函数的概念及符号表示

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函数的概念

1.2.1 函数的概念1．函数的概念(1)函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．比如，甲、乙两地相距30 km，某人骑车从甲地去乙地，速度是12 km/h，出发t小时后行驶的路程是s km，则s是t的函数，记为s＝12t，定义域是{t|0≤t≤2.5}，值域为{s|0≤s≤30}．对集合{t|0≤t≤2.5}中的任意一个实数，在集合{s|0≤s≤30}中都有唯一的数s＝12t和它对应．对函数概念的理解①“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．②函数的三要素是：定义域、对应关系、值域．定义域就是非空数集A，而值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．例如，设集合A＝{x|x≠0，x∈R}，B＝R，按照确定的对应关系f：取倒数，对于集合A中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，于是y＝f(x)＝1x就称为从集合A到集合B的一个函数．此时A是函数y＝1x的定义域，而值域D＝{y|y≠0，y∈R}，显然D≠B，但D⊆B．③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．【例1－1】下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝12x-D．A＝Z，B＝Z，f：x→y解析：对于A项，x2＋y2＝1可化为y=x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．答案：B点技巧判断一个对应关系是否是函数关系的方法从以下三个方面判断：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任一实数在B中必须有实数和它对应；(3)A中任一实数在B中和它对应的实数是唯一的．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．【例1－2】下列图形中不能确定y是x的函数的是( )解析：y是x的函数，必须满足对于任意给定的x值，y都有唯一确定的值与之对应．图象A，B，C所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的f(x)和它对应．但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x，一般都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义．答案：D点技巧由图形判断从A到B的对应是否是函数关系有技巧(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在集合A中移动直线l；(3)若直线l与集合B所在图形有且只有一个交点，则是函数；否则不是函数．(2)对符号f(x)的理解①f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号f(x)，如f，x，(x)等是没有意义的．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；②对于f(x)中x的理解，虽然f(x)＝3x与f(x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x，而另一个为x＋1)，因此函数解析式也是不一样的；③函数符号f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等；④f(x)与f(a)，a∈A的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量，如f(x)＝x＋1，当x＝3时，f(3)＝3＋1＝4．【例1－3】已知函数f (x )＝3x 2－5x ＋2．(1)求f (3)，(f ，f (a )，f (a ＋1)；(2)若f (x )＝0，求x ．分析：(1)直接将自变量的值代入函数关系式计算求解；(2)已知函数值为0，建立关于自变量x 的方程，求解即可．解：(1)f (3)＝3×32－5×3＋2＝14，f()＝3×()2－5×()＋2＝8＋，f (a )＝3a 2－5a ＋2，f (a ＋1)＝3(a ＋1)2－5(a ＋1)＋2＝3a 2＋a ．(2)∵f (x )＝0，∴3x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝1或23x =．辨误区求函数值易出现的错误求函数值时，注意将对应的x 的值或代数式整体代入函数关系式求解，否则容易导致错误，例如本题容易将f (a ＋1)误解为f (a )＋1，从而得出f (a ＝1)＝3a 2－5a ＋3的错误结论．【例1－4】已知函数1()1f x x =+，g (x )＝x 2＋2，则f (g (2))＝__________，g (f (2))＝__________．解析：g (2)＝22＋2＝6，f (g (2))＝f (6)＝11167=+，f (2)＝11123=+，g (f (2))＝21133g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋2＝199．答案：17 199 点技巧函数值的求法求函数值时，首先要确定函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f (g (x ))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (x ))与g (f (x ))的区别．2．区间区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式．设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ．我们规定：(1)满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b ]；(2)满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b )；(3)满足不等式a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．其中a 叫做左端点，b 叫做右端点．实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 的实数x 的集合分别表示为[a ，＋∞)，(a ，＋∞)，(－∞，b ]，(－∞，b )．谈重点(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称之为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}．(2)对于一个点的集合，可以在数轴上用一个实心点表示．(3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心与空心的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示，而对于取值范围，则既可以用区间也可以用集合，还可以用不等式直接表示．(5)由于区间是集合的一种形式，因此对于集合的运算和集合中的符号仍然成立．如x [2，＋∞)，[0,6) [－1,3]＝[0,3]等．(6)区间是实数集的另一种表示方法，要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆．(7)无穷大是一个符号，不是一个数．以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须是小括号．【例2－1】将下列集合用区间表示出来．(1){x|x≥－1}； (2){x|x＜0}；(3){x|－1＜x≤5}； (4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}．解：(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x＜0}＝(－∞，0)．(3){x|－1＜x≤5}＝(－1,5]． (4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}＝(0,1) [2,4]．【例2－2】已知区间[－2a,3a＋5]，求a的取值范围．解：由题意可知3a＋5＞－2a，解之得a＞－1．故a的取值范围是(－1，＋∞)．3．函数相等如果两个函数的定义域．．．相同，并且对应关系．．．．完全一致，我们就称这两个函数相等．释疑点满足什么条件的两个函数相等 (1)由函数的定义可知，函数的三要素为：定义域、对应关系、值域．当两个函数的三要素对应相同时，这两个函数是相等的，但由于函数的值域是由定义域和对应关系决定的，因此当两个函数的定义域和对应关系相同时，它们的值域也一定相同．故只要两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就相等．(2)当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系，例如：函数f (x )＝x 和函数f (x )＝－x 的定义域相同，均为R ；值域也相同，均为R ，但这两个函数不是同一函数．【例3－1】下列函数与函数g (x )＝2x －1(x ＞2)相等的是( )A ．f (m )＝2m －1(m ＞2)B ．f (x )＝2x －1(x ∈R )C ．f (x )＝2x ＋1(x ＞2)D ．f (x )＝x －2(x ＜－1)解析：对于A 项，函数y ＝f (m )与y ＝g (x )的定义域与对应关系均相同，故为相等的函数；对于B 项，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于C 项，两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于D 项，两函数的定义域与对应关系都不相同，故也不是相等的函数．答案：A【例3－2】判断下列各组中的函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (2)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1；(3)f (x )＝x ，g (x ) (4)f (x )＝|x |，g (x )．分析：求出函数f (x )与g (x )的定义域，若两者定义域不同，则两函数不为同一函数；若定义域相同，分别化简f (x )与g (x )的解析式，若化简后两者解析式相同，则两函数为同一函数，否则两函数不为同一函数．解：(1)定义域相同都是R ，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数．(2)函数f (x )的定义域是{x |x ≠1}，函数g (x )的定义域为R ，它们的定义域不同，故不是同一个函数．(3)定义域相同都是R ，但是f (x )＝x ，g (x )＝|x |，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一函数．(4)定义域相同都是R ，解析式化简后都是y ＝|x |，即对应关系相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故是同一个函数．辨误区判断两个函数是否相等易忽略两点(1)判断两个函数是否相等的唯一依据是它的定义，即由定义域和对应关系是否相同确定，而与它们解析式中用什么符号表示自变量或函数无关，例如函数y ＝f (x )，x ∈A 与函数u ＝f (t )，t ∈A 是同一函数；(2)为了便于判断两个函数是否是同一个函数，对复杂的解析式可先化简再比较，但要注意化简前后的等价性，如f (x )＝x 2－4x －2，不能写成f (x )＝x ＋2，而应当是f (x )＝x ＋2(x ≠2)；g (x )＝x 2，不能写成g (x )＝x ，而应当是g (x )＝|x |，这是容易出错的地方，要特别重视．4．具体函数定义域的求法函数的定义域是自变量x 的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x 的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：①若f (x )为整式，则其定义域为实数集R ．②若f (x )是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．③若f (x )为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．【例4】求下列函数的定义域：(1)y = (2)0(1)||x y x x +=-；(3)1y x=．解：(1)因为要使函数有意义，需1010x -≥⎧⎪⎨≠⎪⎩，⇔10x x ≤⎧⎨≠⎩，⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y =(－∞，0) (0,1]． (2)由100x x x +≠⎧⎪⎨-≠⎪⎩，，得1x x x ≠-⎧⎪⎨≠⎪⎩，，因此x ＜0且x ≠－1．故原函数的定义域为{x |x ＜0，且x ≠－1}．(3)因为要使函数有意义，需230,20,0,x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩解得32-≤x ＜2且x ≠0，所以函数1y x =+的定义域为3,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭(0,2)．辨误区求函数定义域时两点需注意 (1)求函数定义域的一个基本原则是解析式不能化简．例如，求函数y ＝x 2x 的定义域时，不能将y ＝x 2x化简为y ＝x ，而求得定义域为R 的错误结论；(2)函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来．5．抽象函数的定义域的求法求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域．一般地，若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．其实质是由g(x)的取值范围，求x的取值范围．(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．函数f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是自变量x∈[a，b]．一般地，若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域就是g(x)在区间[a，b]上的取值范围(即g(x)的值域)．其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围．【例5－1】(1)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域；(2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(x)的定义域；(3)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．解：(1)设2x＋1＝t，由于函数y＝f(t)的定义域为[1,2]，故1≤t≤2，即1≤2x＋1≤2，解得0≤x≤12，所以函数y＝f(2x＋1)的定义域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2)设2x＋1＝t，因为1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5，即3≤t≤5，函数y＝f(t)的定义域为[3,5]．由此得函数y＝f(x)的定义域为[3,5]．(3)因为函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5．所以函数y＝f(x)的定义域为[3,5]．由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函数y＝f(2x－1)的定义域为[2,3]．点技巧求抽象函数定义域有技巧(1)正确理解函数的定义域就是自变量x的取值范围；(2)运用整体的思想，在同一对应关系f下括号内的范围是一样的，即f(t)，f(g(x))，f(h(x))中的t，g(x)，h(x)的取值范围相同．【例5－2】若函数f(x)的定义域为[－2,1]，求g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域．分析：f(x)＋f(－x)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x，－x都在[－2,1]这个区间内，从而f(x)＋f(－x)有意义．解：由题意，得2121xx-≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，，即－1≤x≤1．故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1,1]．6．函数值域的求法(1)常见函数的定义域和值域：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R．②反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是(－∞，0) (0，＋∞)，值域是(－∞，0) (0，＋∞)．③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ．当a ＞0时，值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞；当a ＜0时，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ． (2)求函数值域的常用方法．①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；如求函数y ＝4－x 2的值域时，由x 2≥0及4－x 2≥0知4－x 2∈[0,2]．故所求的值域为[0,2]．②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．例如形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d 的函数，我们可令cx ＋d ＝t ，将函数y 转化为关于自变量t 的二次函数，然后利用配方法求其值域．④分离常数法：将形如y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0)的函数，分离常数，变形过程为cx ＋d ax ＋b＝c a (ax ＋b )＋d －bc a ax ＋b ＝c a ＋d －bc a ax ＋b ，再结合x 的范围确定d －bc a ax ＋b的取值范围，从而确定函数的值域．(3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．例如，求函数y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域．解：画出y ＝2x ＋1的图象．由图象可知y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域为(－1,3]．【例6】求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y 1；(3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (4)5142x y x -=+； (5)224321x x y x x -+=--； (6)y ＝x解：(1)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴y ∈{3,5,7,9,11}．∴所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)的取值范围求．≥0－1≥－1． ∴函数y－1的值域为[－1，＋∞)．(3)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，∵x ∈[1,5)，由图所示，∴所求函数的值域为[2,11)．(4)借助反比例函数的特征求．5142x y x -=+510(42)14442x x +--=+514(42)4442x x +-=+5742(42)x =-+． ∵72(42)x +≠0， ∴y ≠54． ∴函数5142x y x -=+的值域为5,4y y y ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭R 且． (5)∵2243(1)(3)321(1)(21)21x x x x x y x x x x x -+---===---++(x ≠1)，又∵17(21)31722212122(21)x x x x x +--==-+++，当x ＝1时，原式1322113y -==-⨯+． ∴函数224321x x y x x -+=--的值域为12,,23y y y y ⎧⎫∈≠≠-⎨⎬⎩⎭R 且且． (6)设12u x ⎫=≥⎪⎭，则212u x +=(u ≥0)，于是y ＝212u +＋u ＝2(1)2u +(u ≥0)．∵由u ≥0，可知(u ＋1)2≥1，∴y ≥12． ∴函数y ＝x1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．辨误区求函数值域易疏忽的问题 (1)求函数值域时一定要注意其定义域的影响，如函数y ＝x 2－4x ＋6的值域与函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是不同的；(2)在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化，例如求函数y ＝xt =y 转化为关于自变量t 的二次函数后，自变量t 的范围是t ≥0．7．函数与集合的综合应用定义域、对应关系和值域是函数的三要素，其中定义域是本节学习的重点和难点．函数的定义域是数集，“连续”的数集常用区间表示，也可以用集合的描述法或列举法表示．因此，函数与集合的综合应用题通常是在函数的定义域与集合的表示法的交会处设置题目．解决此类综合应用问题时，要注意：(1)能够正确求出函数的定义域可以这样理解函数：把函数看成面粉加工厂，那么定义域就是这个工厂的原料——小麦，值域就是这个工厂的产品——面粉．因此，要看这个工厂加工成的面粉质量怎样，那么首先看看其所购原料(小麦)的质量如何．如果小麦质量不过关，再好的加工机加工出来的面粉质量也不过关．同样，讨论函数问题时，要遵守定义域优先的原则，如果求错了函数的定义域，那么无论后面的步骤怎样，本题就必定错了．(2)能正确解决有关集合问题如，能明确集合中的元素，会判断两个集合间的关系，能进行集合的交集、并集和补集运算，会借助于数轴或Venn 图找到解决问题的思路等等．【例7－1】在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不可以确定y 是x 的函数的是( )①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ＝3x ；②A ＝{x |x ＞0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y 2＝3x ；③A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝x 2；④A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ．A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④解析：①在对应关系f 下，A 中不能被3整除的数在B 中没有象，所以不能确定y 是x 的函数．②在对应关系f 下A 中的数在B 中有两个数与之对应，所以不能确定y 是x 的函数．③显然y 是x 的函数．④A 不是数集，所以不能确定y 是x 的函数．答案：D【例7－2】已知函数f (x )＝-的定义域是集合A ，函数g (x )＝+的定义域是集合B ，若A B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：要使函数f (x )有意义，自变量x 的取值需满足1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得－1＜x ＜1．因此A ＝{x |－1＜x ＜1}．要使函数g (x )有意义，自变量x 的取值需满足1020a x x a +->⎧⎨->⎩，，解得2a ＜x ＜1＋a ．由于函数的定义域不是空集，所以有2a ＜1＋a ，解得a ＜1．因此B ＝{x |2a ＜x ＜1＋a }．由于A B ＝B ，则B ⊆A ，则有11211a a a +≤⎧⎪≥-⎨⎪<⎩，，，解得12-≤a ≤0．故实数a 的取值范围是12-≤a ≤0，即a ∈1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 8．创新拓展题与本节内容有关的创新拓展题，一般为求值问题，但要求的式子较多，不便或不能一一求解．我们在解决这类问题时，要注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律，进而去化简，从而得出问题的求解方法．例如：已知f (x )＝221x x+，求f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．解：根据所求式子特点，猜测f (a )＋1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值应为定值，下面求f (a )＋1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值，f (a )＋222222211111111a a a f a a a a a⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭++＝1．于是f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫⎪⎝⎭＝3．又f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫⎪⎝⎭＝72．【例8－1】已知a ，b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝__________．解析：分子是f (x )，分母是f (x －1)，故先根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，求出f (x )与f (x －1)的关系，即求出()(1)f x f x -的值，再代入求值． ∵f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2， ∴令a ＝b ＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)＝4．∴(2)(1)f f ＝2．∴令a ＝2，b ＝1，得f (3)＝f (2)·f (1)＝8．∴(3)(2)f f ＝2．故猜测()(1)f x f x -＝2，下面我们具体来求()(1)f x f x -的值．令a ＝x －1，b ＝1，得f (x )＝f (x －1＋1)＝f (x －1)·f (1)＝2f (x －1)，于是()(1)f x f x -＝2(x ≥2，x ∈N *)．故(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝2＋2＋…＋2＝2×2 012＝4 024．答案：4 024【例8－2】已知函数f (x )＝221x x+． (1)求f (2)与12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，f (3)与13f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现；(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋12013f ⎛⎫ ⎪⎝⎭．解：(1)∵f (x )＝221x x +，∴f (2)＝2224125=+，22111225112f ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，f (3)＝22391310=+，221113310113f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． (2)由(1)发现f (x )＋1f x ⎛⎫⎪⎝⎭＝1．证明如下：f (x )＋222211111x x f x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝222111x x x +++＝1． (3)f (1)＝2211112=+．由(2)知f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，…，f (2 013)＋12013f ⎛⎫⎪⎝⎭＝1， ∴原式＝20121140251111 2 012222+++++=+= …个.。

