艺术类考生数学复习单元训练卷(4)数列单元测验试卷

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数列等差等比数列问题综合单元过关检测卷(四)带答案人教版高中数学真题技巧总结提升艺考生专用

高中数学专题复习
《数列等差等比数列综合》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明评卷人
得分一、选择题
1．1 ．（汇编年高考新课标1（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k =
（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5(2011年高考全国卷理科4)
3．某人从汇编年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率%50.2保持
不变，到汇编年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为
【】
A . 11314元
B . 53877元
C . 11597元
D .63877元
4．关于数列{a n }有以下命题，其中错误的命题为。

惠州市艺术类考生数学训练卷四

----数列第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 ( )A 15B 30C 31D 642．在各项都为正数的等比数列｛n a ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( )A 33B 72C 84D 1893．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列,则2a 的值为（）A –4B –6C –8D –104．如果数列}{n a 是等差数列，则（）A 5481a a a a +>+B 5481a a a a +=+C 5481a a a a +<+D 5481a a a a =5．设n a ＝－n 2＋10n ＋11，则数列｛n a ｝从首项到第（）项的和最大.A.10B.11C.10或11D.12 6．一个等比数列前n 项的和为48, 前2n 项的和为60, 则前3n 项的和为( )A 83B 108C 75D 637．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝（）A ．310B ．13C ．18D ．198．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 9．等差数列}{n a 中，已知311=a ，452=+a a ，33=n a ，则n 为 A 48 B 49 C 50 D 5110．已知数列}{n a 的前n 项的和S n =2n–1 （a 是不为0的实数），那么}{n a （）A 一定是等差数列B 一定是等比数列C 或是等差数列，或是等比数列D 既不是等差数列，又不是等比数列一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．等差数列{}n a 的首项为,a 公差为d ;等差数列{}n b 的首项为,b 公差为e ,如果()1n n n c a b n =+≥,且124,8.c c == 则数列{}n c 的通项公式为 . 12．若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 . 13．集合{}*21,,60M m m n n N m ==-∈<的所有元素之和为。

高三数学下学期数列多选题单元达标综合模拟测评检测试卷

高三数学下学期数列多选题单元达标综合模拟测评检测试卷一、数列多选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-，所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确；对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

高中数学《第四章数列》单元检测试卷与答案解析(共五套)

