线性代数的一些代数式的改写技巧

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书写代数式应注意事项

书写代数式应注意事项
同学们在初学代数式时，对代数式的书写往往不规范或出错。

现对代数式的书写应注意的几点归纳如下:
1.数字和字母之间、字母和字母之间的乘号一般都简记为“?”或者省略不写。

如5×a可以写成5?a或5a,，a×b写成a?b或ab。

2.为避免乘号与小数点的混淆，数字与数字相乘仍用“×”号，不宜用“?”号，更不能省略乘号。

3.把含有字母的乘法式子进行简写时，必须把数字写在字母之前。

如a×4省略乘号时应写成4?a或4a，不能写成a4。

4.带分数与字母相乘时，要省略乘号必须要把带分数化为假分数。

如2又3分之1乘以xy，应写成3分之7xy或3分之7xy，而不能写成2又3分之1xy。

5.在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写。

如x?y写作x/y，3ab?2写作2分之3ab或2分之3 ab。

6.自设字母表示有关量时，一般选用小写字母为宜。

7.对于同一个问题中，不同的量要用不同的字母来表示。

如不能用x来表示全班的人数，又表示全班的男同学人数。

8.由于除数及分母不能为零，所以在用字母表示除或分数时，除式和分母都不能为零。

如a?b或m/n中b?0，n?0。

9.如果结果是加减关系的代数式有单位须把结果用括号括起来，然后再写单位名称。

如温度由t?下降3?后是(t-3)?，而不能写成t-3?。

10.在实际问题中，常用特定字母表示有关量。

如在几何中h表示高，
S表示面积，V表示体积等。

又如，t、v、s常用来表示汽车行驶等
问题中的时间、速度、路程。

数学代数式的转化

数学代数式的转化
数学代数式的转化是现代数学中一个比较重要的技术，特别是在研究复杂的数学问题时，基本上每一个成功的结果都离不开代数式的转化。

其实，数学代数式的转换可以把一种形式的数学表达式转换成另一种形式，以适应更复杂的需求。

具体来说，数学代数式的转化包括整理、展开、改写等三大部分。

首先，在整理中可以通过安排顺序，调整单位系数，将每一项按规定的顺序作下标等措施，使代数式更加清晰有序。

其次，在展开中，通过展开括号内的表达式，将其大式从简单的形式变成复杂的形式，以进一步研究其中的知识。

最后，改写中，比较适用于多项式合并，可以通过将已知条件合并，把有关项变成一项，从而使代数式更容易求解或计算。

从而可以看出，数学代数式的转化是一项非常重要的技术，它可以帮助我们更好地分析复杂等学问题，从而取得更好的解决方案。

因此，学习这项技术的重要性是显而易见的，只有掌握这一技术，才能更好地帮助我们在解决问题时发挥更大的作用。

中考复习代数式化简的常见方法

中考复习代数式化简的常见方法代数式化简是中考数学中的一个重要内容，也是学生们普遍认为比较困难的一个部分。

通过合理的方法和技巧，可以帮助学生们更好地理解和掌握代数式化简的过程。

本文将介绍几种常见的方法，帮助中考学生提高代数式化简的能力。

一、因式分解法因式分解法是代数式化简中最基础也是最重要的方法之一。

它通过将代数式分解成多个因式的乘积，从而简化表达式。

常用的因式分解方法包括公因式提取法、提公因式法和配方法。

1. 公因式提取法公因式提取法适用于含有多个项的代数式。

首先观察各项之间是否有公因式，然后将公因式提取出来。

例如，对于代数式3x + 6y，它的公因式为3，可以提取出来得到3(x + 2y)。

2. 提公因式法提公因式法适用于含有多个项的代数式中，每一项都有一个公共的因子。

首先找出各项之间的公共因子，将其提取出来，然后用括号括起来。

例如，对于代数式2x^2y + 4xy^2，它的公共因子为2xy，可以提取出来得到2xy(x + 2y)。

3. 配方法配方法适用于含有多个项的代数式，其中每一项均含有不同的因子。

通过合理配对，可以将代数式化简成更简洁的形式。

例如，对于代数式x^2 - y^2，可以使用公式 (a + b)(a - b) = a^2 - b^2，其中 a = x，b = y，将代数式化简成 (x + y)(x - y)。

