复数代数形式的乘除运算
复数的乘、除法运算及几何意义 课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课堂练习 教材P80练习
1. 计算： （1）(7 6i)(3i)；（2）(3 4i)(2 3i)；（3）(1 2i)(3 4i)(2 i)． 2. 计算：
（1）( 3 2 i) ( 3 2 i) ；（2）(1 i)2；（3）i(2 i)(1 2i)．
化简后就可得到上面的结果.这与作根式除法时的处理是很类似的.
2
PART TWO
例题精讲
例3： 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 解析： (1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i. 例4：计算(1) (2+3i)(2-3i); (2) (1+i)2. 解析： （1）(2+3i)(2-3i)=22-(3i)=4-(-9)=13.
= (ac-bd)+(ad+bc)i. 即 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i 注意：两个复数的积是一个确定的复数.
知识点一 复数的乘法运算
问题1 规定了复数乘法运算法则，请回答下列问题？ （1）两个复数的积是个什么数?它的值唯一确定吗? （2）当 z1 ，z2 都是实数时,与实数乘法法则一致吗? （3）运算中的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?
通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定， 运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘
知识点一 复数的乘法运算
问题2 复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是 否满足实数乘法的交换律、结合律、分配律呢？
复数代数形式的乘除运算
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
复数代数形式的乘除运算
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
(c di)( x yi) (cx dy) (dx cy)i ac bd x cx dy a 2 2 c d 解得 dx cy b bc ad y i 2 2 c d
4、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也 有类似于上面的三个等式.
2
= (8 i )(1 3i )
= 8 24i i 3i
2
= 5 25 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
分母实数化
复数代数形式的除法实质： 分母实数化
例5.计算 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
2
称为关于x的实系数一元二次方程
b b xx (实根) 2a 2a 2a
复数代数形式的乘除运算
课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律． 注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值． 拓 展 ： G P 求 和 公 式 。 答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这 与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.
复数代数形式的乘除运算
复数代数形式的乘除运算说课稿说课教师：张晶晶一教材分析1、教材的地位和作用《§3.2.2 复数代数形式的乘除运算》是高中数学选修2-2（人教A版）第三章的第二小节，其主要内容是复数代数形式的乘除运算。
前面已学习了《§3.1.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义》, 在此基础上，继续学习复数的乘除运算，让学生认识到实数集中的许多性质在复数集中仍然适用，同时也是对学习复数知识的加深和巩固。
它进一步揭示了虚数与实数辩证统一的关系，对培养学生类比学习的观点和转化的思想起到了一定的帮助作用，为提高学生的推理论证能力和解决问题的能力也起到了十分重要的作用。
2．教学重点与难点教学重点：复数代数形式的乘法与除法运算法则.教学难点：对复数除法运算法则的运用(分母实数化的问题)。
3. 教学目标（1）知识与技能：通过类比学习熟练掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，深刻体会复数的除法运算实质是分母实数化的问题。
（2）过程与方法：通过学生自学、兵教兵、探究等教学形式提高学生分析问题和解决问题的能力。
（3）情感与价值观：在教学中要注重培养学生思维的灵活性，辩证性和创新性，活跃课堂气氛，激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。
二教法分析1、要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。
2、根据上述教材分析和目标分析，在教学中采用“洋思模式”，以学生为主体，学生自学为核心构建课堂教学，培养问题意识，孕育创新精神，提出恰当的对学生的数学思维有适度启发的问题，引导学生自学，培养学生良好的学习方法。
3、“先学后教，当堂训练”：通过展示“自学指导”让学生阅读课本，小组内讨论，结合前面学习的知识来解决提出的问题，强化类比转化的思想。
高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》教案 新人教A版选修1-2
1 3.2.2 复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2⨯ （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
=，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
复数的乘除法总结
x3=1在复数集范围内的解是不是只有x=1，
如果不是，你能求出其他的解吗？
一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
2 2i i i 2 2 i 1 3i
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
a+bi
记作 c+di
例1、复数 z 满足(3-4i)×z = 1+2i，求z 。
1.知识
（1）复数的乘法； （2）复数的除法； （ 3）共轭复数。 通过本节课的学习，你有哪些收获？
