北师大版九年级数学上册教案：2.2《用配方法求解一元二次方程》教案

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九年级数学上册《2.2 配方法公式法解一元二次方程》教案北师大版

《22配方法公式法解一元二次方程》教案姓名年级性别教材第课教学课题教学目标1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。

2、进一步理解配方法的解题思路。

课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________过程一.教学内容：用配方法和公式法解一元二次方程1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程．2.理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b2－4ac≥0的意义，知道b2－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关系．3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程．二. 知识要点：1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）2＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．3.用配方法解一元二次方程的步骤：用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤：（1）移项：将常数项移到方程右边；（2）把二次项系数化为1：方程左右两边同时除以二次项系数（3）配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()x m n+=的形式即将2x mx±的式子加上2()2m，可得到完全平方式⇒222()()22m mx mx x±+=±（4）当0n≥时，用直接开方法解变形后方程三. 重点难点：本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．【例题剖析】【衔接训练】1、一元二次方程230x -=的解是（）A 、3x =B 、3x =-C 、123,3x x ==-D 、123,3x x ==- 2、一元二次方程21090x x ++=可变形为（）A 、2(5)16x +=B 、2(5)34x +=C 、2(5)16x -=D 、2(5)25x +=5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A 、22430(2)7x x x --=-=化为 B 、227252730()416x x x -+=-=化为 C 、22525490()33636x x x --=-=化为 D 、22517215()416y y y +=+=化为 6、将二次三项式241x x -+配方后得（）A 、2(2)3x -+B 、2(2)3x --C 、2(2)3x ++D 、2(2)3x +-7、（1）226___(__)x x x ++=+；（2）224___(__)3x x x -+=-；（3）228___(__)x x x ++=+ （4）2214___(__)x x x -+=-（5）227___(__)x x x ++=+ （6）223___(__)5x x x -+=- （7）22___(__)x px x ++=+；（8）22___(__)b x x x a++=+；（9）222()___(__)x m n x x -++=- （10）22___(__)x ax x -+=- 8、用配方法解一元二次方程225033x x +-=时，此方程可变形为_____________，解得：12____,____x x == 9、解下列方程：（1）x 2＝2 （2）4x 2－1＝0 （３）（x ＋1）2= 2（4）22350x x --= （5） 22410x x --=（6）23(1)50x x +-= （7）(1)(2)12t t --=10、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2430x x -+=的解，求这个三角形的周长。

北师大版数学九年级上册《用配方法求解二次项系数为1一元二次方程》教案2

北师大版数学九年级上册《用配方法求解二次项系数为1一元二次方程》教案2一. 教材分析《北师大版数学九年级上册》中的“用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程”是本册的重要内容，也是学生对一元二次方程求解方法的深入理解。

此部分内容是在学生已经掌握了一元二次方程的解法基础上进行学习的，通过配方法，引导学生发现一元二次方程的解法规律，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习此部分内容前，已经掌握了一元二次方程的基本解法，能够进行简单的代数运算。

但是，对于配方法求解一元二次方程的理解和应用还不够深入，需要通过本节课的学习，进一步巩固和提高。

此外，学生对于数学问题的探究能力和合作能力还需要加强。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的方法，能够灵活运用配方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作、探究学习，培养学生解决数学问题的能力和合作能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：配方法求解二次项系数为1的一元二次方程。

2.难点：对于不同类型的一元二次方程，如何灵活运用配方法进行求解。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。

通过设置问题情境，引导学生发现数学规律，激发学生学习兴趣；同时，学生进行小组合作，培养学生的团队协作能力；在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动探究，发现解决问题的方法。

六. 教学准备1.教师准备：提前准备相关的一元二次方程案例，制作PPT，准备黑板。

2.学生准备：预习相关内容，了解一元二次方程的基本解法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的一元二次方程案例，引导学生回顾已知的解法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）展示配方法求解一元二次方程的过程，引导学生发现配方法的步骤和规律。

3.操练（10分钟）学生在教师的引导下，尝试用配方法解一元二次方程。

北师大版数学九年级上册2.2《配方法》教案2

北师大版数学九年级上册2.2《配方法》教案2一. 教材分析《配方法》是北师大版数学九年级上册第2章《二次根式》的第2节内容。

本节课主要学习配方法的原理和应用。

配方法是解一元二次方程的一种重要方法，通过将方程转化为完全平方形式，使方程的解更加简单。

学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质和运算，为本节课的学习奠定了基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，能够理解和掌握配方法的理论依据。

但部分学生在学习过程中，对于配方法的运用可能会存在一定的困难，因此需要在教学中给予学生足够的引导和实践机会。

三. 教学目标1.理解配方法的原理，掌握配方法的操作步骤。

2.能够运用配方法解一元二次方程。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.配方法的原理和操作步骤。

