高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题一 第一讲“12+4”提速专练卷(三) 文(以真
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题一 第一讲 集合、
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题一第一讲集合、常用逻辑用语（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集个数为( )A．13 B．14C．15 D．16解析：选C 由集合中元素的互异性，可知集合M＝{5,6,7,8}，所以集合M的真子集个数为24－1＝15.2．(2013·山东高考)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅解析：选A 由题意知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B＝{3,4}，故A∩∁U B＝{3}．3．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A “x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y －1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的充分不必要条件．4．已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若a1<a2<a3，则数列{a n}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D 若已知a1<a2<a3，则设数列{a n}的公比为q，有a1<a1q<a1q2.当a1>0时，解得q>1，此时数列{a n}是递增数列；当a1<0时，解得0<q<1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1<a2<a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p及其逆命题、否命题和逆否命题都是真命题．5．(2013·武汉模拟)命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( ) A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0 D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0解析：选B 根据否命题与原命题的关系求解．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是“若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0”．6．下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件解析：选C 对于A ，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项A 正确；对于B ，直线与双曲线相切只有一个交点，但只有一个交点并不一定相切，故B 正确；对于C ，由p ∧q 为假命题只能得知p ，q 不能同是真命题，因此选项C 错误；对于D ，注意到由x >2得x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)>0；反过来，由x 2－3x ＋2>0不能得知x >2，如取x ＝0时，x 2－3x ＋2>0，但此时0<2，因此选项D 正确．7．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：2＞3.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．(綈q )∧pC ．(綈p )∨qD ．q解析：选B 依题意，命题p 是真命题，命题q 是假命题，因此綈p 是假命题，(綈q )∧p 是真命题，(綈p )∨q 是假命题．8．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．9．设a ∈R ，则“a －1a －a ＋1<0”是“|a |<1”成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件解析：选C 因为a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34>0，所以由a －1a 2－a ＋1<0得a <1，不能得知|a |<1；反过来，由|a |<1得－1<a <1，所以a －1a 2－a ＋1<0.因此，“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的必要不充分条件．10．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x 在[1，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C 由题知命题p 等价于3a 2≤1，即3a ≤2，解得a ≤23.对于命题q ，由函数y＝(2a －1)x在[1，＋∞)上为减函数，得0<2a －1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 均为真命题，所以12<a ≤23.二、填空题11．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 解析：由题意，log 2(a ＋3)＝2，得a ＝1， 所以b ＝2，从而A ∪B ＝{1,2,5}． 答案：{1,2,5}12．(2013·沈阳六校联考)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c的取值范围为________．解析：若p 为真，则0<c <1；若q 为真，则二次函数的对称轴x ＝c 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞的左侧，即c ≤12.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”．当“p 真q 假”时，c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12<c <1；当“p 假q 真”时，c 无解．所以实数c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12<c <1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，113．设S ＝{x |x <－1或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是________．解析：在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.答案：(－3，－1)14．已知函数y ＝lg(4－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{x |x <4}，由图易得a >4.答案：(4，＋∞)15．(2013·海淀模拟)已知下列命题： ①函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________．解析：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π，而不是π2，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题，故②对；a >5⇒a >2，但a >2⇒/ a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②16．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N|y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 的个数为________．解析：由题意，知S 为函数y ＝lg(36－x 2)的定义域内的自然数集，由36－x 2>0，解得－6<x <6，又因为x ∈N ，所以S ＝{0,1,2,3,4,5}．依题意，可知若k 是集合M 的“酷元”是指k 2与k 都不属于集合M .显然当k ＝0时，k 2＝k ＝0；当k ＝1时，k 2＝k ＝1.所以0,1都不是“酷元”．若k ＝2，则k 2＝4；若k ＝4，则k ＝2.所以2与4不能同时在集合M 中，才能称为“酷元”．显然3与5都是集合S 中的“酷元”．综上，若集合M中所含两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：(1)只选3与5，即M＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以满足条件的集合M共有5个．答案：5。