高中函数知识点总结符号

高中函数知识点总结符号一、函数的概念和符号表示1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，即每一个自变量（输入值）对应唯一的因变量（输出值）。

在数学中，函数用来描述输入和输出之间的关系，是数学建模和问题求解中的重要工具。

2. 函数的符号表示函数通常用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。

函数的定义域表示自变量的取值范围，值域表示因变量的取值范围。

函数可以用表格、图像、公式等多种形式表示。

二、函数的性质1. 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减关系。

函数可以是单调增加的，也可以是单调减少的，还可以是不变的。

2. 奇偶性函数的奇偶性是指函数的对称性。

奇函数满足f(-x)=-f(x)，即关于原点对称；偶函数满足f(-x)=f(x)，即关于y轴对称。

3. 周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复性。

周期函数是指函数在固定的间隔内，输入值的变化导致输出值的重复。

4. 极值和最值函数的极值是指在一定范围内的最大值和最小值。

函数的最值是指整个定义域内的最大值和最小值。

5. 渐近线函数的渐近线是指当自变量趋于无穷大或者无穷小时，函数值趋于一个常数。

渐近线可以是水平渐近线、垂直渐近线或者斜渐近线。

三、常见函数及其性质1. 基本初等函数基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

这些函数在数学中具有重要的地位，是其他复杂函数的基本构成单位。

一次函数的一般形式为f(x)=ax+b，其中a和b为常数且a不等于0。

一次函数的图像是一条直线，具有固定的斜率和截距。

3. 二次函数二次函数的一般形式为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。

二次函数的图像是抛物线，开口方向由a的正负确定。

4. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是周期函数，具有很多重要的性质和应用。

5. 指数函数和对数函数指数函数的一般形式为f(x)=a^x，其中a为底数且a大于0且不等于1；对数函数的一般形式为f(x)=loga(x)，其中a为底数且a大于0且不等于1。

初中数学函数基本概念总结

初中数学函数基本概念总结函数是数学中的重要概念之一，它在解决实际问题以及进行数学推理中具有重要作用。

初中阶段是学习函数的关键时期，因此掌握函数的基本概念是非常重要的。

本文将对初中数学函数的基本概念进行总结。

一、函数的定义与符号表示函数是一种特殊的关系，它把一个集合中的每个元素都对应于另一个集合中唯一确定的元素。

函数通常用符号f(x)或y来表示，其中x是自变量，y是因变量。

函数可以用集合的形式表示为f={(x,y)|x∈A，y=f(x)}，其中A是自变量的定义域。

二、函数的图象函数的图象是函数在平面直角坐标系中的几何表示。

对于一元函数，图象是在二维平面上的曲线。

对于二元函数，图象则是在三维空间中的曲面。

函数的图象可以通过描点法或者绘制函数的坐标轴上的象限来求得。

三、函数的性质与分类1. 奇偶性：如果对于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则函数称为奇函数；如果对于任意x∈D，都有f(-x)=f(x)，则函数称为偶函数；如果既不是奇函数也不是偶函数，则函数称为既非奇函数也非偶函数。

2. 单调性：如果对于任意x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，则函数在区间[x1,x2]上是增函数；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)≥f(x2)，则函数在区间[x1,x2]上是减函数。

如果在一个区间上既有增函数又有减函数，则函数在该区间上是非单调的。

3. 周期性：如果存在常数T>0，使得对于任意x∈D，有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数，T称为函数的周期。

