当时, 与相伴. 因此, 只有一般因子, 即是不可约元.
故, 是的不可约元.但, 而且又不与中的任一个相伴, 即9不能惟一分解.
3、证明:1), 那么, 于是.
再任取, 由知,. 故.
2) 不成立.
因为, 例如, 但.事实上,
. 即是由8生成的主办想.
4、证明:方式(一):
因为,是满同态,故.令
.
下证是商群到的一个同构映射. 1) 是映射: 设, 那么.因是同态满射,故
.
从而, 即是商群到的一个映射. 2) 是满射: , 因是同态
满射, 故有使. 从而在之下有逆象, 即是满射. 3) 是单射: 设, 那么
.
因是满射, 故有使
,
其中是的单位元. 于是故. 从而, 即是单射.
又显然在之下有
,
故是商群到的一个同构映射. 因此.
方式(二):利用群同态大体定理
因为,是满同态,故.
设是群到商群的映射. 因为
(完整版)历年全国自考线性代数试题及答案
浙02198# 线性代数试卷 第1页(共25页)
全国2010年7月高等教育自学考试
试卷说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵;A *表示A 的伴随矩阵;R (A )表示矩阵A 的秩;|A |表示A 的行列式;E 表示单位矩阵。
1.设3阶方阵A=[α1,α2,α3],其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量, 若|B |=|[α1+2α2,α2,α3]|=6,则|A |=( )A.-12 B.-6 C.6 D.12
2.计算行列式
=----3
23
2
020005
1020203
( )A.-180 B.-120C.120 D.180
3.设A =⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡4321,则|2A *|=( )A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1,α2,α3,α4都是3维向量,则必有 A. α1,α2,α3,α4线性无关 B. α1,α2,α3,α4线性相关 C. α1可由α2,α3,α4线性表示
D. α1不可由α2,α3,α4线性表示
5.若A 为6阶方阵,齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2,则R (A )=( )A .2 B 3C .4 D .5
6.设A 、B 为同阶矩阵,且R (A )=R (B ),则( )A .A 与B 相似
B .|A |=|B |
C .A 与B 等价
D .A 与B 合同
7.设A 为3阶方阵,其特征值分别为2,l ,0则|A +2E |=( )A .0 B .2C .3
D .24
8.若A 、B 相似,则下列说法错误..的是( )A .A 与B 等价 B .A 与 B 合同C .|A |=|B | D .A 与B 有相同特征 9.若向量α=(1,-2,1)与β= (2,3,t )正交,则t =( )A .-2 B .0C .2
近世代数经典题与答案
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1.设为整数加群, ,求
解在 Z中的陪集有:
, , ,
, , 所以, .
2、找出的所有子群。
解:S3显然有以下子群:本身;((1))={(1)};((12))
={(12),(1)};((13))={(13),(1)};((23))={(23),(1)};((123))={(123),(132),(1)}
若S3的一个子群H包含着两个循环置换,那么H含有(12),(13)这两个2-循环置换,那么H含有(12)(13)=(123),(123)(12)=(23),因而H=S3。同理,若是S3的一个子群含有两个循环置换(21),(23)或(31),(32)。这个子群也必然是S3。
用完全类似的方法,可以算出,若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换,那么这个子群也必然是S3。
7.试求高斯整环的单位。
解设 () 为的单位, 则存在 , 使得 , 于是
因为 , 所以 . 从而 , , 或 . 因此可能的单位只有
显然它们都是的单位. 所以恰有四个单位:
5.在中, 解下列线性方程组:
解: 即 , .
12. 试求的所有理想.
解设为的任意理想, 则为的子环,则 , , 且 .
对任意的 , , 有 ,
近世代数试题库
近世代数
答案:
D 5、设A=R (实数域),B=R+(正实数域)f?:a - 10a??^A 则f
是从A 到B 的()
A 、单射
B 、满射
C 、一一映射
D 既非单射也非满射
答案:D
&有限群中的每一个元素的阶都()
一、单项选择题 1、若 A={1, 2, 3, 5}, B={2, 3, 6, 7},则 A c B =()
A {1 , 2, 3, 4}
B 、{2 , 3, 6, 7}
C 、{2 , 3}
D 、{1 , 2, 3, 5, 6, 7}
答案:C
2、循环群与交换群关系正确的是()
A 循环群是交换群
B 、交换群是循环群
C 、循环群不一定是交换群
D 以上都不对 答案:A
3、下列命题正确的是()
A n 次对换群S n 的阶为n!
