欧几里德算法
曲线相似度算法范文
曲线相似度算法范文曲线相似度算法是用于比较两条曲线之间的相似程度的算法。
在许多应用场景中，我们需要判断两条曲线是否相似，比如在数据挖掘中用于模式识别和分类，或者在图像处理中用于图像匹配和图像识别。
本文将介绍几种常见的曲线相似度算法。
1.欧几里德距离算法：欧几里德距离是最简单的一种相似度算法，它衡量的是两条曲线之间的几何距离。
通过计算两条曲线上对应点的坐标之差的平方和再开方，可以得到两条曲线之间的欧几里德距离。
欧几里德距离越小，则表示两条曲线越相似。
2.动态时间规整算法（DTW）：DTW算法是一种基于时间序列相似度比较的算法，它可以衡量两条曲线之间在时间上的扭曲程度。
DTW算法首先将两条曲线上的所有点两两配对，然后计算每对点之间的距离。
通过动态规划的方法，可以找到一条最佳匹配路径，使得整条曲线之间的距离最小化。
DTW算法可以有效地处理两条曲线之间的时间偏移和长度不一致的情况。
3.弦图相似度算法：弦图相似度算法是一种基于形状特征的相似度算法，它主要用于比较两条曲线的形状相似程度。
弦图相似度算法首先将两条曲线上的点按照等分弦长的方式进行采样，然后计算每对采样点之间的距离。
通过计算两条曲线上所有点之间的距离，可以得到每条曲线的弦图。
最后，通过比较两个弦图的相似度指标，可以得到两条曲线的相似度。
4.小波变换相似度算法：小波变换相似度算法是一种基于频率特征的相似度算法，它主要用于比较两条曲线的频率分布情况。
小波变换相似度算法通过对两条曲线进行小波变换，得到每个频率段上的能量分布。
通过比较两个频率分布的相似度指标，可以得到两条曲线的相似度。
以上介绍的是常见的几种曲线相似度算法，不同的算法适用于不同的应用场景。
在实际应用中，我们可以根据具体需求选择合适的算法进行曲线相似度比较。
同时，也可以根据需要将多个算法进行组合，以得到更准确的相似度评估结果。
证明辗转相除法的原理应用
证明辗转相除法的原理应用1. 引言辗转相除法是一种求最大公约数的算法，也被称为欧几里德算法。
这个算法的原理非常简单且易于理解，同时在实际应用中也有很大的作用。
本文将介绍辗转相除法的原理，并说明其在实际应用中的一些常见场景。
2. 原理辗转相除法的原理基于以下数学定理：定理1：对于任意两个正整数a和b，若q是a除以b的商，r是a除以b的余数，则有以下等式：a =b * q + r定理2：对于任意两个正整数a和b，不妨设a > b，则a和b的最大公约数等于b和a除以b的余数的最大公约数。
即：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)基于这两个定理，可以递归地应用辗转相除法来求解最大公约数。
3. 应用场景辗转相除法在实际应用中有很多场景，下面列举了一些常见的应用场景：3.1 求最大公约数辗转相除法最常见的应用就是求解两个数的最大公约数。
通过递归地应用辗转相除法，可以高效地求解最大公约数，而不需要遍历所有可能的公约数。
3.2 素数判定素数判定是指判断一个数是否是素数（只能被1和它自己整除的数）。
辗转相除法可以用于判断一个数是否是素数。
具体做法是，将该数与小于它的所有素数相除，若都无法整除，则该数是素数。
3.3 寻找两个数的最小公倍数最小公倍数指两个数公有的倍数中最小的数。
应用辗转相除法可以通过以下公式求解最小公倍数：lcm(a, b) = a * b / gcd(a, b)3.4 分数化简辗转相除法可以应用于分数化简。
对于一个分数a/b，可以通过求解a和b的最大公约数，然后将a和b都除以最大公约数来实现分数的化简。
4. 总结辗转相除法是一种简单而有效的算法，其原理基于两个数的最大公约数与它们的余数的最大公约数的关系。
通过递归地应用辗转相除法，可以高效地求解最大公约数，并且可以应用于多个实际场景中，如求最小公倍数、素数判定和分数化简等。
在实际应用中，熟练掌握辗转相除法的原理和应用，对于解决一些数学问题非常有帮助。
平方欧式距离计算公式
平方欧式距离计算公式平方欧式距离计算公式，又称为欧几里德距离计算公式，是一种计算两个向量之间距离的标准化方法，常用于机器学习、模式识别、聚类分析等领域。
本文将介绍平方欧式距离计算公式的原理、应用以及在机器学习中的重要性。
一、原理平方欧式距离计算公式是通过计算两个向量之间每个维度的差值的平方，并将所有维度的平方和开方的方式来衡量它们之间的距离。
平方欧式距离计算公式的公式如下：d(x,y)= √ ∑( xi-yi) ^2其中x和y是两个n维向量，xi和yi表示向量中的第i个值。
平方欧式距离计算公式也可以写成以下形式：d(x,y)= √ (x1-y1) ^2 +(x2-y2) ^2 +……+(xn-yn) ^2二、应用平方欧式距离计算公式在机器学习和数据分析方面有着广泛的应用，例如最近邻分类器（k-NN）、K-means聚类、回归模型等。
下面我们将详细介绍其中几个重要的应用。
1. 最近邻分类器最近邻分类器是指在所有的训练数据中，找到离测试样本点最近的k个数据，然后根据这k个数据的标签将测试点分类。
这里的距离度量通常采用平方欧式距离计算公式，通过计算测试样本点和训练数据点之间的距离来判断其附近的点并进行分类。
2. K-means聚类K-means聚类是一种把样本数据分为k个不同类的聚类方法。
该方法包括两个步骤：初始化中心点位置和通过距离计算重新分配数据点。
在该方法中，距离度量通常也采用平方欧式距离计算公式，以便于计算和优化。
3. 回归模型在回归模型中，平方欧式距离计算公式被用于测量预测值与真实值之间的差异。
回归模型通常使用最小二乘法，通过最小化平方欧式距离计算公式来估计模型的参数，以提高预测的准确性。
三、在机器学习中的重要性平方欧式距离计算公式是机器学习中最重要的距离度量之一。
它不仅可以帮助我们分析数据，更为重要的是它可以被用于各种机器学习算法中，如K-最近邻算法、支持向量机等。
平方欧式距离计算公式也是监督学习和无监督学习中最常用的距离度量之一。
辗转相除法
设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约