高中数学选择性必修二《第四章数列》单元检测试卷（一）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( )A ．10B ．20C ．16D ．12 2．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1(n≥2)，则a 5等于( )A ．－163 D ．163 C ．－83 D ．833．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3 4．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－55．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( )A ．第8项B ．第10项C ．第12项D ．第14项6．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2＝( )A ．2 D ．12 C ．3 D ．137．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么a n ＝( )A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －18．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n－i ＋1(i 是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数不超过2m(m ＞1，m ∈N *)的对称数列，且1,2,4，…，2m －1是数列{b n }的前m 项，则当m ＞1 200时，数列{b n }的前2 019项和S 2 019的值不可能为( ) A ．2m－2m －2 009B ．22 019－1C ．2m ＋1－22m －2 019－1 D ．3·2m －1－22m －2 020－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的公比q ＝－23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9·a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 1010．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是( ) A ．若S 5＝S 9，则必有S 14＝0B ．若S 5＝S 9，则必有S 7是S n 中最大的项C ．若S 6＞S 7，则必有S 7＞S 8D ．若S 6＞S 7，则必有S 5＞S611．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是( ) A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝n D ．a n ＝ln nn ＋1第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．14．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则a n ＝________，S 10＝________.15．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________.16．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f(x n －1)(n≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 020.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132.(1)求等比数列{a n }的公比q ； (2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 21．(本小题满分12分)在①a n ＋1＝a n 3a n ＋1，②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，其中1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列，③1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝1，________. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．22．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由．答案解析一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( )A ．10B ．20C ．16D ．12 解析：选D ∵{a n }是等差数列， ∴d ＝a 5－a 35－3＝52，∴a 7＝2＋4×52＝12.2．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1(n≥2)，则a 5等于( )A ．－163 D ．163 C ．－83 D ．83解析：选B ∵a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1，∴a 2＝(－1)2×2×13＝23，a 3＝(－1)3×2×23＝－43，a 4＝(－1)4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－83，a 5＝(－1)5×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83＝163.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3解析：选A 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.4．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－5 解析：选D 因为S n ＝5n ＋1＋a ＝5×5n＋a ，由等比数列的前n 项和S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝a 11－q－a 11－q·q n ，可知其常数项与q n的系数互为相反数，所以a ＝－5. 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( )A ．第8项B ．第10项C ．第12项D ．第14项解析：选D 当n 为正奇数时，a n ＋1＝2a n ，则a 2＝2a 1＝2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝a n ＋1，得a 3＝3，依次类推得a 4＝6，a 5＝7，a 6＝14，a 7＝15，…，归纳可得数列{a n }的通项公式a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋12－1，n 为正奇数，2n2＋1－2，n 为正偶数，则2n2＋1－2＝254，n ＝14，故选D.6．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2＝( )A ．2 D ．12 C ．3 D ．13解析：选C ∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，∴1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3＝35.∵a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，∴a 2＝3.故选C. 7．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么a n ＝( )A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1解析：选A 由题知a 1＝1，q ＝13，则a n －a n －1＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.设数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1的前n 项和为S n ， ∴S n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n .又∵S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ，∴a n ＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n .8．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n－i ＋1(i 是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数不超过2m(m ＞1，m ∈N *)的对称数列，且1,2,4，…，2m －1是数列{b n }的前m 项，则当m ＞1 200时，数列{b n }的前2 019项和S 2 019的值不可能为( ) A ．2m－2m －2 009B ．22 019－1C ．2m ＋1－22m －2 019－1 D ．3·2m －1－22m －2 020－1解析：选A 若数列{b n }的项数为偶数，则数列可设为1,21,22，…，2m －1,2m －1， (22)2,1，当m≥2 019时， S 2 019＝1×(1－22 019)1－2＝22 019－1，故B 可能．当1 200＜m ＜2 019时，S 2 019＝2×1×(1－2m)1－2－1×(1－22m －2 019)1－2＝2m ＋1－22m －2 019－1，故C 可能．若数列为奇数项，则数列可设为1,21,22，…，2m －2,2m －1,2m －2， (22)2,1，当m≥2 019时，S 2 019＝1×(1－22 019)1－2＝22 019－1.当1 200＜m ＜2 019时，S 2 019＝2×1×(1－2m －1)1－2－1×(1－22m －1－2 019)1－2＋2m －1＝3·2m －1－22m －2 020－1，故D 可能．故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的公比q ＝－23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9·a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10 解析：选AD ∵等比数列{a n }的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10＝a 29⎝ ⎛⎭⎪⎫－23<0，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确； ∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10， ∴b 9和b 10中至少有一个数是负数，又∵b 1＝12>0，∴d<0，∴b 9>b 10，故D 正确；∴b 10一定是负数，即b 10<0，故C 不正确．故选A 、D.10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是( ) A ．若S 5＝S 9，则必有S 14＝0B ．若S 5＝S 9，则必有S 7是S n 中最大的项C ．若S 6＞S 7，则必有S 7＞S 8D ．若S 6＞S 7，则必有S 5＞S 6解析：选ABC ∵等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)d2，若S 5＝S 9，则5a 1＋10d ＝9a 1＋36d ，∴2a 1＋13d ＝0， ∴a 1＝－13d2，∵a 1＞0，∴d ＜0，∴a 1＋a 14＝0，∴S 14＝7(a 1＋a 14)＝0，A 对；又∵S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝－13nd 2＋n (n －1)d 2＝d[(n －7)2－49]2，由二次函数的性质知S 7是S n中最大的项，B 对；若S 6＞S 7，则a 7＝a 1＋6d ＜0，∴a 1＜－6d ， ∵a 1＞0，∴d ＜0，∴a 6＝a 1＋5d ＜－6d ＋5d ＝－d ，a 8＝a 7＋d ＜a 7＜0， S 7＞S 8＝S 7＋a 8，C 对；由a 6＜－d 不能确定a 6的符号，所以S 5＞S 6不一定成立，D 错．故选A 、B 、C.11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是( ) A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍解析：选ABD 设此人第n 天走a n 里路，则{a n }是首项为a 1，公比为q ＝12的等比数列．所以S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192.a 3＝a 1q 2＝192×14＝48，所以A 正确，由a 1＝192，则S 6－a 1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B 正确． a 2＝a 1q ＝192×12＝96，而14S 6＝94.5＜96，所以C 不正确．a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＝336，则后3天走的路程为378－336＝42而且42×8＝336，所以D 正确．故选A 、B 、D.12．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝n D ．a n ＝ln n n ＋1解析：选CD 对A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误；对C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确；对D ，若a n ＝lnn n ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln n n ＋1＝ln n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)递减，所以数列{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确．故选C 、D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．解析：由a n ＝2 020－3n>0，得n<2 0203＝67313，又∵n ∈N *，∴n 的最大值为673. 答案：67314．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则a n ＝________，S 10＝________.解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝20－2(n －1)＝22－2n .S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案：22－2n 11015．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________.解析：因为数列1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10.因为数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，又b 2＝1×q 2＞0(q 为等比数列的公比)，所以b 2＝3，则b 2a 1＋a 2＝310. 答案：31016．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.解析：设{a n }的公比为q ，q>0，且a 23＝1， ∴a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍去)，a 1＝1q2＝4. ∴S 5＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝314.答案：314四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f(x n －1)(n≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 020.解：(1)证明：∵x n ＝f(x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n≥2且n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n≥2且n ∈N *)， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是公差为13的等差数列．(2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53.∴1x 2 020＝2 020＋53＝675. ∴x 2 020＝1675.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132.(1)求等比数列{a n }的公比q ； (2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .解：(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.(2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，所以a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，所以数列{a 2n }是首项为1，公比为14的等比数列，故a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差是d ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a n <a n ＋1，得q>1，又a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2，因为S 3＝2S 2＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＝2(a 1＋a 2)＋1，则1＋q ＋q 2＝2(1＋q)＋1，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，b n ＝(2n －1)·a n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N *)，则T n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，两式相减，得－T n ＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n －1)×2n，即－T n ＝1＋22＋23＋24＋ (2)－(2n －1)×2n，化简得T n ＝(2n －3)×2n＋3.21．(本小题满分12分)在①a n ＋1＝a n 3a n ＋1，②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，其中1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列，③1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝1，________. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解：若选条件①：(1)易知a n ≠0，∵a n ＋1＝a n 3a n ＋1，∴1a n ＋1－1a n ＝3.又1a 1＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列，∴1a n ＝3n －2，∴a n ＝13n －2. (2)证明：由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13，故T n ＜13.若选条件②：(1)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，则1a 2＝1＋d ，1a 3＋1＝2＋2d ，1a 6＝1＋5d ，∵1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列， ∴(2＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d ＝3或d ＝－1.当d ＝－1时，1a 2＝1＋d ＝0，此时1a 2，1a 3＋1，1a 6不能构成等比数列，∴d ＝3，∴1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， ∴a n ＝13n －2. (2)由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13，故T n ＜13.若选条件③：(1)由1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n 2知，当n≥2时，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n －1＝3(n －1)2－(n －1)2，两式相减，得1a n ＝3n 2－n 2－3(n －1)2－(n －1)2＝3n －2，∴a n ＝13n －2(n≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也适合上式， ∴a n ＝13n －2. (2)由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13，故T n ＜13.22．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2 d.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝11，2a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n(n ∈N *)．(2)假设存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k . 因为b n ＝a n a n ＋1＝nn ＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝kk ＋1，所以⎝⎛⎭⎪⎫m m ＋12＝12×k k ＋1. 整理，得k ＝2m2－m 2＋2m ＋1.以下给出求m ，k 的方法：因为k>0，所以－m 2＋2m ＋1>0，解得1－2<m<1＋ 2. 因为m≥2，m ∈N *，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8使得b 1，b m ，b k 成等比数列．高中数学选择性必修二《第四章数列》单元检测试卷（二）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（） A ．25 B ．13 C ．23D ．122．等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为S n ，若a 3＝4，a 2·a 6＝64，则S 5＝（）A ．32B ．31C ．64D ．63 3．在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a =+=，则122a a =（） A ．3 B ．13- C ．3或13 D ．3-或13- 4．在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（）． A ．1278 B ．212 C ．638D ．63325．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（） A ．53 B ．103 C ．56 D ．1166．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比6121,24q S =-=，则数列{}n a 的前n 项积n T 的最大值为（）A ．16B ．64C ．128D ．2567．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ，其中正确结论的序号为（）A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n S 中是常数的项是（）A ．7SB ．8SC ．11SD ．13S二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分） 9．设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（）A ．0d <B ．90a =C ．117S S >D ．8S 、9S 均为n S 的最大值10．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得nna b 为整数的正整数n 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．14第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分） 13．已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 14．在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________.15．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝___. 16．已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项之和为n S ，若对任意正整数n 恒有2n S S ≥，则1a 的取值范围是______.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分） 17．已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()111,11,2n n a n S nS n n n N n -+=-=+-∈≥. （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T19．已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .20．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，0n a >，其前n 项和为n S，且数列也为等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.21．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113nS <.22．已知数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和且n S 是2a 与2n na -的等差中项，其中a 是不为0的常数. （1）求123,,a a a .（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 答案解析第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（） A ．25 B ．13 C ．23D ．12【答案】B【解析】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++.故选：B. 2．等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为S n ，若a 3＝4，a 2·a 6＝64，则S 5＝（）A ．32B ．31C ．64D ．63 【答案】B【解析】依题意3264640n a a a a =⎧⎪⋅=⎨⎪>⎩，即2151114640,0a q a q a q a q ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪>>⎩，解得11,2a q ==，所以()551123112S ⨯-==-.故选：B3．在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a =+=，则122a a =（） A ．3 B ．13- C ．3或13 D ．3-或13- 【答案】C【解析】若{}n a 的公比为q ，∵3135113a a a a ==，又由3134a a +=，即有31313a a =⎧⎨=⎩或31331a a =⎧⎨=⎩,∴1013q =或3，故有101223a q a ==或13故选：C 4．在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（）． A ．1278 B ．212 C ．638D ．6332【答案】A【解析】则24152454a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得2414a a =⎧⎨=⎩或2441a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 是递减数列，则2441a a =⎧⎨=⎩， ∴24214a q a ==，12q =（12q =-舍去）． ∴218a a q ==，7717181(1)21112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--1278=．故选：A ．5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（） A ．53 B ．103 C ．56 D ．116【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比6121,24q S =-=，则数列{}n a 的前n 项积n T 的最大值为（）A ．16B ．64C ．128D ．256 【答案】B【解析】由12q =-，6214S =，得61112211412a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得18a =，所以数列{}n a 为8，4-，2，1-，12，14-，……，前4项乘积最大为64.故选：B.7．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ，其中正确结论的序号为（）A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④ 【答案】B【解析】由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>，所以60a >，所以0d <，①正确；111116111102a a S a +=⨯=>，故②正确； 1126712126()02a aS a a +=⨯=+>，故③错误；因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误．故选：B.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n S 中是常数的项是（）A ．7S ；B ．8S ；C ．11S ；D ．13S 【答案】D【解析】由于题目所给数列为等差数列，根据等差数列的性质，有()2415117318363a a a a d a d a ++=+=+=，故7a 为确定常数，由等差数列前n 项和公式可知()11313713132a a S a+⋅==也为确定的常数.故选:D二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分） 9．设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（）A ．0d <B ．90a =C ．117S S >D ．8S 、9S 均为n S 的最大值【答案】ABD【解析】由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >，又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++，90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>，由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：ABD.10．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【答案】ABD【解析】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD.11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】BD【解析】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错；此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确；故选：BD.12．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得nna b 为整数的正整数n 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．14 【答案】ACD【解析】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++，由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15，因此，正整数n 的可能取值有2、4、14. 故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分） 13．已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得34218a q a ==，解得12q =，又由2111114n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==，即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列，所以1223118[1()]3214113414n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 14．在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________.【解析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由321a a a =+，得210q q --=，解得q =(负值舍)，则222278565656a a a q a q q a a a a ++====++⎝⎭故答案为：32+15．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________. 【答案】10【解析】根据等比数列的前n 项和的性质，若S n 是等比数列的和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍是等比数列，得到(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，即()()233307030S S -=⋅-. 解得S 3＝10或S 3＝90(舍)．故答案为：1016．已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项之和为n S ，若对任意正整数n 恒有2n S S ≥，则1a 的取值范围是______.【答案】[]4,2--【解析】因为对任意正整数n 恒有2n S S ≥，所以2S 为n S 最小值，因此230,0a a ≤≥，即111+20,+4042a a a ≤≥∴-≤≤- 故答案为：[]4,2--四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分） 17．已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-；（2）1n n +. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由317653a a a =⎧⎨=⎩，可得()111251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得1a 1,d 2，所以等差数列{}n a 的通项公式可得21n a n =-; （2）由（1）可得211(3)22(1)1n n b n a n n n n ===-+++，所以111111 (22311)n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()111,11,2n n a n S nS n n n N n -+=-=+-∈≥. （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T【答案】（1）证明见解析；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）当2n ≥时，因为()()111n n n S nS n n --=+-，所以()1121n n S S n n n --=≥-，即n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）得nS n n=，2n S n =. 当2n ≥时，()22121n a n n n =--=-.当1n =时，11a =，符合题意，所以21n a n =-.所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121n nT n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =，又(52)(513)100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=，1(1)21n a a n d n ∴=+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，2q ∴=，152n n b -∴=⋅；（2）21535272(21)2n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+++⨯⎣⎦， 2325325272(21)2n n T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，两式相减得2153222222(21)25(12)21n n nn T n n -⎡⎤⎡⎤-=+⨯+⨯++⨯-+⨯=--⎣⎦⎣⎦，则5(21)21nn T n ⎡⎤=-+⎣⎦.20．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，0n a >，其前n 项和为n S，且数列也为等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n nn ++.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≥，11S ===成等差数列，1∴=+2d =， 1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=，n ==，所以数列为等差数列，21nan ∴=-.（2）2(121)2n n n S n +-==，22222111(1)(1)n n b n n n n +∴==-⋅++，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2222222221111111211223(1)(1)(1)n n n T n n n n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113nS <. 【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+，所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =，由1534a a +=，得228834q q +=，解得24q =或214q =，因为1q >，所以2q.所以2n n a =.（2）112()333()1()22nn n n b =<=+， 3412324222()()()513333n n n S b b b b ∴=++++<++++24688221()6599313n -=+-⋅≤在3n ≥成立，又有1222146215136513S S =<=<，， 2113n S ∴<.22．已知数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和且n S 是2a 与2n na -的等差中项，其中a 是不为0的常数. （1）求123,,a a a .（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）12a a =；26a a =；312a a =（2）猜想：()()*1na a n N n n =∈+；证明见解析【解析】（1）由题意知：222n n S a na =-即n n S a na =-，当1n =时，111S a a a ==-，解得12a a =. 当2n =时，21222S a a a a =+=-，解得26a a =. 当3n =时，312333S a a a a a =++=-，解得312a a =. （2）猜想：()()*1n aa n N n n =∈+ 证明：①当1n =时，由（1）知等式成立. ②假设当()*1,n k k k N=≥∈时等式成立，即()1k aa k k =+，则当1n k =+时，又n n S a na =- 则k k S a ka =-，11k k S a ka ++=-，∴()()1111k k k k k a S S a k a a ka +++=-=-+--，即()()1211k k a ak a ka k k k k ++==⨯=++所以()()()()112111k aaa k k k k +==+++++⎡⎤⎣⎦，即当1n k =+时，等式成立. 结合①②得()1n aa n n =+对任意*n N ∈均成立.高中数学选择性必修二《第四章数列》单元检测试卷（三）注：本检测满分150分。

