欧几里德算法
求最大公因数的三种方法
求最大公因数的三种方法最大公因数（GCD）是两个或多个整数的最大公约数。
计算最大公因数在数论和数学问题中非常重要，它有助于简化分数和化简多项式等。
在本文中，我们将介绍三种常见的方法来计算最大公因数。
方法一：质因数分解法最常用的方法之一是质因数分解法。
该方法基于一个简单的事实：如果一个数可以被另外一个数整除，那么这个数的因数也一定能够整除它。
质因数分解法的步骤如下：1.将待求的两个数进行质因数分解；2.找到它们共有的质因数；3.将共有的质因数相乘，得到最大公因数。
例如，我们要求解48和60的最大公因数：48=2×2×2×2×360=2×2×3×5它们的最大公因数为2×2×3=12方法二：辗转相除法（欧几里德算法）辗转相除法，也被称为欧几里德算法，是一种用于计算两个数的最大公因数的方法。
这种方法的基本原理是，如果一个数能够整除另一个数，那么这两个数的最大公因数就是能够整除两个数的最大数。
辗转相除法的步骤如下：1.将待求的两个数进行除法运算，得到商和余数；2.将除数作为被除数，余数作为除数进行下一轮运算，重复第一步；3.直到余数为0，这个时候最后一个非零余数的除数就是最大公因数。
例如，我们要求解48和60的最大公因数：60÷48=商1余1248÷12=商4余0因此，48和60的最大公因数为12方法三：更相减损法更相减损法，也是一种计算两个数的最大公因数的方法。
该方法的基本原理是，两个数的差是它们的公因数，因此公因数的最大值一定是这两个数的最大公因数。
更相减损法的步骤如下：1.将待求的两个数进行减法运算，得到差；2.将差作为新的较大数，原来的较大数作为新的较小数，重复第一步；3.直到两个数相等，这个时候它们的值就是最大公因数。
例如，我们要求解48和60的最大公因数：60-48=1248-12=3636-12=2424-12=12因此，48和60的最大公因数为12总结：这三种方法是求解最大公因数最常见和常用的三种方法。
曲线相似度算法范文
曲线相似度算法范文曲线相似度算法是用于比较两条曲线之间的相似程度的算法。
在许多应用场景中，我们需要判断两条曲线是否相似，比如在数据挖掘中用于模式识别和分类，或者在图像处理中用于图像匹配和图像识别。
本文将介绍几种常见的曲线相似度算法。
1.欧几里德距离算法：欧几里德距离是最简单的一种相似度算法，它衡量的是两条曲线之间的几何距离。
通过计算两条曲线上对应点的坐标之差的平方和再开方，可以得到两条曲线之间的欧几里德距离。
欧几里德距离越小，则表示两条曲线越相似。
2.动态时间规整算法（DTW）：DTW算法是一种基于时间序列相似度比较的算法，它可以衡量两条曲线之间在时间上的扭曲程度。
DTW算法首先将两条曲线上的所有点两两配对，然后计算每对点之间的距离。
通过动态规划的方法，可以找到一条最佳匹配路径，使得整条曲线之间的距离最小化。
DTW算法可以有效地处理两条曲线之间的时间偏移和长度不一致的情况。
3.弦图相似度算法：弦图相似度算法是一种基于形状特征的相似度算法，它主要用于比较两条曲线的形状相似程度。
弦图相似度算法首先将两条曲线上的点按照等分弦长的方式进行采样，然后计算每对采样点之间的距离。
通过计算两条曲线上所有点之间的距离，可以得到每条曲线的弦图。
最后，通过比较两个弦图的相似度指标，可以得到两条曲线的相似度。
4.小波变换相似度算法：小波变换相似度算法是一种基于频率特征的相似度算法，它主要用于比较两条曲线的频率分布情况。
小波变换相似度算法通过对两条曲线进行小波变换，得到每个频率段上的能量分布。
通过比较两个频率分布的相似度指标，可以得到两条曲线的相似度。
以上介绍的是常见的几种曲线相似度算法，不同的算法适用于不同的应用场景。
在实际应用中，我们可以根据具体需求选择合适的算法进行曲线相似度比较。
同时，也可以根据需要将多个算法进行组合，以得到更准确的相似度评估结果。
四个经典的算法案例
四个经典的算法案例案例1：辗转相除法，又名欧几里德算法，它是用来求两个正整数最大公因数的一种方法。
例：用辗转相除法求8251与6105的最大公约数∵ 8251÷6105＝1 余 21466105÷2146＝2 余 18132146÷1813＝1 余 3331813÷ 333＝5 余 148333 ÷ 148＝2 余 37148 ÷ 37＝4∴ 37是8251与6105的最大公约数程序框图如下：其中 r = mod（a, b） r表示a÷b的余数案例2：秦九韶算法，它是中国南宋时期数学家秦九韶提出的，用来解决多项式的求值问题，在西方被称作霍纳算法。
首先看一道例题：求多项式f(x)=2x5―5x4―4x3+3x2―6x+7当x=5时的值。
根据秦九韶算法：f(x)可表示为f(x)=（｛［（2x―5）x―4］x+3｝x―6）x+7于是令 V0=5则 V1=2V0―5=2×5―5=5V2=V1X―4=5×5―4=21V3=V2X+3=21×5+3=108V4=V3X―6=108×5―6=534V5=V4X+7=534×5+7=2677∴ f(5) = 2677秦九韶算法只用到乘法、加法两个简单运算，不需要乘方运算，它是多项式求值的简化算法。
下面看程序框图，其中a0、a1、a2、a3、a4、a5是f (x) 从右向左的系数。
案例3：排序：是一种基本并且常用的算法，排序的算法很多，可以参阅课本，这里不再叙述。
案例4：进位制例：画程序框图，表示把k进制数a（共有n位），转化为十进制数b的过程框图如下：其中：t = GET a│i│ t表示a右数第i位利用上面的算法，把2进制数110011化为十进制的数即：1×20+1×21+0×22+0×23+1×24+1×25= 51以上是四个经典算法，大家可以从中体会算法的基本思想和算法的基本结构，并尝试用算法的基本语句描述它。
