信息安全技术作业-扩展欧几里得算法编写求解乘法逆元
欧几里德扩展算法求多项式乘法逆元
欧几里德扩展算法求多项式乘法逆元在数学的世界里，有个东西叫多项式。
说白了，它就是由变量和常数构成的一种数学表达式，像是“3x^2 + 2x + 1”这种。
不说你可能觉得没什么，实际在很多地方都用得到。
可你知道吗，有些时候我们需要找一个“逆元”，就像在生活中找个朋友互相帮助一样，互相成就。
这个时候，欧几里德扩展算法就会派上用场了。
想象一下，你和朋友一起去超市买东西，你们有各自的预算，结果买完东西一算，发现你们花的钱总和正好就是你们的预算。
多开心啊！可要是其中一个人花了超出预算，怎么办呢？这时候就需要“逆元”了。
简单来说，逆元就像是你花的那些钱的“反向操作”，让你又回到最开始的预算上。
数学里的逆元就是要找到一个多项式，让它和原来的多项式相乘，结果等于1。
这听起来是不是有点复杂？但实际上，跟朋友一起合作，互相帮助一样，找到这个逆元其实也能挺有趣的。
在多项式的世界里，欧几里德扩展算法就像是个聪明的智者，帮我们找到这个逆元。
先说说什么是欧几里德算法。
其实很简单，它就是一种求最大公约数的方法。
想象一下，你有两个数字，一个是你家里的小狗的年龄，另一个是你奶奶的岁数。
你想知道它们的最大公约数，也就是两者共同的“朋友圈”有多大。
用欧几里德算法，你可以一步一步把大数字变小，最后找到那个共同的“朋友”。
可是，等到多项式的世界里，事情就有点不同了。
你得用扩展版的欧几里德算法，毕竟这里的“朋友”不止两个。
有了多项式，怎么求逆元呢？得设定一个模，比如一个素数，这样就能在这个范围内找到逆元。
想象你在打麻将，得有个圈子才能玩下去，不然大家都不知所措。
咱们就开始动手了。
先用欧几里德算法找出原多项式和模之间的关系。
这就像你和朋友打扑克，先得把牌理顺，看看谁的牌大。
然后用扩展算法，逐步找出每一步的系数，像是记录下你们在超市里每一项开支，最后再加起来，找出最终的结果。
这个过程其实挺有趣的，像是在玩一场智慧的游戏，时不时还会有意想不到的收获。
解 二 元 一 次 方 程 — — — 拓 展 欧 几 里 得 算 法
欧几里得算法与扩展欧几里得算法（求二元一次不定方程、乘法逆元）1.欧几里得算法，即辗转相除法。
用于求两个整数的最大公约数比较方便，时间复杂度为O（logN）N为两个整数的规模。
最大公约数，是能够同时被两个整数整除的最大整数。
比如说，求56和21的最大公约数：（每行数分别代表a=56,b=21,a%b）此时得到最大公约数为7。
递归代码如下：int gcd(int a, int b)return b ? gcd(b, a%b) : a;2.扩展欧几里得算法顾名思义，扩展欧几里得算法就是对欧几里得算法的扩展，可以应用于求二元一次方程的通解、乘法逆元等。
对于上面的欧几里得算法，当递归到出口时，a=7,b=0。
很容易就可以得到一组ax+by=7的解：x=1,y=0。
那么如何通过7x+y=7的解逆推出56x+21y=7的解呢？对于欧几里得算法的每一个状态，都存在ax+by=gcd(a,b)的解，我们假设有这样两组解（且他们为相邻状态）：ax1+by1=gcd(a,b)a'x2+b'y2=gcd(a',b')那么可以知道：a'=b b'=a%b 且gcd(a',b')=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)，所以有ax1+by1=bx2+(a%b)y2 另a%b可写为 a-a-b所以有 ax1+by1=bx2+(a-(a-b)b)y2故ax1+by1=ay2+bx2+(a-b)by2故ax1=ay2 by1 = b(x2+ (a-b)by2)故 x1=y2 y1 = x2 +(a-b)y2故可以得到x1,y1与x2,y2的关系 : x1=y2 y1 = x2 +(a-b)y2我们已知的是最后一组解，那么就要根据最后一组解逆推上去，就可以得到ax+by=gcd(a,b)的一组解了。
代码如下：int exgcd(int a, int b, intx, int y)return a;int r = exgcd(b, a%b, x, y); --递归到求出公约数，开始倒着求每一组的x,y。
Euclid算法及扩展在密码学中的研究和应用
第
16 卷 第 2006 年 11