(完整版)数列单元测试卷含答案

数列单元测试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置.第Ⅰ卷(选择题)一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋12．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n3．．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．74．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．525．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．1906．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )A．1 B.2 C．4 D．87．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－19．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 05811.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（） A.11 B.1 C. 约等于1 D.212．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30第II 卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)．14．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.15．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2.则{a n }的通项公式a n =________16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)三.解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和.20．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a na n ＋2n(n ∈N *)．(1)证明：数列{2na n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .数列单元测试卷（解答）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1解析：选B 由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n＝2n＋1，故选B. 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n解析：选C A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列．3．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．7解析：选B S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.4．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．52解析：选D ∵2a n＋1－2a n＝1，∴a n＋1－a n＝12，∴数列{a n}是首项a1＝2，公差d＝12的等差数列，∴a101＝2＋12(101－1)＝52.5．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．190解析：选B 设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， ∵d ≠0,∴d ＝2，从而S 10＝100.6．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 B.2 C ．4 D ．8解析：选A 因为a 3a 11＝a 27，又数列{a n }的各项都是正数，所以解得a 7＝4，由a 7＝a 5·22＝4a 5，求得a 5＝1.7．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根解析：选A 由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，即3a 5＝9， ∴a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0，无实数解．8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－1解析：选B 设数列{b n }的通项b n ＝11＋a n ，因{b n }为等差数列，b 3＝11＋a 3＝13，b 7＝11＋a 7＝12，公差d ＝b 7－b 34＝124， ∴b 11＝b 3＋(11－3)d ＝13＋8×124＝23，即得1＋a 11＝32，a 11＝12.9．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项解析：选C 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 058 解析：选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10 ＝1－2101－2＋10＝1 033.11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（） A.11 B.1 C. 约等于1 D.2解析：设{}n a 的公差为d ，据已知有1×72128d +=，解得 1.d =所以{}n a 的通项公式为.n a n = b 11=[lg11 ]=112．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30解析：选 B 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二：由图可知第n 个三角形数为n n ＋12，∴a 7＝7×82＝28.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知S 8＝a 11－q 81－q ＝1·1－281－2＝255.答案： 25514．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n .则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15. 答案：1515．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2. 则{a n }的通项公式a n =________ [解] ∵S n ＝－2n 2＋n ＋2，当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2 ＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1) ＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号) 解析：∵S 7＞S 6，即S 6＜S 6＋a 7， ∴a 7＞0.同理可知a 8＜0. ∴d ＝a 8－a 7＜0.又∵S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＜0， ∴S 9＜S 6.∵数列{a n }为递减数列，且a 7＞0，a 8＜0， ∴可知S 7为S n 中的最大项．答案：①②④三、解答题(共4小题，共50分)17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．解: (1)设等差数列首项为a 1,公差为d, 则a 4+a 5=2a 1+7d=24,① S 6=6a 1+d=6a 1+15d=48,②由①②得d=4.a 1=-2S N =-2n+n(n-1) ×4/2=2n 2-4n(2)由题意可设公比为q ，则q ＞0，由b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1，∴q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝2n.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8， b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d, 由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n-1)=-3n+5,或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|a n |=|3n-7|=记数列{|a n |}的前n 项和为S n . S 10=|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+……+|a 10|=4+1+(3×3-7)+(3×4-7)+……+(3×10-7) =5+[2×8+8×7×3/2] =10520．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ①，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12. 又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②，①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12，故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12， ∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ， a n －1＝1－12n －1.故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n . 又b 1＝a 1＝12，所以b n ＝12n . 21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 解:（1）因为+3+…+（2n -1）=2n ，故当n ≥2时， +3+…+（-3） =2（n -1）两式相减得（2n -1）=2所以= (n≥2)又因题设可得 =2.从而{} 的通项公式为 =.（2）记 {}的前n 项和为，由（1）知 = = - . 则 = - + - +…+ - = .22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a n a n ＋2n (n ∈N *)． (1)证明：数列{2n a n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知可得a n ＋12n ＋1＝a na n ＋2n ，即2n ＋1a n ＋1＝2n a n＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n ＝1. ∴数列{2n a n}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知2na n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝2nn ＋1. (3)由(2)知b n ＝n ·2n . S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，相减得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝21－2n 1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。

高三数学下学期数列多选题单元综合模拟测评检测试卷

高三数学下学期数列多选题单元综合模拟测评检测试卷一、数列多选题1．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（） A ．12n k += B ．133n n a a +=- C ．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 【答案】ABD 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k = 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k = 第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2 此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得： 123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈用等比数列求和可得()33132n n a -=+则 ()121331333322n n n a+++--=+=+23322n +=+ 又 ()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误. 123n n S a a a a =++++23133332222n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()231331322nn --=+ 2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】 ∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nn S a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．3．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（） A ．数列{}n a 是等差数列 B ．12n n aC ．22222123213n na a a a -++++= D ．122334111111n n b b b b b b b b +++++< 【答案】BCD 【分析】利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误. 【详解】对任意的n *∈N ，21n n S a =-.当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-，上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B选项正确；()221124n n na --==，所以，22221231441143nn n a a a a --==-++++，C 选项正确；212log log 2n n n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++，所以，12233411111111111111112233411n n b b b b b b b b n n n +++++=-+-+-++-=-<++， D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}na 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.4．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（） A ．若为等差数列，则112da =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d+= C ．若{}n n a b为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d +【答案】AB 【分析】对于A ，利用=对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案；对于C ，利用2211332a ba b a b =+化简可得答案；对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案.【详解】对于A，因为为等差数列，所以=即== 化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++，所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++，所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+，所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++，化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =，所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.5．已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（）A ．342n a n =-B ．16S 为n S 的最小值C ．1216272a a a +++=D ．1230450a a a +++=【答案】AC 【分析】利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确；121617193300()a a a S a a a +++=+----2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110；由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20．故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.7．下列说法中正确的是（）A ．数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+B ．数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有212n n n a a a ++=C ．若数列{}n a 是等差数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等差数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等比数列【答案】AC 【分析】利用等差中项法可判断A 选项的正误；取0n a =可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C 选项的正误；取1q =-，n 为偶数可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，充分性：若数列{}n a 成等差数列，则对任意的正整数n ，n a 、1n a +、2n a +成等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，充分性成立；必要性：对任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，则121n n n n a a a a +++-=-，可得出2132431n n a a a a a a a a +-=-=-==-=，所以，数列{}n a 成等差数列，必要性成立.所以，数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，A 选项正确；对于B 选项，当数列{}n a 满足0n a =时，有212n n n a a a ++=，但数列{}n a 不是等比数列，B选项错误；对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n dS na -=+，()2122122n n n d S na -=+，()3133132n n n dS na -=+，所以，()()()22111322112222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()()()232111533122132222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，()()()()22232111532222n n n n n d n n d n n d S S S na na na ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=+++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()22n n S S =-，所以，n S 、2n n S S -、32n n S S -是等差数列，C 选项正确；对于D 选项，当公比1q =-，且n 是偶数时，n S 、2n n S S -、32n n S S -都为0，故n S 、2n n S S -、32n n S S -不是等比数列，所以D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛；1.判断等差数列有如下方法：（1）定义法：1n n a a d +-=（d 为常数，n *∈N ）；（2）等差中项法：()122n n n a a a n N*++=+∈；（3）通项法：n a p n q =⋅+（p 、q 常数）；（4）前n 项和法：2n S p n q n =⋅+⋅（p 、q 常数）.2.判断等比数列有如下方法：（1）定义法：1n na q a +=（q 为非零常数，n *∈N ）；（2）等比中项法：212n n n a a a ++=⋅，n *∈N ，0n a ≠；（3）通项公式法：nn a p q =⋅（p 、q 为非零常数）；（4）前n 项和法：nn S p q p =⋅-，p 、q 为非零常数且1q ≠.8．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（）A ．3m =B ．18181103354kk i a =⨯+=∑C ．(31)3ij ja i =-⨯ D ．()1(31)314n S n n =+- 【答案】ABD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，进而可得ii a ，根据错位相减法可求得181kki a=∑，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），A 正确； ∴()()11113213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，C 错误；∴()1313i ii a i -=-⋅，0171811223318182353533S a a a a =+++⋯+=⨯+⨯+⋯+⨯① 12181832353533S =⨯+⨯+⋯+⨯②,①-②化简计算可得：1818103354S ⨯+=,B 正确；S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )()()()11211131313131313nnnn a a a ---=+++---()()231131.22nn n +-=- ()1=(31)314n n n +-，D 正确；故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（）A ．2n S n = B ．122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-【答案】ACD 【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】依题意，95981S a ==，解得59a =；而713a =，故75275a a d -==-，则1541a a d =-=，则21n a n =-，2n S n =，故D 、A 正确：因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，故()223171617k S S S S a =-=，则22933k =，解得11k =，故C 正确；而122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误．故选：ACD ．【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和；（2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值；（3）利用裂项相消法，对12231011111a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和；（4）对选项逐个判断正误，得到结果.10．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <【答案】BD【分析】根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n n S n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证.【详解】当1n =时，12a =，当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-，两式相减得：12n n a a -=，又212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以2n n a =，24n n a =，数列{}2n a的前n 项和为()141444143n n n S +--'==-，则22log log 2n n n b a n ===，所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++，所以 1111111...11123411n T n n n =-+-++-=-<++，故选：BD【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．。

