最新直线与方程知识点及典型例题
直线与方程知识点与练习试题
直线与方程【知识点一：直线的方程】 （1）直线方程的几种形式（2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，1212122(,)2x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为 【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.【知识点三 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=两条直线的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。
①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离d =一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．直线的倾斜角越大，其斜率越大．( )2．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，不适用于垂直于x 轴和平行于x 轴的直线．( )3．当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．( )4．过点P (x 1，y 1)的直线方程一定可设为y －y 1＝k (x －x 1)．( ) 5．直线方程的截距式x a ＋yb ＝1中，a ，b 均应大于0.( ) 二、选择题1．已知直线l 的斜率为－33，那么直线l 的倾斜角是( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150°2直线l 经过原点O 和点P (－1，－1)，则它的倾斜角是( )A ．45°B ．135°C ．135°或225°D ．0°3过点M (－2，m )，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或44直线l 过点A (1，2)且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[0，2]B ．(0，2)C ．⎣⎡⎦⎤0，12D ．⎝⎛⎭⎫0，12 5.中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 26经过点(1，3)且斜率不存在的直线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝3C ．y ＝1D ．y ＝3 7．已知点A (－3，4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－6 8将方程3x －2y ＋1＝0化成斜截式方程为( )A ．y ＝23x ＋12B ．y ＝32x ＋12C ．y ＝32x ＋1D ．y ＝23x ＋19直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0平行，则l 的方程是10直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是( )11已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝( )A ．－3B ．3C ．－13D ．1312已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( ) A ．0° B ．135° C ．90° D ．180°13点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是()A．(5，2) B．(2，5)C．(－5，－2) D．(－2，5)14．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0三填空题15已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为________．16直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________．17倾斜角为30°，且过点(0，2)的直线的斜截式方程为________．18已知直线l1过点P(2，1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．19．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．20.直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为________．21.方程mx＋(m2＋m)y＋4＝0表示一条直线，则实数m≠________．22．已知直线l1过点A(－2，3)，B(4，m)，直线l2过点M(1，0)，N(0，m－4)，若l1⊥l2，则常数m的值是____________．四、解答题23经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的方程为________．24．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥A D．限时训练1.（2，1)，B (3，－1)两点连线的斜率为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．22．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( )A ．12B ．－12C ．23D ．－233.直线y ＝－2x －1的斜率与纵截距分别为( )A ．－2，－1B ．2，－1C ．－2，1D ．2，14若过两点P (6，m )和Q(m ，3)的直线与斜率为12的直线M N 平行，则m 的值为( )A ．5B ．4C ．9D ．05经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．。
直线与方程(经典例题)
直线与方程知识点复习： 一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° (2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即tan k α=。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ; 当90=α时,k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：（1）当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；（3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式:112121y y x x y y x x --=--(1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ,()22,y x ④截矩式：1x ya b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ，即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b .⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0)注意：○，1各式的适用范围 错误!特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =(b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程:即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A (00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数)（二）过定点的直线系 (ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ;（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）,其中直线2l 不在直线系中. （6）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
高中数学直线的方程与性质基础知识及例题练习(含答案)
高中数学直线的方程与性质基础知识及例题练习（含答案）一、基础知识：（一）直线的要素与方程：1、倾斜角：若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用,,,αβγ表示（1）若直线与x 轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[)0,απ∈2、斜率：设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan k α= （1）当2πα=时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）k 越大，直线越陡峭（5）斜率k 的求法：已知直线上任意两点()()1122,,,A x y B x y ，则2121y y k x x −=−，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关。
