江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(一)

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【数学】江西省南昌市十所省重点中学2015年二模突破冲刺交流试卷(8)(理)

2015年江西省南昌市十所省重点中学二模（理科）（八）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足：z+|z|=1+2i，则z的虚部为（）A．2i B．1 C．2 D．i【考点】复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】设出复数z的代数形式，代入已知的等式，由复数相等的条件求得z的虚部．【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），代入z+|z|=1+2i，得：a+bi+=1+2i，∴，∴z的虚部为2．故选：C．【点评】本题考查了复数模的求法，考查了复数相等的充要条件，是基础题．2．（5分）已知a＞1，f（x）=，则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣2＜x＜1 C．2＜x＜0 D．0＜x＜1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据指数函数的性质，求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】解：∵a＞1，∴由f（x）＜1得＜1，即x2+2x＜0，解得﹣2＜x＜0，即f（x）＜1的等价条件是﹣2＜x＜0，则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是﹣1＜x＜0，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．3．（5分）在等比数列{a n}中，若a1=2，a2+a5=0，{a n}的n项和为S n，则S2015+S2016=（）A．4032 B． 2 C．﹣2 D．﹣4030【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得公比q=﹣1，可得S2015=2，S2016=0，相加可得．【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=2，a2+a5=0，∴2q（1+q3）=0，解得q=﹣1，∴S2015=2，S2016=0∴S2015+S2016=2故选：B【点评】本题考查等比数列的求和公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】由题意根据伸缩变换、平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的一个对称中心即可．【解析】解：横坐标伸长到原来的3倍则函数变为y=sin（2x+）（x系数变为原来的），函数的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x；考察选项不难发现就是函数的一个对称中心坐标．故选D【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的伸缩、平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．5．（5分）下列四个命题中：①设有一个回归方程=2﹣3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；②命题P“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定￢p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量X服从正态分布N（0，4），若P（X＞1）=0.2，则P（﹣l＜X＜0）=0.3；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=6.679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有（）本题可以参考独立性检验临界值表：A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】独立性检验的应用．【专题】综合题；概率与统计．【分析】①设有一个回归方程=2﹣3x，变量x增加一个单位时，y平均减少3个单位；②命题P“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定￢p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量X服从正态分布N（0，4），若P（X＞1）=0.2，则P（﹣l＜X＜0）=0.5﹣0.2=0.3；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=6.679＞6.535，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．【解析】解：①设有一个回归方程=2﹣3x，变量x增加一个单位时，y平均减少3个单位，故不正确；②命题P“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定￢p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，正确；③设随机变量X服从正态分布N（0，4），若P（X＞1）=0.2，则P（﹣l＜X＜0）=0.5﹣0.2=0.3，正确；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=6.679＞6.535，则有99%的把握确认这两个变量间有关系，正确．故选：C．【点评】本题考查回归直线方程的意义及性质，以及命题的否定，正态分布，独立性检验知识，属于中档题．6．（5分）若n=2xdx，则（x﹣）n的展开式中常数项为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】定积分．【专题】二项式定理．【分析】求定积分得n的值，写出二项式的通项，由x的指数为0求得r值，则常数项可求．【解析】解：∵n=2xdx=，∴（x﹣）n=．其通项为=．由4﹣2r=0，得r=2．∴展开式中常数项为．故选：C．【点评】本题考查定积分，考查二项式的展开式，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．（5分）已知，为互相垂直的单位向量，若向量λ+与+λ的夹角等于30°，则实数λ等于（）A．±2B．±C．±D．或【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由数量积定义可得（λ+）•（+λ）=|λ+|×|+λ|×cos30°，由数量积运算性质可得（λ+）•（+λ）=+（λ2+1）+=2λ，先算平方可得|λ+|=|+λ|=，代入等式可得λ方程．【解析】解：∵，为互相垂直的单位向量，∴|λ+|2==λ2+1，|+λ|2==λ2+1，∴|λ+|=，|+λ|=，而（λ+）•（+λ）=+（λ2+1）+=2λ，∴2λ=××cos30°，整理得，解得或，故选D．【点评】本题考查平面向量数量积的定义及运算性质，考查学生运算能力．8．（5分）一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为（）A．3 B．C．2 D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】求出四个顶点在yOz平面上投影的坐标，分析正视图的形状，可得答案．【解析】解：（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），在yOz平面上投影的坐标分别为：（0，0，0），（0，2，0），（0，2，2），（0，0，1），如下图所示：即四面体的正视图为上下底长度分别为1，2，高为2的梯形，其面积S==3，故选：A【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中画出几何体的正视图是解答的关键．9．（5分）阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（）A．a=12，i=3 B．a=12，i=4 C．a=8，i=3 D．a=8，i=4【考点】程序框图．【专题】阅读型；图表型；算法和程序框图．【分析】由程序框图依次计算第一、第二、第三次运行的结果，直到满足条件满足a被6整除，结束运行，输出此时a、i的值．【解析】解：由程序框图得：第一次运行i=1，a=4；第二次运行i=2，a=8；第三次运行i=3，a=12；满足a被6整除，结束运行，输出a=12，i=3．故选A．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，解答的关键是读懂程序框图．10．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8 C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】化简得b=﹣（a2﹣3lna），d=c+2；从而得（a﹣c）2+（b﹣d）2=（a﹣c）2+（3lna ﹣a2﹣（c+2））2表示了点（a，3lna﹣a2）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数图象，利用数形结合求解．【解析】解：∵（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b=﹣（a2﹣3lna），d=c+2；∴（a﹣c）2+（b﹣d）2=（a﹣c）2+（3lna﹣a2﹣（c+2））2，其表示了点（a，3lna﹣a2）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数y=3lnx﹣x2与函数y=x+2的图象如下，∵（3lnx﹣x2）′=﹣2x=；故令=1得，x=1；故切点为（1，﹣1）；结合图象可知，切点到直线y=x+2的距离为=2；故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为8；故选：B．【点评】本题考查了函数的图象的作法及数形结合的思想应用，属于中档题．11．（5分）设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，若对任意的a i （i=2，3，4，5，6）总有a k（k＜i，k=1，2，3，4，5）满足|a i﹣a k|=1，则这样的排列共有（）A．36 B．32 C．28 D．20【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】利用列举法，即可得出结论．【解析】解：如果1不在前左边，则2必须在1的左边（1）23456的次序保存不变，变化1的位置：（123456）（213456）（231456）（234156）（234516）（234561）（2）3456次序不变，1和2的次序为21（同时3必须在21的左边）：（321456）（324156）（324516）（324561）（342156）（342516）（342561）（345216）（345261）（345621）（3）456次序不变：（432156）（432516）（432561）（435216）（435261）（435621）（453216）（453261）（453621）（456321）（4）56次序不变：（543216）（543261）（543621）（546321）（564321）（5）6在最左：（654321）共32种可能故选：B．【点评】列举法是解决计数原理应用题的常用方法．12．（5分）（2015•甘肃二模）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）=的图象如下，由图象可得x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；从而化简x3（x1+x2）+，利用函数的单调性求取值范围．【解析】解：作函数f（x）=，的图象如下，由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；故x3（x1+x2）+=﹣+x4，其在1＜x4≤2上是增函数，故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；即﹣1＜﹣+x4≤1；故选B．【点评】本题考查了分段函数的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．13．（5分）（2015•肇庆三模）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有10种．【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种。

江西省南昌市高三数学第二次模拟考试试题(扫描版)理

江西省南昌市2015届高三数学第二次模拟考试试题（扫描版）理2015 年高三测试卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13．214．13π 15．1316． 2212x y -=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=---4=-；……6分（Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<， (11)分所以当3A π=时，a b +最大，最大值是．………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分所以随机变量ξ的分布列是：……………………10分随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113． (12)分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC =90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=，所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ，以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D -,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则00n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分而二面角D —GCB为钝角，故所求二面角的余弦值为5-． (12)分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB最小，因为||2OD ==，所以2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b +=⇒=，所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分（Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S = 当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =， (6)分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k =--，圆心O到直线m 的距离为：d=，所以||PQ ==8分将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN = 所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈，综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x -+=+-=(0)x >，记2()221g x x a x =-+………1分（一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>⎩，解得x ∈，所以函数()f x在区间(,)22a a +上单调递减，在区间)+∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-，对任意的(1a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln ()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立，记2()ln (2)2h a a ma m a =+-++，则(1)0h =， 1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a ->，当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=， (3)分,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F AC AF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE AD AD FC AE BC ∴=-，解得8AE =。

江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(三)

2
2
3 区间 (1, ) 内是（）
2
A．减函数且 f ( x) 0 B．减函数且 f ( x) 0 C．增函数且 f ( x) 0 D．增函数且 f ( x) 0
6．下列说法中，正确的个数是（
）
（ 1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等
.
（ 2）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变
1 SS
(2 k 1)(2 k 1)
k k1
S a?
否
是
输出 k
结束
12．某几何体三视图如图 (单位： cm)，
则该几何体的外接球表面积是（
）
A ． 800 cm3 B ． 1025 cm3
C． 625 cm3 D ． 1200 cm3 第Ⅱ卷（共 90 分） [来源 :Z ， xx， k． Com]
M , N （点 M 在点 N 的左侧），且
y
C
T
A
OM
N
x
21． (本题满分 12 分 )
B
已知函数 f ( x) ln x mx2 ， g (x) 1 mx2 x ( m R) ，令 2
F (x) f (x) g ( x) 。
（Ⅰ）当 m
1 时，求函数 f (x) 的单调递增区间；
2
（Ⅱ）若关于 x 的不等式 F ( x) mx 1 恒成立，求整．数． m 的最小值；
1的左、右焦点分别为
F1 、 F2 ，
过 F1 作圆 x2 y2 a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于
点 B 、 C ，且 | BC | | CF2 | ，则双曲线的渐近线方程为（
）
A ． y 3x

江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(二)

请考生在第 22、 23、 24 量题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4 一 1：几何证明选讲
如图，点 A 在直径为 15 的⊙ O 上， PBC是过点 O的割线，且 PA=10， PB=5.．（Ⅰ ）求证： PA 与⊙ O相切； S ACB的值．
设直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 ,
PA1 DE
3a
所以 sin |
|
,
| PA1 | | DE | 4a2 4a 5
A
①若 a 0, 则 sin
| PA1 DE | | PA1 | | DE |
3a
0 ,, 9 分
4a2 4a 5
②若 a 0, 则 sin
PA1 DE
|
|
| PA1 | | DE |
3a 4a2 4a 5
3
4
4 a
5 a2
1
令
t (t
2 ), y
5t 2 4t 4
a
3
因为函数 y 5t 2 4t 4 在 t
2 上单调递增，所以 ymin
48
5ห้องสมุดไป่ตู้
4
32
3
93
9
即 (sin 2 )max 27 32
所以 (tan2 )max
(sin2 )max 1 (sin2 )max
27 5
3 15
所以 PA1H 是直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角 , ,,,,,,,,,
8分
设 PB x 0 x 3 , 则 BH
x , PH
2
3
x
x ,DH=BD-BH=2-
2

江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺理科综合试卷(一)

可能用到的相对原子量： C—12 H—1 Cl—35.5 S—32 O—16 Fe--56第I卷一、选择题：本题共18小题，每小题6分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 细胞是生命的基本单位，对细胞的深入研究是揭开生命奥秘、改造生命和征服疾病的关键。

下列关于细胞结构和功能的叙述中，正确的有几项（）①蓝藻、霉菌、水绵的细胞不是都含有核糖体、DNA和RNA②磷脂是构成动物细胞膜的重要成分，还参与血液中脂质的运输③细胞壁都可以被纤维素酶和果胶酶分解④分泌蛋白的运输过程是通过囊泡实现的⑤细胞中具有双层膜结构的细胞器是叶绿体、线粒体和核膜⑥在一个细胞周期中，T和U两种碱基被大量利用时，细胞一定处于分裂间期A. 1项B. 2项C.3项D.4项2．下面是以小麦为实验材料所进行的实验，其中叙述正确的是( )A. 向发芽种子的研磨液中加入斐林试剂，立即呈现砖红色沉淀，说明含有还原性糖B.观察小麦根尖成熟区表皮细胞，可看到有丝分裂图像，判断出细胞中的染色体数C.进行“观察DNA和RNA在细胞中的分布”的实验时，小麦叶片需要用酒精进行脱色处理，观察到绿色主要分布在细胞核，红色主要分布在细胞质D.用小麦根毛细胞进行质壁分离实验，因观察的细胞无色透明，而调节粗准焦螺旋然后缩小光圈或换平面反光镜3.以下有关遗传变异的说法正确的是()A．三倍体无子西瓜不育，是不可遗传的变异B．DNA分子中发生碱基对的替换、增添和缺失一定会引起基因突变C．生物进化的原材料由基因突变和基因重组提供D．在有丝分裂和减数分裂的过程中，会由于非同源染色体之间交换一部分片段，导致染色体结构变异4.真核生物细胞核基因转录过程中，新产生的mRNA可能和DNA模板稳定结合形成DNA －RNA双链，使另外一条DNA链单独存在，此状态称为R－loop。

研究显示，R－loop 会引起DNA损伤等一些不良效应。

而原核细胞却没有发现R－loop的形成。

江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(一)