11 月
期
计算机技术与发展
COMPU TER TECHNOLO GY AND DEV ELOPM EN T
1 相关背景 定义 1 设 a , b 是任意整数 ,如果存在整数 c ,使有 a
= bc ,则称 a 是 b 的倍数 , b 是 a 的因数 ;亦说 a 被 b 整除 , 或 b 整除 a ,记为 b | a 。
定理 1 设 a , b 是任意整数且 b ≠0 ,则惟一存在整 数 q 和 r ,使得 0 ≤ r < | b | , a = qb + r 。若 r > 0 ,则称 q 为带余除法的不完全商 ,称 r 为 b 除 a 的余数 。
qi 1 1 0
=- 1
及|
A i | = ( - 1) i ,知存在
Ti V i S i Ui
-1
,且
Ti V i S i Ui
-1
=
Ai 3 | Ai |
=
( - 1) i Ui ( - 1) i +1 V i ( - 1) i +1 S i ( - 1) i Ui
于是有
ri- 1
- s’qi) a + ( t’ - t’qi) b 。 即知所证成立 。
定理 2 引申 :使用矩阵知识 ,构造结论式 d = sa + tb
中的 s 和 t 。
改写并扩展定理 2 证明中的辗转相除式为 :
a
扩展的欧几里得算法
扩展的欧几里得算法扩展的欧几里得算法是一种求解最大公约数的算法，也被称为扩展欧几里得算法或扩展辗转相除法。
它不仅可以求出最大公约数，还可以求出一组使得两个数的线性组合等于最大公约数的系数。
本文将介绍扩展的欧几里得算法的原理、应用及其优化。
一、原理扩展的欧几里得算法是基于欧几里得算法（辗转相除法）的扩展。
欧几里得算法是一种求解最大公约数的方法，其基本思想是：用较小的数除较大的数，再用余数去除除数，如此反复，直到余数为零为止。
最后的除数就是最大公约数。
例如，求出48和18的最大公约数，过程如下：48 ÷ 18 = 2 (12)18 ÷ 12 = 1 (6)12 ÷ 6 = 2 0因此，最大公约数是6。
扩展的欧几里得算法的主要思想是在欧几里得算法的基础上，求出一组使得两个数的线性组合等于最大公约数的系数。
设a、b为两个正整数，d为它们的最大公约数，那么必定存在整数x和y，使得ax + by = d。
扩展的欧几里得算法就是通过辗转相除的过程，递归求解x和y的值。
具体来说，假设a、b为两个正整数，d为它们的最大公约数，且a > b。
则有：1. 如果b = 0，那么d = a，此时x = 1，y = 0。
2. 如果b ≠ 0，那么可以将a除以b，得到a = bq + r（其中q为a÷b的商，r为余数）。
因为d是a和b的公约数，所以d也是b和r的公约数。
因此，可以递归地求解b和r的系数x1和y1，即有：bx1 + ry1 = d由于a = bq + r，可以将其代入上式，得到：bx1 + (a - bq)y1 = d展开后得到：ay1 + b(x1 - qy1) = d因此，x = y1，y = x1 - qy1。
通过递归求解，最终可以得到x和y的值，从而求出a和b的最大公约数d以及一组使得两个数的线性组合等于最大公约数的系数。
二、应用扩展的欧几里得算法在密码学、数论、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
用扩展欧几里得算法求乘法逆元例题
用扩展欧几里得算法求乘法逆元例题扩展欧几里得算法是计算两个整数的最大公约数的算法，并且可以根据最大公约数得到一组解，用于求解线性同余方程的解，也可以用来求乘法逆元。
下面以求解$a$的乘法逆元为例，即寻找一个整数$x$，使得$a times x equiv 1 (text{mod} p)$，其中$p$是一个质数。
使用扩展欧几里得算法，先计算$a$和$p$的最大公约数$gcd(a,p)$，假设为$d$，则有：$gcd(a,p) = d = ax + py$，其中$x$和$y$是扩展欧几里得算法得到的一组解。
由于$d$是$a$和$p$的最大公约数，所以$d$必定是$a$的约数，即$d|a$。
同时，由于$p$是质数，所以$d$不可能是$p$的约数，即$d$与$p$互质。