4. 指数函数、对数函数与幂函数：指数函数是以底为常数的幂的形式定义的函数，而对数函数则是指数函数的逆函数。

幂函数是以底为变量的幂的形式定义的函数。

四、函数的运算与复合1. 函数的加减运算：如果对于任意x∈D，有(f+g)(x)=f(x)+g(x)，则函数f+g是函数f和函数g的和函数。

类似地，可以定义函数的差。

2. 函数的乘法运算：如果对于任意x∈D，有(fg)(x)=f(x)g(x)，则函数fg是函数f和函数g的乘积函数。

函数的概念fx

函数的概念fx函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。

函数可以理解为一种映射关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。

函数通常用符号f(x)表示，其中x是输入变量，f(x)是关于x的函数。

在函数中，输入变量也被称为自变量，输出值被称为函数值或因变量。

函数表达了自变量与因变量之间的关系，可以用来描述某个物理规律、计算数值、解决实际问题等。

函数可以用多种方式表示，最常见的方式是用公式表示。

例如，f(x) = 2x表示函数f(x)是输入变量x的两倍。

这个函数将输入值x映射到一个输出值2x。

当x 取不同的值时，函数的输出值也会发生变化。

函数可以表示复杂的规律和关系，例如三角函数、指数函数、对数函数等。

函数的定义域是所有可能的输入值的集合，也就是函数的取值范围。

在实际问题中，定义域可能受到限制，只能取某些特定的值。

例如，一个正方形的面积函数，定义域可能只能是正数。

定义域的限制可以根据实际问题的要求进行设置。

函数的值域是所有可能的输出值的集合，也就是函数的结果范围。

值域可以是有限或无限的。

例如，函数f(x) = x^2的值域是所有非负实数。

函数的值域可以通过分析函数的特性、使用数学工具等方法来确定。

函数的图像是函数的可视化表示。

在坐标平面上，可以将自变量x表示在横轴上，函数值f(x)表示在纵轴上，然后将所有的点连接起来，就得到了函数的图像。

函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的特性，例如函数的增减性、奇偶性、周期性等。

函数可以进行一系列操作，例如函数的加减、乘除、复合等。

函数的加减表示两个函数的点对点相加或相减，这表示了两个函数之间的关系。

函数的乘法表示两个函数的点对点相乘，这可以用于表示一些复杂的物理规律。

函数的复合表示将一个函数的输出作为另一个函数的输入，这可以建立起多个函数之间的关系。

函数的导数是函数的一个重要概念，表示了函数的变化率。

导数可以用于求函数的最大值和最小值，也可以用于求函数的变化趋势。

函数的基本概念与运算

函数的基本概念与运算函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，包括物理、经济学以及计算机科学等。

在数学中，函数是一种表达两个集合之间关系的工具，通过给定一个输入值，函数可以计算出对应的输出值。

本文将介绍函数的基本概念、符号表示和常见的函数运算。

一、函数的定义与表示函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

设集合A和集合B，如果对于A中的每个元素a，都存在唯一的b属于B与之对应，则可以说存在一个函数f将a映射到b。

函数可以用不同的表示方法来表示，最常见的表示形式为函数符号和函数图像。

函数符号表示通常使用f(x)的形式，其中f是函数名，x是自变量。

f(x)表示函数对于输入x所对应的输出值。

例如，f(x) = 2x表示一个对应关系，将自变量x乘以2得到相应的输出值。

函数图像表示是通过绘制输入-输出对的关系来表示函数。

通过在坐标系中描绘函数图像，可以更直观地理解函数的性质和变化趋势。

二、函数的基本运算函数之间常常进行各种运算，包括加法、减法、乘法和除法等。

下面将介绍这些基本的函数运算。

1. 加法：设有函数f(x)和g(x)，它们的和函数记作h(x) = f(x) + g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相加得到h(x)的输出值。

2. 减法：设有函数f(x)和g(x)，它们的差函数记作h(x) = f(x) - g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相减得到h(x)的输出值。

3. 乘法：设有函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数记作h(x) = f(x) *g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相乘得到h(x)的输出值。

4. 除法：设有函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，它们的商函数记作h(x) = f(x) / g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相除得到h(x)的输出值。

函数的概念与像的特征

函数的概念与像的特征函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

它描述了一种特定的关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

在本文中，我们将探讨函数的定义、性质以及像的特征。

一、函数的定义函数是一种将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素的规则。

在数学中，我们通常用符号表示函数。

设集合A和集合B是给定的非空集合，如果对于A中的每个元素a，存在唯一的元素b属于B，且这个对应关系满足特定的规则，我们就称这个对应关系为函数。

用数学符号表示为：f：A→B，f(a)=b。

二、函数的性质1. 唯一性：函数的定义要求每个元素a在定义域A中有唯一对应的一个元素b在值域B中。

这意味着一个元素在函数中不能对应多个元素。

2. 映射关系：函数要求对于定义域A中的每个元素a，都必须有一个在值域B中的元素与之对应。

函数可以是一对一的，也可以是多对一的。

3. 值域：函数的值域是由定义域的元素在函数中映射所得到的元素的集合。

可以是A到B的部分或全部映射。

4. 反函数：如果函数f的定义域和值域互换，则称其反函数为f的逆函数。

反函数的表示为f^(-1)。

三、像的特征1. 像的定义：给定一个函数f和它的定义域A及值域B，定义域A 中的元素通过函数f映射到值域B中，所得到的结果集合称为像。

像用f(A)或Im(f)表示。

2. 像的性质：a. 像的包含关系：对于函数f和集合A，当A1是A的子集时，则f(A1)是f(A)的子集。

这意味着如果子集A1的元素在函数f中映射到值域B，那么父集A中的元素同样映射到B中。

b. 空集的像：如果定义域A为空集∅，那么f(A)也为空集∅。

因为任何元素都不存在于A中，所以无法映射到B中。

c. 并的像：对于任意集合A1和A2，f(A1∪A2) = f(A1)∪f(A2)。

这意味着如果A1和A2中的元素在函数f中映射到B中，那么A1∪A2中的元素也会映射到B中。

d. 交的像：对于任意集合A1和A2，f(A1∩A2) ⊆ f(A1)∩f(A2)。

函数的概念.

函数的概念函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的依赖关系，帮助我们更好地理解数学中的各种关系。

本文将从函数的定义、表示、性质、运算以及实际应用等方面进行介绍。

1.函数的定义函数是一个数学表达式，它表示了一个或多个自变量的输入值与对应因变量的输出值之间的关系。

在数学中，用符号“f”表示函数，其中f后面的括号内是自变量的取值范围，而f右侧的表达式则是因变量的取值范围。

例如，一个简单的函数可以定义为y=x+2，其中x 是自变量，y是因变量。

2.函数的表示函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法等。

解析法是用数学符号和公式来表示函数关系的一种方法，如y=x+2。

表格法是用表格形式表示函数关系的一种方法，它适用于离散变量函数，如阶跃函数等。

图象法则是用函数图象表示函数关系的一种方法，适用于连续变量函数。

3.函数的性质函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

单调性是指函数在某一区间内随着自变量的增加，因变量的值也相应增加，反之亦然。

奇偶性是指函数在原点对称或旋转对称时具有的性质。

周期性是指函数按照一定的周期重复出现的现象。

4.函数的运算函数的运算包括函数的加、减、乘、除等基本运算以及复合运算等。

函数的加、减、乘、除等基本运算可以类比于代数中的运算，而复合运算则是将两个或多个基本函数组合成一个新函数的过程。

5.函数的实际应用函数在实际生活中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有函数的身影。

例如，在物理学中，牛顿第二定律F=ma就描述了力与加速度之间的关系；在经济学中，成本函数、收益函数等都是描述经济变量的重要工具；在工程学中，各种系统模型也都是用函数来描述的。

此外，函数还在计算机科学、统计学等领域中有着广泛的应用。

总之，函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了变量之间的依赖关系，并为我们提供了分析问题、解决问题的重要工具。

通过深入理解函数的定义、表示、性质、运算以及实际应用等方面，我们可以更好地掌握函数这一重要概念，并为解决实际问题提供有力的支持。

函数的表示法

2023函数的表示法contents •函数的基本概念•函数的图像表示法•函数的表格表示法•函数的解析表示法•三种表示法的比较目录01函数的基本概念1函数的定义23函数是一种特殊的关系，它把输入值（或自变量）映射到输出值（或因变量）。

函数是一种关系函数定义了输入值和对应的输出值，即函数确定了输入值所对应的输出值。

函数定义了输入和输出函数通常由数学表达式表示，可以用于解决各种数学问题。

函数是数学表达式的组成部分符号表示法使用函数符号来表示函数，例如 $f(x) = x^2$ 表示一个函数，其中 $f$ 是函数符号，$x$ 是自变量，$x^2$ 是因变量。

表格表示法使用表格来表示函数，表格中列出输入值和对应的输出值。

图表示法使用图形来表示函数，图形的纵坐标表示输出值，横坐标表示自变量。

函数的表示方法函数的基本性质对于任意一个自变量，函数都有唯一确定的输出值与之对应。

确定性函数的输出值必须在一定范围内，即函数的值域是有界的。

有界性函数在一定区间内单调递增或单调递减，即因变量随自变量的增大（或减小）而增大（或减小）。

单调性对于任意两个自变量，如果它们的和也是自变量，那么函数的和等于两个自变量的和分别带入函数求得的结果的和。

可加性02函数的图像表示法首先确定函数的定义域，即自变量的取值范围。

函数图像的绘制确定函数定义域根据函数解析式，在坐标系中描点、连线，画出函数的图像。

画出函数图像检查所画图像是否符合函数解析式，确保准确性。

检查图像准确性图像的平移与伸缩图像的平移根据平移规则，将函数图像沿x轴或y轴方向移动一定距离。

图像的伸缩根据伸缩规则，将函数图像沿x轴或y轴方向放大或缩小一定倍数。

平移与伸缩的结合根据需要，可以将图像先平移再伸缩，或先伸缩再平移。

函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性根据奇偶性定义，判断函数图像关于原点对称还是关于y轴对称。

函数的周期性根据周期性定义，判断函数图像是否具有重复出现的规律。

函数性质的应用了解函数具有的性质对解题和应用的帮助。

函数的概念及表示方法

函数及其表示方法1.函数的概念：一般的，设A ，B 是非空实数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个实数，在集合B 中都有唯一确定的实数)(x f y =和x 对应，那么就称 f 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y = ，其中 x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集。

注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2.构成函数的三要素：值域 , 定义域 , 对应关系 .3. 函数相等:若两个函数的定义域相同,且对应关系在本质上也是相同的,则称两个函数相等。

4、函数的三种表示方法（1）解析法:_用解析式把把x 与y 的对应关系表述出来，最常见的一种表示函数关系的方法。

举例：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。

优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法：用表格的方式把x 与y 的对应关系一一列举出来.比较少用.举例：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。

优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

（3）图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质.优点：直观形象地表示自变量的变化。

5、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。

拓展一判断相同函数例1、下列函数f （x ）与g （x ）是表示同一个函数的是？（）A. f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ;B. f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x C ．f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 、D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 拓展二函数的判断例2、下列函数图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是（）拓展三求函数的定义域函数定义域的一般求法（开偶次方根，分式，零次幂）例3、（1） ()x x f 2=+()01+x （2）1()(12)(1)f x x x =-+；(3)()4f x x =-复合函数求定义域若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。