数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a/b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。 第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc 第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c 第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数 第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】 从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。 证毕。编辑本段计算机算法自然语言描述
unsigned gcd ( unsigned m,unsigned n )
{ unsigned temp;
if (m<n) { temp=m; m=n; n=temp; } if ( m % n == 0) { return n; }
辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至3000年前。
例如：
展开编辑本段简介 辗转相除法的演示动画
else { return gcd ( n,m % n) ; }
}
Basic实现
INPUT m,n DO r=mMODn m=n n=r LOOP UNTILr=0 PRINT m END
Pascal实现
三个数辗转相除法求最大公约数
三个数辗转相除法求最大公约数引言在数学中，最大公约数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
求最大公约数的方法有很多种，其中一种常用的方法是辗转相除法。
辗转相除法又称欧几里德算法，是一种用于计算两个整数的最大公约数的有效方法。
本文将介绍辗转相除法的基本原理和步骤，并通过一个具体的例子来说明该方法的应用。
什么是辗转相除法辗转相除法是一种迭代的算法，通过反复用两个数中较小的数去除较大的数，然后用余数去除较小的数，直到余数为0为止。
最后的除数就是两个数的最大公约数。
辗转相除法的步骤辗转相除法的步骤如下：1.输入两个整数a和b，其中a>=b。
2.用b去除a，得到余数r。
3.如果r等于0，则b即为最大公约数。
4.如果r不等于0，则将b赋值给a，将r赋值给b，然后返回第二步。
例子：求最大公约数假设我们要计算两个整数56和42的最大公约数。
1.首先，我们输入两个整数a=56和b=42。
2.用42去除56，得到余数14。
3.由于余数不为0，我们将b=42赋值给a，将余数14赋值给b。
4.然后，我们用14去除42，得到余数0。
5.由于余数为0，所以42即为最大公约数。
算法的正确性证明辗转相除法的正确性可以通过数学归纳法来证明。
假设a和b是两个整数，且a>=b，令r为a除以b的余数。
我们可以将a表示为a=bq+r，其中q为a除以b的商。
假设d是a和b的一个公约数，那么d也是b和r的公约数。
反过来，如果d是b和r的公约数，那么d也是a和b的公约数。
因此，a和b的公约数的集合和b和r的公约数的集合是相同的。
根据这个观察，我们可以得出结论：a和b的最大公约数和b和r的最大公约数相同。
因此，我们可以使用辗转相除法来逐步缩小问题的规模，直到问题的规模变得足够小，可以直接求解。
辗转相除法的优化辗转相除法是一种非常有效的求最大公约数的方法，但在实际应用中，我们可以对其进行一些优化，以提高算法的效率。
1. 交换数的位置为了保证输入的两个数a和b中，a>=b，我们可以在计算之前先比较两个数的大小，如果a<b，则交换a和b的位置。
欧几里德算法及其扩展
欧几里德算法欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b 的最大公约数。
基本算法：设a=qb+r,其中a, b, q, r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 。
第一种证明：a 可以表示成a = kb + r ,则r = a mod b假设 d 是a,b 的一个公约数,则有d|a, d|b ,而r = a - kb ,因此d|r因此d是(b,a mod b)的公约数假设d是(b,a mod b)的公约数，贝Ud | b , d |r ,但是a = kb +r因此d也是(a,b)的公约数因此(a,b)和(b,a modb)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证第二种证明：要证欧几里德算法成立,即证: gcd(a,b)=gcd(b,r), 其中gcd 是取最大公约数的意思, r=a mod b下面证gcd (a, b)=gcd(b, r)设 c 是a, b的最大公约数，即c=gcd (a, b),贝U有a=mc, b=nc,其中m, n 为正整数，且m，n 互为质数由r= a mod b 可知，r= a- qb 其中，q 是正整数，则r=a-qb=mc-qnc= ( m-qn) cb=nc,r=(m-qn)c ,且n, (m-qn)互质(假设n, m-qn不互质，贝U n=xd, m-qn=yd其中x,y,d 都是正整数，且d>1贝a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b的最大公约数变成dc,与前提矛盾，所以n , m-qn —定互质)贝gcd( b,r ) =c=gcd(a,b )4 {5 int r = b; 得证。
算法的实现：最简单的方法就是应用递归算法，代码如下：1 int gcd( int a, int b)2 {3if (b==0) 4return a; 5return 6gcd(b,a%b);7 } 代码可优化如下：1 int gcd( int a, int b)2 {3return b ? gcd(b,a%b) : a;4 }当然你也可以用迭代形式： 1 int Gcd( int a, int b)2 {3while (b != 0) 6b = a % b; 7a = r;8 }a;9 return10 }扩展欧几里德算法基本算法：对于不完全为0的非负整数a , b, gcd (a, b)表示a , b的最大公约数，必然存在整数对x ，y ，使得gcd ( a，b) =ax+by。
辗转相除法判断重因式