高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题六第一讲算法、复数、推理与证明（选择、填空题型）（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）"一、选择题1．(2013·北京高考)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A．第一象限 B. 第二象限C．第三象限 D. 第四象限解析：选D (2－i)2＝3－4i，其在复平面内对应的点(3，－4)位于第四象限．2．(2013·浙江高考)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )A．－3＋i B．－1＋3iC．－3＋3i D．－1＋i解析：选B (－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.3.(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )A．A B．BC．C D．D解析：选B 设点A(x，y)表示复数z＝x＋y i，则z的共轭复数z＝x－y i对应点为B(x，－y)．4．(2013·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )A．7 B．6 C．5 D．4解析：选D 第1次，S＝－1，不满足判断框内的条件；第2次，n＝2，S＝1，不满足判断框内的条件；第3次，n＝3，S＝－2，不满足判断框内的条件；第4次，n＝4，S＝2，满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n ＝4.5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析：选 A 由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ＜1，4t －t 2，t ≥1.所以当－1≤t＜1时，s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上函数的值域为[－3,4]，即输出的s ∈[－3,4]．6．(2013·江西高考)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S ＜8?B ．S ＜9?C ．S ＜10？D ．S ＜11?解析：选B 程序框图的运行过程为：i ＝1，S ＝0→i ＝1＋1＝2→i 不是奇数→S ＝2×2＋1＝5→符合条件→i ＝2＋1＝3→i是奇数→S ＝2×3＋2＝8→符合条件→i ＝3＋1＝4→i 不是奇数→S ＝2×4＋1＝9→不符合条件→输出i ＝4→结束．根据以上步骤，知应填入条件“S ＜9？”．7．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析：选A 注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．8．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，有11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为( )1 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15…A.190 B.1110 C.1132D.111解析：选B 由“莱布尼茨调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.9．(2013·西安五校联考)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 125解析：选A ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，∴5n (n ∈N *，且n ≥5)的末四位数字呈现周期性变化，且最小正周期为 4.记5n(n ∈N *，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 013)＝f (502×4＋5)＝f (5)，∴52 013与55的末四位数字相同，均为3 125.10．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f (n )块区域，有f (1)＝2，f (2)＝4，f (3)＝8，则f (n )＝( )A ．2nB ．n 2－n ＋2C ．2n－(n －1)(n －2)(n －3) D ．n 3－5n 2＋10n －4解析：选B 因为一个圆将平面分为2块区域，即f (1)＝2＝12－1＋2，两个圆相交将平面分为4＝2＋2块区域，即f (2)＝2＋2＝22－2＋2，三个圆相交将平面分为8＝2＋2＋4块区域，即f (3)＝2＋2×3＝32－3＋2，四个圆相交将平面分为14＝2＋2＋4＋6块区域，即f (4)＝2＋3×4＝42－4＋2，…，平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数f (n )＝n 2－n ＋2.二、填空题11．(2013·湖北高考)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部、虚部均互为相反数，故z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i12．(2013·长春模拟)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，zz ＝－35＋45i ，则a ＝________.解析：由题意可知：1－a i 1＋a i＝1－a i 21＋a i 1－a i ＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i.因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2.由－2a 1＋a 2＝45，可知a <0，仅有a ＝－2满足．答案：－213．(2013·武汉武昌区联考)执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．解析：S ＝sinπ3＋sin 2π3＋sin 3π3＋sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3＋…＋sin 2 013π3＝⎝⎛ sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋⎭⎪⎫sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3×335＋sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＝ 3.答案： 314．(2013·浙江高考)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．解析：根据程序框图，可以逐个进行运算，S ＝1，k ＝1；S ＝1＋11×2，k ＝2；S ＝1＋11×2＋12×3，k ＝3；S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4，k ＝4；S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝95，k ＝5，程序结束，此时S ＝95. 答案：9515．