3、截距：若直线l 与坐标轴分别交于()(),0,0,a b ，则称,a b 分别为直线l 的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关 （1）一点一方向：① 点斜式：已知直线l 的斜率k ，直线上一点()00,P x y ，则直线l 的方程为：()00y y k x x −=−证明：设直线l 上任意一点(),Q x y ，根据斜率计算公式可得：0y y k x x −=−，所以直线上的每一点都应满足：()00y y k x x −=−，即为直线方程② 斜截式：已知直线l 的斜率k ，纵截距b ，则直线l 的方程为：y kx b =+证明：由纵截距为b 可得直线与y 轴交点为()0,b ，从而利用点斜式得：()0y b k x −=− 化简可得：y kx b =+ （2）两点确定一条直线：③ 两点式：已知直线l 上的两点()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为：221212y y x x y y x x −−=−− ④ 截距式：若直线l 的横纵截距分别为(),0a b ab ≠，则直线l 的方程为：1x y a b+= 证明：从已知截距可得：直线上两点()(),0,0,a b ，所以00b bk a a−==−− ():01b x yl y b x bx ay ab a a b∴−=−−⇒+=⇒+= ⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由,x y 的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），此形式称为直线的一般式 一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线） （2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线 ② 截距为0的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） （二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是12,l l ，则要考虑重合的情况。
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)
必修二第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为0 度。
所以，倾斜角的取值范围是0°≤α＜ 180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用 k 表示。
即k tan。
斜率反应直线与轴的倾斜程度。
当直线 l与 x 轴平行或重合时 ,α =0° , k = tan0° =0;当直线 l与 x 轴垂直时 ,α = 90 ° , k不存在 .当0,90 时，k 0；当90 ,180时， k 0 ；当90时， k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式： k y2y1 (x1x2 )（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2 ）x2x1注意下边四点： (1)当 x1x2时，公式右侧无心义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与 P1、 P2的次序没关；(3)此后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获得。
（3）直线方程①点斜式：y y1k( x x1 ) 直线斜率k，且过点x1, y1注意：当直线的斜率为= 0°时， k=0，直线的方程是y y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不可以用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x ，所以它的方程是x=x 。
11②斜截式：y kx b ，直线斜率为k，直线在 y 轴上的截距为b③两点式：y y1x x1（ x1 x2 , y1y2）直线两点x1, y1，x2, y2y2y1x2x1④截矩式：xy 1 此中直线l与 x 轴交于点 (a,0) ,与y轴交于点 (0,b) ,即l与 x 轴、y轴a b的截距分别为 a,b 。
高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； （ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
直线与方程知识点及典型例题
11. 关于直线的对称点与对称直线的求法 课堂练习：已知直线 l：2x-3y+1=0 和点 P(-1，-2). (1) 分别求：点 P(-1，-2)关于 x 轴、y 轴、原点 O、直线 y=x、直线 y= - x 的对称点 Q 坐标； x 轴： y 轴： 原点 O： 直线 y=x： 直线 y= - x： (2) 分别求：直线 l：2x-3y+1=0 关于 x 轴、y 轴、原点 O、直线 y=x、直线 y= - x 的对称的直线方程； x 轴： y 轴： 原点 O： 直线 y=x： 直线 y= - x： （3）总结（2）中各对称直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于 x 轴对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于 y 轴对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于原点 O 对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于直线 y=x 对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于直线 y= - x 对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 【课后作业：】 1、点 P(-1，-2)关于直线 l： x+y-2=0 的对称点的坐标为 。
【课后作业： 】关于 x、y 的方程组
有无穷多组解，实数 m=
．
7. 两点间距离公式：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|= ( x 2 x 1 ) ( y 2 y1 )
2
2
例题：已知直线 l 的斜率为 6，且被两坐标轴所截得的线段长为
，则直线 l 的方程为
． （填序号）
4、已知直线 l 1 的方程是 ax-y+b=0， l 2 的方程是 bx-y-a=0（ab≠0，a≠b） ，则下列示意图形中，正确的是
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直线与方程（经典例题）
直线与方程（经典例题）直线与方程知识点复习：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 当[)90,0∈α时，0≥k ；当()180,90∈α时，0<="" ；="">90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
直线与方程知识点归纳及对应习题
直线与方程一、直线倾斜角和斜率000180α≤<. k=tan α(α不为090)。