高中数学_函数的概念(学生版)

函数的概念知识图谱函数的概念与表示知识精讲一.函数的定义1.传统定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量.2.现代定义：设集合A 是一个非空的数集，对于A 中的任何一个数x ，按照某个确定的法则f ，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作()y f x =，x A ∈.其中x 叫做自变量，x 的取值集合A 叫做这个函数的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){,}y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．二.区间的概念及表示设 , a b ∈R ，且a b <.则 , a b 可以作为端点表示一个区间，区间的长度为b a -.如图所示，其中符号+∞读作“正无穷大”，符号-∞读作“负无穷大”,用,+∞-∞作为区间的一端或两端的区间成为无穷区间.含义名称符号图形表示{|}x a x b≤≤闭区间[,]a b{|}x a x b<<开区间(,)a b{|}x a x b≤<左闭右开区间[,)a b{|}x a x b<≤左开右闭区间(,]a b{|}x x a≥左闭右开区间[,)a+∞{|}x x a>开区间(,)a+∞{|}x x a≤左开右闭区间(,]a-∞{|}x x a<开区间(,)a-∞R开区间(,)-∞+∞数轴上所有点三.映射与函数1.映射的定义设,A B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x.于是()y f x=，x称作y的原象.映射f也可记为：: A Bf→，()x f x→.其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象()f x构成的集合叫做映射f的值域，通常记作()f A.2.一一映射如果映射f是从集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.3.函数与映射的关系（1）映射中的集合可以是数集，也可以是点集或其他集合.例如映射可以是人到物品或者人到成绩的对应关系，函数只能是数字之间的对应关系.映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，是建立在两个非空数集上的映射.（2）在映射:f A B→中：①集合A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的；②不要求集合B中的每一个元素都有原象，即B中可能有些元素不是集合A中的象，且集合B中的象在A中对应的原象不唯一.若映射是一个函数，则要求集合B中的每一个元素都有原象；（3）映射中的“对应”包括“一对一”和“多对一”，但不包括“一对多”和“多对多”.四.函数的表示方法1.列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．2.图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(,())x f x 作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{(,)|(),}F P x y y f x x A ==∈．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．3.解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．五.复合函数1.定义如果y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即(),()y f u u g x ==，那么y 关于x 的函数[()]y f g x =叫做复合函数，u 叫做中间变量．如函数21(0,1)x y a a a +=>≠且可以看成是由指数函数(0,1)u y a a a =>≠且和二次函数21u x =+复合而成的．三点剖析一.注意事项1.函数()y f x =，f 代表此函数的对应法则，也可用其他字母表示，如“()y g x =”.2.符号∞不是一个数，而是一个变化趋势.二.方法点拨1.相同函数的判定函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域()f A 和对应法则f .当函数的定义域A 及对应法则f 确定之后，函数的值域()f A 也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域A 和对应法则f 都分别相同时，这两个函数才是同一个函数；定义域不同而解析式相同的函数要看做是不同的函数.另外，要理解(),()y f x x A =∈的意义，对应法则与我们选择表示自变量的字母没有关系，例如2()f x x =与2()f t t =等都表示同一函数.函数及区间的概念例题1、下列四种说法中，不正确的是（）A.函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D.若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素例题2、用区间表示下列集合：1{|}x x >-=__________．{5|2}x x <≤=__________．3{|}x x ≤-=__________．4{|2}x x ≤≤=__________．3{|0x x -≤<,或24}x ≤<__________．例题3、如图，可表示函数y ＝f （x ）的图象的可能是（）A. B. C. D.随练1、下列四个图象中，不是函数图象的是（）A.B.C.D.判断同一函数例题1、下列函数中哪个与函数y x =相等（）A.2(y x = B.33y x= C.2y x= D.2x y x=例题2、下列各组函数表示同一函数的是（）A.293x y x -=-与y =x +3B.21y x =-与y =x -1C.y =x 0（x ≠0）与y =1（x ≠0）D.y =2x +1，x ∈Z 与y =2x -1，x ∈Z例题3、下列各组函数中，表示同一组函数的是（）A.f （x ）＝x －2，21()31x g x x -=-- B.f （x ）＝x ，2()(g x x =C.2()f x x =g （x ）＝x D.f （t ）＝|t －1|，1,1()1,1x x g x x x -≥⎧=⎨-+<⎩随练1、下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（）A.()-1f x x =与()221x x x g -+= B.()f x x =与()2g x x x=C.()f x x =与()33g x x =D.()242x x x f --=与()2g x x =+随练2、下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.f （x ）=2x ，g （x ）=x ）2B.f （x ）=（x -1）0，g （x ）=1C.f （x ）=211x x --，g （x ）=x +1D.f （x ）2x ，g （t ）=|t |映射与函数例题1、设A 到B 的函数2:(1)f x y x →=-，若集合{0,1,2}A =，则集合B 不可能是（）A.{0,1}B.[0,1,2]C.{0,1,2}-D.{0,1,1}-例题2、给出下列四个对应：如图，其构成映射的是（）A.只有①②B.只有①④C.只有①③④D.只有③④例题3、下列从集合A 到集合B 的对应中，是映射的是（）A.A ＝{0，3}，B ＝{0，1}；f ：x→y ＝2xB.A ＝{－2，0，2}，B ＝{4}；f ：x→y ＝|x|＋1C.A ＝R ，B ＝{y|y ＞0}；f ：14x y x →=D.A ＝R ，B ＝R ；f ：x→y ＝－x ＋1随练1、已知集合A 到B 的映射31f x y x →=+：，若B 中的一个元素为7，则对应的A 中原像为（）A.22B.17C.7D.2函数的表示方法例题1、如果函数f x g x （），（）分别由下表给出x 123f （x ）132x 123g （x ）321则1g （）的值为，[]1f g （）的值为．例题2、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）A.y=[10x ]B.y=[310x +]C.y=[410x +]D.y=[510x +]例题3、如图，在△AOB 中，点A （2，1），B （3，0），点E 在射线OB 上自O 开始移动，设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积S ，则函数S ＝f （x ）的图象是（）A.B.C.D.随练1、如图，等腰梯形的下底边AB =2，上底边CD =1，两腰AD =BC =1，动点P 从点B 开始沿着边BC ，CD 与DA 运动，记动点P 的轨迹长度为x ，将点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为（）A. B. C. D.随练2、某工厂8年来某产品产量y 与时间t 年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．以上说法中正确的是．函数的定义域知识精讲一．函数定义域的三种类型解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含以下几种类型：1．自然型：指使函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围.2．限制型：指命题的条件或人为对自变量x 的限制，这是函数学习中重点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；3．实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义．二．具体函数的定义域1．如果()f x 是整式，则()f x 的定义域就是实数集R ；2．如果()f x 是分式，则要求分母不为0；3．如果是()f x 的偶次根式，即形如())*2n f x n N ∈时，则要求()0f x ≥；4.0y x =的定义域是{}0x x ≠；5．如果()f x 是由多项构成的，那么函数的定义域是每项都有意义的x 的集合．三．抽象函数的定义域抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数．求抽象函数的定义域有以下四种基本题型：1．已知()f x 的定义域为A ，求[()]f g x 的定义域.由()g x A ∈解出x 的范围，即为[()]f g x 的定义域.2．已知[()]f g x 的定义域为A ，求()f x 的定义域.()f x 的定义域就是()g x 的值域，其中x A ∈.3．已知[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由[()]f g x 定义域求得()f x 的定义域，再由()f x 的定义域求得[()]f h x 的定义域．4．已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．三点剖析一．注意事项1.当函数()y f x =用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合.2.当函数()y f x =用图象给出时，函数的定义域是指图象在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合.3．定义域不同，而对应法则相同的函数，是两个不同的函数．4．若未加以特别说明，函数的定义域是指使这个式子有意义的所有x 的集合，在实际问题中，还必须考虑x 所代表的具体量的取值范围．具体函数的定义域例题1、已知函数229xy x -=-，其定义域为（）A.(-),2∞ B.(-],2∞C.()-(,3]--3,2∞⋃ D.[)(2,33),⋃+∞例题2、函数23x x x f =-（）的定义域为（）A.[0,3]2 B.[0]3， C.[30]-， D.03（，）例题3、函数1y x x =-+）A.{}1|x x ≤B.{}0|x x ≥C.{1|x x ≥或0}x ≤D.{}1|0x x ≤≤随练1、（2014四川雅安重点中学高一上期末模拟）函数f （x ）=1x ++12x-的定义域为____。

函数的概念及其表示

函数的概念及其表示一、什么是函数？1、函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）。

记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．注意：1) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”。

2) 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，是一个数；而f()表示的是对应关系。

（用集合关系讲解）2、映射与函数函数的特殊的映射二、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域1、函数是一个整体“y=f(x)，x ∈A ．”表示一个函数。

函数=定义域+对应关系+值域2、比喻理解：定义域f −−→值域等价于原材料f −−→产品一个函数就是一个完整过程，定义域是原材料、对应关系f 是生产设备、值域是生产的产品，而我们是老板，老板刷题就是从三要素出发不断地管理匹配这个生产过程3、举例说明：21,y x x R =+∈问：定义域？值域是？对应关系是？三、求函数定义域主要题型：偶次方被开方数为非负；分式的分母不为零；零次幂的底数不为零；对数真数大于零；指数对数的底数大于零且不等于1例题讲解：1、1()f x x x =-2、1()11f x x=+ 3、()f x =4、2()ln(1)f x x =- 5、()1f x x =- 四、求函数解析式1、函数的三种表达方法解析式法+图像法+列表法因此我们可以看出解析式是函数的表达方式之一，也是我们学习过程中接触最多的。

2、函数解析式求法1) 配凑法由已知条件(())()f g x F x =，可以将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代()g x 例题：已知2222(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 2) 待定系数法如已知函数类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法例题：已知()f x 是一次函数，且满足3(1)()29f x f x x +-=+，求函数()f x 的解析式3) 换元法若已知(())f g x 的解析式，可用换元法例题：已知2222(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 4) 解方程组法已知关于()f x 与1()f x 或者()f x -与()f x 的表达式，可根据条件构造出另外一个等式，组成方程组求解例题：已知()f x +21()f x=3x ，则求()f x 的解析式。

