上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高一新课-03-命题的形式及等价关系—教师版——尹杰

高一数学新课（教师版）教师日期学生课程编号课型预习课题命题的形式及等价关系教学目标1、理解命题的概念，准确判断命题的真假；2、理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义；3、理解四种命题及其相互关系；4、理解命题的等价关系；教学重点1、熟练掌握原命题、逆命题、否命题、逆否命题之间的转化；2、熟练运用互为逆否命题的真假值相同这一结论；教学安排版块时长1例题解析80 2巩固训练30 3师生总结10 4课后练习30一、知识体系：二、新课讲授：（一）、命题的概念及真假判断1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。

2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成。

3、举反例是判断假命题的重要方法。

4、复合命题的真值表：“非p ”形式复合命题的真假可以用下表表示：p非p 真 假 假真记忆口诀 p 与非p 你真我假 你假我真“p 且q ”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp 且q真 真 真 真 假 假 假真假命题的形式及等价关系知识梳理命题的形式 及等价关系命题的概念及真假判断推出关系四种命题形式 等价命题假 假 假记忆口诀 p 且q 一假即假“p 或q ”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp 或q真 真 真 真 假 真 假 真 真 假假假记忆口诀 p 或q 一真即真【例1】判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假；若不是，说明理由。

（1）能被4整除的数一定能被12整除； （2）对角互补的四边形外接于一个圆； （3）ab 是有理数，则b a ,都是有理数； （4）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （5）人类在2020年登上火星. 【难度】★【答案】（1）是命题，真命题，因为3412⨯=。

（2）是命题，真命题，定理。

（3）不是命题，因为其不能做出真假判断。

（4）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断. （5）是命题.但目前无法判断真假.【例2】判断下列命题的真假： （1）质数都是奇数； 例题解析（2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角； （3）若>0x ，>0y ，则<0xy 。

（4）若A B ,A C ,≠∅≠∅I I 则B C ≠∅I 。

【难度】★【答案】（1）假命题，例如2是质数但不是奇数；（2）真命题；（3）假命题； （4）假命题，例如}5,4{},3,2,1{},5,4,3,2,1{===C B A ，此时∅=C B I 说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。

若判断为真命题，则需证明。

【例3】写出由下述各命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。

（1）p ：9是144的约数，q ：9是225的约数。

（2）p ：方程210x -=的解是1x =，q ：方程210x -=的解是1x =-； 【难度】★【解析】由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”，如果不符要作语言上的调整。

【答案】（1）p 或q ：9是144或225的约数；p 且q ：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）； 非p ：9不是144的约数.∵p 真，q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ” 为真，而“非p ”为假.（2）p 或q ：方程012=-x 的解是1=x ,或方程012=-x 的解是1-=x ；p 且q ：方程012=-x 的解是1=x ,且方程012=-x 的解是1-=x ；非p ：方程012=-x 的解不都是1=x ；∵p 假，q 假，∴“p 或q ”与，“p 且q ” 均为假，而“非p ”为真.【例4】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★★ 【答案】A【解析】①假命题，如12a =；①假命题，集合N 中最小的数是0，如01a b ==，；①假命题，{}11，与集合元素的互异性矛盾．【巩固训练】1、判断下列命题的真假：（1）所有能被6整除的整数都是3的倍数；（2）关于x 的方程+=0(ax b a b R ∈、）有且只有一个实数根。

【难度】①【答案】（1）真命题。

（2）假命题，当0,0≠=b a 时，方程无实数根。

2、下列判断中正确的是()A. “12是偶数且是18的约数”是真命题B. “方程210x x ++=没有实数根”是假命题C. “存在实数x ，使得23x +≤且216x >”是真命题D. “三角形的三个内角的和大于或等于120︒”是假命题 【难度】★★ 【答案】C3、若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是__________ 【难度】★★ 【答案】[)1,2【解析】[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则2,514x x x <>⎧⎨≤≤⎩或4、下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★★ 【答案】A【解析】①假命题，集合N 中最小的数是0； ②假命题，如12a =； ③假命题，如0,1a b ==；④假命题，{}1,1与集合元素的互异性矛盾.（二）、推出关系1、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出，记作βα⇒。