2.如何引导学生运用配方法解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.练习题。

3.教学素材。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次根式的性质和运算，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）呈现一个实际问题，引导学生尝试解决。

例如：已知一个正方形的边长为a，求其面积。

学生通过讨论，得出正方形的面积为a²。

3.操练（15分钟）讲解配方法的原理和操作步骤，引导学生动手尝试将一元二次方程转化为完全平方形式。

教师通过例题演示，学生跟随操作。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些配方法的练习题，检验学生对配方法的理解和掌握程度。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

5.拓展（10分钟）引导学生运用配方法解决实际问题，如：已知一个长方形的长为a，宽为b，求其面积。

学生通过配方法，得出长方形的面积为ab。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调配方法的应用和重要性。

九年级数学上册2.2用配方法求解一元二次方程配方法教案(新版)北师大版

小球何时能达到10m高？
三、巩固：
练习：P39随堂练习
四、小结：
1、用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）化二次项系数为1；
（2）移项；
（3）配方：
（4）求根。
五、作业：
课本P40习题2.4 1、2
板书设计：
学生ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ答
演板
由学生共同小结
这节课我们利用配方法解决了二次项系数不为1或者一次项系数不为偶数等较复杂的一元二次方程，由此我们归纳出配方法的基本步骤
(x+ )2=( )2
即：x+ =± 所以x1= ，x2=―3
2、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
3、做一做：
一小球以15ms的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系： h=15 t―5t2
配方法
课题
配方法
课型
新授课
教学目标
1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．
教学重点
用配方法求解一元二次方程．
教学难点
理解配方法．
教学方法
讲练结合法
教学后记
教学内容及过程
学生活动
一、复习：
1、什么叫配方法？
2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。
3、解方程：
（1）x2+4x+3=0（2）x2―4x+2=0
二、新授：
1、例题讲析：

北师大版初三上册第二章用配方法求解一元二次方程(教案)

北师大版初三上册第二章2教学目标：1、了解配方法的概念，把握运用配方法解一元二次方程的步骤．2、通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．教学重难点：重点：讲清配方法的解题步骤．难点：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具预备：小黑板教学过程一、复习回忆活动内容：回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的差不多步骤。

活动目的：回忆配方法的差不多步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。

实际成效：教学中为了便于学生回忆，能够通过举例的形式，关心学生回忆并整理步骤，例如，x 2-6-40=0移项，得 x -6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x -6x+32=40+32即（x -3）=49开平方，得x -3 =±7即x -3=7或x -3=-7因此学生一样都能整理出配方法解方程的差不多步骤：2222.4,1021-==x x通过对那个方程差不多步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，把握了每一步的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。

配方法的两节课连贯性强，作为一种新的方法，学生在新授期间应多接触，熟练把握差不多的步骤，把握每一步的原理，如此会增强学生对那个知识点的驾驭能力。

一样的一元二次方程配方解法的步骤（移项，配方，开平方，求解）及注意事项。

移项的目的是将二次项和一次项调整到等号的左边，常数项调整到右边；配方是将方程的两边添加一个常数项（一次项系数一半的平方）原理是依照公式a ＋2ab ＋b ＝（a ＋b ）进行的；开平方的原理是平方根的定义，需要注意一个正数有两个平方根，它们是互为相反数；求解的过程是解两个一元一次方程，要注意符号的变化。

二、情境引入活动内容：（1）.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.1.x +2x+________=(x+______)2.x -4x+________=(x -______)3.x +________+36=(x+______)4.x +10x+________=(x+______)5. x -x+________=(x -______)（2）.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别1.x +6x+8=02.3x +18x+24=0探讨方程2的应如何去解呢？活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三项与平方形式的联系，第二部分的两个习题之间的区别是方程2的二次项系数为3，不符合上节课解题的差不多形式，联系是当方程两边同时除以3以后，这两个方程式同解方程。