证明辗转相除法的原理应用
证明辗转相除法的原理应用1. 引言辗转相除法是一种求最大公约数的算法，也被称为欧几里德算法。
这个算法的原理非常简单且易于理解，同时在实际应用中也有很大的作用。
本文将介绍辗转相除法的原理，并说明其在实际应用中的一些常见场景。
2. 原理辗转相除法的原理基于以下数学定理：定理1：对于任意两个正整数a和b，若q是a除以b的商，r是a除以b的余数，则有以下等式：a =b * q + r定理2：对于任意两个正整数a和b，不妨设a > b，则a和b的最大公约数等于b和a除以b的余数的最大公约数。
即：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)基于这两个定理，可以递归地应用辗转相除法来求解最大公约数。
3. 应用场景辗转相除法在实际应用中有很多场景，下面列举了一些常见的应用场景：3.1 求最大公约数辗转相除法最常见的应用就是求解两个数的最大公约数。
通过递归地应用辗转相除法，可以高效地求解最大公约数，而不需要遍历所有可能的公约数。
3.2 素数判定素数判定是指判断一个数是否是素数（只能被1和它自己整除的数）。
辗转相除法可以用于判断一个数是否是素数。
具体做法是，将该数与小于它的所有素数相除，若都无法整除，则该数是素数。
3.3 寻找两个数的最小公倍数最小公倍数指两个数公有的倍数中最小的数。
应用辗转相除法可以通过以下公式求解最小公倍数：lcm(a, b) = a * b / gcd(a, b)3.4 分数化简辗转相除法可以应用于分数化简。
对于一个分数a/b，可以通过求解a和b的最大公约数，然后将a和b都除以最大公约数来实现分数的化简。
4. 总结辗转相除法是一种简单而有效的算法，其原理基于两个数的最大公约数与它们的余数的最大公约数的关系。
通过递归地应用辗转相除法，可以高效地求解最大公约数，并且可以应用于多个实际场景中，如求最小公倍数、素数判定和分数化简等。
在实际应用中，熟练掌握辗转相除法的原理和应用，对于解决一些数学问题非常有帮助。
欧几里德算法及其扩展
欧几里德算法欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b 的最大公约数。
基本算法：设a=qb+r,其中a, b, q, r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 。
第一种证明：a 可以表示成a = kb + r ,则r = a mod b假设 d 是a,b 的一个公约数,则有d|a, d|b ,而r = a - kb ,因此d|r因此d是(b,a mod b)的公约数假设d是(b,a mod b)的公约数，贝Ud | b , d |r ,但是a = kb +r因此d也是(a,b)的公约数因此(a,b)和(b,a modb)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证第二种证明：要证欧几里德算法成立,即证: gcd(a,b)=gcd(b,r), 其中gcd 是取最大公约数的意思, r=a mod b下面证gcd (a, b)=gcd(b, r)设 c 是a, b的最大公约数，即c=gcd (a, b),贝U有a=mc, b=nc,其中m, n 为正整数，且m，n 互为质数由r= a mod b 可知，r= a- qb 其中，q 是正整数，则r=a-qb=mc-qnc= ( m-qn) cb=nc,r=(m-qn)c ,且n, (m-qn)互质(假设n, m-qn不互质，贝U n=xd, m-qn=yd其中x,y,d 都是正整数，且d>1贝a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b的最大公约数变成dc,与前提矛盾，所以n , m-qn —定互质)贝gcd( b,r ) =c=gcd(a,b )4 {5 int r = b; 得证。
算法的实现：最简单的方法就是应用递归算法，代码如下：1 int gcd( int a, int b)2 {3if (b==0) 4return a; 5return 6gcd(b,a%b);7 } 代码可优化如下：1 int gcd( int a, int b)2 {3return b ? gcd(b,a%b) : a;4 }当然你也可以用迭代形式： 1 int Gcd( int a, int b)2 {3while (b != 0) 6b = a % b; 7a = r;8 }a;9 return10 }扩展欧几里德算法基本算法：对于不完全为0的非负整数a , b, gcd (a, b)表示a , b的最大公约数，必然存在整数对x ，y ，使得gcd ( a，b) =ax+by。
互质数的判断技巧
互质数的判断技巧数学是一门古老而神奇的学科，其中有许多有趣的概念和定理。
互质数就是其中之一。
互质数指的是两个或多个数的最大公约数为1的情况。
在数论中，互质数有着重要的地位，它们的性质和应用广泛而深入。
本文将介绍一些判断互质数的技巧，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
首先，我们来看一下最基本的判断互质数的方法——欧几里德算法。
欧几里德算法是一种用于计算两个数的最大公约数的有效方法。
它的原理很简单：假设有两个正整数a和b，其中a>b。
我们可以用a除以b得到商q和余数r，即a=bq+r。
如果r为0，那么b就是a和b的最大公约数。