归 纳 小 结
2.思想方新
1 3 1 3 i， ＝－ － i 练习2 设 － 2 2 2 2
2 2 3
（ 计算（ 1 ） （ ， 2） ， 3 ） ， (4) 。
1 i i. 1 i
1 i 8 ) . 练习 计算( 1 i 8 2 1 i （ 1 i ） 8 解 ( ) 1 i （ (1 i ) 1 - i）
2i 8 （ ） 2
i 1
8
2009浙江（理）
2 2 例4.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
a b2
2 2
复数的乘、除运算
A.－3＋2i
B.3＋2i
C.－2＋3i
D.2＋3i
解析：∵Δ＝36－4×13＝－16，
∴x＝－6±2 －16＝－3±2i. 答案：A
2.已知 a，b∈R，且 2＋ai，b＋i(i 是虚数单位)是实系数一元 二次方程 x2＋px＋q＝0 的两个根，求 p，q 的值. 解：由根与系数的关系可得22＋＋aaii·＋b＋b＋i＝i＝q，－p， 即pq＝ ＝－2b－2＋a＋b－2＋aa＋b1i，i， 因为 p，q 均为实数，所以－ 2＋aa＋b＝10＝，0， 解得ba＝＝2－，1， 从而有pq＝ ＝－ 5. 4，
答案：6
4.复数 z＝i(1－2i)(i 是虚数单位)的实部为________. 解析：因为 z＝i(1－2i)＝2＋i，所以复数 z 的实部为 2. 答案：2
A.3＋5i
B.3－5i
()
C.－3＋5i
D.－3－5i
[解析] (1)31＋ ＋ii＝31＋ ＋ii11－ －ii＝4－2 2i＝2－i. (2)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝112＋－7i i＝112＋－7ii22＋＋ii＝15＋5 25i＝3＋5i. [答案] (1)D (2)A
[对点练清]
2.复数乘法的运算律
对于任意 z1，z2，z3∈C，有 交换律
z1z2＝___z_2_z_1 ___
结合律 乘法对加法的分配律
(z1z2)z3＝___z1_(_z2_z_3_) _ z1(z2＋z3)＝_z_1z_2_＋__z_1z_3
3.复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di) ＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(a，b，c，d∈R， 且 c＋di≠0).
2.若复数 z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在第四象 限，则实数 a，b 应满足什么条件？
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2020/5/27
1.复数的乘法法则：
(a bi)(c di) ac adi bci bdi2
（ac bd) (bc ad)i
说明：(1)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是
在运算过程中把 i 2换成－1，然后实、虚部分别合并.
（2)两个复数的积仍然是一个复数；
ac bd c2 d2
bc c2
ad d2
i
(c di 0).
2020/5/27
分母实数化
例3.计算
(1 2i) (3 4i)
练习.计算 ⑴ (7 i) (3 4i)
1-i
⑵ (1 i )2 1 i
-1
⑶11 3 2i 3 2i
4i 13
2020/5/27
1. 下列命题中的真命题为(：D )
( A)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
(B)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
(C )若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
(D)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
2. 复数a+bi与c+di的积是实数的充要
条件是 ad+bc=0
2020/5/27
3. 已知 z1 1 i , z2 2 i
探究：复数的乘法满足交换律、结合律？ 乘法对加法满足分配律吗?
2020/5/27
2、复数乘法满足交换律、结合律的证明 设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i.
复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1 , (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ), z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3.
（2）(a bi)2
说明：可用乘法法则计算，也可用乘法公式计算
练习 ( 3 2i)( 3 (1 i)2 2i
2i) -5
2020/5/27
3、共轭复数的定义
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两 个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的两个共轭复 数也叫做共轭虚数。
复数z=a+bi的共轭复数记作 z,记z a bi
思考：若z1 , z2 ，是共轭复数，那么 （１）在复平面内，它们所对应的点有怎样
的位置关系？ （２） z1 z2是一个怎样的数？
2020/5/27
填空：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
z z 2a
z z 2bi
z z a2 b2
z 2
a2 b2
2
z a2 b2
结论 : z z
求
z1 z2
,
z020/5/27
思考 :已知z是复数, z 2i, z 均为实数, 2i
且复数(z ai)2在复平面上对应的点
在第一象限, 求实数a的取值范围。
2020/5/27
小结
• 复数的代数形式的乘、除运算（共 轭复数）
2020/5/27
z2
2
z
2020/5/27
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都
乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母
实数化).即
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad
)i
2020/5/27
例1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
课堂练习：
计算: (1) (7-6i)(-3i) (2) (3+4i)(-2-3i)
-18-21i 6-17i
(3) (1+2i)(3-4i)(-2-i) -20-15i
2020/5/27
例2：计算
(1)(a bi)(a bi)