北师大版九年级数学上册2.22用配方法解较复杂的一元二次方程教案

2 用配方法求解一元二次方程课题第2课时用配方法解较复杂的一元二次方程授课人教学目标知识技能会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．通过经历配方法解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能．数学思考经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想，总结用配方法解一元二次方程的基本步骤.问题解决能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.情感态度通过配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的数学思想方法，并培养学生的合作交流及探索意识，养成良好的思维品质．教学重点用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．教学难点理解配方法．授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.定义：我们通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.2.配方根据：(1)平方根的意义：如果x2＝a，那么x＝±a；(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法，进一步加深对配方法的理解.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】1.(1)将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).①x2＋2x＋________＝(x＋________)2；②x2－4x＋________＝(x－________)2；③x2＋________＋36＝(x＋________)2；④x2＋10x＋________＝(x＋________)2.(2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别.①x2＋6x＋8＝0；②3x2＋18x＋24＝0.探讨：方程②应如何去解呢？2.复习提问：用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)的步骤是什么？1.让学生回顾配方法的过程，能熟练将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式.2.让学生梳理用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)的步骤，主要是夯实基础，为完善用配方法求解一元二次方程(二次项系数不为1)的步骤做准备.活动二：实践探究交流新知【探究1】(多媒体出示)观察方程3x2＋8x－3＝0，它与上面我们所解的方程有什么不同？你有什么想法？先让学生回答这个方程与上面我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上面我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师投影演示．【探究2】用配方法解一元二次方程的步骤．师：下面请大家仔细观察教材例2的解题过程，你能说一说用配方法解一元二次方程的步骤吗？请同学们总结一下．交流归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤大致概括如下：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式；(4)开平方；(5)解——方程的解为x＝―m±n.1.让学生在实践中逐步体会配方法求解一元二次方程的一般步骤，在学生有了初步认识的基础上，教师再展示步骤，目的是引导学生掌握这种思想，而不是让学生死记硬背这些步骤．使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验．2．通过让学生探讨总结用配方法解一元二次方程的一般步骤，一方面培养学生归纳总结问题的能力及逻辑思维和语言表达能力，另一方面学生能熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤，掌握每一步的原理，这样会增强学生对这个知识点的驾驭能力.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例解方程：3x2＋8x－3＝0.[变式题1] 方程2x2－3m－x＋m2＋2＝0有一根为x＝0，则m的值为()A．1B．2C．1或2D．1或－2[变式题2] 解方程：(1)6x2－7x＋1＝0；(2)2x2－5x－2＝0.引导学生自我锻炼、合作交流，小组互评，让学生熟悉利用配方法求解一元二次方程的步骤.【拓展提升】1．利用配方法解方程例1解下列方程：(1)3x2－4x＋1＝0；(2)5x2－9x－18＝0.图2－2－62.应用一元二次方程解决实际问题例2如图2－2－6，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点P，点Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动(到点C为止)，它们的速度都是1 cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？3．应用配方法求最值例3用配方法求：(1)2x2－7x＋2的最小值；(2)－3x2＋5x＋1的最大值．1.学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，实现教学目标．2．知识的综合与拓展，提高应考能力.活动四：课堂总结反思【当堂训练】1．课本P39中的随堂练习2．课本P40习题2.4中的T1、T2、T3当堂检测，及时反馈学习效果.【板书设计】第2课时用配方法解较复杂的一元二次方程1.二次项系数是1的一元二次方程的配方法解题步骤：(学生完善)2.二次项系数不是1的一元二次方程的配方法解题步骤：(教师指导学生完善)投影区提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]本节课一开始通过复习，让学生用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，然后给出方程3x2＋8x―3＝0，对比与前面所学的方程有何不同，引出本课课题，从而点明本节课的主要内容是如何解二次项系数不为1的一元二次方程，学生接受起来很自然.②[讲授效果反思]在授课过程中通过对比，层层递进，不仅抓住了学生的兴趣，而且步步引导学生自主探究，通过学生的自主探究与合作交流，探讨方程3x2＋8x―3＝0的解法，并归纳﹑总结出用配方法解一元二次方程的一般步骤，使学生在探究、合作的过程中掌握知识，顺利地突破重点、难点.在整个教学过程中，学生均处于主导地位，培养了学生独立思考﹑合作探究及分析问题﹑解决问题的能力，形成良好的情感态度和价值观.③[师生互动反思]_______________________________________________ _______________________________________________④[习题反思]好题题号______________________________________ 错题题号_______________________________________反思，更进一步提升.。

2.2用配方法求解一元二次方程教学设计2023-2024学年-北师大版数学九年级上册

-个人作业和练习题
教学流程
（一）课前准备（预计用解“用配方法求解一元二次方程”的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习“用配方法求解一元二次方程”内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确“用配方法求解一元二次方程”教学目标和“用配方法求解一元二次方程”重难点。
答案：x1=2，x2=-2。
3.例题3：求解一元二次方程3x^2+6x+1=0
解答：首先，计算判别式Δ=b^2-4ac=6^2-4*3*1=36-12=24>0，所以方程有两个不相等的实数根。
然后，展开并简化方程：3x^2+6x+1=0可以写成9x^2+12x+4-2=0，即9x^2+12x+2=0。
-（3）判断Δ的值，确定方程的根的性质。
-（4）如果Δ>0，用公式x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a求解方程的两个实数根。
-（5）如果Δ=0，方程退化为一元一次方程，用公式x=-b/2a求解方程的根。
-（6）如果Δ<0，先求出方程的共轭复数根，再用公式x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a求解方程的两个复数根。
引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）
知识拓展：
介绍与“用配方法求解一元二次方程”内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。
引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。
情感升华：
结合“用配方法求解一元二次方程”内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。
-配方法的应用范围广泛，可以用于解决实际问题中的方程求解问题。