如果r不为0，那么我们继续用b除以r，得到商q'和余数r'。
我们重复这个过程，直到余数为0为止。
最后一步的除数就是a和b的最大公约数。
利用欧几里德算法，我们可以判断两个数是否互质。
如果两个数的最大公约数为1，那么它们就是互质数。
这是因为，如果两个数有一个公约数大于1，那么它们的最大公约数必然大于1。
所以，如果两个数的最大公约数为1，那么它们一定是互质数。
除了欧几里德算法，还有一种更简单的判断互质数的方法——质因数分解。
质因数分解是将一个数分解为若干个质数的乘积的过程。
例如，将12分解为2×2×3。
利用质因数分解，我们可以判断两个数是否互质。
如果两个数的质因数没有公共的质因数，那么它们就是互质数。
这是因为，如果两个数有一个公共的质因数，那么它们的最大公约数必然大于1。
所以，如果两个数的质因数没有公共的质因数，那么它们一定是互质数。
除了上述方法，还有一种更高级的判断互质数的方法——扩展欧几里德算法。
扩展欧几里德算法是一种计算两个数的最大公约数以及它们的系数的方法。
假设有两个正整数a和b，其中a>b。
我们可以用a除以b得到商q和余数r，即a=bq+r。
利用欧几里德算法，我们可以得到最大公约数d。
然后，我们可以利用递归的方法，计算出d的系数x和y，使得ax+by=d。
c++辗转相除法求最大公约数和最小公倍数
c++辗转相除法求最大公约数和最小公倍数介绍：欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数。
应用领域有数学和计算机两个方面。
计算公式gcd(a,b) =gcd(b,a mod b)。
算法简介：欧几里德算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。
是由古希腊数学家欧几里德在其著作《TheElements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里德算法。
扩展欧几里德算法可用于RSA加密等领域。
假如需要求1997 和615 两个正整数的最大公约数,用欧几里德算法，是这样进行的：1997 / 615 = 3 (余152)615 / 152 = 4(余7)152 / 7 = 21(余5)7 / 5 = 1 (余2)5 / 2 = 2 (余1)2 / 1 = 2 (余0)至此，最大公约数为1 以除数和余数反复做除法运算，当余数为0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了1997 和615的最大公约数1。
cpp代码实现#include<iostream>using namespace std;int GCD(int a, int b){int c;while (b > 0){c = a % b;a = b;b = c;}return a;}int LCM(int a,int b){int c;c = a * b / GCD(a, b);return c;}int main(){int x, y;cin >> x >> y;cout << "x和y的最大公约数为：" << GCD(x, y) << endl;cout << "x和y的最小公倍数为：" << LCM(x, y) << endl;return 0;}。
扩展欧几里德算法
扩展欧几里德算法扩展欧几里德算法是一种求解两个整数的最大公约数和一组贝祖等式的算法。
它是欧几里德算法的扩展，用于求解不仅仅是最大公约数，还有一组贝祖等式。
扩展欧几里德算法的应用非常广泛，包括密码学、线性同余方程、模运算等。
本文将介绍扩展欧几里德算法的基本原理、算法步骤和应用实例。
一、基本原理扩展欧几里德算法的基本原理是利用欧几里德算法的递归性质，将求解最大公约数的过程中，每次递归时所得到的两个余数之间的关系，通过逆向的递归过程，得到一组贝祖等式。
贝祖等式的形式为ax+by=gcd(a,b)，其中a和b是待求解的两个整数，x和y是满足等式的一组整数解，gcd(a,b)是a和b的最大公约数。
二、算法步骤扩展欧几里德算法的步骤如下：Step 1：输入待求解的两个整数a和b。
Step 2：初始化r0=a，r1=b，x0=1，y0=0，x1=0，y1=1。
Step 3：使用欧几里德算法求解a和b的最大公约数gcd(r0,r1)。
Step 4：使用递归的方式，求解贝祖等式ax+by=gcd(a,b)。
Step 5：输出结果。
算法的详细步骤如下：Step 1：输入待求解的两个整数a和b。
Step 2：初始化r0=a，r1=b，x0=1，y0=0，x1=0，y1=1。
Step 3：使用欧几里德算法求解a和b的最大公约数gcd(r0,r1)。
Step 4：使用递归的方式，求解贝祖等式ax+by=gcd(a,b)。
扩展欧几里德算法的递归过程如下：1. 如果r1=0，则返回x0和y0，此时gcd(a,b)=r0。
2. 否则，计算q=r0/r1和r2=r0-q*r1。
3. 计算x2=x0-q*x1和y2=y0-q*y1。
4. 令r0=r1，r1=r2，x0=x1，x1=x2，y0=y1，y1=y2。
5. 重复步骤1-4，直到r1=0。
Step 5：输出结果。
三、应用实例扩展欧几里德算法的应用非常广泛，包括密码学、线性同余方程、模运算等。
欧几里德与扩展欧几里德算法
欧几里德与扩展欧几里德算法1. 引言1.1 欧几里德算法简介欧几里德算法，又称辗转相除法，是一种用于计算两个整数的最大公约数的算法。
该算法由古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中首次提出。