数列单元测试题及答案解析

数列单元测试题及答案解析一、选择题1. 已知等差数列的首项为a1=3，公差为d=2，求第10项的值。

A. 23B. 25C. 27D. 292. 等比数列的首项为a1=2，公比为r=3，求第5项的值。

A. 162B. 243B. 324D. 4863. 一个数列的前5项为1, 3, 6, 10, 15，这个数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法判断二、填空题4. 等差数列的前n项和公式为：S_n = _______。

5. 等比数列的前n项和公式为：S_n = _______。

三、解答题6. 已知等差数列的前10项和为S10=185，求公差d。

7. 已知等比数列的前3项和为S3=28，首项a1=2，求公比r。

四、证明题8. 证明：等差数列中，任意两项的等差中项等于它们的算术平均数。

答案解析：一、选择题1. 答案：A。

解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入n=10，得a10 = 3 + 9*2 = 21。

2. 答案：B。

解析：根据等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1)，代入n=5，得a5 = 2 * 3^4 = 243。

3. 答案：C。

解析：数列1, 3, 6, 10, 15不是等差也不是等比数列，因为相邻两项的差和比值都不是常数。

二、填空题4. 答案：S_n = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

解析：等差数列前n项和的公式。

5. 答案：S_n = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，当r≠1时。

解析：等比数列前n项和的公式。

三、解答题6. 解：根据等差数列前n项和的公式，S10 = 10/2 * (2*3 + 9d) = 185，解得d = 3。

7. 解：根据等比数列前n项和的公式，S3 = a1 * (1 - r^3) / (1 - r) = 28，代入a1=2，解得r = 3。

四、证明题8. 证明：设等差数列中任意两项为an和am，它们的等差中项为a，即a = (an + am) / 2。

艺术生等比数列练习题

艺术生等比数列练习题一、基础题1. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求第5项。

2. 一个等比数列的前三项分别为1，3，9，求公比。

3. 已知等比数列的首项为4，公比为1/2，求前5项的和。

4. 一个等比数列的前四项分别为16，8，4，2，求第7项。

5. 已知等比数列的前5项和为31，首项为3，求公比。

二、提高题1. 已知等比数列的前三项分别为a，ar，ar^2，求第6项。

2. 一个等比数列的前4项和为10，公比为2，求首项。

3. 已知等比数列的首项为5，公比为1/5，求前8项的和。

4. 一个等比数列的前5项分别为2，4，8，16，32，求第10项。

5. 已知等比数列的前6项和为729，公比为3，求首项。

三、拓展题1. 已知等比数列的首项为2，第5项为32，求公比。

2. 一个等比数列的前4项分别为3，9，27，81，求前7项的和。

3. 已知等比数列的前5项和为1024，公比为4，求首项。

4. 一个等比数列的前6项分别为5，10，20，40，80，求第9项。

5. 已知等比数列的首项为3，公比为1/3，求前10项的和。

四、综合题1. 已知等比数列的前4项分别为a，ar，ar^2，ar^3，求第7项。

2. 一个等比数列的前5项和为32，公比为2，求首项。

3. 已知等比数列的首项为4，公比为3，求前6项的和。

4. 一个等比数列的前7项分别为7，14，28，56，112，求第10项。

5. 已知等比数列的前8项和为6561，公比为3，求首项。

五、应用题1. 一个艺术家计划每年将他的作品价格提高20%，如果今年的作品价格为5000元，预计五年后的作品价格是多少？2. 一家画廊的租金每年以10%的比率递减，如果今年的租金是10000元，计算五年后的租金。

3. 一个艺术生每年将他的生活费减少5%，如果第一年的生活费是12000元，求第四年的生活费。

4. 一位画家打算每年增加她的画作数量，使得每年的画作数量是前一年的1.5倍。

数列等差等比数列问题综合单元过关检测卷(四)含答案人教版高中数学考点大全艺考生专用

8．已知等差数列｛an｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）
（A）－4（B）－6（C）－8（D）－10
9．等差数列1，-1,-3,-5,…，-89，它的项数是
A.92B.47C.46D.45
10．在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值等于
A.45B.75 C.180 D.300
7．C
8．B
解析：选B。由题意，设，
∴ ，解得，选B．
9．C
解析：290C
10．C
解析：311C
11．A
解析：（文）n≥2时，an=Sn-Sn-1=-4n+5单调减，选A
12．B
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．682
14．等比数列的通项和求和.
15．110
11．数列{an}前n项和为Sn=3n-2n2，当n≥2时，下列不等式成立的是（）
A,na1>Sn>nanB,Sn>na1>nanC,nan>Sn>na1D,Sn>nan>na1(北京东城练习一)
12．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）
A．64B．100C．110D．120(汇编陕西理)
16．
17．
18．；
19．
20．；
评卷人
得分
三、解答题
21．
22．
23．4598
24．4633所求的三个数依次为3，9，15或0，0，0
4．如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（）
A．b=3,ac=9B．b=-3,ac=9 C．b=3,ac=-9D．b=-3,ac=-9(汇编北京文)