经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠） 练习：1、直线x +y -5=0的倾斜角为（ ）A. -30°B. 60°C. 120°D. 150°2、在下列四个命题中，正确的共有（）①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；②直线的倾斜角的取值范围是[0，π]；③若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、直线的方程1、直线方程的几种形式点斜式:)(11x x k y y -=- (斜率存在) ； 两点式:121121x x x x y y y y --=--),(2121y y x x ≠≠其中 斜截式:b kx y += (斜率存在) ； 截距式:1=+by a x (0a ≠≠且b 0) 一般式:0=++C By Ax ）不同时为其中0,(B A 练习：3、过点（-1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______．4、 已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x-y-5=0，∠B 平分线BN 所在直线方程为x-2y-5=0．求：（1）顶点B 的坐标；（2）直线BC 的方程．5、已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x-y-5=0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x-2y-5=0．（1）求直线BC 的方程；（2）求直线BC 关于CM 的对称直线方程．2、 两条直线位置关系的判定：已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ，则：（1）0212121=+⇔⊥B B A A l l（2）1212211221//(1)-00(0);l l A B A B BC B C B ⇔=-≠≠且斜率存在，即1221(2)0(0).AC A C B -≠=斜率存在，即（3）1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A练习：6、若直线l1:(m-2)x-y-1=0与直线l2:3x-my=0互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或或3B. 0或3C. 0或D. 或37、已知直线ax+3y-1=0与直线3x-y+2=0互相垂直，则a=（ ）A. -3B. -1C. 1D. 38、已知两条直线l1（3+m ）x+4y=5-3m ，l2 2x+（5+m ）y=8．当m 分别为何值时，l1与l2：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？3、几种直线系方程（1）过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中. （2）平行于直线0n 0(n )Ax By C Ax By C ++=++=≠的直线可表示为（3）垂直于直线0m 0Ax By C Bx Ay ++=-+=的直线可表示为练习：9、过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点，且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是（）A. 4x+2y-3=0B. 4x-2y+3=0C. x+2y-3=0D. x-2y+3=010、已知直线l1：x-2y+3=0与直线l2：2x+3y-8=0的交点为M ，（1）求过点M 且到点P （0，4）的距离为2的直线l 的方程；（2）求过点M 且与直线l3：x+3y+1=0平行的直线l 的方程．三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点2.几种距离平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式21221221)()(y y x x P P-+-= 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200B A CBy Ax d +++=(直线方程要化为一般式)两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2212B A C C d +-=(直线化为系数相同的一般式)练习：11、原点到直线y=-x+的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D.12、直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是______ ．13、若直线l1：x-2y+1=0与l2：2x+ay-2=0平行，则l1与l2的距离为（ ） A. B. C. D.3、 直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”：(1) 在直线l 上求一点P ，使PB PA +取得最小值：“同侧对称异侧连”（2）在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值：“异侧对称同侧连” (3) 22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
第三章 直线与方程知识点归纳及练习题
1.直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角α是角度(0°≤α<180°)，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.(2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时，斜率k＝tan α，且经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k AB＝y2－y1 x2－x1.(3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0).2.解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论.3.由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程.4.学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合.5.直线系方程直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有：(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数，λ≠C )；(3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ是参数，当λ＝0时，方程变为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，恰好表示直线l 1；当λ≠0时，方程表示过直线l 1和l 2的交点，但不含直线l 2).6.“对称”问题的解题策略对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称.(1)中心对称①两点关于点对称，设P 1(x 1，y 1)，P (a ，b )，则P 1(x 1，y 1)关于P (a ，b )对称的点为P 2(2a －x 1,2b －y 1)，即P 为线段P 1P 2的中点.特别地，P (x ，y )关于原点对称的点为P ′(－x ，－y ).②两直线关于点对称，设直线l 1，l 2关于点P 对称，这时其中一条直线上任一点关于点P 对称的点在另一条直线上，并且l 1∥l 2，P 到l 1，l 2的距离相等.(2)轴对称①两点关于直线对称，设P 1，P 2关于直线l 对称，则直线P 1P 2与l 垂直，且线段P 1P 2的中点在l 上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.②两直线关于直线对称，设l 1，l 2关于直线l 对称.当三条直线l 1，l 2，l 共点时，l 上任意一点到l 1，l 2的距离相等，并且l 1，l 2中一条直线上任意一点关于l 对称的点在另外一条直线上；当l 1∥l 2∥l 时，l 1与l 间的距离等于l 2与l 间的距离.题型一 直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率分别从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.倾斜角α与斜率k 的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视.(1)对应关系①α≠90°时，k ＝tan α.②α＝90°时，斜率不存在.(2)单调性当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k 由0(含0)逐渐增大到＋∞，然后由－∞逐渐增大到0(不含0).经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，应注意其适用的条件x 1≠x 2，当x 1＝x 2时，直线斜率不存在.例1 已知坐标平面内的三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1).(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的取值范围.跟踪训练1 求经过A (m,3)、B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围.题型二 直线方程的五种形式直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线.因此，要注意运用分类讨论的思想.在高考中，题型以选择题和填空题为主，与其他知识点综合时，一般以解答题的形式出现.例2 求与直线y ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l 的方程.跟踪训练2 过点P (－1,0)，Q (0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.