高中数学第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示学

1.2 函数及其表示1．2.1 函数的概念预习课本P15～18，思考并完成以下问题(1)在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？(2)如何用区间表示数集？(3)相等函数是指什么样的函数？[新知初探]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．[点睛] 对函数概念的3点说明(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]3．其它区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a} 符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)[点睛] 关于无穷大的2点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( )(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( )(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．函数y＝1x＋1的定义域是( )A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0) 答案：C3．已知f(x)＝x2＋1，则f ( f (－1))＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D4．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________．(2){x|x>1}用区间表示为________．答案：(1)[10,100] (2)(1，＋∞)[例1] (1)设M＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ① f ：把x 对应到3x ＋1； ② g ：把x 对应到|x |＋1； ③ h ：把x 对应到1x； ④ r ：把x 对应到x .(1)[解析] ①中，因为在集合M 中当1<x ≤2时，在N 中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M 中的任意一个数x ，在N 中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x ＝2对应元素y ＝3∉N ，所以③不是；④中，当x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B.[答案] B(2)[解] ①是实数集R 上的一个函数．它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任一x ∈R,3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如x ＝－1，则3x ＋1＝－2与之对应．同理，②也是实数集R 上的一个函数．③不是实数集R 上的函数．因为当x ＝0时，1x的值不存在．④不是实数集R 上的函数．因为当x <0时，x 的值不存在．1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A ，B 必须是非空数集．(2)A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断对应是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x 轴的直线l . (2)在定义域内平行移动直线l .(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．函数的判断[活学活用]1．下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A ．A ＝R ，B ＝R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1解析：选B A 错误，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A ，在B 中找不到与之相对应的数．D 错误，－1∈A ，在B 中找不到与之相对应的数.[例2] 下列各组函数中是相等函数的是( )A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1 C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0) D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2[解析] 对于选项A ，前者定义域为R ，后者定义域为{x |x ≠1}，不是相等函数；对于选项B ，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是相等函数；对于选项C ，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是相等函数；对于选项D ，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．[答案] B判断函数相等的方法判断函数是否相等，关键是树立定义域优先的原则． (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． [活学活用]2．下列各组式子是否表示同一函数？为什么？相等函数(1)f (x )＝|x |，φ(t )＝t 2； (2)y ＝x 2，y ＝(x )2；(3)y ＝1＋x ·1－x ，y ＝1－x 2； (4)y ＝3－x2，y ＝x －3.解：(1)f (x )与φ(t )的定义域相同，又φ(t )＝t 2＝|t |，即f (x )与φ(t )的对应关系也相同，∴f (x )与φ(t )是同一函数．(2)y ＝x 2的定义域为R ，y ＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，两者定义域不同，故y ＝x 2与y ＝(x )2不是同一函数．(3)y ＝1＋x ·1－x 的定义域为{x |－1≤x ≤1}，y ＝1－x 2的定义域为{x |－1≤x ≤1}，即两者定义域相同．又∵y ＝1＋x ·1－x ＝1－x 2，∴两函数的对应关系也相同．故y ＝1＋x ·1－x 与y ＝1－x 2是同一函数．(4)∵y ＝3－x 2＝|x －3|与y ＝x －3的定义域相同，但对应关系不同，∴y ＝3－x2与y ＝x －3不是同一函数.[例3] 求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[解] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1，且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．求函数的定义域[活学活用]3．求下列函数的定义域： (1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1； (3)y ＝(x －1)0＋2x ＋1. 解：(1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0.解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0.解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1，且x ≠1}.[例4] (1)已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)，则f (2)＝________，f (g (2))＝________.(2)求下列函数的值域： ①y ＝x ＋1；②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x －1x ＋1；④y ＝2x －x －1.(1)[解析] ∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，求函数值和值域∴g (2)＝22＋2＝6，∴f ( g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.[答案] 13 17(2)[解] ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y ≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.1．函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则． 2．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．[活学活用]4．求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x21＋x2.解：(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1].层级一学业水平达标1．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.2．若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选B A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，C 中图象不表示函数关系，D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}．3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝(x －1)2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝x 2x和g (x )＝x x2解析：选D A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.4．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35D ．－35解析：选Bf 2 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 2 ＝22－122＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝35－3454＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－1. 5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析：选B y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意知3a －1>a ，则a >12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 7．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________．解析：∵x ＝1,2,3,4,5， ∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. ∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}．答案：{－1,1,3,5,7}8．设f (x )＝11－x，则f ( f ( x ))＝________.解析：f ( f (x ))＝11－11－x ＝11－x －11－x ＝x －1x . 答案：x －1x(x ≠0，且x ≠1) 9．已知f (x )＝x 2－4x ＋5. (1)求f (2)的值．(2)若f (a )＝10，求a 的值．解：(1)由f (x )＝x 2－4x ＋5，所以f (2)＝22－4×2＋5＝1. (2)由f (a )＝10，得a 2－4a ＋5＝10，即a 2－4a －5＝0，解得a ＝5或a ＝－1. 10．求函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域，并用区间表示．解：要使函数解析式有意义，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，6－2x ≥0，6－2x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≤3，x ≠52，所以－2≤x ≤3且x ≠52.所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤3且x ≠52. 用区间表示为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，52 ∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，3.层级二应试能力达标1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析：选A 对于A ，由x ＝y 2＋1得y 2＝x －1.当x ＝5时，y ＝±2，故y 不是x 的函数；对于B ，y ＝2x 2＋1是二次函数；对于C ，x －2y ＝6⇒y ＝12x －3是一次函数；对于D ，由x ＝y 得y ＝x 2(x ≥0)是二次函数．故选A.2．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 集合A 表示函数y ＝x －1的定义域，则A ＝{x |x ≥1}，集合B 表示函数y ＝x 2＋2的值域，则B ＝{y |y ≥2}，故A ∩B ＝{x |x ≥2}．3．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f ( f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：选A ∵f (x )＝ax 2－1，∴f (－1)＝a －1，f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1.∴a (a －1)2＝0. 又∵a 为正数，∴a ＝1.4．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝x ＋3＋1－x 是相等的函数，则函数y ＝f (x )的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，1]解析：选A 由于y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，故二者定义域相同，所以y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤1}．故写成区间形式为[－3,1]．5．函数y ＝1x －2的定义域是A ，函数y ＝2x ＋6 的值域是B ，则A ∩B ＝________(用区间表示)．解析：要使函数式y ＝1x －2有意义，只需x ≠2，即A ＝{x |x ≠2}；函数y ＝2x ＋6 ≥0，即B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝{x |0≤x <2，或x >2}．答案：[0,2)∪(2，＋∞)6．函数y ＝6－x|x |－4的定义域用区间表示为________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧6－x ≥0，|x |－4≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤6，x ≠±4，∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6] 7．试求下列函数的定义域与值域：(1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝(x －1)2＋1； (3)f (x )＝5x ＋4x －1；(4)f (x )＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (3)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(4)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54.所以函数的值域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54.8．已知函数f (x )＝x 21＋x2. (1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值；(3)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016的值．解：(1)∵f (x )＝x 21＋x2，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝1， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，…，f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝1.∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝2 015.1．2.2 函数的表示法第一课时函数的表示法预习课本P19～21，思考并完成以下问题(1)表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？(2)函数的各种表示法各有什么特点？[新知初探][点睛] 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示．( ) (2)函数f (x )＝2x ＋1不能用列表法表示．( )(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )x 1≤x <2 2 2<x ≤4 f (x )1 23A.1C．3 D．不存在答案：C3.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)答案：C4．已知反比例函数f (x)满足f(3)＝－6，f (x)的解析式为________．答案：y＝－18x[例1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来[解] (1)列表法：x/台1234 5y/元 3 000 6 0009 00012 00015 000x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000(2)图象法：(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．理解函数的表示法3个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满函数的表示法足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．[活学活用]1．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出．x 1 2 3 f (x )211则f ( g (1))的值为________；当g ( f (x ))＝2时，x ＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3，∴f ( g (1))＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1.答案：1 1[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．[解] (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．x 1 2 3 g (x )321函数图象的作法及应用由图可得函数的值域是[－1,8]．作函数y＝f(x)图象的方法(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．[活学活用]2．作出下列函数的图象：(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．解：(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，当x＝1,3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．[例3] 求下列函数的解析式：(1)已知函数f (x＋1)＝x＋2x，求f (x)；(2)已知函数f (x)是二次函数，且f (0)＝1，f (x＋1)－f (x)＝2x，求f (x)．[解] (1)[法一换元法]设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f (t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f (x)＝x2－1(x≥1)．函数解析式的求法[法二配凑法]∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，整理，得2ax ＋(a ＋b )＝2x .由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.求函数解析式的4种常用求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[活学活用]3．已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )．解：法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6.法二(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6，即f (x )＝x 2－5x ＋6.4．已知函数f (x )是一次函数，若f ( f (x ))＝4x ＋8，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f ( f (x ))＝f ( ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b .又f ( f (x ))＝4x ＋8， ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.∴f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.5．已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )．解：∵f (x )＋2 f (－x )＝x 2＋2x ， ① ∴将x 换成－x ，得f (－x )＋2 f (x )＝x 2－2x . ② ∴由①②得3 f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x .层级一学业水平达标1．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f (g (2))＝f (1)＝2.2．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1解析：选B 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.3．若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( )A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －3解析：选B 设f (x )＝ax ＋b ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧22a ＋b －3a ＋b ＝5，20·a ＋b －－a ＋b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.4．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7解析：选B ∵f (x )＝2x ＋3，∴f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1，即g (x )＝2x －1，故选B.5．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C 令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4t －12－1(t ≠1)，即f (x )＝4x －12－1(x ≠1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16－1＝15. 6．已知函数f (x )由下表给出，则f ( f (3))＝________.x 1 2 3 4 f (x )3241＝1. 答案：17．已知函数f (x )＝x －m x，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________．解析：将点(5,4)代入f (x )＝x －m x，得m ＝5. 答案：58．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ，依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.答案：2x －239．(1)已知函数f (x )＝x 2，求f (x －1)； (2)已知函数f (x －1)＝x 2，求f (x )．解：(1)f ( x －1)＝(x －1)2＝x 2－2x ＋1.(2)法一(配凑法)：因为f (x －1)＝x 2＝(x －1)2＋2(x －1)＋1，所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.法二(换元法)：令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，可得f (t )＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，即f (x )＝x 2＋2x ＋1.10．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3 f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.层级二应试能力达标1．已知函数f (x ＋1)＝x 2－x ＋3，那么f (x －1)的表达式是( ) A ．f (x －1)＝x 2＋5x －9 B ．f (x －1)＝x 2－x －3 C ．f (x －1)＝x 2－5x ＋9D ．f (x －1)＝x 2－x ＋1解析：选C f (x ＋1)＝(x ＋1)2－3(x ＋1)＋5，所以f (x )＝x 2－3x ＋5，f (x －1)＝(x －1)2－3(x －1)＋5＝x 2－5x ＋9，故选C.2．若一次函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4 C ．(－1,3)D ．(－2,1)解析：选A 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由该函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝6，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4，，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.3．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－2解析：选B 因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.4．函数y ＝f (x )(f (x )≠0)的图象与x ＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．0或1D ．1或2解析：选C 结合函数的定义可知，如果f ：A →B 成立，则任意x ∈A ，则有唯一确定的B 与之对应，由于x ＝1不一定是定义域中的数，故x ＝1可能与函数y ＝f (x )没有交点，故函数f (x )的图象与直线x ＝1至多有一个交点．5．已知x ≠0，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________.解析：f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，所以f (x )＝x 2＋2.答案：x 2＋26．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．已知函数f (x )＝xax ＋b(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，且f (x )＝x 有唯一解，求函数y ＝f (x )的解析式和f (f (－3))的值．解：因为f (2)＝1，所以22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2，①又因为f (x )＝x 有唯一解，即x ax ＋b＝x 有唯一解，所以ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1.代入①得a ＝12.所以f (x )＝x 12x ＋1＝2xx ＋2.所以f (f (－3))＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－6－1＝f (6)＝2×66＋2＝32.8．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为：y ＝ax ＋bx.且当x ＝2时，y ＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件．(1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝100，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝35，代入y ＝ax ＋bx中，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b2＝100，7a ＋b7＝35⇒⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝200，49a ＋b ＝245⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以所求函数解析式为y ＝x ＋196x(x ∈N,0<x ≤20)．(2)当x ∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 197 100 68.353 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8依据上表，画出函数y 的图象如图所示，是由20个点构成的点列．第二课时分段函数与映射预习课本P21～23，思考并完成以下问题(1)什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？(2)怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？(3)映射的定义是什么？映射和函数的关系怎样？[新知初探]1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．[点睛] (1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的．2．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．[点睛] 映射由三要素组成，集合A，B以及A到B的对应关系，集合A，B可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．( )(2)分段函数由几个函数构成．( )(3)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1，x≤1，－x＋3，x>1是分段函数．( )(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x，x≤0，x2，x>0.则f(－2)＝( )A．2 B．4C．－2 D．2或4答案：A3．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应不是A到B的映射的是( )答案：C4．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，1≤x<2，3，x≥2的定义域为________．答案：[1，＋∞)[例1] 下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N*，f：x→|x－3|；(2)A＝N，B＝Q，f：x→1x；(3)A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|2≤y≤5}，f：x→y＝2x.[解] (1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3在B中没有元素与之对应，所以(1)不是映射．映射的概念(2)当x ＝0∈A 时，1x无意义，即A 中的元素0在B 中没有元素与之对应，所以(2)不是映射．(3)当1≤x ≤2时，2≤2x ≤4，而且对于A 中每一个x 值，按照对应关系y ＝2x ，在B 中都有唯一的元素与之对应，所以(3)是映射．判断一个对应是不是映射的2个关键(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素与之对应． (2)B 中的对应元素是不是唯一的．[点睛] “一对一”或“多对一”的对应才可能是映射． [活学活用]1．已知A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →x2x ＋1.(1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？解：(1)A 中元素1，即x ＝1，代入对应关系得x 2x ＋1＝12×1＋1＝13，即与A 中元素1相对应的B 中的元素是13.(2)B 中元素49，即x 2x ＋1＝49，解得x ＝4，因此与B 中元素49相对应的A 中的元素是4.[例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤1，11＋x2，|x |>1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值；(2)若f (x )＝13，求x 的值．[解] (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝413.(2)f (x )＝13，若|x |≤1，则|x －1|－2＝13，分段函数求值得x ＝103或x ＝－43.因为|x|≤1，所以x 的值不存在；若|x |>1，则11＋x 2＝13，得x ＝±2，符合|x |>1.所以若f (x )＝13，x 的值为± 2.1．求分段函数的函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．[活学活用]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f x ＋2，x ≤0，则f (－5)的值等于________．解析：f (－5)＝f (－5＋2)＝f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝2×1＝2.答案：23．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，45x ，x >2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析：当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6， ∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)；当x 0>2时，f (x 0)＝45x 0，∴x 0＝10.综上可知，x 0＝－6或x 0＝10. 答案：－6或10题点一：分段函数的图象的判定 1．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )分段函数的图象及应用解析：选B 法一：函数的解析式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1.画出此分段函数的图象，故选B.法二：由f (－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A 、C 、D ，故选B. 题点二：分段函数图象的作法2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1，画出f (x )的图象．解：利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．题点三：由函数的图象确定其解析式3．已知函数f (x )的图象如右图所示，则f (x )的解析式是________．解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1题点四：分段函数的图象及应用 4．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b .则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．层级一学业水平达标1．下列对应关系f 中，能构成从集合A 到集合B 的映射的是( ) A ．A ＝{x |x >0}，B ＝R ，f ：x →|y |＝x 2B ．A ＝{－2,0,2}，B ＝{4}，f ：x →y ＝x 2C ．A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝1x2D ．A ＝{0,2}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝x2解析：选D 对于A ，集合A 中元素1在集合B 中有两个元素与之对应；对于B ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应；对于C ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应．故A 、B 、C 均不能构成映射．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：选A ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，∴f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.3．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )解析：选D 函数y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选D.4．已知集合M ＝{x |0≤x ≤4}，N ＝{0|0≤y ≤2}，按对应关系f 不能构成从M 到N 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x解析：选C 因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉N ，所以C 中的对应关系f 不能构成从M 到N的映射．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3]解析：选B 先求各段上的图象，再求各段值域的并集，即为该函数的值域．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥1，1x，x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.解析：依题意，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝113＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f (3)＝32－1＝8.答案：87．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，若f (x )＝3，则x 的值是________．解析：当x ≤－1时，x ＋2＝3，得x ＝1舍去，当－1<x <2时，x 2＝3得x ＝3或x ＝－3(舍去)．答案： 38．在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与A 中的元素(－1,2)对应的B 中的元素为________．解析：由题意知，与A 中元素(－1,2)对应的B 中元素为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)．答案：(－3,1)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解：(1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4， ∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4.10．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示函数f (x )； (2)画出函数f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．层级二应试能力达标1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈0，1]，则函数f (x )的图象是( )解析：选A 当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1,0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0,1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1,2)，B 错．故选A.2．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，使函数值为5的x 的值是( ) A ．－2 B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52解析：选A 当x ≤0时，令x 2＋1＝5，解得x ＝－2；当x >0时，令－2x ＝5，得x ＝－52，不合题意，舍去．3．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素在A 中都能找到元素与之对应，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A 注意到对应法则是f ：a →|a |，因此3和－3对应集合B 中的元素3；2和－2对应集合B 中的元素2；1和－1对应集合B 中的元素1；4对应集合B 中的元素4.所以B ＝{1,2,3,4}，有4个元素．4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米解析：选A 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13. 5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≥0，2－x ，－2≤x <0，的值域是________．解析：当x ≥0时，f (x )≥1，当－2≤x <0时，2<f (x )≤4，∴f (x )≥1或2<f (x )≤4，即f (x )的值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )>1，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，f (a )＝12a －1>1，解得a >4，符合a ≥0；当a <0时，f (a )＝1a>1，无解．答案：(4，＋∞)7.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．(1)求f (f (0))的值；(2)求函数f (x )的解析式．解：(1)直接由图中观察，可得f (f (0))＝f (4)＝2.(2)设线段AB 所对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4与⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝b ，0＝2k ＋b .得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，k ＝－2.∴y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)．同理，线段BC 所对应的函数解析式为y ＝x －2(2<x ≤6)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6.8．A ，B 两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A 地到B 地，在B 地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A 地．写出该车离A 地的距离s (公里)关于时间t (小时)的函数关系，并画出函数图象．解：(1)汽车从A 地到B 地，速度为50公里/小时，则有s ＝50t ，到达B 地所需时间为15050＝3(小时)． (2)汽车在B 地停留2小时，则有s ＝150.(3)汽车从B 地返回A 地，速度为60公里/小时，则有s ＝150－60(t －5)＝450－60t ，从B 地到A 地用时15060＝2.5(小时)．综上可得：该汽车离A 地的距离s 关于时间t 的函数关系为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 50t ，0≤t ≤3，150，3<t ≤5，450－60t ，5<t ≤7.5.函数图象如图所示．。

