高二微积分导学案
高中数学教育教案：掌握微积分基础知识
高中数学教育教案：掌握微积分基础知识微积分是高中数学的一个重要部分，是一门非常重要的数学分支，也是大学入门的必备学科。
微积分的掌握对于高考及日后学习其他学科有非常重要的作用。
在中学阶段充分掌握微积分的基础知识非常必要。
本文将介绍如何设计高中数学微积分基础知识的教育教案。
一、教学目标1.学生掌握微积分的基础概念及其应用。
2.培养学生的微积分思维方式，提高学习能力。
3.引导学生探究微积分的思想和方法。
4.培养学生解决实际问题的能力。
二、教学重点1.微积分的基本概念。
2.微积分的计算方法。
3.微积分的应用。
三、教学难点1.微积分思想的理解和把握。
2.微积分的应用能力的桥梁建立。
四、教学内容1.微积分的基础概念（1）函数的概念（2）导数的概念（3）微分的概念（4）函数的图像与导数（5）导数的基本性质（6）导数的应用（7）高阶导数和导数的相关公式（8）微分的应用2.微积分的计算方法（1）函数的极值（2）函数的最值（3）函数空间的判断（4）微积分的基本公式（5）微积分的计算技巧3.微积分的应用（1）微积分基本定理（2）面积与定积分（3）曲线的长度与定积分（4）旋转体的体积与积分（5）工程应用五、教学方法1.讲解法教师深入浅出地讲解微积分的基本概念，讲解微积分的公式和应用，帮助学生掌握微积分的基本知识。
2.解题法通过解题的方式引导学生探究微积分的基本概念，训练学生微积分思维方式，加深对微积分的理解。
3.探究法通过提出问题的方式松敏学生探究微积分的思想和方法，拓展学生的思维，在实际问题中发掘微积分的应用价值。
六、教学环节设计一、导入环节通过课件或实际例子让学生理解微积分的基本概念，激发学生学习微积分的兴趣。
二、概念讲解与例题讲解通过教材，幻灯片、板书等途径深入浅出地讲解微积分的基本概念，引导学生探究微积分的思想和方法。
讲解好基本概念后，通过例子解题，明确微积分的应用。
三、基本公式讲解与例题讲解讲解微积分的基本公式，通过例子解题，让学生掌握微积分的计算方法。
微积分基本定理
例1计算下列定积分：
（1）ʃdx；（2）ʃ(2x－)dx；（3）ʃ(cosx－ex)dx.
跟踪训练1计算下列定积分：
（1）ʃ5x4dx；（2）ʃ(＋)26xdx.
探究点二 分段函数的定积分
例2已知函数f(x)＝先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
【巩固练习】
1．(1＋cosx)dx等于()
A．πB．2C．π－2D．π＋2
2．若ʃ(2x＋)dx＝3＋ln 2，则a的值是()
A．5B．4C．3D．2
3．ʃ(x2－x)dx＝_______
4．已知f(x)＝，计算ʃf(x)dx.
5．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有()
S＝ʃ[f(x)－g(x)]dxS＝ʃ(2－2x＋8)dx S＝ʃf(x)dx－ʃf(x)dx
探究点四 求不分割型图形的面积
问题怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
例4计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.
跟踪训练4求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
探究点五 分割型图形面积的求解
问题由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？
例5计算由直线y＝x－4，曲线y＝以及x轴所围图形的面积S.