欧几里德算法的原理非常简单，即通过不断取余数的方式，将两个整数逐步缩小，直至其中一个数为0，此时另一个数即为最大公约数。
欧几里德算法的应用非常广泛，可以用于解决诸如分数化简、判断两个数的互质性等问题。
在密码学领域中，欧几里德算法也被广泛用于计算模逆元素，从而实现加密算法的安全性。
欧几里德算法是一种简单而有效的算法，可以帮助我们快速求解两个整数的最大公约数，解决各种实际问题。
在接下来的正文中，我们将更详细地介绍欧几里德算法的原理和应用，以及与之相关的扩展欧几里德算法进行比较。
1.2 扩展欧几里德算法简介扩展欧几里德算法是欧几里德算法的一种扩展，用于解决线性同余方程的问题。
欧几里德算法主要用于求解最大公约数，而扩展欧几里德算法则可以在求解最大公约数的找到一组整数解，从而解决线性同余方程的问题。
扩展欧几里德算法的基本原理是利用递归的方式，通过不断地将两个数进行辗转相除，直到余数为0为止，然后倒序回溯，将整个过程中的商和余数记录下来，最终得到最大公约数及线性同余方程的解。
扩展欧几里德算法的应用非常广泛，特别是在密码学领域中。
在RSA加密算法中，扩展欧几里德算法常被用来计算私钥。
扩展欧几里德算法是一种非常重要的算法，它不仅可以帮助我们求解最大公约数，还可以解决线性同余方程等问题。
通过深入理解和掌握这一算法，我们可以更好地应用它来解决实际问题。
欧几里德算法与扩展欧几里德算法的比较可以进一步帮助我们理解它们各自的优势和适用范围。
2. 正文2.1 欧几里德算法的原理欧几里德算法，也称为辗转相除法，是一种用于计算两个整数的最大公约数的有效算法。
其原理基于整数的性质和最大公约数的定义。
算法的步骤如下：1. 假设有两个整数a和b，其中a大于等于b。
辗转相除法和更相减损术的原理
辗转相除法和更相减损术的原理辗转相除法和更相减损术是数学中常用的求最大公约数的方法，它们都可以有效地找到两个数的最大公约数。
在解决实际问题中，我们经常会用到这两种方法来简化计算和求解。
我们来介绍辗转相除法。
辗转相除法又称为欧几里德算法，它的基本思想是通过不断地用较小数去除较大数，然后用除数去除余数，直到余数为0为止。
这样，最后的除数就是两个数的最大公约数。
具体步骤如下：1. 用较大数除以较小数，得到余数。
2. 用上一步得到的余数去除较小数，得到新的余数。
3. 重复步骤2，直到余数为0。
4. 最后一个非零余数就是两个数的最大公约数。
举个例子来说明辗转相除法的原理。
假设我们要求解36和48的最大公约数，按照上述步骤进行计算：1. 48除以36，余数为12。
2. 36除以12，余数为0。
因此，36和48的最大公约数为12。
通过这个简单的例子，我们可以看到辗转相除法的求解过程非常简单，而且它适用于任意两个正整数的求解。
接下来，我们介绍更相减损术。
更相减损术是另一种求最大公约数的方法，它的基本思想是通过不断地用两个数的差去减小较大数，直到两个数相等为止。
这样，最后的相等数就是两个数的最大公约数。
具体步骤如下：1. 如果两个数相等，那么它们的最大公约数就是它们本身。
2. 如果两个数不相等，那么用较大数减去较小数，得到新的两个数。
3. 重复步骤2，直到两个数相等。
4. 最后一个相等的数就是两个数的最大公约数。
同样，我们通过一个例子来说明更相减损术的原理。
假设我们要求解28和42的最大公约数，按照上述步骤进行计算：1. 42减去28得到14。
2. 28减去14得到14。
因此，28和42的最大公约数为14。
通过这个例子，我们可以看到更相减损术的求解过程也非常简单，它可以有效地求解任意两个正整数的最大公约数。
辗转相除法和更相减损术都是通过不断地减小两个数之间的差距来求解最大公约数的方法。
它们的原理非常简单，适用范围广泛。
数论专题（二）数论基础知识
数论专题（⼆）数论基础知识⼆、数论基础知识1、欧⼏⾥德算法(辗转相除法)2、扩展欧⼏⾥德定理a.线性同余b.同余⽅程求解c.逆元3、中国剩余定理（孙⼦定理）4、欧拉函数a.互素b.筛选法求解欧拉函数c.欧拉定理和费马⼩定理5、容斥原理⼆、数论基础知识1、欧⼏⾥德定理（辗转相除法）定理：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)。
证明：a = kb + r = kb + a%b，则a % b = a - kb。
令d为a和b的公约数，则d|a且d|b 根据整除的组合性原则，有d|(a-kb)，即d|(a%b)。
这就说明如果d是a和b的公约数，那么d也⼀定是b和a%b的公约数，即两者的公约数是⼀样的，所以最⼤公约数也必定相等。
这个定理可以直接⽤递归实现，代码如下：int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a%b) : a;}这个函数揭⽰了⼀个约定俗成的概念，即任何⾮零整数和零的最⼤公约数为它本⾝。
【例题8】f[0] = 0, 当n>1时，f[n] = (f[n-1]+a) % b，给定a和b，问是否存在⼀个⾃然数k (0 <= k< b)，是f[n]永远都取不到的。
永远有多远？并不是本题的范畴。
但是可以发现的是这⾥的f[...]⼀定是有循环节的，如果在某个循环节内都⽆法找到那个⾃然数k，那么必定是永远都找不到了。
求出f[n]的通项公式，为f[n] = an % b，令an = kb + r，那么这⾥的r = f[n]，如果t = gcd(a, b)，r = an-kb = t ( (a/t)n -(b/t)k )，则有t|r，要满⾜所有的r使得t|r,只有当t = 1的时候，于是这个问题的解也就出来了，只要求a和b的gcd，如果gcd(a,b) > 1，则存在⼀个k使得f[n]永远都取不到，直观的理解是当gcd(a, b) > 1，那么f[n]不可能是素数。