因此，我们可以将等式两边同时除以$d$，得到：$dfrac{a}{d}x + dfrac{p}{d}y = 1$由于$d$与$p$互质，所以$dfrac{p}{d}$的乘法逆元存在，假设为$k$，即$dfrac{p}{d} times k equiv 1 (text{mod} d)$。
将$k$乘到等式两边，得到：$dfrac{a}{d} times k times x + dfrac{p}{d} times k times y = k$由于$dfrac{p}{d} times k equiv 1 (text{mod} d)$，所以可以将$dfrac{p}{d} times k$替换为$z$，得到：$dfrac{a}{d} times k times x + z times y = k$这个等式可以看成是一个线性同余方程$dfrac{a}{d} times k times x + z times y equiv k (text{mod} d)$，使用扩展欧几里得算法求解即可得到$x$的值。
总结一下求乘法逆元的步骤：1. 使用扩展欧几里得算法计算$a$和$p$的最大公约数$gcd(a,p)$，得到一组解$x$和$y$，使得$gcd(a,p) = ax + py$。
扩展欧几里得算法描述
扩展欧几里得算法：欧几里得算法中，计算x, y 的最大公约数的方法是辗转相除，例如：gcd (26, 15)26 % 15 = 1 (11)15 % 11 = 1 (4)11 % 4 = 2 (3)4 % 3 = 1 (1)3 % 1 = 3 0可知，gcd (26, 15) = 1如果gcd(x, y) = r，那么有ax + by = r，可以看出，上面的步骤实际上是可以直接得出a, b 的：null26 % 15 = 1 ... 11 => 11 = 26 - 15 1 1 -115 % 11 = 1 ... 4 => 4 = 15 - 11 = 15 - (26 - 15) = -26 + 2*15 1 -1 211 % 4 = 2 ... 3 => 3 = 11 - 4*2 = (26 - 15) - (-26 + 15) * 2 = 3*26 -5*15 2 3 -54 % 3 = 1 ... 1 => 1 = 4 - 3 = (-26 + 2*15) - (3*26 - 5*15) = -4*26 +7*15 1 -4 73 % 1 = 3 0在每一轮，我们都可以得到一个模的表达式为：ri = aix + biy如果不考虑第一轮和第二轮，那么ai 和bi 可以表示为(qi 为每一轮得到的商)：a i = a i-2 - q i * a i-1b i = b i-2 - q i * b i-1证明如下：输入：x,y,则有如下：x/y=q1…..r1 =>r1=x-q1*yy/r1=q2…r2 =>r2=y-q2*r1=y-q2*(x-q1*y)=-q2*x+(1+q2*q1)*y r1/r2=q3…r3 =>r3=r1-q3*r2=(x-q1*y)-q3*(-q2*x+(1+q2*q1)*y)=(1+q2*q3)x+(-q1-q3*(1+q2*q3))*y则可以看出有：a3=1+q3*q2=a1-q3*a2B3=b1-q3*b2由此可以推测出：a i = a i-2 - q i * a i-1b i = b i-2 - q i * b i-1但是a1,b1,a2,b2比较特别：a1=1=a-1 – q1*a0b1=-q1=b-1 – q1*b0由此我们可以知道a-1=1,a0=0,b-1=0,b0=1即可满足。
分数求模(取余)过程 乘法逆元
分数的模运算在ECC加密算法中需要用到对分数的模运算，但大多的资料只给结果没有给计算过程，就连初等数论书上面也找不到计算方法，搜索了一下，终于在网上找到了相关资料，用的思路其实还是整数模运算的，直接copy下来下面是“分数”模运算的定义：b, m互质（互为素数）k = a/b (mod m) <=> kb = a (mod m)这里求x = 1/17 (mod 2668)<=>17x = 1 (mod 2668)<=>17x = 2668k + 1 （k∈整数）取合适的k使得17|(2668k+1) 【应该是17能被(2668k+1)整除,也即17x mod 2668 = 1】这里刚好17 | (2668 + 1)所以k = 1, x = (2668+1)/17 = 157当然，当k = 1 + 17n 时，x = (2668 + 17·n·2668 + 1)/17 = 157 + 2668n也符合条件（n任意整数）但如果限定2668 > x > 0，x是唯一的。