跟踪训练5求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
探究点六 定积分的综合应用
例6在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：切点A的坐标以及在切点A的切线方程．
跟踪训练6如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
微积分积分定理导学案
编号：gswhsxxx2-2-01012文华高中高二数学选修2--2第一章《导数及其应用》1.6微积分积分定理导学案编制人:刘君杰 审核人:戴道亮 编制时间:2015年4月29日学习目标：1. 通过实例直观了解微积分积分定理的含义;2. 熟练地用微积分积分定理计算微积分.3. 探究导数和定积分的联系重难点：1.基本初等函数地求导公式:2.导数运算法则:3.连续函数)(x f 在[]b a ,上的定积分定义:4.定积分的性质:学习方法了解并掌握导数的概念及求法。
学习过程一．【知识点实例探究】看课本57—59微积分基本定理: __________________________________________________ 如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数并且)()(/x f x F =,那么=⎰ba dx x f )(___________二．典型例题例1.计算下列定积分: (1)⎰211dx x (2)dx xx ⎰-312)12(例2.计算下列定积分:⎰π0sin xdx ,⎰ππ2sin xdx ,⎰π20sin xdx . 由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.例3.计算下列定积分:(1)⎰--202)4)(24(dx x x(2)dx x x x ⎰--21232(3)dx x x 232)1(⎰+(4)dx x x )1(41⎰-(5)⎰+20)sin 3(πdx x x(6)⎰-21)2(dx x e x(7)⎰102dx e x (8)⎰462cos ππxdx(9)⎰312dx x (10)⎰+1021dx x x(11)dx x ⎰202)2(sin π(12)⎰-a dx x a 022(13)dx x x ⎰+101本节课我最大的收获是:我存在的疑惑有:《微积分积分定理》节节过关达标检测班级 组名 学生姓名1.下列各式中,正确的是A.)()()(///a f b f dx x f ba -=⎰ B.)()()(///b f a f dx x f b a -=⎰ C. )()()(/a f b f dx x f b a -=⎰ D. )()()(/b f a f dx x f b a-=⎰ 2.已知自由落体的运动速度g gt v (=为常数),则当[]2,1∈t 时,物体下落的距离是 A.g 21 B.g C.g 23 D.g 2 3.若,2ln 3)12(1+=+⎰a dx x x 则a 的值是 A.6 B.4 C.3 D.2 4.dx x ⎰--1121等于 A.4π B.2π C.π D.π2 5.)(x f 是一次函数,且⎰⎰==1010617)(,5)(dx x xf dx x f ,那么)(x f 的解析式是 A.34+x B.43+xC.24+-xD.43+-x6.已知⎰--=-aa dx x 8)12(,则a =( )7.设)(x f 是奇函数,求⎰-aa dx x f )(=( )8.设[][]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,)(2x x x x x f ,求⎰20)(dx x f。
微积分基本定理导学案及练习题
微积分基本定理导学案及练习题一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是 ( )①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s(t)|ba；②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；③它在时间段[a，b]内的位移是s＝limn→∞i＝1n b－ans′(ξi)；④它在时间段[a，b]内的位移是s＝ʃbas′(t)dt.A．① B．①②C．①②④ D．①②③④2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是( )A．F(x)＝13x3 B．F(x)＝x3 C．F(x)＝13x3＋1 D．F(x)＝13x3＋c(c为常数)3． ʃ10(ex＋2x)dx等于 ( )A．1 B．e－1 C．e D．e＋14．已知f(x)＝x2，－1≤x≤0，1，0x≤1，则ʃ1－1f(x)dx的值为 ( )A.32B.43C.23 D．－2． ʃπ20sin2x2dx等于 ( )A.π4B.π2－1 C．2 D .π－246．ʃ1－1| x|dx等于 ( )A．ʃ1－1xdxB．ʃ1－1(－x)dxC．ʃ0－1(－x)dx＋ʃ10xdxD．ʃ0－1xdx＋ʃ10(－x)dx二、能力提升7．设f(x)＝lg x，x0x＋?a03t2dt，x≤0，若f[f(1)]＝1，则a＝________.8．设函数f(x)＝ax2＋c (a ≠0)，若ʃ10f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．9．设f(x)是一次函数，且ʃ10f( x)dx＝5，ʃ10xf(x)dx＝176，则f(x)的解析式为________．10．计算下列定积分：(1)ʃ21(ex＋1x)dx； (2)ʃ91x(1＋x)dx；(3)ʃ200(－0.05e－0.05x＋1)dx；(4)ʃ211xx＋1dx.11．若函数f(x)＝x3，x∈[0，1]，x，x∈1，2]，2x，x∈2，3].求ʃ30f(x)dx的值．12．已知f(a)＝ʃ10(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．。
高中数学微积分教案
高中数学微积分教案教学目标知识与技能1. 理解微积分的概念，掌握基本运算方法。
2. 能够应用微积分解决实际问题。
过程与方法1. 通过实例引入微积分的概念，培养学生的抽象思维能力。
2. 利用图形和实际问题引导学生掌握微积分的应用。
情感态度与价值观1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生勇于探索、严谨求实的科学态度。
教学内容第一课时：微积分的概念与基本运算1. 引入微积分的概念，讲解微积分的起源和发展。
2. 讲解微积分的两个基本运算：求导和积分。
3. 举例说明微积分的应用，如求解速度、加速度等问题。
