复数及其代数运算

例 设 z x iy , z x iy , 为任意复数，
11
12
2
2
证明： z z z z 2Re( z z ).
12 12
12
证：
z z z z (x iy )( x iy ) (x iy )( x iy )
12 12
1
12
2
1
12
2
(x x y y ) i(x y x y )
12 1 2
21 12
(x x y y ) i(x y x y )
12
12
12 21
2(x1x2 y1 y2 ) 2 Re( z1z2 )
或 z z z z z z z z 2Re(z z ) .
12 12 12 12
12
例 源自文库方程组
2z1z2=i (1+i)z1+iz2=43i
1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y 称 z= x + iy 为复数。
其中 i 1 — 虚单位。
•复数z 的实部 Re (z) = x ; 虚部 Im (z) = y . (real part) (imaginary part)
•复数的模 | z | x2 y2 0
•复数
一般, 任何两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
• 四则运算 定义 设 z1= x1 + iy1 ， z2= x2 + iy2，则
z1± z2 = (x1 ± x2) + i(y1±y2) z1z2 = (x1+ iy1)(x2+ iy2)
= (x1x2 - y1y2) + i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
解1： 令z1=x1+iy1, z2=x2+iy2，则 2x1-x2+i(2y1-y2)=i
x1-y1-y2+i(x1+x2+y1)=4-3i
解得 x1=3/5, x2=6/5, y1=6/5, y2=17/5
故
解2：由方程组
2z1z2=i
得
(1+i)z1+iz2=43i
(1+3i)z1=33i
故
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
•运算规律 复数的运算满足：交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
z1+ z2 = z2+ z1； Z1z2 = z2z1 ； (z1+z2) + z3 = z1+ (z2+z3) ； z1(z2z3) = (z1z2)z3 ； z1(z2+z3) = z1z2+z1z3 .
3.共轭复数
定义 若 z = x + iy , 称z = x - iy 为 z 的共轭复数. (conjugate)
•共轭复数的性质
(1) (z z ) z z
12
12
( z1 ) z1 z2 z2
(z1z2 ) z1z2
(2) z z
(4) z z 2 Re( z) z z 2i Im( z)
而z2=2z1i,故