2. 设复数 z 1 i （ i 为虚数单位）， z的共轭复数为 z ，则 | (1 z) z | ( )
A ．[来
源学科网 ZXXK]
2B
．
．
D ．1
3. 在正项等比数列 { an} 中， a1 1，前 n 项和为 Sn ,且 a3, a2, a4 成等差数列，则 S7
的值为 ( )
A. 125
23. （本题满分 10 分) 选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中 , 直线 l 的参数方程为
x 2t ( t 为参数 ), 直线 l 与曲线
y 2 3t
C : ( y 2)2 x 2 1交于 A, B 两点
(1) 求 | AB |的长；
(2) 在以 O 为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 .
a ln x
2(1
x)
(a
R )定义域为 (0,1) ,则 f ( x) 的图像不可能是
(
)
1x
y
y
y
y
O
1 xO
1 xO
1 xO
1x
A.
B.
C.
12.设 x R ，若函数 f x 为单调递增函数，且对任意实数
D.
x，都有 f f x ex
e1
（ e 是自然对数的底数），则 f ln 2 ( )
21.（本小题满分 12 分）已知函数 f x ln x x2 ax, a R
（ 1）若 a 3，求 f x 的单调区间；
（ 2）若 f x 由两个极值点 x1, x2 ，记过点 A( x1 , f ( x1)), B(x2, f (x2)) 的直线的斜率 k ，

江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺(五)数学(理)试题 Word版含答案

高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题（五）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则A B =I ( )A ．{}3,4,5B ．{}4,5,6C ．{}36x x <≤D ．{}36x x <≤2.已知i 是虚数单位，则复数4334iz i+=-的虚部是( ) A. 0 B. i C. i - D. 1 3.已知命题4:0,4p x x x ∀>+≥：命题001:,22x q x R +∃∈=.则下列判断正确的是( ) A.p 是假命题B.q 是真命题C.()p q ∧⌝是真命题D.()p q ⌝∧是真命题4.下列函数中，与函数,0,1,0x x e x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是( ) A. 1y x=-B. 22y x =+C. 33y x =-D. 1log ey x =5、某城市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2548名有车人中有1560名持反对意见，2452名无车人中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否有关系时，用什么方法最有说服力( ) A ．平均数与方差 B ．回归直线方程 C ．独立性检验 D ．概率 6.把函数sin 3y x =的图象适当变化就可以得3cos3)y x x =-的图象，这个变化可以是（）A ．沿x 轴方向向右平移12πB ．沿x 轴方向向右平移4πC ．沿x 轴方向向左平移12πD ．沿x 轴方向向左平移4π7.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A ．甲 B. 乙 C ．丙 D.丁8.如图，的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与AC 9.已知函数x b x a x x f 223)1(31)(+--=，其中}4,3,2,1{∈a ，}3,2,1{∈b ，则函数)(x f 在R 上是增函数的概率为( )A ．41B ．21C ．32D ．3410.如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是( ) （A ）83π （B ）163π （C ）4π （D ）5π11.设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈uu r uu r uu r，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为( )A B D ．9812.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ 若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ( ) A 59(,)24-- B ．9(,1)4-- C ．599(,)(,1)244---- D ．5(,1)2--第Ⅱ卷非选择题（共90分）DCBA (P )M N16.在ABC △中，内角A B C 、、所对的边的长分别为a b c 、、，且2()a b b c =+，则三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题共12分）等差数列}{n a 中公差0≠d ，31=a ，1a 、4a 、13a 成等比数列．（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设}{n a 的前n 项和为n S ，求:12111nS S S +++。

江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺(七)数学(理)试题 Wrod版含答案

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 设集合U={（x ，y ）|x ∈R ，y ∈R}，A={（x ，y ）|2x ﹣y+m ＞0}，B={（x ，y ）|x+y ﹣n≤0}，若P （2，3）∈A∩（∁UB ），则（）2. 设复数z=（i 为虚数单位），z 的共轭复数为，则在复平面内i 对应当点的坐标为（）3. 已知函数y=f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （﹣2）=（）4. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且135,2a a +=2454a a +=，则=（）5. 设抛物线x 2=8y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的倾斜角等于60°，那么|PF|等于（）6．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2+2x ＞4x ﹣3成立； ②若log 2x+log x 2≥2，则x ＞1； ③命题“00,a b c >><若且c ca b>则”的逆否命题； ④若命题p ：∀x ∈R ，x 2+1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1≤0，则命题p ∧¬q 是真命题．其中真命题只有（）7. 执行如图所示的程序图，若任意输入区间中实数x ，则输出x 大于49的概率为（）．C8. 已知点（a ，b ）在圆x 2+y 2=1上，则函数()2cos sin cos 12f x a x b x x =+-- 的最小正周期和最小值分别为（）D9. 如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A （0，1），一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM=x ，直线AM 与x 轴交于点N （t ，0），则函数()t f x =的图像大致为（）10. 如图，F 1、F 2是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右2个分支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）C11. 定义在R 上的函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx （a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a （f（x ））2+2bf （x ）+c=0恰有4个不同的实根，则实数a 的值为（）12.某空间几何体的三视图(单位:cm )如图所示，则该几何体的体积等于( ) A ．10cm 3B ．20cm3C ．30cm 3 B ．40cm 3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

江西省南昌市2015届高三第二次模拟考试数学理科试题有答案(扫描版)

2015 年高三测试卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．13π 15．1316．2212x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=-⨯--4=-；……6分（Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………………11分所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113．……………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC=90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=，所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ，以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D-,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则0n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分而二面角D —GCB 为钝角，故所求二面角的余弦值为．………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD =2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b+=⇒=，所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分（Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S =当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…………6分……………………10分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k=--，圆心O 到直线m的距离为：d =，所以||PQ ==，…………8分将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN =所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈，综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+………1分（一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>，解得x∈，所以函数()f x 在区间上单调递减，在区间(0,),()2a a +∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以(0,1]x ∈时，函数()f x的最大值是(1)22f a =-，对任意的a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立，记2()ln (2)2h a ama m a =+-++，则(1)0h =，1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a->，当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a 在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分 22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=，…………………3分 ,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F ACAF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE ADAD FC AE BC∴=-，解得8AE =。