函数的概念及其表示

ab abab a b课题函数的概念及其表示一、函数的概念1 函数：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：(),y f x x A =∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()}f x x A ∈叫做函数的值域。

（1）对函数符号()f x 的理解知道()y f x =与()f x 的含义是一样的，它们都表示y 是x 的函数，其中x 是自变量，()f x 是函数值，连接的纽带是法则f.f 是单值对应； (2)注意定义中的集合 A ，B 都是非空的数集,而不能是其他集合； 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。

二、区间的概念设a 、b 是两个实数，且a b <，规定定义名称符号数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 [,]a b {}x a x b << 开区间 (,)a b {}x a x b <≤ 左闭右开区间 [,)a b {}x a x b <≤左开右闭区间(,]a b{|}[,)x x a a =+∞≥；{}(,)x x a a >=+∞；{}(,]x x a a =-∞≤；{}(,)x x a a <=-∞；(,)R =-∞+∞。

三、相等函数：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等的条件是当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

四、函数的表示法1解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。

数学第一节函数知识点总结

数学第一节函数知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。

简单来说，函数就是将一个或多个输入映射到一个输出的规则。

在数学中，函数通常用符号来表示，例如 f(x) = x^2 表示一个将输入x映射到其平方的函数。

二、函数的符号表示在函数的表示中，常见的符号包括函数名称、自变量、函数表达式和输出值。

例如在 f(x) = x^2 中，f(x) 表示函数名称，x表示自变量，x^2表示函数表达式，而 f(x) 对应的输出值就是 x^2。

三、定义域和值域函数的定义域是指输入的取值范围，即可能的自变量的集合。

而值域则是函数输出的取值范围，即可能的函数值的集合。

例如在函数 f(x) = x^2 中，定义域为实数集，而值域也为实数集。

四、函数的性质1. 函数的奇偶性：一个函数的奇偶性取决于其表达式中的次数，如果一个函数满足 f(-x) = f(x)，则它是偶函数；如果一个函数满足 f(-x) = -f(x)，则它是奇函数。