辗转相除法判断重因式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：辗转相除法，又称为欧几里德算法，是一种用来求两个整数的最大公约数的方法。
其基本思想是通过将两个整数进行一系列的除法操作，直到余数为0为止，此时最后一次除法操作的除数即为这两个整数的最大公约数。
在数论中，我们经常需要判断一个整数是否为某个整式的因子，特别是在因式分解、约分等操作中。
而欧几里德辗转相除法可以帮助我们快速判断一个整数是否为另一个整数的因子。
以下我们将介绍如何利用辗转相除法来判断重因式的方法。
我们需要明确什么是重因式。
在代数中，如果一个整数a能够整除另一个整数b，那么a就是b的因子。
而如果一个整数a是另一个整数b的因子，并且a的幂次大于1，即a^2, a^3, a^4等，那么a就是b 的重因式。
接下来，我们介绍如何利用辗转相除法来判断重因式。
假设我们需要判断一个整数x是否为整数y的重因式，首先我们可以利用辗转相除法求出x和y的最大公约数g。
如果g等于x，那么x就是y的重因式；如果g不等于x，那么x不是y的重因式。
24除以6的余数为0，于是得到6和24的最大公约数为6。
因为6等于x，所以整数6是整数24的重因式。
通过这个例子，我们可以看到辗转相除法的简单易行性，能够快速帮助我们判断一个整数是否为另一个整数的重因式。
在实际运用中，我们可以将这种方法运用到因式分解、约分等问题中，使计算更加快捷高效。
辗转相除法判断重因式是一种简单而有效的计算方法，可以帮助我们快速判断一个整数是否为另一个整数的重因式。
希望以上内容能够帮助大家更好地理解并运用辗转相除法。
【2000字】第二篇示例：辗转相除法是一种古老的数学方法，用来判断一个数是否是另一个数的因子。
这个方法也可以用来判断一个多项式是否有重因子。
所谓重因子，指的是多项式中有重复的因子，也就是说这个因子可以被多次整除。
在代数学中，我们通常用因式分解来简化多项式的运算。
而判断一个多项式是否有重因子，则需要借助“辗转相除法”。
欧几里德算法(扩展：求模线性方程)
欧几里德算法(扩展：求模线性方程)一、欧几里德算法（辗转相除法）求两个正整数的最大公约数gcd(m,n)，算法基于的方法是重复应用等式gcd(m,n) = gcd(n,m mod n)，直到m mod n等于0。
证明gcd(m,n) = gcd(n,m mod n)：m可以表示成 m = kn + r，则 r = m mod n；假设d是m和n的一个公约数，则有 d|m 和 d|n，而 r = m - kn，因此d|r，因此d是(n,m mod n)的公约数；假设d 是(n,m mod n)的公约数，则 d|n，d|r，但是 m = kn + r，因此d也是(a,b)的公约数；因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
具体步骤描述如下：1：如果n=0，返回m的值作为结果，同时过程结束；否则，进入第二步。
2：用n去除m，将余数赋给r。
3：将n的值赋给m，将r的值赋给n，返回第一步。
模板（没有判断0的情况）int gcd( int a, int b ){int r;while( b > 0 ){r = a % b;a = b;b = r;}return a;}二、扩展欧几里德算法：对于不完全为0的非负整数a，b，必然存在整数对 x，y，使得 gcd（a，b）= ax + by。
基于以下事实：gcd(a, b) = gcd(b, a%b).可以得出：存在x，y，x',y'使得：ax + by = d (1)bx'+ (a%b)y' = d 即 bx' + [a-(a/b)*b]y' = d整理得： ay'+ b(x'-(a/b)y')=d (2)由(1)(2)得：x = y'y = x'-(a/b)y'当b = 0时，ax = gcd(a,0) = a, 得x = 1.模板(求x 和 y)：EXTEND-EUCLIDint Extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y){if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}else{int gcd,t;gcd = Extend_Euclid(b, a%b, x, y);t = x;x = y;y = t - (a / b) * y;return gcd;}}三、扩展欧几里德算法的应用：1.求二元一次方程 ax + by = c 的整数解定理：对于整数方程ax + by = c，若c mod Gcd(a, b) == 0，则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
欧几里德与扩展欧几里德算法
欧几里德与扩展欧几里德算法1. 引言1.1 欧几里德算法简介欧几里德算法，又称辗转相除法，是一种用于计算两个整数的最大公约数的算法。
该算法由古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中首次提出。
欧几里德算法的原理非常简单，即通过不断取余数的方式，将两个整数逐步缩小，直至其中一个数为0，此时另一个数即为最大公约数。
欧几里德算法的应用非常广泛，可以用于解决诸如分数化简、判断两个数的互质性等问题。
在密码学领域中，欧几里德算法也被广泛用于计算模逆元素，从而实现加密算法的安全性。
欧几里德算法是一种简单而有效的算法，可以帮助我们快速求解两个整数的最大公约数，解决各种实际问题。
在接下来的正文中，我们将更详细地介绍欧几里德算法的原理和应用，以及与之相关的扩展欧几里德算法进行比较。
1.2 扩展欧几里德算法简介扩展欧几里德算法是欧几里德算法的一种扩展，用于解决线性同余方程的问题。
欧几里德算法主要用于求解最大公约数，而扩展欧几里德算法则可以在求解最大公约数的找到一组整数解，从而解决线性同余方程的问题。
扩展欧几里德算法的基本原理是利用递归的方式，通过不断地将两个数进行辗转相除，直到余数为0为止，然后倒序回溯，将整个过程中的商和余数记录下来，最终得到最大公约数及线性同余方程的解。
扩展欧几里德算法的应用非常广泛，特别是在密码学领域中。
在RSA加密算法中，扩展欧几里德算法常被用来计算私钥。
扩展欧几里德算法是一种非常重要的算法，它不仅可以帮助我们求解最大公约数，还可以解决线性同余方程等问题。