江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷理含解析

江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求）1．（5分）设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）2．（5分）“≤﹣2”是“a＜0且b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，a4=2，S10=10，则a7的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）已知平面向量，满足||=||=1，（+2）•（﹣）=﹣，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．（5分）a的值由如图程序框图算出，则二项式（﹣）9展开式的常数项为（）A．T4=53×B．T6=﹣55×C．T5=74×D．T4=﹣73×6．（5分）在小语种自主招生考试中，某学校获得4个推荐名额，其中韩语2名，日语1名，俄语1名，并且韩语要求必须有女生参加，学校通过选拔定下2女2男共4个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．8种B．10种C．12种D．14种7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=4 D．x=29．（5分）线段AB是圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C2以A，B为焦点．若P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，则|PA|+|PB|=（）A．B．4C．4D．610．（5分）由不等式组确定的平面区域为M，由不等式组确定的平面区域为N，在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣}，记S=++…+，则S的最小值为（）A．5 B．5C．6 D．612．（5分）若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（）A．0＜α＜B．＜α＜C．α＜D．0＜α＜或α＞二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）（cosθ﹣i•sinθ）∈R（0＜θ＜π），则tanθ=．14．（5分）记直线x﹣3y﹣1=0的倾斜角为α，曲线y=lnx在（2，ln2）处切线的倾斜角为β．则α﹣β=．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内，则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．16．（5分）关于函数f（x）=x2（lnx﹣a）+a，给出以下4个结论：①∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0；③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；④∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0．其中正确结论的个数是．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知=（cosx，sin2x），=（cosx，），f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若函数g（x）=bf（x）+c在x=A处取最大值6，求△ABC面积的最大值．18．（12分）某校从参加2014-2015学年高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I）估计这次测试数学成绩的平均分；（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E、F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆F：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F1，点F1到直线ax+by=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线角椭圆于P，Q两点，求证：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值．21．（12分）已知函数f（x）=x+﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.71828…为自然对数的底数）上存在一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，设函数g（x）=f（ax）﹣，若g（x）有两个不同的零点x1，x2，且0＜x1＜x2，求证：＜lna．【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．【选修4—4】坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【选修4—5】不等式选讲24．已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求）1．（5分）设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）考点：交集及其运算；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由集合A={x|y=ln（1﹣x）}，表示函数y=ln（1﹣x）的定义域，集合B={y|y=x2}，表示y=x2的值域，我们不难求出集合A，B，再根据集合交集的定义，不难得到答案．解答：解：∵A={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴A∩B=[0，1）．故选B点评：遇到两个连续数集的运算，其步骤一般是：①求出M和N；②借助数轴分析集合运算结果，方法是：并集求覆盖的最大范围，交集求覆盖的公共范围．2．（5分）“≤﹣2”是“a＜0且b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：可以通过移项求出不等式的解集，再根据充分必要条件进行判断．解答：解：≤﹣2可得+2=≤0，即ab＜0，即a＞0，b＜0，或a ＜0，b＞0，∴“≤﹣2”是“a＜0且b＞0”的必要不充分条件．故选：B．点评：此题主要考查充分必要条件的定义，以及不等式的求解，是一道基础题．3．（5分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，a4=2，S10=10，则a7的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的前n 项和得答案．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a4=2，S10=10，得，解得．∴．故选：A．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）已知平面向量，满足||=||=1，（+2）•（﹣）=﹣，则与的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：直接把等式左边展开多项式乘多项式，然后代入数量积公式求得与的夹角．解答：解：由||=||=1，（+2）•（﹣）=﹣，得，即1+1×1×cos＜＞﹣2=﹣，∴=，则与的夹角为．故选：B．点评：本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用，是基础题．5．（5分）a的值由如图程序框图算出，则二项式（﹣）9展开式的常数项为（）A．T4=53×B．T6=﹣55×C．T5=74×D．T4=﹣73×考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：第一次执行循环体后，S=3，不满足输出条件，a=5，再次执行循环体后，S=15，不满足输出条件，a=7再次执行循环体后，S=105，满足输出条件，故a=7，故二项式（﹣）9展开式的常数项，即T4=﹣73×，故选：D．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．（5分）在小语种自主招生考试中，某学校获得4个推荐名额，其中韩语2名，日语1名，俄语1名，并且韩语要求必须有女生参加，学校通过选拔定下2女2男共4个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．8种B．10种C．12种D．14种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：韩语要求必须有女生参加．先从2个女生中选一个考韩语，剩下的三个考生在三个位置排列，去掉重复部分，即当考韩语的有两个女生，即可得到答案．解答：解：∵由题意知韩语都要求必须有女生参加考试，∴先从2个女生中选一个考韩语有C21=2种结果，剩下的三个考生在三个位置排列A33种结果，其2015届中考韩语为两个女生的情况重复共有A22种结果，∴共有C21A33﹣A22=10种结果．故选：B点评：本题考查了分类和分步计数原理，分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整”﹣﹣完成了所有步骤，恰好完成任务7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可又分析出该几何由一个底面半径为1，高为的半圆锥，和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成，分别代入圆锥的体积公式和棱锥的体积公式，可得该几何体的体积．解答：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体，由一个底面半径为1，高为的半圆锥和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成故这个几何体的体积V=+=故选A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及底面半径，底面棱长，高等几何量是解答的关键．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=4 D．x=2考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据题意可求得ω、φ的值，从而可得f（x）的解析式及其对称轴方程，继而可得答案．解答：解：∵f（x）=2cos（ωx+φ）为奇函数，∴f（0）=2cosφ=0，∴cosφ=0，又0＜φ＜π，∴φ=；∴f（x）=2cos（ωx+）=﹣2sinωx=2sin（ωx+π），又ω＞0，∴其周期T=；设A（x1，2），B（x2，﹣2），则|AB|==4，∴|x1﹣x2|=x1﹣x2=4．即T=4，∴T==8，∴ω=．∴f（x）=2sin（x+π），∴其对称轴方程由x+π=kπ+（k∈Z）得：x=4k﹣2．当k=1时，x=2．故选D．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得ω是难点，考查分析与运算能力，属于中档题．9．（5分）线段AB是圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C2以A，B为焦点．若P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，则|PA|+|PB|=（）A．B．4C．4D．6考点：直线与圆的位置关系；圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；直线与圆．分析：由题设知双曲线C2的焦距2c=|AB|=2，双曲线的实半轴a=，由P是圆C1与双曲线C2的公共点，知||PA|﹣|PB||=2，|PA|2+|PB|2=40，由此能求出|PA|+|PB|．解答：解：∵圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的半径r==，线段AB是圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C2以A，B为焦点，∴双曲线C2的焦距2c=|AB|=2，∵P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，∴||PA|﹣|PB||=2a，|PA|2+|PB|2=40，∴|PA|2+|PB|2﹣2|PA||PB|=4a2，∵c=，e==，∴a=，∴2|PA||PB|=32，∴∴|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|=（|PA|+|PB|）2=72，∴|PA|+|PB|=6．故选D．点评：本题考查|PA|+|PB|的值的求法，具体涉及到圆的简单性质，双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．10．（5分）由不等式组确定的平面区域为M，由不等式组确定的平面区域为N，在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：画出区域，分别求出区域M，N的面积，利用几何概型的公式解答解答：解：不等式确定的平面区域为M如图中黑色阴影部分，其面积等于红色部分面积，所以===1，区域N的面积为2（e﹣1）=2e﹣2，由几何概型公式可得在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为：；故选：A．点评：本题考查了几何概型的概率求法，关键是分别求出区域M，N的面积，利用几何概型公式解答．11．（5分）已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣}，记S=++…+，则S的最小值为（）A．5 B．5C．6 D．6考点：数列的求和．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：令b i=（1≤i≤8），根据数列比值的关系，结合S的表达式进行推导即可．解答：解：令b i=（1≤i≤8），则对每个符合条件的数列{a n}满足b i===1，且b i∈{2，1，﹣}，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{b n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a n}．记符合条件的数列{b n}的个数为N，由题意知b i（1≤i≤8）中有2k个﹣，2k个2，8﹣4k个1，且k的所有可能取值为0，1，2．对于三种情况，当k=2时，S取到最小值6．故选：C．点评：本题考查数列的相邻两项比值之和的最小值的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．12．（5分）若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（）A．0＜α＜B．＜α＜C．α＜D．0＜α＜或α＞考点：进行简单的合情推理．专题：函数的性质及应用．分析：根据“生成点“的定义，求出（9，2），（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．根据函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，可求出a，b，c的关系，进而根据函数y=g（x）与x轴无交点，△＜0，求出a的取值范围．解答：解：∵f（x）=2x+1，x∈N，满足：f（9）+f（10）+f（11）=63，故（9，2）为函数f（x）的一个“生成点”．f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=63，故（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．又∵函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，∴81a+9b+c=2，a+b+c=6，解得：b=﹣﹣10a，c=9a+，若函数y=g（x）与x轴无交点，则△=b2﹣4ac=（）2﹣4a（9a+）＜0，解得：，故选：B点评：本题考查的知识点是合情推理，二次函数的图象和性质，正确理解“生成点“的定义，是解答的关键．二、填空题（每小题5分，共20分）（cosθ﹣i•sinθ）∈R（0＜θ＜π），则tanθ=．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）13．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：首先化简复数为a+bi的形式，然后根据复数为实数，得到θ的值求之．解答：解：因为复数z=（1+i）（cosθ﹣i•sinθ）=（cosθ+sinθ）+（cosθ﹣sinθ）i∈R，所以cosθ﹣sinθ=0，即sin（）=0，0＜θ＜π，所以，所以tanθ=；故答案为：．点评：本题考查了复数的性质；若复数a+bi∈R（a，b∈R）则b=0．14．（5分）记直线x﹣3y﹣1=0的倾斜角为α，曲线y=lnx在（2，ln2）处切线的倾斜角为β．则α﹣β=﹣arctan．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求出曲线y=1nx在（2，1n2）处切线斜率，从而可得tanα=，tanβ=，利用差角的正切公式，即可求出α﹣β．解答：解：∵y=1nx，∴y′=，x=2时，y′=，∵直线x﹣3y﹣l=0的倾斜角为α，曲线y=1nx在（2，1n2）处切线的倾斜角为β，∴tanα=，tanβ=，∴tan（α﹣β）==﹣，∵0＜α＜β＜，∴α﹣β=﹣arctan．故答案为：﹣arctan．点评：本题考查导数的几何意义，考查斜率与倾斜角之间的关系，考查和角的正切公式，确定tanα=，tanβ=，是解题的关键．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内，则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：设矩形BDD1B1与α所成锐二面角为θ，面积记为S1，推出正方形A1B1C1D1与α所成锐二面角为．面积记为S2，求出阴影部分的面积的表达式，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．解答：解：设矩形BDD1B1与α所成锐二面角为θ，面积记为S1，则正方形A1B1C1D1与α所成锐二面角为．面积记为S2，所求阴影部分的面积S==S1cosθ+S2sinθ=cosθ+sinθ=sin（θ+β）其中sinβ=，cosβ=．故S∈．故答案为：．点评：本题考查二面角的应用，空间想象能力以及转化思想的应用，难度比较大．16．（5分）关于函数f（x）=x2（lnx﹣a）+a，给出以下4个结论：①∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0；③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；④∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0．其中正确结论的个数是3．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：①令a=，进行验证即可；②令a=5，通过验证结论成立；③当a=5时，举反例x=5时，不满足条件；④求函数的导数，判断函数存在极值进行判断．解答：解：①当a=，则f（x）=x2（lnx﹣）+，函数的定义域为（0，+∞），此时函数的导数f′（x）=2x（lnx﹣）+x2•=2xlnx﹣x+x=2xlnx，由f′（x）=0得，x=1，则当x＞1时，则f′（x）＞0，此时函数递增，当0＜x＜1时，则f′（x）＜0，此时函数递减，故当x=1时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（1）=﹣+=0，则对∀x＞0，f（x）≥f（1）=0；故①正确②当a=5，则f（x）=x2（lnx﹣5）+5，则f（e）=e2（lne﹣5）+5=﹣4e2+5＜0，故②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0，成立．③由②知当a=5时，∃x=e，满足e＞0，但f（e）＜0，故③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0不成立，故③错误．④函数的导数f′（x）=2x（lnx﹣a）+x2•=2x（lnx﹣a）+x=x（2lnx﹣2a+1）=2x（lnx+﹣a）．由f′（x）=0，则lnx+﹣a=0，即lnx=a﹣，即∀a＞0，函数f（x）都存在极值点，即∃x＞0，f（x）≤0成立，故④正确，综上正确是有①②④，共3个故答案为：3点评：本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法和排除法是解决本题的关键．难度较大．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知=（cosx，sin2x），=（cosx，），f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若函数g（x）=bf（x）+c在x=A处取最大值6，求△ABC面积的最大值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量数量积的运算性质及辅助角公式计算可得f（x）=sin（2x+）+，结合三角函数的有界性即得结论；（Ⅱ）通过函数g（x）在x=A处取最大值6，可知，进而可得A=，利用基本不等式计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）由题可知：f（x）=•=（cosx，sin2x）•（cosx，）=cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+=sin（2x+）+，∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）∈[﹣，]；（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+）+，∴g（x）=bf（x）+c=bsin（2x+）+b+c，∵函数g（x）=bsin（2x+）+b+c在x=A处取最大值6，∴，又∵0＜A＜π，∴A=，∴6=b+c≥2，即bc≤9（当且仅当b=c时等号成立），∵S△ABC=bcsinA=•（bc），∴S△ABC≤•9=，即△ABC面积的最大值为．点评：本题考查平面向量数量积的运算，考查三角函数恒等变换及最值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）某校从参加2014-2015学年高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I）估计这次测试数学成绩的平均分；（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（I）利用分组两端的数据中值估算抽样学生的平均分，类似于加权平均数的算法，让每一段的中值乘以这一段对应的频率，得到平均数，利用样本的平均数来估计总体的平均数．（II）根据等可能事件的概率公式得到两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率，随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且变量符合二项分布，根据符合二项分布写出分布列和期望，也可以用一般求期望的方法来解．解答：解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．∴估计这次考试的平均分是72分．（II）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C62=15，有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C42=6，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率．随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且变量符合二项分布，∴∴变量ξ的分布列为：ξ0 1 2 3p∴（或Eξ=）点评：本题考查读频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布，是一个综合题．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E、F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．考点：棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（I）利用中位线，直线平面的平行问题得出l∥BC，根据直线平面的垂直问题得出BC⊥平面PAC，即可得出直线l⊥平面PAC．（II）建立坐标系得出平面AEF的法向量，cos＜，＞，cos＜，＞，直线平面，直线的夹角的关系求解即可，sinα=||，cosβ=||，sinα=cosβ．解答：（I）证明：∵E，F分别为PB，PC中点，∴BC∥EF，又EF⊆平面EFA，BC⊊平面EFA，∴BC∥平面EFA又BC⊆平面ABC，平面EFA∩平面ABC=l，∴l∥BC．∵AC⊥BC，∴EF⊥BC，∵PA=PC=AC=2，∴AE⊥PC，∵AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，∴BC⊥平面PAC，∵l∥BC∴直线l⊥平面PAC，（II）如图建立坐标系得出：C（0，0，0），A（2，0，0），E（，0，），F（0，2，），P（1，0，），Q（2，y，0）∴=（1，0，）为平面AEF的法向量，=（﹣，2，0），=（1，y，﹣）∴cos＜，＞==，cos＜，＞==，设直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角分别为α，β，α+β=，∴sinα=||，cosβ=||，sinα=cosβ，即1=|﹣1+4y|，求解y=，y=0，A（2，0，0），存在Q（2，0，0）或Q（2，，0），|AQ|=或|AQ|=0．点评：本题综合考查了空间直线，平面的位置关系，判断方法，空间向量解决存在性问题，运用代数方法求解几何问题，考查了学生的计算能力．20．（12分）已知椭圆F：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F1，点F1到直线ax+by=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线角椭圆于P，Q两点，求证：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）左焦点设为（﹣c，0），则（﹣c，0）到直线ax+by=0的距离为d=，求得椭圆方程．（Ⅱ）在圆中，M是切点，，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0，则x1+x2=，，求出：|PF1|，|QF1|，|PQ|的值，继而得到答案．解答：解：（Ⅰ）∵①，左焦点设为（﹣c，0），则（﹣c，0）到直线ax+by=0的距离为d=，∴②，b2+c2=a2③由①②③得：a2=9，b2=8，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则∴，∵0＜x1＜3，|PF2|=3﹣，同理|QF2|=3﹣在圆中，M是切点，，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，∴==∵PQ与圆相切，∴即m=，∴所以：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|=6﹣．即：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值．点评：本题主要考查了椭圆方程得求法和直线与圆锥曲线的位置关系，属于难度较大的题型．21．（12分）已知函数f（x）=x+﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.71828…为自然对数的底数）上存在一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，设函数g（x）=f（ax）﹣，若g（x）有两个不同的零点x1，x2，且0＜x1＜x2，求证：＜lna．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，求得函数的导数，求出切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线的方程；（Ⅱ）转化已知条件为函数f（x）在[1，e]上的最小值[f（x）]min≤0，利用单调性，①a≥e ﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围；（Ⅲ）化简g（x）=f（ax）﹣=ax﹣alnax，（a＞0），求出导数，求得单调区间和极小值，令它小于0，求得a＞e，再由x1=lnax1，x2=lnax2，相加，构造函数，求出最值，再由不等式的性质，即可得证．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x+﹣lnx的导数为f′（x）=1﹣﹣，曲线f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=﹣2，切点为（1，3），即有切线方程为y﹣3=﹣2（x﹣1），即为2x+y﹣5=0；（Ⅱ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤0，即函数f（x）=x+﹣alnx在[1，e]上的最小值[f（x）]min≤0．由f（x）的导数f′（x）=1﹣﹣=，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴[f（x）]min=f（e）=e+﹣a，∴a≥，∵＞e﹣1，∴a≥；②当a+1≤1，即a≤0时，f（x）在[1，e]上单调递增，∴[f（x）]min=f（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2；③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[f（x）]min=f（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a的范围是：a≥，或a≤﹣2．（Ⅲ）函数g（x）=f（ax）﹣=ax﹣alnax，（a＞0），g′（x）=a﹣a•，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有x=1处g（x）取得极小值，也为最小值，且为a﹣alna，g（x）有两个不同的零点，则有a﹣alna＜0，解得a＞e，g（x）有两个不同的零点x1，x2，且0＜x1＜x2，即x1=lnax1，x2=lnax2，相加可得x1+x2=lnax1+lnax2=ln（a2x1x2），x1x2=，即有=，令t=x1+x2，则h（t）=的导数为，当t＞1时，h（t）递增，当0＜t＜1时，h（t）递减，即有t=1时，h（t）取得最小值，且为e，有＜•e=＜1，lna＞1，则有＜lna．点评：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程、函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．【选修4—4】坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．解答：解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=t1t2，∴m2﹣2m=1，解得．又满足△＞0．∴实数m=1．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4—5】不等式选讲24．已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．考点：基本不等式；绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得+=（+）（a+b）=5++，由基本不等式可得；（Ⅱ）问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，去绝对值化为不等式组，解不等式组可得．解答：解：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴+=（+）（a+b）=5++≥5+2=9，当且仅当=即a=且b=时取等号，∴+的最小值为9；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，则需|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，可转化为，或或，分别解不等式组可得﹣7≤x≤﹣1，≤x≤11，﹣1＜x＜综合可得x的取值范围为[﹣7，11]点评：本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立和绝对值不等式，属中档题．。

江西省南昌市十所省重点中学2015届高三数学二模突破(一)试题理(含解析)新人教A版

江西省南昌市十所省重点中学2015届高三数学二模突破冲刺（一）试题理（含解析）新人教A版【试卷综述】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.【题文】第Ⅰ卷【题文】一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【题文】1.已知全集,集合,,则集合( ) A．B．C． D.【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】C 解析：由题意易知，所以故选C.【思路点拨】先求出，再求出即可。