艺体生提分必刷题基础练习专题：数列含解析

55 B . 11 C. 50 D . 604 . （5分）设｛a n ｝是首项为 ③，S 成等比数列，贝U a 1 = a 1,公差为-2的等差数列，S h 为前n 项和，若Si , A . 2B . - 2 C. 1 D .5. （5 分）设数列｛a n ｝前n 项和为S n ，已知“畧，己血1 5S2O 18等于(50445048 56.( 5 分)在数列｛a n ｝中,a 2=8, a 5=2,且 2a n +1 — a n +2=3n( n € N )，则 1 a 1| + | a 2|+ …+| a 1o |的值是( )A . 210B . 10 C. 50 D . 907. (5 分)已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a 1=1, a 2=2，且 a n +2- 2a n +什a n =O(n €* 、_ ________N ),记 T n =4034 20124036 20198. （5分）在等比数列｛a n ｝中，a 3=2, a 6=16,则数列｛a n ｝的公比是（）A . - 2B . : C. 2 D . 49. （5)27D .—艺体生提分必刷题基础练习专题：数列一、选择填空：1. （5分）已知数列｛a n ｝满足 a n +i =2a n （n € N ）, a 什a 3=2,贝U a 5+a 7=（）A . 8 B. 16 C. 32 D . 642. （5分）已知数列｛a n ｝满足：a i =1, a n >0, a n +i 2- a n 2=1 （n € N *）,那么使 a n <5成立的n 的最大值为（）A . 4 B. 5 C. 24 D . 253. （5 分）在等差数列｛a n ｝中，若S n 为前n 项和，2为=&+5,则Sn 的值是（）C.B .)D .8E 『），则 T 2018=（C.B .则a 8+入a 的最小值为（22+5 罕2 S 2S 310. （5分）已知递减等差数列｛a n ｝中，a 3=- 1, a 4为a i ,-氏等比中项，若S n为数列｛a n ｝的前n 项和，贝U S 7的值为 ________ .11. （5分）已知｛a n ｝是等比数列，若：=（a 2, 2）, b = （a 3, 3）,且7//E ，则上兰竺a 3+a 512. （5分）我国古代数学名著《张邱建算经》有分钱问题”今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱,第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得 100钱，问有多少人？则题中的人数是 .13. （5分）已知各项为正的等比数列｛a n ｝中，a 2a 3=16,则数列｛log 2a n ｝的前四项和等于___________ .14. （ 5 分）数列｛a n ｝满足：若 lOg 2a n +1=1+lOg 2a n , a 3=10,则 a 8= ____________ .15・（5 分）已知数列｛a n ｝满足 _ , !- _■ . : ■■: \ '，且 a 1+a 2+a 3+^+a 10=1 ,贝U log 2 （a 101+a 102+…+an 0）=_________ 16 . （5分）已知s n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，a 1=1,先=3&,贝U17 . （5 分）在数列｛a n ｝中，a 1=1, a 2=2, a n +1=3a n - 2a n -1 （n 》2）,则 a n ____________________+、简答题1. (12分)已知正项等比数列｛a n｝满足&3&9=4氏2, a?=1.(I)求｛a n｝的通项公式；(n)记b n=2na n，求数列｛b n｝的前n项和S n.2. (12分)已知数列｛a n｝的前n项和为S n, S n=2a n - 2.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)令b n=a n log2a n,求｛b n｝的前n 项和T n.3. (12分)在各项均不相等的等差数列｛a n｝中，已知a4=5,且a3,氐，a&成等比数列(1)求a n；(2)设数列｛a n｝的前n项和为记b n=门+彳，求数列｛b n｝的前n项和T n.2a n'S n4. (12分)设公差大于0的等差数列｛a n｝的前n项和为S,已知S3=15,且a1, a4, a13成等比数列，记数列 - 的前n项和为T n.a n a rri-l(I)求T n；(n)若对于任意的n € N*, tT n V a n+11恒成立，求实数t的取值范围.5. (12分)设s n是数列｛&｝的前n项和•已知a i=1, S n=2- 2a n+i.(I)求数列｛an｝的通项公式；(U)设b n= (- 1)%,求数列｛b n｝的前n项和.6. (12 分)设数列｛a n｝a n=2n- 1.(1)求数列｛a n｝的前n项和；(2)设数列｛b n｝满足b n=2入中1，求数列｛a n b n｝的n项和.7. (12 分)已知｛a n｝为等差数列，且a1+a3=8, a2+a4=12.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)记的｛a n｝前n项和为S,若a1, a k, S+2成等比数列，求正整数k的值.8. (12分)已知函数f (x) =ax2+bx的图象经过(-1, 0)点，且在x=- 1处的切线斜率为-1,设数列｛比｝的前n项和S n=f (n) (n € N*).(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)求数列｛一——｝前n项的和T n.9. (12分)已知｛a n｝是等差数列，且a1=3, 84=12，数列｛b n｝满足3=4, b4=20, 且｛b n - a n｝为等比数列.(1)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(2)求数列｛b n｝的前n项和S n.10- (11 12分)设数列｛an｝满足aj=l j a n|_|=：a Il+n+l (n£ N*)(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn,求Tn.11 (12分)已知数列｛a n｝的前n项和S n=k (3n- 1),且出=27.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若b n=log3a n,求数列｛—-—｝的前n项和T n.卅Ml参考答案与解析选择填空：1.(5分)已知数列®｝满足a n+i=2a n (n€ N*), a i+a s=2,则a5+a?=( )A. 8B. 16C. 32D. 64【解答】解：•••数列｛a n｝满足a n+i=2c h (n€ N*),•••此数列是等比数列，公比为2. 则a5+a7=24 (a i+a3)=24x 2=32.故选：C.2.(5 分)已知数列｛a n｝满足：a i=1, a n > 0, a n+/ - a n2=1 (n € N，那么使a n v 5成立的n的最大值为( )A. 4B. 5C. 24D. 25【解答】解：由题意a n+12- a n2=1,二a n2为首项为1,公差为1的等差数列，••• a n2=1+ (n- 1)x 1=n，又a n>0，则a n=.丨,由a n v 5 得.| V 5,• nv 25.那么使a n V 5成立的n的最大值为24.故选C.3.(5 分)在等差数列｛a n｝中，若S n为前n项和，2为=&+5,则Sn的值是( )A. 55B. 11C. 50 D . 60【解答】解：设等差数列｛a n｝的公差为d,v 2a7=a s+5,A 2a什12d=ai+7d+5,--a1 +5d=5=a s,. ll(€i +n则01= . =11a s=55.故选：A .4 . (5分)设｛a n｝是首项为a1,公差为-2的等差数列，S n为前n项和，若S, £, St成等比数列，贝U a1=( )A . 2B . - 2 C. 1 D . - 1【解答】解: a n=d - 2 (n - 1),Si=a1, S2=2a1 - 2, S=4a1 - 12, ••• S,S4成等比数列，5. （5分）设数列｛a n ｝前n 项和为S n ,已知q二一'a n+l =二 a 2=2x-I.-. J =a 1 (4a 1 -⑵,解得a i = - 1.故选：D .•••数列｛a n ｝是以4为周期的周期数列,二 S 2oi8=504X( a i +a 2+a 3+a 4) +a i +a 2=1008+ = ,55故选：B.6.( 5 分)在数列｛a n ｝中,a 2=8, a 5=2,且 2a n +i — a n +2=a n( n € N )，则 I a i | + | a 2|+ …+1 a io l的值是（）A . 2i0 B. i0 C. 50 D . 90【解答】解：T 2a n +i — a n +2=a (n € N *),即 2a n +i =ai +2+a n (n € N *), •••数列｛a n ｝是等差数列，设公差为 d ,则 a i +d=8, a i +4d=2, 联立解得a i =10, d= — 2,••• a n =10 — 2 (n - 1) =12— 2n .令a n >0,解得nW6.12552455a 4=2X35=2 X4 -L 3 J- 1 -L2 =2,55553i +32+33+34S 2oi8 等于（）【解答】解：；吨 C 5048 .-3 a 3=2 X2a n +1+a n =0 (n €CnElT),则 T 2018=()a n =1 + n — 1=n . S n =l+2+-+ii=n ^y^^■=2■〔丄S nn+1所以：0#；+盒+…宜则: 故: 则:),=2,(1今洽寺…七击), =27盏),所以: S n 二 ------------- =11 n - n 2.2I a i |+| a 2|+ —+l a io | =a i +a 2+・・+a - a 7- — a io =2S 6 - Si o=2 (11X 6- 62)-( 11 X 10- 102) =50.故选：C.7. （5分）已知数列｛a n ｝的前n 项和为0,印=1, a 2=2,且心+2 N ）,记 T n =则：数列为等差数列. 设公差为 d ,则:d=c 2- a 1=2 - 1=1,亠■i+l_2^20L8 _4036 ^OlS'^OlS-hl _20L9故选:8. （5分）在等比数列｛a n ｝中，a 3=2, a 6=16,则数列｛a n ｝的公比是（ A .- 2 B.血 C. 2 D . 4122! B .2018 2018【解答】解：数列｛a n ｝的前n 项和为S n , C 1 = 1, C 2=2,且C n +2*N ),A . 2017C.40362019D .2a n +1+a n =0 (n €【解答】解：根据题意，等比数列｛&｝中，a3=2, a6=16,贝U q3=—=8,a3解可得q=2;故选：C.9. (5分)若正项递增等比数列｛a n｝满足1+ (a2 - d) +X( a3-a5)=0 ( X€ R), 则a8+ X a的最小值为(274A. B. c. D.)27【解答】解：设等比数列的公比为q (q> 1),1 + (a2 — a4) + X (a3 - a5) =0,可得X = -L--q(t+1 ) 3Q5-!t则设f (t)f'(t)当t > 一时，f (t)递增;当0vtv —时，f (t)递减.可得t=则a8+ X a的最小值为，此时q=」,f (t)取得最小值，且为27_:.274故选c.10.（5分）已知递减等差数列｛a n｝中，a3=- 1, a4为a i,-宪等比中项，若S为数列｛a n｝的前n项和，贝U S7的值为 -14 .【解答】解：设递减等差数列｛a n｝的公差d v0, a3=- 1, a4为a i, - a s等比中项，••• a〔+2d=- 1, 谕-a e X 印，即（哲+3d）' = -（a〔+5d）x 印，联立解得：a1=1, d=- 1.贝U #7-耳戈=-14.2故答案为：-14.11.（5分）已知｛a n｝是等比数列，若3= （a2, 2）, b = （a3, 3）,且盲//E，则竺巴|a3+a5 =2—I一色一.12.（5分）我国古代数学名著《张邱建算经》有分钱问题”今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱, 第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是195 .【解答】解：设共有n人，根据题意得；3n+ ' =100n,C—■解得n=195;•••一共有195人.故答案为：195.13.（5分）已知各项为正的等比数列｛a n｝中，a283 = 16,则数列｛ log2a n｝的前四项和等于8 .【解答】解：各项为正的等比数列｛a n｝中，a2a3=16,可得a1a4=a2a3=16,a n+t5S3£4浊rrHS n S rH-l=+1厂即有log2a什Iog2a2+log2a3+log2a4=log2 （&但2&394）=Iog2256=8.故答案为：8.14. （5 分）数列｛a n｝满足：若Iog2a n+i=1+log2a n, a3=10,则a8= 320 .【解答】解:••Tog2an+i=1+log2a n--a n+1=2a n•••数列｛a n｝是2为公比的等比数列a8=a325=320故答案为：32015・（5分）已知数列｛a n｝满足a^pl+lo a n Cn€ H*）,且a计&2+出+…+ae=1,则log2 （a101+a102+・・+an o）= 100 .【解答】解：t l□却迁出二1+1口岂片（口€『），•- log2a n+1 - log2a n=1，即:J._'，_1 -,2 a n•数列｛a n｝是公比q=2的等比数列.则a101+a102+°・+a110= （a1+a2+a3+・・+a1。