2. 函数的单调性：一个函数在定义域上的变化趋势称为函数的单调性，可以是增函数或减函数。

3. 函数的周期性：如果对于任意实数x，存在一个正实数T，使得f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。

五、常见的函数类型1. 多项式函数：多项式函数是指形式为 f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n 的函数，其中a0,a1,...,an为常数，n为非负整数。

2. 指数函数：指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为正实数，x为任意实数。

3. 对数函数：对数函数是指形如f(x) = loga(x)的函数，其中a为正实数，x为正实数。

4. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的函数表达式。

5. 无理函数：无理函数是指在定义域上可以表示为rational函数之外的函数。

六、函数的运算1. 函数的加减运算：当两个函数f(x)和g(x)定义域相同时，可以对它们进行加减运算，即(f+g)(x) = f(x) + g(x)。

函数的基本概念和表示方法

函数的概念及其表示方法【知识点一】函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a≤x≤b}=[a，b]；；；.【知识点二】函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．【知识点三】映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.规律方法指导1.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.解：(1)，对应关系不同，因此是不同的函数；(2)的定义域不同，因此是不同的函数；(3)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；(4)定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；(3)是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；(2)；(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)的定义域为x2-2≠0，；(2)；(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3).思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．解：(1)当|x-2|-3=0，即x=-1或x=5时，无意义，当|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为{-2}.总结升华：小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.解：f(3)=3×32+5×3-2=27+15-2=40；；；.举一反三：【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，的值；(3)当a＞0时，求f(a)×f(a-1)的值.解：(1)由；(2)；；(3)当a＞0时，.【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．解：(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4；.思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；(2)；(3)；(4)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).类型二、映射与函数5. 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正三角形便可成为映射．总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．举一反三：【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0没有象.【变式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B与x对应；(2)A中的某个元素在B中可以没有象；(3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象；(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；(5)B中的元素在A中都有原象；(6)B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x；(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|；(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象.解：∴A中元素的象为故.举一反三：【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什么？解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以A中元素的象为；又因为x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因为A={x|x＞0}，所以B中元素-1的原象为2；(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2，4)；又因为由有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象为(2，1).类型三、函数的表示方法7. 求函数的解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则；(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x2+2x-1；(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1∴f(x)=x2+2x-1；(法3)设f(x)=ax2+bx+c则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象.(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；(2)为分段函数，图象是两条射线；(3)为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；(4)图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.举一反三：【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：举一反三：【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅲ. 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；Ⅱ：当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；Ⅲ：若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）采用第二种方式：200=0.6x，∴应采用第一种(全球通)方式.一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸2．函数y=的定义域是()A．-1≤x≤1B．x≤-1或x≥1 C．0≤x≤1 D．{-1，1}3．函数的值域是( )A．(-∞，)∪(，+∞)B．(-∞，)∪(，+∞)C．R D．(-∞，)∪(，+∞)4．下列从集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( )A．1 B． 2 C． 3 D．45．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( )A．A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象B．B中元素可以有两个原象6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )A．(，1)B．(1，3) C．(2，6)D．(-1，-3)7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( )A．y=B．y=C．y=x D．y=x28．下列图象能够成为某个函数图象的是( )9．函数的图象与直线的公共点数目是( )A．B．C．或D．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( )A．B．C．D．11．已知，若，则的值是( )A．B．或C．，或D．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( )A．沿轴向右平移个单位B．沿轴向右平移个单位C．沿轴向左平移个单位D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．4．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．2．求函数的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(2)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；(3)已知；一、选择题1．设函数，则的表达式是( )A．B．C．D．2．函数满足则常数等于( )A．3 B．-3 C．D．3．已知，那么等于( )A．15 B．1 C．3 D．304．已知函数定义域是，则的定义域是( )A．B．C．D．5．函数的值域是( )A．B．C．D．6．已知，则的解析式为( )A．B．C．D．二、填空题1．若函数，则=_______________．2．若函数，则=_______________．3．函数的值域是_______________．4．已知，则不等式的解集是_______________．5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围_______________．三、解答题1．设是方程的两实根，当为何值时，有最小值?求出这个最小值．2．求下列函数的定义域(1)；(2)．3．求下列函数的值域(1)；(2)．综合探究1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是( )2.如图所表示的函数解析式是( )A. B.C. D. 3．函数的图象是( )。

1.2.1函数的概念

配人教版
数学
必修1
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}.
x－1≥0， (3)要使函数有意义，则 1－x≥0， x≥1，即 x≤1，
所以 x＝1，
＋1)的定义域. 【错解】∵1≤x≤2，∴2≤x＋1≤3. ∴y＝f(x＋1)的定义域为[2,3].
配人教版
数学
必修1
【错因】未弄清函数的定义域概念而致错，实际上此类问题学生易分不清函数y＝f(x＋1)的自变量是x，常常错误地认为是“x＋1”.两函数中第一个函数的“x”与第二个函数的“x＋
1”地位是等同的.
x－1≥0，【解析】由题意可知，要使函数有意义，需满足 x－2≠0，
即 x≥1 且 x≠2.
配人教版
数学
必修1
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( A．11 B．12
)
C．13
【答案】C
D．10
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
配人教版
配人教版
数学
必修1
2x＋3≥0， (2)要使函数有意义，需2－x>0， x≠0， 3 解得－2≤x<2 且 x≠0， 1 1 所以函数 y＝ 2x＋3－＋x 的定义域为 2－x
3 x－ ≤x 2 <2且x≠0.
配人教版求函数值
数学
必修1
必修1
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)集合{x|1<x≤10}用区间表示为________. (2)已知函数f(x)＝x－1，则f(1)＝________.

函数的概念,三要素的求法(整理版)

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In short, thr oug h soli d and effective w ork initiatives函数的概念,三要素的求法一、函数的概念：1．函数的概念：函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数记作：y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x ) | x ∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B 的子集.（2）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.（3）典型例题：1. 函数y = f (x )表示（） A ．y 等于f 与x 的乘积 B ．f (x )一定是解析式 C ．y 是x 的函数 D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2 + 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2 (x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.x y o x y o x y o xy o"Pocket" members 1037, find there ar e 640 "lost" party members are not conta cted 148 "Pocket" party members a nd impl ementati on of orga nizati onal rel ationshi ps. E ducational manageme nt of party member s into t he Orga nizati on, t here is a l ot of work to do. Weak a nd lax party continued re organization as a n importa nt task, finish perfe ct organization, with a g ood team, Good system. Spe cial highlight s of grass-roots party organizations, to be dealt wit h first in pl ace, furt her educati on, r eorganization, transformation and educati onal i nteracti on. In short, thr oug h soli d and effective w ork initiatives2.映射映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；"Pocket" members 1037, find there ar e 640 "lost" party members are not conta cted 148 "Pocket" party members a nd impl ementati on of orga nizati onal rel ationshi ps. E ducational manageme nt of party member s into t he Orga nizati on, t here is a l ot of work to do. Weak a nd lax party co ntinued re organization as a n importa nt task, finish perfe ct organization, with a g ood team, Good system. Spe cial highlight s of grass-roots party organizations, to be dealt wit h first in pl ace, furt her educati on, r eorganization, transformation and educati onal i nteracti on. In short, thr oug h soli d and effective w ork initiatives④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y ∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B 不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应."Pocket" members 1037, find there ar e 640 "lost" party members are not conta cted 148 "Pocket" party members a nd impl ementati on of orga nizati onal rel ationshi ps. E ducational manageme nt of party member s into t he Orga nizati on, t here is a l ot of work to do. Weak a nd lax party continued re organization as a n importa nt task, finish perfe ct organization, with a g ood team, Good system. Spe cial highlight s of grass-roots party organizations, to be dealt wit h first in pl ace, furt her educati on, r eorganization, transformation and educati onal i nteracti on. In short, thr oug h soli d and effective w ork initiatives例1，已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射？并说明理由：⑴ A=N ，B=Z ，对应法则：“取相反数”；⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”； ⑶A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”； ⑷A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.二、函数的三要素——定义域、值域、对应法则（a ）函数定义的理解.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.(b) 区间的概念（1）不等式a ≤x ≤b ，用闭区间[a ，b ]表示；（2）不等式a ＜x ＜b ，用开区间(a , b )表示；（3）不等式a ≤x ＜b (或a ＜x ≤b )用半开半闭区间[a ，b ](或(a ，b ])表示；（4）x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 分别表示为[a ，+∞)，(a , +∞)，(–∞, b ]，(–∞, b ).1.定义域的求法：例1：列函数中哪个与函数y = x 相等？（1）1()2f x x =-；（2）()32f x x =+；（3）1()12f x x x=++-.（4）3212+=x y（5）1||142-+-=x x y（6）||13x x x y +-=求函数的定义域的类型：一、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

函数的概念与表示

函数的概念与表示
（一）函数的概念：在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果给定了一个x值，
相应的就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

说明：1.符号y=f(x)的意义：x是自变量，f表示对应法则，y是x的函数；遂于定义域
内的每一个x的值，在对应法则f的作用下，都有唯一确定的y的值和它对应，和x值对应的y的值用f(x)表示
2．f(x)与f(a)的区别：f(x)表示自变量x的函数，f(a)表示当x=a是对应的函数值。

（二）函数的三要素：1）定义域 2）值域 3）对应法则
其中值域被定义域与对应法则唯一确定，因此我们常说函数有两要素，即定义域和对应法则，对应法则是函数的核心，定义域是函数的灵魂。

（三）两个函数相等的条件：1）定义域想同 2）对应法则相同；即对应定义域内的每一个x，他们都有相同的函数值。

（四）区间的概念
设a，b属于R,且a<b
（五）函数的表示方法。

专题09 函数的概念及其表示(解析版)