【题文】2. 设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则( ) A． B 2 D．1【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．L4【答案】【解析】A 解析：由z=﹣1﹣i，则，所以=．故选A．【思路点拨】给出z=﹣1﹣i，则，代入整理后直接求模．【题文】3. 在正项等比数列中，，前项和为,且成等差数列，则的值为( )A. 125B. 126C. 127D. 128【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．D2 D3 D4 【答案】【解析】C 解析：设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），且a1=1，由﹣a3，a2，a4成等差数列，得2a2=a4﹣a3．即．因为q＞0．所以q2﹣q﹣2=0．解得q=﹣1（舍），或q=2．则．故选C．【思路点拨】设出等比数列的公比，由已知条件列式求出公比，则等比数列的前7项和可求．【题文】4. 已知函数，为了得到函数的图象，只需要将的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4【答案】【解析】D 解析：由于函数=sin2x，函数g（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故将y=f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到g（x）的图象，故选D．【思路点拨】利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简函数f（x）和g（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．【题文】5. 若的展开式中第四项为常数项，则( )A．4 B．5 C．6 D．7【知识点】二项式系数的性质．J3【答案】【解析】B 解析：由于的展开式中第四项为T4=•••=••是常数项，故=0，n=5，故选B．【思路点拨】由于的展开式中第四项为T4=••是常数项，故=0，由此求得n的值．【题文】6.给四面体的六条棱分别涂上红，黄，蓝，绿四种颜色中的一种，使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同，则不同的涂色方法共有( )A．96 B．144 C. 240 D. 360【知识点】排列组合J2【答案】【解析】A 解析：先从红，黄，蓝，绿四种颜色中选一种，有种，排列种数有,故不同的涂色方法共有，故选A.【思路点拨】先从红，黄，蓝，绿四种颜色中选一种，再进行排列即可。

2015年江西省南昌市高考数学二模试卷(理科)

2015年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.i为虚数单位，=（）A.3+4iB.4+3iC.-iD.+i【答案】D【解析】解：===．故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2.已知集合A={x|x2-2x＞0}，B={x|log2（x+1）＜1}，则A∩B等于（）A.（-∞，0）B.（2，+∞）C.（0，1）D.（-1，0）【答案】D【解析】解：由A中不等式变形得：x（x-2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即A=（-∞，0）∪（2，+∞），由B中不等式变形得：log2（x+1）＜1=log22，即0＜x+1＜2，解得：-1＜x＜1，即B=（-1，1），则A∩B=（-1，0），故选：D．求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.下列结论错误的是（）A.命题：“若x2-3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2-3x+2≠0”B.“a＞b”是“ac2＞bc2”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，x2-x＞0”的否定是“∀x∈R，x2-x≤0”D.若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题【答案】B【解析】解：A．命题：“若x2-3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2-3x+2≠0”，正确；B．“a＞b”是“ac2＞bc2”必要不充分条件，不正确；C．“∃x∈R，x2-x＞0”的否定是“∀x∈R，x2-x≤0”，正确；D．若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，正确．故选：B．A．利用逆否命题的定义即可判断出真假；B．利用不等式的性质、充要条件定义，即可判断出真假；C．利用命题的否定定义，即可判断出真假；D．利用复合命题真假的判定方法，即可判断出真假．本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．4.将函数y=sin（2x-）的图象向左移动个单位，得到函数y=f（x）的图象，则函数y=f （x）的一个单调递增区间是（）A.[-，]B.[-，0]C.[-，]D.[，]【答案】C【解析】解：将函数y=sin（2x-）的图象向左移动个单位，得到函数y=f（x）=sin（2x+-）=sin（2x+）的图象．故由2k≤2x+≤2kπ，k∈Z可解得函数y=f（x）的单调递增区间是：k≤x≤kπ，k∈Z．故当k=0时，x∈[-，]．故选：C．根据函数y=sin（2x-）的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，确定函数f（x）的解析式，从而可得函数f（x）的一个单调递增区间．本题考查图象的变换，考查三角函数的性质，解题的关键是熟悉变换的方法，确定函数的解析式，属于基本知识的考查．5.若实数x，y满足条件，则z=x-3y的最小值为（）A.-5B.-3C.1D.4【答案】A【解析】解：作出约束条件所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=x-z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（1，2）时，截距-z取最大值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=1-3×2=-5故选：A作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得当直线经过点A（1，2）时，截距-z取最大值，z取最小值，代值计算可得．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6.已知{a n}是等差数列，a3=5，a9=17，数列{b n}的前n项和S n=3n，若a m=b1+b4，则正整数m等于（）A.29B.28C.27D.26【答案】A【解析】解：假设a n=a0+（n-1）d，可知a9-a3=6d=12，则d=2，而a3=5，则a0=1．所以b1=S1=3，b4=S4-S3=54，则b1+b4=57，因此a m=a0+（m-1）d=1+2（m-1）=57=b1+b4，从而可得m=29．故选：A．利用{a n}是等差数列，a3=5，a9=17，求出a0=1，d=2，求出b1+b4=57，即可求出m．本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．7.下列程序图中，输出的B是（）A.-B.-C.0D.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得A=，i=1A=，B=-，i=2，满足条件i≤2015，A=π，B=0，i=3，满足条件i≤2015，A=，B=，i=4，满足条件i≤2015，A=，B=-，i=5，满足条件i≤2015，A=2π，B=0，i=6，满足条件i≤2015，…观察规律可知，B的取值以3为周期，由2015=3×671+2，故有B=-，i=2015，满足条件i≤2015，B=0，i=2016，不满足条件i≤2015，退出循环，输出B的值为0．故选：C．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，B，i的值，观察规律可知B的取值以3为周期，故当i=2015时，B=0，当i=2016时不满足条件i≤2015，退出循环，输出B的值为0．本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的A，B，i的值，观察规律可知B的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．8.安排A、B、C、D、E、F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法有（）种．A.30B.40C.42D.48【答案】C【解析】解：当A照顾老人乙时，共有种不同方法；当A不照顾老人乙时，共有种不同方法．∴安排方法有24+18=42种．故选：C．根据义工A，B有条件限制，可分A照顾老人乙和A不照顾老人乙两类分析，A照顾老人乙时，再从除B外的4人中选1人，则甲和丙为；A不照顾老人乙时，老人乙需从除A、B外的4人中选2人，甲从除A外的剩余3人中选2人．本题考查有条件限制排列组合问题，关键是正确分类，是基础的计算题．9.已知函数f（x）=，，＞，函数g（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，g（x）=2x-1，则函数y=f（x）-g（x）的零点个数是（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】解：函数y=f（x）-g（x）的零点就是函数y=f（x）与y=g（x）图象的交点．在同一坐标系中画出这两个函数的图象：由图可得这两个函数的交点为A，O，B，C，D，E，共6个点．所以原函数共有6个零点．故选：B．函数y=f（x）-g（x）的零点就是函数y=f（x）与y=g（x）图象的交点，因此分别作出这两个函数的图象，然后据图判断即可．本题考查了利用数形结合的思想解决函数零点个数的判断问题，同时考查了函数的零点，方程的根以及函数图象的交点之间关系的理解．10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.2B.C.4D.【答案】B【解析】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．11.已知函数f（x）=+sinx（e为自然对数的底），则函数y=f（x）在区间[-，]上的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由函数f（x）=+sinx（e为自然对数的底），x∈[-，]，可得y′=+cosx≥+=≥=0，而上述式子中的两个等号不能同时成立，故有y′＞0，故函数y在区间[-，]上单调递增，故选：A．求得函数的导数y′的解析式，再利用基本不等式求得在区间[-，]上，y′＞0，可得函数y在区间[-，]上单调递增，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查导数公式，利用导数研究函数的单调性，基本不等式的应用，函数的图象特征，属于中档题．12.已知数列{a n}满足a1=1，|a n-a n-1|=（n∈N，n≥2），且{a2n-1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则12a10=（）A.6-B.6-C.11-D.11-【答案】D【解析】解：由|a n-a n-1|=，则|a2n-a2n-1|=，|a2n+2-a2n+1|=，∵数列{a2n-1}是递减数列，且{a2n}是递增数列，∴a2n+1-a2n-1＜0，且a2n+2-a2n＞0，则-（a2n+2-a2n）＜0，两不等式相加得a2n+1-a2n-1-（a2n+2-a2n）＜0，即a2n-a2n-1＜a2n+2-a2n+1，又∵|a2n-a2n-1|=＞|a2n+2-a2n+1|=，∴a2n-a2n-1＜0，即，同理可得：a2n+3-a2n+2＜a2n+1-a2n，又|a2n+3-a2n+2|＜|a2n+1-a2n|，则a2n+1-a2n=，当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，…，，，这2m-1个等式相加可得，a2m-a1=-（）+（），∴=．∴12a10=．故选：D．根据数列的单调性和|a n-a n-1|=，由不等式的可加性，求出a2n-a2n-1=和a2n+1-a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的偶数项对应的通项公式，则12a10可求．本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于______ ．【答案】2【解析】解：∵||=又∵即：∴故答案为：2由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．本题考察了向量的坐标以及向量数量积的定义，求出的模是关键，属于基础题．14.若在圆C ：x 2+y 2=4内任取一点P （x ，y ），则满足＜＞的概率= ______ ．【答案】【解析】解：满足＜＞的区域如图面积为=（x -x 3）| =，由几何概型公式可得在圆C ：x 2+y 2=4内任取一点P （x ，y ），则满足＜＞的概率为；故答案为：．分别求出圆的面积以及满足不等式组的区域面积，利用几何概型公式解答．本题考查了几何概型的公式运用；关键是利用定积分求出区域的面积．利用几何概型公式解答．15.观察下面数表：设1027是该表第m 行的第n 个数，则m +n 等于 ______ ．【答案】 13【解析】解：根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22-1第三行4=22个数，且第1个数是7=23-1第四行8=23个数，且第1个数是15=24-1…第10行有29个数，且第1个数是210-1=1023，第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m =10，n =3，所以m +n =13；故答案为：13．根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2个数，第三行4个数，第四行8个数，…第10行有29个数，分别求出左起第1个数的规律，按照此规律，问题解决本题主要考查归纳推理的问题，关键是根据数表，认真分析，找到规律，然后进行计算，即可解决问题．16.过原点的直线l与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别相交于A，B两点，F（-，0）是双曲线C的左焦点，若|FA|+|FB|=4，=0．则双曲线C的方程= ______ ．【答案】【解析】解：设|FB|=x，则|FA|=4-x，∵过原点的直线l与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别相交于A，B两点，F（-，0）是双曲线C的左焦点，∴|AB|=2，∵=0，∴x2+（4-x）2=12，∴x2-4x+2=0，∴x=2±，∴|FB|=2+，|FA|=2-，∴2a=|FB|-|FA|=2，∴a=，∴b=1，∴双曲线C的方程为．故答案为：．设|FB|=x，则|FA|=4-x，利用勾股定理，建立方程，求出|FB|=2+，|FA|=2-，可得a，b，即可得出结论．本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，确定几何量是关键．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知△ABC是圆O（O为坐标原点）的内接三角形，其中A（1，0），B（-，-），角A，B，C的对边分别为A，B，C．（Ⅰ）若点C的坐标是（-，），求cos∠COB；（Ⅱ）若点C在优弧上运动，求a+b的最大值．【答案】解：（Ⅰ）由点C，B的坐标可以得到∠AOC=，∠AOB=，…（2分）所以cos∠COB=cos（∠AOC+∠AOB）=-×=-；…（6分）（Ⅱ）因为c=，∠AOB=，所以C=，所以，…（8分）所以a+b=2sin A+2sin（-A）=2sin（A+），（0＜A＜），…（11分）所以当A=时，a+b最大，最大值是2．…（12分）【解析】（Ⅰ）由点C，B的坐标可以得到∠AOC，∠AOB，即可由cos∠COB=cos（∠AOC+∠AOB）得解．（Ⅱ）由正弦定理可得a+b=2sin A+2sin（-A）=2sin（A+），由题意求得角C可得A的范围，从而可求a+b的最大值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18.如图是某市11月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200，表示空气质量重度污染，该市某校准备举行为期3天（连续3天）的运动会，在11月1日至11月13日任选一天开幕（Ⅰ）求运动会期间至少两天空气质量优良的概率；（Ⅱ）记运动会期间，空气质量优良的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望【答案】解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是P2=．…（6分）（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0，1，2，3；…（7分）P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，…（9分）．所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是E ξ=0×+1×+2×+3×=．…（12分）【解析】（Ⅰ）说明该校运动会开幕日共有13种选择，列出运动会期间至少两天空气质量优良的数目，然后求解概率．（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0，1，2，3，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望．本题考查古典概型的概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．19.如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=DC=CB=2，AB=4，矩形AEFC 中，AE= ，平面AEFC ⊥平面ABCD ，点G 是线段EF 的中点（Ⅰ）求证：AG ⊥平面BCG（Ⅱ）求二面角D-GC-B 的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为AD=DC=CB=2，AB=4，所以∠ABC=60°，由余弦定理求得AC=2 ，从而∠ACB=90°，即BC ⊥AC ，又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面AEFC ，所以BC ⊥AG ，在矩形AEFC 中，tan ∠AGE=，则∠AGE=，tan ∠CGF=，则∠CGF=，所以∠CGF+∠AGE=，即AG ⊥CG ，所以AG ⊥平面BCG ；（Ⅱ）FC ⊥AC ，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ，以点C 为原点，CA ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），A （2 ，0，0），B （0，2，0），D （，-1，0），G （，0，），平面BCG 的法向量 =（，0，- ），设平面GCD 的法向量 =（x ，y ，z ），则，从而，令x=1，则y=，z=-1，则=（1，，-1），所以cos＜，＞==，而二面角D-GCB为钝角，故所求二面角的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理证明AG⊥CG，即可证明AG⊥平面BCG（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角D-GC-B的余弦值．本题主要考查空间线面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．20.已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）的一条直径是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的长轴，过椭圆C2上一点D（1，）的动直线l与圆C1相交于点A、B，弦AB长的最小值是（1）圆C1和椭圆C2的方程；（2）椭圆C2的右焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线m、n，设直线m交圆C1于点P、Q，直线n与椭圆C2于点M、N，求四边形PMQN面积的取值范围．【答案】解：（1）由题意可得a=r，点D在圆内，当AB⊥C1D时，直线AB被圆截得的弦长最短，且为2=2=，解得r=2，即a=2，点D代入椭圆方程，有+=1，解得b=，则有圆C1的方程为x2+y2=4，椭圆C2的方程为+=1；（2）设过点F（1，0）作两条互相垂直的直线m：y=k（x-1），直线n：y=-（x-1），圆心C1到直线m的距离为d=，则|PQ|=2=2，由y=-（x-1）和椭圆+=1，可得（3k2+4）y2-6ky-9=0，判别式显然大于0，y1+y2=，y1y2=-，则|MN|=•=，则有四边形PMQN面积为S=|PQ|•|MN|=•2•=12•=12•，由于k2＞0，即有1+k2＞1，S＞12×=6，且S＜12×=4，则四边形PMQN面积的取值范围是（6，4）．【解析】（1）由题意可得a=r，点D在圆内，当AB⊥C1D时，直线AB被圆截得的弦长最短，由弦长公式计算即可得到r=2，再将D的坐标代入椭圆方程，即可求得b，进而得到圆和椭圆的方程；（2）设出直线m，n的方程，运用圆和直线相交的弦长公式和直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求得|PQ|，|MN|，再由四边形的面积公式，化简整理计算即可得到取值范围．本题考查直线和圆、椭圆的位置关系，同时考查直线被圆、椭圆截得弦长的问题，运用圆的垂径定理和弦长公式，以及韦达定理是解题的关键．21.已知函数f（x）=lnx+x2-2ax+1（a为常数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若对任意的a∈（1，），都存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a-a2）成立，求实数m的取值范围．【答案】解：函数f（x）=lnx+x2-2ax+1（a为常数）（1）f′（x）=+2x-2a=，x＞0，①当a≤0时，f′（x）＞0成立，若f′（x）≥0，则2x2-2ax+10≥0，△=4a2-8，当-时，f′（x）≥0恒成立，所以当a时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＞时，∵2x2-2ax+10≥0，x＞或0＜＜2x2-2ax+10＜0，＜＜，∴f（x）在（0，），（）上单调递增，在（，）单调递减，（2）∵a∈（1，），+2x-2a＞0，∴f′（x）＞0，f（x）在（0，1]单调递增，f（x）max=f（1）=2-2a，存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a-a2）成立，即2-2a+lna＞m（a-a2），∵任意的a∈（1，），∴a-a2＜0，即m＞恒成立，令g（a）=，∵m＞恒成立最后化简为g′（a）==∵任意的a∈（1，），＞0，∴g（a）=，a∈（1，）是增函数．∴g（x）＜g（）=+=∴实数m的取值范围m≥【解析】（1）求解f′（x）=+2x-2a=，x＞0，判断2x2-2ax+10的符号，分类得出①当a≤0时，f′（x）＞0成立，当-时，f′（x）≥0恒成立，即可得出当a时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＞时，求解不等式2x2-2ax+10≥0，2x2-2ax+10＜0，得出f（x）在（0，），（）上单调递增，在（，）单调递减，（2）f（x）max=f（1）=2-2a，存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a-a2）成立，即2-2a+lna＞m（a-a2），m＞恒成立，构造函数g（a）=，利用导数求解即可转化为最值即可判断．利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，同学们在做题的同时，可以根据单调性，结合函数的草图来加深对题意的理解．22.在圆内接四边形ABCD中，AC与BD交于点E，过点A作圆的切线交CB的延长线于点F．若AB=AD，AF=18，BC=15，求AE的长．【答案】解：∵AF是圆的切线，且AF=18，BC=15，∴由切割线定理可得AF2=FB•FC，∴182=FB（FB+15），∴FB=12，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵AF是圆的切线，∴∠FAB=∠ADB，∴∠FAB=∠ABD，∴AF∥BD，∵AD∥FC，∴四边形ADBF为平行四边形，∴AD=FB=12，∵∠ACF=∠ADB=∠F，∴AC=AF=18，∵，∴，∴AE=8．故答案为：8．【解析】由切割线定理，求出FB，再证明四边形ADBF为平行四边形，求出AD=AB，利用，可求AE的长．本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．23.以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆O 的参数方程是和直线l的极坐标方程是ρsin（θ-）=．（Ⅰ）求圆O和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l与圆O公共点的一个极坐标．【答案】解：（Ⅰ）圆O的参数方程可以化为：，所以圆O的直角坐标方程是：．转化为：x2+y2-x-y=0直线l的极坐标方程可以化为：，所以直线l的直角坐标方程为：x-y+1=0；（Ⅱ）由，解得：，故直线l与圆O公共点为（0，1），该点的一个极坐标为（1，）．【解析】（Ⅰ）首先把圆的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把标准形式转化为一般式，再把直线的极坐标形式转化为直角坐标的形式．（Ⅱ）利用两个方程建立方程组，解出交点坐标，最后把直角坐标形式转化为极坐标的形式．本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，解方程组的应用，点的直角坐标和极坐标的互化，主要考查学生的应用能力．24.设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）已知关于x的不等式a-3|x-3|＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0等价于|2x+1|＞|x-3|，两边平方得：4x2+4x+1＞x2-6x+9，即3x2-10x-8＞0，解得x＜-或x＞4，所以原不等式的解集是：（-∞，-）∪（4，+∞）；（Ⅱ）不等式a-3|x-3|＜f（x）等价于a＜|2x+1|+2|x-3|，因为|2x+1|+2|x-3|≥|（2x+1）-2（x-3）|=7，即有a＜7．所以a的取值范围是（-∞，7）．【解析】（Ⅰ）运用两边平方法，去绝对值，再由二次不等式的解法，即可得到所求解集；（Ⅱ）运用参数分离和不等式恒成立思想方法，由绝对值不等式的性质，求得右边的最大值，即可得到所求a的范围．本题考查绝对值不等式的解法，主要考查绝对值不等式的性质和平方法解绝对值的方法，考查运算能力，属于中档题．。