2008-03-20 20:13:27]字号：大while(scanf("%d%d",&d,&f)==2){printf("Enclid : gcd(%d,%d)=%d\n",d,f,Enclid(d,f));res=ExtEnclid(d,f);if(res==0) printf("Not Exist the d^-1\n");elseif(res>0) printf("ExtenderEnclid : d^-1 = %d , %d * %d = 1 mod %d\n",res,d,res,f);else{printf("ExtenderEnclid : d^-1 = (%d) ,%d * (%d) = 1 mod %d\n",res,d,res,f); printf("ExtenderEnclid : d^-1 = %d , %d * %d = 1 mod %d\n",res+f,d,res+f,f);}}return 0;}用扩展的欧几里德算法简单描述如下：ExtendedEuclid(d,f)1 （X1,X2,X3):=(1,0,f)2 (Y1,Y2,Y3):=(0,1,d)3 if (Y3=0) then return d'=null//无逆元4 if (Y3=1) then return d'=Y2 //Y2为逆元5 Q:=X3 div Y36 (T1,T2,T3):=(X1-Q*Y1,X2-Q*Y2,X3-Q*Y3)7 （X1,X2,X3):=(Y1,Y2,Y3)8 (Y1,Y2,Y3):=(T1,T2,T3)9 goto 3例1：（2/5) mod 17=2×5^-1 mod 17 (中间的是5的-1次方)=2×7 mod 17。
拓展的欧几里得算法求乘法逆元
拓展的欧几里得算法求乘法逆元拓展的欧几里得算法又叫扩展欧几里得算法，是一种求解一元线性同余方程的方法，可以用来求解乘法逆元。
假设要求a在模n下的乘法逆元，即找到x满足ax ≡ 1 (mod n)。
算法步骤如下：1. 用欧几里得算法求出a和n的最大公约数gcd(a,n)以及对应的系数s和t。
2. 如果gcd(a,n)不等于1，则a在模n下没有乘法逆元。
3. 如果gcd(a,n)等于1，则ax ≡ 1 (mod n)可以转化为ax + ny = 1的形式，其中y为x的系数。
4. 用扩展的欧几里得算法求出gcd(a,n)的系数s和t，使得sa + tn = gcd(a,n)。
5. 把等式ax + ny = 1中的a用sa + tn替换，得到(sx +n'y)a + (ty) n = 1，其中n'为n的系数。
6. 取模得到(sx + n'y)a ≡ 1 (mod n)，即ax在模n下的乘法逆元为sx + n'y。
举例说明：计算16在模21下的乘法逆元。
1. 计算gcd(16,21)：21 = 1 × 16 + 5，16 = 3 × 5 + 1，gcd(16,21) = 1。
2. gcd(16,21) = 1，继续下一步。
3. 转化为16x + 21y = 1的形式，求出y的系数。
4. 用扩展的欧几里得算法求出gcd(16,21)的系数s和t，使得16s + 21t = gcd(16,21)，得到s = 11，t = -8。
5. 代入得到(11x - 8y)16 + 21y = 1，即(11x - 8y)16 ≡ 1 (mod 21)。
6. 求解得到x = 11，即16在模21下的乘法逆元为11。
注意事项：1. 模数n必须是正整数，且与a互质，否则a在模n下没有乘法逆元。
2. 扩展的欧几里得算法有多组解，根据具体问题设置取值范围。
扩展欧几里得算法求多项式逆元
扩展欧几里得算法求多项式逆元扩展欧几里得算法是一种用于求解线性方程ax+by=gcd(a,b)的算法，其中a和b是两个整数。
它的基本思想是利用辗转相除求解gcd，同时计算出使等式成立的x和y。
在这篇文章中，我们将介绍如何使用扩展欧几里得算法求多项式的逆元。
首先，让我们明确逆元的概念。
在数论中，如果a和b是整数，且满足(a*b)%m=1，那么我们称b是a模m的逆元。
在这里，%表示取模运算，即取除法的余数。