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则由四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.解析：依题意猜想其四维测度的导数W ′＝V ＝8πr 3，故可得W ＝2πr 4. 答案：2πr 416．(2013·济南模拟)给定正整数n (n ≥2)按如图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数1,2,3，…，n ，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n 行)只有一个数．例如n ＝6时数表如图所示，则当n ＝2 013时最后一行的数是________．1 2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 8 12 16 20 20 28 36 48 64 112解析：设最后一行(第n 行)的数为a n ，则通过计算，容易得到：a 2＝3＝3×20，a 3＝8＝4×21，a 4＝20＝5×22，a 5＝48＝6×23，a 6＝112＝7×24，…，由此，可猜测a n ＝(n ＋1)×2n－2，所以当n ＝2 013时最后一行的数是2 014×22 011.答案：2 014×22 011。
高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形(选择、填空题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．(2013·郑州模拟)若α是第四象限角，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－512，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( )A.15 B ．－15C.513D ．－513解析：选D 由于α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z)，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3<0，故α＋π3是第四象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选D sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435⇒32sin α＋12cos α＝－45⇒cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45⇒cos ( α＋⎭⎪⎫2π3＝45. 3．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1解析：选B 由正弦定理知bsin B ＝csin C，结合条件得c ＝b sin Csin B＝2 2.又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1.4．(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝( )A.π3 B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B 根据正弦定理，可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ，所以a ＝53b ，代入b＋c ＝2a ，可得c ＝73b ，然后结合余弦定理，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，所以角C ＝2π3.5．(2013·东城模拟)在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个论断：①tan Atan B＝1; ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2A ＋cos 2B ＝1; ④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C .其中正确的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④解析：选D 因为在△ABC 中A ＋B ＝π－C ，所以tan A ＋B 2＝tan π－C 2＝cot C2＝cos C2sin C2，而sin C ＝2sin C 2·cos C 2，由tan A ＋B 2＝sin C ，得cos C2sin C 2＝2sin C 2cos C 2.因为0<C <π，∴cos C2≠0，故sin 2C 2＝12，∴sin C 2＝22，C ＝π2，A ＋B ＝π2，①③错误． 6．(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B 由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，∴A ＝π2.7．已知sin β＝m sin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tan α，则实数m 的值为( )A ．2 B.12 C ．3 D.13解析：选B 因为sin β＝m sin (2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝m sin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，也即(1－m )sin(α＋β)·cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α，所以tan α＋βtan α＝1＋m 1－m ＝3，所以m ＝12.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量p ＝(1，－3)，q ＝(cos B ，sin B )，p ∥q ，且b cos C ＋c cos B ＝2a sin A ，则C ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A ∵p ∥q ，∴－3cos B ＝sin B ，即得tan B ＝－3，∴B ＝120°.∵b cosC ＋c cos B ＝2a si n A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin 2A ，即sin A ＝sin(B＋C )＝2sin 2A ，又由sin A ≠0，得sin A ＝12，∴A ＝30°.C ＝180°－A －B ＝30°.9．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53 解析：选A 法一：∵sin α＋cos α＝33， ∴(sin α＋cos α)2＝13，∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z)，∴4k π＋π<2α<4k π＋3π2(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 法二：sin α＋cos α＝33两边平方，得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝153. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53. 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝mc 2(m 为常数)，若tan C (tan A ＋tan B )＝2tan A ·tan B ，则m 的值为( )A ．2B ．4C ．7D ．8 解析：选A由tan C (tan A ＋tan B )＝2tan A ·tan B ，得sin C cos C ·sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝2sin A sin B cos A cos B ，即sin C cos C ·sin A ＋Bcos A cos B ＝sin C cos C ·sin C cos A cos B ＝2sin A sin Bcos A cos B， 所以sin 2C cos C ＝2sin A sin B ，因此cos C ＝sin 2C 2sin A sin B，综合运用正弦、余弦定理，得a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab，所以a 2＋b 2＝2c 2，故m ＝2. 