昌市十所省重点中学年二模突破冲刺交流试卷数学试题及答案(4)(理)

2015年江西省南昌市十所省重点中学二模（理科）（四）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．【点评】本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．2．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则可得：复数z=1+i，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假．【解析】解：复数z===1+i的四个命题：p1：|z|=≠2，因此是假命题；p2：z2=（1+i）2=2i，是真命题；p3：z的共轭复数为1﹣i，是假命题；p4：z的虚部为1，是真命题．其中真命题为p2，p4．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义、命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】令y=x﹣sinx，求出导数，判断单调性，即可判断①；由命题的逆否命题，先将体积、结论调换，再分别对它们否定，即可判断②；由命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，即可判断③；由全称性命题的否定为存在性命题，即可判断④．【解析】解：对于①，令y=x﹣sinx，则y′=1﹣cosx≥0，则有函数y=x﹣sinx在R上递增，则当x＞0时，x﹣sinx＞0﹣0=0，则x＞sinx恒成立．则①对；对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”，则②对；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；对于④，命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．则④对．综上可得，其中正确的叙述共有3个．故选C．【点评】本题考查函数的单调性的运用，考查复合命题的真假和真值表的运用，考查充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题和易错题．4．（5分）如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）A．π+24 B．π+20 C．2π+24 D．2π+20【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，即可求出该器皿的表面积．【解析】解：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，s1=6×2×2﹣π×12=24﹣π，s2==2π，故s=s1+s2=π+24故选：A．【点评】由三视图求表面积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征．5．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i 值．【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[2，3] D．[﹣1，3]【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z=﹣mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z=﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，确定目标函数的斜率是解决本题的关键，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7．（5分）对于函数f（x）=x3cos3（x+），下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数且在（）上递减B．f（x）是奇函数且在（）上递增C．f（x）是偶函数且在（）上递减D．f（x）是偶函数且在（）上递增【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】探究型．【分析】由题设条件知，可先化简函数解析式，再研究函数的性质，根据得出的函数的性质选出正确选项【解析】解：f（x）=x3cos3（x+）=x3cos（3x+）=﹣x3sin3x由于f（﹣x）=﹣x3sin3x=f（x），可知此函数是偶函数，又x3与sin3x在（）上递增，可得f（x）=﹣x3sin3x在（）上递减，对照四个选项，C正确故选C【点评】本题考查函数奇偶性与函数单调性的判断，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性的判断方法与函数单调性的判断方法，除了用定义法判断之外，掌握一些基本函数的单调性，利用基本函数的单调性判断一些由这些基本函数组合的函数的性质可以方便解题8．（5分）（2015•甘肃二模）定义：在数列{a n}中，若满足﹣=d（n∈N+，d为常数），称{a n}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n}中，a1=a2=1，a3=3，则（）A．4×20152﹣1 B．4×20142﹣1 C．4×20132﹣1 D．4×20132【考点】进行简单的合情推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】确定=1+2（n﹣1）=2n﹣1，再代入，即可得出结论．【解析】解：由题意，d==3﹣1=2，=1，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，利用叠乘法可得==4×20142﹣1，故选：B．【点评】本题考查新定义，考查数列通项的求解，解题的关键是对新定义的理解．9．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是（）A．（﹣∞，）B．[，5] C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】函数在区间（1，3）上为“凸函数”，所以f″（x）＜0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可；【解析】解：∵f（x）=x4﹣x3﹣x2，∴f′（x）=x3﹣x2﹣3x，∴f″（x）=x2﹣mx﹣3，∵f（x）为区间（1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0在区间（1，3）上恒成立，∴，解得m≥2故选：D．【点评】本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．10．（5分）在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（）A．40种B．70种C．80种D．100种【考点】进行简单的合情推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；Grace参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，即可得出结论．【解析】解：Grace不参与该项任务，则有=30种；Grace参与该项任务，则有=10种，故共有30+10=40种故选：A．【点评】本题考查进行简单的合情推理，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．11．（5分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解析】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+P1F1＞P1F2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P 这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）【点评】本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．12．（5分）已知实数a，b，c，d满足==1其中e是自然对数的底数，则（a ﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．18【考点】两点间距离公式的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由已知得点（a，b）在曲线y=x﹣2e x上，点（c，d）在曲线y=2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线y=x﹣2e x到曲线y=2﹣x上点的距离最小值的平方．由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解析】解：∵实数a，b，c，d满足==1，∴b=a﹣2e a，d=2﹣c，∴点（a，b）在曲线y=x﹣2e x上，点（c，d）在曲线y=2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线y=x﹣2e x到曲线y=2﹣x上点的距离最小值的平方．考查曲线y=x﹣2e x上和直线y=2﹣x平行的切线，∵y′=1﹣2e x，求出y=x﹣2e x上和直线y=2﹣x平行的切线方程，∴令y′=1﹣2e x=﹣1，解得x=0，∴切点为（0，﹣2），该切点到直线y=2﹣x的距离d==2就是所要求的两曲线间的最小距离，故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为d2=8．故选：A．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知向量=（1，），=（3，m）．若向量在方向上的投影为3，则实数m=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由投影的定义即得，所以得到，解出m即可．【解析】解：根据投影的概念：；∴．故答案为：．【点评】考查投影的概念，两向量夹角余弦公式的坐标运算，数量积的坐标运算，根据向量坐标求其长度．14．（5分）已知a=2cos（x+）dx，则二项式（x2+）5的展开式中x的系数为﹣80．【考点】定积分；二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据定积分的运算法则求出a的值，再根据二项式定理的公式，求出一次项的系数；【解析】解：∵a=2cos（x+）dx=2sin（x+）=2sin（）﹣2sin=﹣2，∴二项式（x2+）5=（x2﹣）5，∴T r+1==，令10﹣3r=1，可得r=3，∴二项式（x2+）5的展开式中x的系数=﹣80；故答案为：﹣80；【点评】此题主要考查定积分的运算法则和二项式定理的应用，是一道综合题，比较简单；15．（5分）对于集合{a1，a2，…，a n}和常数a0，定义：为集合{a1，a2，…，a n}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】先根据题意表示出正弦方差μ，进而利用二倍角公式把正弦的平方转化成余弦的二倍角，进而利用两角和公式进一步化简整理，求得结果即可．【解析】解：因为集合相对a0的“正弦方差”，W======故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数中二倍角，两角和公式的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．16．（5分）已知动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，且PA=r（0＜r＜），记点P的轨迹长度为f（r）给出以下四个命题：①f（1）=π②f（）=π③f（）=π④函数f（r）在（0，1）上是增函数，f（r）在（，）上是减函数其中为真命题的是①④（写出所有真命题的序号）【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题意画出图形并得出相应的解析式，画出其图象，经过讨论即可得出答案．【解析】解：如图所示：①当0＜r≤1时，f（r）=3××r=r，f（）=，．此时，由一次函数的单调性可得：0＜f（r）≤＜5，②当1＜r≤时，在平面ABCD内，设以点A为圆心，r为半径的圆弧与BC、CD分别交于点E、F，则cos∠DAF=，∠EAF=﹣2∠DAF，∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2=，cos∠EAG=，∴f（r）=3rarccos+3rarccos；③当＜r≤时，∵CM=，∴，∴cos∠MAN==，∴f（r）=3rarccos，综上，当0＜r≤1时，f（r）=r，当1＜r≤时，f（r）=3rarccos+3rarccos；当＜r≤时，f（r）=3rarccos，故只有①④正确．故答案为：①④．【点评】熟练掌握数形结合、分类讨论的思想方法、数形结合的思想方法是解题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的性质；余弦定理．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以cosA=，由此能求出A=．（Ⅱ）由已知条件推导出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，由此能求出a n=2n，从而得以==，进而能求出{}的前n项和S n．【解析】解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，∴=，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）设{a n}的公差为d，∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，∴a1==2，且=a2•a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，∴a n=2n，∴==，∴S n=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．【点评】本题考查角的大小的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18．（12分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中，随机发放了l20份问巻．对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2x2列联表：（1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由．附：独立性检验统计量K2=，其中n=a+b+c+d，独立性检验临界表：【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘．因为ξ表示从这9份问卷中随机抽取的4份中能做到光盘的问卷份数，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，求出相应的概率，可得随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）计算K2=≈3.03，可得结论．【解析】解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘．因为ξ表示从这9份问卷中随机抽取的4份中能做到光盘的问卷份数，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，所以P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．ξ的分布列如下所以Eξ=0×+1×+2×+3×=；（2）K2=≈3.03因为2.706＜3.03＜3.840．所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即P=0.1．【点评】本题考查随机变量ξ的分布列和数学期望，考查独立性检验，考查学生分析解决问题的能力，知识综合．19．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO⊥平面ABC，作EF ⊥平面ABC，由已知条件推导出∠EBF=60°，由此能证明DE∥平面ABC．（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，能推导出∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解析】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴，…（4分）∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…（9分）Rt△EFG中，，，．∴．即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则，∴，∴．…（9分）所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=3，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（2）①设出直线方程，榴莲么抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；②运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．【解析】（1）解：由已知可得K（﹣，0），圆C：（x﹣2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1．设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=，于是|CR|===，即有|CK|====3，即有2+=3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x；（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，=，即有（）2+y1y2=，解得y1y2=﹣18或2（舍去），即﹣4t=﹣18，解得t=．则有AB恒过定点Q（，0）；②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=•，同理|GD|=|y2﹣y1|=•，则四边形AGBD面积S=|AB|•|GD|=•••=4，令m2+=μ（μ≥2），则S=4是关于μ的增函数，则当μ=2时，S取得最小值，且为88．当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线方程和直线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，向量的数量积的坐标表示，具有一定的运算量，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点（1）求常数b的值（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围（3）求证：对于任意的正整数n，不等式（1+）n．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得f′（0）=0，即可得到b=1；（2）求出f（x）的导数，对a讨论，①当a≤﹣时，②当a≥0时，③当﹣＜a＜0时，求出单调区间，求得最小值，即可得到a的范围；（3）对要证的不等式等价变形，可得ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②运用（2）中的结论，通过a的取值，即可得证．【解析】（1）解：对f（x）求导得：f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣b，根据条件知f′（0）=0，所以1﹣b=0，解得b=1；（2）解：由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣1f″（x）=﹣．①当a≤﹣时，由于0≤x≤1，有f″（x）≥0，于是f′（x）在[0.1]上单调递增，从而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递增，即f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0；②当a≥0时，由于0≤x≤1，有f″（x）＜0，于是f′（x）在[0.1]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0；③当﹣＜a＜0时，令m=min{1，﹣}，当0≤x≤m时，f″（x）＜0，于是f′（x）在[0，m]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0．综上可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．（3）证明：要证对于任意的正整数n，不等式（1+）n．即证对于任意的正整数n，nln（1+）＜1＜（n+1）ln（1+）．即证ln（1+）＜＜（+1）ln（1+）．即证ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②对于①相当于（2）中a=0，有f（x）在[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0．取x=，有ln（1+）﹣＜0；对于②相当于（2）中a=﹣1，有∀x∈[0，1]，f（x）≥0而且仅有f（0）=0．取x=，有（+1）ln（1+）﹣＞0成立．则有对于任意的正整数n，不等式（1+）n．【点评】本题考查导数的运用：求切线斜率和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法和等价转化的思想方法是解题的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB•PC=PA•AC．（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．【解析】（1）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴AB•PC=PA•AC．…（4分）（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴AC=12，AB=6，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．（10分）【点评】本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】坐标系和参数方程．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．【点评】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，平方后解一元二次不等式求得它的解集．（Ⅱ）根据f（x）的解析式，求出f（x）的最小值为f（），再根据f（）+2m2＜4m，求得m的范围．【解析】解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，即4x2﹣4x+1＞x2+4x+4，即3x2﹣8x+3＞0，求得它的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，故f（x）的最小值为f（）=﹣，根据∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，可得4m﹣2m2＞﹣，即4m2﹣8m﹣5＜0，求得﹣＜m＜．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对会的函数，函数的能成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。