专题09函数的概念及其表示1．函数的概念定义设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值集合值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.[知识点拨](1)对数集的要求：集合A、B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b](2)定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)[知识点拨](1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．3.函数的表示法[4. 所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．[知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．重要考点一：函数概念的理解【典型例题】函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点有（）A ．0个B ．1个C ．至多1个D ．至少1个【答案】C 【解析】若函数()y f x =在1x =处有定义，则函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点个数是1；若函数()y f x =在1x =处没有定义，则函数()y f x =的图象与直线1x =没有公共点，因此，函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点至多1个.故选：C.【题型强化】1.可作为函数()y f x =的图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】A,B,C 不可作为函数图像；因为在图像对应的自变量x 的取值范围内存在自变量0x ，有两个y 值与之对应，不符合函数的概念；D 符合函数概念；故选D 2.下列四组函数中，表示同一函数的是（） A ．f （x ）=1与g （x ）=x 0B ．()f x x =与()2g x x =C ．f （x ）=x 与g （x ）=2x xD ．()21f x x =-与()11g x x x =+-【答案】B【解析】A 选项：两个函数定义与不同：f(x)定义域为R ，g(x)定义域00-∞⋃+∞（，）（，），排除A C 选项：f(x)定义域为R ，g(x)定义域00-∞⋃+∞（，）（，），定义域不同，故排除C D 选项：：f(x)定义域为11-∞-⋃+∞（，）（，），g(x)定义域1（，）+∞，故排除D ，故选：B 【名师点睛】1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A ，B 必须是非空数集；A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应；A 中任一元素在B 中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．重要考点二：求函数的定义域【典型例题】函数0()(2)f x x =-+ ） A ．(2,)+∞ B ．(1,)-+∞C ．(1,2)(2,)-+∞ D ．R【答案】C【解析】由已知，20101x x -≠⎧⎪⎨≥⎪+⎩，解得1x >-且2x ≠，所以()f x 的定义域为(1,2)(2,)-+∞.故选：C.【题型强化】1.函数y =的定义域为（） A ．()1,2- B ．()0,2 C ．[)1,2- D ．(]1,2-【答案】D 【解析】由题意可得1020x x +>⎧⎨-≥⎩，解得12x -<≤，所以，函数y =的定义域为(]1,2-. 故选：D. 2.已知函数()21f x +的定义域为()2,0-，则()f x 的定义域为（）A ．()2,0-B ．()4,0-C ．()3,1-D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】()21f x +的定义域为()2,0-，即20x -<<，3211x ∴-<+<，所以，函数()f x 的定义域为()3,1-，故选C. 【名师点睛】求函数的定义域：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．重要考点三：求函数值【典型例题】若()22f x x x =-，则()()()1ff f =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】由()22f x x x =-，可得()1121f =-=-；所以()()()11123f f f =-=+=；()()()()13963f f f f ==-=.故选C.【题型强化】1.已知函数f(x －1)＝x 2－3，则f(2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1 D ．0【答案】B【解析】令1x t -=，则1x t =+,()()213f t t ∴=+-,()()213f x x ∴=+-()()222136f ∴=+-=,故选B.2.若()f x 满足关系式()12()3f x f x x+=，则()2f 的值为 A ．1 B ．1-C ．32-D ．32【答案】B【解析】∵f （x ）满足关系式f （x ）+2f （1x）=3x ， ∴()()12262132222f f f f ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，①，②， ①﹣②×2得﹣3f （2）=3，∴f （2）=﹣1，故选B ．【名师点睛】解题时，(一)要注意审题，观察分析、发现规律．(二)要注意一题多问时，有时前面问题的结论可作为后面问题的条件使用．重要考点四：求函数定义域时非等价化简解析式而致误【典型例题】已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()1f x 2f 1x ⎛= ⎝，则()f x =______．13【解析】在()1f x 2f 1x ⎛=⎝，用1x 代替x ，得(1f 2f x 1x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立得 ()(1f x =2f x 1f =2f x x ⎧⎛ ⎪⎪⎝⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ ，将2f x 1f 1x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入()1f x 2f 1x ⎛= ⎝中，可求得()1f x 3=． 13+【题型强化】1.若()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】3 【解析】()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴12()21122()1f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫-=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得42()133f x x x =++，∴141213123232f ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭⨯．故答案为：3．2.已知()2212f x x x +=-，则()9f =______________.【答案】8【解析】21x t +=，则12t x -=，代入()2212f x x x +=-得： 22111()()2(65)224t t f t t t --=-⨯=-+，∴2135()424f x x x =-+， ∴2135(9)998424f =⨯-⨯+=．故答案为：8．重要考点五：求函数值域的方法（分离常数法）【典型例题】函数11x y x -=+()0x ≥的值域为（） A ．[)1,1- B ．[]1,1-C ．[)1,-+∞D ．[)0,+∞【答案】A 【解析】()112210111x x y x x x x -+-===-≥+++ 0x ≥ 11x ∴+≥ 2021x ∴<≤+ 2201x ∴-≤-<+ 21111x ∴-≤-<+，即()101x y x x -=≥+的值域为[)1,1-故选：A 【题型强化】1.函数()3452xf x x-+=-的值域是（）A ．()(),22,-∞+∞B ．()(),22,-∞--+∞C ．55,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．R【答案】B 【解析】()344341077252252525x x x f x x x x x -+--+==-=-=-+----，()2f x ∴≠-，值域为()(),22,-∞-⋃-+∞．2.函数222231x x y x x ++=+-的值域为________．【答案】(,2](2,)-∞-⋃+∞【解析】2222235211x x y x x x x ++==++-+-，因为221551244x x x ⎛⎫+-=+-- ⎪⎝⎭，所以21415x x ≤-+-或2101x x >+-，则25221x x +≤-+-或25221x x +>+-，即(,2](2,)y ∈-∞-⋃+∞. 故答案为：(,2](2,)-∞-⋃+∞【名师点睛】求y ＝ax ＋c x ＋b 这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化简为y ＝d ＋n x ＋m的形式．重要考点六：求函数值域的方法（配方法）【典型例题】求下列函数的值域221y x x =--+，[)2,1x ∈-；【答案】(]2,2-；【解析】（3）因为2(1)2y x =-++，[)2,1x ∈-，画出其图象如图：观察图象可知值域为(]2,2-.【题型强化】1.作出下列函数图象，并指出其值域. （1）y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)；（2）y ＝2x(－2≤x ＜1且x ≠0). 【答案】（1）图象见解析，值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）图象见解析，值域为(](),12,-∞-+∞.【解析】（1）由题意()2211,1124y x x x x ⎛⎫=+=+--≤≤ ⎪⎝⎭，当1x =-时，211024y x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭；当12x =-时，2111244y x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭；当1x =时，211224y x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭；函数2y x x =+的图象为抛物线的一部分，如图：由图象可知，函数()2,11y x x x =+-≤≤的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由题意函数2y x = (－2≤x ＜1且x ≠0)的图象为反比例函数图象的一部分，当2x =-时，21y x ==-；当1x =时，22y x==；所以该函数图象如图：由图象可知，函数2y x= (－2≤x ＜1且x ≠0)的值域为(](),12,-∞-+∞.2.求下列函数值域：（1）y ＝2x 2－2x ＋3；（2）y ＝372x x ++；（3）y ＝2x 1x - （4）y ＝224x x -+.【答案】（1）5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）()(),33,-∞+∞；（3）15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（4）[]0,2. 【解析】（1）由题意2215223222y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数2223y x x =-+的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）由题意()3213713222x x y x x x +++===++++，由102x ≠+可得函数372x y x +=+的值域为()(),33,-∞+∞；（3）令10t x =-≥，则21x t =+，所以()()2211521212,048y x x t t t t ⎛⎫=-=+-=-+≥ ⎪⎝⎭，所以当14t =时，函数取最小值158，所以函数21y x x =-15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（4）由题意()22424x x x -+=--+，所以2044x x ≤-+≤，所以2042x x -+≤，20242x x ≤-+≤，所以函数224y x x =-+[]0,2.【名师点睛】遇到求解一般二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化简为y ＝m (x ＋n )2＋d 的形式，从而求得函数的值域．重要考点七：求函数值域的方法（换元法）【典型例题】已知1x >-，则函数27101x x y x ++=+的值域为________．【答案】[9,)+∞【解析】设1t x =+由1x >-知，0t >，1x t =-，故22710(1)7(1)10451x x t t y t x t t++-+-+===+++， ∵44t t +≥ （当且仅当2t =时，等号成立）．∴函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域为[9,)+∞．【题型强化】1.函数23y x =-的值域是__________ 【答案】7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦t =，则()21304t x t -=≥， ∴原函数化为213234t y t -=⨯--21722t t =--+()21142t =-++ ∵0t ≥，∴72y ≤，故答案为：7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．2.函数y x =_______. 【答案】74⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】令a =0a ≥，22x a =+，2217224y a a a ⎛⎫∴=+-=-+ ⎪⎝⎭0a ≥,12a ∴=，74min y =，∴函数y x =74⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【名师点睛】求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意根号下变量的取值范围．重要考点八：求函数解析式的常用方法（待定系数法）【典型例题】已知()y f x =是一次函数，且有[()]1615f f x x =-，则()f x 的解析式为______．【答案】()43f x x =-或()45f x x =-+【解析】由题意设()(0)f x ax b a =+≠，2(())()1615f f x a ax b b a x ab b x ∴=++=++=-，则21615a ab b ⎧=⎨+=-⎩，解得45a b =-⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=-⎩，()43f x x ∴=-或()45f x x =-+，故答案为：()43f x x =-或()45f x x =-+．【题型强化】1.已知函数()(0)f x ax b a =->，(())43f f x x =-，则(2)f =_______．【答案】3【解析】由题意，得2(())()()()43f f x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-，即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此(2)3f =，故答案为3.2.已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，其图象过点()1,1-，且满足()()244f x f x x +=++，则()f x 的解析式为______.【答案】22f x x【解析】根据题意可知1a b c ++=-，又()()222244a x b x c ax bx c x ++++=++++恒相等，化简得到()()44244a b x a b c b x c ++++=+++恒相等，所以444241a b b a b c c a b c +=+⎧⎪++=+⎨⎪++=-⎩，故1a =，0b =，2c =-，所以()f x 的解析式为22f x x .故答案为：22f x x .【名师点睛】 (1)一次函数可设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，正比例函数可设为y ＝kx (k ≠0)；反比例函数可设为y ＝k x(k ≠0)；已知二次函数f (x )的顶点或对称轴、最值时，可设顶点式f (x )＝a (x ＋m )2＋n ；已知二次函数与x 轴两交点坐标时，常设分解(标根)式f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．已知f (x )的图象过某三点时，常设一般式f (x )＝ax 2＋bx ＋c ；(2)凡是已知函数(或方程、不等式等)的形式时，常用待定系数法求解．重要考点九：恒成立的应用【典型例题】不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(2,2)-【解析】∵不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，∴240k =-＜。

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