高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词课时达标训练含解析新人教A版选修1_1

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2021年高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词高效测评新人教A版选修

2021年高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词高效测评新人教A 版选修一、选择题(每小题5分，共20分)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A ，或b ∈B C ．a ∈A 且b ∈BD ．若b ∉B ，则a ∉A解析：设命题p ：a ∉A ，q ：b ∉B ，则命题“a ∉A 或b ∉B ”是“p ∨q ”形式的命题，其否定形式为“¬p ∧¬q ”．答案： C2．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p 且q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)解析：点P (x ，y )满足⎩⎨⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2.可验证各选项中，只有C 正确．答案： C3．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(¬p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：根据复合函数的单调性可知命题p 1是真命题，则¬p 1为假命题；命题p 2的真假可以取特殊值来判定：当取x 1＝1，x 2＝2时，y 1＝52，y 2＝174，即x 1<x 2，且y 1<y 2，故命题p 2是假命题，则¬p 2为真命题．∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：(¬p 1)∨p 2是假命题，q 4：p 1∧(¬p 2)是真命题．∴真命题是q 1，q 4. 答案： C4．如果命题“¬p 或¬q ”是假命题，则下列各结论：①命题“p 且q ”是真；②命题“p 且q ”是假；③命题“p 或q ”是真；④命题“p 或q ”是假．其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①④解析： ¬p 或¬q 是假命题，则q 与p 全为真命题，所以p 且q 为真，p 或q 为真．所以选A.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．下列命题中，真命题个数为____________个． ①5或7是30的约数；②方程x 2＋2x ＋3＝0无实数根；③面积相等的两个三角形一定相似或全等；④对角线垂直且相等的四边形是正方形．解析： ①③为“或”连接的命题，①为真，③为假；②为¬p 形式的命题，为真．对角线垂直且相等(不一定互相平分)的四边形不一定是正方形．故④为假．故真命题个数为2.答案： 26．设p ：函数f (x )＝2|x －a |在区间(4，＋∞)上单调递增；q ：log a 2＜1.如果“¬p ”是真命题，“p 或q ”也是真命题，那么实数a 的取值范围是____________．解析： p 为真命题时a ≤4，q 为真命题时a ＞2或0＜a ＜1，¬p 为真，p 或q 为真时，即p 为假，q 为真，∴⎩⎨⎧a ＞4，a ＞2或0＜a ＜1，∴a ＞4.答案： (4，＋∞)三、解答题(每小题10分，共20分) 7．指出下列命题的形式及其构成：(1)若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60°；(2)一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形； (3)有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形．解析： (1)是非p 形式的复合命题，其中p ：若α是一个三角形的最小内角，则α>60°.(2)是p且q形式的复合命题，其中p：一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q：一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形．(3)是p或q形式的复合命题，其中p：有一个内角为60°的三角形是正三角形，q：有一个内角为60°的三角形是直角三角形．8．分别指出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题的真假．(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：1是奇数，q：1是质数；(3)p：0∈∅，q：0∈{x|x2－3x－5<0}；(4)p：5≤5，q：27不是质数；(5)p：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}，q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|x<－4或x>2}．解析：(1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真．(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假．(3)p或q：0∈∅或0∈{x|x2－3x－5<0}，p且q：0∈∅且0∈{x|x2－3x－5<0}，非p：0∉∅.因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真．(4)p或q：5≤5或27不是质数，p且q：5≤5且27不是质数，非p：5>5.因为p为5<5或5＝5，而5＝5为真，故p为真，又q也为真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假．(5)p 或q ：不等式x 2＋2x －8<0的解集是{x |－4<x <2}或是{x |x <－4或x >2}，p 且q ：不等式x 2＋2x －8<0的解集是{x |－4<x <2}且是{x |x <－4或x >2}，非p ：不等式x 2＋2x －8<0的解集不是{x |－4<x <2}．因为p 真q 假，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为假．9．(10分)给定两个命题，P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，求实数a 的取值范围．解析：命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立⇔a ＝0或⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔0≤a <4；命题Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a ≥0⇔a ≤14；P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，即P 真Q 假，或P 假Q 真，如果P 真Q 假，则有0≤a <4，且a >14，所以14<a <4；如果P 假Q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4a ≤14⇒a <0.所以实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.。

高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词1.3.1且(and)、或(or)课时作业含解析人教A版选修1_1

课时作业6一、选择题1．如果命题“p为假”，命题“p∧q”为假，那么则有( )A．q为真B．q为假C．p∨q为真D．p∨q不一定为真解析：∵p假，p∧q假，∴q可真可假，当q真时，p∨q为真；当q假时，p∨q为假．答案：D2．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p∧q是真命题⇒p是真命题，q是真命题⇒p∨q是真命题；p∨q是真命题p∧q 是真命题．答案：A3．已知p：x2－1≥－1，q：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( )A．p为真命题，p∧q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．q为假命题，p∨q为真命题D．p∧q为假命题，p∨q为真命题解析：∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q是真命题．答案：B4．给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；由于方程x 2－2x －4＝0的判别式大于0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；由于(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆(A ∪B )，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题．答案：D二、填空题5．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的范围是__________．解析：x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．答案：[1,2)6．“p 是假命题”是“p ∨q 为假命题”的__________条件．解析：p 假时，p 或q 不一定假，但p 或q 假时，p 一定假，所以“p 是假命题”是“p 或q 是假命题”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．若p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－b a }，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，且“p ∧q ”真命题，则a ，b 满足________．解析：因命题“p ∧q ”为真命题，所以p 、q 均为真命题，于是a >0，且a <b . 答案：0<a <b三、解答题8．写出由下列命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”形式的命题，并判断其真假．(1)p ：集合中的元素是确定的，q ：集合中的元素是无序的；(2)p ：梯形有一组对边平行，q ：梯形有一组对边平行相等．解：(1)“p ∧q ”：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题．“p ∨q ”：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题．(2)“p ∧q ”：梯形有一组对边平行且有一组对边平行相等，假命题．“p ∨q ”：梯形有一组对边平行或有一组对边平行相等，真命题．9．[2014·四川省绵阳中学期中考试]已知命题p ：对任意x ∈R ，函数y ＝lg(x 2＋m )有意义，命题q ：函数f (x )＝(5－2m )x是增函数．若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．解：由于p ∧q 为真，则p 真且q 真．当p 为真时，即对任意x ∈R ，函数y ＝lg(x 2＋m )有意义．即对任意x ∈R ，x 2＋m >0恒成立，即m >－x 2恒成立，又－x 2≤0，所以m >0.当q 为真时，函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，所以有5－2m >1，解得m <2.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ m >0m <2得0<m <2，所以实数m 的取值范围是0<m <2.。

2019_2020版高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词练习(含解析)新人教A版选修2_1