二、填空题11．(2013·浙江高考)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.解析：△ABM 中，由正弦定理BM sin ∠BAM ＝AB sin ∠BMA ＝ABcos ∠MAC ，所以32a ＝c a 2＋4b22b，整理得(3a 2－2c 2)2＝0，a 2c 2＝23，故sin ∠BAC ＝a c ＝63.答案：6312．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.解析：法一：由θ在第二象限，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－55，因而sin θ＋cos θ＝ 2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－105. 法二：将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，得tan θ＋11－tan θ＝12，求得tan θ＝－13.又因为θ在第二象限，所以sin θ＝110，cos θ＝－310，从而sin θ＋cos θ＝－210＝－105. 答案：－10513．在△ABC 中，角A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2，AC ＝3，则边BC 的长为________． 解析：由题意可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12，又A 为三角形的一个内角，所以A ＝2π3.在△ABC中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋9－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝19，所以BC＝19.答案：1914．(2013·太原模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝10，cos C ＝78，则△ABC 的面积的最大值为________．解析：∵在△ABC 中cos C ＝78，∴sin C ＝158，又由c ＝10－a －b ，可得c 2＝(10－a－b )2，则a 2＋b 2－2ab cos C ＝100＋a 2＋b 2－20(a ＋b )＋2ab ，整理可得4(a ＋b )＝20＋34ab ，∴20＋34ab ≥8ab ，整理可得3ab －32ab ＋80≥0，解得ab ≥203或ab ≤4.当ab ≥203时，仅当a ＝b ＝203时取等号，此时a ＋b ＝403>10，与a ＋b ＋c ＝10矛盾；当ab ≤4时，S △ABC ＝12ab sin C ＝1516ab ≤1516×16＝15，当且仅当a ＝b ＝4时取等号． 答案：1515．在某海岛上有一座海拔1千米的山，山顶A 上有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B 处，到11时10分又测得该轮船在岛的北偏西60°，俯角60°的C 处，则轮船的航行速度是________千米/小时．解析：如图所示，设海岛的底部为点D .在Rt △ABD 中，BD＝1tan 30°＝3；在Rt △ACD 中，CD ＝1tan 60°＝33.故在Rt △BCD 中，BC ＝3＋13＝303. 所以轮船的速度为30316＝230(千米/小时)．答案：23016．(2013·合肥模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．①b a cos C <1－c acos B ；②△ABC 的面积为S △ABC ＝12AB u u ur ·AC u u u r ·tan A ；③若a cos A ＝c cos C ，则△ABC 一定为等腰三角形；④若A 是△ABC 中的最大角，则△ABC 为钝角三角形的充要条件是－1<sin A ＋cos A <1； ⑤若A ＝π3，a ＝3，则b 的最大值为2.解析：对于①，注意到当△ABC 是正三角形时，b a cos C ＝12＝1－cacos B ，因此①不正确；对于②，注意到当A ＝π2时，tan A 不存在，此时结论显然不成立，因此②不正确；对于③，注意到当A ＝30°，C ＝60°时，A ＋C ＝B ＝90°，此时有a cos A ＝c cos C 成立，但△ABC 不是等腰三角形，因此③不正确；对于④，由△ABC 是钝角三角形，A 是最大内角得A 是钝角，即90°<A <180°，135°<A ＋45°<225°，sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)∈(－1,1)；反过来，由－1<sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)<1得－22<sin(A ＋45°)<22，135°<A ＋45°<225°，又A 是最大的内角，因此60°≤A <180°，135°<A ＋45°<225°，所以90°<A <180°，由此可知④正确；对于⑤，依题意得asin A＝bsin B，bsin B＝3sinπ3＝2，b ＝2sin B 的最大值是2⎝ ⎛⎭⎪⎫当B ＝π2时取得最大值，因此⑤正确．综上所述，其中正确命题的序号是④⑤.答案：④⑤。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题一 第三讲 基本初等
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5， c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <b解析：选C 根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c .2．(2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选D 由已知，得f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，所以f (x )＋f (－x )＝2.因为lg 2，lg 12互为相反数，所以f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2. 3．(2013·日照模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是( )A ．(0，5)B ．(－5，5)C ．(2，5)D ．(－5，－2)∪(2，5)解析：选D 由已知得函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，且f (1)＝2，所以0<x 2－4<1，则x ∈(－5，－2)∪(2, 5)．4．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1、y 2分别是2万元、8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：选A 设仓库到车站的距离为x 千米，由题意得y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x >0，又当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，故k 1＝20，k 2＝45.所以y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．5．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(x －1)－ln x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意得，当x －1>0，即x >1时，f (x )＝1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝e>1；当x －1＝0，即x ＝1时，f (x )＝0－ln 1＝0；当x －1<0，即x <1时，f (x )＝－1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝1e<1.