随机过程基本概念

2)
对0 s t , N (t ) N (s)服从参数为
(t s)的poisson分布
证明 1) 由定义,显然有 mN (t ) t , DN (t ) t , t 0.
又对s≥0, t ≥0,不妨设s≤t,则有 RN (s, t ) E[ N (s) N (t )]
( 1 , 2 ,, n )与(U (1) ,U ( 2) ,,U ( n ) )具有相同分布.
证明 由已知(U1 ,U 2 ,,U n )的联合概率密度为
1 n ， 0 u1 , u2 ,, un t f n (u1 , u 2 , , u n ) t 其它 0，
是独立增量
2 st min(s, t ) CN (s, t ) RN (s, t ) mN (s)mN (t )
2 st min( s, t ) s t min( s, t )
2)对0 s t
P( N (t ) N ( s) k ) P( N (t s) N (0) k )
平稳性
P( N (t s) k )
由定义
( (t s))k e (t s ) , k 0,1,2, k!
Poisson过程的等价定义 称计数过程 {N(t),t≥0} 是参数为 λ 的Poisson 过程，如果：
① N (0) 0 ② {N (t ), t 0}是平稳的独立增量过程 ③ P{N (t t ) N (t ) 1} t ( t ) ④ P{N (t t ) N (t ) 2} ( t ) 等价性证明见教材page55-56
T1 , T2 ,
, Tn ,
, Tn ,
相互独立.
下证同分布 t 0时，F（ P{T1 t} T1 t） 1 P{T1 t}
1 P{N (t ) 0} 1 e t t 0时，FT （ t） P{T2 t} 2 1 P{T2 t}
T1,T2的独立性
1 P{T2 t T1 s1} 1 P{N (t s1 ) N (s1 ) 0} 1 e t
平稳性
t 0时
FT （ t） P{Tn t} n 1 P{Tn t}
T1,T2…Tn的独立性
1 P{Tn t T1 s1 , T2 s2 ,Tn 1 sn 1} 1 P{N (t s1 sn 1 ) N ( s1 s2 sn 1 ) 0} 1 P{N (t ) 0} 1 e t
a. N (0) 0
b.
c.
N (t ), t 0 是平稳的独立增量过程
t 0, N (t )服从参数是λ
t 的Poisson分布,即
(t ) k e t P( N (t ) k ) , k 0,1,2, k!
则称计数过程{N(t),t≥0}是参数(强度,比率)为λ 的 Poisson过程.
t0 t0
F n (t ) 0
t 0时 F n (t ) P{ n t} P{N (t ) n}
第n个随机点的 到达时刻
( t ) k t e k! k n

n
t
再求导数
k k 1 ( t ) k ( t ) t t f n (t ) e e k! k! k n k n k k 1 ( t ) t (t ) t e e k! k n k n ( k 1)!
(tet )1 P{N (s) 1, N (t ) N (s) 0}
(tet ) 1 se s e (t s ) st 1
更一般有以下问题
设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程,如果 在[0,t)内有 n 个随机点到达，则 n 个到达时间
hn ( t h1 hn )
hn ) 0)

h1e
h1
h2e
h2
hn e e (t ) n e t / n!
n! n h1h2 hn t
所以( 1 , 2 ,, n )的密度函数为
n! n ， 0 u1 u2 un t p (u1 , u2 , , un ) t 其它 0，
P( (uk k uk hk ) N (t ) n)
k 1 n
P( (uk k uk hk ), N (t ) n)
k 1
n
P( N (t ) n)

P( N (h1 ) 1, N (h2 ) 1,
, N (hn ) 1, N (t h1 h2 P( N (t ) n )
t-s内发生的随机事件数．
实例 1.电话交换台的呼叫次数 2.放射性裂变的质点数 3.发生故障而不能工作的机器数 4.通过交通路口的车辆数 5.来到某服务窗口的顾客数 ……….. 以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也 统一叫做随机点
Poisson过程定义
若计数过程 {N(t),t≥0} 满足
６Poisson过程
计数过程 称实随机过程{N(t),t≥0}是计数过程， 如果N(t)表示直到t时刻为止发生的某随机事 件数． 性质 ① t , N (t ) 0
② N(t)是非负整数
③ 0 s t , N (t ) N (s) ④ 0 s t , N (t ) N (s) 表示时间间隔
定理 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson 过程，则 1) mN (t ) t , t 0, DN (t ) t , t 0,
RN ( s, t ) 2 st min( s, t ), s, t , 0 CN ( s, t ) min( s, t ), s, t , 0
令Tn n n1它表示第n-1个随机点与第n个
随机点的到达时间间隔,则称 {Tn , n 1,2,} 为Poisson过程的到达时间间隔(序列)
显然有 n T1 T2 Tn
n 1,2,
Tn
T1
0
T2


1
2
3

n 1
n
t
Tn n n 1
1 2 n 服从怎样的概率分布??
定理 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程,如 果在[0,t)内有 n 个随机点到达，则 n 个到达时 间 1 2 n 和 n 个相互独立同服从[0,t]
上的均匀分布的随机变量U1,U2,…,Un的顺序统 . 计量 U(1) U(2) U(n)有相同分布 即
e
t
(t ) (n 1)!
n 1
所以到达时间序列的密度函数为
t (t ) n 1 , e f n (t ) (n 1)! 0,
t0 t0
本题目还可以用特征函数证明,见教材
Poisson过程中到达时间的条件分布
问题:
设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程，如 果在[0，t)内仅有一个随机点到达,τ 是其到达 时间,则该随机点的到达时间τ服从怎样的概率 分布?
n 0 k 1 n 0 k 1 n

n
1 ( t ) t {nt nt} e 2 n! n 0
n
Poisson过程的到达时间与到达时间间隔 分布
到达时间(序列) 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程， 则N(t)表示时间区间[0,t)内到达的随机点数.
令 i 表示第i个随机点的到达时刻,则称
{ n , n 1,2,} 为Poisson过程的到达时间序列.
到达时间间隔(序列)
即( 1 , 2 ,, n )与(U (1) ,U ( 2) ,,U ( n ) )具有相同分布.
例 假设乘客按照参数为λ 的Poisson 过程来到一个火车站乘坐某次火车， 若火车在时刻t启动，试求在[0,t]内到 达火车站的乘客等待时间总和的数学 期望．
解 设 k是第k个乘客到达火车站的时刻， 则其等待时间为t k 在[0，t ]内到达火车站的乘客数为N(t)
等待时间总和为 (t k )
k=1 N (t )
利用全期望公式 E{E[Y X]} E[Y]
E[ (t k )] E[E[ (t k ) N (t )]]
k=1 k=1
N (t )
N (t )
E( (t k ) N (t ) n) P( N (t ) n)

n
E( t k ) N (t ) n) P( N (t ) n)
n 0

n 0
k=1 n
n
k 1
k 1
{nt E( k ) N (t ) n} P( N (t ) n)
n 0 k 1
n
{nt E( U ( k ) )} P( N (t ) n) {nt EU ( k ) } P( N (t ) n)
得证
平稳性
定理 (到达时间序列分布)
设{N(t),t≥0} 是参数为λ的Poisson过程,则其到达时间
n , n 1,2, 服从Γ 分布,密度为
t (t ) n 1 , e f n (t ) (n 1)! 0,
证明 t 0时, n 的分布函数
如果在[0，t)内仅有一个随机点到达，则该随 机点的到达时间τ服从[0,t]上的均匀分布. 即
s P( s N (t ) 1) t