高三艺考数学章节练习题

高三艺考数学章节练习题在高三艺考中，数学是一个重要的科目，对于准备参加艺考的学生来说，掌握数学知识和解题技巧至关重要。

为了帮助同学们更好地备战艺考，下面将为大家提供一些高三艺考数学章节练习题，希望对大家有所帮助。

一、解方程题1. 解方程：2x - 5 = 3x + 12. 解方程组：2x + y = 103x - y = 2二、函数题1. 已知函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，求 f(2) 的值。

2. 函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6x - 5，求 f(-1) 的值。

三、数列题1. 已知等差数列 {an} 的前 5 项和为 55，公差为 3，求 a1 的值。

2. 求等差数列 {-3, 1, 5, ...} 的前 15 项和。

四、三角函数题1. 在直角三角形 ABC 中，已知∠A = 30°，AB = 4，求 BC 的长度。

2. 已知sinθ = 0.6，求tanθ 的值。

五、平面几何题1. 在平面直角坐标系中，点 A(2, 3) 和点 B(-1, 5) 是一个等边三角形的两个顶点，求第三个顶点的坐标。

2. 已知点 A(2, 1)、B(4, -3) 和 C(-1, 2) 是一个直角三角形的三个顶点，求三角形 ABC 的面积。

六、概率题1. 从一副扑克牌中随机抽取 5 张牌，求至少有两张红心的概率。

2. 从有编号 1、2、3、4、5 的五个盒子中各抽取一个号码，求抽到的号码互不相同的概率。

以上是一些高三艺考数学章节的练习题，希望同学们能够认真思考，积极练习，提高自己的数学水平。

艺考虽然不仅仅考察数学，但数学是一个可以提高整体综合能力的科目，通过解题的过程，可以培养我们的逻辑思维和分析能力。

希望同学们在备考过程中，能够注重数学的学习和实践，取得优异的成绩。

祝愿所有的同学都能够在高三艺术考试中取得令人满意的成绩！加油！。

2019年最新最全深圳市艺术类考生数学训练卷全套(10章13套题)及答案

深圳市艺术类考生数学训练卷全及答案深圳艺术类考生数学靠前训练15天，十个训练大考点，十三套训练题。

每天一练，15天训练，梳理高中文科数学99%的考点。

目录：深圳市艺术类考生数学训练卷（一、函数）--------------------------2页深圳市艺术类考生数学训练卷（一、函数答案）--------------------5页深圳市艺术类考生数学训练卷（二、三角函数(1)）----------------6页深圳市艺术类考生数学训练卷（二、三角函数(1)答案）----------9页深圳市艺术类考生数学训练卷（二、三角函数(2)）---------------11页深圳市艺术类考生数学训练卷（二、三角函数(2)答案）---------14页深圳市艺术类考生数学训练卷（三、导数）-------------------------16页深圳市艺术类考生数学训练卷（三、导数答案）-------------------19页深圳市艺术类考生数学训练卷（四、数列）-------------------------22页深圳市艺术类考生数学训练卷（四、数列答案）-------------------24页深圳市艺术类考生数学训练卷（五、不等式(1)）------------------28页深圳市艺术类考生数学训练卷（五、不等式(1)答案）------------31页深圳市艺术类考生数学训练卷（五、不等式(2)）------------------34页深圳市艺术类考生数学训练卷（五、不等式(2)答案）------------37页深圳市艺术类考生数学训练卷（六、概率与统计(1)）------------39页深圳市艺术类考生数学训练卷（六、概率与统计(1)答案）------43页深圳市艺术类考生数学训练卷（六、概率与统计(2)）------------46页深圳市艺术类考生数学训练卷（六、概率与统计(2)答案）------49页深圳市艺术类考生数学训练卷（七、复数、算法、推理证明、平面几何、极坐标、参数方程）--------------51页深圳市艺术类考生数学训练卷（七、复数、算法、推理证明、平面几何、极坐标、参数方程答案）--------54页深圳市艺术类考生数学训练卷（八、立体几何数）---------------56页深圳市艺术类考生数学训练卷（八、立体几何答案）------------60页深圳市艺术类考生数学训练卷（九、直线与圆）------------------64页深圳市艺术类考生数学训练卷（九、直线与圆答案）------------67页深圳市艺术类考生数学训练卷（十、圆锥曲线）------------------70页深圳市艺术类考生数学训练卷（十、圆锥曲线答案）------------73页深圳市艺术类考生数学训练卷（一）函数第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ={}213x x +＜，B ={}42>x x ，则A ⋃B 等于（）A.{}12＜＜x x -B.{}21>x x x 或＜ C.｛x|x<－2｝ D.｛x|x>2｝2．函数x x b y a y ==,的图像如图所示（a 、b 均大于0，且不等于1），则（） A ．1a b >> B ．1a b >> C ．1b a >> D ．1b a >> 3．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N MA.{}1>x xB.{}1<x xC.{}11<<-x xD.φ4．函数{)2(2)(+-=x f xx f )2()2(<≥x x ，则)0(f =（）A ．4 B. 8 C.81 D. 41 5．函数24)(2+-=x x x f 。

模块四数列(测试)(解析版)-2024年高考数学二轮复习讲练测(新教材新高考)

模块四数列（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，112n n S a +=，则（）A ．数列{}n a 是等比数列B ．数列{}n a 是等差数列C ．数列{}n S 是等比数列D ．数列{}n S 是等差数列【答案】C【解析】因112n n S a +=①可得，当2n ≥时，112n n S a -=②，于是，由①-②可得：111122n n n n S S a a -+-=-，即11122n n n a a a +=-，可得13n n a a +=，因11a =，在112n n S a +=中，取1n =，可得2122a S ==，即2123a a =≠，故数列{}n a 不是等比数列，选项A ，B 错误；又因当*N n ∈时，都有11n n n a S S ++=-，代入112n n S a +=中，可得1()12n n n S S S +=-，整理得：13n nS S +=，故数列{}n S 是等比数列，即选项C 正确，D 错误.故选：C.2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13, ，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”．若把该数列{}n a 的每一项除以3所得的余数按相对应的顺序组成新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2024项和是（）A ．2275B ．2276C ．2277D ．2278【答案】C【解析】1,1,2,3,5,8,13, ，除以3所得余数分别为1,1,2,0,2,2,1,0；1,1,2,0,2,2,1,0 ，即{}n b 是周期为8的周期数列，因为20248253=⨯，1289b b b +++= ，所以数列{}n b 的前2024项和为25392277⨯=.故选：C3．已知等比数列{}n a 的前n 项积为n S ，若11112S =，则247a a =（）A ．16B ．8C ．6D ．4【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则11111112101162S a a a a a === ，则62a =，所以()2236476628a a a a q a q===.故选：B.4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112n n n a S ++=+，12a =，则n S =（）A ．()12nn +⋅B ．()112n n -+⋅C ．12n n -⋅D ．2nn ⋅【答案】D【解析】因为112n n n a S ++=+，则112n n n n S S S ++-=+，整理得11122n nn nS S ++-=，又12a =，则112a =，因此数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列，则1(1)12nn S n n =+-⨯=，所以2n n S n =⋅.故选：D.5．已知数列{}n a 通项公式为2322,7494,7n n tn n a n n ⎧-+≤=⎨+>⎩，若对任意*n ∈N ，都有1n n a a +>，则实数t 的取值范围是（）A ．[3,)t ∈+∞B ．239[,)142t ∈C ．239(,)142t ∈D ．23[,)14t ∈+∞【答案】C【解析】当{}1,2,3,4,5,6n ∈时，()()221312123226320n n a a n t n n tn n t +-+-++--+-=+=>恒成立，所以263t n <+对{}1,2,3,4,5,6n ∈恒成立，故9292t t <⇒<，又当7,N n n >∈时，494n a n =+为单调递增的数列，故要使对任意*n ∈N ，都有1n n a a +>，则87a a >，即2489437142t ⨯+>⨯-+，解得2314t >，综上可得239(,)142t ∈，故选:C6．已知等差数列{}n a 中，1100a =，公差3d =-，前n 项和为n S ，则下列结论中错误的是（）A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列B ．当34n =时，n S 值取得最大C ．存在不同的正整数,i j ，使得i jS S =D ．所有满足101()i j a a i j +=<的正整数,i j 中，当17,18i j ==时，i j a a 值最大【答案】C【解析】()2113203=222n n n d na n S n -+=-+，得320322n S n n =-+，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，A 正确；当n S 的对称轴为20333.86n =≈，因为*N n ∈，所以当34n =时，n S 值取得最大，B 正确；因为当n S 的对称轴为20333.86n =≈，且*N n ∈，因此不存在整数对称点，即不存在不同的正整数,i j ，使得i j S S =，C 错误；由题可知1033n a n =-，10331033101()i j a a i j i j +=-+-=<，解得35i j +=，()()()10331033106099309i j a a i j ij i j --=+-+=，化简可得29315206i j i a a i -+-=，根据二次函数性质可知当17.5i =时，i j a a 取最大值，因为*N i ∈，所以当17,18i j ==时，i j a a 值最大，D 正确.故选：C.7．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n ∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列.已知数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且222212320222022x x x x ++++= ，则92014x x +的最大值为（）AB ．2C．D ．4【答案】B【解析】数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列,故221n n d x x +-=，所以{}2n x 为等差数列，由222212320222022x x x x++++= ，所以()2212022202220222xx +⨯=，故22120222x x +=，所以22920142x x +=，故22920149201422x x x x +=≥，故920141x x ≤，由于()229201492014920149201422224x x x x x x x x ++=+=+≤，当且仅当92014x x =时等号成立，故92014x x +的最大值为2，故选:B8．已知数列{}n a 的首项135a =，且1321n n n a a a +=+，121112025n a a a ++⋅⋅⋅+<，则满足条件的最大整数n =（）A ．2022B ．2023C ．2024D ．2025【答案】C 【解析】因为1321n n n a a a +=+，所以121112333n n n n a a a a ++==+，所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为121335-=，公比为13，所以1121112333n n n a -⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即11213nn a ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，所以1221112131331nn n S n a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯++++⎢⎥ ⎪⎪=++ ⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦+111331211313nnn n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⨯=+- ⎪⎝⎭-，而当*N n ∈时，n S 单调递增，又因为202420241202520253S ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且202520251202620253S ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以满足条件的最大整数2024n =.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高中数学《第四章数列》单元检测试卷与答案(共四套)