第二课时：微积分在实际问题中的应用1. 通过实际问题引入微积分的应用，如最优化问题、面积和体积的计算等。
2. 讲解微积分在实际问题中的解决方法，如微分方程、微分不等式等。
3. 引导学生运用微积分解决实际问题，培养学生的实践能力。
教学方法实例引入通过具体的实例，引导学生理解微积分的概念和基本运算方法。
图形演示利用图形和实际问题，直观地展示微积分的应用，帮助学生更好地理解。
问题驱动引导学生主动探索微积分解决实际问题的方法，培养学生的独立思考能力。
教学评价课堂参与度观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生对微积分概念和应用的理解程度。
作业完成情况检查学生作业的完成质量，评估学生对微积分基本运算和方法的掌握情况。
实际问题解决能力通过课后实践环节，评估学生运用微积分解决实际问题的能力。
教学资源教材《高中数学微积分》辅助材料1. 微积分课件2. 实际问题案例集3. 微积分练题库教学计划第一周：微积分的概念与基本运算1. 课时1：引入微积分概念，讲解微积分的起源和发展。
2. 课时2：讲解微积分的两个基本运算：求导和积分。
第二周：微积分在实际问题中的应用1. 课时1：通过实际问题引入微积分的应用，如最优化问题、面积和体积的计算等。
2. 课时2：讲解微积分在实际问题中的解决方法，如微分方程、微分不等式等。
第三周：实践与拓展1. 课时1：引导学生运用微积分解决实际问题，培养学生的实践能力。
微积分基本定理导学案
课题：1.6微积分基本定理一、学习目标1.通过实例直观了解微积分积分定理的含义.2.熟练地用微积分积分定理计算微积分.二、教学重难点教学重点：理解微积分基本定理的含义，并能用定理计算简单的定积分．教学难点：理解微积分基本定理的含义．三、自学指导与检测自学指导自学检测及课堂展示阅读课本54-51P完成右框内容1.复习定积分的性质①bakf(x)dx=⎰ .②b12a[f(x)f(x)]dx=±⎰ .③baf(x)dx=⎰ .2.微积分基本定理(1)一般地，如果)(xf是区间[]b a,上的连续函数并且)()(xfxF=',那么=⎰b a dxxf)(___________ .这个结论叫做微积分基本定理，也叫做. (2)符合表示：=⎰b a dxxf)(= .【即式训练1】用微积分基本定理求简单函数的定积分．（1）12x dx⎰；（2）()dxxx⎰-122；（3）⎰102dxe x（4）⎰--22)4)(24(dxxx【变式训练1】计算下列定积分:⎰π0sin xdx,⎰ππ2sin xdx,⎰π20sin xdx.由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.3：用微积分基本定理求分段函数的定积分A 层1．下列积分正确的是( )2.dx x ⎰--1121等于( )A.4πB.2π C.π D.π2B 层3.dx x ⎰11-等于() A.⎰11-xdx B. dx ⎰11- C. ⎰-01-)(dx x ＋⎰10xdx D. ⎰01-xdx ＋⎰-10)(dx xC 层5.已知⎰--=-aa dx x 8)12(,求a 的值.【即时训练2】.求函数3(01)()(14)x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩在区间[0,4]上的积分.。
高中数学《微积分基本定理》导学案
1．微积分基本定理(1)定理内容如果f(x)是区间[a，b]上的□01连续函数，并且F′(x)＝□02f(x)，那么⎠⎛ab f(x)d x ＝□03F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做□04牛顿－莱布尼茨公式．(2)定理的符号表示⎠⎛ab f(x)d x＝F(x)|b a＝□05F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则⎠⎛ab f(x)d x＝□06S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则⎠⎛ab f(x)d x＝□07－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则⎠⎛ab f(x)d x＝□08S上－S下．若S上＝S下，则⎠⎛ab f(x)d x＝□090.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．()答案(1)√(2)√(3)√答案(1)0(2)2(3)2拓展提升求简单的定积分要注意的两点(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．[条件探究] 将本例中的2改为a ，求⎠⎛－43|x ＋a |d x .拓展提升求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式：(1)对于带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；(2)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．【跟踪训练2】 求定积分⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫|x －2|＋1x 2d x .拓展提升微积分基本定理，实际上给出了导数和定积分之间的内在联系，在求解含有参数的定积分问题时，往往要与其他知识联系起来，综合解决．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．答案(1)1(2)3 31.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积都是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和．在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.答案 A解析设f(x)＝ax＋b，代入可得a＝4，b＝3.2．定积分⎠⎛1(2x＋e x)d x的值为()A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1答案C解析⎠⎛1(2x＋e x)d x＝(x2＋e x)|10＝(1＋e)－(0＋e0)＝e.3．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若⎠⎜⎛-11f(x)d x＝2f(a)成立，则a＝________.答案－1或13解析由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，所以⎠⎜⎛-11f(x)d x＝F(1)－F(－1)＝4，所以2f(a)＝4，所以f(a)＝2，即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或13.4．