题型三直线的位置关系两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.例3已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值.(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等.跟踪训练3(1)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程；(2)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为 5.求直线l1的方程.题型四最值问题方法梳理1.构造函数求解最值：利用函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性等性质特征及复合函数的结构特征求解函数的最值.2.结合直线方程的相关特征，保证在符合条件的范围内求解最值.3.结合图象，利用几何性质帮助解答.数学思想函数思想：通常情况下求解最值问题可以转化为对函数的研究，函数思想给我们一种最严谨的眼光来看待问题，是一种探求普遍真理的思想，本章中求最大距离、最大面积等问题时常常会用到函数思想.例4已知△ABC，A(1,1)，B(m，m)(1＜m＜4)，C(4,2).当m为何值时，△ABC的面积S最大？跟踪训练4 如图，一列载着危重病人的火车从O 地出发，沿北偏东α度(射线OA )方向行驶，其中sin α＝1010.在距离O 地5a (a 为正常数)千米，北偏东β度的N 处住有一位医学专家，其中sin β＝35，现120指挥中心紧急征调离O 地正东p 千米B 处的救护车，先到N 处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C 处相遇.经计算，当两车行驶的路线与OB 所围成的三角形OBC 的面积S 最小时，抢救最及时.(1)在以O 为原点，正北方向为y 轴的直角坐标系中，求射线OA 所在的直线方程；(2)求S 关于p 的函数关系式S ＝f (p )；(3)当p 为何值时，抢救最及时？题型五 分类讨论思想分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决.在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决.在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题.例5 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.题型六 数形结合思想根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合. 例6 已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解.2.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解.3.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.。
直线与方程知识点总结与典型习题分类练习解析(精品)
8分 由
y k ( x 3) 1 3k 7 1 9k ,解得 B ， , x y 6 0 k 1 k 1
4.直线 l 经过点 P（3，2）且与 x，y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，△OAB 的面积为 12， 求直线 l 的方程. 解 方法一 设直线 l 的方程为
x y 1 （a＞0,b＞0）, a b
∴A(a,0),B(0,b), ∴ 3 2
ab 24, a b 1.
a 1
a 2 1 x -(a+1), 1 a
l1∥l2 2 1 a
3 (a 1)
，
解得 a=-1,
综上可知，a=-1 时，l1∥l2，否则 l1 与 l2 不平行. 方法二 由 A1B2-A2B1=0，得 a （ a-1）-1×2=0，由 A1C2-A2C1 ≠0，得 a(a -1)-1×6≠0,
【课堂讲解与练习】
直线的方程 3 3 3 1.设 a，b，c 是互不相等的三个实数，如果 A（a，a ） 、B（b，b ） 、C（c，c ）在同一直线 上，求证：a+b+c=0. 证明 ∵A、B、C 三点共线，∴kAB=kAC， ∴
a 3 b3 a 3 c3 ，化简得 a2+ab+b2=a2+ac+c2， ab ac
2
y x =1，将（-5，2）代入所设方 2a a 2 5 2 5 3 4
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程，解得 a=- ， 此时，直线方程为 x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.
直线与方程知识点加例题
直线与方程(一) 倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题. 例1 经过(2,0)A -，(5,3)B -两点的直线的斜率是____________，倾斜角是_______．例2若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(二) 两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. 例3 已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．10例4 直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ）A ．3210x y +-=B ．3270x y ++=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=（三）直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.例5．过点P (1,2)且与原点O 距离最大的直线l 的方程（ ）.A. 250x y +-=B. 240x y +-=C. 370x y +-=D. 350x y +-=例6．倾斜角是135 ，在y 轴上的截距是3的直线方程是 . （四 ）直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++.例7．（04年全国卷Ⅱ.文8）已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）.A ．425x y +=B ．425x y -=C ．25x y +=D ．25x y -=例8．过点(4,2)A ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .五 直线的一般式方程1. 一般式（general form ）：0Ax B y C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线.2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=. 经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A BA B ⇔≠.例9．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－12，经过点A （8，－2）； （2）经过点B (4，2)，平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32,－3； （4）经过两点1P （3，－2）、2P （5，－4）.例10．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），且12120A A B B +=. 求证12l l ⊥.六 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.例11．直线1l ：2x ＋3y ＝12与2l ：x －2y ＝４的交点坐标为 .例12．（07年上海卷.理2）若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则m = ． 七 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP .特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，1212|||PP x x =-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.例13．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，判断ABC ∆的类型．例14．已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．八 点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax B y C++=，即002Ax B y C+=-.这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d ==例15 已知点(1,3),(3,1),(1,0)A B C -，求△ABC 的面积．例16 已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点．若点(5,0)A 到l 的距离为3，求l 的方程．。