1.3简单的逻辑联结词课后篇巩固提升基础巩固1.在命题“2是3的约数或2是4的约数”中,使用的逻辑联结词的情况是()A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.使用了逻辑联结词“非”答案C2.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根,则下列命题为真命题的是()A.p∧(q)B.(p)∧qC.(p)∧(q)D.p∧q解析由题意知,命题p是真命题,命题q是假命题,所以q是真命题,故p∧(q)是真命题.答案A3.下列为假命题的是()A.3≥4B.两非零向量平行,其所在直线平行或重合C.菱形的对角线相等且互相垂直D.若x2+y2=0,则x=0且y=0解析菱形的对角线互相垂直但不一定相等.答案C4.“p∨q为真”是“p为真”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若“p∨q为真”可能p假q真,不一定有“p为真”,充分性不成立;若“p为真”,则一定有“p∨q为真”,必要性成立,综上可得:“p∨q为真”是“p为真”的必要不充分条件.答案B5.若命题“(p)∨(q)”是假命题,给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧q”是假命题;③命题“p∨q”是真命题;④命题“p∨q”是假命题,其中正确的是()A.①③B.②④C.②③D.①④解析因为(p)∨(q)为假,所以(p)与(q)均为假,所以p与q均为真,所以①③正确.答案A6.在一次数学测试中,成绩在区间[125,150]上为优秀,有甲、乙两名同学,设命题p是“甲测试成绩优秀”,q是“乙测试成绩优秀”,则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为()A.(p)∨(q)B.p∨(q)C.(p)∧(q)D.p∨q解析“甲测试成绩不优秀”可表示为p,“乙测试成绩不优秀”可表示为q,“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”或“甲、乙的测试成绩都不优秀”,表示形式为(p)∨(q).答案A7.已知命题p:1∈{x|x2<a},q:2∈{x|x2<a},则当p∧q为真命题时,a的取值范围是.解析由1∈{x|x2<a},得a>1;由2∈{x|x2<a},得a>4.当p∧q为真命题时,有p真q真,所以a>4.答案(4,+∞)8.分别写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”及“p ”形式,并判断真假:(1)p :2n-1(n ∈Z )是奇数,q :2n-1(n ∈Z )是偶数.(2)p :a 2+b 2<0(a ∈R ,b ∈R ),q :a 2+b 2≥0.(3)p :集合中的元素是确定的,q :集合中的元素是无序的.解(1)p ∨q :2n-1(n ∈Z )是奇数或是偶数,是真命题. p ∧q :2n-1(n ∈Z )既是奇数又是偶数,是假命题.p :2n-1(n ∈Z )不是奇数,是假命题.(2)p ∨q :a 2+b 2<0(a ∈R ,b ∈R )或a 2+b 2≥0,是真命题. p ∧q :a 2+b 2<0(a ∈R ,b ∈R )且a 2+b 2≥0,是假命题.p :a 2+b 2≥0(a ∈R ,b ∈R ),是真命题.(3)p ∨q :集合中的元素是确定的或是无序的,是真命题. p ∧q :集合中的元素是确定的且是无序的,是真命题.p :集合中的元素是不确定的,是假命题.9.给定命题p :关于x 的方程x 2+ax+a=0无实根;命题q :函数y=-4 在(0,+∞)上单调递减.已知p ∨q是真命题,p ∧q 是假命题,求实数a 的取值范围.解由方程x 2+ax+a=0无实根,可得Δ=a 2-4a<0,解得0<a<4,即命题p :0<a<4;由函数y= -4 在(0,+∞)上单调递减,可得1-4a>0,解得a< 4,即命题q :a< 4.∵p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,∴p 、q 两个命题真假性相反,∴ 0 4, 4或 0或 4, 4,解得 4≤a<4或a ≤0, ∴实数a 的取值范围为(-∞,0]∪ 4,4.能力提升。

高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联词1练习新人教A版选修1_1

1.3 简单的逻辑联词（1）A级基础巩固一、选择题1．如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题．那么导学号 03624174( D )A．命题p和命题q都是假命题B．命题p和命题q都是真命题C．命题p为真命题，q为假命题D．命题q和命题p的真假不同[解析]“p或q”是真命题，则p，q至少有一个是真命题；“p且q”是假命题，则p，q至少有一个是假命题，所以p，q有且只有一个是真命题，故选D．2．若命题p：1不是质数，命题q：2是合数，则下列结论中正确的是导学号 03624175( B )A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对[解析]命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．3．(2016·山东青岛高二检测)下列命题是真命题的是导学号 03624176( B )A．5>2且7>8B．3>4或3<4C．9≤7D．方程x2－3x＋4＝0有实根[解析]3>4是假命题，3<4是真命题，故3>4或3<4是真命题．4．命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的导学号 03624177( B )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若p或q为真，则p、q一真一假或p、q均为真，若q且p为真，则q、p均为真，故选B．5．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若ac2>bc2，则a>b，则导学号 03624178( A )A．p∨q为真B．p∧q为真C．p真q假D．p、q均为假[解析]x >2⇒x 2>4，x 2>4⇒/x >2，故p 为假命题；由a c2>b c2⇒a >b ，故q 为真命题，∴p ∨q为真，p ∧q 为假，故选A ．6．已知命题p ：1∈{x |(x ＋2)(x －3)<0}，命题q ：∅＝{0}，则下列判断正确的是导学号 03624179( B )A ．p 假q 假B ．“p 或q ”为真C ．“p 且q ”为真D ．p 假q 真[解析]∵{x |(x ＋2)(x －3)<0}＝{x |－2<x <3}，∴1∈{x |(x ＋2)(x －3)<0}，∴p 真．∵∅≠{0}，∴q 假．故“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，故选B ．二、填空题导学号 03624180.形式的命题__q ∨p __是“3≥3”．7[解析] 3≥3等价于3>3或3＝3，故“3≥3”是“p ∨q ”形式的命题．8．p ：ax ＋b >0的解集为x >－ba；q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .导学号 03624181”).假“或”真“填(命题__假__是q ∧p 则[解析]p 中a 的符号未知，q 中a 与b 的大小关系未知，因此命题p 与q 都是假命题．三、解答题9．分别指出下列各组命题构成的“p ∧q ”、“p ∨q ”形式的命题的真假.导学号 03624182(1)p ：6<6，q ：6＝6；(2)p ：梯形的对角线相等，q ：梯形的对角线互相平分；(3)p ：函数y ＝x 2＋x ＋2的图象与x 轴没有公共点，q ：不等式x 2＋x ＋2<0无解；(4)p ：函数y ＝cos x 是周期函数，q ：函数y ＝cos x 是奇函数．[解析] (1)∵p 为假命题，q 为真命题， ∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题．(2)∵p 为假命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题．(3)∵p 为真命题，q 为真命题，。

2021-2022年高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词课后提升训练含解析新人教A版

2021-2022年高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词课后提升训练含解析新人教A版一、选择题(每小题5分,共40分)1.命题“2是3的约数或2是4的约数”中,使用的逻辑联结词的情况是( )A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.使用了逻辑联结词“非”【解析】选C.命题可改写为“2是3的约数或是4的约数”.2.(xx·厦门高二检测)命题“方程x2-4=0的解是x=±2”中,使用的逻辑联结词的情况是( )A.没有使用联结词B.使用了逻辑联结词“或”C.使用了逻辑联结词“且”D.使用了逻辑联结词“非”【解析】选A.注意到虽然x=±2是x=2或x=-2的意思,但是“方程x2-4=0的解是x=±2”是一个命题,不是由“或”联结的命题,故没有使用逻辑联结词.3.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,那么( )A.命题p不一定是假命题B.命题q一定是真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与q的真值相同【解析】选B.因为“非p”为真,则p为假,又“p或q”为真,所以q必为真.4.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是( )A.p∧(q)B.(p)∧qC.(p)∧(q)D.p∧q【解析】选A.命题p为真命题,命题q为假命题,所以命题q为真命题,所以p∧(q)为真命题,(p)∧q为假命题,(p)∧(q)为假命题,p∧q为假命题.5.p:点P在直线y=2x-3上,q:点P在曲线y=-x2上,则使“p∧q”为真命题的一个点P(x,y)是( )A.(0,-3)B.(1,2)C.(1,-1)D.(-1,1)【解析】选C.点P(x,y)满足可验证各选项,只有C正确.6.对于命题p和q,若p∧q为真命题,则下列四个命题:①p∨q是真命题;②p∨(q)是假命题;③(p)∧(q)是假命题;④(p)∨q是假命题.其中真命题是( )A.①②B.③④C.①③D.②④【解析】选C.因为p∧q为真,所以p与q都为真,所以(p)∧(q)为假,p∨q为真,所以只有①③正确.7.命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”;命题q:“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”,若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是( ) A.a>0 B.a≥0C.a>1D.a≥1【解析】选B.当p真时,Δ=4-4a≥0,解得a≤1.当q真时,a2-a>0,解得a<0或a>1.因为p∧q为假命题,p∨q为真命题,所以p,q中一真一假.(1)当p真q假时,得0≤a≤1.(2)当p假q真时得a>1,由(1)(2)得所求a的取值范围是a≥0,故选B.8.(xx·衡阳高二检测)命题p:关于x的方程x2+ax+2=0无实根,命题q:函数x在(0,+∞)上单调递增,若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,则f(x)=loga实数a的取值范围是( )A.(-2,1]∪[2,+∞)B.(-2,2)C.(-2,+∞)D.(-∞,2)【解题指南】(1)根据方程x2+ax+2=0无实根,判别式Δ<0,求出a的取值范围,得命题p成立的条件.x在(0,+∞)上单调递增,求出a的取值范围,得命题q成(2)根据函数f(x)=loga立的条件.(3)由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题知p与q一真一假,因此分类讨论,求出a的取值范围.【解析】选A.因为方程x2+ax+2=0无实根,所以Δ=a2-8<0,所以-2<a<2,所以p:-2<a<2.x在(0,+∞)上单调递增,所以a>1.因为函数f(x)=loga所以q:a>1.因为p∧q为假,p∨q为真,所以p与q一真一假.当p真q假时,-2<a≤1,当p假q真时,a≥2.综上可知,实数a的取值范围为(-2,1]∪[2,+∞).二、填空题(每小题5分,共10分)9.命题p:{2}∈{2,3},q:{2}⊆{2,3},则下列对命题的判断,正确的是________(填上所有正确的序号).①p或q为真;②p或q为假;③p且q为真;④p且q为假;⑤非p为真;⑥非q为假.【解析】由题可知p为假,q为真,所以p或q为真,p且q为假,非p为真,非q 为假.答案:①④⑤⑥10.已知条件p:(x+1)2>4,条件q:x>a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________.【解析】由p是q的充分不必要条件,可知p⇒q,但qp,由一个命题与它的逆否命题等价,可知q⇒p但pq,又p:x>1或x<-3,可知{x|x>a}{x|x<-3或x>1},所以a≥1.答案:[1,+∞)三、解答题11.(10分)指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题,若是含逻辑联结词的命题,写出构成它的简单命题.(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;(2)若x∈{x|x<1或x>2},则x是不等式(x-1)(x-2)>0的解.【解析】(1)“p且q”形式的命题,其中p:两个角是45°的三角形是等腰三角形,q:两个角是45°的三角形是直角三角形.(2)“p或q”形式的命题,其中p:若x∈{x|x<1},则x是不等式(x-1)(x-2)>0的解,q:若x∈{x|x>2},则x是不等式(x-1)(x-2)>0的解.【能力挑战题】已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实数根,命题q:方程4x2+4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题,求实数m的取值范围.【解析】“p或q”为真命题,则p为真命题或q为真命题.当p为真命题时,有解得m<-2;当q为真命题时,有Δ=16(m+2)2-16<0,解得-3<m<-1.综上可知,实数m的取值范围是(-∞,-1).G39239 9947 饇 34774 87D6 蟖40409 9DD9 鷙#22187 56AB 嚫40132 9CC4 鳄31479 7AF7竷34605 872D 蜭20932 51C4 凄.DK)。