通过深入理解和掌握这一算法，我们可以更好地应用它来解决实际问题。
欧几里德算法与扩展欧几里德算法的比较可以进一步帮助我们理解它们各自的优势和适用范围。
2. 正文2.1 欧几里德算法的原理欧几里德算法，也称为辗转相除法，是一种用于计算两个整数的最大公约数的有效算法。
其原理基于整数的性质和最大公约数的定义。
算法的步骤如下：1. 假设有两个整数a和b，其中a大于等于b。
辗转相除法和更相减损术的原理
辗转相除法和更相减损术的原理辗转相除法和更相减损术是数学中常用的求最大公约数的方法，它们都可以有效地找到两个数的最大公约数。
在解决实际问题中，我们经常会用到这两种方法来简化计算和求解。
我们来介绍辗转相除法。
辗转相除法又称为欧几里德算法，它的基本思想是通过不断地用较小数去除较大数，然后用除数去除余数，直到余数为0为止。
这样，最后的除数就是两个数的最大公约数。
具体步骤如下：1. 用较大数除以较小数，得到余数。
2. 用上一步得到的余数去除较小数，得到新的余数。
3. 重复步骤2，直到余数为0。
4. 最后一个非零余数就是两个数的最大公约数。
举个例子来说明辗转相除法的原理。
假设我们要求解36和48的最大公约数，按照上述步骤进行计算：1. 48除以36，余数为12。
2. 36除以12，余数为0。
因此，36和48的最大公约数为12。
通过这个简单的例子，我们可以看到辗转相除法的求解过程非常简单，而且它适用于任意两个正整数的求解。
接下来，我们介绍更相减损术。
更相减损术是另一种求最大公约数的方法，它的基本思想是通过不断地用两个数的差去减小较大数，直到两个数相等为止。
这样，最后的相等数就是两个数的最大公约数。
具体步骤如下：1. 如果两个数相等，那么它们的最大公约数就是它们本身。
2. 如果两个数不相等，那么用较大数减去较小数，得到新的两个数。
3. 重复步骤2，直到两个数相等。
4. 最后一个相等的数就是两个数的最大公约数。
同样，我们通过一个例子来说明更相减损术的原理。
假设我们要求解28和42的最大公约数，按照上述步骤进行计算：1. 42减去28得到14。
2. 28减去14得到14。
因此，28和42的最大公约数为14。
通过这个例子，我们可以看到更相减损术的求解过程也非常简单，它可以有效地求解任意两个正整数的最大公约数。
辗转相除法和更相减损术都是通过不断地减小两个数之间的差距来求解最大公约数的方法。
它们的原理非常简单，适用范围广泛。
辗转相除法例题
辗转相除法例题
辗转相除法，也称为欧几里德算法，是求两个正整数的最大公约数的一种常用方法。
它的基本原理是通过反复用较小数除较大数，并用余数替换较大数，直到余数为0为止。
最后的除数即为两个数的最大公约数。
下面给出一个辗转相除法的例题：
例题：求出60和48的最大公约数。
解析：按照辗转相除法的步骤，我们先用60除以48，并得到商1余12。
然后用48除以12，得到商4余0。
余数为0，说明此时的除数12即为60和48的最大公约数。
拓展：
辗转相除法除了可以求两个正整数的最大公约数，还可以用于求解一些其他问题。
例如，我们可以利用辗转相除法来判断两个正整数是否互质。
如果两个正整数的最大公约数为1，那么我们称这两个数为互质数。
互质数的特点是除了1以外没有其他公约数。
我们可以通过辗转相除
法来判断两个数是否互质。
例如，我们要判断12和35是否互质，首先用35除以12，得到商2余11。
然后用12除以11，得到商1余1。
最后用11除以1，得到商11余0。
由于最后余数为0，所以12和35的最大公约数为1，即它们是互质数。
辗转相除法的应用还可以扩展到更复杂的问题，比如求解线性同余方程、计算模逆元等。
它在数论和密码学中有着广泛的应用。
总之，辗转相除法是求解最大公约数的一种简单有效的方法。
它的应用范围广泛，不仅仅局限于求两个正整数的最大公约数，而且可以应用于更复杂的数学问题中。
求最大公约数的简便方法
求最大公约数的简便方法最大公约数（GCD）是求两个或更多整数的最大公因数的一种数学问题。
它有很多种解法，包括最常见的辗转相除法和欧几里德算法，以及更高级的质因数分解法和位操作法等。
本文将介绍最常见且简便的几种方法来求最大公约数。
1.辗转相除法（欧几里德算法）：辗转相除法是一种基于整数除法的算法，通过递归调用较小数除以较大数的余数来求最大公约数。
假设我们要求两个数a和b的最大公约数，可以按照以下步骤进行计算：-若a能被b整除，则b即为最大公约数；-若a不能被b整除，将a除以b得到余数r，则最大公约数等于b和r的最大公约数；-重复以上步骤，直到余数为0，此时最大公约数就是上一步的除数。
辗转相除法可以用递归或循环的方式实现。
以下是一种递归实现的示例代码：```pythondef gcd(a, b):if b == 0:return aelse:return gcd(b, a % b)```辗转相除法的优点是简单易懂，计算效率较高。
但在数字较大的情况下，递归调用次数较多，可能导致栈溢出。
2.更相减损术：更相减损术是古老而直观的求最大公约数方法。
其基本思想是反复用两个数的差替代原来的两个数，直到两个数相等为止，此时的相等值即为最大公约数。
与辗转相除法相比，更相减损术的迭代次数较多，计算效率较低。
因此，在实际应用中，更相减损术一般较少使用，除非是需要求解比较小的数的最大公约数。
3.质因数分解法：质因数分解法是一种基于将数字分解为质数乘积的方法。
该方法的核心思想是将两个或多个数分别分解为质数的乘积，然后找到它们共有的质因子，将这些质因子相乘即可得到最大公约数。
假设我们要求两个数a和b的最大公约数，我们可以按照以下步骤进行计算：-将a和b分别进行质因数分解，得到它们的质因子分解式；-取两个分解式中共有的质因子，并将这些质因子相乘。
质因数分解法的优点是可行性较大且计算准确。
但在实际应用中，当数字较大且质因数较多时，分解质因数的计算量会变得非常大。
欧几里德定律
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算法1 算法1
#include <iostream> #include<cmath> using namespace std; void main() { int perfect_number; int num, n=2, counter=0;//计数器 while (counter<5) { num=pow(2,n)-1; if(DecidePrime(num)) { perfect_number=num*pow(2,n-1); cout<<"完="<<perfect_number<<endl; counter++; } n++; } }