江西省南昌市十所省重点中学命制高三数学第二次模拟突破冲刺试题(十)理

南昌市十所省重点中学2015年二模突破冲刺交流试卷（10）高三数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把答案填在答题卷的相应位置。

1．已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=∈≤-=z x x x T R x x x S ,115,,21，则S ∩T 等于（） A{}z x x x ∈≤<,30 Ｂ {}z x x x ∈≤≤,30 Ｃ{}z x x x ∈≤≤-,01 Ｄ {}z x x x ∈<≤-,012．复数),(111为虚数单位i R a i ai z ∈++-=在复平面上对应的点不可能位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213a ,a ,2a 2成等差数列，则=++1081311a a a a （） A. 27B.3C.1-或3D.1或274.已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x （）A ．332-B ．332±C ．1-D ．1±5．已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，a ⊥b ，则a －2b 在a 方向上的投影为( )A ．1 B． C ．－1 D．6. 如图所示的程序框图的运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．6>kB ．6≥kC ．7≥kD ．7>k 7．给出下列四个结论：①若a ，b ∈[0，1]，则不等式22a b ＋≤1成立的概率为4π；②由曲线y ＝3x 与y0．5；③已知随机变量ξ服从正态分布N （3，2σ），若P （ξ≤5）＝m ，则P （ξ≤1）＝1－m ；④8的展开式中常数项为358．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．48.有5 盆不同菊花, 其中黄菊花2 盆、白菊花2 盆、红菊花1 盆,现把它们摆放成一排, 要求2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻, 则这5 盆花不同的摆放种数是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．489．设n a 是nx )1(-的展开式中x 项的系数（ ,4,3,2=n ），若12(7)n n n a b n a ++=+，则n b 的最大值是( )A． B． C ．350 D ．23310．在锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2A B =，给出下列命题：①ππ64B <<；②ab ∈；③22a b bc =+．其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．311、已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是（）A 、[0,1]B 、8[0,]5 C 、1[,1]2- D 、18[,]25-12.定义在R 上的可导函数)(x f ，当),1(+∞∈x 时，)()()(''x xf x f x f <+恒成立),2()12(),3(21),2(f c f b f a +===则c b a ,,的大小关系为（A ）A.b a c <<B.a c b <<C.b c a <<D.a b c <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

昌市十所省重点中学年二模突破冲刺交流试卷数学试题及答案(9)(理)

