04复数的乘除法运算
复数的乘、除法运算及几何意义 课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课堂练习 教材P80练习
1. 计算： （1）(7 6i)(3i)；（2）(3 4i)(2 3i)；（3）(1 2i)(3 4i)(2 i)． 2. 计算：
（1）( 3 2 i) ( 3 2 i) ；（2）(1 i)2；（3）i(2 i)(1 2i)．
化简后就可得到上面的结果.这与作根式除法时的处理是很类似的.
2
PART TWO
例题精讲
例3： 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 解析： (1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i. 例4：计算(1) (2+3i)(2-3i); (2) (1+i)2. 解析： （1）(2+3i)(2-3i)=22-(3i)=4-(-9)=13.
= (ac-bd)+(ad+bc)i. 即 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i 注意：两个复数的积是一个确定的复数.
知识点一 复数的乘法运算
问题1 规定了复数乘法运算法则，请回答下列问题？ （1）两个复数的积是个什么数?它的值唯一确定吗? （2）当 z1 ，z2 都是实数时,与实数乘法法则一致吗? （3）运算中的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?
通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定， 运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘
知识点一 复数的乘法运算
问题2 复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是 否满足实数乘法的交换律、结合律、分配律呢？
数学如何求解复数的乘除运算
数学如何求解复数的乘除运算在数学中，复数是由实数部分和虚数部分组成的数。
复数的乘除运算是指两个复数进行乘法或除法运算的过程。
本文将介绍复数的乘除运算的基本原理和方法。
一、复数的表示形式复数可以用两种常见的表示形式来表示，分别是代数形式和三角形式。
1. 代数形式代数形式表示法是将复数表示为实数部分和虚数部分的和的形式，记作a + bi。
其中，a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位。
2. 三角形式三角形式表示法是用复数的模和辐角来表示，记作r(cosθ + isinθ)。
其中，r为模，θ为辐角，r(cosθ + isinθ)为复数表示。
二、复数的乘法运算复数的乘法运算可以通过将两个复数的实部和虚部分别相乘及虚数单位的乘方来完成。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i，z2 = a2 + b2i，它们的乘积为z = z1 * z2。
则计算过程如下：z = (a1 + b1i)(a2 + b2i)= a1a2 + a1b2i + a2b1i + b1b2i^2= a1a2 + a1b2i + a2b1i - b1b2根据虚数单位i的性质:i^2 = -1，化简得到：z = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i三、复数的除法运算复数的除法运算可以通过两个复数的乘法运算来完成。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i，z2 = a2 + b2i，它们的商为z = z1 / z2。
则可以按照以下步骤进行计算：Step 1: 将被除数和除数都表示为分子和分母的形式。
z1 / z2 = (a1 + b1i) / (a2 + b2i)Step 2: 将除数的共轭作为分母的因式，即将除数的实部和虚部变号。
z1 / z2 = (a1 + b1i) / (a2 + b2i) * (a2 - b2i) / (a2 - b2i)Step 3: 将分子分母进行乘法运算并进行化简。
z1 / z2 = (a1a2 + b1b2i^2 - a1b2i - b1a2i) / (a2^2 - b2^2i^2)Step 4: 根据虚数单位i的性质i^2 = -1进行化简得到：z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2) + (b1a2 - a1b2)i] / (a2^2 + b2^2)四、示例分析为了更好地理解复数的乘除运算，接下来以具体的示例进行分析。
复数与复数的乘法与除法
复数与复数的乘法与除法复数是数学中的一种数形式，由实数部分和虚数部分组成。
在复数中，实数部分用实数表示，虚数部分用虚数单位i表示。
复数可以用 a + bi 的形式表示，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位。
在数学中，我们经常需要进行复数之间的乘法与除法运算。
本文将介绍复数与复数的乘法与除法规则，并提供一些例子来帮助读者更好地理解。
一、复数乘法规则两个复数相乘时，可以使用分配律进行计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1、b1、a2、b2 是实数。
则它们的乘积为：z1 * z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i)= a1a2 + a1b2i + b1ia2 + b1ib2i^2根据虚数单位i的定义（i^2 = -1），进一步计算得：z1 * z2 = a1a2 + a1b2i + b1ia2 + b1ib2(-1)= a1a2 - b1b2 + (a1b2 + a2b1)i因此，两个复数的乘积为实数部分的乘积减去虚数部分的乘积，并将实数部分与虚数部分相加。
例如，计算复数 (2 + 3i)(4 + 5i)：实数部分：2 * 4 - 3 * 5 = 8 - 15 = -7虚数部分：2 * 5 + 3 * 4 = 10 + 12 = 22所以，(2 + 3i)(4 + 5i) = -7 + 22i。
二、复数除法规则两个复数相除时，可以通过乘以共轭复数来进行计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1、b1、a2、b2 是实数，并且z2 ≠ 0。
则它们的商为：z1 / z2 = (a1 + b1i) / (a2 + b2i)为了方便计算，我们可以将分子和分母都乘以 z2 的共轭复数，即(a2 - b2i)。
这样，将分子和分母进行乘法运算，得到：z1 / z2 = ((a1 + b1i) * (a2 - b2i)) / ((a2 + b2i) * (a2 - b2i))(z1 / z2 = (a1a2 - a1b2i + b1ia2 - b1ib2i^2) / (a2a2 - a2b2i + a2b2i - b2b2i^2))根据虚数单位i的定义，可进一步计算为：z1 / z2 = ((a1a2 + b1b2) + (b1a2 - a1b2)i) / (a2^2 + b2^2)因此，两个复数的商为实数部分的商加上虚数部分的商，并将实数部分与虚数部分分别除以除数的模的平方。
复数代数形式的乘除运算
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
(c di)( x yi) (cx dy) (dx cy)i ac bd x cx dy a 2 2 c d 解得 dx cy b bc ad y i 2 2 c d
4、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也 有类似于上面的三个等式.
