2018年浙江理工大学601数学分析考研真题试题试卷

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2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷,含解析)

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（浙江卷）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：互斥，则相互独立，则分别表示台体的上、下底面积，台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【解析】分析:根据补集的定义可得结果.详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解． 2. 双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标. 详解：因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是俯视图正视图A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等. 4. 复数(i 为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.5. 函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：8. 已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9. 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10. 已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江理工大学高等代数2007--2019年考研真题

2
x1 + x2 + 3x3 − x4 = 0 3x1 + 2x2 − 2x4 = 0
3x1 + x2 + 9x3 − x4 = 0
的解空间，求W ⊥ = ? 。
第 1 页，共 2 页
七（20 分）：设 K 上三维空间V 的线性变换T 在基α1,α2 ,α3 下矩阵为
1 −2 2
A = −2 −2
证明：（1）若 A, B 都是半正定的，则 A oB 也是半正定的；（2）若 A, B 都是正定的，则 A oB 也是正定的。
五（15 分）：设 ( f , g ) = d .证明：对任意正整数 n 有
( ) f n , f n−1g,L , fg n−1, g n = d n .
六（15 分）：在欧式空间 R 4 （内积如常），设 W 为
第 2 页，共 2 页
浙江理工大学
2017 年硕士研究生招生考试初试试题
考试科目：高等代数
代码： 912
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
一.（15 分）设有线性方程组
x1 5x2 x3 x4 1
x1 2x2 x3 3x4 3x1 8x2 x3 x4
3 1
x1 9x2 3x3 7x4 7
i (ai1, ai2 , , ain 1), i 1, 2, , r; (1)
j (bj1, bj2 , , bj n 1), j 1, 2, , s. (2)
n1
.
:
(1)
(2) ,
a11x1 a12 x2
a1n xn a1 n 1
a21x1 a22 x2
a2n xn a2n 1
(3)
ar1x1 ar 2 x2

浙江理工大学数学分析考研真题2007—2012、2017—2019年

u u cosn, x u sinn, x
n x
y
是 u(x, y) ， v(x, y) 沿曲线 L 的外法线 n 的方向导数．
第２页，共２页
浙江理工大学
二 OO 九年硕士学位研究生招生入学考试试题
考试科目：数学分析
代码： 360
注 1：请考生在答题纸上答题（写明题号，不必抄题，在此试题纸上答题无效）；注 2：本试卷共 5 页，3 小时完成，满分 150 分．
）．
（A） lim f (x) 不存在（B）存在极限但不连续（C）可导（D）连续但不可导 x0 第1页共5页
7．设 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim f (x) 2 ，则（）． x0 1 cos x
（A） f '(0) 不存在
（B） f '(0) 存在但非零
（C） f (0) 为极小值
（B）对任给的 0 ，存在唯一自然数 N ，使当 m, n N 时都有 am an
（C）存在 0 及自然数 N ，使当 m, n N 时都有 am an
（D）对任给自然数 N ，存在 0 ，使得对所有自然数 p 都有 aN p aN
4．设
f
(x)
x2
sin1/
x
，则 lim
x 0, x 0,
若 lim f (x) 存在，则必有（）． x0
（A） a b 0 （C） a 为任意常数， b 1
（B） a 1 ， b 0 （D） a 2 ， b 1
5．设当
x
时，
x
与 sin 3
1 x2
是等价无穷小量，则
为（
）．
（A） 6
（B） 3

精品解析：2018年全国普通高等学校招生统一考试数学(浙江卷)(解析版)

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：互斥，则相互独立，则分别表示台体的上、下底面积，台体的高柱体的体积公式表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式表示锥体的底面积，表示锥体的高球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【解析】分析:根据补集的定义可得结果.详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2. 双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.详解：因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.4. 复数(i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.5. 函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：8. 已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9. 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...10. 已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