已知f(x)为一次函数，且f(x)＝x＋2⎠⎛1f(t)d t，则f(x)＝________.答案x－1解析设f(x)＝kx＋m(k≠0)，则⎠⎛1f(t)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫12kt2＋mt10＝12k＋m，∴kx ＋m ＝x ＋k ＋2m ，∴k ＝1且m ＝k ＋2m ，∴m ＝－1.即f (x )＝x －1.5．已知f (x )＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．解 由f (－1)＝2得a －b ＋c ＝2，① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，所以f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋b x ＋c)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12b x 2＋c x |10 ＝13a ＋12b ＋c ，所以13a ＋12b ＋c ＝－2，③由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.A 级：基础巩固练一、选择题1．若函数f (x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x ＝( )A.56B.12C.23D.16 答案 A解析 因为f (x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2|21＝56.2．若⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1x d x ＝(x 2＋ln x )a 1＝(a 2＋ln a )－(1＋ln 1)＝(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，a >1，a ＝2，所以a ＝2.3．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2(0≤x <1)，2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在 答案 C解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x ，所以⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.答案 D答案 A答案 B二、填空题7．若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则⎠⎛03f (x )d x ＝________.答案 －18解析 ∵f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3.∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝－4.∴f (x )＝x 2－8x ＋3，∴⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛03(x 2－8x ＋3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x 2＋3x |30＝－18. 8．计算定积分⎠⎜⎛-11(x 2＋sin x )d x ＝________.答案 23解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cosx ′＝x 2＋sin x ，所以⎠⎜⎛-11 (x 2＋sin x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cosx |1－1＝23.9．定积分⎠⎛01x1＋x 2d x 的值为______． 答案 12ln 2解析 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ln (1＋x 2)′＝x 1＋x 2，所以⎠⎛01x 1＋x 2d x ＝12 ln (1＋x 2)|10＝12 ln 2.B 级：能力提升练11．已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2|10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29，∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.12．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ∈[－2，2)，1＋x 2，x ∈(2，4]，求使⎠⎛k 3f (x )d x ＝403恒成立的k 的值． 解 由题意得k<3. (1)当k ∈(2,3)时， ⎠⎛k3f (x )d x ＝⎠⎛k3(1＋x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 3|3k＝3＋13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋13k 3＝403，整理得k 3＋3k ＋4＝0，即k 3＋k 2－k 2＋3k ＋4＝0， 所以(k ＋1)(k 2－k ＋4)＝0，所以k ＝－1. 而k ∈(2,3)，所以k ＝－1舍去． (2)当k ∈[－2,2]时，⎠⎛k 3f (x )d x ＝⎠⎛k 2(2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(1＋x 2)d x ＝(x 2＋x )2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 332 ＝(22＋2)－(k 2＋k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋13×23＝403－(k 2＋k )＝403， 所以k 2＋k ＝0， 解得k ＝0或k ＝－1. 综上所述，k ＝0或k ＝－1.。
郑011 1.6微积分基本定理导学案2013-14高二下数学2-2
f′(3x)dx＝(
a
A．f(b)－f(a)
课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目;
C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬
