高二数学复数代数形式的四则运算
复数的代数形式的四则运算
五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
i
4n
4. i的指数变化规律：
1,
i
4 n 1
i ,
i
4n4n2Fra bibliotek1 ,
4n2
i
4 n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分 母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形 式(分母实数化).即
( 2 ) (2 i ) (2 3 i ) 4 i
(3 ) 5 (3 2 i )
(4) 4i (4i 4)
答案： (1) 2 + 2i
(2) 0
(3) 2 - 2i
(4) 4
练习: 1.计算 (2 3i )(2 3i )
13
2.已知 (3 i ) z 10 ,则 z _____. 3.已知 f ( x ) x 3 2 x 2 5 x 2 ,则 f (1 2i ) =_____.
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
3. i的指数变化规律：
i i
4n
4 n 1
高二数学复数代数形式的四则运算
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两极策略将组合中债券的到期期限。A．向左平移B．向右平移C．集中于波峰和波谷D．集中于两极 血细胞成熟 2.5gNa2S2O3•5H2O（其摩尔质量为248.2g/mol）配制成1升溶液，其浓度（mol/L），约为。A.0.001B.0.01C.0.1D.0.2 出版物之所以不同于其他商品，在于它具有。A.物质产品属性B.精神产品属性C.商品性D.艺术性 普通碳素钢的含硫量不大于％，含磷量不大于％A.0.055，0.045B.0.045，0.04C.0.05，0.06D.0.045，0，05 头向前弯属于()A．前倾B．屈曲C．伸展D．内收E．外展 碳铵和尿素各有什么特点？施用上应注意什么？ 下列关于膀胱损伤的说法哪项不正确A.膀胱损伤的病因可分为开放性损伤、闭合性损伤和医源性损伤B.膀胱损伤的病理可分为挫伤和破裂，后者又分为腹膜内型和腹膜外型C.膀胱损伤的临床表现可有休克、腹痛、血尿和排尿困难及尿瘘等D.膀胱损伤为防止感染一般不进行膀胱造影E.膀胱破裂如裂 电信的网管体系跨多个电信部门包括管理基础网和。A、多种业务网B、管理网C、子网D、网层 中国八大古都河南有四个，其中九朝古都是___。A.开封B.洛阳C.安阳D.郑州 心理活动的源泉和内容是A.感觉与知觉B.客观现实C.认知过程D.反映活动E.想象 健脾丸的功用是。A.健脾和胃，消食止泻B.健脾消痞C.消痞除满，健脾和胃D.消食和胃E.分消酒湿，理气健脾 用石棉毯盖在燃烧物伤，使火熄灭属于隔离法.A.正确B.错误 临床上最常见的一种皮神经炎是A.股外侧皮神经病B.肋间神经痛C.枕神经痛D.臂丛神经痛E.坐骨神经痛 关于肿瘤的发生原因，不正确的是。A.一种致癌因素可诱发多种肿瘤B.一种肿瘤可能有多种病因C.大多数肿瘤病因尚不完全清楚D.一种肿瘤对应一种致癌因素E.绝大多数肿瘤是环境因素与细胞的遗传物质相互作用引起的 绞窄性肠梗阻的体征不包括。A.呕吐物为血性液B.腹部有孤立胀大的肠袢C.全腹膨胀D.有腹膜刺激征或固定压痛E.疼痛为持续性，阵发加重 在铸造生产中，流动性较好的铸造合金。 有瘘管的患牙，行根尖刮治或根尖切除术，术后至少需观察多少时间，才行桩冠修复.A.1周B.2周C.3周D.4周E.5周 （2009）图示电路中，电流I1和电流I2分别为：A.2.5A和1.5AB.1A和0AC.2.5A和0AD.1A和1.5A 肾损伤的主要临床表现不包括A.