对于多项式而言，我们将多项式系数中的每个数都视为整数，因此我们可以将逆元的定义拓展到多项式上。
现在，让我们考虑一个多项式f(x)和一个模m。
我们想要求解一个多项式g(x)，使得(f(x)*g(x))%m=1。
换句话说，我们想要找到一个多项式g(x)，使得多项式乘法在模m意义下等于1。
这样的多项式g(x)被称为f(x)的逆元。
下面，我们将介绍如何使用扩展欧几里得算法来求解多项式的逆元。
算法步骤如下：1.首先，我们将需要求逆元的多项式f(x)表示为f(x)=a*x^n+b*x^(n-1)+...+c*x+d，其中a, b, ..., c, d是多项式系数，n是多项式的次数。
2.我们需要找到除法运算在模m意义下的逆元，即找到一个整数e，使得(e*m)%n=1。
这可以通过扩展欧几里得算法来实现。
我们可以将a和m作为输入参数，算法输出e和gcd(a,m)。
根据扩展欧几里得算法的特性，e和gcd(a,m)满足等式a*e+m*x=gcd(a,m)，其中x是一个整数。
3.然后，我们对多项式f(x)的每个系数应用步骤2中求得的逆元e。
即对于多项式系数a, b, ..., c, d，我们将其分别与e相乘，得到e*a, e*b, ..., e*c, e*d。
记多项式g(x)的系数为g0, g1, ..., gn，那么g0=e*d, g1=e*c, ..., gn=e*a。
4.最后，我们将多项式g(x)的系数对模m进行取模运算。
模逆运算快速算法
模逆运算快速算法——扩展的Euclid 算法与扩展的Stein 算法(1)扩展的Euclid 算法求模逆的传统算法是扩展的Euclid 算法，该算法是在用Euclid 算法求取二个数的最大公因子时，若最大公因子为1，说明二个数互素，则可同时得出二者的乘法逆元。
算法描述如下：输入：二个整数a 、b ，设b a >输出：a 与b 的最大公因子；若二者互素，同时得出乘法逆元Step 1: ),0,1(),,(321a X X X ←，),1,0(),,(321N Y Y Y ← Step 2: if 03=Y then return ),gcd(3b a X =，no inverseStep 3: if 13=Y then return ),gcd(3b a Y =，a Y b m od 21=-，b b Y a m od )(11+=-Step 4: ⎣⎦33Y X Q =Step 5: ),,(),,(332211321QY X QY X QY X T T T ---← Step 6: ),,(),,(321321Y Y Y X X X ← Step 7: ),,(),,(321321T T T Y Y Y ←Step 8: goto Step 2 (2)扩展的Stein 算法较之扩展的Euclid 算法，扩展的Stein 算法可以得到更高的执行效率。
Stein 算法基于以下求取二个数公因子的基本性质： 1)若a 与b 都是偶数，则)2,2gcd(2),gcd(b a b a = 2)若a 为偶数、b 为奇数，则),2gcd(),gcd(b a b a = 3)若a 与b 都是奇数，则),2)(gcd(),gcd(b b a b a -=由于除2在二进制运算中仅做一次移位操作，因此可以说Stein 算法主要只用到了减法，通过计算复杂性分析可知，在最坏情况下，Stein 算法所需减法次数为)13()(-+lb a lb 。
c++中国剩余定理
中国剩余定理（CRT）是数论中的一个重要定理，用于解决一组模同余方程组。
C++ 中可以通过实现相关算法来应用中国剩余定理。
首先，让我们回顾一下中国剩余定理的基本形式。
给定一组同余方程：
x≡a1(mod m1)
x≡a2(mod m2)
⋮
x≡a k(mod m k)
其中m1,m2,...,m k两两互质，即任意两个模数的最大公约数为 1。
中国剩余定理保证存在唯一的解x模乘积M=m1⋅m2⋅...⋅m k。
C++ 中实现中国剩余定理的一种方式是使用扩展欧几里得算法求解模数之间的乘法逆元，然后通过计算累积求解最终的x。
以下是一个简单的 C++ 示例代码：
这个例子中，我们通过extendedGCD函数求解乘法逆元，然后在chineseRemainderTheorem函数中应用中国剩余定理。