目录
算法 1、求最大公约数 2、求最小的5个完数 3、求最小公倍数
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1、求最大公约数
任意输入两个整数，求其最大公约数。
算法思想： 使用辗转相除法求最大公约数，又叫欧几里的 算法。算法假设两个整数 m和n（m>n） 如果 d是m和n的最大公约数，则d也必然是n 和 m% n 的最大公约数。
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3、求最小公倍数
任意输入两个整数，求其最小公倍数。
算法思想： 根据欧几里的算法。算法假设两个整数 m和 n（m>n） 如果 d是m和n的最大公约数，则其最小公倍数 是：m*n / d
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算法1
//求最大公约数 int gcd(int m,int n) { if(n==0) return m; else return gcd (n, m%n); }
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算法1
#include <iostream> using namespace std; void main() { int m, n; cin>>m>>n; while(n!=0) { int t = n; n = m % n; m = t; } cout<<m<<endl; }
欧几里德扩展算法
欧几里德扩展算法
欧几里德扩展算法（Extended Euclidean Algorithm）是一种用于求解两个整数的最大公约数以及满足一定条件下的贝祖等式中未
知数的整数解的算法。
该算法的基本思想是利用辗转相除法求出两个数的最大公约数，并通过递归和反向迭代来计算贝祖等式中未知数的整数解。
具体而言，设a、b为两个非负整数，且a≥b，则可将a和b表示为如下形式：
a = bq + r
其中q、r都是非负整数，且r < b。
由此可以得到gcd(a, b) = gcd(b, r)，即原问题的解等价于求解新的问题gcd(b, r)。
因此，可以通过递归调用该算法来求解最大公约数。
当需要求解贝祖等式中未知数的整数解时，可以利用反向迭代的方式，从最后一个递归调用开始，依次计算每个子问题的解，并利用这些解逐步推导出当前问题的解。
具体而言，设当前递归调用求解的是gcd(a, b)，并已经递归地计算出了gcd(b, r)以及未知数x、y的值，则有如下贝祖等式：
ax + by = gcd(a, b)
将a = bq + r代入上式可得：
bx1 + (a - bq)y1 = gcd(b, r)
化简后可得：
ay1 + b(x1 - qy1) = gcd(b, r)
因此，可以通过反向迭代计算未知数的值x、y，从而得到原问
题的解。
两数的最大公约数
两数的最大公约数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指能同时整除两个或多个整数的最大正整数。
求最大公约数有多种方法，包括辗转相除法、欧几里德算法等。
本文将介绍辗转相除法和欧几里德算法，并比较它们的优缺点。
一、辗转相除法辗转相除法又称为欧几里德算法，是一种求两个整数最大公约数的简便方法。
其基本思想是将两个整数中较大的数除以较小的数，然后再用较小的数去除所得余数，直到余数为零为止，此时的除数即为最大公约数。
例如，求取36和48的最大公约数，按辗转相除法的步骤操作如下：1. 48除以36，商为1，余数为12；2. 36除以12，商为3，余数为0；3. 因此，36和48的最大公约数为12。
辗转相除法的优点是简单易懂，计算量相对较小。
然而，该方法在处理大整数时会消耗较多的时间和内存资源，不适用于涉及大数运算的场景。
二、欧几里德算法欧几里德算法是一种更高效的求解最大公约数的方法。
它基于一个定理：两个整数的最大公约数等于其中较小数和两数相除的余数的最大公约数。
以36和48为例，按欧几里德算法的步骤操作如下：1. 48除以36，商为1，余数为12；2. 36除以12，商为3，余数为0；3. 因此，36和48的最大公约数为12。
与辗转相除法相比，欧几里德算法通过连续取余的方式，减少了除法的运算次数，提高了计算效率。
尤其在处理大整数时，欧几里德算法明显快于辗转相除法。
三、辗转相除法与欧几里德算法比较辗转相除法和欧几里德算法都可以求解最大公约数，但在一些细节上存在差异。
1. 算法原理：- 辗转相除法：依赖于除法的基本原理，将大数除以小数，然后用余数递归地继续求解，直到余数为零。
- 欧几里德算法：基于两个整数的最大公约数等于其中较小数和两数相除余数的最大公约数的定理。
2. 计算效率：- 辗转相除法：简单易懂，计算量较小，但在处理大数时效率较低。
- 欧几里德算法：通过连续取余的方式，减少了除法的运算次数，在处理大数时效率更高。
辗转相除法--小升初专项训练 学生版
辗转相除法第一关【知识点】1.辗转相除法，又名欧几里德算法(Euclidean a lg orithm)乃求两个正整数之最大公因子的算法．2.原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数．3用辗转相除法求168和93的最大公因数．4用辗转相除法求165和132的最大公因数．5用辗转相除法求319和377的最大公因数．6用辗转相除法求364和3003的最大公因数．7用辗转相除法求469和1072的最大公因数．8用辗转相除法求568和1065的最大公因数．9用辗转相除法求1085和1178的最大公因数．10用辗转相除法求1547和3135的最大公因数．