高中数学选择性必修二《第四章数列》单元检测试卷（一）一、单选题1．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（） A ．9 B ．12 C ．15 D ．18 2．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（） A ．1或1- B ．1 C ．2或2- D ．2 3．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N，则5a =（）A ．20B ．17C ．18D ．19 4．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S的值是（）A ．60B ．11C ．50D ．555．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺 A ．47 B ．1629 C ．815 D ．456．正项等比数列{}n a 满足2237610216aa a a a ++=，则28a a +=（）A ．1B ．2C ．4D ．8 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（）A ．60B ．120C ．160D ．240 8．公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（）A ．2B ．4C ．8D ．169．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S =a （）A ．14n -B ．41n -C ．12n -D ．21n -10．数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是na =（）A ．1(1)32n n --+B ．(1)32n n -+C ．1(1)23n n --+D ．(1)23n n -+11．已知数列{}n a 满足121nn n a a a +-=，132a =，则2021a =（） A ．20202019 B ．20212020 C ．20222021D ．2023202212．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（）A ．160B ．180C ．200D ．220二、填空题 13．设{}n a 为等比数列，且465a a =，则252a =______.14．已知{}n a 是递增的等差数列，24,a a 是方程2560x x -+=的根．则n a =_________. 15．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，21122S S ==-，则13S =______．16．等差数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，若936S S =，则1a d=_________.三、解答题 17．已知等差数列{}n a 中，11a =，321a a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．已知数列{}n a 的前n 项和为2230.nS n n =-（1）当n S 取最小值时，求n 的值；（2）求出{}n a 的通项公式. 19．设N n *∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n SS a +=++，1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足1(1)n a n n n b a +=-+，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T .20．已知点1(1,)6是函数1()(0,1)2xf x a a a =>≠图象上一点，等比数列{}n a 的前n 项和为()c f n -.数列{}(0)n n b b >的首项为2c ，前n1(2)n =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列11{}n n b b +的前n 项和为n T ，问使10002017n T >的最小正整数n 是多少？21．已知数列{}n a （*n N∈）是公差不为0的等差数列，若11a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .22．设{}n a 是等比数列，其前n 项的和为n S ，且22a =，2130S a -=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若48n n S a +>，求n 的最小值.参考答案 1．A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解.【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6，所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=，故选：A2．C 【分析】根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为12a =，且53a a =，所以21q =，解得1q =±，所以91012a a q ==±.故选：C. 3．C 【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果．【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈，所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=．故选：C ． 4．D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，所以()1111161111552a a S a +===.故选：D. 5．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果【详解】设该妇子织布每天增加d 尺，由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=，解得45d =．故该女子织布每天增加45尺．故选：D 6．C 【分析】利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 满足2237610216aa a a a ++=，则有222288216a a a a ++=，即()22816a a +=，又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=．故选：C ． 7．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=.故选：B. 8．D 【分析】根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D. 9．D 【分析】根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，所以2413514522q a a a a =++==，因此()()111111111221112n nn n n n n n na q S q q a a q q q ---⎛⎫- ⎪--⎝⎭====--⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D. 10．D 【分析】根据观察法，即可得出数列的通项公式. 【详解】因为数列1111,,,,...57911--可写成 ()()()()2342322311111,1,1,12,..24.333-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯，所以其通项公式为(1)(1)23213nnn a n n -=-=++⨯. 故选：D. 11．D根据题意可得112n n a a +=-，先求132a =，211423a a =-=，321524a a =-=，431625a a =-=，…，所以猜测21n n a n +=+，经验证即可得解. 【详解】因为121nn n a a a +-=，所以112n na a +=-，因为132a =，所以211423a a =-=，321524a a =-=，431625a a =-=，…，所以猜测21n n a n +=+，代入124231211121n n n n n n n a a a n n n n +++++-=-⨯==++++，所以21n n a n +=+满足题意，所以202120232022a =，故选：D. 【点睛】本题考查了通过数列的递推关系求通项公式，考查了利用规律对通项公式的猜想和验算，属于中档题.解本类问题有两个关键点：（1）当数列无法直接得出通项公式时，可观察前几项的规律；（2）通过前几项的规律进行猜想；（3）最后验算，必须带入原等式进行验算. 12．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解.【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=，所以1201203()54,18a a a a +=∴+=.所以2012020()10181802S a a =+=⨯=.13．10 【分析】根据题中条件，由等比数列的性质，可直接得出结果. 【详解】因为{}n a 为等比数列，且465a a =，所以25462210a a a ==.故答案为：10. 14．112n + 【分析】先求得方程2560x x -+=的根，根据{}n a 是递增的等差数列，可求得24,a a 的值，代入等差数列的通项公式，即可求得公差d 和首项1a ，进而可求得n a . 【详解】方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242, 3.a a ==设数列{}n a 的公差为d ，则422a a d -=，解得12d =，从而132a =，所以数列{}n a 的通项公式为*311(1)1,()222n a n n n N =+-=+∈. 故答案为：112n + 15．0 【分析】根据题意，利用等差数列的前n 项和公式列方程组，求得首项和公差，再利用等差数列的前n 项和公式即可得解．【详解】设{}n a 的公差为d ，则由21122S S ==-，得11222,115522,a d ad +=-⎧⎨+=-⎩，解得112,2,a d =-⎧⎨=⎩故()()13131311312202S ⨯-=⨯-+⨯=．故答案为： 0【分析】直接利用等差数列求和公式求解即可. 【详解】因为9131936633S a d S a d+==+，所以12a d =，所以12a d=. 故答案为：2.17．（1）n a n =；（2）()12n n n S +=.【分析】（1）根据题中条件，先得出公差，进而可求出通项公式；（2）根据（1）的结果，由等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为等差数列{}n a 中，首项为11a =，公差为321d a a =-=，所以其通项公式为()11na n n =+-=；（2）由（1）可得，数列{}n a 的前n 项和()()1122n n n a a n n S ++==. 18．（1）7n =或8n =；（2）432n a n =- 【分析】（1）直接对2230.n S n n =-进行配方，由n ∈+N 可求出其最小值（2）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解{}n a 的通项公式【详解】解：（1）222152252302(15)222n S n n n n n ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭，因为n ∈+N ，所以当7n =或8n =时，n S 取最小值，（2）当1n =时，1123028a S ==-=-，当2n ≥时，221230[2(1)30(1)]432n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，128a =-满足上式，所以432n a n =- 【点睛】此题考查由数列的递推公式求通项公式，考查,n n a S 的关系，属于基础题 19．（1）21(*)n a n n N =-∈；（2）212222n n T n +=+-. 【分析】（1）由12n n n S S a +=++，得12()n na a n N ++-=∈，所以数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列，再由已知条件可得：11a =，即可得解；（2）由（1）得21na n =-，所以1(1)na n n nb a +=+-()()2121n n n =+--,分组求和即可得解. 【详解】（1）由12n n n S S a +=++，得12()n na a n N ++-=∈，所以数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列. 由1a ，2a ，5a 成等比数列可得2215a a a =，即2111(2)(8)a a a +=+，解得11a =，所以21(*)na n n N =-∈.（2）由（1）得21na n =-，所以1(1)na n n nb a +=+-()()2121nn n =+--所以()()222(21)1357434121n n T n n -⎡⎤=+-+-+---++⎣⎦-21222n n +=+-.【点睛】本题考查了数列的基本量的运算和数列的分组求和法，是常规的计算题，属于基础题. 20．（1）13n na =；（2）59. 【分析】（1）由已知求得13a =，116a c =-，2111()()1869a c c =---=，3111()()541827a c c =---=，得公比3213a q a ==，即可写出通项；（2是首项为1，公差为1的等差数列.1(1)n n =+-=，所以2n s n =，由221(2)(1)n n s n n s n -⎧=⎨=-⎩，作差可得：21n b n =-，1n =时11b =也满足上式(2)n ，根据裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）解：11(1)26a f ==.∴13a =，11()23n f n =⋅，则等比数列{}n a 的前n 项和为1123n c -⋅116a c =-，2111()()1869a c c =---=，3111()()541827a c c =---=由{}n a 为等比数列，得公比3213a q a ==， ∴111191363a c ===-，则12c =，113a =∴1111·333n n na -==；（2）：由121b c ==，得11s =，当2n1=1，公差为1的等差数列，∴1(1)n =+-，2n s n =()n *∈N则221(2)(1)n n s n n s n -⎧=⎨=-⎩，作差可得21n b n =-(2)n.当1n =时，11b =满足上式∴21,nbn n N +=-∈111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+ 11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭，由1000212017n n T n =>+，得100017n >，则最小正整数n 为59. 【点睛】本题考查了数列与函数，考查了求等比数列的通项公式以及裂项求和法，有一定的计算量，属于中档题. 21．（1）n a n =；（2）1nn +. 【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由2a ，4a ，8a 成等比数列，得()2428a a a =⋅，从而解方程可求出公差，进而可求得{}n a 的通项公式；（2）由（1）得()1111111n n n b a a n n n n +===-⋅++，然后利用裂项相消法可求得n S【详解】解：（1）设{}n a 的公差为d ，因为2a ，4a ，8a 成等比数列，所以()2428a a a =⋅.即()()()211137a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =又11a =，且0d ≠，解得1d =所以有()11na a n d n =+-=.（2）由（1）知：()1111111n n n b a a n n n n +===-⋅++则1111112231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+-+.即1111n n S n n =-=++. 【点睛】此题考查等差数列基本量计算，考查裂项相消法求和，考查计算能力，属于基础题 22．（1）12nn a ；（2）6.【分析】（1）由题意易得2120a a -=，根据等比数列的定义，可求出{}n a 的公比为2q，由此即可求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）可求21n nS =-，进而求出n n S a +的表达式，再根据48n n S a +>，列出关于n 不等式，解不等式，即可求出结果. 【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，因为2130S a -=，所以2120a a -=，所以212a q a ==，又22a =，所以11a =，所以1112n n n a a q --==.（2）因为()11211n n n a q S q-==--，所以11212321n n n n n S a --+=-+=⋅-，由132148n -⋅->，得13249n -⋅>，即14923n ->，解得6n ≥，所以n 的最小值为6. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和的求法和应用，属于基础题.高中数学选择性必修二《第四章数列》单元检测试卷（二）一、单选题 1．设n S 是等差数列{}n a （*n N∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（）A ．7B ．10C ．13D ．16 2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，416a =-，314S a =+，则公比q 为（）A ．2-B ．2-或1C ．1D ．23．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂.A ．55989B ．46656C ．216D ．364．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n(n －2)，其中n ∈N *，则a 6＝（） A ．8 B ．15 C ．24 D ．355．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（）A ．29B ．38C ．40D ．586．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（）A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里7．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（） A ．6 B ．16 C ．32 D ．64 8．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．2 9．已知数列265na n n =-+则该数列中最小项的序号是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 10．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(),2,3,nn S a n ==，则2020a =（）A ．0B ．1C ．2020D ．2021 12．设数列{}n a 的满足：12a =，111n na a +=-，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则2020T =（） A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-二、填空题 13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，416a =-，314S a =+，则公比q 为______.14．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式是___________15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且463a a +=，则9S =______.16．已知等比数列{}n a 的公比14q =-，则1471025811a a a a a a a a ++++++等于______.三、解答题 17．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71a =，432S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值. 18．等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.（1）求{}n a 的通项公式.（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n b 的前n 项和. 19．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）2nn b a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 20．设函数23()(0)3x f x x x +=>，数列{}n a 满足1111,n n a a f a -⎛⎫== ⎪⎝⎭（*n N ∈，且2n ）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设212233445221nn n T a a a a a a a a a a +=-+-+-，若22n T tn >对*n N ∈恒成立，求实数t 的取值范围． 21．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且2215n S n n =-+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）n 为何值时，n S 取得最大值并求其最大值． 22．已知等比数列{}n a 的首项1=1a ，前n 项和n S 满足*121,,0n n S a n N +=λ-∈λ≠.（1）求实数λ的值及通项公式n a ；（2）设*,n n b na n N =∈，求数列{}n b 的前n 项为n T ，并证明：n n T n S ≤•.参考答案 1．C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C 2．A 【分析】由416a =-，314S a =+列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案.【详解】因为314S a =+，所以234+=a a ，所以()2131416a q q a q ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得2q =-，故选：A. 3．B 【分析】第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量．【详解】设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1666n n na -=⨯=到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂．故选：B ． 4．C 【分析】6n =代入通项公式可得．【详解】代入通项公式得，66424a =⨯=，故选：C ． 5．A 【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ;【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==,∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =,故选：A. 6．D 【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可．【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-，解得1192a =，∴此人第二天走1192962⨯=里， ∴第二天走了96里，故选：D ． 7．C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231aa a ++=，所以2q ，所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选：C ． 8．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果.【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 9．A 【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。