二、同底数幂的运算法则同底数幂的运算法则是代数式化简中常用的方法之一。

它利用指数运算的性质，将指数相同的底数进行运算。

常用的同底数幂运算法则包括乘幂法则和除幂法则。

1. 乘幂法则乘幂法则适用于指数相同，底数相同的幂的乘法运算。

按照乘幂法则，如果底数相同，那么指数相同的幂相乘时，可以将底数不变，指数相加。

例如，化简表达式x^3 * x^4，按照乘幂法则，可以将底数x保持不变，指数3和4相加，结果为x^7。

2. 除幂法则除幂法则适用于指数相同，底数相同的幂的除法运算。

按照除幂法则，如果底数相同，那么指数相同的幂相除时，可以将底数不变，指数相减。

代数变形常用的技巧

代数变形中常用的技巧代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。

代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。

两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。

恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。

代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。

中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。

代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。

一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。

这些知识都是代数中的最基础的知识。

有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。

例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。

而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。

高中数学代数式化简技巧及应用场景

高中数学代数式化简技巧及应用场景数学中的代数式化简是一项重要的技巧，它能够帮助我们简化复杂的代数表达式，使问题更易于理解和解决。

在高中数学中，代数式化简是一个常见的题型，也是数学学习中的基础内容之一。

本文将介绍一些常见的代数式化简技巧，并通过具体的例子来说明其应用场景，以帮助高中学生更好地掌握这一技巧。

一、因式分解与合并同类项因式分解是代数式化简中常用的一种技巧。

通过因式分解，我们可以将一个复杂的代数式分解为几个简单的因式的乘积。

例如，对于代数式3x^2 + 6x，我们可以因式分解为3x(x + 2)。

这样一来，原本复杂的代数式就变得更加简洁明了。

合并同类项是另一种常用的代数式化简技巧。

当一个代数式中存在多个相同的项时，我们可以将它们合并为一个项，从而简化代数式。

例如，对于代数式2x + 3x，我们可以合并同类项得到5x。

这两种技巧的应用场景非常广泛。

在解决实际问题时，我们常常需要将复杂的问题转化为代数式进行求解。

通过因式分解和合并同类项，我们可以将问题转化为更简单的形式，从而更容易找到解决方法。

二、平方差公式与配方法平方差公式是代数式化简中的一个重要工具。

它可以帮助我们将一个二次式的平方差分解为两个平方的差。

例如，对于代数式x^2 - 4，我们可以利用平方差公式将其分解为(x + 2)(x - 2)。

这样一来，我们就可以将原本复杂的二次式化简为两个一次式的乘积。

配方法是另一种常用的代数式化简技巧。

它适用于将一个二次式与一个一次式相乘的情况。

通过配方法，我们可以将一个二次式与一个一次式相乘后，再进行因式分解。

例如，对于代数式x(x + 3) + 2(x + 3)，我们可以利用配方法将其化简为(x + 3)(x + 2)。

这两种技巧在解决二次方程、因式分解等问题时非常有用。

通过应用平方差公式和配方法，我们可以将复杂的代数式化简为更简单的形式，从而更容易解决问题。

三、绝对值与分数的化简绝对值是代数式化简中常见的一个概念。

线性代数初等行变换的技巧，高手进

线性代数初等行变换的技巧，高手进线性代数初等行变换的技巧，高手进初等行变换一般用来化梯矩阵和行简化梯矩阵方法一般是从左到右, 一列一列处理先把一个比较简单(或小)的非零数交换到左上角(其实到最后交换也行),用这个数把第1列其余的数消成零.处理完第一列后, 第一行与第一列就不要管它了, 再用同样方法处理第二列(不含第一行的数)有你认为不好处理的题目拿来问吧我帮你解析.满意请采纳^_^线性代数初等行变换技巧！跪求！高手！没有什么技巧的，按照三条规则，从上往下化成阶梯型。

线性代数初等变换的方法初等变换是线性代数中最基本的方法，它体现了线性代数的本质——加法与数乘。

在解决线性问题如求矩阵逆、解线性方程组、计算行列式等都具有步骤简单、运算量小、易于掌握等优点。

然而，正如西安交通大学的邓建中教授在《工科线性代数流行教材的失误及修改意见》一文中指出的那样，近年涌现的一些线性代数教材却大都忽略了这一点，而将行列式法当作讲授重点，过于留恋行列式的计算技巧，给学生的学习增添了麻烦，对初等变换却轻描淡写。

其次，有的教材冷落线性方程组的向量形式，增添麻烦。

例如线性方程组可写成矩阵形式AX=b或0，也可写成向量形式或0。

其中是A的列向量。

当我们要判断向量组是否线性相关时，由定义写出，根据方程组的向量形式，既判断此方程组是否有非零解，故只需对其系数矩阵作初等变换，化为阶梯形就一目了然。

“行初等变换不改变列向量间的线性关系”是一个很有用的结论，很多教材却没有提及，有些也是针对特殊情况略加表述。

另外，有的教材将行与列相提并论，令人迷惑。

众所周知，行、列变换都不改变矩阵的秩，但对于解线性方程组却只有行变换不改变解。

判断向量组的线性相关性、解方程组这类问题中应当只用行变换，少用列交换，绝对不可用列变换。

因此，在参阅一些有关线性代数内容的专著后，本文拟以初等变换为主线，并将其贯穿全文，加强矩阵与向量形式的应用，针对线性代数中的各类问题，主要介绍初等变换法，着重讨论初等变换在不同场合的不同应用，尝试打破传统的编写秩序，形成以初等变换为主线的线性代数层次结构。

代数式变形与技巧讲稿

A 、1B 、2C 、3D 、4代数式变形与技巧（一）徳阳二中邓正健如果两个代数式对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，那么这两个代数式恒等。

把一个代数式换成和它恒等的代数式，称为代数式的恒等变形（或恒等变换）。

整式、分式、根式的运算及因式分解等都是恒等变形。

代数式的恒等变形广泛应用于计算.化简.求值、证明、解方程之中，是数学中非常重要的变形（运算）的方式。

能否将代数式进行适当、巧妙的变形，使问题获解，也是衡量学生数学能力的标志之一。

因此，掌握恒等变形无论是对参加数学竞赛，还是进一步学好数学, 提高运算能力，都必将起到积极的促进作用。

代数式的变形方法灵活多变，技巧性强，即要求学生牢固掌握代数式运算的基本法则，又要注意学习代数式恒等变形的方法和技巧。

下面将通过具体实例介绍一些代数式常用的变形方法和技巧。

一、利用因式分解进行代数式的变形因式分解本身就是恒等变形的一种形式。

常用的方法除提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法之外，还有添（拆）项法、配方法、换元法、待定系数法等。