2
= (8 i )(1 3i )
= 8 24i i 3i
2
= 5 25 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
分母实数化
复数代数形式的除法实质： 分母实数化
例5.计算 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
2
称为关于x的实系数一元二次方程
b b xx (实根) 2a 2a 2a
复数的乘除运算
2.应用举例
计算
(3+4i)(-2-3i) 解：原式= -6-9i-8i-12i2 = -6-17i+12 = 6-17i
分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1
3.探究：
复数的乘法是否满足交换律，结合律 以及乘法对加法的分配律？ 对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni 则z1·2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 z =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 z =(ac-bd)+(ad+bc)i ∴z1·2=z2·1 (交换律) z z
提示：这里分子分母都乘以分母 的“实数化因式”（共轭复数）从而使分母“实数化”。 a bi (a bi )(c di ) 即： bi ) ( c di ) (a (c di )(c di ) c di
ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
5 10i 25 1 2 i 5 5
结果化简成 代数形式
9.沙场练兵
计算:
⑴ (1-2i)(3+4i)(-2+i)
解: (7 + i)(3 - 4i) 2)(-2+i) (2)原式 = ⑴ 原式= (3+4i-6i-8i (3 + 4i)(3 - 4i) = (11-2i)(-2+i) 2 21 - 25i - 4i2 = -22+11i+4i-2i = = -20+15i 32 + 4 2 25 - 25i = 25
复数的运算法则
复数的运算法则（加减乘除)加法法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数z1,z2,z3,有：z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).减法法则复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。
乘除法乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi^2，因为i^2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。
两个复数的积仍然是一个复数。
除法法则复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数.除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b解这个方程组，得x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2)于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i分母有理化②利用共轭复数将分母有理化得（见右图）：点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法。
复数除法和乘法计算公式
《复数除法和乘法计算公式》同学们，今天咱们来聊聊“复数除法和乘法计算公式”。
大家可能会想，这复数的计算是不是很难呀？其实呀，没那么可怕，咱们一步步来。
先说说复数乘法。
比如说有两个复数，一个是 3 + 2i，另一个是 1 + 4i。
那它们相乘怎么算呢？就把它们像普通的多项式相乘一样展开。
（3 + 2i）×（1 + 4i）= 3×1 + 3×4i + 2i×1 + 2i×4i ，算出来就是 3 + 12i + 2i + 8i² 。
这里要注意i² = -1 哦，所以最后结果就是-5 + 14i 。
再来讲讲复数除法。
比如说（3 + 2i）÷（1 + 4i），这可有点麻烦，不过别担心。
咱们得给它的分子分母同时乘以分母的共轭复数。
啥叫共轭复数？比如说1 + 4i 的共轭复数就是1 - 4i 。
那咱们就给分子分母同时乘以 1 - 4i ，然后展开计算，就能得出结果啦。
我给大家举个例子，假如有个同学叫小明，他一开始做复数除法总是出错，后来他认真记住了这些方法，多做了几道题，就再也不怕啦。
同学们，只要咱们多练习，复数的乘法和除法计算公式就难不倒咱们！《复数除法和乘法计算公式》同学们，咱们来看看“复数除法和乘法计算公式”。
大家可能觉得复数计算很神秘，其实没那么复杂。
比如说复数乘法，就像咱们平常做的乘法一样。
比如有两个复数 2 + 3i 和 4 + 5i 。
（2 + 3i）×（4 + 5i）= 2×4 + 2×5i + 3i×4 + 3i×5i ，算出来就是8 + 10i + 12i + 15i² 。
别忘了i² = -1 ，所以结果就是-7 + 22i 。
再说说复数除法，这有点像给分数约分。
比如（5 + 6i）÷（2 + 3i）。
咱们给分子分母同时乘以分母的共轭复数 2 - 3i 。
复数代数形式的乘除运算 课件
也就是说,“两个复数的平方和为零”是“这两个复数同时为零”的
必要不充分条件.
2.如何理解共轭复数?
剖析:(1)实数a的共轭复数仍是a本身,这是判断一个数是否为实
数的一个法则.
(2)几何特征:两个共轭复数的对应点关于实轴对称;
代数特征:两个共轭复数的虚部互为相反数,实部相等.
(3)一个重要性质.