新版浙江理工大学数学考研经验考研真题考研参考书

在决定考研的那一刻，我已预料到这一年将是怎样的一年，我做好了全身心地准备和精力来应对这一年枯燥、乏味、重复、单调的机械式生活。

可是虽然如此，我实在是一个有血有肉的人呐，面对诱惑和惰性，甚至几次妥协，妥协之后又陷入对自己深深的自责愧疚当中。

这种情绪反反复复，曾几度崩溃。

所以在此想要跟各位讲，心态方面要调整好，不要像我一样使自己陷入极端的情绪当中，这样无论是对自己正常生活还是考研复习都是非常不利的。

所以我想把这一年的经历写下来，用以告慰我在去年饱受折磨的心脏和躯体。

告诉它们今年我终于拿到了心仪学校的录取通知书，你们的付出和忍耐也终于可以扬眉了。

知道自己成功上岸的那一刻心情是极度开心的，所有心酸泪水，一扫而空，只剩下满心欢喜和对未来的向往。

首先非常想对大家讲的是，大家选择考研的这个决定实在是太正确了。

非常鼓励大家做这个决定，手握通知书，对未来充满着信念的现在的我尤其这样认为。

当然不是说除了考研就没有了别的出路。

只不过个人感觉考研这条路走的比较方便，流程也比较清晰。

没有太大的不稳定性，顶多是考上，考不上的问题。

而考得上考不上这个主观能动性太强了，就是说，自己决定自己的前途。

所以下面便是我这一年来积攒的所有干货，希望可以对大家有一点点小小的帮助。

由于想讲的实在比较多，所以篇幅较长，希望大家可以耐心看完。

文章结尾会附上我自己的学习资料，大家可以自取。

浙江理工大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(601)数学分析和(912)高等代数参考书目为：1.《数学分析》（上、下册），华东师范大学数学系编，高等教育出版社，第3版2.《数学分析》（上、下册），复旦大学数学系编，高等教育出版社，第2版3.《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编（王萼芳、石生明修订），高等教育出版社，第3版先谈谈英语吧其实英语每什么诀窍，就是把真题读透彻，具体方法我总结如下：第一，扫描提干，划关键项。

第二，通读全文，抓住中心。

2018考研数一真题答案及详细解析

故应选 A.
0
0
) ,B= (
0
1
0
) ,则 r (A
0
B)=2 #- r (AT
矿），排除 D.
(7) A
解由 J(l+x) = J(l-x)可知，J(x)关千x = l对称，所以f�J(x)dx =厂J(x)dx = 0. 5.
r。 r 又已知，J:!<x)dx = O. 6,则 J (x)dx = (x)dx = O. 3.
罕
dr
了
(1 +3r 2)rdx
气f rCl+3尸）了37dr.
✓ 设 1 -3r2 =t,则
气。亨
21rf r0+3尸）二37dr =
3
(2- t2汒dt
14冗
45
JI又
xdy dz
+
(y 3
+2)dzdx+z3 dxdy = 0,所以
I
14 穴 =百·
:El
08) 解 C I)当 f(x)=x 时，方程化为 y '+y =x,其通解为
假设 O<x,.+1 <立，则
e石t-2
工
e
n+I
=
-1
=e�(0
<
r;
<
X n+l),
X n +l
所以 0 < Xn+2 < Xn+l•
故 {xn} 是单调减少的数列，且有下界，从而 {x九｝收敛．
设
limx n-=
n
=a,得
aea =ea
— 1.
易知
a =O为其解

2018考研数学一真题及答案详解

【答案】 2ln 2 2 【解析】
f (0) 0, f (1) 2, f (1) 2 x ln 2
1
x 1
2 ln 2
1 1 1 1 xf ( x ) dx xdf ( x ) xf ( x ) xf ( x ) dx f (1) xf ( x)dx 0 0 0 0 0
N 1, 2 的概率密度，根据正态分
8. 给定总体 X ~ N ( , ) ，已知，给定样本 X1 , X 2 ,
2
2
, X n ，对总体均值进行检验，
令 H0 : 0 , H1 : 0 ，则 A. 若显著性水 0.05 时拒绝 H 0 ，则 0.01 时也拒绝 H 0 B. 若显著性水 0.05 时接受 H 0 ，则 0.01 时拒绝 H 0
由此，取特殊值；令 x=1,则法向量为 (2, 2, 1) ，故 B 选项正确。
3.
(1)
n 0

n
2n 3 (2n 1)!
B. 2sin1 cos1 D. 3sin1 2cos1
A. sin1 cos1 C. 2sin1 2cos1 【答案】B. 【解析】
S x 1
x 0 1 sin kx lim
ln(
1 tan x ) 1 tan x sin kx
ln(
1 tan x ) 1 tan x sin kx
10.设函数具有 2 阶连续导数，若曲线 y f ( x) 过点 (0,0) 且与曲线 y 2 x 在点 (1, 2) 处相切，则

1
0
xf '' ( x)dx __________________.