休克B.尿痛C.血尿D.腰腹部肿块E.疼痛 下列不属于正式沟通的优点的是A.效果较好B.比较灵活C.有较强的约束性D.易于保密E.可以使信息沟通保持权威性 在电力系统中所谓短路是相与相与地之间，通过电弧或其它较小阻抗的一种联接。 机车鸣示缓解及溜放信号为。 关于纸片扩散法结果判断，下列叙述错误的是A.测量抑菌环直径用肉眼判读，包括纸片直径。保持平板在反射光照明的非反射黑的背景上方几英寸，肉眼观察无明显生长的地区作为抑菌环边缘。在抑菌环边缘借助放大镜才能观察到的微小菌落生长可忽略不计B.由于培养基中可能存在拮抗剂，甲氧 下列关于商业银行个人理财从业人员岗位职责要求，说法正确的是()。A.从业人员应当熟知业务B.从业人员应当确保客户交易的安全C.从业人员应当妥善保存客户资料及其交易信息档案D.从业人员在业务活动中应当遵守有关禁止内幕交易的规定E.从业人员应当严格保守客户隐私，不得向任何机构 患者，男，23岁，因上呼吸道感染，剧烈咳嗽，持续发热而就诊，测体温持续在39～40℃左右一周时间，且一天内体温波动幅度不超过1℃。其热型为()A．稽留热B．弛张热C．间歇热D．不规则热E．超高热 "入芝兰之室，久闻而不知其香"说明的是A.感觉过敏B.感觉适应C.感觉相互作用D.感觉减退E.感受性补偿 有关第Ⅷ对脑神经损害的描述，不正确的是A.传导性耳聋常见于外耳道和中耳疾病，神经性耳聋可由耳蜗或蜗神经病变引起B.低音性耳鸣提示传导通路病变，高音性耳鸣提示感音器病变C.前庭周围性病变所引起的眩晕常较重，起病突然或周期性发作D.眼球震颤可见快慢两个相反方向的运动，通常 V形河谷多选用拱坝。A.变曲率B.单曲C.单曲或双曲D.双曲 [单选,共用题干题]女，33岁，3年前普查时发现子宫肌瘤，无月经症状，定期检查肌瘤无明显增大，未避孕。今因停经45天就诊首选的辅助检查方法是。A.盆腔B超B.血HCG测定C.诊刮术D.黄体酮试验E.宫腔镜检查 小儿肺活量为。A.30～50ml／kgB.50～70ml／kgC.70～90ml／kgD.90～110ml／kgE.110～130ml／kg 类风湿关节炎治疗的目的不包括A.控制关节疼痛B.防止关节破坏C.保护关节功能D.提高患者的生活质量E.彻底治愈疾病 据《素问·太阴阳明论》，脾病不能为胃行其津液，则病A.泄泻B.四肢不用C.水肿D.饥不受食E.腹痛 电力监督检查人员进行监督检查时，应当。 古代医患关系的特点具有A.主动性、合作性、稳定性B.主动性、直接性、稳定性C.稳定性、指导性、主动性D.合作性、互动性、主动性E.以上都不是 如果因电器引起火灾，在许可的情况下，你必须首先？A、寻找适合的灭火器扑救B、将有开关的电源关掉C、大声呼救 为保证透平膨胀机的制冷效果，对其结构有何要求？ 百科全书的特点不包括。A.以条目为基本单元B.条目之间互不交叉但可以重复、条目释文长短基本相当，一般不超过500字C.条目一般由条头、释文和参考文献构成D.索引往往单独编为一卷 关于肢带型肌营养不良症，下面哪项是错误的A.为常染色体隐性遗传，但散发病例比较多B.一般10～20岁起病，首发影响骨盆带肌肉，逐渐发展至肩胛带C.面肌通常也受累，可出现"肌病面容"D.病情进展缓慢，平均20年左右丧失劳动能力E.血肌酸激酶显著增高，肌电图呈现肌源性损害 直流电检查时其极性规律()A．阳通＞阴通＞阳断＞阴断B．阴通＞阳通＞阴断＞阳断C．阴通＞阳通＞阳断＞阴断D．阳通＞阴通＞阴断＞阳断E．阳断＞阴断＞阳通＞阴通
3.2.2复数代数形式的乘除运算(1)
∴ z z 2a R
∴ z 1 是实数. z
2.设 z 为复数,且| z || z 1 | 1，求 | z 1 | 的值.