11用辗转相除法求2146和6105的最大公因数12用辗转相除法求6731和2809的最大公因数13用辗转相除法求4018和7257的最大公因数14用辗转相除法求8251和6105的最大公因数15用辗转相除法求6897和11495的最大公因数16用辗转相除法求4081和20723的最大公因数17用辗转相除法求28、44、260的最大公约数18用辗转相除法求36，108，825的最大公约数19用辗转相除法求440，126，126的最大公约数20用辗转相除法求160，598，211的最大公约数21用辗转相除法求125，625，3125的最大公约数22用辗转相除法求1170、2574、3003的最大公约数23用辗转相除法求1848、1260和1512的最大公约数24用辗转相除法求3553，3910和1411的最大公约数25用辗转相除法求1112111，7160和22154的最大公约数26用辗转相减法求：1008，1260，882，1134这四个数的最大公因数27用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？最大公约数是多少？28用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B．请问：A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少？29用辗转相减法求：由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字组成的所有数的最大公约数是多少？第二关1一块长45厘米，宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？2有一个长方体，长60厘米，宽40厘米，高15厘米，如果要切成同样大的小正方体，这些小正方体的棱长最大可以是多少厘米？3一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它截成边长是最大的正方形纸片，一共可以截多少块？4把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？5从一张长1394毫米，宽646毫米的长方形纸上剪裁出尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再裁下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？6将一块长80米，宽60米的土地划分成面积相等的小正方形．问：小正方形的面积最大是多少平方米？7把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？每块的面积是多少？8把1米3分米5厘米长，1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？每块的面积是多少？9有三根钢管，分别长200cm、240cm、360cm，现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段？每小段的长度是多少厘米？10有一个三角形花圃，三边的长度分别是56m、36m、24m．现在这三条边上等距离栽菊花，并且每两株菊花之间的距离尽可能大．问：一共栽多少株菊花？11有两根木料，一根长2015毫米，另一根长755毫米，要把它们锯成同样长的小段，不许有剩余，但每锯一次要损耗1毫米的木料，每小段木料最长可以是多少毫米？第三关1有91个苹果和40个桔子，要分给一群小朋友．苹果正好分完，而桔子剩下一个．这群小朋友有多少人？2有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？3安华里菜站运来84斤黄瓜、105斤西红柿、126斤茄子，售货员把这些菜一份一份地称好了，正好称完，每份的黄瓜、西红柿、茄子都一样多．售货员很快把这些菜卖完了．经理问售货员，这些菜卖给了多少人？每人至少能买多少斤？他一时说不出来，请你帮助算一算.4幼儿园买来桃93个，杏123个，桔子150个，分给大班的小朋友，每人要分得一样多，结果桃、李各剩下3个，桔子恰好分完．大班小朋友最多有几个人？每人分到几个桃？几个杏？几个桔？5有336个苹果、252个桔子、210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？每份礼物中的三样水果各有多少个？6教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？7老师将301个笔记本、215支铅笔和86块橡皮分给班里的同学，每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮的数量都相同，那么，班上一共有多少个同学？每个同学各拿到多少？第四关1一条公路由A经过B到C．已知A、B相距300米，B、C相距215米．现在路边植树，要求相邻两树之间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植上树，那么两树之间的距离最多是多少米？2在一条新修成的公路一旁等距离栽电线杆，要求在A、B、C三处及在AB、BC的中点都栽一根．最少要栽多少根电线杆？3一条道路由甲村经乙村到丙村．甲、乙两村相距450m，乙、丙两村相距630m．现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间的距离相等，并且在甲、乙两村的中点和乙、丙两村的中点都要栽上树．那么相邻两棵树之间的距离最多是多少米？第五关1如果把110块糖平均分给五(一)班的同学，则多5块，如果把210块糖平均分给这个班的同学正好分完；如果把240块糖平均分给这个班，还少5块．五(一)班最多有多少学生？第六关拓展1将两个不同的自然数中较大的数换成他们的差，称为一次操作，如此继续下去，直到这两个数相同为止．如对20和26进行这样的操作，过程如下：(20，26)→(20，6)→(14，6)→(8，6)→(2，6)→(2，4)→(2，2)(1)对45和80进行上述操作．(2)若对两个四位数进行上述操作，最后得到的相同数是17．求这两个四位数的和的最大值．。
人教版数学高二-辗转相除法