g c d 欧 几 里 得 算 法
欧几里得算法gcd(辗转相除法)摘自百度百科描述:辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。
它的具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。
如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。
a=q*b+r;? 都为整数 gcd(a,b)=gcd(b,r);gcd(a,b)=gcd(b, a mod b );123456 和 7890 的最大公因数是 6，这可由下列步骤（其中，“a mod b”是指取 a ÷ b 的余数）看出：递归算法代码:ll gcd(ll a,ll b){ return b==0?a:gcd(b,a%b); }循环算法代码:ll gcd(ll a,ll b) {while(b^=a^=b^=a%=b);return a;}n个数的最大公约数,最小公倍数:求最小公倍数注意0的情况,gcd(x,y)可能为0.1~n求gcd,gcd(a,b,c,d)=gcd(a,gcd(b,gcd(c,d)));1~n求lcm,lcm(a,b,c,d)=lcm(a,lcm(b,lcm(c,d)));1.Neko does Maths给两个数a与b,两个数同时加上k,使得他们的最小公倍数最小求最小的lcm(a+k,b+k),(1≤a,b≤1091≤a,b≤109).?(k≥0k≥0)求最小的lcm(a+k,b+k)即求最大的gcd(a+k,b+k),假设ba,gcd(a,b)=gcd(a,b-a)(a+k)*(b+k)-gcd(a+k,b-a),b-a已知,枚举b-a的因子,即可求得答案(a+k)%i==0,(a%i+k%i)==(1||0),=?k=(i-a%i)%i#includebits-stdc++.h#define ll long longusing namespace std;vectorint vc;ll gcd(ll a,ll b)return b==0?a:gcd(b,a%b);ll lcm(ll a,ll b)return a*(b-gcd(a,b));int main()swap(a,b);ll c=b-a;for(ll i=1;i*i=c;i++)if(c%i==0)vc.push_back(i);vc.push_back(c-i);ll ans=1e18,qq=0;for(ll i=0;ivc.size();i++)ll v=vc[i];ll k=(v-a%v)%v;ll lcmi=lcm(a+k,b-a);if(lcmians||(lcmi==anskqq))ans=lcmi;printf("%lld",qq);return 0;a与b的最小公倍数=a*b-(gcd(a,b))先求出最大公约数在求最小公倍数2.Minimum Possible LCM给定n个数,选择两个数,使得他们的lcm最小lcm(a,b)=a*b-gcd(a,b),最小的lcm,一定是有公共因子的枚举1~max因子,最小的lcm一定是有该因子的最小的呢两个数总复杂度为O(n*logn),注意可能存在两个相同的数,要特殊判断#includebits-stdc++.h#define ll long long#define MAXN 10000005using namespace std;int a[MAXN],pos[MAXN];int gcd(int a,int b)return b==0?a:gcd(b,a%b);int main()int n,x,aa=0,bb=0,maxn=0; ll maxs=99999999999999; scanf("%d",n);for(int i=1;i=n;i++)scanf("%d",x);if(a[x]1xmaxs)--特殊判断 aa=pos[x];else pos[x]=i;maxn=max(maxn,x);for(int i=1;i=maxn;i++) for(int j=i;j=maxn;j+=i) if(a[j]==0)continue;if(cas==0)ll t=gcd(cas,j);ll lcm=cas*(j-t);if(lcmmaxs)maxs=lcm;aa=pos[cas];bb=pos[j];if(aabb)swap(aa,bb);printf("%d %d",aa,bb);return 0;一个数组,数组中可以相邻两个的求gcd,然后赋给任意一个,求最快把数组中所以都变成1的步数如果变不出,输出-1如果所有的数的最大公约数gcd(a1,a2,a3,a4.)不是1,呢么不论怎么变换,都只能变换成总gcd,出现无解如果a1~an中存在一个1,呢么ans=n-sum(1)gcd(a1,a2,a3,a4.)=先求a1和a2gcd,赋给a2,再求a2和a3的gcd,赋给a3,类推gcd(a,b,c,d)=gcd(gcd(gcd(a,b),c),d)#includebits-stdc++.h#define MAXN 2005#define ll long longusing namespace std;--先变一个1出来ll gcd(ll a,ll b)return b==0?a:gcd(b,a%b);int a[MAXN]={0};int main()int n,ans=999999,sum=0;scanf("%d",n);for(int i=1;i=n;i++)scanf("%d",a[i]);if(a[i]!