中考艺考生数学试卷真题

一、选择题（每小题3分，共30分）1. 已知等差数列{an}的公差d=2，若a1+a10=40，则a5的值为：A. 15B. 18C. 20D. 222. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，AB=6cm，则BC的长度为：A. 2√3cmB. 3√3cmC. 6√3cmD. 9√3cm3. 已知函数f(x)=2x+1，若f(2x+3)=10，则x的值为：A. 2B. 3C. 4D. 54. 若等比数列{an}的首项a1=3，公比q=2，则该数列的前5项之和S5为：A. 31B. 63C. 95D. 1275. 已知圆O的半径为5cm，圆心到直线AB的距离为3cm，则圆O与直线AB相交的弦长为：A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm6. 若直线l：3x-4y+1=0与直线m：6x-8y+2=0平行，则直线l的斜率为：A. 3/4B. 4/3C. -3/4D. -4/37. 在△ABC中，若AB=AC，则∠B与∠C的关系是：A. ∠B>∠CB. ∠B=∠CC. ∠B<∠CD. 无法确定8. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，若f(2x-1)=0，则x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 49. 若等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则该数列的第10项a10为：A. 29B. 32C. 35D. 3810. 在△ABC中，若AB=AC，∠B=60°，则∠C的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（每小题3分，共30分）11. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项a10的值为______。

12. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=8cm，则BC的长度为______。

13. 若函数f(x)=2x-3，若f(2x+1)=7，则x的值为______。

高三艺考数学测试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. -√3C. πD. 1/22. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(-1) = 2，则f(x)的解析式为（）A. f(x) = 2x - 5B. f(x) = 2x - 4C. f(x) = 2x - 3D. f(x) = 2x - 23. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > 3B. 3x < 2C. 2x ≤ 3D. 3x ≥ 24. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，则该函数的对称轴方程为（）A. x = 2B. y = 2C. x + y = 2D. x - y = 25. 下列各对数式中，正确的是（）A. log2(8) = 3B. log3(27) = 4C. log4(16) = 2D. log5(25) = 16. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a1，则S10 = （）A. 10a1 + 45dB. 10a1 + 90dC. 10a1 + 50dD. 10a1 + 55d7. 下列各三角形中，直角三角形是（）A. 边长分别为3、4、5的三角形B. 边长分别为5、12、13的三角形C. 边长分别为6、8、10的三角形D. 边长分别为7、24、25的三角形8. 已知复数z = 3 + 4i，则|z| = （）A. 5B. 7C. 9D. 119. 若等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则b5 = （）A. b1q^4B. b1q^5C. b1q^6D. b1q^710. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则该圆的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，则f(-1) = _______。

12. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a1，则S5 = _______。

艺体生高三数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的图像在x轴上有一个零点，这个零点为（）。

A. -1B. 0C. 1D. 22. 下列各式中，正确的是（）。

A. sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβB. cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβC. tan(α + β) = tanαtanβD. cot(α + β) = cotαcotβ3. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an为（）。

A. 25B. 28C. 31D. 344. 下列各图中，等边三角形ABC的边长为a，则其外接圆半径R为（）。

A. a/√3B. √3a/3C. √3aD. a√35. 已知复数z = 2 + 3i，则|z|^2等于（）。

A. 13B. 25C. 9D. 46. 下列各函数中，单调递减的是（）。

A. y = 2x - 1B. y = -2x + 1C. y = 2x^2D. y = -2x^27. 已知直角三角形ABC中，∠A = 90°，∠B = 30°，则BC的长度为（）。

A. √3B. 2C. 1D. √28. 下列各数中，有理数是（）。

A. √2B. πC. √3D. √(-1)9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)等于（）。

A. 1B. 0C. 3D. -110. 下列各式中，恒等式是（）。

A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. a^2 + b^2 = (a - b)^2C. a^2 + b^2 = 2abD. a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = _______。

12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(-1) = _______。