高中数学第一章常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词课时作业新人教A版选修1-1

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题1.3 简单的逻辑联结词1.3.1 且(and)1.3.2 或(or)1.3.3 非(not)1.命题:“不等式(x-2)(x-3)<0的解为2<x<3”,使用的逻辑联结词的情况是( B )(A)没有使用逻辑联结词(B)使用了逻辑联结词“且”(C)使用了逻辑联结词“或”(D)使用了逻辑联结词“非”解析:2<x<3⇔x>2且x<3,故B正确.2.若命题p:1不是质数,命题q:2是合数,则下列结论中正确的是( B )(A)“p∨q”为假 (B)“p∨q”为真(C)“p∧q”为真 (D)以上都不对解析:命题p为真命题,命题q为假命题,故“p∨q”为真命题,“p∨q”为假命题.故选B.3.若p,q是两个简单命题,“p或q”的否定是真命题,则必有( B )(A)p真q真(B)p假q假(C)p真q假(D)p假q真解析:“p或q”的否定是:“¬p且¬q”是真命题,则¬p,¬q都是真命题,故p,q都是假命题.故选B.4.(2017·临川高二月考)已知p:x∈A∪B,则p的否定是( A )(A)x∉A且x∉B (B)x∉A或x∉B(C)x∉A∩B (D)x∈A∩B解析:x∈A∪B即x∈A或x∈B,所以¬p:x∉A且x∉B.故选A.5.(2018·宁德高二月考)在一次篮球投篮比赛中,甲、乙两球员各投篮一次.设命题p:“甲球员投篮命中”;q:“乙球员投篮命中”,则命题“至少有一名球员投中”可表示为( A ) (A)p∨q (B)p∧(¬q)(C)(¬p)∧(¬q) (D)(¬p)∨(¬q)解析:至少有一名球员投中为p∨q.故选A.6.(2018·河南新乡周练)已知命题p:x2-4x+3<0与q:x2-6x+8<0;若“p且q”是不等式2x2-9x+a<0成立的充分条件,则实数a的取值范围是( C )(A)(9,+∞) (B){0}(C)(-∞,9] (D)(0,9]解析:由x2-4x+3<0可得p:1<x<3;由x2-6x+8<0可得q:2<x<4,所以p且q为2<x<3,由条件可知,{x|2<x<3}是不等式2x2-9x+a<0的解集的子集,即方程2x2-9x+a=0的两根中一根小于等于2,另一根大于等于3.令f(x)=2x2-9x+a,则有⇒a≤9.故选C.7.分别用“p或q”“p且q”“非p”填空:①“正弦函数既是奇函数又是周期函数”是形式;②“负数的对数无意义”是形式;③“e≥2”是形式;④“△ABC是等腰直角三角形”是形式.解析:①“正弦函数既是奇函数又是周期函数”是“正弦函数是奇函数且正弦函数是周期函数”,是p且q的形式;②“负数的对数无意义”是非p的形式;③“e≥2”即“e>2或e=2”,是p或q的形式;④“△ABC是等腰直角三角形”是“△ABC是等腰三角形且△ABC是直角三角形”,是p且q的形式.答案:p且q 非p p或q p且q8.(2018·衡水高二摸底联考)已知m,n是不同的直线,α,β是不重合的平面.命题p:若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;命题q:若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;下面的命题中:①p∨q;②p∧q;③p∨(¬q);④(¬p)∧q.真命题的序号是(写出所有真命题的序号).解析:易知p是假命题,q是真命题.所以¬p为真¬q为假,所以p∨q为真,p∧q为假,p∨(¬q)为假,(¬p)∧q为真.答案:①④【能力提升】9.(2017·栖霞市高二月考)已知命题p:对任意x∈R,总有3x≤0;命题q:“x>2”是“x>4”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( B )(A)p∧q (B)(¬p)∧(¬q)(C)(¬p)∧q (D)p∧(¬q)解析:对于命题p:对任意x∈R,总有3x>0,因此命题p是假命题;命题q:“x>2”是“x>4”的必要不充分条件,因此命题q是假命题.因此命题¬p与¬q都是真命题.则命题为真命题的是(¬p)∧(¬q).故选B.10.(2018·郑州质量预测)已知命题p:m<0,命题q:x2+mx+1>0对一切实数x恒成立,若p∧q 为真命题,则实数m的取值范围是( D )(A)(-∞,-2) (B)(2,+∞)(C)(-∞,-2)∪(2,+∞) (D)(-2,0)解析:q:x2+mx+1>0对一切实数恒成立,所以Δ=m2-4<0,所以-2<m<2.p:m<0,因为p∧q为真命题,所以p,q均为真命题,所以,所以-2<m<0.故选D.11.(2018·沈阳质量监测)下列结论:①若命题p:∃x∈R,tan x=1;命题q:∀x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧(-q)”是假命题;②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题:“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为.解析:①中命题p为真命题,命题q为真命题,所以p∧(-q)为假命题,故①正确;②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;③正确.所以正确结论的序号为①③.答案:①③12.(2018·深圳高二检测)已知c>0,且c≠1,设p:函数y=c x在R上单调递减;q:函数f(x)=x2-2cx+1在(,+∞)上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实数c的取值范围.解:因为函数y=c x在R上单调递减,所以0<c<1.即p:0<c<1,因为c>0且c≠1,所以¬p:c>1.又因为f(x)=x2-2cx+1在(,+∞)上为增函数,所以c≤.即q:0<c≤,因为c>0且c≠1,所以¬q:c>且c≠1.又因为“p且q”为假,“p或q”为真,所以p真q假或p假q真.①当p真,q假时,{c|0<c<1}∩{c|c>且c≠1}={c|<c<1}.②当p假,q真时,{c|c>1}∩(c|0<c≤)= .综上所述,实数c的取值范围是(c|<c<1).【探究创新】13.(2018·驻马店月考)设命题p:函数f(x)=log a|x|在(0,+∞)上单调递增,命题q:关于x的方程x2+2x+log a=0的解集只有一个子集.若“p或q”为真,“¬p或¬q”也为真,求实数a的取值范围.解:当命题p是真命题时,应有a>1;当命题q是真命题时,关于x的方程x2+2x+log a=0无解,所以Δ=4-4log a<0,解得1<a<.由于“p或q”为真,所以p和q中至少有一个为真,又“¬p或¬q”也为真,所以¬p和¬q中至少有一个为真,即p和q中至少有一个为假,故p和q中一真一假.p假q真时,a无解;p真q假时,a≥.综上所述,实数a的取值范围是[,+∞).。