B 整环一定是域
C 、交换环一定是域
D 以上都不对
答案:A I
4、关于陪集的命题中正确的是()设 H 是G 的子群,那么 对于 V aH'bH,有 aH cbH ,或aH =bH
B 、 以上都对
A、有限
B、无限
C 为零D
答案:A
答案:D
8、若S 是半群,则()
A 、任意 abc^S,都有 a(bc)=(ab)c
B 、任意 a,^ S,都有
ab=ba C 必有单位元D 任何元素必存在逆元
答案:A
9、在整环Z 中,6的真因子是()
A 、±1,±6
B 、±2, ±3
C ±1, ±2
D ±3, ±6
答案:B
10、偶数环的单位元个数为()
A 、0个
B 、1个
C 2个
D 无数个
答案:A
设A 1,A 2,…,A n 和D 都是非空集合,而f 是A^
A n 到D 的一个映射,那么()
近世代数一
一、单项选择题(每小题3分,共12分)
1.设A=R(实数集),B=R +(正实数集) υ:a →10a +1,∀a ∈A 则ϕ是从A 到B 的( )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射
2.剩余类加群Z 6中,元素[1]的阶是( )。 A.1 B.2 C.3 D.6
3.7阶循环群的生成元个数是( )。 A.1 B.2 C.6 D.7
4.设R=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛Z b a b 00a 、,
那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环,则这个矩阵环是( )。 A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环 二、填空题(每小题3分,共24分)
1.设集合A 含有m 个元,则A 的子集共有_____个.
2.每一个有限群都和一个_____群同构.
3.设a 、b 是群G 的两个元,则(ab)-2=_____.
4.在3次对称群S 3中与元(1 2 3)不可交换的元有_____个.
5.剩余类环Z m 是无零因子环的充要条件是_____.
6.设F 是域,则F [x ]与欧氏环的关系是_____.
7.设Q 为有理数域,S={2,3},则Q(S)=____.
8.42i 在Q 上的次数是_____.
三、(本题共3小题,第1小题14分,第2、3小题各10分,共34分) 1.设B 4={e 、a 、b 、ab}乘法表为
以上定义的群叫做Ktein 四元群(简称四元群) (i)找出B 4的所有子群.
(ii)找出与B 4同构的S 4(4次对称群)的子群. 2.设Z 是整数环,
《近世代数》作业参考答案
《近世代数》作业参考答案
一.概念解释
1.代数运算:一个集合B A ⨯到集合D 的映射叫做一个B A ⨯到D 的代数运算。
2.群的第一定义:一个非空集合G 对乘法运算作成一个群,只要满足:
1)G 对乘法运算封闭;
2)结合律成立:)()(bc a bc a =对G 中任意三个元c b a ,,都成立。
3)对于G 的任意两个元b a ,来说,方程b ax =和b ya =都在G 中有解。
3.域的定义:一个交换除环叫做一个子域。
4.满射:若在集合A 到集合A 的映射Φ下,A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象,则称Φ为A 到A 的满射。
5.群的第二定义:设G 为非空集合,G 有代数运算叫乘法,若:(1)G 对乘法封闭;
(2)结合律成立;(3)单位元存在;(4)G 中任一元在G 中都有逆元,则称G 对乘法作成群。
6.理想:环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环,简称理想,假若:
(1)N b a N b a ∈-⇒∈,(2)N ar N ra N r N a ∈∈⇒∈∈,,
7.单射:一个集合A 到A 的映射,a a →Φ:,A a A a ∈∈,,叫做一个A 到A 的单射。 若:b a b a ≠⇒≠。
8. 换:一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。
9. 环:一个环R 若满足:(1)R 至少包含一个不等于零的元。
(2)R 有单位元。
(3)R 的每一个非零元有一个逆元,则称R 为除环。
10.一一映射:既是满射又是单射的映射,叫做一一映射。
11.群的指数:一个群G 的一个子群H 的右陪集(或左陪集)的个数,叫做群H 在G 里的指数。
近世代数(含答案)
近世代数
一、单项选择题
1、6阶有限群的任何一个子群一定不是( C )
。 A .2阶 B .3阶 C .4阶 D .6阶
2、设G 是群,G 有( C )个元素,则不能肯定G 是交换群。
A .4个
B .5个
C .6个
D .7个
3、下面的代数系统(,*)G 中,( D )不是群。
A .G 为整数集合,*为加法
B .G 为偶数集合,*为加法
C .G 为有理数集合,*为加法
D .G 为有理数集合,*为乘法
4、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( C )是子群。
A .{}a
B .{},a e
C .{}3,e a
D .{}3,,e a a