2018考研数学一真题及答案

2018 考研数学一真题及答案3．函数 f(x,y,z) x 2y z 2在点 (1,2,0)处沿向量 n (1,2,2) 的方向导数为的速度曲线 v v 1(t ) (单位：米 /秒)，虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t ) (单位：米 / 秒)，三块阴影部分的面积分别为 10,20,3 ，计时开始后乙追上甲的时刻为 t 0 ，则( ) (A ) t 0 10(B )15 t 0 20、选择题 1 — 8小题．每小题 4 分，共 32分．1 cos x１．若函数 f (x)ax b,,x 0在 x 0处连续，则x0A )1 ab2B ) ab1( C )ab 0 D ) ab 2详解】lim x 0 处连续，cos x ax1必须满足 b ab2af (x)lim 1 x01x lim 2 x 0ax 1 ．所以应该选( A )21 2a， lim f(x) b f (0) ，要使函数在 x02．设函数 f (x) 是可导函数，且满足 f (x) f (x) 0 ，则A )f (1)f ( 1) (B )f (1)f( 1) (C )f (1) f ( 1) D )f (1) f ( 1)详解】设 g(x) 2(f(x))2，则g (x) 2f(x)f (x) 0，也就是 f (x)22是单调增加函就得到 f(1) 22f ( 1) 2f (1) f ( 1) ，所以应该选( C )A )12 (B ) 6(C ) 4D ) 2详解】x2xy, f y x 2, f 2z ，所以函数在点 (1,2,0) 处的梯度为 gradf 4,1,0 ， z所以f (x,y,z)2xy 2 z 2在点 (1,2,0) 处沿向量 n (1,2,2) 的方向导数为 uur f r gradf n 0 n4,1,0 1 (1,2, 2) 2 应该选( D )3４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：米)处，如图中，实线表示甲(C ) t 0 25 (D ) t 0 25T2【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时， S(t)2v(t)dt 表T1示时刻 T 1,T 2 内所走的路程．本题中的阴影面积 S 1, S 2,S 3 分别表示在时间段0,10 , 10,25 , 25,30 内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在 t 25 时乙追上甲，应该C )．设为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则特征值为情况．000017．设 A,B 是两个随机事件，若 0 P(A) 1，0 P(B) 1，则 P(A/ B) P(A/ B)的充选 5．A ) ET不可逆B ) E T不可逆C ) E 2 T 不可逆D )E 2T不可逆T,ET,E 2 T ,E 2T的特征值分别为 0,1,1,L 1 ； 2,1,1,L ,1 ；1,1,1,L ,1 ； 3,1,1,L ,1．显然只有存在零特征值，所以不可逆，应该选(A )．2 6．已知矩阵 A 000 10 1000 2 0 ，则 0101002A ) A,C 相似， B,C 相似B ) A,C 相似， B,C 不相似 C ) A,C 不相似， B,C 相似D ) A,C 不相似， B,C 不相似详解】矩阵 A,B 的特征值都是22, 31．是否可对解化，只需要关心 2的00对于矩阵 A ， 2E A 0 0，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值 2存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是A~C ．对于矩阵 B ， 2E B0 1 00 0 0 ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值2只有个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然B,C 不相似故选择( B )．类似，由 P(AB) P(A)P(B/ A), P( AB) P(A)P(B/ A) 可得所以可知选择( A )．列结论中不正确的是( )是正确的；Xn X 11 22n2 1 ~ N (0,1) 2(X n X 1)2 ~ 2(1)，所以( B )结论是错误的，应该选择( B )二、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分. 把答案填在题中横线上)1 9．已知函数 f (x) 12 ，则 f (3)(0) ．1 x 2(A ) P(B/ A) P(B/ A) (B )P(B/ A) P(B/ A)(C )P(B/ A)P(B/ A)(D ) P(B/ A)P(B/ A)详解】由乘法公式： P(AB)P(B)P(A/ B), P( AB ) P(B)(P(A/ B) 可得下面结论分必要条件是P(A/B) P(A/ B) P P ((A B B )) P P ((A B B )) P(1A) P P (B (A )B)P(AB) P(A)P(B)P(B/ A) P(B/ A)P(AB) P(AB) P(B) P(AB)1 P(A)P(A) P(A)P(AB)P(A)P(B)8．