山于后面还要专门探索代换法、配方法、待定系数法在代数式的变形中的使用，所以这里不再展开。

例 1、计算:1991X 19921992-1992X 19911991 解：1991X 19921992-1992 X 19911991 =1991X1992X10001-1992X1991X10001分析：此题主要考察因式分解与约分的内容，已知条件首先要化成与所求式相关的X 2 + 4 = 11的形式，然后将所求式的分子与分母同时变形，直到化成只含 X 2+4=H 时为止，再把X 2+-L=H 代入即可。

解：Vx-- = 3, •"+丄=11x H (x 2+ l) + (x 2+l) _ (x 2+l)(x 8 + l) x 6(x 4 +1) + (x 4 +1) _ (x 4 + l)(x 6 + 1)x(x + —)^x 4(x 4 + —) (2 +r 广一2x x — __________ 疋 “LX H—V + —)X —)X + r -1)对对对例3、满足等式：还+曲-丁2003兀- j2OO3y + 丁2003貯=2003的正整数对（如刃的个数是（）o分析：等式左边虽然很复杂，但通过观察分析知，它是仮、"的代数式，因而可例2、当兀一丄=3时,x X 104-X 8+X 2+l x ,0 + x 6+x 4 + l严+/+宀 1 严+.{+F+l代入得,原式=「7 =丄11x(11-1) 110考虑用因式分解方法来解。

代数式的化简和合并同类项

代数式的化简和合并同类项代数式是数学中的一个重要概念，它由变量和运算符号组成的表达式。

在代数学中，常常需要对代数式进行化简和合并同类项，以便更好地理解和求解问题。

本文将介绍代数式的化简和合并同类项的方法和步骤。

一、代数式的化简代数式的化简是指将一个复杂的代数式简化为一个简单的形式，以便更好地理解和求解。

在进行代数式的化简时，可以采用以下几种常用的方法：1. 去括号法：对于含有括号的代数式，可以使用去括号法进行化简。

去括号的原则是按照分配律，将括号内的项与括号外的项相乘。

例如：(2x + 3) × 4 = 2x × 4 + 3 × 4 = 8x + 122. 合并同类项法：合并同类项是指将代数式中相同指数的变量合并到一起。

合并同类项的原则是将相同指数的变量相加或相减，并保留其指数。

例如：3x + 2x = (3 + 2)x = 5x3. 乘法法则：乘法法则是指在代数式中使用乘法运算。

乘法法则的原则是将一个代数式中的每一项与另一个代数式中的每一项相乘，并将结果进行合并。

例如：(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd二、同类项的合并同类项是指具有相同变量和指数的项。

合并同类项是将代数式中的同类项相加或相减，并保留其变量和指数。

合并同类项的步骤如下：1. 将代数式中的每一项按照变量和指数进行分类。

例如，对于代数式3x + 2y - 4x - 5y，可以将其分类为：3x - 4x + 2y - 5y2. 将同类项相加或相减。

将具有相同变量和指数的项相加或相减，并保留其变量和指数不变。

3x - 4x + 2y - 5y = -x - 3y3. 化简结果。

最后得到的结果是化简后的代数式。

在这个例子中，化简后的代数式为 -x - 3y。

三、应用举例下面通过一个应用举例来演示代数式的化简和合并同类项的过程。

例1：化简代数式 2(x + y) - 3(y - z) + 4(z - x)首先使用去括号法将代数式展开：2x + 2y - 3y + 3z + 4z - 4x然后合并同类项：(2x - 4x) + (2y - 3y) + (3z + 4z)-2x - y + 7z最后得到化简后的代数式为 -2x - y + 7z。