2024年北师大版九年级上册教学设计第二章2.2 用配方法求解一元二次方程

第1课时直接开平方法和配方法课时目标1.能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.2.理解配方法,能用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,体会转化等数学思想.学习重点用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程;配方法解二次项系数为1的一元二次方程.学习难点把方程化为x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式;理解并掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.课时活动设计知识回顾1.平方根的定义:如果x2=a(a≥0),那么x叫做a的平方根.2.如果一个数的平方等于4,那么这个数是±2;如果一个数的平方等于7,那么这个数是±√7;如果x2=a,那么x=±√a.3.用字母表示因式分解的完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.4.练一练:x2-4x+4=(x-2)2;x2+6x+9=(x+3)2.设计意图:通过以上题目的练习,引导学生复习开平方和完全平方公式,为本课时的学习作铺垫.新知引入怎样解x2=2?解:根据平方根的定义,x是2的平方根,即x=±√2,记为x1=√2,x2=-√2.这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.设计意图:利用实际问题,让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用,为后面学习配方法作铺垫.典例精讲 1.解下列方程:(1)x 2- 4=0; (2)4x 2-1=0.分析:x 2- 4=0先将-4移项,再直接开平方;4x 2-1=0也同样先移项,在两边同时除以4,化为x 2=p 的形式,再用直接开平方法直接计算.解:(1)x 2-4=0,x 2=4,x =±2,即x 1=2,x 2=-2. (2)4x 2-1=0,4x 2=1,x 2=14,x =±12,即x 1=12,x 2=-12. 2.解方程:(x +1)2=2.分析:只要把(x +1)看成是一个整体,就可以用直接开平方法求解. 解:(x +1)2=2 x +1=±√2即x 1=-1+√2, x 2=-1-√2.设计意图:通过例题讲解,引导学生用直接开平方法解一元一次方程,提高学生分析问题、解决问题的能力.探究新知1.做一做:(填空配成完全平方式,体会如何配方) 填上适当的数,使下列等式成立.(1)x 2+12x + 36 =(x +6)2;(2)x 2-6x + 9 =(x -3)2; (3)x 2+8x + 16 =(x + 4 )2;(4)x 2-4x + 4 =(x - 2 )2. 2.想一想,解方程x 2- 12x -15=0的流程是怎样的?↓移项,把常数项移到方程的右边↓两边都加36[即(b 2)2]使左边配成x 2-2bx +b 2的形式↓使等式左边写成完全平方式↓ 两边开平方√51↓√51↓ 解一元一次方程√51设计意图:配方法的关键是正确配方,而要正确配方就必须熟悉完全平方公式的特征,在此通过几个填空题,使学生能够用语言叙述并充分理解等式的左边填的是“一次项系数一半的平方”,右边填的是“一次项系数的一半”,进一步复习巩固完全平方公式中常数项与一次项系数的关系.典例精讲解方程:x2+8x-9=0.(师生共同解决)解:可以把常数项移到方程的右边,得x2+8x=9.两边都加上42(一次项系数8的一半的平方),得x2+8x+42=9+42,即(x+4)2=25.两边开平方,得x+4=±5,即x+4=5或x+4=-5.所以x1=1,x2=-9.小结:例题中,我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根.这种解一元二次方程的方法称为配方法.用这种方法解一元二次方程的思路是什么?关键又是什么?(小组合作交流) 设计意图:通过对上述题目的讲解,规范配方法解一元二次方程的过程,让学生充分理解用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x+m)2=n(n≥0)的形式.同时提醒学生注意:有的方程虽然有两个不同的解,但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性,对结果进行取舍.巩固训练解下列方程:(1)x2-10x+25=7;(2)x2-14x=8;(3)x2+3x=1;(4)x2+2x+2=8x.解:(1)方程可转化为(x-5)2=7,开平方得x-5=±√7,即x-5=√7或x-5=-√7.所以x1=5+√7,x2=5-√7;(2)两边都加上72得x2-14x+49=8+49,即(x-7)2=57.两边开方得x-7=±√57,即x-7=√57或x-7=-√57.所以x1=7+√57,x2=7-√57;(3)两边同时加上(32)2,得x 2+3x +(32)2=1+(32)2,即(x +32)2=134.两边开平方得x +32=±√132,即x +32=√132或x +32=-√132.所以x 1=-3+√132,x 2=-3-√132;(4)移项得x 2+2x -8x =-2,两边都加9得x 2-6x +9=-2+9,即(x -3)2=7.两边开平方得x -3=±√7,即x -3=√7或x -3=-√7.所以x 1=3+√7,x 2=3-√7.设计意图:通过巩固练习,学生可以更好地掌握本节课的知识点,并为后续的学习打下坚实的基础.同时,教师也可以根据学生的练习情况,及时了解学生的学习状况,为后续的教学做好充分的准备.课堂小结师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键步骤,以及应用配方法时应注意的问题.设计意图:培养学生及时反思的习惯,归纳本节课的收获.让学生养成自主梳理知识要点的习惯,逐渐培养出独立思考和自主学习的能力.课堂8分钟.1.教材第37页习题2.3第1,2,3题. 2.七彩作业.第1课时直接开平方法和配方法解一元二次方程的方法: 例(略) 1.直接开方法(略). 2.配方法(略).教学反思第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程课时目标1.