这只是一个简单的示例，实际应用中可能需要根据具体情况进行修改。
用欧几里得扩展算法求67模119的逆元
让我们来掏空欧几里得扩展算法。
欧几里得算法，也称为辗转相除法，是一种用来计算两个数的最大公约数的有效算法。
而欧几里得扩展算法，则可以进一步应用到求解模运算的逆元问题上。
现在，让我们来解决一个具体的问题：用欧几里得扩展算法求67模119的逆元。
我们需要明确逆元的概念。
在模运算中，如果存在一个数x，使得a*x ≡ 1 (mod m)，那么x就是a在模m意义下的逆元。
逆元就是在模m 意义下，对于给定的数，能够使得它与另一个数的乘积模m后得到1的数。
接下来，我们可以使用欧几里得扩展算法来求解逆元。
该算法的一般步骤如下：步骤1：我们需要使用欧几里得算法来计算出67和119的最大公约数。
这可以通过不断地进行辗转相除来逐步缩小问题规模，直到找到最大公约数为止。
假设最终的最大公约数为d。
步骤2：利用欧几里得算法中的倒推过程，我们可以得到一个关于67和119的线性组合，使得这个组合等于d。
也就是说，存在整数x和y，使得67*x + 119*y = d。
步骤3：如果d=1，说明67和119互质，我们可以继续进行下一步。
如果d不等于1，那么67和119不互质，说明67在模119意义下没有逆元。
步骤4：我们可以根据步骤2中得到的线性组合，通过适当的变换，找到一个关于67和119的线性组合，使得这个组合等于1。
这个线性组合中的系数就是67在模119意义下的逆元。
通过上述步骤，我们可以求解出67在模119意义下的逆元。
将这个逆元记为x，即67 * x ≡ 1 (mod 119)。
这样，我们就成功地用欧几里得扩展算法求解了67模119的逆元。
值得注意的是，欧几里得扩展算法不仅可以用来求解模运算的逆元问题，还可以在密码学、数论和离散数学等领域中发挥重要作用。
对于这一算法的掌握和理解具有重要的实际意义。
总结回顾一下，通过本文的讨论，我们对欧几里得扩展算法的应用有了更深入的了解。
从最大公约数的计算到线性组合的推导，再到逆元的求解，我们逐步揭开了算法的神秘面纱。
拓展的欧几里得算法求逆元c++
拓展的欧几里得算法求逆元c++拓展的欧几里得算法用于求解两个数a和b的最大公约数，同时可以求解出满足a * x + b * y = gcd(a, b)的整数x和y，其中a和b互质时，x即为b的乘法逆元。
以下是一个用C++实现的拓展的欧几里得算法，求解逆元的函数为`modular_inverse`：```cpp#include <iostream>using namespace std;// 拓展的欧几里得算法int extended_euclidean_algorithm(int a, int b, int &x, int &y) {if (b == 0) {x = 1;y = 0;return a;}int x1, y1;int gcd = extended_euclidean_algorithm(b, a % b, x1, y1);x = y1;y = x1 - (a / b) * y1;return gcd;}// 求解逆元int modular_inverse(int a, int m) {int x, y;int gcd = extended_euclidean_algorithm(a, m, x, y);if (gcd != 1) {throw invalid_argument("Inverse doesn't exist");}return (x % m + m) % m;}int main() {int a, m;cout << "Enter a: ";cin >> a;cout << "Enter m: ";cin >> m;try {int inverse = modular_inverse(a, m);cout << "Inverse of " << a << " (mod " << m << ") is: " << inverse << endl;} catch (const invalid_argument& e) {cout << e.what() << endl;}return 0;}```在这个代码示例中，用户需要输入一个整数a和模数m。
扩展的欧几里得算法求乘法逆元
欧几里得算法：又叫做辗转相除法，用来求两个数的最大公约数。