高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联词1.3.3练习(含解析)新人教A版选修1_1

第一章 1.3 1.3.3A级基础巩固一、选择题1．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么导学号 03624210( B ) A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真值相同[解析] “非p”为真命题，则命题p为假，又p或q为真，则q为真，故选B．2．如果命题“¬(p∨q)”为假命题，则导学号 03624211( C )A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为假命题[解析] “¬(p∨q)”为假命题，则“p∨q”为真命题，即p，q中至少有一个为真命题．3．(2016·辽宁大连高二检测)已知U＝R，A⊆U，B⊆U，命题p：2∈A∪B，则¬p是导学号 03624212( D )A．2∉A B．2∈∁U BC．2∉A∩B D．2∈(∁U A)∩(∁U B)[解析] ¬p：2∉A∪B，即2∈(∁U A)∩(∁U B)，故选D．4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是导学号 03624213( C )A．①③B．①④C．②③D．②④[解析] 当x>y时，两边乘以－1可得－x<－y，所以命题p为真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x2<y2，所以命题q为假命题，所以②③为真命题，故选C．5．已知命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题为真命题的是导学号 03624214( B )A．p∧q B．p∨qC．¬p D．(¬p)∧(¬q)[解析] ∵p 为真，q 为假，∴¬p 为假，¬q 为真． ∴p ∧q 为假，p ∨q 为真，¬p 为假， (¬p )∧(¬q )为假．故选B 项．6．已知条件p ：a ≤1，条件q ：|a |≤1，则¬p 是¬q 的导学号 03624215( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由|a |≤1得－1≤a ≤1， ∴¬p ：a >1，¬q ：a <－1或a >1， ∴¬p ⇒¬q ，但¬q ⇒/¬p ，故选A ．二、填空题7．已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p ：若α∥β，m α， n β，则m ∥n ；命题q ：若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；下面的命题中：①p ∨q ；②p ∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∧q .真命题的序号是__①④__(写出所有真命题的符号).导学号 03624216[解析] 易知p 是假命题，q 是真命题．∴¬p 为真，¬q 为假，∴p ∨q 为真，p ∧q 为假，p ∨(¬q )为假，(¬p )∧q 为真． 8．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”，“¬q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为__{－1,0,1,2}__.导学号 03624217[解析] 因为“p ∧q ”为假，“¬q ”为假，所以q 为真，p 为假．故⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <6x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3x ∈Z ，因此x 的值可以是－1,0,1,2. 三、解答题9．写出下列命题的否定和否命题： (1)菱形的对角线互相垂直； (2)若a 2＋b 2＝0，则a ＝0，b ＝0；(3)若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角都是锐角.导学号 03624218 [解析] (1)原命题的否定：菱形的对角线不互相垂直．原命题的否命题：不是菱形的四边形的对角线不互相垂直．(2)原命题的否定：若a 2＋b 2＝0，则a 和b 中至少有一个不为0.原命题的否命题：若a2＋b2≠0，则a和b中至少有一个不为0.(3)原命题的否定：若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．原命题的否命题：若一个三角形不是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．B级素养提升一、选择题1．(2017·湖北武汉高二检测)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次，设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题(¬p)∨(¬q)表示导学号 03624219( D )A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米C．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米D．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米[解析] ¬p表示“甲的试跳成绩不超过2米”，¬q表示“乙的试跳成绩不超过2米”，故(¬p)∨(¬q)表示“甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米”．2．(2017·山东文，5)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是导学号 03624220( B )A．p∧q B．p∧¬qC．¬p∧q D．¬p∧¬q[解析] ∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题，¬p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，¬q为真命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，¬q为真命题．根据真值表可知p∧¬q为真命题，p∧q，¬p∧q，¬p∧¬q为假命题．故选B．3．(2017·辽宁锦州高二检测)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∨(¬p2)中，真命题是导学号 03624221 ( C )A．q1，q3B．q2，q3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4[解析] 函数y ＝2x－2－x是一个增函数与一个减函数的差，故函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 1是真命题；由于2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，故函数y ＝2x ＋2－x在R 上存在最小值，故这个函数一定不是R 上的单调函数，故p 2是假命题．由此可知，q 1真，q 2假，q 3假，q 4真．4．已知命题p ：对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题¬p 是真命题，那么实数a 的取值范围是导学号 03624222( C )A ．a <13B ．0<a ≤13C ．a ≤13D ．a ≥13[解析] ∵命题¬p 是真命题，∴命题p 是假命题． ∵对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝4－12a <0，∴a >13.∴当a >13时，命题p 为真命题，∴命题p 是假命题时，a ≤13.5．下列各组命题中满足：“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，“¬p ”为真命题的是导学号 03624223( C )A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：y ＝sin x 在第一象限内是增函数C ．p ：若a >b ，则1a <1b；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：若a ·b <0，则a 与b 的夹角不一定是钝角[解析] 选项A 中，命题p 假，q 假，所以不满足题意；选项B 中，命题p 真，q 假，¬p 为假命题，也不满足题意；选项C 中，命题p 假，q 真，p ∨q 为真命题．p ∧q 为假命题，¬p 为真命题，满足题意；选项D 中，p ，q 都是真命题，不符合题目要求．二、填空题6．(2016·湖北孝感高二检测)在一次射击训练中，某战士连续射击了两次．设命题p 是“第一次射击击中目标”，q 是“第二次射击击中目标”．则命题“两次都没有击中目标”用p 、q 及逻辑联结词可以表示为__(¬p )∧(¬q )__.导学号 03624224[解析] p 是第一次射击击中目标，则¬p 是第一次没有击中目标，q 是第二次射击击中目标，则¬q 是第二次没有击中目标，两次都没有击中目标用p ，q 及逻辑联结词可以表示为(¬p )∧(¬q )．7．已知命题p ：不等式x 2＋x ＋1≤0的解集为R ，命题q ：不等式x －2x －1≤0的解集为{x |1<x ≤2}，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”“¬q ”中正确的命题是__p ∨q ，¬p __.导学号 03624225[解析] ∵∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，∴命题p 为假，¬p 为真；∵x －2x －1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x －x －1≠0⇔1<x ≤2.∴命题q 为真，p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬q 为假．8．已知命题p ：x 2＋2x －3>0，命题q ：13－x >1，若“¬q 且p ”为真，则x 的取值范围是__(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)__.导学号 03624226[解析] 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1， ∴p ：x <－3或x >1. 由13－x >1, 得x －2x －3<0，∴2<x <3. ∴q ：2<x <3，¬q ：x ≤2或x ≥3.若“¬q 且p ”为真，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <－3或x >1x ≤2或x ≥3，∴x <－3或1<x ≤2或x ≥3.C 级能力提高1．已知命题p ：不等式x 2＋kx ＋1≥0对于一切x ∈R 恒成立，命题q ：已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根，若p 且q 为假，p 或q 为真．求实数k 的取值范围.导学号 03624227[解析] 当p 为真命题时，Δ＝k 2－4≤0，所以－2≤k ≤2.当q 为真命题时，令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k －2－4k 2≥0－2k －12>1f，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14k <－12k <－2或k >0，所以k <－2.要使p 且q 为假，p 或q 为真，则p 真q 假，或者是p 假q 真．当p 真q 假时，－2≤k ≤2，当p 假q 真时，k <－2.综上：k ≤2.2．(2017·江西抚州市高二检测)命题p ：实数x 满足x ＋mx ＋3m<0，其中m <0；命题q ：实数x 满足x 2－x －6<0或x 2＋2x －8<0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求m 的取值范围.导学号 03624228[解析] 由x ＋mx ＋3m<0，得(x ＋m )(x ＋3m )<0，又∵m <0，∴－3m >－m . ∴－m <x <－3m .由x 2－x －6<0或x 2＋2x －8<0得－4<x <3. ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≤3，－m ≥－4，m <0∴－1≤m <0.。