=1)if(sum!=n)printf("%d",sum);for(int i=1;in;i++)int t=a[i];for(int j=i+1;j=n;j++)t=gcd(t,a[j]);if(t==1)ans=min(ans,j-i);if(ans=2000)printf("-1");else printf("%d",ans+n-1);return 0;水题:数学解析:求公共约数,先求最大公约数x,然后遍历sqrt(x),得因子,再去重贝祖等式:对于不全为0的整数a,b,和d,方程s*a+t*b=d存在整数解s和t当且仅当gcd(a,b)|ds*a+t*b=d称为贝祖等式如果 n|(a-b), 则a与b模n同余,记作a≡b( mod n ),n称为模a≡b( mod n ),c≡b( mod n ),则 a +(-) c=b +(-) c (mod n),a*c=b*d(mod n)黑妹最近在玩一个有趣的游戏，游戏规则是这样的：刚开始黑板上有三个不同的初始数字，然后黑妹每一次可以选择黑板上的两个不同的数字，然后计算出这两个不同数字之差的绝对值，如果黑板上没有这个数字，那么就把这个新数字写在黑板上。
欧几里德算法最大公约数
欧几里德算法最大公约数好嘞，今天我们来聊聊一个看似有点枯燥，但其实挺有意思的话题——欧几里德算法和最大公约数。
嘿，别一听就打哈欠哦！听我慢慢说，这里面可是有趣的故事和奇妙的数学世界呢。
我们得搞清楚什么是最大公约数。
想象一下，两个数字，像小朋友一样，在玩捉迷藏。
它们都想找出能被它们整除的最大数字，嘿，这个数字就是它们的最大公约数。
简单来说，就是能同时“亲吻”这两个数字的最大“朋友”。
比如说，8和12的最大公约数是4，因为4既能整除8，也能整除12。
这就像找到一群朋友中最受欢迎的那一个，大家都喜欢它，哈哈。
欧几里德算法是什么呢？它其实就是一个找朋友的技巧，嘿，真不简单！这个算法的发明者欧几里德可是个聪明的家伙，生活在古希腊，他用一种非常巧妙的方法来找出最大公约数。
想象一下，如果你有两个数字，咱们就叫它们A和B。
咱们把大的那个数减去小的那个数，直到变成0。
你看，这就像是在玩“谁能跑得更快”，大数总是想往小数那边靠。
通过一轮轮的“追逐”，最后剩下的那个数就是它们的最大公约数。
听上去简单吧？其实过程还挺有趣的！不过，别以为这就完了！你可以用这种方法反复做，直到你找到那个数字。
比如说，咱们来个例子，假如有个数A是48，B是18。
48减去18，得30。
然后，30减去18，得12。
18减去12，得6。
再来一轮，12减去6，得6。
6减去6，嘿，游戏结束，最大公约数就是6。
多神奇啊，这个算法就像一场游戏，让人忍不住想继续玩下去。
生活中也处处可以用到最大公约数。
想象一下，你和朋友们一起去吃火锅，每个人都想点不同的菜，大家的预算也不一样。
这时候，你就可以用最大公约数来计算，最后大家都能吃得开心又划算。
这种时候，如果能找到一个合理的分配方式，那可是事半功倍，大家心里都乐开了花。
还有哦，数学中的很多概念都和最大公约数有关系，比如分数的简化。
我们总是希望分数看起来更简单，更好理解。
假如你有个分数，比如12/16。
找到它们的最大公约数是4，然后把分子和分母都除以4，结果就是3/4。
欧几里德扩展算法求多项式乘法逆元
欧几里德扩展算法求多项式乘法逆元在数学的世界里，有个东西叫多项式。
说白了，它就是由变量和常数构成的一种数学表达式，像是“3x^2 + 2x + 1”这种。
不说你可能觉得没什么，实际在很多地方都用得到。
可你知道吗，有些时候我们需要找一个“逆元”，就像在生活中找个朋友互相帮助一样，互相成就。
这个时候，欧几里德扩展算法就会派上用场了。
想象一下，你和朋友一起去超市买东西，你们有各自的预算，结果买完东西一算，发现你们花的钱总和正好就是你们的预算。
多开心啊！可要是其中一个人花了超出预算，怎么办呢？这时候就需要“逆元”了。
简单来说，逆元就像是你花的那些钱的“反向操作”，让你又回到最开始的预算上。
数学里的逆元就是要找到一个多项式，让它和原来的多项式相乘，结果等于1。
这听起来是不是有点复杂？但实际上，跟朋友一起合作，互相帮助一样，找到这个逆元其实也能挺有趣的。
在多项式的世界里，欧几里德扩展算法就像是个聪明的智者，帮我们找到这个逆元。
先说说什么是欧几里德算法。
其实很简单，它就是一种求最大公约数的方法。
想象一下，你有两个数字，一个是你家里的小狗的年龄，另一个是你奶奶的岁数。
你想知道它们的最大公约数，也就是两者共同的“朋友圈”有多大。
用欧几里德算法，你可以一步一步把大数字变小，最后找到那个共同的“朋友”。
可是，等到多项式的世界里，事情就有点不同了。
你得用扩展版的欧几里德算法，毕竟这里的“朋友”不止两个。
有了多项式，怎么求逆元呢？得设定一个模，比如一个素数，这样就能在这个范围内找到逆元。
想象你在打麻将，得有个圈子才能玩下去，不然大家都不知所措。
咱们就开始动手了。
先用欧几里德算法找出原多项式和模之间的关系。
这就像你和朋友打扑克，先得把牌理顺，看看谁的牌大。
然后用扩展算法，逐步找出每一步的系数，像是记录下你们在超市里每一项开支，最后再加起来，找出最终的结果。
这个过程其实挺有趣的，像是在玩一场智慧的游戏，时不时还会有意想不到的收获。
欧几里德算法与最小公倍数教学策略
欧几里德算法与最小公倍数教学策略在数学教学中，欧几里德算法和最小公倍数是两个重要的概念。
欧几里德算法用于求解两个数的最大公约数，而最小公倍数则是求解两个数的最小公倍数。
