扩展欧几里得算法详细举例解析

扩展欧几里得算法

什么是GCD？

GCD是最大公约数的简称（当然理解为我们伟大的党也未尝不可）。在开头，我们先下几个定义：

①a|b表示a能整除b（a是b的约数）

②a mod b表示a-[a/b]b（[a/b]在Pascal中相当于a div b）。即有a|b <=> b mod a=0。

③gcd(a,b)表示a和b的最大公约数

④a和b的线性组合表示ax+by（x,y为整数）。我们有：若d|a且d|b，则d|ax+by（这很重要！）

线性组合与GCD

现在我们证明一个重要的定理：gcd(a,b)是a和b的最小的正线性组合。

例：a=6 b=4，最小正线性组合为1*a+(-1)*b=2=gcd(a,b)。

证明：

设gcd(a,b)为d，a和b的最小的正线性组合为s

∵d|a且d|b，

∴d|s。

而a mod s=a-[a/s]s

=a-[a/s](ax+by)

=a(1-[a/s]x)-b[a/s]y

亦为a和b的线性组合

∵a mod s

∴a mod s=0，即s|a

同理由s|b

∴s为a,b的公约数

∴s<=d

∵d|s

∴d=s。证毕。

由这条定理易推知：若d|a且d|b，则d|gcd(a,b)

Euclid算法

现在的问题是如何快速的求gcd(a,b)。穷举明显不是一个好方法（O(n)），所以需要一个更好的方法。

首先我们先提出一个定理：gcd(a,b)=gcd(b,a-bx)（x为正整数）。

证明：

设gcd(a,b)=d,gcd(b,a-bx)=e,则

∵d|a,d|b

∴d|a-bx

∴d|gcd(b,a-bx)，即d|e

∵e|b,e|a-bx

∴e|bx+(a-bx)，即e|a

∴e|gcd(a,b)，即e|d

∴d=e。证毕。

这个定理非常有用，因为它能快速地降低数据规模。

当x=1时，gcd(a,b)=gcd(b,a-b)。这就是辗转相减法。

当x达到最大时，即x=[a/b]时，gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。这个就是Euclid算法。它是不是Euclid提出的我不知道，但听说是在Euclid时代形成的，所以就叫Euclid算法了。程序非常的简单：

function Euclid(a,b:longint):longint;

begin

if b=0 then exit(a)

else exit(Euclid(b,a mod b));

end;

Euclid算法比辗转相减法好，不仅好在速度快，而且用起来也方便。两种算法都有一个隐含的限制：a>=b。用辗转相减法时，必须先判断大小，而Euclid算法不然。若a

扩展Euclid

前面我们说过，gcd(a,b)可以表示为a和b的最小的正线性组合。现在我们就要求这个最小的正线性组合ax+by中的x和y。这个可以利用我们的Euclid算法。

从最简单的情况开始。

当b=0时，我们取x=1,y=0。

例：a=5，b=0，最小正线性组合为5*1+y*0=5,y为任意整数。这里为方便起见规定此时y=0。

当b≠0时呢？

假设gcd(a,b)=d ，则gcd(b,a mod b)=d 。若我们已经求出了gcd(b,a mod b)的线性组合表示bx'+(a mod b)y'，则 gcd(a,b)=d

=bx'+(a mod b)y' =bx'+(a-[a/b]b)y'

=ay'+b(x'-[a/b]y')

那么，x=y'，y=x'-[a/b]y'。这样就可以在Euclid 的递归过程中求出x 和y 。

程序：

function gcd(a,b:longint):longint;

var p,n:longint;

begin

if b=0 then

begin

x:=1;

y:=0;

exit(a);

end

else

begin

p:=gcd(b,a mod b);

n:=x;

x:=y;

y:=n-a div b*y;

exit(p);

end ;

end ;

我们现在还有一个问题：x,y 是不是确定的？答案：不是。如果x,y 符合要求，那么x+bk,y-ak 也符合要求。不确定的原因在于这一句：“当b=0时，我们取x=1,y=0。”实际上y 可以取任何正整数。

以gcd(26,15)为例： (26,15)

X=-4 Y=3-1*(-4)=7 26*(-4)+15*7=1 ↑

(15,11)

X=3 Y=-1-1*3=-4 15*3+11*(-4)=1 (11,4)

X=-1 Y=1-2*(-1)=3 11*(-1)+4*3=1 (4,3)

X=1 Y=0-1*1=-1 4*1+3*(-1)=1 (3,1)

X=0 Y=1-3*0=1 3*0+1*1=1 (1,0)

X=1 Y=0 1*1+0*0=1

不定方程ax+by=c

现在终于到了本文重点：解二元一次不定方程。看起来扩展Euclid算法是不定方程的一种特殊情况，实际上呢，不定方程却是用Euclid算法解的。

对于不定方程ax+by=c，设gcd(a,b)=d，如果ax+by=c有解，则d|c（这也是许多奥数题的切入点）。所以一旦d不是c的约数，那么ax+by=c一定无解。当d|c时，先求出ax’+by’=d=gcd(a,b)的x'和y'，由于已经有ax’+by’=d，要求ax’+by’=c，将整个式子同乘c/d倍即可。则x=x'*c/d，

y=y'*c/d。由上一段可知，只要ax+by=c有一个解，它就有无数个解。

Euclid算法还可以求解同余方程ax≡b(mod m)及其最小x。这其实和不定方程ax+my=b没有区别。（不定方程和同余方程一般都有范围限制，这其实也很容易解决，就不说了）

其他

初等数论中最基础的就是GCD以及其相关问题了。实际上，更深层次的初等数论还包括：◆中国剩余定理

◆Miller-Rabin素性测试

◆pollard rho算法

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Htfy96@修改于2012/11/21