高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词学案含解析新人教A版选修1

学习资料1．3 简单的逻辑联结词1.3.1且（and)1。

3。

2或(or)1。

3。

3非（not)内容标准学科素养1。

了解“或”“且”“非”的含义．2.掌握含逻辑联结词的命题真假的判断．3。

掌握根据命题真假求参数取值范围的方法。

利用直观想象发展数学抽象提高逻辑推理授课提示：对应学生用书第10页[基础认识］知识点一“且”错误!观察下列三个命题：（1）2是6的约数；(2）2是8的约数；(3）2是6的约数且是8的约数．它们之间有什么关系？它们的真假情况怎样？提示:可以看到，命题(3）是由命题(1)(2）使用联结词“且"联结得到的新命题．它们均为真命题．知识梳理(1）定义一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．（2）真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q是假命题．知识点二“或”错误!观察下列三个命题:（1)27是7的倍数;（2)27是3的倍数；(3)27是7的倍数或是3的倍数．它们之间有什么关系？它们的真假怎样？提示：命题（3）是由命题(1）（2）用联结词“或”联结得到的新命题．命题（1)是假命题,命题（2)是真命题，命题（3)也是真命题．知识梳理（1)定义一般地，用逻辑联结词“或"把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．（2）真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．知识点三“非”预习教材P16－17思考并完成以下问题观察下列两个命题：(1)4是16的算术平方根；(2)4不是16的算术平方根．它们之间有什么关系？它们的真假怎样？提示:可以看到，命题(2）是命题(1）的否定．命题（1）是真命题，命题（2)是假命题．知识梳理（1）定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p,读作“非p”或“p的否定”．（2)真假判断若p是真命题,则綈p必是假命题；若p是假命题,则綈p必是真命题．［自我检测]1．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是()A．“p∧q”形式的命题B．“p∨q”形式的命题C．“綈p”形式的命题D．以上说法都不对答案：A2．已知命题p，q,若p为真命题，则（）A．p∧q必为真B．p∧q必为假C．p∨q必为真D．p∨q必为假答案：C授课提示：对应学生用书第11页探究一含有逻辑联结词的命题构成及真假［阅读教材P15－17例1、例2、例4］例1：将下列命题用“且"联结成新命题：（1)p:平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；(2)p：菱形的对角线互相垂直,q：菱形的对角线互相平分;（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数．例2:用逻辑联结词“且”改写下列命题:(1）1既是奇数，又是素数；(2）2和3都是素数．例4:写出下列命题的否定．（1)p：y＝sin x是周期函数;（2）p：3<2；(3)p：空集是集合A的子集．题型：用逻辑联结词“且”“或”“非”改写命题．方法步骤：①确定两个简单命题p、q的条件和结论．②分别用“且”“或"“非”将p和q联结起来．有时在不引起歧义的前提下，将p与q中的条件和结论合并．[例1］指出下列命题的构成形式,以及构成它的简单命题：（1)1是质数或合数；(2）他是运动员兼教练；(3）不等式｜x－2｜≤0没有实数解；(4)要么周长相等的两个三角形全等,要么面积相等的两个三角形全等；(5)这部作品不仅艺术上有缺点，而且政治上也有错误．[解析］（1）这个命题是p∨q形式，其中p：1是质数,q：1是合数．(2）这个命题是p∧q形式，其中p：他是运动员，q：他是教练．(3)这个命题是綈p形式，其中p：不等式｜x－2｜≤0有实数解．(4)这个命题是p∨q形式,其中p：周长相等的两个三角形全等，q：面积相等的两个三角形全等．(5)这个命题是p∧q形式，其中p:这部作品艺术上有缺点,q：这部作品政治上有错误．［例2]分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题：（1)p:梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；（2）p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q:－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．［解析]（1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．(2）p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p且q：－1和－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．方法技巧1。

2021_2022学年高中数学第1章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词学案含解析新人教A版选修2_1

1.3 简单的逻辑联结词学习目标核心素养1．了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2．能够判断命题“p∧q”“p∨q”“p”的真假．(难点)3．会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)1．通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的意义的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助含逻辑联结词命题的真假判断及应用，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．1．“且”(1)定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q．读作“p且q”．(2)真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题．2．“或”(1)定义一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q．读作“p或q”．(2)真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？[提示](1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．3．“非”(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．(2)真假判断若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？[提示](1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．(2)命题的否定(p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．4．复合命题用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命题称为复合命题．复合命题的真假判断p q p∨q p∧q p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真1．“xy≠0”是指()A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0 D．x，y不都是0A[xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选A．]2．已知p，q是两个命题，若“(p)∨q”是假命题，则()A．p，q都是假命题B．p，q都是真命题C．p是假命题，q是真命题D．p是真命题，q是假命题D[若(p)∨q为假命题，则p，q都是假命题，即p真q假，故选D．]3．下列命题中真命题的个数是()①p∨q，这里p：π是无理数，q：π是实数；②p∧q，这里p：π是无理数，q：π是实数；③p∨q，这里p：2>3，q：8＋7≠15；④p∧q，这里p：2>3，q：8＋7≠15．A．1 B．2C．3 D．4B[①②为真命题．]4．“5≥5”是________形式的新命题，它是________(“真”或“假”)命题．p∨q真[5≥5，即5＞5或5＝5．]含有逻辑联结词的命题结构(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)集合A(A∪B)；(4)正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数并且是周期函数．[解](1)是“p∧q”形式的命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．(2)是“p∨q”形式的命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．(3)是“p”形式的命题．其中p：A⊆(A∪B)．(4)是“p∧q”形式的命题．其中p：正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数，q：正弦函数y＝sin x(x∈R)是周期函数．1．判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺，也可进行适当的省略和变形．[跟进训练]1．分别写出由下列命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“p ”形式的命题．(1)p ：梯形有一组对边平行，q ：梯形有一组对边相等；(2)p ：－1是方程x 2＋4x ＋3＝0的解，q ：－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解． [解](1)p ∧q ：梯形有一组对边平行且有一组对边相等． p ∨q ：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p ：梯形没有一组对边平行．(2)p ∧q ：－1与－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解． p ∨q ：－1或－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解．p ：－1不是方程x 2＋4x ＋3＝0的解．含逻辑联结词命题的真假判断【例2】已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x 的最小值为4．给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(q )；④(p )∨(q )．则其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4思路探究：判断p ，q 的真假→判断綈p ，綈q 的真假→判断所给命题的真假 C [由于Δ＝(－2a )2－4×1×(－1)＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，所以命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4x <0，所以命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∧(q )，(p )∨(q )是真命题，故选C ．]含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤(1)我们可以用口诀记忆法来记忆：,“p ∧q ”全真才真，一假必假；“p ∨q ”全假才假，一真必真；“p ”与p 真假相对.(2)判断复合命题真假的步骤：①确定复合命题的构成形式是“p ∧q ”“p ∨q ”还是“p ”； ②判断其中的简单命题p ，q 的真假； ③根据真值表判断复合命题的真假.[跟进训练]2．(1)已知命题p：∃x∈R，sin x＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．p∧qC．p∧q D．(p∧q)(2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假．①p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；②p：2是奇数，q：2是合数；③p：4≥4，q：23不是偶数；④p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－2<x<5}，q：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|x>5或x<－2}．(1)A[由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x＜1，所以命题p为真命题．对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p∧q为真命题，故选A．](2)[解]①∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是真命题．②∵p是假命题，q是假命题，∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，p是真命题．③∵p是真命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，p是假命题．④∵p是真命题，q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是假命题．由复合命题的真假求参数的取值X围1．设集合A是p为真命题时参数的取值X围，则p为假命题时，参数的取值X围是什么？[提示]p为假命题时，参数的取值X围是∁R A．2．设集合M、N分别是p，q分别为真命题时参数的取值X围，则p∨q与p∧q分别为真命题时，参数的取值X围分别是什么？[提示]当p∨q为真命题时，参数的取值X围是A∪B．当p∧q为真命题时，参数的取值X围是A∩B．【例3】已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，则实数m的取值X围为()A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2思路探究：分别求当p ，q 为假时m 的X 围―→ 根据p 或q 为假得出m 的X 围A [依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4<0，－2<m <2．因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2．]1．本例条件不变，若p 且q 为真，则实数m 的取值X 围为________． (－2,0) [依题意，当p 是真命题时，有m <0；当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0．] 2．本例条件不变，若p 且q 为假，p 或q 为真，则实数m 的取值X 围为________． (－∞，－2]∪[0,2)[若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，∴m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，∴0≤m <2．∴m 的取值X 围是(－∞，－2]∪[0,2)．]根据命题的真假求参数X 围的步骤 (1)求出p 、q 均为真时参数的取值X 围；(2)根据命题p ∧q 、p ∨q 的真假判断命题p 、q 的真假； (3)根据p ，q 的真假求出参数的取值X 围.1．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤： (1)逐一判断命题p ，q 的真假．(2)根据“且”“或”的含义判断“p ∧q ”，“p ∨q ”的真假． p ∧q 为真⇔p 和q 同时为真， p ∨q 为真⇔p 和q 中至少一个为真．2．若命题p 为真，则“p ”为假；若p 为假，则“p ”为真，类比集合知识，“p ”就相当于集合p 在全集U 中的补集∁U p ．因此(p )∧p 为假，(p )∨p 为真．3．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．1．若命题“p ∧q ”为假，且p 为假，则( )A ．p ∨q 为假B ．q 假C ．q 真D ．p 假B [由p 为假知，p 为真，又p ∧q 为假，则q 假，故选B ．]2．给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集．其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4D [对于①，是“或”命题，且2>1是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝20>0，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A ∩B 是A 的子集，也是A ∪B 的子集．故④是真命题，故选D ．]3．下列命题是“p ∨q ”形式的是( ) A ．6≥6 B ．3是奇数且3是质数 C ．2是无理数D ．3是6和9的约数A [A 中，6≥6⇔6>6或6＝6，所以A 是“p ∨q ”形式的命题；B 和D 是“p ∧q ”形式的命题，C 不包含任何逻辑联结词，所以B ，C ，D 不正确，A 正确，故选A ．]4．已知命题p ：函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2＋ax 在[1,2]上是增函数，若p ∧q 为真，则实数a 的取值X 围是________．⎣⎡⎭⎫－2，12[p 为真时，2a －1<0，即a <12，q 为真时，－a2≤1，即a ≥－2，则p ∧q 为真时，p ，q 都真，所以－2≤a <12．]。