代数的应用代数式的化简与展开

代数的应用代数式的化简与展开代数的应用：代数式的化简与展开在数学中，代数是研究数、符号和其运算规律的一个分支。

在代数中，代数式是由数和运算符号组成的表达式。

学习代数式的化简与展开是理解和解决实际问题的重要一步。

本文将讨论代数的应用，重点探讨代数式的化简与展开方法及其在实际问题中的应用。

一、代数式的化简方法代数式的化简指的是将一个复杂的代数式简化为一个更简单的形式。

化简代数式的目的是为了更好地理解和计算，以便进行进一步的运算和推导。

下面列举几种常见的代数式的化简方法：1. 加法和减法的化简：根据加法和减法的性质，可以对代数式中的相同项进行合并。

例如，化简表达式 3x + 5x - 2y + 4y 可以合并相同项得到 8x + 2y。

2. 乘法的化简：根据乘法的性质，可以对代数式中的相同因子进行合并。

例如，化简表达式 2xy * 3x 可以合并相同因子得到 6x^2y。

3. 指数幂的化简：利用指数幂的性质，可以对代数式中的指数进行合并和简化。

例如，化简表达式 x^2 * x^3 可以合并指数得到 x^(2+3) = x^5。

4. 括号的化简：根据分配律和结合律，可以对代数式中的括号进行展开和合并。

例如，化简表达式 2(x + y) 可以展开括号得到 2x + 2y。

二、代数式的展开方法代数式的展开指的是将一个包含括号的代数式展开成一系列项的和。

展开代数式的目的是为了更明确地看到每一个项的系数和次数，方便进一步的计算和分析。

下面列举几种常见的代数式的展开方法：1. 二项式定理：二项式定理可以将一个二次多项式展开成一系列项的和。

例如，将表达式 (a + b)^2 展开可以得到 a^2 + 2ab + b^2。

2. 三角函数的展开：三角函数的展开是将三角函数的复合角式展开成一系列项的和。

例如，将 sin(x + y) 展开可以得到 sin(x)cos(y) +cos(x)sin(y)。

3. 求和公式的展开：某些代数式可以通过求和公式进行展开。

行列式替换1法

行列式替换1法行列式替换1法是线性代数中的一种重要方法，它可以用来简化矩阵的计算，特别是在求逆矩阵和解线性方程组时非常有用。

本文将介绍行列式替换1法的基本概念、原理和应用。

行列式是一个数学概念，它是一个方阵中各行（或各列）元素的乘积之和，用符号“|A|”表示。

例如，对于一个2×2的矩阵A，其行列式为：|A| = a11a22 - a12a21其中a11、a12、a21、a22分别表示矩阵A中的元素。

行列式的值可以为正、负或零，它的符号和大小与矩阵的性质有关。

行列式替换1法是一种用来简化行列式计算的方法。

它的基本思想是将矩阵中的某一行（或某一列）替换为另一行（或另一列）的线性组合，从而得到一个新的行列式，其值与原来的行列式相等。

具体来说，假设矩阵A的第i行可以表示为第j行的线性组合，即： ai1x1 + ai2x2 + ... + aijxj + ... + ainxn = bj1x1 + bj2x2 + ... + bjnxn其中x1、x2、...、xn为未知数，bj1、bj2、...、bjn为已知数。

则可以将矩阵A的第i行替换为第j行，得到一个新的矩阵B，其行列式为：|B| = |a1,1 a1,2 ... a1,n||a2,1 a2,2 ... a2,n||... ... ... ... ||bj1 bj2 ... bjn||... ... ... ... ||an,1 an,2 ... an,n|其中“|a1,1 a1,2 ... a1,n|”表示矩阵A中除第i行和第j列外的所有元素构成的子矩阵的行列式。