因此，函数f (x )的零点个数为3.6．已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z)，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：选A a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x和y ＝－x ＋b 的图像(图略)，由图可知，两函数的图像在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点．所以n ＝－1.7．(2013·太原模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －4|，x ≠4，a ， x ＝4，若函数y ＝f (x )－2有3个零点，则实数a 的值为( )A ．－4B ．－2C ．0D ． 2解析：选D 如图，当函数y ＝f (x )－2有3个零点时，等价于函数y ＝f (x )的图像和y ＝2的图像有3个交点，此时必有a ＝2.8．(2013·沈阳模拟)已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 C.⎝⎛⎭⎪⎫110，1D ．(10，＋∞)解析：选C 令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝1＋lg a 1－lg a ，由方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a 有正根，即f (x )，g (x )的图像在(0，＋∞)上有交点，如图可知0<1＋lg a1－lg a <1，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg a1－lg a >0，1＋lg a1－lg a <1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧－1<lg a <1，2lg alg a －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<lg a <1，lg a <0或lg a >1，即－1<lg a <0，则110<a <1.9．已知两条直线l 1：y ＝a 和l 2：y ＝182a ＋1(其中a >0)，l 1与函数y ＝|log 4x |的图像从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 4x |的图像从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为m ，n .当a 变化时，n m的最小值为( )A ．4B ．16C ．211D ．210解析：选C 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则x A ＝4－a，x B ＝4a，x C ＝4－1821a +，x D ＝41821a +，则n m ＝4a－41821a +41821a -+－4－a，分子与分母同乘以41821a a ++，可得n m ＝4a ＋182a ＋1＝218221a a ++.又2a ＋362a ＋1＝2a ＋1＋362a ＋1－1≥2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫362a ＋1－1＝11，当且仅当2a＋1＝6，即a ＝52时等号成立，所以n m的最小值为211.10．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，－1<x ≤0，f x －＋1，x >0，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －2B ．a n ＝n (n －1)C ．a n ＝n －1D ．a n ＝2n－2解析：选C 当x ∈(－1,0]时，f (x )＝x 3，其端点为(0,0)，然后将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到x ∈(0,1]的图像，其中一端点为(1,1)，….如此平移下去，分别得到x ∈(1,2]，x ∈(2,3]，…的图像，其端点分别为(2,2)，(3,3)，…，又其图像与直线y ＝x 的交点的横坐标即为函数g (x )＝f (x )－x 的零点，易知零点分别为0,1,2,3，…，故其通项公式为a n ＝n －1.二、填空题11．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f－x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________．解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 答案：012．(2013·潍坊模拟)若关于x 的方程kx ＋1＝ln x 在区间[1，e 2]上有解，则实数k 的取值范围是________．解析：原方程在区间[1，e 2]上有解，即方程k ＝ln x －1x在区间[1，e 2]上有解，也就是函数y ＝k 和y ＝ln x －1x 的图像在区间[1，e 2]上有交点．因为y ＝ln x －1x 的导数为2－ln x x，所以可得函数y ＝ln x －1x 在[1，e 2]上单调递增，可知函数y ＝ln x －1x在x ＝e 2处取得最大值1e 2，在x ＝1处取得最小值－1，所以函数y ＝ln x －1x 在[1，e 2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1e 2，从而－1≤k ≤1e2.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1e 13．函数y ＝f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54，当x ∈[－1,4]时，f (x )＝x 2－2x，则f (x )在区间[0,2 012]上零点的个数为________．解析：根据f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54，可得fx ＋52＝－f (x )，进而得f (x ＋5)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以5为周期的周期函数．当x ∈[－1,4]时，f (x )＝x 2－2x，在[－1,0]内有一个零点，在(0,4]内有x 1＝2，x 2＝4两个零点，故在一个周期内函数有三个零点．又因为2 012＝402×5＋2，故函数在区间[0,2 010]内有402×3＝1 206个零点，在区间(2 010,2 012]内的零点个数与在区间(0,2]内零点的个数相同，即只有一个零点，所以函数f (x )在[0,2 012]上零点的个数为1 207.答案：1 20714．2013届大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________．解析：由题意，知总成本C (x )＝20 000＋100 x . 所以总利润P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400.令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大． 答案：30015．(2013·西城模拟)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：f (－x )＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x＋x 是增函数，此时f (x )＝e x＋x ≥f (0)＝1，因此要使方程f (x )＝k 有两个不同的实根，即函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝k 有两个不同的交点，结合图形可知，实数k 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)16．