设 X 1,X 2,L ,X n (n2) 为来自正态总体 N( ,1)的简单随机样本，若X nX i ，则i1 nA )(X ii1)2服从 2分布B ) 2 X n2X 1 服从2分布nC ) (X ii1X)2 服从 2 分布D ) n(X22)2 服从 2 分布解：( 1 ) 显然 (X i)~ N (0,1) (X i22)2~ 2(1),i1,2,L n 且相互独立，所以n(X ii1)2 服从 2(n) 分布，也就是( A )结论是正确的；2)2(X i X)2(n i11)S 2 (n 1)S22(n 1) ，所以( C )结论也是正确的；3)1注意 X ~ N( , )nn(X )~ N(0,1) n(X )2 ~ 2(1)，所以( D )结论也4)对于选项( B )：(X nX 1)~ N (0, 2)解：由函数的马克劳林级数公式： f (x) f (0) x n ，知 f (n)(0) n!a n ，其中 a n 为展 n 0 n! 开式中 x n 的系数．12 4 n 2n (3)由于 f(x) 2 1 x 2 x 4 L ( 1)n x 2n L ,x 1,1 ，所以 f (3) (0) 0．1x10．微分方程 y 2y 3y 0 的通解为．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程 r 2 2r 3 0有一对共共轭的根 r 1 2i ，所以通解为 y e x (C 1 cos 2x C 2 sin 2x)具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有11 ．若曲线积分L xdx aydyx 2在区域1(x, y)|x 2 y 21 内与路径无关，则详解】设 P(x,y)x 22 xy1,Q(x,y)ay2y，显然 1P(x, y),Q(x,y)在区域内12．幂级数( 1)n 1 nx在区间 ( 1,1) 内的和函数为n1详解】n1) n1nx(n1n 1 n1) (x )n 1 n( 1) x n11x(11x)2所以 s(x)2,x(1 x)21,1)13．设矩阵 A13为线性无关的三维列向量，则向量组 A 1,A 2 ,A 3的秩为详解】对矩阵进行初等变换11 ，知矩阵 A 的秩为 2，由于123为线性无关，所以向量组 A 1,A2,A3的秩为 2．x414．设随机变量 X 的分布函数 F(x) 0.5 (x) 0.5 ，其中 (x) 为标准正态分 2布函数，则 EX(t) dt 2三、解答题15．(本题满分 10 分)y f ( e x ,cos x ) ，求dy| dxsin xe x f 21 (e x ,cos x)sin 2xf 22(e x ,cos x)16．(本题满分 10 分)求 limk2 lnnk 1 n 2详解】由定积分的定义17．(本题满分 10 分)详解】在方程两边同时对 x 求导，得在( 1)两边同时对 x 求导，得nk k 1nk klim 2 ln 1 lim ln 1 nk 1 n nnn k 1 n n 11 2 10 ln(1 x)dx 2204 1x ln(1 x)dx详解】随机变量 X 的概率密度为 f (x) F ( x) 0.5 (x) E(X) xf ( x)dx 0.5 x ( x)dx 0.25 x40.25 ( ) ，所以24)dxx (x 2 0.25x ( x 4) dx2 0.25 2 (2t 4) (t) dtd2y|x0．2 x 0dx详解】dy dxf 1 (e x ,cos x)e x f 2 ( e x ,cos x)( sin x) ， dy |x 0 dx(1,1)；d 2y dx 2e xf 1(e x ,cosx) e x ( f 11(e x ,cos x)e x sinxf 12(e x ,cos x)) cos xf 2 ( e x ,cos x)设函数 f (u,v) 具有二阶连续偏导数，d 2ydx2 |x 0 f 1 (1,1) f 11(1,1)f 2 (1,1)．已知函数 y(x) 是由方程 x 33 y 33x 3y 2 0 ．223x 3 y y 3 3 y 01)222x 2y(y )2 y 2y y 0也就是y2(x y(y ) )21 y令y0 ，得x1 ．当x 11时， y 1 1 ；当 x 2 1时， y 2 0当x 11时， y0 ，y 1 0 ，函数y y(x) 取极大值 y 1 1；当x21时，y 0 ， y 1 0 函数 y y(x) 取极小值 y 2 0． 18．(本题满分 10 分)设函数 f(x)在区间 0,1 上具有二阶导数，且 f(1) 0， lim f(x)0，证明： x 0 x(1)方程 f (x) 0 在区间 0,1 至少存在一个实根；22)方程 f(x)f (x) (f (x))2 0在区间 0,1 内至少存在两个不同实根．实根；(0, ) ，使得 f ( )19．(本题满分 10 分)设薄片型 S 是圆锥面 z x 2 y 2 被柱面 z 2 2x 所割下的有限部分，其上任一点的密度为9 x 2 y 2 z 2 ，记圆锥面与柱面的交线为 C ．