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程,体会其中的化归思想.2.能利用一元二次方程解决有关的实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.学习重点用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程.学习难点将二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程.课时活动设计回顾旧知1.回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤.例如,x2-6x-40=0.解:移项,得x2-6x=40.方程两边都加上9(一次项系数一半的平方),得x2-6x+32=40+32,即(x-3)2=49.开平方,得x-3=±7,即x-3=7或x-3=-7.所以x1=10,x2=-4.2.将下列各式填上适当的项,配成完全平方式.(口头回答)(1)x2+2x+1=(x+1)2;(2)x2-4x+4=(x-2)2;(3)x2+12x +36=(x+6)2;(4)x2+10x+25=(x+5)2;(5)x2-x+14=(x-12)2.设计意图:回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤,为本节课研究二次项系数不为1的一元二次方程的解法奠定基础.探究新知请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别.(1)x2+6x+8=0;(2)3x2+18x+24=0.解:两个方程之间的区别是方程(2)的二次项系数为3,不符合上节课解题的基本形式;联系是当方程(2)的两边同时除以3以后,这两个方程式为同解方程.探讨方程(2)应该如何求解呢?设计意图:学生们做了方程的变形以后,对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路.典例精讲解方程:3x 2+8x -3=0.解:方程两边同时除以3,得x 2+83x -1=0, 移项,得x 2+83x =1.配方,得x 2+83x +(43)2=1+(43)2,即(x +43)2=259.两边开平方,得x +43=±53,即x +43=53,或x +43=-53.所以x 1=13,x 2=-3.注意事项:(1)当一次项系数为分数时,所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方,理解这样做的原理,树立解题的信心.(2)得到x +43=±53后,在移项得到x +43=53与x +43=-53的过程中,要注意符号问题,这一步在计算过程中容易出错. 设计意图:通过上述例题的讲解,继续规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充分理解并掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,理解配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x +m )2=n (n ≥0)形式.扩展应用一个小球从地面以15 m/s 的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h (m)与时间t (s)满足关系:h =15t -5t 2,小球何时能达到10 m 的高度? 解:根据题意,得15t -5t 2=10. 方程两边都除以-5,得t 2-3t =-2. 配方,得t 2-3t +(32)2=-2+(32)2,即(t -32)2=14.两边开平方,得t -32=±12,即t -32=12或t -32=-12.所以t 1=2,t 2=1.所以当t =1或2时,小球能达到10 m 的高度.设计意图:在前边学习的基础上,通过上述试题进一步提高学生分析问题、解决问题的能力,帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用.巩固训练 1.解下列方程:(1)3x 2-9x +2=0; (2)2x 2+6=7x ; (3)4x 2-8x -3=0.解:(1)移项,得3x 2-9x =-2. 方程两边同时除以3,得x 2-3x =-23. 配方,得x 2-3x +(32)2=-23+(32)2,即(x -32)2=1912.两边开平方,得x -32=±√576. 所以x 1=32+√576,x 2=32-√576; (2)移项,得2x 2-7x =-6.方程两边同时除以2,得x 2-72x =-3. 配方,得x 2-72x +(74)2=-3+(74)2,即(x -74)2=116.两边开平方,得x -74=±14. 所以x 1=2,x 2=32;(3)移项,得4x 2-8x =3. 两边同时除以4,得x 2-2x =34. 配方,得x 2-2x +12=34+12,即(x -1)2=74. 两边开平方,得x -1=±√72. 所以x 1=1+√72,x 2=1-√72.2.印度古算术中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏.八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队猴子在一起”大意是:一群猴子分两队,一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方,另一队猴子数是12,那么猴子的总数是多少?请同学们解决这个问题.解:设总共有x 只猴子,由题意,可得(18x)2+12=x.解得x 1=16,x 2=48.答:总共有16只或48只猴子.设计意图:对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力和数学建模能力.课堂小结1.解一元二次方程的基本步骤.2.利用一元二次方程解决实际问题的思路.设计意图:让学生养成及时总结的习惯,反思学习的过程和收获的知识点,积累学习经验,在归纳总结的过程中,了解自己对本节课内容还有哪些困惑并解决.课堂8分钟.1.教材第40页习题2.4第1,3题.2.七彩作业.第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程解一元二次方程的方法:配方法.教学反思。

