复数代数形式的四则运算

例4 计算(1+ 2i) ÷ (3 − 4i).
解 1+ 2i (1+ 2i) ÷ (3 − 4i) = 3 − 4i 3 − 8 + 6i + 4i = 2 2 3 +4
(1+ 2i)(3 + 4i) = (3 − 4i)(3 + 4i)
− 5 +10i 1 2 = = − + i. 25 5 5
一般地,当两个复数的实部相等 , 虚部互为相反数 ( 时, 这两个复数叫做互为 共轭复数 conjugate co − mplex number ).虚部不等于 0的两个共轭复数也 叫做共轭虚数.
, 思考 若z1,z2是共轭复数那么 (1)在复平面内它们所对应的点有怎样 , ? 的位置关系 (2)z1 ⋅ z2是一个怎样的数 ? , 探究 类比实数的除法是乘法 的逆运算我们规定复 . 数的除法是乘法的逆运 .试探求复数除法的法则 算
( 例2 计算1− 2i)(3 + 4i)(− 2 + i).
解
例3
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(1− 2i)(3 + 4i)(− 2 + i) = (11− 2i)(− 2 + i) = −20 +15i. Ξ 2 计算: ( )(3 + 4i)(3 − 4i); (2)(1+ i) .
, 分析 本例可以用复数乘法法 则计算也可以用乘法 公式 计算 .
(∗)
(∗)指的是与实数系中的乘 . 法公式相对应的公式
解
(
Ξ 2 2 )(3 + 4i)(3 − 4i) = 3 − (4i) = 9 − (−16) = 25.
2 2
(2)(1+ i) = 1+ 2i + i = 1+ 2i −1= 2i. 本 (1中 两 复 3 + 4i,3 − 4i称 共 复 . 例) 的 个 数 为 轭 数
3.2.2 复数代数形式的乘除运 算
我们规定,复数乘法法则如下 : 设z1 = a + bi, z 2 = c + di是任意两个复数,那么它 们的积(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc )i.
可以看出,两个复数相乘,类似于两个多项式相乘, 2 只要在所得的结果中把 i 换成 − 1, 并且把实部与 虚部分别合并即可. 两个复数的积是一个确定的复数. 换律、 ? 探究 复数的乘法是否满足交 、结合律 换律 乘法对加法满足分配律 ? 吗 容易得到, 对于任意z1, z 2 , z 3 ∈ C, 有z1 ⋅ z 2 = z 2 ⋅ z1, (z1 ⋅ z 2 ) ⋅ z3 = z1 ⋅ (z 2 ⋅ z3 ), z1(z 2 + z3 ) = z1z 2 + z1z3 .
复数除法的法则是 : ac + bd bc − ad (a + bi) ÷ (c + di) = 2 2 + 2 2 i (c + di ≠ 0). c +d c +d
由此可见 , 两个复数相除 (除数不为 0 ) , 所得的商 是一个确定的复数.
在进行复数除法运算时 ,通常先把(a + bi) ÷ (c + di) a + bi , 写成 的形式 再把分子与分母都乘于 分母的 c + di 共轭复数c − di ,化简后就可得到上面的 .这与 结果 .在作根式除法时 , 很类似的 作根式除法时的处理是 " 有理化因式,从而使分母 " 分子分母都乘以分母的 " 有理化" .这里分子分母都乘以分 母的" 实数化因 " ), " ". 式 (共轭复数 从而使分母实数化