2015年江西省南昌市十所省重点中学二模（理科）（九）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（0，）D．（0，1）【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】利用绝对值不等式性质求出集合A，利用指数函数的性质求出集合B，再由交集定义能求出A∩B．【解析】解：∵集合A={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意绝对值不等式性质、指数函数的性质的合理运用．2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．1 B．i C．D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简后得答案．【解析】解：∵=，∴复数（i是虚数单位）的虚部是．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；（2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y一定减少2个单位；（3）若p且q为假命题，则p，q均为假命题；（4）命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0；（5）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=P0，则．A．2 B． 3 C． 4 D． 5【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，而方差不变，即可判断出正误；（2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y增加2个单位，即可判断出正误；（3）由已知可得：p，q至少有一个为假命题，即可判断出正误；（4）利用命题否定定义即可判断出正误；（5）由正态分布的对称性可得：P（﹣1＜ξ＜0）=，即可判断出正误．【解析】解：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，而方差不变，因此不正确；（2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y增加2个单位，因此不正确；（3）若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，因此不正确；（4）命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确；（5）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=P0，则P（﹣1＜ξ＜0）==，因此正确．综上真命题的个数为2．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、概率统计的应该知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】二倍角的正弦．【分析】把要求的结论平方，就用到本题已知条件，这里用到二倍角公式，由角的范围，确定sinα+cosα的符号为正，实际上本题考的是正弦与余弦的和与两者的积的关系，【解析】解：∵α∈（﹣，0），∴sinα+cosα＞0，∴（sinα+cosα）2=1+sin2α=，∴sinα+cosα=，故选A【点评】必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式，培养他们的观察能力和分析能力，提高他们的解题方法．本题关键是判断要求结论的符号，可以用三角函数线帮助判断5．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=3 B．a=4 C．a=5 D．a=6【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=，k=4时，由题意此时满足条件4＞a，退出循环，输出S的值为，结合选项即可得解．【解析】解：模拟执行程序，可得S=1，k=1不满足条件k＞a，S=，k=2不满足条件k＞a，S=，k=3不满足条件k＞a，S=，k=4由题意，此时满足条件4＞a，退出循环，输出S的值为，故选：A．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．（5分）若从区间（0，e）内随机取两个数，则这两个数之积不小于e的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】先作出图象，再利用图形求概率，由题意可设两个数为x，y，则有所有的基本事件满足，根据几何概型可求其概率．【解析】解：解：由题意可设两个数为x，y，则所有的基本事件满足，如图．总的区域是一个边长为e的正方形，它的面积是e2，满足两个数之积不小于e的区域的面积是e（e﹣1）﹣=e2﹣2e，∴两个数之积不小于e的概率是：=．故选B．【点评】本题考查几何概率模型，求解问题的关键是能将问题转化为几何概率模型求解，熟练掌握几何概率模型的特征利于本题的转化．7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据条件求出函数的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可．【解析】解：若f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期是π，则T=，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），若其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣），若此时函数为奇函数，则φ﹣=kπ，k∈Z，解得φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴当k=﹣1时，φ=﹣，即f（x）=sin（2x﹣），由2x﹣=，得x=+，故当k=0时，函数的对称轴为x=，故函数关于直线x=对称，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数性质的应用，求出函数的解析式是解决本题的关键．8．（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．π B．3π C．4π D．6π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为．利用球的表面积计算公式即可得出．【解析】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π．故选：B．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、正方体与外接球的性质、球的表面积的计算公式，考查了推理能力与空间想象能力、计算能力，属于中档题．9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在点P，使得csin∠PF1F2=asin∠PF2F1≠0，则该曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，）B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】不防设点P（x，y）在右支曲线上，并注意到x≥a．利用正弦定理求得，进而根据双曲线定义表示出|PF1|和|PF2|代入，可求得e的范围．【解析】解：不妨设P（x，y）在右支曲线上，此时x≥a，由正弦定理得，所以=，∵双曲线第二定义得：|PF1|=a+ex，|PF2|=ex﹣a，∴=⇒x=≥a，分子分母同时除以a，得：≥a，∴≥1解得1≤e≤+1，故答案为：D（1，+1）．【点评】本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合运用所学知识解决问题能力．10．（5分）（2015•日照二模）对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表：数列{x n}满足：x1=1，且对于任意n∈N*，点{x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+…+x2015=（）A．7554 B．7549 C．7546 D．7539【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意易得数列是周期为4的周期数列，可得x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3，代值计算可得．【解析】解：∵数列{x n }满足x1=1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，∴x n+1=f（x n），∴由图表可得x1=1，x2=f（x1）=3，x3=f（x2）=5，x4=f（x3）=6，x5=f（x4）=1，∴数列是周期为4的周期数列，∴x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3=503×15+9=7554故选：A【点评】本题考查函数和数列的关系，涉及周期性，属基础题．11．（5分）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx ﹣c=0的两实根分别为x1，x2，则P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2内B．必在圆x2+y2=2外C．必在圆x2+y2=1外D．必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先根据一元二次方程根和系数的关系求出，进一步利用恒等变换求出和，利用一元二次方程根和系数的关系，基本不等式的应用，离心率的应用从而判断结果．【解析】解：椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx ﹣c=0的两实根分别为：x1和x2则：，=所以：0＜e＜1即：0＜e2＜11＜e2+1＜2所以：即点P在圆x2+y2=1与x2+y2=2形成的圆环之间．故选：D【点评】本题考查的知识要点：一元二次方程根和系数的关系，基本不等式的应用，离心率的应用．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx 有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求出双曲线的渐近线方程，y=﹣ln（1﹣x）在x=0处的切线方程，即可得出结论．【解析】解：由题意，x≥0，f（x）=为双曲线4y2﹣x2=1在第一象限的部分，渐近线方程为y=±x；当k=1时，由y=﹣ln（1﹣x），可得y′==1可得x=0，即y=﹣ln（1﹣x）在x=0处的切线方程为y=x，此时函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有1个零点，∴若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（，1），故选：C．【点评】本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设（1﹣x）（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2=30．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】要求a2，只要求解展开式中的含x2项的系数，根据题意只要先求出（1+2x）5的通项，即可求解【解析】解∵（1﹣x）（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，而（1+2x）5展开式的通项为∴（1﹣x）（1+2x）5=展开式中含x2的项为=30x2∴a2=30故答案为：30【点评】本题主要考查了二项展开式的通项在求解指定项中的应用，解题的关键是寻求指定项得到的途径14．（5分）已知实数x，y满足，则z=xy的最大值为．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对于的平面区域，由z=xy，则y=为双曲线，利用数形结合即可得到结论．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=xy，则y=为双曲线，要使z=xy最大，则z＞0，∵z=xy对应的双曲线的对称轴为y=x，∴由图象可知当z=xy与x+y﹣13=0相切时，z=xy取得最大值，由，解得，即D（），此时z=，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，以及双曲线的性质，利用数形结合是解决本题的关键，本题涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2+b2=4a+2b﹣5，且a2=b2+c2﹣bc，则S△ABC=．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由a2=b2+c2﹣bc，利用余弦定理可得：cosA==，可得A．由a2+b2=4a+2b ﹣5，可得（a﹣2）2+（b﹣1）2=0，解得a，b．利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得c，利用三角形面积计算公式即可得出．【解析】解：由a2=b2+c2﹣bc，利用余弦定理可得：cosA==，∵θ∈（0，π），∴．∵a2+b2=4a+2b﹣5，∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=0，解得a=2，b=1．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，∴4=1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣3=0，解得c=，∴S△ABC===，故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）如图所示，在⊙O中，AB与CD是夹角为60°的两条直径，E、F分别是⊙O与直径CD上的动点，若•+λ•=0，则λ的取值范围是[﹣2，2]．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标表示B、C、E、F，计算•与•，求出λ的表达式，求出λ的取值范围即可．【解析】解：设⊙O的半径为r，以O为原点，OB为x轴建立直角坐标系，如图所示；则B（r，0），C（r，﹣r），设E（rcosα，rsinα），α∈（0，π）；∴=μ=μ（r，﹣r）=（μr，﹣μr），其中μ∈[﹣1，1]；∴=（μr﹣r，﹣μr），∴•=（rcosα，rsinα）•（μr﹣r，﹣μr）=r2（μ﹣1）cosα﹣μr2sinα；•=（﹣r0）•（r，﹣r）=﹣r2；∵•+λ•=0，∴λ=﹣=（μ﹣2）cosα﹣μsinα=sin（α+θ）=sin（α+θ）；又μ∈[﹣1，1]，∴≤≤2，∴﹣2≤sin（α+θ）≤2；∴﹣2≤λ≤2，即λ的取值范围是．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了求函数的最值问题以及三角函数的恒等变换问题，是较难的题目．三．解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0．若a b1，a b2，a b3，…，a bn，…成等比数列，且b1=1，b2=2，b3=5．（1）求数列{b n}的通项公式b n；（2）设c n=log3（2b n﹣1），求和T n=c1c2﹣c2c3+c3c4﹣c4c5+…+c2n﹣1c2n﹣c2n c2n+1．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知得（1+d）2=1×（1+4d），从而d=2，q=3，由此能求出．（2）由c n=log3（2b n﹣1）=n﹣1，T n=c2（c1﹣c3）+c4（c3﹣c5）+c6（c5﹣c7）+…+c2n（c2n﹣﹣c2n+1）=﹣2（c2+c4+…+c2n），能求出T n．1【解析】解：（1）∵数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0．a b1，a b2，a b3，…，a bn，…成等比数列，且b1=1，b2=2，b3=5．∴，∴（1+d）2=1×（1+4d），1+2d+d2=1+4d，解得d=2或d=0（舍），．∴q=3…（3分），∴…（6分）（2）c n=log3（2b n﹣1）=n﹣1…（7分），T n=c2（c1﹣c3）+c4（c3﹣c5）+c6（c5﹣c7）+…+c2n（c2n﹣1﹣c2n+1）=﹣2（c2+c4+…+c2n）=﹣2[1+3+5+…+（2n﹣1）]=﹣2n2…（12分）【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．18．（12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）利用频率等于频数除以样本容量，求出样本容量，再求出表中的a，b．（2）①利用二项分布的概率公式求出5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率．②写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率．列出分布列，求得期望．【解析】解：（1）∵=50∴a==0.5，b==0.3（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B（5，0.5）P（X=2）=C52×0.52×（1﹣0.5）3=0.3125②X的可能取值为4，5，6，7，8，则p（X=4）=0.22=0.04p（X=5）═2×0.2×0.5=0.2p（X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37p（X=7）═2×0.3×0.5=0.3p（X=8）=0.32=0.09所有X的分布列为：EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．【点评】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，在四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，顶角D1在底面ABCD内的射影恰好为点C．（1）求证：AD1⊥BC；（2）若直线DD1与直线AB所成角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值函数值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）证明：连接D1C，证明BC⊥平面AD1C，利用直线与平面垂直的性质定理证明AD1⊥BC．（Ⅱ）解法一：连接D1M，则D1M⊥AB，说明∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角，在Rt△D1CM中，求出，得到平面ABC1D1与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦函数值为．解法二：由（Ⅰ）知AC、BC、D1C两俩垂直，建立如图空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ABC1D1的一个法向量，平面ABCD的法向量．通过向量的数量积求解平面ABC1D1和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．【解析】解：（Ⅰ）证明：连接D1C，则D1C⊥平面ABCD，∴D1C⊥BC在等腰梯形ABCD中，连接AC∵AB=2，BC=CD=1，AB∥CD∴BC⊥AC∴BC⊥平面AD1C∴AD1⊥BC…（6分）（Ⅱ）解法一：∵AB∥CD∴∵CD=1∴在底面ABCD中作CM⊥AB，连接D1M，则D1M⊥AB，所以∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角在Rt△D 1CM中，，∴∴即平面ABC1D1与平面ABCD所成角（锐角）的余弦函数值为…（12分）解法二：由（Ⅰ）知AC、BC、D1C两俩垂直，∵AB∥CD∴∴在等腰梯形ABCD中，连接AC因AB=2，BC=CD=1AB∥CD，所以，建立如图空间直角坐标系，则，B（0，1，0），设平面ABC1D1的一个法向量由得可得平面ABC1D1的一个法向量．又为平面ABCD的一个法向量．因此所以平面ABC1D1和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的性质定理的应用，向量法求解二面角的方法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求出l的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出AB中点坐标，推出中垂线方程，结合AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．求出p即可．（2）设l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，求出AB的距离以及AB中点为D（2k，2k2+1），令∠MDN=2α，求出S的表达式，推出关系式，利用D到x轴的距离|DE|=2k2+1，求出，然后求解的最大值．【解析】解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，，当l的倾斜角为45°时，l的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x2﹣2px﹣p2=0，x1+x2=2p，y1+y2=x1+x2+p=3p，得AB中点为…（3分）AB中垂线为，x=0代入得．∴p=2…（6分）（2）设l的方程为y=kx+1，代入x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0，，AB中点为D（2k，2k2+1）令∠MDN=2α，，∴…（8分）D到x轴的距离|DE|=2k2+1，…（10分）当k2=0时cosα取最小值，α的最大值为．故的最大值为．…（12分）【点评】本题考查直线与抛物线方程的位置关系，直线与直线的位置关系，以及圆的方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）=c（c∈R），有两个不相等的实数根x1、x2，求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）求出函数的导数通过当a≤0时，当a＞0时，判断导函数的符号，推出函数的单调区间．（II）通过x1、x2是方程f（x）=c的两个不等实根，由（1）知a＞0．设0＜x1＜x2，把根代入方程，作差，推出a的表达式，构造函数，利用新函数的导数，通过函数的单调性利用分析法证明即可．【解析】（12分）解：（I）f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣（x＞0）．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）．当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜．所以函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为．…（4分）（II）证明：因为x1、x2是方程f（x）=c的两个不等实根，由（1）知a＞0．不妨设0＜x1＜x2，则﹣（a﹣2）x1﹣alnx1=c，﹣（a﹣2）x2﹣alnx2=c．两式相减得﹣（a﹣2）x1﹣alnx1﹣+（a﹣2）•x2+alnx2=0，即+2x1﹣﹣2x2=ax1+alnx1﹣ax2﹣alnx2=a（x1+lnx1﹣x2﹣lnx2）．所以a=．因为f′=0，当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0，故只要证＞即可，即证明x1+x2＞，即证明﹣+（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）＜+2x1﹣﹣2x2，即证明ln ＜．设t=（0＜t＜1）．令g（t）=lnt﹣，则g′（t）=．因为t＞0，所以g′（t）≥0，当且仅当t=1时，g′（t）=0，所以g（t）在（0，+∞）上是增函数．又g（1）=0，所以当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．所以原题得证…（12分）【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性，分类讨论思想的应用，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（1）求证：CE•EB=EF•EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题．【分析】（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA•ED=EF•EP．利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB，进而证明结论；（II）利用（I）的结论可得BP=，再利用切割线定理可得PA2=PB•PC，即可得出PA．【解析】（I）证明：∵DE2=EF•EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF∽△EPA．∴，∴EA•ED=EF•EP．又∵EA•ED=CE•EB，∴CE•EB=EF•EP；（II）∵DE2=EF•EC，DE=3，EF=2．∴32=2EC，∴．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴，解得EP=，∴BP=EP﹣EB=．∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB•PC，∴，解得．【点评】熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定理是解题的关键．五、选修4-4：坐标系与参数方程．23．坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=与圆C的交点为O、P两点，求P点的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，直接把圆的普通方程化为极坐标方程即可．（Ⅱ）解法1：求出射线OM的普通方程为y=x，x≥0，与圆的方程联立，求出P点的坐标为（1，1），转化为极坐标即可．解法2：把代入ρ=2cosθ即可求解P点的极坐标．【解析】解：（Ⅰ）圆C的普通方程是（x﹣1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ所以圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ…（5分）（Ⅱ）解法1：因为射线的普通方程为y=x，x≥0联立方程组消去y并整理得x2﹣x=0解得x=1或x=0，所以P点的坐标为（1，1）所以P点的极坐标为…（10分）解法2：把代入ρ=2cosθ得所以P点的极坐标为…（10分）【点评】本题考查圆的极坐标方程与普通方程的互化，点的极坐标与极坐标的转化，考查计算能力．六、选修4-5：不等式选讲．24．（Ⅰ）设函数f（x）=|x﹣|+|x+a|（a＞0）．证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若实数x，y，z满足x2+4y2+z2=3，求证：|x+2y+z|≤3．【考点】不等式的证明．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）通过绝对值三角不等式，已经基本不等式，即可证明f（x）≥2；（Ⅱ）利用已知条件构造柯西不等式，然后证明即可．【解析】证明：（Ⅰ）由a＞0，有当且仅当a=1时取等号．所以f（x）≥2…（5分）（Ⅱ）∵x2+4y2+z2=3，由柯西不等式得：[x2+（2y）2+z2]（12+12+12）≥（x+2y+z）2（当且仅当即时取“=”号）整理得：（x+2y+z）2≤9，即|x+2y+z|≤3…（10分）【点评】本题考查不等式的证明，基本不等式以及柯西不等式的应用，考查推理与计算能力．。