高中数学第一章常用逻辑用语3简单的逻辑联结词练习新人教A版选修1_1

简单的逻辑联结词基础全面练(20分钟35分)1．已知命题p：若x2－2 019x－2 020＝0，则x＝2 020；命题q：若xy＝0则x＝0且y＝0.下列是真命题的是( )A．(p)∨q B．(p)∧qC．q D．p∧(q)【解析】选A.由x2－2 019x－2 020＝0，解得：x＝2 020，或x＝－1，故命题p为假命题；若xy＝0则x＝0或y＝0，故命题q为假命题；所以p为真命题，q为真命题，对A，(p)∨q为真命题，故A正确，对B，(p)∧q为假命题，故B错误，对C，q为假命题，故C错误，对D，p∧(q)为假命题，故D错误．2．已知p：2＋3＝5，q：5<4，则下列判断正确的是( )A．p为假命题B．q为真命题C．p∨q为真命题D．p∧q为真命题【解析】选C.因为p为真命题，q为假命题，所以p∨q为真命题．3．若命题“(p∧q)”为真命题，则( )A．p，q 均为真命题B．p，q中至少有一个为真命题C．p，q中至多有一个为真命题D．p，q均为假命题【解析】选C.因为命题“(p∧q)”为真命题，所以p∧q为假命题，因此p，q中至少有一个为假命题，即p，q中至多有一个为真命题．【补偿训练】若命题“p∧q”为假，且p为假，则( )A．p∨q为假 B．q假 C．q真 D．p假【解析】选B.由p为假知，p为真，又p∧q为假，则q假．4．命题“若a<b，则2a<2b”的否命题是________，命题的否定是________．【解析】命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”，命题的否定是“若p，则q”．答案：若a≥b，则2a≥2b若a<b，则2a≥2b5．已知p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；q：函数g(x)＝x2＋ax在[1，2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．【解析】p 为真时，2a －1<0，即a<12 ，q 为真时，－a2 ≤1，即a≥－2，则p∧q 为真时，p ，q 都为真，所以－2≤a<12 .答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，12 6．写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”形式的命题，并判断其真假． (1)p ：集合中的元素是确定的，q ：集合中的元素是无序的． (2)p ：梯形有一组对边平行，q ：梯形有一组对边不平行．【解析】(1)“p∧q”：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题． “p∨q”：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题．(2)“p∧q”：梯形有一组对边平行且有一组对边不平行，真命题． “p∨q”：梯形有一组对边平行或有一组对边不平行，真命题．综合突破练 (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1．命题“p 且q”与命题“p 或q”都是假命题，则下列判断正确的是( ) A ．命题“p 且q”是真命题B ．命题“p”与“q”至少有一个是假命题C ．命题“p”与“q”真假相同D ．命题“p”与“q”真假不同【解析】选A.由于命题“p 且q”与命题“p 或q”都是假命题，则p ，q 均为假命题．所以，命题“p 且q”是真命题，命题“p”与“q”都为真命题，命题“p”与“q”真假不同，命题“p”与“q”真假相同．2．在一次篮球投篮比赛中，甲、乙两球员各投篮一次．设p ：“甲球员投篮命中”；q ：“乙球员投篮命中”，则“至少有一名球员投中”可表示为( ) A ．p∨qB ．p∧(q)C ．(p)∧(q)D ．(p)∨(q)【解析】选 A.至少有一名球员投中，即为甲投中或者乙投中，所以命题“至少有一名球员投中”可表示为p∨q.3．(2021·全国乙卷)已知命题p ：∃x∈R ，sin x<1；命题q ：∀x∈R ，e |x|≥1，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p∧q B ．p∧q C ．p∧qD ．(p∧q)【解析】选A.p 真，q 真，所以p∧q 真．4．设命题p ：方程x 2＋3x －1＝0的两根符号不同，命题q ：方程x 2＋3x －1＝0的两根之和为3，则命题“p”“q”“p∧q”“p∨q”中假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】选C.命题p 为真，命题q 为假，故“p”为假、“q”为真、“p∧q”为假、“p∨q”为真.【补偿训练】给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A∩B 是A 的子集，且是A∪B 的子集．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选D.对于①，是“或”命题，且2>1是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝20>0，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A∩B 是A 的子集，也是A∪B 的子集，故④是真命题．5．已知p ：x 2－4x ＋3<0与q ：x 2－6x ＋8<0；若“p 且q”是不等式2x 2－9x ＋a<0成立的充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(9，＋∞) B ．{0} C ．(－∞，9]D ．(0，9]【解析】选C.由x 2－4x ＋3<0可得p ：1<x<3；由x 2－6x ＋8<0可得q ：2<x<4，所以p 且q 为2<x<3，由条件可知，{x|2<x<3}是不等式2x 2－9x ＋a<0的解集的子集，即方程2x 2－9x ＋a ＝0的两根中一根小于等于2，另一根大于等于3.令f(x)＝2x 2－9x ＋a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝8－18＋a≤0，f （3）＝18－27＋a≤0，解得a≤9.二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知p ：1x －1 <1，q ：x 2＋(a －1)x －a>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】p ：1x －1 <1，所以x>2或x<1.q ：x 2＋(a －1)x －a>0，所以(x ＋a)(x －1)>0.因为p 是q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件．所以－a>2，所以a<－2. 答案：(－∞，－2)【补偿训练】设p ：函数f(x)＝|x －a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q ：log a 2<1，如果“p”是真，“q”也是真，则实数a 的取值范围为________．【解析】p ：f(x)＝|x －a|在区间(4，＋∞)上递增，故a≤4.q：由log a 2<1＝log a a ⇒0<a<1或a>2.如果“p”为真，则p 为假，即a>4. 又q 为真，即0<a<1或a>2，由p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1或a>2，a>4可得实数a 的取值范围是a>4. 答案：(4，＋∞)7．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面．命题p ：若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m∥n；命题q ：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；下面的命题中：①p∨q；②p∧q；③p∨(q)；④(p)∧q.真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). 【解析】易知p 是假命题，q 是真命题．所以p 为真，q 为假，所以p∨q 为真，p∧q 为假，p∨(q)为假，(p)∧q 为真．答案：①④【补偿训练】已知命题p ：不等式x 2＋x ＋1≤0的解集为R ，命题q ：不等式x －2x －1 ≤0的解集为{x|1<x≤2}，则命题“p∨q”“p∧q”“p”“q”中为真命题的是________．【解析】因为任意x∈R ，x 2＋x ＋1>0，所以命题p 为假，p 为真；因为x －2x －1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －1）≤0，x －1≠0 ⇔1<x≤2. 所以命题q 为真，则p∨q 为真，p∧q 为假，q 为假．答案：“p∨q”“p”8．若“直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1有公共点”为假，则实数k 的取值范围是________．【解析】因为“直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1有公共点”为假，所以“直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1无公共点”为真，即圆心到直线的距离d ＝21＋k2>1，解得－ 3 <k< 3 ，故实数k 的取值范围是(－ 3 ， 3 ). 答案：(－ 3 ， 3 )三、解答题(每小题10分，共20分)9．分别指出下列命题的形式及构成它们的简单命题． (1)正数或零的平方根是实数．(2)过直线a 外一点A 不能作直线与已知直线a 平行．【解析】(1)这个命题是“p∨q”的形式，其中p ：正数的平方根是实数，q ：零的平方根是实数．(2)这个命题是“p”的形式，其中p ：过直线a 外一点A 能作直线与已知直线a 平行． 10．设命题p ：实数x 满足(x －a)(x －3a)<0，其中a>0，命题q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p∧q 为真，求实数x 的取值范围． (2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】由(x －a)(x －3a)<0，其中a>0，得a<x<3a ，则p ：a<x<3a ，a>0.由x －3x －2 <0，解得2<x<3，即q ：2<x<3.(1)若a ＝1解得1<x<3，若p∧q 为真，则p ，q 同时为真，即⎩⎪⎨⎪⎧2<x<31<x<3 ，解得2<x<3，所以实数x 的取值范围是(2，3). (2)若p 是q 的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥3a≤2 ，即⎩⎪⎨⎪⎧a≥1a≤2 ，解得1≤a≤2.创新迁移练1．(2021·天水高二检测)已知命题p ：若a>1，则log a 0.2<1<a 0.2；命题q ：若函数f(x)＝mx 2－m 2x ＋1在(1，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围为(－∞，0)∪(0，2]，下列说法正确的是( )A ．p∧q 为真命题B ．q 为真命题C ．p 为假命题D ．(p)∧q 为假命题【解析】选D.由题意，若a>1，则函数y ＝log a x 与函数y ＝a x在(0，＋∞)上单调递增，所以log a 0.2<log a 1＝0，a 0.2>a 0＝1，所以log a 0.2<1<a 0.2，即命题p 是真命题，则p 为假命题，函数f(x)＝mx 2－m 2x ＋1在(1，＋∞)上单调递增，则满足⎩⎪⎨⎪⎧m>0－－m 22m ≤1 ，解得0<m≤2，所以命题q 是假命题，所以p∧q 为假命题，命题(p)∧q 为假命题．2．已知p ：x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意m∈[－1，1]恒成立，q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解．若p∧q 为假，p 也为假，求实数a 的取值范围．【解析】因为p∧q 为假，p 为假，所以p 为真，q 为假．因为p ：x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－2，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝m 2＋8 ，即当m∈[－1，1]时，|x 1－x 2|max ＝3.由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意m∈[－1，1]恒成立，可得a 2－5a －3≥3，得a≥6或a≤－1，q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解．当a>0时，显然有解；当a ＝0时，2x －1>0有解；当a<0时，由ax 2＋2x －1>0有解，即Δ＝4＋4a>0，得－1<a<0. 所以不等式ax 2＋2x －1>0有解时，a>－1，又因为q 为假，所以a≤－1.故所求a 的取值范围为(－∞，－1].。