5、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( B )
A .*a b a b =−
B .{}*max ,a b a b =
C .*2a b a b =+
D .a b a b +=−
二、填空题
1、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于( 25 )
。 2、一个有单位元的无零因子的( 交换环 )称为整环。
3、群的单位元是( 唯一 )的,每个元素的逆元素是( 唯一 )的。
4、一个子群H 的右、左陪集的个数( 相等 )。
5、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的( 特征 )。
6、设群G 中元素a 的阶为m ,如果n
a e =,那么m 与n 存在整除关系为( |m n )
。 7、如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则1[()]f f a −=( a )。
8、循环群的子群是( 循环群 )。 9、若{}2,5A =,
近世代数10套试题
《近世代数》试卷1(时间120分钟)
二、判断题(对打“√”,错打“×”,每小题2分,共20分)
1. ()循环群的子群是循环子群。
2. ()满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. ()存在一个4阶的非交换群。
4. ()素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. ()无零因子环的特征不可能是2001。
6. ()无零因子环的同态象无零因子。
7. ()模97的剩余类环Z97是域。
8. ()在一个环中,若左消去律成立,则消去律成立。
9. ()域是唯一分解整环。
10. ()整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题(共20分,第1、4、6小题各4分,其余每空2分)
1. 设A、B是集合,| A |=3,| B |=2,则共可定义个从A到B的映射,其中
有个单射,有个满射,有个双射。
2. 设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为,子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G=< a>是10阶循环群,则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R={[0], [1], ……, [11]}中,[5]+[10]=,[5]·[10]=,方程x2=[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环,因为它的元素α=在Z[√-3 ]中有两种本
。
(共30分)
1.设S3是3次对称群,a=(123)∈S3.
(1)写出H=< a>的所有元素.
(2)计算H的所有左陪集和所有右陪集.
(3)判断H是否是S3的不变子群,并说明理由.
2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
近世代数10套试题
《近世代数》试卷1(时间120分钟)
二、判断题(对打“√”,错打“×”,每小题2分,共20分)
1. ()循环群的子群是循环子群。
2. ()满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. ()存在一个4阶的非交换群。
4. ()素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. ()无零因子环的特征不可能是2001。
6. ()无零因子环的同态象无零因子。
7. ()模97的剩余类环Z97是域。
8. ()在一个环中,若左消去律成立,则消去律成立。
9. ()域是唯一分解整环。
10. ()整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题(共20分,第1、4、6小题各4分,其余每空2分)
1. 设A、B是集合,| A |=3,| B |=2,则共可定义个从A到B的映射,其中
有个单射,有个满射,有个双射。
2. 设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为,子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G=< a>是10阶循环群,则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R={[0], [1], ……, [11]}中,[5]+[10]=,[5]·[10]=,方程x2=[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环,因为它的元素α=在Z[√-3 ]中有两种本
。
(共30分)
1.设S3是3次对称群,a=(123)∈S3.
(1)写出H=< a>的所有元素.
(2)计算H的所有左陪集和所有右陪集.
(3)判断H是否是S3的不变子群,并说明理由.