由于第i行和第j行相等，所以新矩阵B 的行列式等于原矩阵A的行列式。

行列式替换1法的原理是利用矩阵的线性性质，将一个行列式转化为另一个行列式，从而简化计算。

它的优点是可以避免直接计算行列式，而是通过替换行列式中的某一行（或某一列）来得到一个新的行列式，从而减少计算量。

行列式替换1法在求逆矩阵和解线性方程组时非常有用。

代数变形常用技巧及其应用

代数变形常用技巧及其应用代数变形常用技巧及其应用摘要代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用．关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法The common skills and application of the algebradistortionAbstractThe algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve.This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skill’s uses in the fraction, inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on.Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method一、绪论所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决．一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意．在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果．实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键．二、换元法及其应用（一）换元法的定义换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题．（二）换元法的应用1．应用于三角中例[]11 求证x x x xx 2cos 42sin 1tan 22cos 42sin 3+=--．证明令 t x =tan ，则左边＝()()()2222221421214641211416tt t t t t t t t t t ++=-+-+=-+--+，右边＝2221421412tt t t t ++=+++＝左边，所以原恒等式成立2．应用于分式不等式中例[]22 试证对满足10x >，20x >，21110x y z ->，22220x y z ->的所有实数1x ，2x ，1y ，2y ，1z ，2z ，有不等式：()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++，并求出等号成立的充要条件．证明设02111>-=z y x a ，02222>-=z y x b ，则2111z a y x +=，2222z b y x +=，所以()()()2122212212211122121212z z z z y x y x y x y x z z y y x x ---+++=+-++()22221112221122b a z x x z x x x b x x a x ab b a +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=，因此()()()()22222111222121211111288z y x z y x b a abba z z y y x x -+-=+≤≤+≤+-++即()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++，且当且仅当212121,,z z y y x x ===等号成立．3．在方程组中的应用例[]33 已知方程组(1)，求1000x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=11112004200321200443212004321200421x x x x x x x x x x x x x x x x(1) 解由第一个方程可知()2004,,2,10 =≠i x i ，设()2003,,2,121 ==i x x x p i i 用i p 去乘第1+i 个方程，两边得()2003.,2,112 ==-i p p i i ，所以有251+-=i p ，又因为99910001000p p x =所以5151515111000-++-=或或x ．三、直接法及其应用利用数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，这是代数变形的最基本，最基础的方法．熟练掌握这些基本知识是进行代数变形的基础和依据，是必要的前提和准备．（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入例[]44 (1) 已知c yz zb x z y a z y x =+=+=+,,，且0≠++z y x ，求cc b b a a +++++111的值． (2) 已知a b a b a b b a 156523-=-=，求222232654b ab a b ab a +-+-的值．解 (1) 由已知 zy zy x z y x a +++=++=+11，所以zy x xa a ++=+1，同理可得到zy x z c c z y x y b b ++=+++=+1,1， 1111=++++=++++++++=+++++zy x z y x z y x z z y x y z y x x c c b b a a 所以．(2) 由已知条件知0,0≠≠b a ，把已知条件中的等式变形并利用等比性质消去b ，得：()()1313175307515615251567530157525==+-+-++=-=-=aaa b a b b a b a a b a b a b b a ，因此b a 3=，所以()()29627332363534222222==+⋅⨯-+⋅⨯-=bb b b b b b b b b 原式．（二）在不等式中的应用例5 设()n i a i ,2,110=<<，且a a a a n =+++ 21 求证：an naa a a a a a n n -≥-++-+-1112211 ()不等式Shopiro ．证明因为()n i a a a ii i ,2,11111=--=-，所以，原不等式变形为an nan a a a a a a a a a n n n -≥--+-+-=-+-+-111111********* ，即an n a a a n -≥-+-+-221111111 ，由算术平均≥调和平均，可得下式成立：()()()an n a a a n a a a n n -=-+-+-≥-+-+-221221111111111 ．所以所求的原不等式成立．（三）在求极限中的应用例[]56 求数列极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭．解先求函数极限211lim 1x x x x →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭()1∞型，对数后的极限为：211lim ln 1x x x x →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭()22ln 1ln lim1x x x x x→∞++-=222lim 11x x x x x →∞+==++，所以由归结原则可得：211lim 1n n n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭211lim 1xx x x →∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭e =．（四）在求导中的应用例7 设 ()()()()1231525424x x y x x +-=++()4x >，求y '．解先对函数式取对数得y ln ()()()()112ln 5ln 45ln 2ln 432x x x x =++--+-+，再对上式两边分别求导数，得()()()()2151534224y y x x x x '=+--+-++，整理后得到()()()()()()()()12315254215153422424x x y x x x x x x ⎛⎫+-'=+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭++．四、数学公式法及其应用公式变形不仅仅是公式的基本形态的功能拓宽，而且在变形过程中，可以充分体现数学思想和观点，数学公式的转化和简化功能，更能深层次地理解公式的本质，有利于培养思维能力，创新意识．运用数学公式解决数学问题时，首先要对所学过的公式进行熟练掌握，这是基本的，首要的知识点，在此基础上才能灵活变形使用．（一）完全平方公式的变形及应用由完全平方公式 ()2222b ab a b a +±=±，我们可以进行恒等变形为：(1)()()ab b a ab b a b a 222222+-=-+=+；(2)()()[]22222241⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--+=b a b a b a b a ab ；(3)()()()22222b a b a b a +=-++．上述几个恒等式十分重要，在解数学题时，若能灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明．例[]68 化简()().1263163222+-++-++解原式()()[]()()[]2212631263--++-++=2824+=．（二）三角公式变形及其应用在三角恒等变形中，熟悉公式的变化形式，既要学会顺用，又要学会逆用，还要会变用．例9 求证：()()()()()()x z z y y x x z z y y x -⋅-⋅-=-+-++tan tan tan tan tan tan ．证明左边()()()()[]x z z y x z z y y x ----+-+-=tan tan 1tan tan()()()()[]x z z y y x y x ------=tan tan 1tan tan ()()()x z z y y x -⋅-⋅-=tan tan tan 右边=（三）行列式变形及其应用学习行列式的时候，我们学习了范德蒙德行列式，并以公式的形式把它加以利用，利用范德蒙德行列式计算或证明行列式时，应根据反德蒙德行列式的特点，将所给的行列式化为范德蒙德行列式，然后根据范德蒙德行列式计算出结果．例[]710 计算1n +阶行列式()()()()1111111111nnn n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解此式不是范德蒙德行列式．将第1n +行，第n 行，，第2行分别向上和相邻行交换n 次，1n -次，，1次，共交换了()12n n +次，得 ()()()()()()nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D -------=---++1111111111211由1n +阶范德蒙德行列式的计算公式得()()()()[]∏≥>≥++++--+--=11211111j i n n n n j a i a D ()j i i i n -=∏≥≥≥+11．五、分解组合思想及其应用将分解和组合的思想用于代数变形，其方法灵活多变，而且技巧性强，具体有“凑、配、添、拆”等实际做法．（一）配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式．通过配方法解决数学问题的方法叫配方法．其中用的最多的是配成完全平方式．1．应用于解方程和因式分解中一般在解析式的变化过程中，使用公式()2222a ab b a b ±+=±，可使其呈现某一式的完全平方．但在解答问题时，给定的多项式往往不是完全平方式，需要适当配项，使之成为完全平方式，于此同时方可发现隐含条件．例11 设111x y x y -=+，求y xx y+的值．解因为111x y x y -=+，所以 1y xx y+=，又因为5422=⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y xx y y x x y y x x y ，所以5±=+yxx y ． 2．应用于二次型中例[]812 用配方法将下列二次型化为标准型()31212221321222,,x x x x x x x x x f -++=．解二次型可化为31212221222x x x x x x f -++=()()2322223212x x x x x x --+-+=，令 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-+=323223211x x y x y x x x y ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=32322211yy x y x y y x ，则有f 的标准型为2322212y y y f -+=． 3．用配方法证明柯西不等式例[]913 (柯西不等式)设i a ，i b ，()1,2,,i n =，那么()()2222112212n n n a b a b a b a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()22212n b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，当且仅当11b a λ=，12b a λ=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，n n b a λ=时不等式取等号．