高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词讲义(含解析)新人教A版选修1_1

简单的逻辑联结词预习课本P14～17，思考并完成以下问题1．课本提到的简单的逻辑联结词有哪些？2．命题p∧q、p∨q以及綈p的真假是如何确定的？[新知初探]1．逻辑联结词，“且”“或”“非”符号含义读法p∧q 用联结词“且”把命题p和命题q联结起来的一个新命题p且q p∨q 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题p或q綈p 对一个命题p全盘否定的一个新命题非p或p 的否定2．“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断p q p∨q p∧q 綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真[点睛] (1)含有逻辑联结词的命题与集合之间可以建立如下的对应关系：命题形式p且q p或q 非p集合运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U P＝{x|x∈U且x∉P}(2)确定p∧q，p∨q，綈p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p与綈p→真假相反．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是真命题时，“p∧q”为真命题( )(2)当p是真命题时，“p∨q”为真命题( )(3)若綈p为假命题，则p为真命题( )答案：(1)×(2)√(3)√2．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是( )A．“p∧q”形式的命题B．“p∨q”形式的命题C．“綈p”形式的命题 D．以上说法都不对答案：A3．已知p：2＋3＝5，q：5<4，则下列判断正确的是( )A．p为假命题 B．q为真命题C．p∨q为真命题 D．p∧q为真命题答案：C4．“p∨q”为真是“p∧q”为真的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)答案：必要不充分用逻辑联结词联结新命题[典例] p q p q p(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，q：方程x2＋4x＋1＝0的两个根的绝对值相等．[解] (1)p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．綈p：梯形没有一组对边平行．(2)p∨q：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根或两个根的绝对值相等；p∧q：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根且两个根的绝对值相等；綈p：方程x2＋4x＋1＝0没有两个不相等的实数根．用逻辑联结词构造新命题的两个步骤[注意] 有的命题表面上不含逻辑联结词，但有与联结词等效的词语，注意辨识．[活学活用]指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题：(1)2是4与8的约数；(2)方程x2＋5＝0没有实数根；(3)不等式x2－2x－3>0的解集是{x|x>3或x<－1}．解：(1)这个命题是p∧q的形式，其中p：2是4的约数，q：2是8的约数．(2)这个命题是綈p的形式，其中p：方程x2＋5＝0有实数根．(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－2x－3>0的解集是{x|x>3}，q：不等式x2－2x－3>0的解集是{x|x<－1}.含有逻辑联结词的命题的真假判断[典例] q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．p∧綈qC．綈p∧q D．綈p∧綈q(2)已知命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}．给出下列结论：①“p或q”为真；②“p或q”为假；③“p且q”为真；④“p且q”为假；⑤“非p”为真；⑥“非q”为假．其中正确结论的序号是________．[解析] (1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．(2)由题意可知，p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，故①④⑤⑥正确．[答案] (1)B (2)①④⑤⑥1．命题结构的两种类型及判断方法(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．2．判断命题真假的三个步骤(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”；(2)对命题p和q的真假作出判断；(3)由“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”的真假判断方法给出结论．分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假． (1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边； (2)1或－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根； (3)A ⃘(A ∪B )．解：(1)这个命题是“p ∧q ”的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真，q 真，则“p ∧q ”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，因为p 假，q 真，则“p ∨q ”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“綈p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )，因为p 真，则“綈p ”假，所以该命题是假命题.根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．[解] p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，解得m >2.q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，解得1<m <3.∵p 或q 为真，p 且q 为假．∴p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，解得m ≥3或1<m ≤2.故m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． [一题多变]1．[变条件]本例中将“p ∨q 为真，p ∧q 为假”改为“p ∧q 为真”，求实数m 的取值范围．解：∵“p ∧q ”为真命题， ∴p 为真且q 为真．p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0⇔m >2.q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根⇔Δ＝16(m －2)2－16<0⇔1<m <3.∴实数m 的取值范围为(2,3)．2．[变条件]本例中将“q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根”改为“q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0有两个不等的实数根”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0⇔m >2.q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0有两个不等的实根⇔Δ＝16(m －2)2－16>0⇔m >3或m <1.∵p ∨q 为真命题．p ∧q 为假命题， ∴p ，q 为一真一假． ①当p 为真q 为假时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1≤m ≤3，解得，2<m ≤3.②当p 为假q 为真时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m >3或m <1，解得m <1.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，1)∪(2,3]．应用逻辑联结词求参数范围的4个步骤(1)分别求出命题p ，q 为真时对应的参数集合A ，B ； (2)讨论p ，q 的真假；(3)由p ，q 的真假转化为相应的集合的运算； (4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．[注意] 当p ，q 中有假命题时，求参数范围应从求真命题的补集入手，可简化运算，减少出错．层级一学业水平达标1．若命题“p 且q ”为假，且綈p 为假，则( )A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．p 假解析：选B 綈p 为假，则p 为真，而p ∧q 为假，得q 为假．2．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧綈qB ．綈p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．p ∧q解析：选A 命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．同理可知，选项B 、C 、D 中的命题为假命题．3．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使命题p ∧q 为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)解析：选C 因为p ∧q 为真命题，所以p ，q 均为真命题，即点P 为直线y ＝2x －3与y ＝－3x ＋2的交点，故有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.故选C.4．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：3∈(A ∪B )，则命题“綈p ”是( ) A.3∉A B.3∈(∁U A )∩(∁U B ) C.3∈∁U BD.3∉(A ∩B )解析：选B 由p ：3∈(A ∪B )，可知綈p ：3∉(A ∪B )，即3∈∁U (A ∪B )，而∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )，故选B.5．