辗转相除法1.概念辗转相除法, 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求两个正整数之最大公因子的算法.它是已知最古老的算法之一, 最早可追溯至公元前300年.它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》.它并不需要把二数作质因子分解.我们用符号gcd(a,b)表示自然数a和b的最大公因数，在不引起误会的情况下(比如在涉及到解析几何的区间时，因为区间的表示与之一样)，也简写为(a,b).2.算法辗转相除法的实现，是基于下面的性质：1：(a,b)=(a,ka+b)，其中a、b、k都为自然数就是说，两个数的最大公约数，将其中一个数加到另一个数上，得到的新数组，其公约数不变，比如(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2.这里有一个比较简单的证明方法来说明这个性质：如果p是a和ka+b的公约数，p整除a，也能整除ka+b.那么就必定要整除b，所以p又是a 和b的公约数，从而证明他们的最大公约数也是相等的.还有另外一个性质也是很必要：2：(0,a)=a由这两个性质得到的，就是更相减损术：(78,14)=(64,14)=(50,14)=(36,14)=(22,14)=(8,14)=(8,6)=(2,6)=(2,4)=(2,2)=(0,2)=2 基本上思路就是大数减去小数，一直减到能算出来为止.不过在平时的计算过程中，往往不必计算到最后一步，比如在上面的过程中，到了(8,6)，就已经能够看出其结果.我们可以看到，在上面的过程中，由(78,14)到(8,14)完全可以一步到位，因为(78,14)=(14×5+8,14)=(8,14)，由此就诞生出我们的辗转相除法.用辗转相除法求(a,b).设r0=b，r1=a，反复运用除法算式，得到一系列整数qi，ri和下面的方程：r0=q1r1+r2，r2＜r1(r2,r1)r1=q2r2+r3，r3＜r2(r3,r2)r2=q3r3+r4，r4＜r3(r4,r3)………………rn-3=qn-2rn-2+rn-1，rn-1＜rn-2 (rn-1,rn-2)rn-2=qn-1rn-1+rn，rn-2＜rn-1 (rn-1,rn)rn-1=qnrn. (rn,0)相当于每一步都运用原理①把数字进行缩小，上面右边就是每一步对应的缩小结果，可以看出，最后的余数r n就是a和b的公约数.我们以一个题为例说明基本过程.例题：求(326,78)326=4×78+14(78,14)78=5×14+8 (14,8)14=1×8+6 (6,8)8=1×6+2 (6,2)6=3×2 (0,2)所以(326,78)=2.。
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欧几里得算法的概述欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。
其计算原理依赖于下面的定理：定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r因此d是(b,a mod b)的公约数假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r因此d也是(a,b)的公约数因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证欧几里得算法原理Lemma 1.3.1 若a, b 且 a = bh + r, 其中h, r , 则gcd(a, b) = gcd(b, r).证明. 假设d1 = gcd(a, b) 且d2 = gcd(b, r). 我们证明d1| d2 且d2| d1, 因而可利用Proposition 1.1.3(2) 以及d1, d2 皆為正数得证d1 = d2.因d1| a 且d1| b 利用Corollary 1.1.2 我们知d1| a - bh = r. 因為d1| b, d1| r 且d2 = gcd(b, r) 故由Proposition 1.2.5 知d1| d2. 另一方面, 因為d2| b 且d2| r 故d2| bh + r = a. 因此可得d2| d1.Lemma 1.3.1 告诉我们当 a > b > 0 时, 要求a, b 的最大公因数我们可以先将 a 除以 b 所得餘数若為r, 则a, b 的最大公因数等於 b 和r 的最大公因数. 因為0r < b < a, 所以当然把计算简化了. 接著我们就来看看辗转相除法. 由於gcd(a, b) = gcd(- a, b) 所以我们只要考虑a, b 都是正整数的情况.Theorem 1.3.2 (The Euclidean Algorithm) 假设a, b 且 a > b. 由除法原理我们知存在h0, r0 使得a = bh0 + r0, 其中0r0 < b.若r0 > 0, 则存在h1, r1 使得b = r0h1 + r1, 其中0r1 < r0.若r1 > 0, 则存在h2, r2 使得r0 = r1h2 + r2, 其中0r2 < r1.如此继续下去直到rn = 0 為止. 若n = 0 (即r0 = 0), 则gcd(a, b) = b. 若n1, 则gcd(a, b) = rn - 1.証明. 首先注意若r0 0, 由於r0 > r1 > r2 > ... 是严格递减的, 因為r0 和0 之间最多仅能插入r0 - 1 个正整数, 所以我们知道一定会有nr0 使得rn = 0.若r0 = 0, 即 a = bh0, 故知 b 為 a 之因数, 得证 b 為a, b 的最大公因数. 若r0 > 0, 则由Lemma 1.3.1 知gcd(a, b) = gcd(b, r0) = gcd(r0, r1) = ... = gcd(rn - 1, rn) = gcd(rn - 1, 0) = rn - 1.现在我们来看用辗转相除法求最大公因数的例子Example 1.3.3 我们求 a = 481 和 b = 221 的最大公因数. 首先由除法原理得481 = 2 . 221 + 39, 知r0 = 39. 因此再考虑 b = 221 除以r0 = 39 得221 = 5 . 39 + 26, 知r1 = 26. 再以r0 = 39 除以r1 = 26 得39 = 1 . 26 + 13, 知r2 = 13. 最后因為r2 = 13 整除r1 = 26 知r3 = 0, 故由Theorem 1.3.2 知gcd(481, 221) = r2 = 13.在利用辗转相除法求最大公因数时, 大家不必真的求到rn = 0. 例如在上例中可看出r0 = 39 和r1 = 26 的最大公因数是13, 利用Lemma 1.3.1 马上得知gcd(a, b) = 13.