证明当22212n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=0，即2120n a a a ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅==时，不等式成立；当22212n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≠0时，作二次函数()()()()2222222121122122n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()()()()()2222222211111120n n n n n n f x a x a b x b a x a b x b a x b a x b =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥当且仅当011=+==+n n b x a b x a 即11,n n b xa b xa =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-时等号成立，因为20ax bx c ++≥()0a >的充要条件是240b ac ∆=-≤，所以()211222n n a b a b a b ∆=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()222124n a a a -++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()22212n b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0≤，化简整理得()()()222222211221212n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，在前面等式中令x -=λ，当且仅当11a b λ=，22a b λ=，n n a b λ=, 时不等式取等号．（二）拆项法将某一式拆为另外两式之和或差的形式，从而化繁为简，化难为易． 1．应用于数列求和例14 计算()11111223341n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+．解由()11111n n n n =-++，原式=11111223⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111n n ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭1111n n n =-=++． 2．应用于计算行列式例15 计算n 阶行列式123123123123n n n nx a a a a a x a a a a a x a a a a a x a ++++解按最后一列拆项得n D 123123123123000x a a a a x a a a a x a a a a x++=+123123123123n n n nx a a a a a x a a a a a x a a a a a a ++++ 等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个行列式最后一列提出n a 后，第i 列减去最后一列的i a 倍()1,21i n =-，即得10010010010001n n n x x D xD a x-=+11n n n xD a x --=+ ()2121n n n n nx xD a xa x----=++11nn n i i x xa -===+∑．（三）加“0”乘“1”法1．加“0”例[]1016 在等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，110a b =>，220a b =>，求证：当 3n ≥时，n n a b <．证明 1211n n b b b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭1211n a a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭121111n a a a a a -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭121111n a a a a -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=--- 21122111211011a a a c a a a c c a n n n >1a ()21111a a n a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦=n a ．2．乘“1”例17 设,,a b c R +∈．证明1⋅+=b a c 12++≥cb a =2ca b c ++，同理≥2a a b c ++≥2ba b c++，所以有≥()2a b c a b c ++++=2，又上述三个不等式中“=”不能同时成立故． 3．应用于计算行列式例18 计算n 阶行列式211122222111111111nnnn nnx x x x x x D x x x ++++++=+++解将行列式加边升阶为2111222221000111111111111n nn n nnx x x D x x x x x x +++=++++++n nnnnnx x x x x x x x x2222212111111111---=nnn nnn x x x x x x x x x222221211111002=n nnn nnx x x x x x x x x2222212111111111----+()112nij i i i j nx x x =≤<≤=-∏∏()()()()()()11111112222211000111111111111n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ----------+---()()()()1111211nniji j ji i i j nj i j nx xx x xx =≤<≤=≤<≤=-+---∏∏∏∏()()11121n n j i i j i j n i j x x x x ≤<≤==⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∏∏∏．六、待定系数法及其应用（一）待定系数法在解数学问题中，若先判断所求结果具有某种特定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种接替方法称为待定系数法．（二）应用1．在有理分式分解中的应用例19 对4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-作部分分式分解．解令()4325432249105248x x x x Q x x x x x x -++-=+--+-，分母54325248x x x x x +--+-可写为几个因式乘积的形式即：()R x =54325248x x x x x +--+-()()()22221x x x x =-+-+，则部分分式分解的待定形式为：()()()()()012222212A A A Bx CQ x x x x x x +=+++-+-++，用()R x 乘以上式两边，得一恒等式43224910x x x x -++-()()22021A x x x ≡+-+()()()()()221222121A x x x x A x x x +-+-++--+()()()222Bx C x x ++-+，然后是等式两边同幂项系数相等，得到现行方程组： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++108244948344243312322102121021010C A A A C B A A C B A A A C B A A A B A A 求出它的解：01A =，12A =，21A =-，1B =-，C=1，并代入()1式所以原式的部分分式分解为4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-()()()()2212112212x x x x x x -=+---+-++．2．在求取值范围中的应用例[]1120 已知821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，求证：472576≤-+≤-z y x ．证明令 ()()()z y x z y x C z y x B z y x A 25722-+=-+++-+-+，比较两边的对应系数，得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=++25272C B A C B A C B A ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒321C B A由于821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，所以有472576≤-+≤-z y x ．3．在数列求和中的应用例[]1221 求()()211543143213211++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=n n n S n ．解设()()21211++++=++n Cn B n A n n n ，比较两边对应项的系数，可得21,1,21=-==C B A ，故()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++2112121211n n n n n n ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2112141322131221121n n n S n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=214131123222121121n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+++-=21112121n n ．4．在极限中的应用例[]1322 若()843lim =+∞→n n n b a ，()16lim =-∞→n n n b a ，求()n n n b a +∞→3lim ．解设()()()()n n n n n n n n b B A a B A b a B b a A b a -++=-++=+4636433，比较系数得⎩⎨⎧=-=+14363B A B A 解得31,31==B A ，所以 ()()()331386lim 3143lim 313lim =+=-++=+∞→∞→∞→n n n n n n n n n b a b a b a ．代数变形的常用技巧还很多，如整体化思想，分离变量等．结束语本文主要浅谈了代数变形的一些方法和技巧以及其在分式、不等式、极限、求导、三角、方程等方面的应用，为解决相关数学问题指引了方向，点明了思路，这些方法和技巧各自具有优点和局限性，它们之间也无绝对界限，一道题有时可施加多种变形．我们在应用代数变形的方法去解决数学问题时，不一定非要严格遵循某一个统一的模式，需要依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，从中进行一番思考与选择，寻求有利于问题解决得最佳变换途径和方法．致谢本论文是在我的导师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．从课题的选择到项目的最终完成，导师都始终给予我细心的指导和不懈的支持．长期以来，在此谨向导师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．而且，我还要感谢潍坊继续教育学院数学与信息科学系的各位老师，是他们的传道、授业、解惑和辛勤工作让我们学到专业知识和如何求知治学．感谢学校提供了良好的学习环境．最后，我还要感谢我的家人，谢谢他们一直以来对我的关心和支持，同时，也向所有帮助我，关心我的朋友和同学表示最诚挚的感谢，谢谢他们的支持和帮助．参考文献[1]张钟宜．略谈三角恒等变形的技巧和方法[J]．数理化学习（高中版）．[2]陆如龙．戴志祥．证明分式不等式的变形技巧．［Ｊ］．河北理科教学研究．2003（1）．[3]丁胜．应用恒等变形解决数学问题[J]．成都纺织高等专科学校学报．2005（4）．[4]Reston．V．A．National of teacher of mathematics curriculum and evaluation standardsfor school mathematics．1998．6．[5]华东师范大学数学系编．数学分析（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2001（2003重印）．[6]申志强．例说代数式的恒等变形[J]．中学数学杂志．2004（1）．[7]仉志余等．线性代数分级讲练教程[M]．北京大学出版社．2006(6)．[8]Rorres C．Anton H．Applications of linear algebra．3rd ed．John wiley & Sons．Inc，1984．[9]罗仁幸．初等数学解题变形技巧漫谈[J]．宝山师专学报．1995（2）[10]袁良佐．“加0”与“乘1”．中学生数学[J]．2002（6）．[11]李亚丽．待定系数法在不等式中的应用[J]．创新篇．解题思想方法．2006（6）．[12]田宝运．高元仁．待定系数法在解题中的应用[J]．数理化学习(高中版)．[13]Loren C．Larson．Problem-Solving Through Problems Springer-Verlag．1983．。