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A q ⇒綈p 等价于p ⇒綈q ，綈p ⇒/ q 等价于綈q ⇒/ p ，故p 是綈q 的充分不必要条件．6．命题“若a <b ，则2a<2b”的否命题是________________，命题的否定是________________________．解析：命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，命题的否定是“若p ，则綈q ”．答案：若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b7．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z.若“p ∧q ”“綈q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________．解析：因为“p ∧q ”为假，“綈q ”为假，所以q 为真，p 为假．故⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈Z.因此，x 的值可以是－1,0,1,2. 答案：{－1,0,1,2}8．已知条件p ：(x ＋1)2>4，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由綈p 是綈q 的充分不必要条件，可知綈p ⇒綈q ，但綈q ⇒/ 綈p .由一个命题与它的逆否命题等价，可知q ⇒p 但p ⇒/ q ．又p ：x >1或x <－3，可知{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)9．分别指出下列命题的形式及构成它们的简单命题． (1)矩形的对角线相等且互相平分； (2)正数或零的平方根是实数；(3)过直线a 外一点A 不能作直线与已知直线a 平行．解：(1)这个命题是“p ∧q ”的形式，其中p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分．(2)这个命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：正数的平方根是实数，q ：零的平方根是实数． (3)这个命题是“綈p ”的形式，其中p ：过直线a 外一点A 能作直线与已知直线a 平行． 10．已知命题p ：1∈{x |x 2<a }，命题q ：2∈{x |x 2<a }． (1)若“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：若p 为真命题，则1∈{x |x 2<a }，故12<a ，即a >1；若q 为真命题，则2∈{x |x 2<a }，故22<a ，即a >4. (1)若“p 或q ”为真命题，则a >1或a >4，即a >1. 故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p 且q ”为真命题，则a >1且a >4，即a >4. 故实数a 的取值范围是(4，＋∞)．层级二应试能力达标1．已知p ：x ＋1>2，q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设集合A ＝{x |x ＋1≤2}＝{x |x ≤1}，B ＝{x |5x －6≤x 2}＝{x |x ≤2或x ≥3}，由于A B ，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件，故选A.2．已知p ：函数y ＝sin 12x 的最小正周期是π，q ：函数y ＝tan x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C 很明显p 和q 均是假命题，所以綈q 为真，p ∧q 为假，p ∨q 为假，故选C.3．设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中的真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：选A 对于命题p ：因为a ·b ＝0，b ·c ＝0，所以a ，b 与b ，c 的夹角都为90°，但a ，c 的夹角可以为0°或180°，故a ·c ≠0，所以命题p 是假命题；对于命题q ：a ∥b ，b ∥c 说明a ，b 与b ，c 都共线，可以得到a ，c 的方向相同或相反，故a ∥c ，所以命题q是真命题．则p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以(綈p )∧(綈q )是假命题，p ∨(綈q )是假命题，故选A.4．下列各组命题中，满足“p 或q ”为真，且“非p ”为真的是( ) A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R)；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M (0,1)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条解析：选C A 中，p ，q 均为假命题，故“p 或q ”为假，排除A ；B 中，由在△ABC 中，cos 2A ＝cos 2B ，得1－2sin 2A ＝1－2sin 2B ，即(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝0，所以A －B ＝0，故p 为真，从而“非p ”为假，排除B ；C 中，p 为假，从而“非p ”为真，q 为真，从而“p 或q ”为真；D 中，p 为真，故“非p ”为假，排除D.故选C.5．已知p ：若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋m ，则数列{a n }是等差数列，当綈p 是假命题时，则实数m 的值为________．解析：由于綈p 是假命题，所以p 是真命题．由S n ＝n 2＋m ，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ，n ＝1，2n －1，n >1，所以1＋m ＝2×1－1，解得m ＝0.答案：06．已知p ：点M (1,2)在不等式x －y ＋m <0表示的区域内，q ：直线2x －y ＋m ＝0与直线mx ＋y －1＝0相交，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：当p 是真命题时，有1－2＋m <0，即m <1；当q 是真命题时，有2＋m ≠0，即m ≠－2. 又p ∧q 为真命题，所以p 是真命题且q 是真命题，所以m <1且m ≠－2，所以实数m 的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,1)．答案：(－∞，－2)∪(－2,1)7．设命题p ：a ∈{y |y ＝－x 2＋2x ＋8，x ∈R}，命题q ：关于x 的方程x 2＋x －a ＝0有实根．(1)若p 为真命题，求a 的取值范围；(2)若“p ∧q ”为假命题，且“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围．解：(1)由题意得，y ＝－x 2＋2x ＋8＝－x －12＋9∈[0,3]，故p 为真命题时，a的取值范围为[0,3]．(2)当q 为真命题时，a ≥－14.由题意得，p 与q 一真一假，从而当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤3，a <－14，无解；当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a >3，a ≥－14，所以a >3或－14≤a <0.所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪(3，＋∞)．8．设命题p ：函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上单调递增；q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0(a >0，且a ≠1)的解集只有一个子集．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解：当命题p 是真命题时，应有a >1. 当命题q 是真命题时，关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解，所以Δ＝4－4log a 32<0，解得1<a <32.由于p ∨q 为真，则p 和q 中至少有一个为真，又p ∧q 为假，则p 和q 中至少有一个为假，所以p 和q 中一真一假，当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1<a <32，不存在符合条件的实数a ；当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≤1或a ≥32，解得a ≥32，综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

【2020】最新高中数学第一章常用逻辑用语1-3简单的逻辑联结词课时作业新人教A版选修1-1

(C)使用了逻辑联结词“或”
(D)使用了逻辑联结词“非”
解析:2<x<3⇔x>2且x<3,故B正确.
2.若命题p:1不是质数,命题q:2是合数,则下列结论中正确的是( B )
(A)“p∨q”为假(B)“p∨q”为真
(C)“p∧q”为真(D)以上都不对
解析:命题p为真命题,命题q为假命题,故“p∨q”为真命题,“p∨q”为假命题.故选B.
①当p真,q假时,
{c|0<c<1}∩{c|c> 且c≠1}={c| <c<1}.
②当p假,q真时,{c|c>1}∩(c|0<c≤ )= .
综上所述,实数ห้องสมุดไป่ตู้的取值范围是(c| <c<1).
【探究创新】
13.(20xx·驻马店月考)设命题p:函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,命题q:关于x的方程x2+2x+loga =0的解集只有一个子集.若“p或q”为真,“¬p或¬q”也为真,求实数a的取值范围.
(A)p∨q(B)p∧(¬q)
(C)(¬p)∧(¬q)(D)(¬p)∨(¬q)
解析:至少有一名球员投中为p∨q.故选A.
6.(20xx·河南新乡周练)已知命题p:x2-4x+3<0与q:x2-6x+8<0;若“p且q”是不等式2x2-9x+a<0成立的充分条件,则实数a的取值范围是( C )
(A)(9,+∞)(B){0}
解:当命题p是真命题时,应有a>1;
当命题q是真命题时,关于x的方程x2+2x+loga =0无解,
所以Δ=4-4loga <0,