北师大版数学九年级上册2.2用配方法解一元二次方程优秀教学案例

2.鼓励学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的实践能力。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，指导学生纠正错误，提高学生的学习效果。
4.针对学生在作业中出现的问题，调整教学策略，确保教学内容和方法的适应性。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：本案例通过现实生活中的图片和问题情境引入新课，使学生能够直观地感受到数学与生活的紧密联系，提高了学生的学习兴趣和积极性。
（四）总结归纳
1.引导学生对所学知识进行总结和反思，提高学生的归纳总结能力。
2.总结配方法解一元二次方程的步骤和技巧，强调重点、难点。
3.引导学生发现配方法与其它解题方法的联系和区别，培养学生灵活运用解题方法的能力。
（五）作业小结
1.设计具有层次性和实际意义的作业，让学生在完成作业的过程中，巩固所学知识，提高解题能力。
4.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的社会责任感和使命感，引导学生为国家的繁荣发展贡献自己的力量。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，设计具有挑战性和启发性的问题，引发学生的思考，激发学生学习兴趣。
2.通过动画、图片、实物等Multimedia手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生形象地理解一元二次方程和配方法。
2.组织学生进行自我评价、同伴评价，让学生了解自己的优点和不足，激发学生的学习动力。
3.注重评价的多元化，关注学生的全面发展，让学生在评价中感受到自己的成长和进步。
4.定期对教学过程进行反思，调整教学策略，以确保教学效果的最大化。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示现实生活中的图片，如：跳绳、抛物线等，引导学生发现其中隐藏的一元二次方程。
二、教学目标
（一）知识与技能