近世代数习题与答案
近世代数习题与答案
一、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分) 一、 (从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是()。
(A) {1,-1,i ,-i } (B) {1,-1} (C) {1,-1,i }
2、设H 是群G的子群,a ,b ∈G,则aH = bH 的充要条件是()。
(A) a -1b -1∈H (B) a -1b ∈H (C) ab -
1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中,Z 6 的极大理想是( )。
(A) (2),(3) (B) (2) (C)(3)
4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。
(A) 6 (B) 3 (C) 2
5、下列不成立的命题是( )。
(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环
二、填空题(本题共5空,每空3分,共15分)(请将正确答案填入空格内) 1、R 为整环,a ,b ∈R ,b |a ,则(b )(a )。
2、F 是域,则[](())F x f x 是域当且仅当。
3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中,规定等价关系~:
A ~
B ?秩(A )=秩(B ),则这个等价关系决定的等价类有________个。
4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。
5、12的剩余类环Z 12的可逆元是。
三、判断题(本题共5小题,每小题2分,共10分)(请在你认为正确的题后括号内打“√”,错误的打“×”) 1、设G 是群,?≠H ,若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ,则H≤G .. ()
近世代数习题与答案
一、 选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分) (从下列备选答案中选择正确答案)
1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是( )。
(A) {1,-1,i ,-i } (B) {1,-1} (C) {1,-1,i }
2、设H 是群G的子群,a ,b ∈G,则aH = bH 的充要条件是( )。
(A) a -1b -1∈H (B) a -1b ∈H (C) ab -
1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中,Z 6 的极大理想是( )。
(A) (2),(3) (B) (2) (C)(3)
4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。
(A) 6 (B) 3 (C) 2
5、下列不成立的命题是( )。
(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环
二、填空题(本题共5空,每空3分,共15分)
(请将正确答案填入空格内)
1、R 为整环,a ,b ∈R ,b |a ,则(b ) (a )。
2、F 是域,则[](())F x f x 是域当且仅当 。
3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中,规定等价关系~:
A ~
B ⇔秩(A )=秩(B ),则这个等价关系决定的等价类有________个。
4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。
5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。
三、判断题(本题共5小题,每小题2分,共10分) (请在你认为正确的题后括号内打“√”,错误的打“×”)
1、设G 是群,∅≠H ,若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ,则H≤G .. ( )
《近世代数》练习题及答案.doc
《近世代数》练习题及答案
1. B u A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现?
解只有在A=B时才能出现。证明如下:
当A=B时,即有BA, A(Z B,若有' a e A而a £ B ,显然矛盾;
若BuA,但B不是A的真子集,可知凡属于A的兀素不可能不属于B,故A=B
2.A=(1, 2, 3, .... , 100},找一个AXA 到 A 的映射。
解
S(a"2)= 1
易证。102都是AXA到A的映射。
3.在你为习题1所找的映射下,是不是A的每一个元都是AXA的一个元的象?
解在0]下,有' A的元不是AX A的任何元的象;
容易验证在啊下,A的每个元都是AXA的一个元的象。
4.A={所有实数}。
O (a, b) Ta+b=aOb
这个代数运算适合不适合结合律?
解这个代数运算不适合结合律。
(aOb) Oc=a+2b+2c, aO (bOc) =a+2b+4c
(aOb) Oc#aO (bOc)除c=0
5.假定巾是A与A间的一个---- 映射,a是A的一个元。
厂[0(a)] = ?,如尸(«)] = ?
解厂渺(a)] = a0[户(a)]未必有意义;
当巾是A的一个一一变换时
(/)-' [©(a)] =。0[厂(a)] = a.
6.假定A和,对于代数运算。和:来说同态,云和云对于代数运算:和;来说同态, 证明A和云对于代数运算。和;来说同态。
、〒S '• a — a表示A到屈勺同态满射
iiE /Il —— ». _—,
©2 :。t。表示A SU A的同态满射
容易验证。是A到葡满射
a。b T ONMa。b)l =(/)2(a。b) = a。b
代数学引论(近世代数)答案
代数学引论(近世代数)答案
第⼀章代数基本概念
习题解答与提⽰(P54)
1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.
证明:
对任意a,b G,由结合律我们可得到
(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b
再由已知条件以及消去律得到
ba=ab,
由此可见群G为交换群.
2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.
证明: [⽅法1]
对任意a,b G,
ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)
=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab
因此G为交换群.
[⽅法2]
对任意a,b G,
a2b2=e=(ab)2,
由上⼀题的结论可知G为交换群.
3.设G是⼀⾮空的有限集合,其中定义了⼀个乘法ab,适合条件:
(1)a(bc)=(ab)c;
(2)由ab=ac推出a=c;
(3)由ac=bc推出a=b;
证明G在该乘法下成⼀群.