这两个概念在数学中有着广泛的应用，因此在教学中如何有效地传授这两个概念至关重要。
首先，为了让学生更好地理解欧几里德算法和最小公倍数的概念，教师可以通过生活中的例子进行引导。
例如，教师可以让学生思考如何用欧几里德算法求解两个数的最大公约数，然后将这个过程与他们在日常生活中遇到的问题联系起来。
比如，如果学生需要将一块巧克力平均分给几个人，他们可以利用欧几里德算法来确定每个人能够得到的巧克力数量。
其次，为了帮助学生更好地理解最小公倍数的概念，教师可以通过数学游戏或互动活动来引导学生进行探索。
例如，教师可以给学生一些数字卡片，让他们尝试找出这些数字的最小公倍数。
通过这种互动的方式，学生可以在实践中理解最小公倍数的概念，并且能够更好地应用到实际问题中。
此外，为了提高学生对欧几里德算法和最小公倍数的掌握程度，教师可以设计一些有趣的练习题。
这些练习题可以包括填空题、选择题和解答题等不同形式，以满足不同学生的需求。
通过这些练习题，学生可以通过不同的方式来运用欧几里德算法和最小公倍数的知识，从而提高他们的学习效果。
除了以上的教学策略，教师还可以利用多媒体技术来辅助教学。
例如，教师可以使用幻灯片或视频来展示欧几里德算法和最小公倍数的概念和应用。
通过这种方式，学生可以更直观地理解这两个概念，并且能够更好地记忆和运用。
最后，在教学过程中，教师还应该注重培养学生的问题解决能力和思维能力。
例如，教师可以给学生一些开放性的问题，让他们通过运用欧几里德算法和最小公倍数的知识来解决。
通过这种方式，学生可以培养他们的创造性思维和解决问题的能力，从而更好地应用到实际生活中。
总之，欧几里德算法和最小公倍数是数学教学中的重要概念，教师应该通过生活中的例子、数学游戏、练习题和多媒体技术等多种方式来教授这两个概念。
求最大公因数的方法辗转相除法程序算法
求最大公因数的方法-辗转相除法程序算法在数学中，两个数的最大公因数是指两个数公有的约数中最大的一个。
求最大公因数是数论中常见的问题，有很多种方法可以求解，其中辗转相除法是一种简单而有效的方法。
一、辗转相除法的原理辗转相除法，又称欧几里德算法，是古希腊数学家欧几里德提出的一种求最大公因数的方法。
它的原理很简单：对于两个整数a和b(a>b)，设c为a与b的余数，即c=ab。
则a与b的最大公因数等于b与c的最大公因数。
利用这个性质，我们可以用递归的方式不断地求解，直到余数为0，此时b即为最大公因数。
我们不断地用两个数的余数来替换这两个数，直到余数为0，此时较小的那个数就是最大公因数。
二、辗转相除法的程序算法下面通过一个简单的Python程序来实现辗转相除法。
具体代码如下：```pythondef gcd(a, b):if b == 0:return aelse:return gcd(b, a b)```这个程序实现了求解最大公因数的功能。
我们可以通过调用gcd函数，传入两个整数a和b，即可得到它们的最大公因数。
下面我们来解释一下这个程序的原理。
我们定义了一个函数gcd，这个函数接受两个参数a和b。
在函数内部，我们使用递归的方式来求解最大公因数。
首先判断如果b为0，即余数为0，那么a就是最大公因数，直接返回a。
否则，我们返回调用gcd函数，传入参数b和ab，即b和a对b取余的结果。
这样就实现了不断用余数来替换两个数，直到余数为0，返回较小的那个数的功能。
三、辗转相除法的应用辗转相除法是求解最大公因数的经典方法，它在实际应用中有着广泛的意义。
在分数化简、约分、判断两个数是否互质等问题中，求最大公因数都是必不可少的。
而辗转相除法作为一种简单而有效的方法，被广泛地应用在这些问题中。
辗转相除法也在密码学领域有着重要的应用。
在RSA加密算法中，求解两个大素数的最大公因数是加密的关键步骤，而辗转相除法正是用来解决这个问题的。
欧几里德延伸演算法
2.2 模數算數
前一節所討論的除法關係 (a = q × n + r) 有兩個輸入值 (a 和 n) 以及兩個輸出值 (q 和 r)。在模數算術中，我們只對其中 一個輸出值餘數 r 感興趣。
2.2 模數算數 (續)
1.2 整數算數 (續)
在本節討論的主題：
整數集合 二元運算 整數除法 整除性 線性Diophantine方程式
2.1.1 整數集合
整數集合，標記為 Z，是從負無窮大到 正無窮大的所有整數形成的集合(圖 2.1)
圖 2.1 整數集合
2.1.2 二元運算
在密碼學中，我們對於三種作用於整數 集合的二元運算 (binary operation) 感到 興趣。二元運算可接受兩個輸入值，然 後產生一個輸出值。
歐幾里德延伸演算法
給定兩個整數 a 和 b，我們時常需要去 找出另外兩個整數 s 和 t，使得
歐幾里德延伸演算法可以同時計算出 gcd (a, b) 以及 s 和 t 的值。
圖 2.8 歐幾里德延伸演算法
圖 2.8 歐幾里德延伸演算法 (續)
範例2.9
給定 a = 161 和 b = 28，求出 gcd (a, b) 以及 s 和 t 的值。 解法：我們得到 gcd (161, 28) = 7，s = −1 和 t = 6。
範例2.10
給定 a = 17和 b = 0，求出 gcd (a, b) 以 及 s 和 t 的值。 解法：我們得到 gcd (17, 0) = 17，s = 1 和 t = 0。
二进制辗转相除法
二进制辗转相除法
二进制辗转相除法是一种用于求两个二进制数的最大公因数的方法。
这种方法基于辗转相除法的原理，但在二进制数上进行操作。
辗转相除法，又称欧几里德算法，原本是用于求两个整数的最大公因数(GCD) 的。