β相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作αβ。

2、如果，并且αβ⇒，那么就说与等价，记作βα⇔。

3、推出关系满足传递性：如果γββα⇒⇒,，那么γα⇒。

【例5】用符号“⇒、⇐、⇔”表示下列事件的推出关系： (1):αABC ∆是等边三角形，:βABC ∆是轴对称图形，α β(2):α一次函数b kx y +=的图像经过第一、二、三象限，:β一次函数b kx y +=中，0,0>>b kα β(3):α实数x 适合12=x ，:β1=x ，α β【难度】★【答案】⇒；⇔；⇐ 例题解析【例6】已知,A B 是两个集合，下列四个命题： ①B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于对任意有 ②B A A B ⇔⋂=∅不包含于 ③B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于存在 其中真命题的序号是 【难度】★★ 【答案】③【解析】①反例：{}{}1,2,3,2,3,4A B ==【巩固训练】1、已知31:≤≤-x α，1:-<m x β或1+>m x ，若βα⇒，求m 的取值范围。

【难度】★★【答案】2-<m 或4>m（三）、四种命题形式 1、一个数学命题用条件，结论表示就是“如果 α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。

2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。

如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。

而一个命题的否定形式是条件不变，结论否定。

3、命题、的否定分别记作α、β。

4、如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。

5、四种命题形式及其相互关系:6、常见结论的否定形式：原结论 否定形式 原结论 否定形式 是 不是 至少有一个 没有 都是 不都是 至多有一个 至少有二个 大于 小于或等于 至少有n 个 至多有n -1个 小于 大于或等于 至多有n 个至少有n +1个 对所有的x 成立 存在x 不成立 p 或q 非p 且非q 对任何的x 不成立存在x 成立p 且q非p 或非q【例7】命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 （ ） A .“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B .“若一个数的平方是正数，则它是负数” C .“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D .“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 【难度】★★ 【答案】B【例8】命题：已知a ，b 为实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥。

写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假？ 【难度】★★【答案】逆命题：已知b a ,为实数，若240a b -≥，则20x ax b ++≤有非空解集；例题解析互否原命题逆命题否命题逆否命题互否互逆 互逆逆 逆否 否否命题：已知b a ,为实数，若20x ax b ++≤没有非空解集，则240a b -<； 逆否命题：已知b a ,为实数，若240a b -<，则20x ax b ++≤没有非空解集；【例9】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球； （4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______ 【难度】★★ 【答案】（3）【例10】若命题p 的否命题是q ，命题的逆命题是r ，则r 是p 的逆命题的（ ）A .原命题B .逆否命题C .逆命题D .否命题【难度】★★ 【答案】D【例11】判断命题“如果0322≠--x x ，那么3≠x ”的真假，并说明理由。

【难度】★★【解析】当原命题真假不好判断时，可以判断其逆否命题的真假。

【答案】方法一： 已知原命题的逆否命题为：“如果3=x ，那么0322=--x x ”显然为真命题，因此原命题为真命题。

方法二： 证原命题因为0322≠--x x ，所以()()013≠+-x x ，即3≠x 且1≠x ，所以3≠x 成立。

【巩固训练】1、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。

（1）;023,2,2≥+-≥∈x x x R x 则若（2）；都为、则若0,022b a b a =+ 【难度】★★【答案】（1）逆命题：2,023,2≥≥+-∈x x x R x 则若假命题。

否命题：023,2,2<+-<∈x x x R x 则若假命题。

逆否命题：2,023,2<<+-∈x x x R x 则若真命题。

（2）逆命题：0,022=+b a b a 则都为、若真命题。

否命题：0,022中至少有一个不为、则若b a b a ≠+真命题。

逆否命题：0,022≠+b a b a 则中至少有一个不为、若真命题。