证明:[⽅法1]
设G={a1,a2,…,a n},k是1,2,…,n中某⼀个数字,由(2)可知若i j(I,j=1,2,…,n),有a k a i a k a j------------<1>
a i a k a j a k------------<2>
再由乘法的封闭性可知
G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n}------------<3>
G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k}------------<4>
全国高等教育自学考试模拟试题《线性代数》(共五套)
全国高等教育自学考试模拟试题《线性代数》(共五套)
全国高等教育自学考试
线性代数试题课程代码:02198
说明:本卷中,A T 表示矩阵A 转置,det(A )表示方阵A 的行列式,A -1表示方阵A 的逆矩阵,(α,β)表示向量α,β的内积,E 表示单位矩阵.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设A 是4阶方阵,且det(A )=4,则det(4A )=( ) A .44 B .45 C .46
D .47
2.已知A 2+A +E =0,则矩阵A -1=( ) A .A +E B .A -E C .-A -E
D .-A +
E 3.设矩阵A ,B ,C ,X 为同阶方阵,且A ,B 可逆,AXB =C ,则矩阵X =( ) A .A -1CB -1 B .CA -1B -1 C .B -1A -1C
D .CB -1A -1
4.设A 是s×n 矩阵(s ≠n),则以下关于矩阵A 的叙述正确的是( ) A .A T A 是s×s 对称矩阵 B .A T A =AA T
C .(A T A )T =AA T
D .AA T 是s×s 对称矩阵
5.设α1,α2,α3,α4,α5是四维向量,则( ) A .αl ,α2,α3,α4,α5一定线性无关 B .αl ,α2,α3,α4,α5一定线性相关C .α5一定可以由α1,α2,α3,α4线性表出D .α1一定可以由α2,α3,α4,α5线性表出
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浙江省2006年1月高等教育自学考试
近世代数试题
课程代码:10025
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有()个元素。
A.2
B.5
C.7
D.10
2.设A=B=R(实数集),如果A到B的映射
ϕ:x→x+2,∀x∈R,
则ϕ是从A到B的()
A.满射而非单射
B.单射而非满射
C.一一映射
D.既非单射也非满射
3.设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有()
A.(1),(123),(132)
B.(12),(13),(23)
C.(1),(123)
D.S3中的所有元素
4.设Z15是以15为模的剩余类加群,那么,Z15的子群共有()个。
A.2
B.4
C.6
D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是()
A.整系数多项式全体Z[x]关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体M n(Q)关于矩阵的加法与乘法
C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”:∀m,n∈Z,m n=0
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”:∀m,n∈Z,m n=1
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设“~”是集合A的一个关系,如果“~”满足___________,则称“~”是A的一个等价关系。
1
7.设(G,·)是一个群,那么,对于∀a,b∈G,则ab∈G也是G中的可逆元,而且(ab)-1=___________。
8.设σ=(23)(35),τ=(1243)(235)∈S5,那么στ=___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
9.如果G是一个含有15个元素的群,那么,根据Lagrange定理知,对于∀a∈G,则元素a 的阶只可能是___________。
10.在3次对称群S3中,设H={(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群,则商群G/H中的元素(12)H=___________。
11.设Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}是以6为模的剩余类环,则Z6中的所有零因子是___________。
12.设R是一个无零因子的环,其特征n是一个有限数,那么,n是___________。
13.设Z[x]是整系数多项式环,(x)是由多项式x生成的主理想,则(x)=_____________ ___________。
14.设高斯整数环Z[i]={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,则Z[i]中的所有单位是___________ ___________。
15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
16.设Z为整数加群,Z m为以m为模的剩余类加群,ϕ是Z到Z m的一个映射,其中
ϕ:k→[k],∀k∈Z,
验证:ϕ是Z到Z m的一个同态满射,并求ϕ的同态核Kerϕ。
17.求以6为模的剩余类环Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}的所有子环,并说明这些子环都是Z6的理想。
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系,并举例说明唯一分解环未必是主理想环。
四、证明题(本大题共3小题,第19、20小题各10分,第21小题5分,共25
分)
19.设G={a,b,c},G的代数运算“ ”
由右边的运算表给出,证明:(G, )
作成一个群。
2
3
20.设
,Z c ,a 0c 0a I ,Z d ,c ,b ,a d c b a
R ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫
⎝⎛= 已知R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明:I 是R 的一个子环,但不是理想。 21.设(R ,+,·)是一个环,如果(R ,+)是一个循环群,证明:R 是一个交换环。