在上一节Corollary 1.2.5 告诉我们若gcd(a, b) = d, 则存在m, n 使得 d = ma + nb. 当时我们没有提到如何找到此m, n. 现在我们利用辗转相除法来介绍一个找到m, n 的方法. 我们沿用Theorem 1.3.2 的符号. 首先看r0 = 0 的情形, 此时 d = gcd(a, b) = b 所以若令m = 0, n = 1, 则我们有 d = b = ma + nb. 当r0 0 但r1 = 0 时, 我们知d = gcd(a, b) = r0. 故利用a = bh0 + r0 知, 若令m = 1, n = - h0, 则d = r0 = ma + nb. 同理若r0 0, r1 0 但r2 = 0, 则知d = gcd(a, b) = r1. 故利用a = bh0 + r0 以及b = r0h1 + r1 知r1 = b - r0h1 = b - (a - bh0)h1 = - h1a + (1 + h0h1)b.因此若令m = - h1 且n = 1 + h0h1, 则 d = r1 = ma + nb. 依照此法, 当r0, r1 和r2 皆不為0 时, 由於d = gcd(a, b) = rn - 1 故由rn - 3 = rn - 2hn - 1 + rn - 1 知d = rn - 3 - hn - 1rn - 2. 利用前面推导方式我们知存在m1, m2, n1, n2 使得rn - 3 = m1a + n1b 且rn - 2 = m2a + n2b 故代入得d = (m1a + n1b) - hn - 1(m2a + n2b) = (m1 - hn - 1m2)a + (n1 - hn - 1n2)b.因此若令m = m1 - hn - 1m2 且n = n1 - hn - 1n2, 则 d = ma + nb.上面的说明看似好像当r0 0 时对每一个i {0, 1,..., n - 2} 要先将ri 写成ri = mia + nib, 最后才可将d = rn - 1 写成ma + nb 的形式. 其实这只是论证时的方便, 在实际操作时我们其实是将每个ri 写成mi'ri - 2 + ni'ri - 1 的形式慢慢逆推回d = ma + nb. 请看以下的例子.Example 1.3.4 我们试著利用Example 1.3.3 所得结果找到m, n 使得13 = gcd(481, 221) = 481m + 221n. 首先我们有13 = r2 = 39 - 26 = r0 - r1. 而r1 = 221 - 5 . 39 = b - 5r0, 故得13 = r0 - (b - 5r0) = 6r0 - b. 再由r0 = 481 - 2 . 221 = a - 2b, 得知13 = 6(a - 2b) - b = 6a - 13b. 故得m = 6 且n = - 13 会满足13 = 481m + 221n.要注意这裡找到的m, n 并不会是唯一满足 d = ma + nb 的一组解. 虽然上面的推演过程好像会只有一组解, 不过只能说是用上面的方法会得到一组解, 并不能担保可找到所有的解. 比方说若令m' = m + b, n' = n - a, 则m'a + n'b = (m + b)a + (n - a)b = ma + nb = d. 所以m', n' 也会是另一组解. 所以以后当要探讨唯一性时, 若没有充分的理由千万不能说由前面的推导过程看出是唯一的就断言是唯一. 一般的作法是假设你有两组解, 再利用这两组解所共同满足的式子找到两者之间的关系. 我们看看以下的作法.Proposition 1.3.5 假设a, b 且 d = gcd(a, b). 若x = m0, y = n0 是 d = ax + by 的一组整数解, 则对任意t , x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 皆為d = ax + by 的一组整数解, 而且 d = ax + by 的所有整数解必為x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 其中t 这样的形式.証明. 假设x = m, y = n 是 d = ax + by 的一组解. 由於已假设x = m0, y = n0 也是一组解, 故得am + bn = am0 + bn0. 也就是说a(m - m0) = b(n0 - n). 由於d = gcd(a, b), 我们可以假设 a = a'd, b = b'd 其中a', b' 且gcd(a', b') = 1 (参见Corollary 1.2.3). 因此得a'(m - m0) = b'(n0 - n). 利用b'| a'(m - m0), gcd(a', b') = 1 以及Proposition 1.2.7(1) 得b'| m - m0. 也就是说存在t 使得m - m0 = b't. 故知m = m0 + b't = m0 + bt/d. 将m = m0 + bt/d 代回am + bn = am0 + bn0 可得n = n0 - at/d, 因此得证 d = ax + by 的整数解都是x = m0 + bt/d, y = n0 -at/d 其中t 这样的形式. 最后我们仅要确认对任意t , x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 皆為d = ax + by 的一组整数解. 然而将x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 代入ax + by 得a(m0 + bt/d )+ b(n0 - at/d )= am0 + bn0 = d, 故得证本定理.利用Proposition 1.3.5 我们就可利用Example 1.3.4 找到13 = 481x + 221y 的一组整数解x = 6, y = - 13 得到x = 6 + 17t, y = - 13 - 37t 其中t 是13 = 481x + 221y 所有的整数解.欧几里得算法设计辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：1. 若r 是 a ÷ b 的余数, 则gcd(a,b) = gcd(b,r)2. a 和其倍数之最大公因子为a。