北师大版九年级上册数学2章《用配方法求解一元二次方程》教案

2.2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程【学习目标】1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习重点】会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习难点】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．一、情景导入生成问题1．如果一个数的平方等于4，则这个数是±2．2．已知x2＝9，则x＝±3．3．填上适当的数，使下列等式成立．(1)x2＋12x＋36＝(x＋6)2；x2－6x＋9＝(x－3)2.二、自学互研生成能力知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法先阅读教材P36“议一议”的内容．然后完成下列问题：1．一元二次方程x2＝5的解是x1＝5，x2＝－5．2．一元二次方程2x2＋3＝5的解是x1＝1，x2＝－1．3．一元二次方程x2＋2x＋1＝5，左边配方后得(x＋1)2＝5，此方程两边开平方，得x＋1＝±5，方程的两个根为x1＝－1＋5，x2＝－1－5．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程x2－2x－3＝0为例) 1．移项：将常数项移到右边，得：x2－2x＝3；2．配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x2－2x＋12＝3＋12，再将左边化为完全平方形式，得：(x－1)2＝4；3．开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x－1＝±2(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；4．化为一元一次方程：将原方程化为两个一元一次方程，得：x－1＝2或x－1＝－2；5．解一元一次方程，写出原方程的解：x1＝__3__，x2＝－1．归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程解答下列各题：1．填上适当的数，使等式成立．(1)x2＋4x＋4＝(x＋2)2；(2)x2－10x＋25＝(x－5)2.2．用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.解：①移项，得x2＋2x＝1；②配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2；③开平方，得x＋1＝±2，即x＋1＝2或x＋1＝－2；④所以x1＝－1＋2；x2＝－1－2．典例讲解：解方程：x2＋8x－9＝0.解：可以把常数项移到方程的右边，得：x2＋8x＝9.两边都加42(一次项系数8的一半的平方)，得：即x2＋8x＋42＝9＋42，即(x＋4)2＝25.两边开平方，得：x＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.对应练习：1．解下列方程：(1)x2－10x＋25＝7；(2)x2－14x＝8；(3)x2＋3x＝1; (4)x2＋2x＋2＝8x＋4.2．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得的方程为(D)A．(x＋1)2＝0B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2D．(x－1)2＝23．方程(x－2)2＝9的解是(A)A．x1＝5，x2＝－1 B．x1＝－5，x2＝1C．x1＝11，x2＝－7 D．x1＝－11，x2＝7三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_________________________________________2．存在困惑：_____________________________________第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程【学习目标】1．理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程．2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．【学习重点】用配方法解一般一元二次方程．【学习难点】用配方法解一元二次方程的一般步骤．一、情景导入生成问题1．用配方法解一元二次方程x 2－3x ＝5，应把方程两边同时( B ) A ．加上32 B ．加上94 C ．减去32 D ．减去942．解方程(x －3)2＝8，得方程的根是( D )A ．x ＝3＋2 2B ．x ＝3－2 2C ．x ＝－3±2 2D ．x ＝3±2 23．方程x 2－3x －4＝0的两个根是x 1＝4，x 2＝－1．二、自学互研生成能力知识模块一探索用配方法解一般一元二次方程的方法先阅读教材P 38例2，然后完成下面的填空：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程2x 2－6x ＋1＝0为例)①系数化1：把二次项系数化为1，得x 2－3x ＋12＝0；②移项：将常数项移到右边，得x 2－3x＝－12；③配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x 2－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－12＋94．再将左边化为完全平方形式，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝74；；④开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x －32＝±72(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；⑤解一次方程：得x ＝32±72，∴x 1＝32＋72，x 2＝32－72．用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么？师生共同归纳结论：(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x ＋h)2＝k 的形式；(4)用直接开平方法解变形后的方程．知识模块二应用配方法解一般一元二次方程解答下列各题：1．用配方法解方程3x 2－9x －32＝0，先把方程化为x 2＋bx ＋c ＝0的形式，则下列变形正确的是( D )A ．x 2－9x －32＝0B ．x 2－3x －32＝0C ．x 2－9x －12＝0D ．x 2－3x －12＝02．方程2x 2－4x －6＝0的两个根是x 1＝3，x 2＝－1．典例讲解：1．解方程3x 2－6x ＋4＝0.解：移项，得3x 2－6x ＝－4；二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43；配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12；(x －1)2＝－13.因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x －1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根．2．做一做：一小球以15m /s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10米的高度？解：根据题意得15t －5t 2＝10；方程两边都除以－5，得t 2－3t ＝－2；配方，得t 2－3t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322；⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＝14；t －32＝±12；t ＝2，t 2＝1；答：当t ＝2s 或t ＝1s 时，小球达到10米的高度．对应练习：1．解下列方程：(1)3x 2－9x ＋2＝0； (2)2x 2＋6＝7x ； (3)4x 2－8x －3＝0.2．方程3x 2－1＝2x 的两个根是x 1＝－13，x 2＝1．3．方程2x 2－4x ＋8＝0的解是无实数解．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索用配方法解一般一元二次方程的方法知识模块二应用配方法解一般一元二次方程四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________。

北师大版九年级上册2用配方法求解一元二次方程教学设计

北师大版九年级上册2用配方法求解一元二次方程教学设计背景介绍在九年级数学教学中，一元二次方程是一项重要的内容。

学生在学习一元二次方程时，需要掌握多种解法。

本文介绍了一种用配方法求解一元二次方程的教学设计，旨在帮助学生掌握这种解法。

教学目标•知识与技能目标：掌握用配方法求解一元二次方程的步骤和方法。

•过程与方法目标：培养学生分析问题，独立思考，自主学习的能力。

•情感态度目标：培养学生对数学的兴趣，对解决数学问题的信心和勇气。

教学重点•用配方法求解一元二次方程的步骤和方法。

教学难点•学生能否熟练掌握用配方法求解一元二次方程的步骤和方法。

教学准备•教师准备：教学课件，板书工具等。

•学生准备：习题册，作业本等。

教学过程第一步：引入教师在黑板上写出一元二次方程ax2+bx+c=0，提问学生如何求解。

引出本节课的学习内容。

第二步：讲解1.定义配方法配方法是指通过增加一项、减少一项，使得一个式子能够化为一个平方差的方法。

即将一般形式的二次方程ax2+bx+c=0，化为差的平方形式(mx+n)2=k。

2.用配方法求解一元二次方程推导用配方法求解一元二次方程的公式：当ax2+bx+c=0（a≠0）时，先通过配方法，将原方程化为(mx+n)2=k的形式，然后解得$mx+n=±\\sqrt{k}$，即可得到原方程的两个实数根。

其中m和n是需要通过配方法求解得到的。

示范讲授一个例子：给定一元二次方程x2−2x−3=0，用配方法求解。

–根据配方法，我们需要找到一个数m，使得(x+m)2可以展开为x2−2x−3，展开后可以得到m2−3=0，解得$m=±\\sqrt{3}$。

–再把(x+m)2=0转化为$x+m=±\\sqrt{0}$（注意这里的k为 0），解方程得到 $x_1=-\\sqrt{3}$，$x_2=\\sqrt{3}$。