解：设 z a bi(a，b R) z 1 (a 1) bi，且| z || z 1| 1
a2 (a
b2 1)2
1 b2
1
a2
a2
b2 b2
1 2a
⑵z1·z2是一个怎样的数？
解：⑴作图
y
y
y
⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi
(a,b)
o
x
(a,-b)
(0,b)
则z1·z2=(a+bi)(a-bi)
o
x
o
x
(a,o)
(0,-b)
=a2-abi+abi-bi2
z1=a+bi
z1=bi
z1=a
=a2+b2
得出结论：在复平面内，共
轭复数z1 ,z2 所对应的点
解方程组,得
a
1 2
0
b2
3 4
| z 1|| (a 1) bi | (a 1)2 b2 ( 1 1)2 3 3 24
注：一般地，欲求一个复数，通常先设出复数的代数 形式 a＋bi（a，b∈R），而后利用已知条件列出关于 a，b 的方程组，求解出 a，b，也即求得了这个复数，在这里， 方程的思想方法得到了充分运用.
(
12 212
23 232i
2
i1)2
4
(3i
2
1 2
2
3
4
23 i) 2
2
( 10; 3 i)( 1 3 i) ( 1)2 ( 3 i)2
高二数学复数代数形式的四则运算
[单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项不是慢性淋巴细胞白血病的特点（）.A.多见于老年人B.常并发自身免疫性溶血性贫血C.白细胞计数增高D.骨髓中见到大量幼稚淋巴细胞E.骨髓中见到大量成熟淋巴细胞 [单选]预算线向右上方平行移动的原因是（）A．商品X的价格下降了B．商品Y的价格下降了C．商品X和Y的价格按同样的比率下降D．商品X和Y的价格按同样的比率上升 [单选]下列关于校对说法正确的是（）。A."校异同"又称"活校"，是一种层次更高、难度更大的校对功能B.校对工作与编辑工作两者互相依赖，相互配合C.校是非的功能在于发现并直接改正原稿差错D.校是非的方法是校对人员发现原稿中的疑点并直接改正 [单选]1866年闽浙总督()上奏朝廷，提出在马尾择地办船厂。A、左宗棠B、林则徐C、沈葆桢D、李鸿章 [单选]采用乘数原理进行投资宏观效应分析时，投资乘数与()成正比。A.收入增量B.投资增量C.消费增量D.边际储蓄倾向 [单选]静止卫星通信的日凌中断发生在（）A.卫星处在地球和太阳之间的连线上B.地球处在卫星和太阳之间的连线上C.每天中午12点 [单选]飞机在下滑终了时所容许获得的最大速压，称为（）。A.强度限制速压B.使用限制速压C.最大使用速压D.刚度限制速压 [单选,B型题]肾手术的备皮范围为（）A.白乳头至耻骨联合平面，两侧到腋后线B.白剑突至大腿上1／3前内侧及外阴部，两侧到腋后线C.自脐平线至大腿上1／3包括外阴D.自乳头连线至耻骨联合，前后均过正中线E.自唇下至乳头连线，两侧至斜方肌前缘 [单选]溶质溶于溶剂之后将会引起（）。A.沸点降低B.凝固点升高C.蒸气压下降D.蒸气压、沸点、凝固点都不变 [单选]与固定增长股票的价值呈反方向变化的是（）。A.股利的增长率B.上一期刚支付的股利C.投资的必要报酬率D.下一期预计支付的
高二数学复数代数形式的四则运算
复数代数形式的四则运算
x x 2 4, 2 x 3 x 2 20. x 3或x 2 解得 x 3或x 6
2
所以 x 3 ．
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都 乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母 实数化).即
a bi (a bi ) (c di ) c di (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i c2 d 2 (c di)(c di) ac bd bc ad 2 2 i (c di 0). 2 2 c d c d
;
一般地，a(a>0)的平方根为 a 、 - a (a>0)的平方根为 a i
实数(b 0) 4.复数a+bi aa 00 ， ， bb 00) 纯虚数( 虚数 ( b 0 ) aa 00 ， ， bb 00) 非纯虚数(
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
例4.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
例证明 .5 : (a bi)(a bi) a b (a, b R).