原理是：两个整数的最大公因数等于其中较小的数和两数的差的最大公因数。
将这一原理应用于二进制数时，首先，将两个二进制数进行相除，得到商和余数。
接着，再将商和余数进行相除，如此反复，直到余数为0。
最后一步的除数，就是这两个二进制数的最大公因数。
需要注意的是，二进制的除法借位是借1当2，这与十进制的借1当10是不同的。
因此，在进行二进制辗转相除时，需要按照二进制数的运算规则来进行。
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t1 = x1 - k * y1;
x1 = y1;
x1 = y2;
x3 = y3;
y1 = t1;
得证
因此，当最终t3迭代计算到1时，有t1× a + t2 × b = 1，显然，t1是a模b的乘法逆元，t2是b模a的乘法逆元。
第一行：1 × a + 0 × b = a成立
第二行：0 × a + 1 × b = b成立
假设前k行都成立，考察第k+1行
对于k-1行和k行有
t1(k-1) t2(k-1) t3(k-1)
t1(k) t2(k) t3(k)
分别满足：
t1(k-1) × a + t2(k-1) × b = t3(k-1)
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
return b;
}
if( 0 == b)
{
return a;
}
if(a > b)
{
swap(a,b);
}
首先重复拙作整除中的一个论断：
如果gcd(a,b)=d，则存在m,n，使得d = ma + nb，称呼这种关系为a、b组合整数d，m，n称为组合系数。当d=1时，有 ma + nb = 1 ，此时可以看出m是a模b的乘法逆元，n是b模a的乘法逆元。
为了证明上面的结论，我们把上述计算中xi、yi看成ti的迭代初始值，考察一组数(t1,t2,t3)，用归纳法证明：当通过扩展欧几里德算法计算后，每一行都满足a×t1 + b×t2 = t3
t1(k) × a + t2(k) × b = t3(k)
根据扩展欧几里德算法，假设t3(k-1) = j t3(k) + r
则：
t3(k+1) = r
t2(k+1) = t2(k-1) - j × t2(k)
t1(k+1) = t1(k-1) - j × t1(k)
y2 = 1;
y3 = b;
int k;
for( t3 = x3 % y3 ; t3 != 0 ; t3 = x3 % y3)
{
k = x3 / y3;
y2 = t2;
y3 = t3;
}
if( y3 == 1)
{
//有乘法逆元
ar = y2;
br = x1;
return 1;
}else{
//公约数不为1，无乘法逆元
t = s;
s = n;
n = t - ( x / y ) * n ;
}
}
扩展欧几里德算法对于最大公约数的计算和普通欧几里德算法是一致的。计算乘法逆元则显得很难明白。我想了半个小时才想出证明他的方法。
则ab = kp +1 ，所以1 = ab - kp
因为gcd(a,p) = d
所以d | 1
所以d只能为1
扩展欧几里德算法扩展欧几里德算法不但能计算(a,b)的最大公约数，而且能计算a模b及b模a的乘法逆元，用C语言描述如下：
int gcd(int a,int b,int& ar,int& br)
{
long long t;
if ( y == 0 )
{
p = x;
s = 1; n = 0;
}
else
{
Extended_Euclid_gcd( y , x % y , s , n );
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：
void swap(int & a, int & b)
{
int c = a;
a = b;
b = c;
}
int gcd(int a,intБайду номын сангаасb)
{
if(0 == a )
{
ar = 0;
br = 0;
return y3;
}
}
另一模板
void Extended_Euclid_gcd( long long x , long long y , long long &s , long long &n)
{
int x1,x2,x3;
int y1,y2,y3;
int t1,t2,t3;
if(0 == a)
{//有一个数为0，就不存在乘法逆元
ar = 0;
br = 0;
return b;
}
if(0 == b)
int c;
for(c = a % b ; c > 0 ; c = a % b)
{
a = b;
b = c;
}
return b;
}
模P乘法逆元对于整数a、p，如果存在整数b，满足ab mod p =1，则说，b是a的模p乘法逆元。
定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1
证明：
首先证明充分性
如果gcd(a,p) = 1，根据欧拉定理，aφ(p) ≡ 1 mod p，因此
显然aφ(p)-1 mod p是a的模p乘法逆元。
再证明必要性
假设存在a模p的乘法逆元为b
ab ≡ 1 mod p
{
ar = 0;
br = 0 ;
return a;
}
x1 = 1;
x2 = 0;
x3 = a;
y1 = 0;
则
t1(k+1) × a + t2(k+1) × b
=t1(k-1) × a - j × t1(k) × a +
t2(k-1) × b - j × t2(k) × b
= t3(k-1) - j t3(k) = r
= t3(k+1)