两个共轭复数z, 的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的
复数集中不一定成立.如:
(1)当z∈R时,|z|2=z2;当z∈C时,|z|2∈R而z2∈C,所以|z|2=z2不一定
成立,
但是|z|2=z·.
(2)当z1,z2∈R时, 12 + 22 = 0⇔z1=0,且z2=0;
当z1,z2∈C时, 12 + 22 = 0
1 = 0, 且z2=0,但z1=0,z2=0⇒ 12 + 22 = 0.
+
+
1.如何理解复数代数形式的乘除法运算法则?
剖析:(1)当复数的虚部为零时,复数的乘除法法则与实数的乘除
法法则一致.
(2)实数集中乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复
数集中仍成立.
(3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数.
(4)可以推广到多个复数进行乘除法运算.
温馨提示实数集中乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在
∴B=z1·z1 + z2 · z2 = ( + bi)( − bi) + ( c +
di)·(c-di)=a2+b2+c2+d2,
∴B∈R.
又A = z1 ·z2 + z2 ·z1 = z1 ·z2 + z2 ·z1
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_
D.3
2 2i i i 2 2 i 1 3i
2 2 例6.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
2 2 2 解：原式 (1 i ) 2i 1 i 1 i 2(1 i ) 2(1 i ) 2i 2i (1 i )(1 i ) 2
2 7i
小结： 1 2 (a bi)(c di) (ac bd ) (ad bc)i
a+bi 1 c+di 2
=
=
(a+bi)(c-di) (c+di)(c-di) (ac+bd)+(bc-ad)i
c2+d2 = ac+bd + bc-ad i (c+di ≠0) c2+d2 c2+d2 因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0， a+bi 所以商 是唯一确定的复数. c+di
例3 计算: （1+2i)(3-4i)
1+2i 解：（1+2i)(3-4i)= 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
= -5+10i 25
1 2 =- + i . 5 5
1 i 8 ) . 例4 计算( 1 i 8 2 1 i 8 （ i） 1 解 ( ) 1 i （ - i） i ) (1 1
2i 8 （ ） 2
i 1
8
例5.把复数z的共轭复数记作 z , i为虚数单位， 若z 1 i则（ z） z A 1 A.3 i B.3 i C.1 3i
_ 解： z 1 i, 原式 (1 1 i ) (1 i ) (2 i ) (1 i )
例1
已知1 2 i, 2 3 4i 计算1 2。
解
1 2 2 i）3 4i) （ (
6 8i 3i 4i
10 5i
2
例2
求证：) (1
2
2
证明：设 a bi, 则 a bi, 于是
1 2 3 4
i __ , i - 1 , i __ , i __ __ 1 -i i
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i
4n
1 ,
i
4n 1
i ,
i
i
4n 2
1
, i
4n 3
【练习1】求值： i i
2
i i
3
2 3 4
2006
解：原式 i i i i ） （ （i i i i ） ...
5 6 7 8
（i
2001
i
1
2002 2
i
2003
i
2004
）i
2005
i
2006
0 i i i 1
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商， a+bi
ac adi bci bdi
(ac bd ) (ad bc)i
显然，两个复数的乘积仍为复数
2
易知，复数运算满足交换律、结合律、 分配律。
1 2 2 1
（1 2） 3 1 2 3） （
1 2 3） 1 2 1 3 （
记作
c+di
(a+bi)(c-di) a+bi = c+di (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i c2+d2
= ac+bd + bc-ad i (c+di ≠0) c2+d2 c2+d2
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0， a+bi 所以商 是唯一确定的复数. c+di
于是
1 2 1 2
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
mzn=zm+n, z
m)n=zmn, (z
Байду номын сангаас
(z1z2)n=z1nz2n.
【探究】 i 的指数变化规律
i i , i 1 , i i , i 1
2 2
a b 2abi
2 2
( ) (a bi)
2
2
于是
a b 2abi
2 2
） （Z
2 2
(2)求证：1 2 1 2
证明： a bi, c di, 则 设 1 2
1 2 ac bd） (ad bc)i （ ac bd） (ad bc)i （ 1 2 a bi） di) （ (c ac bd） (ad bc)i （
(a bi)(a bi) 2 2 2 a abi bai b i
a b2
2 2
2
表明：两个互为共轭的两个复数的乘积等 于这个复数（或其共轭复数）模的平方
(2)求证： Z） （
2 2
证明： a bi, 则 设
a bi） （
3.2.2复数的乘法和除法
1.复数的乘法 两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只 是在遇到 i 时，要把 i 换 成 -1 ，并把最后的结果写成
2 2
a bi(a, b R) 的形式。
设 z1 a bi , z2 c di (a，b，c，d R)
则
z1 z2 a bi）c di) （ (
1 i
练习 1.已知复数z1 1 i, z1 z2 1 i, 则复数z 2 ______
2.计算：
（1）
(7 6i)(3i) (2) (3 4i)(2 3i)
(1 i)(2 i) i
(3) (1+2i)(3-4i)(-2-i) (4)
3、如果k和 k 3i 都是实数，求实数k .