江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺(九)数学理试题 Word版及答案

南昌市十所省重点中学2015年二模突破冲刺交流试卷（09）高三数学（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{|||1}A x x =<，{|21}x B x =>，则A B =I （） A ．(1,0)- B ．(1,1)- C ．)21,0(D ．(0,1) 2（i 是虚数单位）的虚部是（） A ．1 B ．i C ．12 D ．12i3．下列命题中正确命题的个数是（）（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；（2）在回归直线12y x =+中，x 增加1个单位时，y 一定减少2个单位；（3）若p q 且为假命题，则,p q 均为假命题；（4）命题0:,p x R ∃∈使得20010x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈均有210x x ++≥；（5）设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若0(1)P P ξ>=，则01(10)2P P ξ-<<=-； A ．2B ．3C ．4D ．54．已知sin2α＝－2425，α∈（－4π，0），则sin α＋cos α＝（）A ．－15B ．15 C ．－75 D ．755．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是74,则（） A ．3a = B ．4a = C ．5a = D ．6a = 6．若从区间(0,)e 内随机取两个数，则这两个数之积不小于．．．e 的概率为（）A ．11e - B ．21e - C ．1eD ．2e7．函数()sin()(0,)3f x x πωϕωϕ=+>≤的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x （）A ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线512x π=对称 D ．关于直线12x π=对称8图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( ) A ．πB ．3πC ．4πD ．6π9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别1(,0)F c -，2(,0)F c ，若双曲线上(第8题图)存在点P ，使得1221sin sin 0c PF F a PF F ∠=∠≠，则该曲线的离心率e 的取值范围是（）A ．（1B．( C．(1⎤⎦ D．1) 10．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足：11x =，且对于任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图像上，则122015x x x +++=( )A ．7554B ．7549C ．7546D ．753911．设椭圆方程为22221(0)x y a ba b+=>>，右焦点(,0)(0)F c c >,方程20ax bx c +-=的两实根分别为12,x x ，则12(,)P x x 必在（）A ．圆222x y +=内B ．圆222x y +=外C ．圆221x y +=上D ．圆221x y +=与圆222x y +=形成的圆环之间12．已知函数())()()0ln 10x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设5260126(1)(12)-+=+++鬃?x x a a x a x a x ，则2a = ．14．已知实数x ，y 满足220220130x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则z xy =的最大值为．15．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a bc 、、，若22425a b a b +=+-，且222a b c =+bc -，则ABC S ∆=________．16．如图所示，在圆O 中，AB 与CD 是夹角为60°的两条直径，,E F分别是圆O 与直径CD 上的动点，若0OE BF OA OC λ⋅+⋅=，则λ 的取值范围是________．三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）ABCDO EF已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠．若123,,,,,n b b b b a a a a 成等比数列，且11b =，22b =， 35b =.（1）求数列{}n b 的通项公式n b ；（2）设3(21)n n c log b =-，求和12233445212221n n n n n T c c c c c c c c c c c c -+=-+-+⋅⋅⋅+-. 18．（本小题满分12分）若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，2AB =,1BC CD ==,顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．(Ⅰ)求证：1AD BC ⊥；(Ⅱ)若直线1DD 与直线AB 所成的角为3π,求平面11ABC D 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值．ABC DA 1B 1C 1D 120．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点,A B ，当直线l 的倾斜角是45时，AB 的中垂线交y 轴于点(0,5)Q . （1）求p 的值；（2）以AB 为直径的圆交x 轴于点,M N ，记劣弧MN 的长度为S ，当直线l 绕F 旋转时，求SAB的最大值. 21．（本小题满分12分）设函数x a x a x x f ln )2()(2---=． (I)求函数)(x f 的单调区间；(II)若方程c x f =)( )(R c ∈,有两个不相等的实数根1x 、2x ，求证：0)2('21>+x x f .选做题：请考生从第22、23、24题中任选一题做答，并按要求在答题卷上相应位置做好标志．多答按所答的首题进行评分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2．（Ⅰ）求证：EP EF EB CE ⋅=⋅；（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．23．（本题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数).以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆C 的极坐标方程； (Ⅱ)射线:4OM πθ=与圆C 的交点为O 、P 两点，求P 点的极坐标.24．（本题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.(Ⅰ)设函数1()=||||(0)f x x x a a a-++>.证明：()2f x ≥； (Ⅱ)若实数z y x ,,满足22243x y z ++=,求证:23x y z ++≤参考答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） DCABA BCBDA DC二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．30 14．1694 15．816．[- 三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17．（12分）解：(1)222152(1)1(14)12142=0a a a d d d d d d d =⋅⇒+=⨯+++=+⇒=或（舍去）1211, 3.3b b a a a q ===∴=11(1)22113n n b n n a b b -=+-⨯=-=⨯ , 1312n n b -+∴=……………6分 (2)3(21)n n c log b =-1n =- 213435657221()()()()n nn nT c c c c c c c c c c c c -+=-+-+-+⋅⋅⋅+- 2422()n c c c =-++⋅⋅⋅+22[135(21)]2n n =-+++⋅⋅⋅+-=- ……………12分18．(12分) 解：（Ⅰ）250.550a ==， 150.350b ==，………………………2分依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率0.5p =，设5天中该种商品有Y 天的销售量为1.5吨，则(5,0.5)YB ，2235(2)0.5(10.5)0.3125P Y C ==⨯⨯-=．…………5分（Ⅱ）X 的可能取值为4,5,6,7,8，………………7分则：2(4)0.20.04P X ===， (5)20.20.50P X ==⨯⨯=， 2(6)0.520.20.30.37P X ==+⨯⨯=, (7)20.30.50.3P X ==⨯⨯=, 2(8)0.30.09P X ===，所以X 的分布列为：………10分X 的数学期望()40.0450.260.3770.380.09 6.2E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……12分19．(12分)解：(Ⅰ)证明：连接1D C ,则1D C ⊥平面ABCD ，∴1D C ⊥BC 在等腰梯形ABCD 中，连接AC∵2AB =，1BC CD ==，AB ∥CD∴BC AC ⊥ 又1ACDC C = ∴BC ⊥平面1AD C ∴1AD BC ⊥ ………………6分 (Ⅱ)解法一：∵AB ∥CD ∴13DDC π∠=∵1CD =∴ 1DC =在底面ABCD 中作CM AB ⊥,连接1D M ,则1D M AB ⊥, 所以1D MC ∠为平面11ABC D 与平面ABCD 所成角的一个平面角在1Rt D CM ∆中,2CM =, 1DC =∴12D M ==∴1cos 5D CM ∠= 即平面11ABC D 与平面ABCD 所成角(锐角)……………12分解法二：由(Ⅰ)知AC 、BC 、1D C 两俩垂直，∵AB ∥CD∴13D DC π∠=∴ 1DC =在等腰梯形ABCD 中,连接AC 因2AB =,1BC CD ==所以AC = 则A ，(0,1,0)B ，1D1设平面11ABC D 的一个法向量(,,)n x y z =r由100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuu r r得00y z x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可得平面11ABC D的一个法向量(1n =r．又1CD =uuu r为平面ABCD 的一个法向量．因此111cos ,||||CD n CD n CD n ⋅<>==uuu r ruuu r r uuu r r 所以平面11ABC D 和平面ABCD 所成的角(锐角)20．（12分）解：（1）(0,)2p F 当l 的倾斜角为45时，l 的方程为2p y x =+ 设1122(,),(,)A x y B x y 222p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220x px p --=1212122,3x x p y y x x p p +=+=++= 得AB 中点为3(,)2D p p AB 中垂线为3()2y p x p -=-- 0x =代入得552y p == 2p ∴=………………5分（2）设l 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=212122()444AB y y k x x k =++=++=+ AB 中点为2(2,21)D k k +令2MDN ∠=α 122S AB AB =α⋅=α⋅ S AB∴=α ∵D 到x 轴的距离221DE k =+∴222211cos 122222DE k k k AB +α===-++ 当20k =时，cos α取最小值12，α的最大值为3π故SAB的最大值为3π. …………………12分21．（12分）解：(I) f ′(x )＝2x －(a －2)－22221a x a x a x a x x x x－（－）－（－)(＋）＝＝ (x >0)．当a ≤0时， f ′(x )﹥0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．当a ﹥0时，由f ′(x )﹥0，得x ﹥2a ；由f ′(x )﹤0，得0<x <2a . 所以函数f (x )的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………4分(II)证明：因为x 1、x 2是方程f(x)＝c 的两个不等实根，由(1)知a>0. 不妨设0<x 1<x 2，则21x －(a －2)x 1－alnx 1＝c ，22x －(a －2)x 2－alnx 2＝c. 两式相减得21x －(a －2)x 1－alnx 1－22x ＋(a －2)·x 2＋alnx 2＝0，即21x ＋2x 1－22x －2x 2＝ax 1＋alnx 1－ax 2－alnx 2＝a(x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2)．所以a ＝221122112222ln ln x x x x x x x x ＋－－＋－－.因为f ′2a ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，当x∈0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，f ′(x)<0，当x∈,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，f ′(x)>0，故只要证122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋> 2a即可，即证明x 1＋x 2> 221122112222ln ln x x x x x x x x ＋－－＋－－，即证明21x －22x ＋(x 1＋x 2)(lnx 1－lnx 2)< 21x ＋2x 1－22x －2x 2，即证明ln12x x <121222x x x x －＋.设t ＝12x x (0<t<1)．令g(t)＝lnt －221t t －＋，则g ′(t)＝22214111t t t t t （－）－＝（＋）（＋）. 因为t>0，所以g ′(t)≥0，当且仅当t ＝1时，g ′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．又g(1)＝0，所以当t ∈(0，1)时，g(t)<0总成立．所以原题得证 ………………12分选做题：在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分． 22．（10分）解：（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠ ……………………………………3分又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠,PEA DEF ∠=∠∴EDF ∆∽EPA ∆， ∴EDEPEF EA =， ∴EP EF ED EA ⋅=⋅ 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅． ………………………………5分（Ⅱ）∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE∴ 29=EC ，∵2:3:=BE CE ∴3=BE 由（1）可知：EP EF EB CE ⋅=⋅，解得427=EP . …………………………7分 ∴415=-=EB EP BP ． ∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2∴)29427(4152+⨯=PA ，解得4315=PA ． ……………………………………10分23．（10分）解：(Ⅰ)圆C 的普通方程是221y 1x -+=()，又cos ,sin x y ρθρθ== 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ= ………………………5分(Ⅱ)因为射线:4OM πθ=的普通方程为,0y x x =≥ 联立方程组22,01y 1y x x x =≥⎧⎨-+=⎩()消去y 并整理得20x x -= 解得1x =或0x =，所以P 点的坐标为(1,1)所以P 点的极坐标为)4π………………………10分解法2：把4πθ=代入2cos ρθ=得2cos4πρ==所以P 点的极坐标为)4π………………………10分24．（10分）证明:(Ⅰ)由0a >，有111()=|||||)()|2f x x x a x x a a a a a-++≥--+=+≥( 所以()2f x ≥ ………………………5分 (Ⅱ)22243x y z ++=,由柯西不等式得:2222222[(2)+](111)(2)x y z x y z +++≥++(当且仅当2111x y z ==即6355x z y ===，时取“=”号) 整理得:9)2(2≤++z y x ,即32≤++z y x ……………………10分。

江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺高三数学(理)试卷(四)

2015.4第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．设集合{}|24x A x =≤，集合 {}|lg(1)B x y x ==-，则 A B 等于A ． (1,2)B ． (1,2]C ． [1,2)D ． 1,2]2．下面是关于复数iz -=12的四个命题:1p :2z =，2:p 22z i =，3:p z 的共轭复数为 i +-1，4:p z 的虚部为1，其中真命题为 A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p3．下列四个结论：①若0x >，则sin x x >恒成立；②命题“若sin 0,0x x x -==则”的逆命题为“若0sin 0x x x ≠-≠，则”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“,ln 0x R x x +∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x +∃∈-≤”．其中正确结论的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是A ．24π+B ．20π+ C ． 224π+D ． 220π+5．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出i 的结果为A ．7B ．9C ．10D ．116．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20062x y x y x ，若目标函数y mx z +-=的最大值为102+-m ，最小值为22--m ，则实数m 的取值范围是 A ．[]2,1-B ．[]1,2-C ．[]3,2D ．[]3,1-7．对于函数3()cos3()6f x x x π=+，下列说法正确的是 A ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递增 B ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递减C ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递增D ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递减 8．定义：在数列{}n a 中，若满足d a a a a nn n n =-+++112（+∈N n ，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。

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江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺理科综合试题（一）可能用到的相对原子量：C—12 H—1 Cl—35.5 S—32O—16 Fe--56第I卷一、选择题：本题共18小题，每小题6分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 细胞是生命的基本单位，对细胞的深入研究是揭开生命奥秘、改造生命和征服疾病的关键。

研究显示，R－loop 会引起DNA损伤等一些不良效应。

江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三数学第二次模拟突破试题(八)理

南昌市十所省重点中学2015年二模突破冲刺交流试卷（08）高三数学（理科）考试时间：120分钟；第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1、若复数z 满足：12z z i+=+，则z 的虚部为（）A. 2iB. 1C. 2D. i2、已知1a ，22()+=xxf x a ，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（）A ． 10x -<<B ． 21x -<<C ． 20x -<<D ． 01x <<3、在等比数列{}n a 中，若21=a ，052=+a a ，{}n a 的n 项和为n S ，则=+20162015S S （）A ．4032B ．2C ．2-D ．4030-4、将函数)46sin(π+=x y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位，所得函数图像的一个对称中心是（） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,16π B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,9π C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4π D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π5、下列四个命题中①设有一个回归方程y=2－3x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位；②命题P:“200,10o x R x x ∃∈-->”的否定2:",10"p x R x x ⌝∀∈--≤； ③设随机变量X 服从正态分布N （0，1），若P （X ＞1）=p ，则P （-l ＜X ＜0）12p=-；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=6．679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有（）本题可以参考独立性检验临界值表：A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6、若22n x dx=⎰ ，则12n x x -()的展开式中常数项为（）A ．12B ．12-C ．32D ．32-7、已知21,e e 为互相垂直的单位向量，若向量21e e +λ与21e e λ+的夹角等于30，则实数λ等于（）A ．32±B ．3±C ．33±D ．333或8、一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为（）A ．3B ．25C ．2D ．279、阅读程序框图，若输入m=4，n=6，，则输出a ，i 分别是（） A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i ==D ．8,4a i ==10、若实数a ，b ，c ，d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（）A 2B ．8C ．22D ．211、设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为654321,,,,,a a a a a a ，若对任意的)6,5,4,3,2(=i a i 总有)5,4,3,2,1(=<k i k a k ，满足,1||=-k i a a 则这样的排列共有（）A ．36B ．32C ．28D ．2012、已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,1)(2x x x x x f ，若方程a x f =)(有四个不同的解1x ，2x ，3x，4x ，且4321x x x x <<<，则4232131)(x x x x x ++的取值范围是（）A. ),1(+∞-B. (]1,1-C. )1,(-∞D. [)1,1-第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．13．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有_______种．14．若圆C ：22x y ＋＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点（a ，b ）向圆所作的切线长的最小值是_____________。

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