复数的代数形式及其运算
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考点 搜索
●复数的代数形式的四则运算，复数的 运算定律
●虚数单位 i的幂的周期性
高 考 1. 利用基本运算法则求复数式的值 . 猜 想 2. 在相关条件下求复数的值 .
1. 复数的加、减、乘、除运算按以下法
则进行.设z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R).
(1)加减法：(a+bi )±(c+di)=—(a—±—c—)+—(—b—±—d)—i . 故有|z1+z2|2+|z1-z2|2=———2—(—|z1—|2—+—|z—2|2—) ———.
2. 求复数式的值有待定系数法和方程 法两种.其中待定系数法就是通过复数的代 数形式，将复数问题转化为实数方程组求 解；方程法的基本观点是建立一个关于复 数z的方程，再解方程直接求出z的值.
zm·zn=—z—m—+n———，(zm)n= zm·n
，
(z1·z2)n= z1n ·z2n (m、n∈N*).
3. 设n∈N*，则i4n= 1 ，i4n+1= i ，
i4n+2= -1 ，i4n+3= -i .
若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=( A )
A. 4+2i
B. 2+i
(2)乘法法则：(a+bi)(c+di)
= (ac-ห้องสมุดไป่ตู้d)+(ad+bc)i .
(3)除法：
a? c?
bi di
?
(a
? cb2i（)? dc2-di）?
(ac+bd)+(bc-ad)i
c2 ? d 2
.
2. 复数加法、乘法满足 交——换—律———，结 合律及乘法对加减法的 分配律 ，实数的正
整数指数幂运算也能推广到复数集中，即
? ? 1. 计算：? 2 3 ? i ? 1 ? 2 3i
2 ? i15
?
? ??
1
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.
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解：原式=
2
3i ? 1
? ?2 ? i ?? [?1 ? i ?2 ]11
1 ? 2 3i
2
? i ? ?2 ? i ?? i11 ? 2 ? i.
点评： 解决有关复数混合运算问题，先 区别各运算的顺序，然后利用运算法则进行 具体的计算 .对除法运算有两种处理方式：一 是利用分子分母都乘以分母的共轭虚数；二 是通过约分，如本题第一个分式就是通过约 分得出来的.
C. 2+2i
D. 4+I
解：
z1·z2=(1+i)(3-i)=4+2i，故选A.
1? 7i
2. i是虚数单位，若 2 ? i =a+bi(a， b∈R)，则乘积ab的值是( B )
A. -15
B. -3
C. 3
D. 15
解：
1? 7i 2?i
=
?1?
7i??2 ? 5
i?
=-1+3i，
所以a=-1，b=3，所以ab=-3，故选B.
计算下列各式的值：
设复数z=4m-1+(2m+1)i，m∈R， 若z对应的点在直线x-3y=0上，则z=15+5i . 解：由条件知点(4m-1,2m+1)在直线x-3y=0上， 即得(4m-1)-3(2m+1)=0， 解得m=2，所以z=15+5i.
1. 求复数式的值，主要利用复数的运 算法则进行求解，但要注意整体代换和局 部化简，简化运算过程.
3.复数
3 2
? ?
2i 3i
?
3? 2?
2i 3i
=(
D
)
A. 0
B. 2
C. -2i
D. 2i
解：3 ? 2i ? 3 ? 2i ? ?3 ? 2i??2 ? 3i ?
2 ? 3i 2 ? 3i
13
? ?3 ? 2i ?(2 ? 3i) ? 26i ? 2i,
13
13
故选D.
题型1 求复数式的值
●复数的代数形式的四则运算，复数的 运算定律
●虚数单位 i的幂的周期性
高 考 1. 利用基本运算法则求复数式的值 . 猜 想 2. 在相关条件下求复数的值 .
1. 复数的加、减、乘、除运算按以下法
则进行.设z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R).
(1)加减法：(a+bi )±(c+di)=—(a—±—c—)+—(—b—±—d)—i . 故有|z1+z2|2+|z1-z2|2=———2—(—|z1—|2—+—|z—2|2—) ———.
2. 求复数式的值有待定系数法和方程 法两种.其中待定系数法就是通过复数的代 数形式，将复数问题转化为实数方程组求 解；方程法的基本观点是建立一个关于复 数z的方程，再解方程直接求出z的值.
zm·zn=—z—m—+n———，(zm)n= zm·n
，
(z1·z2)n= z1n ·z2n (m、n∈N*).
3. 设n∈N*，则i4n= 1 ，i4n+1= i ，
i4n+2= -1 ，i4n+3= -i .
若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=( A )
A. 4+2i
B. 2+i
(2)乘法法则：(a+bi)(c+di)
= (ac-ห้องสมุดไป่ตู้d)+(ad+bc)i .
(3)除法：
a? c?
bi di
?
(a
? cb2i（)? dc2-di）?
(ac+bd)+(bc-ad)i
c2 ? d 2
.
2. 复数加法、乘法满足 交——换—律———，结 合律及乘法对加减法的 分配律 ，实数的正
整数指数幂运算也能推广到复数集中，即
? ? 1. 计算：? 2 3 ? i ? 1 ? 2 3i
2 ? i15
?
? ??
1
?i 2
?22 ??
.
? ? i
解：原式=
2
3i ? 1
? ?2 ? i ?? [?1 ? i ?2 ]11
1 ? 2 3i
2
? i ? ?2 ? i ?? i11 ? 2 ? i.
点评： 解决有关复数混合运算问题，先 区别各运算的顺序，然后利用运算法则进行 具体的计算 .对除法运算有两种处理方式：一 是利用分子分母都乘以分母的共轭虚数；二 是通过约分，如本题第一个分式就是通过约 分得出来的.
C. 2+2i
D. 4+I
解：
z1·z2=(1+i)(3-i)=4+2i，故选A.
1? 7i
2. i是虚数单位，若 2 ? i =a+bi(a， b∈R)，则乘积ab的值是( B )
A. -15
B. -3
C. 3
D. 15
解：
1? 7i 2?i
=
?1?
7i??2 ? 5
i?
=-1+3i，
所以a=-1，b=3，所以ab=-3，故选B.
计算下列各式的值：
设复数z=4m-1+(2m+1)i，m∈R， 若z对应的点在直线x-3y=0上，则z=15+5i . 解：由条件知点(4m-1,2m+1)在直线x-3y=0上， 即得(4m-1)-3(2m+1)=0， 解得m=2，所以z=15+5i.
1. 求复数式的值，主要利用复数的运 算法则进行求解，但要注意整体代换和局 部化简，简化运算过程.
3.复数
3 2
? ?
2i 3i
?
3? 2?
2i 3i
=(
D
)
A. 0
B. 2
C. -2i
D. 2i
解：3 ? 2i ? 3 ? 2i ? ?3 ? 2i??2 ? 3i ?
2 ? 3i 2 ? 3i
13
? ?3 ? 2i ?(2 ? 3i) ? 26i ? 2i,
13
13
故选D.
题型1 求复数式的值