设函数f (x )＝a x＋b x－c x，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．①任意x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②存在x 0∈R ，使ax 0，bx 0，cx 0不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则存在x 0∈(1,2)，使f (x 0)＝0. 解析：(1)由题设f (x )＝0，a ＝b ⇒2a x＝c x⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＝12， 又a ＋b ≤c ，a ＝b ⇒a c ≤12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0，所以12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x⇒0<x ≤1.(2)由题设a ＋b >c ⇒a c ＋b c >1，又0<a c <1,0<bc <1，∀x ∈(－∞，1)⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x >a c ，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x >b c ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b cx >1，即f (x )>0，所以①正确；由(1)可知②正确；由△ABC 为钝角三角形，所以a 2＋b 2<c 2，所以f (2)<0.又a ＋b >c ，所以a c ＋bc>1，所以f (1)>0，由零点存在性定理可知③正确．答案：(1){x |0<x ≤1} (2)①②③。
创新方案(浙江专版)高考数学二轮专题突破(预测演练+提能训
创新方案（浙江专版）高考数学二轮专题突破（预测演练+提能训《创新方案》2021届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题六第3讲概率与统计选择、填空题型（以2021年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．(2021·湖南高考)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( ) A．抽签法 C．系统抽样法B．随机数法 D．分层抽样法解析：选D 由于被抽取的个体具有明显差异，因此宜采用分层抽样法．2．(2021·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )2A. 33C. 52B. 5D.9 10解析：选D 事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－19＝. 03．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为()A．120 C．15 解析：选DB．80 D．150根据题意知，该组数据的平均数为450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋4601222＝450，所以该组数据的方差为×(0＋20＋1088＋10＋0＋10＋20＋10)＝150.4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则a。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题一 第一讲“12+4
“12＋4”提速专练卷(三)一、选择题1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 3(i 为虚数单位)的值是( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32i －12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ＝－34－14＝－1.2．已知幂函数y ＝f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为( )A.14 B ．－14C ．2D ．－2解析：选A 设f (x )＝x α，由图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⇒α＝12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.3．某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么烫了．下面大致能反映出小明这一天(0时～24时)体温的变化情况的图像是( )解析：选C 由题意，清晨体温在上升，吃药后到12点下降至体温基本正常，下午又上升，然后再下降，只有C 项符合．4．(2013·德州模拟)函数f (x )＝1－cos 2xcos x( )A ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上递增 B ．在⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0上递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上递减 D ．在⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0上递减，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增解析：选D 因为f (x )＝|sin x |cos x ，当sin x ≥0时，f (x )＝sin xcos x ＝tan x ；当sin x <0时，f (x )＝－sin x cos x ＝－tan x ，即当0<x <π2时，函数递增；当－π2<x <0时，函数递减．5．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：选A 由题意得，双曲线的离心率e ＝c a ＝3，故a b ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 6．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤2，y ≥ax表示的区域为三角形，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：选C y ＝ax 为过原点的直线，当a ≥0时，若能构成三角形，则需0≤a <1；当a <0时，若能构成三角形，则需－1<a <0，综上a ∈(－1,1)．7．(2013·东城模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图像开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2C.⎝⎛⎦⎥⎤π2，2π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 解析：选B 由题意知f ′(x )＝a (x －1)2＋3(a >0)，所以f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥3，即tan α≥3，所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2. 8．运行如图所示的程序框图，若输出的结果为137，则判断框中应该填的条件是( )A ．k >5?B ．k >6?C ．k >7?D ．k >8?解析：选B 第一次运行S ＝1＋11×2，k ＝2；第二次运行S ＝1＋11×2＋12×3，k ＝3；…；第n 次运行S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1n n ＋＝137，k ＝n ＋1，此时结束循环，得n ＝6，故判断框中应该填入“k >6？”．9．在空间中，l 、m 、n 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列结论错误的是( )A ．若α∥β，α∥γ，则β∥γB ．