第三步：训练1.给出练习题，让学生自行完成。

题目：3x2−4x+1=0，用配方法求解。

北师大版九年级数学教案-用配方法求解一元二次方程

第二章一元二次方程２．用配方法求解一元二次方程（一）一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：學生在初二上學期已經學習過開平方，知道一個正數有兩個平方根，會利用開方求一個正數的兩個平方根，並且也學習了完全平方公式。

在本章前面幾節課中，又學習了一元二次方程的概念，並經歷了用估算法求一元二次方程的根的過程，初步理解了一元二次方程解的意義；學生活動經驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生已經經歷了用計算器估算一元二次方程解的過程，解決了一些簡單的現實問題，感受到解一元二次方程的必要性和作用，基於學生的學習心理規律，在學習了估算法求解一元二次方程的基礎上，學生自然會產生用簡單方法求其解的欲望；同時在以前的數學學習中學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力。

二、教學任務分析教科書基於學生用估算的方法求解一元二次方程的基礎之上，提出了本課的具體學習任務：用配方法解二次項係數為1的一元二次方程。

但這僅僅是這堂課具體的教學目標，或者說是一個近期目標。

而數學教學的遠期目標，應該與具體的課堂教學任務產生實質性聯繫。

本課《用配方法求解一元二次方程》內容從屬於“方程與不等式”這一數學學習領域，因而務必服務于方程教學的遠期目標：“讓學生經歷由具體問題抽象出方程的過程，體會方程是刻畫現實世界中數量關係的一個有效模型，並在解一元二次方程的過程中體會轉化的數學思想”，同時也應力圖在學習中逐步達成學生的有關情感態度目標。

為此，本節課的教學目標是：１、會用開方法解形如n m x =+2)()0(≥n 的方程，理解配方法，會用配方法解二次項係數為1的一元二次方程；２、經歷列方程解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現實世界中數量關係的一個有效模型，增強學生的數學應用意識和能力；３、體會轉化的數學思想方法；４、能根據具體問題中的實際意義檢驗結果的合理性。

三、教學過程分析本節課設計了五個教學環節：第一環節：複習回顧；第二環節：自主探究；第三環節：講授新課；第四環節：練習提高；第五環節：課堂小結；第六環節：佈置作業。

北师大版九年级上册数学教案：2.2用配方法求解一元二次方程

配方法解一元二次方程教学设计共同目标：1. 会用开平方法解形如)0()(2>=+n n m x 的方程2. 理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程通过自主探索和小组合作达到如下分层学习目标1.C 层理解配方的概念，能用开平方法、配方法解简单的一元二次方程2 B 层会用开平方法、配方法解一元二次方程；并掌握配方的技巧；体会转化的数学思想3. A 层除熟练掌握1.2目标．增强数学的应用意识和能力，在不断的探索中提升自己享受学习的快乐。

【使用说明和学法指导】1．用15分钟左右的时间认真阅读、探究课本基础知识，理解配方的概念并掌握配方的技巧。

2．认真完成导学案的问题；3．初步评价自己完成学习目标情况，并把自己的疑问写出来，以求课堂上解决。

【课前导学】探究新知：知识点1 直接开平方法解一元二次方程：（C 层）1、求一个非负数的平方根：如果92=x ，则x =_______；如果52=x ，则x =_______；2、如果02=x ，则x =_______。

设计意图：第一题为填空题，C 层学生回答，但要求全体学生思考复习开方，旨在引出配方法，培养学生探究的兴趣。

3试求下列方程的根：(A 、B 、C 层) (1) 092=-x (2)052=-x【提示】当满足方程的根不止一个时，为了区分，应把方程的根写为1x 、2x 的形式。

一般情况下，方程根的个数与其次数一样。

【探究一】1、对于方程4)3(2=+x ，你能用上面的方法来求解吗？你是如何解的 (B 层回答)2、你能把方程0562=++x x 转化成4)3(2=+x 吗？你是如何转化的？（A 层回答）知识点2 配方法解一元二次方程1、完全平方式——运算形式形如222b ab a +±的二次三项式。

试着写出两个完全平方式：___________________，_____________________。

（B 、C 层回答）(A 层补充)2、配方——对二次三项式q px x ++2，配上适当的数（不改变式子的值），使得式子中的一部分是一个完全平方式，如342++x x ，将式子加1，再减1(不改变式子的值)，即可得1)44(2-++x x ，从而得到1)2(2-+x 。