函数的概念及其表示法PPT课件

第1讲 函数的概念及其表示法
考试要求 1.函数的概念，求简单函数的定义域和值域，B 级要求；2.选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表 示函数，B级要求；3.简单的分段函数及应用，A级要求．
知识梳理
1．函数与映射的概念
两个集合 A，B
函数
设A，B是两个
非空数集
映射 设A，B是两个
非空集合
答案 (1)(2,3)∪(3,4] (2)[－1,0]
考点二 求函数的解析式 【例 2】 (1)已知 f2x＋1＝lg x，则 f(x)＝________；
(2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则 f(x)＝ ________； (3)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2f1x· x－1，则 f(x) ＝________.
答案 0
5．(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点 (－1,4)，则a＝________.
解析 由题意知点(－1,4)在函数f(x)＝ax3－2x的图象上， 所以4＝－a＋2，则a＝－2. 答案 －2
考点一 求函数的定义域 【例 1】 (1)函数 f(x)＝ln x－x 1＋ 的定义域为________．
成，但它表示的是一个函数．
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数 y＝1 与 y＝x0 是同一个函数．
(
)
(2)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．(
)
(3)函数 y＝ x2＋1－1 的值域是{y|y≥1}．
(
)
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(
则
2x－x2>0， x－1≠0，
解得
0<x<2，且 x≠1，故函数 f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2)．
答案 (0,1)∪(1,2)
4．设 f(x)＝10，，xx>＝00，， 1，x<0，
g(x)＝10， ，xx为 为有 无理 理数 数， ， 则 f(g(π))的值为
________．
解析 g(π)＝0，f(g(π))＝f(0)＝0.
【训练 1】(1)函数 f(x)＝ 4－|x|＋lgx2－x－5x3＋6的定义域为________． (2)若函数 f(x)＝ 2x2＋2ax－a－1的定义域为 R，则 a 的取值范围为 ________．
解析
4－|x|≥0， (1)要使函数 f(x)有意义，应满足x2－x－ 5x3＋6>0，
∴|xx－ |≤24>， 0且x≠3， 则 2<x≤4，且 x≠3. 所以 f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4]． (2)因为函数 f(x)的定义域为 R，所以 2x2＋2ax－a－1≥0 对 x∈R 恒成立， 则 x2＋2ax－a≥0 恒成立．因此有 Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
2．下列给出的四个对应中： ①A＝B＝N*，对任意的 x∈A，f：x→|x－2|； ②A＝R，B＝{y|y>0}，对任意的 x∈A，f：x→x12； ③A＝B＝R，对任意的 x∈A，f：x→3x＋2； ④A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，对任意的(x，y)∈A，f：(x，y)→x ＋y. 其中对应为函数的有________(填序号)．
∴g(x)有意义，应满足1x－ ≤1x＋ ≠10≤ . 2 017， ∴0≤x≤2 016，且 x≠1. 因此 g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 016，且 x≠1}．
答案 (1)(1，＋∞) (2){x|0≤x≤2 016，且x≠1}
规律方法 求函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式 (组)求解． (3) 若 已 知 f(x) 的 定 义 域 为 [a ， b] ， 则 f(g(x)) 的 定 义 域 可 由 a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义 域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
对应关系 f：A→B
名称 记法
如果按照某种确定的对应关系f， 使对于集合A中的
任意一个数x，在集合B中都有 的数f(x)和它对应 唯一确定
称 f：A→B 为从集合A到集合B
的一个函数
函数y＝f(x)，x∈A
如果按某一个确定的对应关系f， 使对于集合A中的
任意一个元素x，在集合B中都有 的元素y与之对应 唯一确定
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 ．
4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分 别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ，其值 域等于各段函数的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组
解析 ①中，当 x＝2 时，|2－2|＝0∉B，此对应不是函数；②中，x ＝0 时，x12无意义，此对应不是函数；③对应是函数；④中，A 不是 数集，故此对应不是函数．
答案 ③
3．函数 f(x)＝lnx2－x－1x2的定义域为________．
解析
要使函数
f(x)
＝
ln2x－x2 x－1
有
意
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义
，
)
解析 (1)函数 y＝1 的定义域为 R，而 y＝x0 的定义域为{x|x≠0}， 其定义域不同，故不是同一函数． (3)由于 x2＋1≥1，故 y＝ x2＋1－1≥0，故函数 y＝ x2＋1－1 的值 域是{y|y≥0}． (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数．
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
(2)若函数 y＝f(x)的定义域是[1,2017]，则函数 g(x)＝fxx－＋11的定义 域是____________．
解析
(1)要使函数 f(x)有意义，应满足x－x 1>0， x≥0，
解得 x>1，故函
数 f(x)＝lnx－x 1＋ 的定义域为(1，＋∞)． (2)∵y＝f(x)的定义域为[1,2 017]，
称 f：A→B 为从集合A到集合B的
一个映射
映射：f：A→B
2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的 定义域 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函 数值的 集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的 值域 ．
(2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致， 则这两个函数为相等函数．