证明：( 1)根据的局部保号性的结论，由条件lim f (x) x 0x0 可知，存在 0 1，及x 1 (0, )，使得 f (x 1)0 ，由于 f ( x) 在 x 1,1 上连续，且f (x 1) f (1) 0 ，由零点定理，存在(x 1,1) (0,1) ，使得 f ( ) 0 ，也就是方程 f (x)0 在区间 0,1 至少存在一个2)由条件 lim f (x)x 0x0 可知 f (0) 0 ，由 1 )可知 f ( ) 0，由洛尔定理，存在设 F(x) f(x) f (x)条件可知F ( x) 在区间0,1 上可导，且F(0) 0,F( ) 0, F(0，分别在区间 0, 上对函数 F (x) 使用尔定理，则存在1(0, ) (0,1), 2 (,) (0,1), 使得12, F ( 1) F( 2) 0，也就是方程2f(x)f (x) ( f (x))20 在区间 0,1 内至少存在两个不同实根．1)求 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程； 2)求 S 的质量 M . 详解】(1)交线 C 的方程为 z x z 22 x 2 y 2，消去变量 z ，得到 x 2 y 2 2x 所以 C 在xOy 布上的投影曲线的方程为 y 2 2x0 2)利用第一类曲面积分，(x, y, z)dS得 9 x 2 y 2 z 2 dS x 2 9 x 2 y 2 x 2 y 2 2 x y 2 1 2 x 2x2y 2 2 dxdy x 2y 220．(本题满分 11 分) 设三阶矩阵 A 18 x2 y 2 2 x x 2 y 2dxdy 64 2 , 3 有三个不同的特征值，且 1)证明： r( A) 2； 2)若 123 ，求方程组 Ax 的通解．详解】( 1)证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是假若 r( A) 1时，则 r 0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r( A)r( A) 1． 2，又因为12 2 0 ，也就是123线性相关， r(A) 3 ，也就只有 r (A) 22) 因为 r ( A) 2 ，所以 Ax 0 的基础解系中只有一个线性无关的解向量．12 0 ，所以基础解系为 x2； 1又由 3，得非齐次方程组Ax 的特解可取为 1 ；1方程组 Ax的通解为 x k 211 ，其中 k 为任意常数．21．(本题满分 11 分)2 2 2设二次型f(x 1,x 2,x 3) 2x 1 x 2 ax 3 2x 1x 2 8x 1x 3 2x 2 x 3在正交变换 x Qy 下的标22准形为 1y 1 2y 2 ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q ．2 1 4 详解】二次型矩阵 A1 1 1 41 a1y 12 2y 22 ．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A 0，故 a 2.141 1 ( 3)( 6) 12令 E A 0得矩阵的特征值为 1 3, 2 6, 3 0．通过分别解方程组（ i E A ）x 0 得矩阵的属于特征值 11）求概率 P （ Y EY ）；2）求 Z X Y 的概率密度．12 2 详解】（1） EY yf Y （ y ）dy 2y 2dy . 03因为二次型的标准形为3 的特征向量 1属于特征值特征值26 的特征向量 20113 0 的特征向量 3 2611 1 132 6 1 所以Q 1 , 2 , 30 2 2为所求正交矩阵 6 1 1 1 32622．（本题满分 11 分）P{ X 2}1， Y 的概率密度2为 f (y)2 y,0 y 1 0,其他 1设随机变量 X ,Y 相互独立，且 X 的概率分布为 P X 02所以 P Y EY P Y 232) Z X Y 的分布函数为F Z (z) P Zz P X Yz PX Y z,X 0 P X Y z, X 2 PX 0,Y zPX 2,Y z21P{Yz} 12 P Y z 22 21 1F Y (z) F Y ( z 2)2 故 Z X Y 的概率密度为1f Z (z) F Z (z) f (z) f(z 2)2z, 0 z 1 z 2, 2 z 30, 其他23．(本题满分 11 分)某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了 n 次测量，该物体的质量2是已知的，设 n 次测量结果 X 1,X 2,L ,X n 相互独立且均服从正态分布 N( , 2).该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 Z i X i,(i 1,2,L , n) ，利用 Z 1,Z 2,L ,Z n 估计参数1)求 Z i 的概率密度；2) 利用一阶矩求的矩估计量； 3) 求参数最大似然估计量．详解】( 1)先求 Z i 的分布函数为当 z 0时，显然 F Z (z) 0；当 z 0时， F Z ( z)P Z i zPX i zPX iz2 z 1 ；2 2 z22．所以 Z i 的概率密度为f Z (z) F Z (z)2e , z0, z0032 ydyF Z (z) P Z i z P X iX i2）数学期望EZ i2 2z 2 2z f (z)dz ze 2dz0 02令EZ Z 1 Z i ，解得的矩估计量n i122 Z 2 n．Z i．2n i 1 i3)设Z1,Z2,L , Z n的观测值为z1,z2,L ,z n ．当z i 0,i 1,2,L n时似然函数为L( ) f (z i ,2n) ( 2 )n e2 2 i 1zi取对数得：ln L ( nln2 2n ln(2 ) nln22 n2zi i1令d ln L( d )n 1n3i1z i2 0 ，得参数最大似然估计量为1n2 z i ．n i1。