高中直线与方程知识点解析及经典例题
高中数学必修2知识点——直线与方程一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即0tan (90)k αα=≠。
斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。
当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )A.120°B.150°C.60°（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）即不包含于平行于x 轴或y 直线两点轴的直线，直线两点()11,y x ，()22,y x ，当写成211211()()()()x x y y y y x x --=--的形式时，方程可以表示任何一条直线。
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第三章 直线与方程知识点及典型例题
1. 直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即k=tan α。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[
)
90,0∈α时，0≥k ； 当(
)
180
,90∈α时，0<k ； 当
90=α时，k 不存在。
例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和
解：k 1=tan30°=3
3
∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3
例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )
A.120°
B.150°
C.60° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211
21
2x x x x y y k ≠--=
注意下面四点：
(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值
※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
3. 直线方程
①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是
x =x 1。
②斜截式：y =kx +b ，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b
③两点式：
11
2121
y y x x y y x x --=
--（1212,x x y y ≠≠）直线两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) ④截矩式：
1x y
a b
+=其中直线l 与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，b ),即l 与x 轴、y 轴的 截距分别为a 、b 。
注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ； 但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：1x y
a b
+=或y =kx . ⑤ 一般式：A x +B y +C=0（A ，B 不全为0）
注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。
(2)各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：
平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是1
2
-，经过点A(8，—2)； .
(2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； .
(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3
,32
-； .
(4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； .
例1：直线l 的方程为A x +B y +C =0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）
A ．C =0，B>0
B ．
C =0，B>0，A>0 C ．C =0，AB<0
D ．C =0，AB>0 4. 两直线平行与垂直
当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，
212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
5. 已知两条直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，
(A 1与B 1及A 2与B 2都不同时为零) 若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组⎩⎨
⎧=++=++0
C B A 0
C B A 222111y x y x 的一组解。
若方程组无解21//l l ⇔ ； 若方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 6. 点的坐标与直线方程的关系
7.
两条直线垂直的判定条件：当A 1、B 1、A 2、B 2满足 时l 1⊥l 2。
答：A 1A 2+B 1B 2=0
经典例题；
例1.已知两直线l 1： x +(1+m ) y =2—m 和l 2：2mx +4y +16=0，m 为何值时l 1与l 2①相交②平行 解：
例2. 已知两直线l 1：(3a +2) x +(1—4a ) y +8=0和l 2：(5a —2)x +(a +4)y —7=0垂直，求a 值 解：
例3.求两条垂直直线l 1：2x + y +2=0和l 2： mx +4y —2=0的交点坐标 解：
例4. 已知直线l 的方程为12
1
+-=x y ，
(1)求过点（2，3）且垂直于l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l 的直线方程。
8. 两点间距离公式：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是平面直角坐标系中的两个点，
则|AB|=2
122
12)()(y y x x -+-
9. 点到直线距离公式：一点P(x o ，y o )到直线l ：A x +B y +C =0的距离2
2
o o B
A C
B A d +++=|
y x |
10. 两平行直线距离公式
例：已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：A x +B y +C 1=0，l 2：A x +B y +C 2=0， 则l 1与l 2的距离为2
2
21B
A C C d +-=
例1：求平行线l 1：3x + 4y —12=0与l 2： ax +8y +11=0之间的距离。
例2：已知平行线l 1：3x +2y —6=0与l 2： 6x +4y —3=0，求与它们距离相等的平行线方程。
12. 中点坐标公式：已知两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1)，则线段的中点M 坐标为(221x x +，2
2
1y y +) 例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB 的垂直平分线的方程。
13. 对称点与对称直线的求法
例1：已知直线l ：2x —3y +1=0和点P(—1，—2).
(1) 分别求：点P(—1，—2)关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称点Q 坐标 (2) 分别求：直线l ：2x —3y +1=0关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称的直线方程. (3) 求直线l 关于点P(—1，—2)对称的直线方程。
(4) 求P(—1，—2)关于直线l 轴对称的直线方程。
例2：点P(—1，—2)关于直线l ： x +y —2=0的对称点的坐标为 。
例3：已知圆C 1：(x+1)2+(y —1)2=1与圆C 2关于直线x —y —1=0对称，则圆C 2的方程为： 。
A. (x+2)2+(y —2)2=1
B. (x —2)2+(y+2)2=1
C. (x+2)2+(y+2)2=1
D. (x —2)2+(y —2)2=1。