代数变形常用技巧

代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。

代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。

一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。

这些知识都是代数中的最基础的知识。

有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。

例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。

而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。

代数变形中常用的三大技巧，解题没思路，试试这些方法

代数变形中常用的三大技巧，解题没思路，试试这些方法
代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。

代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

换元法
是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式)，对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.
高中数学中换元法主要有以下两类:
(1)整体换元:以“元”换“式”。

(2)三角换元，以“式”换“元”。

(3)此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等.换元法应用比较广泛。

如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。

配方法
是指将一个式子(包括有理式和超越式)或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。

这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。

待定系数法
一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

代数式化简方法

代数式化简方法
化简代数式的方法可以有以下几种：
1. 合并同类项：将含有相同字母和指数的项合并起来。

例如，将2x + 3x合并为5x。

2. 展开括号：将括号中的表达式按照分配律展开。

例如，将3(x + 2)展开为3x + 6。

3. 用指数法则简化指数：根据指数的法则简化含有指数的项。

例如，将x^2 * x^3简化为x^5。

4. 合并同类项后继续应用其他代数运算：除了合并同类项外，还可以应用其他的代数运算进行化简，如乘法、除法、加法和减法等。

5. 因式分解：将多项式进行因式分解。

例如，将x^2 - 4简化为(x + 2)(x - 2)。

需要注意的是，化简代数式的方法可能因具体的代数式而有所不同。

因此，根据具体情况选择合适的方法进行化简。

代数变形的常用技巧及其应用

代数变形的常用技巧及其应用
代数变形技巧是数学中的基础操作之一，它是通过利用不同的等式和恒等式，把一个代数式变成另一个等价的代数式的过程。

常用的代数变形技巧有：
1. 合并同类项：将具有相同字母幂次的项合并成一个项。

例如，3x + 2x = (3+2)x = 5x。

2. 化简括号：使用分配律把括号里的式子乘到括号外面。

例如，3(2x+1) = 6x + 3。

3. 移项变符号：将等式两边的项移到相反的一边，从而改变它们的符号。

例如，ax + b = c 可以移项变为 ax = c-b。

4. 合并分数：将两个分数化成通分后再合并。

例如，1/2 + 1/3 = (3+2)/6 = 5/6。

5. 去分母：将分母进行通分后，去掉分母。

例如，(2/(x-1)) + (1/(x+2)) = (2(x+2)+1(x-1))/((x-1)(x+2))。

这些变形技巧可以应用于代数方程、不等式、函数等各个方面，帮助我们解决数学问题，从而提高数学水平。

代数式变形在高中数学中的应用(四)代数式基本运算变形技巧

代数式变形在高中数学中的应用（四）代数式运算变形常用到的方法1．配方配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成"完全平方"）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，化繁为简。