通过辗转相除，当余数为0的时候，最后的除数就是两个数的最大公约数。
扩展欧几里得算法结论：对整数a 与b来说, 必存在整数x 与y 使得ax+by=gcd(a,b)
逆元定义：ax = 1(mod p)，此时a与x互为逆元
例如a = 4，p = 11，由于4*3=12,12 mod 11 = 1,a=4在模11条件下的逆元为x=3。
为什么扩展欧几里得算法可以求解逆元：
由逆元定义可知满足ax%p=1，因此a与b互为逆元时，加上k倍的p也不影响，毕竟kp对p取余之后为0,所以可以将求逆元的过程转换成：ax+kp=1,此时a与p已知，这就成功转化成扩展欧几里得算法求解的形式，我们可以求出x和k，x即为a对应的逆元。
乘法逆元的求法（5种）
乘法逆元的求法（5种）若a*b≡1（mod p）即a，b互为mod p意义下的逆元即（x/a）%p应为x*b%p⼀、扩展欧⼏⾥得求逆元根据a*b+p*k=1板⼦O(logN)：1 #include<bits/stdc++.h>2 typedef long long ll;3 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {4if(!b) {5 x=1,y=0;6return a;7 }8 ll res=exgcd(b,a%b,y,x);9 y-=a/b*x; ///x=x1,y=x1-a/b*y1 x1,y1代表下⼀状态10return res;11 }12int main()13 {14 ll a,p,x,y; ///扩展欧⼏⾥得计算a的逆元（mod p）15 scanf("%lld%lld",&a,&p);16 ll d=exgcd(a,p,x,y);17 printf(d==1?"%lld":"-1",(x+p)%p);///最⼤公约数不为1，逆元不存在，输出-118return0;19 }View Code⼆、费马⼩定理求逆元(p为素数)p为素数，则有a p−1=1(modp)则a p−2∗a=1(modp)即a p−2为a mod p意义下的逆元板⼦O(logp):1 #include<bits/stdc++.h>2 typedef long long ll;3 ll quickpowmod(ll a,ll b,ll mod) {4 ll ans=1;5while(b) {6if(b&1) ans=(ans*a)%mod;7 b>>=1;8 a=(a*a)%mod;9 }10return ans;11 }12int main()13 {14 ll a,p; ///费马⼩定理计算a的逆元（mod p）15 scanf("%lld%lld",&a,&p);16 ll inva=quickpowmod(a,p-2,p);17 printf("%lld",inva);18return0;19 }View Code三、欧拉定理求逆元（a，p互素）a,p互素，则有aφ(p)=1(modp)则aφ(p)−1∗a=1(modp)即aφ(p)−1为a mod p意义下的逆元板⼦(logp)：1 #include<bits/stdc++.h>2 typedef long long ll;3 ll get_euler(ll x) {4 ll ans=x;5for(ll i=2;i*i<=x;i++)6if(x%i==0) {7 ans=ans/i*(i-1);8while(ans%i==0) ans/=i;9 }10if(ans>1) ans=ans/x*(x-1);11return ans;12 }13 ll quickpowmod(ll a,ll b,ll mod) {14 ll ans=1;15while(b) {16if(b&1) ans=(ans*a)%mod;17 b>>=1;18 a=a*a%mod;19 }20return ans;21 }22int main()23 {24 ll a,p,x,y;25 scanf("%lld%lld",&a,&p); ///a与p互素26 ll inva=quickpowmod(a,get_euler(p)-1,p);27 printf("%lld",inva);28return0;29 }View Code四、递推求逆元设p是模数，i是待求的逆元，我们求的是i−1p=k∗i+r，令 r < i,则k=p/i,r=p%ik∗i+r≡0(modp)k∗r−1+i−1≡0(modp)i−1≡−k∗r−1(modp)i−1≡−pi∗inv(pmodi)(modp)1 LL inv[mod+5];2void getInv(LL mod)3 {4 inv[1]=1;5for(int i=2;i<mod;i++)6 inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;7 }View Code适⽤范围：mod数是不⼤的素数⽽且多次调⽤，⽐如卢卡斯定理。