答案
题型一：用微积分基本定理求简单函数的定积分 1、
C．－cosx 4.答案 A 解析 F(x)＝
D．－sinx
x
costdt＝sint
0
6
x ＝sinx－sin0＝sinx. 0
(2x－4)dx＝16－4＝12.
0
所以 F′(x)＝cosx，故应选 A. ) B．f(3b)－f(3a) D．3[f(3b)－f(3a)]
b
f′(3x)dx＝(
a
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬 课题 学习 目标 重点 难点 §1.6 微积分基本定理 课时 1 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），了解牛 顿-莱布尼兹公式 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的 关系），直观了解微积分基本定理的含义 学习流程 [知识链接]： （1）定义表达式：
sin xdx的几何意义？
③当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值取____值， 且等于_______________面积；
问题 3：① 求 ②
2
0
sin xdx ______________ .
2
0
sin xdx的几何意义？
3 1 2. （ - 2 sin 0
③当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲 边梯形面积时，定积分的值为_____ ，且等于_________________ _______________________面积．
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1.4.2微积分基本定理
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为
21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即
21()T T v t dt ⎰
=12()()S T S T -
而()()S t v t '=。
对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有
()()()
b
a f x d x F
b F a =-⎰ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰
证明：因为()x Φ=()x
a f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故
()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。
令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=
()a a f t dt ⎰=0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a
f t dt ⎰ 令x b =，有()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰
为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即
()()|()()b
b a a f x dx F x F b F a ==-⎰
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
三、例题解析：
例1．计算下列定积分：
（1）2
11dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x
-⎰。
解：（1）因为'1(ln )x x
=，所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=⎰。
（2））因为2''211()2,()x x x x
==-， 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x
x -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。
例2．计算下列定积分：
2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx π
ππ
π⎰⎰⎰。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为'(cos )sin x x -=，
所以
00sin (cos )|(cos )(cos0)2xdx x πππ=-=---=⎰， 22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππ
ππ=-=---=-⎰，
2
200sin (cos )|(cos 2)(cos0)0xdx x πππ=-=---=⎰. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分
的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。
设汽车以等减速度a =1.8
米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。
当t=0时，汽车速度0v =32公里/小时=
3210003600
⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
4.93
4.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93
201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
课堂巩固：
1.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤
与坐标轴围成的面积是 A.4 B. 52
C.3
D.2 2.下列积分不正确的是
A 、3ln 13
1=⎰dx x
B 、0sin 2xdx π
=-⎰ C 、31210=⎰
dx x D 、23ln 29)1(232+=+⎰dx x x 3.计算dx x x )12(26
1-
⎰=_________ 4. 计算40cos2xdx π
⎰=____________
1.求抛物线2x y =与直线x ＋y=2所围图形的面积
2.求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积。