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“”ຫໍສະໝຸດ At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!

2018数学三考研真题

2018数学三考研真题2018年数学三考研真题2018年的数学三考研真题是考察研究生数学的一套标准试题，本文将对该试题进行详细解析，以帮助考生更好地理解试题并为备考提供指导。

第一题：请计算以下函数的极限$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin{(2x)}}{x} $$解析：根据极限的定义，我们可以将上述极限式进行变形，得到：$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin{(2x)}}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0}\frac{\sin{(2x)}}{2x} $$我们知道，当自变量趋近于0时，$\sin{x}$与$x$的比值趋近于1。

因此，上述极限可以进一步计算为：$$ 2 \cdot 1 = 2 $$因此，该函数的极限为2。

第二题：请计算二重积分$$ \iint_D (x+y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y $$解析：对于给定的二重积分，我们首先需要确定积分的区域$D$。

通过观察被积函数中$x$和$y$的系数为1，我们可以得到积分区域的边界条件为$x=0$，$y=0$和$x+y=1$。

将以上三个条件绘制在坐标系中，我们可以得到积分区域$D$为一个以$x$轴和$y$轴为边界的三角形。

接下来，我们可以通过二重积分的计算公式对给定的函数进行积分：$$ \iint_D (x+y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} (x+y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x $$对上述积分式进行计算，我们可以得到原函数的值为$\frac{1}{3}$。

第三题：请用参数方程和极坐标方程给出以下曲线的方程曲线：$y^2 = 4x \quad (y \geq 0)$解析：通过观察曲线的方程，我们容易联想到抛物线。

为了更好地描述曲线，我们可以用参数方程对其进行表示。

考研数一真题和答案(最新整理)

0 0 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1
（A） 0 1
1
（B）
0
1
1
（C） 0
1
0
（D）
0
1
0
0 0 1
0 0 1
0 0 1
0 0 1
6.设 A, B 是 n 阶矩阵，记 r( X ) 为矩阵 X 的秩， ( X ,Y ) 表示分块矩阵，则（）
（A） r( A, AB) r( A) （B） r( A, BA) r( A)
（C） r( A, B) max{r( A), r(B)}（D） r( A, B) r( AT , BT )
2
7.设随机变量 X 的概率密度 f (x) 满足 f (1 x) f (1 x) ，且 f (x)dx 0.6 0
则 P{X 0} ()
（A）0.2（B）0.3（C）0.4（D）0.5
切平面过点 (1, 0, 0) ， (0,1, 0) ，故有
2x0 (1 x0 ) 2 y0 (0 y0 ) (0 z0 ) 0 ，（1） 2x0 (0 x0 ) 2 y0 (1 y0 ) (0 z0 ) 0 ，（2）又 (x0 , y0 , z0 ) 是曲面上的点，故 z0 x02 y02 ，（3）解方程（1）（2）（3），可得切点坐标 (0, 0, 0) 或 (1,1, 2) 。因此，切平面有两个
7.【答案】（ A ）
【解析】由 f (1 x) f (1 x) 可知概率密度函数 f (x) 关于 x 1对称，
2
结合概率密度函数的性质 f (x)dx 1及已知条件 f (x)dx 0.6 ，容易得出
0
P{X 0}
0
f (x)dx 1 [