2018年高三最新 第十五届“希望杯”全国数学邀请赛 精品

第十五届“希望杯”全国数学邀请赛

1．高一 第1试

一、选择题（每题4分，共40分） 函数()tan2f x x =的最小正周期是（ ）

A. 2π

B.

π C.

2π D. 4

π 2. 函数12

()log cos f x x =在()0,2x π∈时的单调递增区间是（ ）

A. 0,

2π⎛⎫

⎪⎝⎭

B. ()0,π

C.

(),2ππ D. 3,22ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

3. 对于任意实数x ，若不等式34(0)x x a a -+->>恒成立，则实数a 应满足（ ）

A. 01a <<

B. 01a <≤

C. 1a >

D. 1a ≥

4. 等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项的和分别为n S 、n T ，且

3323n n S n T n -=

+，则66

a

b =（ ）

A.

3

2 B. 1 C. 65 D. 27

23

5. 如图，EF 是梯形ABCD 的中位线，则在向量1

()2

AD BC +、

1()2AC BD +、1

(2)2

AD AB CD --中，与EF 相等的向量的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6. 在ABC 中，若sin 2cos sin C A B =，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 7

．函数()f x =

（ ）

A ． 是奇函数但不是偶函数

B ． 是偶函数但不是奇函数

C ． 既是奇函数又是偶函数

D ． 既不是奇函数又不是偶函数

8． 集合M 由正整数的平方组成，即{}1,4,9,16,25,...M =，若对某集合中的任意两个元

素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的. M 对下列运算封闭的是（ ） A. 加法 B. 减法 C. 乘法 D. 除法 9．等比数列{}n a 中，“13a a <”是“79a a <”的（ ）

A.

充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件

D.

既不充分又不必要条件

10．已知函数()f x 的图象与函数()3x g x =的图象关于点()0,1对称，则()f x =（ ）

A.3log 1x -

B. 23x

-- C.

23x -+ D. 32log x -

二、A 组填空题（每题4分，共40分） 11．已知函数1,()0x f x x ⎧=⎨

⎩为有理数，，为无理数.0,()x g x x ⎧=⎨⎩

为有理数，

1，为无理数.当x R ∈时，

()()_______,f g x =()()_____

__.g f x = 12． 已知不等式0ax b +>的解集是{}

2x x >，则不等式0bx a +>的解集是______________; 不等式0bx a +>的解集是________________.

13. 一个等差数列共有12项，前4项的和是10，后4项的和是4，则中间4项的和是_______,

10项的和是_______.

14. 某广告公司准备用200只彩色灯泡，设计成一个梯形图案，且每层比上面相邻的一层

多1只灯泡，那么，最多的一层至多可安装_____________只灯泡, 最少的一层至少可安装_____________只灯泡. 15. 数列{}n a 的前n 项的乘积210

2

12n n n P +-⎛⎫=- ⎪

⎝⎭

，则2_____,a ={}n a 的前5项的和是

__________. 16.

已知函数()f x =

，则函数()f x 的最大值与最小值之

差是________________.

17. 定义在R 上的奇函数()f x ，在[)0,+∞上是增函数，若(1)(1)f f x <-，则x 的取

值范围是______________.

18. 已知函数2

()f x x bx c =++在[]0,2上的最大值是t ，且(

1)0,0,f b =>将t 表示成b

的函数()g b ，则()___________.g b =

19. 函数cos(sin )y x =的值域是__________.

20. A creeper grows to length of 4m in 20 days by doubling its length everyday. How many days

does it take to grow to a length of 1

4

m? Answer:______________.(英汉小词典：creeper: 攀缘植物)

三、 组填空题（每题8分，共40分）

21．Find the missing number in the sequence 3,6,13,28,________,122, 249,_______.

Answer:______________________.( 英汉小词典：sequence 数列 ) 22． 当7,66x ππ⎡⎤

∈⎢

⎥⎣⎦

时，函数23sin 2cos y x x =--的最小值是______________，最大值是_________.

23． 函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，可知()f x 的单调递增区间是________; 单调递减区间是_________________.

24． 3支代表队共10名棋手参加围棋比赛，不同代表队的棋手之间都进行一场比赛，同一代表队的棋手之间都不进行比赛. 那么比赛最少可能进行__________场，最多可能进行__________场.

25． 设{}n a 是集合{}

220,,s t

s t s t Z +≤<∈且中所有的数从小到大排成的数列，则

550________,_____.a a ==

答案：

一、选择题（每题4分，共40分）

1．C 2. A. 3. A. 4. C. 5. D. 6.A 7. B. 8. C. 9. C. 10. B. 二、A 组填空题（每题4分，共40分） 11. 1,0. 12.12x x ⎧⎫≠

⎨⎬⎩⎭, 12x x ⎧⎫

<⎨⎬

⎩

⎭. 13. 7,3198. 14. 42, 5. 15. 15,16.432 16. 0. 17. ()(),02,-∞+∞. 18. b+3. 19. []cos1,1. 20. 16.

二、B 组填空题（每题8分，共40分） 21．59，518．22．7

,2.8

23. ()()1,,,3.+∞-∞- 24. 17, 33. 25. 10, 1180.