若l ∥α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥mC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝l ，则l ⊥αD ．若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则m ⊥n解析：选D 根据平面平行的传递性可知，选项A 中的结论正确；根据线面平行的性质可知，选项B 中的结论正确；根据线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理可得选项C 中的结论正确；选项D 中的结论不正确，m 与n 不一定垂直．10．已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A 本题的实质是求解函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点所在的区间[a ，b ]．易知f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，又a ，b ∈N *，b －a ＝1，所以a ＝2，b ＝3，故a ＋b ＝5.11．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2D ．4解析：选C 圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)，∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)．由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.12．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若对任意x >2，不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,7]B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)解析：选C 由题意得(x －a )⊗x ＝(x －a )(1－x )，故不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2可化为(x －a )(1－x )≤a ＋2，化简得x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0，故原题等价于x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0在x ∈(2，＋∞)上恒成立，由二次函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2的图像得，其对称轴为x ＝a ＋12，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12≤2，f或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12>2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12≥0，解得a ≤3或3<a ≤7，综上可得，a ≤7.二、填空题13．已知向量a ＝(x ，－ 2)，b ＝(y,1)，其中x ，y 都是正实数，若a ⊥b ，则t ＝x ＋2y 的最小值是________．解析：由a ⊥b 可得a ·b ＝0，即xy －2＝0，故xy ＝2.由于t ＝x ＋2y ≥22xy ＝4，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故t 的最小值为4.答案：414．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽取n 名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况的部分频率分布直方图如图所示，则由该图可以估计年龄在[25,30)之间的司机约占该市司机总数的________．解析：由频率分布直方图可知年龄在[25,30)岁之间的频率是1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2，故可以估计年龄在[25,30)岁之间的司机约占该市司机总数的20%.答案：20%15．(2013·安庆模拟)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)， 得0<x <2n ＋1， 因此知a n ＝2n . 故S 100＝＋2＝10 100.答案：10 10016．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意实数x 都有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期为2.由g (x )＝f (x )－kx －k ＝0，得f (x )＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，分别作出函数y ＝f (x )，y ＝k (x ＋1)的图像，要使函数有4个零点，则直线y ＝k (x ＋1)的斜率应满足0<k ≤k AB ，因为k AB ＝1－03－－＝14，所以0<k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14。
高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题
保温训练卷(二)一、选择题1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1x ≤1，lg x x >1，则f (f (10))＝( )A ．10B ．2C ．1D ．0解析：选B f (10)＝lg 10＝1，f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.2．已知不等式2x ≤x 2的解集为P ，不等式(x －1)(x ＋2)<0的解集为Q ，则集合P ∩Q 等于( )A ．{x |－2＜x ≤2}B ．{x |－2＜x ≤0}C ．{x |0≤x ＜1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：选B P ＝{x |x 2－2x ≥0}＝{x |x ≤0或x ≥2}，Q ＝{x |－2<x <1}，所以P ∩Q ＝{x |－2＜x ≤0}．3．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，命题q ：x 2<1是x <a的充分不必要条件，则( )A ．“p 或q ”为真命题B ．“p 且q ”为假命题C ．“非p 且q ”为真命题D ．“非p 或非q ”为真命题解析：选A 当a >1时，y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的真数恒大于零，故定义域是R ，p 是真命题；当a >1时，x 2<1的解集是x <a 的解集的真子集，故x 2<1是x <a 的充分不必要条件，q 是真命题．所以“p 或q ”为真命题．4．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，所以f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以x ＝2为函数f (x )的极小值点．5．公差不为零的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6成等比数列，则其公比为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d .因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2，化简得d 2＝－2a 1d ，因为d ≠0，所以d ＝－2a 1，a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，公比q ＝a 3a 2＝－3a 1－a 1＝3.6．函数f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32的一个对称中心的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0C ．