2 2
两个共轭复数的和、乘的结果都是实数
例6 计算（a bi）
2
例7
已知复数 x x 2 ( x 3x 2)i
2 2
是 4 20i 的共轭复数，求x的值． 解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i， 根据复数相等的定义，可得
分配律 z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3
3、复数的乘方：
m , n N z , z , z C 对任何 1 2 及 ，有
z z z
高二数学复数代数形式的四则运算
电工技术：复数的表示形式及复数的四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j =
1.代数形式： 在复平面上表示 •
1
j2 = -1
A a jb
+j b
复数的模 复数的辐角
A r
a r cos ψ
b r sin ψ
r a2 b2 b ψ arctan a
O
a +1
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
A 32 42 5
求它们的和、差、积、商。
B 82 62 10
4 A arctan 53o 3
6 B arctan 37 o 8B 10370A Nhomakorabea 5530
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516 B 10
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A1 1 2 A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
解：
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A 3 j4
B 8 j6
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算 • 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1
A2 A2 2
3.复数的除法运算
A1 A2 A1 A2 1 2
• 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
这两种表示形式适用于复数的加减运算。 简化画法
复数代数形式的四则运算-除法运算
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i
(c di)(c di)
c2 d2
ac bd bc ad i (c di 0).
c2 d 2 c2 d 2
分母实 数化
四、学以致用
例1.计算 (1+2i) ÷(3-4i)
解: (1)原式= 252-（52（5i 374i（i)（) 3344ii））
= 21 - 25i - 4i2 32 + 42
=1-i
(2) 2i 2i
解：(2)原式 = 2i(2 +i) (2 -i)(2 +i)
= 4i + 2i2 22 + 12
= 4i - 2 5
= -2+ 4i
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六、课堂小结
即：(a bi ) (c di ) a bi
c di
ac
bd (bc ad )i c2 d2
ac c2
bd d2
bc ad c2 d2
i
不难发现，第二种方法更易于操作
三、复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母
都乘以分母的共轭复数,最后化简后写成代数形
式(分母实数化).即
那么x=？，y=？
经计算可得 （cx-dy）+（dx+cy）i=a+bi
根据复数相等的定义，有
cx-dy=a，dx+cy=b
因此
x
ac c2
bd d2
,
y
bc c2
ad d2
于是
(a bi) (c di)
ac bd c2 d 2
高中数学第三章3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A版选修2_2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
复数代数形式的四则运算-知识讲解
复数代数形式的四则运算【要点梳理】要点一、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则： 设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定：12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。
2.复数的加法运算律:交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)要点二、复数的加减运算的几何意义1. 复数的表示形式：代数形式：z a bi =+（,a b R ∈）几何表示：①坐标表示：在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）； ②向量表示：以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+.要点诠释：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2．复数加、减法的几何意义：如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP 、2OP ，那么以1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS 就是12z z +的和所对应的向量.对角线21P P 表示的向量21P P 就是两个复数的差12z z -所对应的向量.设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，由于OZ =1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i对应的向量类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b －d )i 对应的向量要点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：（1）利用几何意义可以把几何图形的变 换转化成复数运算去处理（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。
复数代数形式的四则运算
2
题型五：证明复数的有关性质
例10 已知复数z满足|z|＝1，求证： 1 z + ? R. z
例11 已知复数z1，z2满足z1· z 2＝0 ， 求证：z1＝0或z2＝0.
题型五：证明复数的有关性质 例12 求证：复数z为纯虚数的充要 条件是z2＜0.
题型六：复数的几何意义及其应用 例13 已知复数z满足
3.2
复数代数形式的四则运算 复数代数形式的加、减 运算及其几何意义
3.2.1
复习巩固
1.复数的代数形式是什么？在什么 条件下，复数z为实数、虚数、纯虚数？
代数形式：z＝a＋bi（a，b∈R）. 当b＝0时z为实数； 当b≠0时，z为虚数； 当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.
提出问题Βιβλιοθήκη 2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应复 平面内的点Z的坐标是什么？复数z可以 用复平面内哪个向量来表示？ 对应点Z（a，b），
问题探究
4、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则 复数z1＋z2等于什么？ z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i.
问题探究
5、(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋ (b＋d)i就是复数的加法法则，如何 用文字语言表述这个法则的数学意 义？ 两个复数的和仍是一个复数. 两个复数的和的实部等于这两个复数的 实部之和，两个复数的和的虚部等于这 两个复数的虚部之和.
形成结论
复数的减法法则： 1、(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)+(b-d)i 2、两个复数的差仍是一个复数. 两个复数的差的实部等于这两个复 数的实部之差，两个复数的差的虚部等 于这两个复数的虚部之差.
典例讲评
1、计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i).
－11i 2、（2+4i）+（3-4i） 5-(3+2i) (-3-4i)+(2+i)-(1-5i) (2-i)-(2+3i)+4i
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