信息安全基础综合实验讲义(最大公约与乘法逆元)-2012版
第一部分数论基础实验1.3求解乘法逆元的算法实现求解乘法逆元的问题在现代密码安全中有着充分的应用和体现，尤其是现代公钥密码体制（例如RSA算法）的加密和解密的过程通常会涉及求解乘法逆元的问题。
因此，掌握求解乘法逆元的算法对于学习现代密码学有着重要的现实意义。
一、实验目的熟悉求解乘法逆元的算法，通过编程实现一种计算乘法逆元的算法，加深对求解乘法逆元方法的理解。
二、实验原理【定义】对于整数a、m，如果存在整数b，满足ab mod m = 1，则称b为a模m的乘法逆元，记为a-1。
【定理】a存在模m的乘法逆元的充要条件是a和m的最大公约数为1，记为gcd(a,m) = 1。
由定理可知，当a与m互素时，a模m的乘法逆元有唯一解。
如果a与m不互素，则a模m的乘法逆元a-1不存在。
显然，如果a为素数，则1到a - 1的任意整数都与a互素，即1到a - 1的任意整数都有模m的乘法逆元存在。
扩展欧几里德（Extended Euclid）算法是求解乘法逆元的常用方法。
欧几里德（Euclid）算法用于计算两个整数的最大公约数，其原理是反复利用带余除法，直至余数为0时为止。
两个整数的最大公约数可以用这两个整数的整系数线性组合的方式表示，扩展欧几里德算法就是计算整线性组合当中的系数，即计算gcd(a, m) = sNa+lNm中的整数sN，lN。
扩展欧几里德算法除了可用于求解两个整数的最大公约数外，还可以用于求解乘法逆元a-1。
1. 扩展欧几里德算法求解两个整数的最大公约数的Euclid_gcd(a,m)算法步骤描述如下：输入：两个整数a和m。
输出：返回a和m的最大公约数。
(1)u = 1, g = a, v1 = 0,v3 = m。
(2)计算q = g / v3 ，t3 = g % v3。
(3)如果v3≠0，计算t1 = (u - q*v1 ) mod m, u = v1, g = v3, v1 = t1, v3 = t3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
给出乘法逆元的基本概念；利用扩展欧几里得算法编写求解乘法逆元的程序，其中输入：整数e及模n，满足e和n互素，输出：e模n的乘法n逆元d.
1)乘法逆元的基本概念
如果（e×d）≡1 mod n，则e、d互为乘法逆元
如6×20≡1 mod 119
如果一个整数e与n互素，那么它在Z n中乘法逆元，例如：Z8中：1,3,5,7有乘法逆元，2,4,6没有
2)求解乘法逆元的程序
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int x,d,q;
void ex_Eulid(int e,int n){
if(n==0)
{
x=1;
d=0;
q=e;
}
else
{
ex_Eulid(n,e%n);
double temp=x;
x=d;
d=temp-e/n*d;
}
}
int main(){
int e,n,temp;
scanf("%d %d",&e,&n);
if(e<n)
{
temp = e;
e = n;
n = temp;
}
ex_Eulid(e,n);
printf("%d\n",d);
return 0;
}
3)程序运行结果
例1
6×20≡1 mod 119
图1 6关于模119的乘法逆元为20 例2
14 = 5*2+4
5 = 4*1+1
说明5与14互素，存在5关于14的乘法逆元
1 = 5-4 = 5-（14-5*2）= 5*3-14
因此5关于模14的乘法逆元为3
图2 5关于模14的乘法逆元为3。