合理运用"裂项"与"添项"、"配"与"凑"的技巧，有时也将其称为"凑配法"。

例1 设x 、y 、z 为实数，且222222+=+++(y-z ）（x-y)（z-x)（y+z-2x)（x+z-2y)（y+x-2z). 求的值.解原式化简拆项得： 22222220x xy xz yz ---=+2y +2z配方得：∴ 222+=0+(y-z ）（x-y)（z-x) ∴ x =y=z ,∴原式=1.附：最基本的配方，完全平方公式：222()2a b a ab b +=++变形一：1、2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+2、2222111()2()2a a a a a a +=+-=-+3、2222111()2()2a a a a a a+=+-=-+ 变形二： 4、22()()4a b a b ab +=-+ 5、22()()4a b a b ab -=+-6、22()()4a b a b ab +--=7、2222()()22a b a b a b ++-=+8、2222223()()3()()2b a ab b a b ab a b ab a ++=+-=-+=++ 变形三：9、2222221()()()2a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤+++++=+++++⎣⎦ 10、2222()222a b c a b c ab bc ca ++=++---变形四立方和、立方差公式：11、3322()()a b a b a ab b +=+-+ 12、3322()()a b a b a ab b -=-++2008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 20082007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 变形五杨辉三角：13、33223()33a b a a b ab b +=+++ 14、4432234()464a b a a b a b ab b +=++++2.因式分解例2 如果 a 是 2310x x -+= 的根,试求的值. 解 ∵ a 为 2310x x -+= 的根,∴ 2310a a -+=, 移项得：2311a a =+. 原式化简得：3. 整体代入、4. 降次、5. 降次、消元例3．已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.分析：解法一（整体代入）：由012=-+a a 得 023=-+a a a所以：解法二（降次）：由012=-+a a ，得a a -=12，所以：解法三（降次、消元）：12=+a a （消元、、减项）20082007120072007)(20072007222222323=+=++=+++=+++=++a a a a a a a a a a a6.换元例4 设 3a b c m ++=,求证:333()()()3()()()0m a m b m c m a m b m c -+-+-----=.证明令p m a =-,q m b =- ,r m c =-则0p q r ++=.3332223()()0p q r pqr p q r p q r pq qr rp ++-=++++---=∴ 33330p q r pqr ++-=即 333()()()3()()()0m a m b m c m a m b m c -+-+-----=例5 若,试比较A 、B 的大小.解设则.∵ 2x y > 即 20x y ->，又 ∵ 0y >,则 (2)0y y +>∴ 20(2)x y y y ->+ 即 102x x y y +->+ ∴ A B >.7.参数法当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.例6 若求 x y z ++ 的值.解令则有 ()x k a b =-，()y k b c =-，()z k c a =-∴ ()()()0x y z k a b k b c k c a ++=-+-+-=.例7 已知a b c 、、为非负实数，且2221a b c ++=, ,求 a b c ++的值.解设 a b c k ++=则 a b k c +=-， b c k a +=-, a c k b +=-. 由条件知即∴ 2323233a k a b k b c k c abc -+-+-=-,∴ 222333()3a b c k abc a b c +++=++.∵ 2221a b c ++=,∴ 3333k a b c abc =++- 3223()333a b a b ab c abc =+--+-()22()()3()a b c a b c a b c ab a b c ⎡⎤=++++-+-++⎣⎦， ()222()a b c a b c ab bc ca =++++---，即 ()222k k a b c ab bc ca =++---,移项：()22210k a b c ab bc ca ++----=，又 2221a b c ++= ∴ ()0k ab bc ca ---=.若 0k =,即 0a b c ++= 则 ()0ab bc ca ++=.若 ()0ab bc ca ---=, 即()2222()0a b c a b c ++-++=,∵ 2221a b c ++= ∴ 2()1a b c ++=, ∴ 1a b c ++=±综上 0a b c ++= 或 1a b c ++=±8.构造法例8 已知0a b >>，m n ≥ 求证： m m n n m m n n a b a b y a b a b --=≥++，解构造函数 22()11()1x x x x x x x x a b b f x a a b a b b-==-=-+++ ∵ 0a b >>，则 1a b>，又 ∵ ()f x 在 R 上是增函数∵ m n ≥，∴ ()()f m f n ≥，即 m m n nm m n na b a b a b a b --≥++8.“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形策略：（1）适当引入参数；（见参数法例6、例7）（2）拆项变形或拆分变形；例9 已知求证:.证明例10 已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x 2.那么计算的表达式是______.解 2(1)x x x x =+-或 2(1)x x x x =-+(3) 整体代入；（4）取倒数或利用倒数关系等，如 12(0)a a a+≥> 。

代数式的化简

代数式的化简代数式的化简在数学中起着重要的作用。

它可以将复杂的代数式简化为更为简洁和易于理解的形式。

在本文中，我们将探讨代数式的化简方法，以及如何运用这些方法来解决实际问题。

一、代数式的基本运算规则在进行代数式的化简之前，我们需要了解一些代数式的基本运算规则。

这些规则是化简过程的基础，也是我们进行后续化简的依据。

1. 加法规则代数式中的加法规则可以表示为：a + b = b + a，即加法满足交换律。

这意味着在计算代数式时，我们可以改变加法项的顺序而不会改变结果。

2. 减法规则代数式中的减法规则可以表示为：a - b = a + (-b)，即减法可以转化为加法。

这样，我们可以将减法问题转化为加法问题进行计算。

3. 乘法规则代数式中的乘法规则可以表示为：ab = ba，即乘法满足交换律。

与加法相同，乘法运算也可以改变乘法项的顺序。

4. 除法规则代数式中的除法规则可以表示为：a/b = a * (1/b)，即除法可以转化为乘法。

这样，我们可以将除法问题转化为乘法问题进行计算。

二、代数式的化简方法了解了代数式的基本运算规则后，我们可以继续介绍代数式的化简方法。

下面是一些常用的化简方法：1. 合并同类项合并同类项是代数式化简中常用的方法之一。

它通过将具有相同字母的项相加或相减，来简化代数式。

例如：3x + 2x = 5x。

在合并同类项时，我们需要注意项中的系数是否相同。

2. 提取公因式提取公因式是代数式化简中另一个常用的方法。

它通过找出多个项中的公共因数，将其提取出来，从而简化代数式。

例如：2x + 4y = 2(x + 2y)。

在提取公因式时，我们需要注意每个项中各个字母的次数。

3. 分配律运算分配律运算是代数式化简中的重要方法之一。

它可以将代数式拆分为多个部分，并进行运算。

例如：2(x + 3) = 2x + 6。

在进行分配律运算时，我们需要注意运算符的变化。

三、实际问题的代数式化简举例代数式的化简不仅仅是一种数学运算，它还可以应用于解决实际问题。