(π，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 解析：选B ∵f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴f (x )的图像的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)．7．已知双曲线x 2＋my 2＝－1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是( ) A ．4 B.14C ．－14D ．－4解析：选D 由题意知m <0,2×1＝2×2×－1m ⇒－1m ＝14⇒m ＝－4. 8．若两个函数的图像经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出如下四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2 (2x )，则“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A ∵f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图像可由f (x )＝log 2x 向左平移2个单位得到，f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，它的图像可由f (x )＝log 2x 向上平移1个单位得到，故f 2(x )与f 4(x )为“同形”函数．二、填空题9．设x >0，y >0且x ＋2y ＝1，则1x ＋1y的最小值是________．解析：1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22yx·xy＝3＋22(当且仅当2y 2＝x2时等号成立)．答案：3＋2 210．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜想第n 个不等式为________． 解析：1>12，1＋12＋122－1>22，1＋12＋13＋…＋123－1>32，1＋12＋13＋…＋124－1>42，…，可猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1>n2.答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n211．直线l 1与l 2相交于点A ，动点B ，C 分别在直线l 1与l 2上且异于点A ，若AB u u u r 与ACu u ur 的夹角为60°，|BC u u u r|＝23，则△ABC 的外接圆的面积为________．解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，BC ＝23，由正弦定理可知BC sin A＝2332＝2R ，其中R 为△ABC 外接圆的半径，由此得R ＝2，故所求面积S ＝πR 2＝4π.答案：4π 三、解答题12．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名并按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．解：(1)100名志愿者中，第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10，则3060×6＝3，2060×6＝2，1060×6＝1. 所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人．(2)记第3组的3名志愿者分别为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者分别为B 1，B 2，第5组的1名志愿者为C 1，则从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的情况有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共15种．其中第4组至少有一名志愿者被抽中的情况有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为915＝35.13.如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD .底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，E 为PD 的中点．(1)求证：CE ∥平面PAB ；(2)求异面直线AB 与PC 所成角的正切值． 解：(1)证明：如图，取AD 的中点F ，连接EF ，CF .因为底面ABCD 为直角梯形，且E 为PD 的中点，BC ＝12AD ，所以EF ∥PA ，CF ∥AB ，所以平面EFC ∥平面PAB ，又CE ⊂平面EFC ，所以CE ∥平面PAB .(2)如图连接PF .由(1)知CF ∥AB ，所以∠PCF 为异面直线AB 与PC 所成的角．由PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，易知AB ⊥平面PAD ，所以CF ⊥平面PAD .所以在Rt △PCF 中，PF ＝2，CF ＝AB ＝1， 故tan ∠PCF ＝PFCF＝ 2.所以异面直线AB 与PC 所成角的正切值为 2.14．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，满足PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过圆M ：x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心，交椭圆C 于A ，B 两点，且点A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．解：(1)因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6，a ＝3. 在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝|PF 2|2－|PF 1|2＝25， 故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，所以圆心M 的坐标为(－2,1)．易知垂直于x 轴且过点M 的直线l 不满足条件，从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k 2＋36k －27＝0，因为点A ，B 关于点M 对称，所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k 4＋9k 2＝－2，解得k ＝89.所以直线l 的方程为y ＝89(x ＋2)＋1，即8x －9y ＋25＝0.。
高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题三 第1讲 等差数列、等比数列选择、填空题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为( )A ．2B ．3 C.12D.13解析：选A 设等比数列的公比为q ，依题意有S 6＝9S 3，∴S 6－S 3＝8S 3，∴S 6－S 3S 3＝8，即q 3＝8，得q ＝2.2．(2013·南昌模拟)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为( )A ．42B ．±4 2C ．4D ．±4解析：选B 依题意得S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝－36，a 5＝－4; S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7＝－104，a 7＝－8，a 5a 7＝32.因此a 5与a 7的等比中项是±32＝±4 2.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2 013＝S 2 013＝2 013，则a 1＝( ) A ．－2 014 B ．－2 013 C ．－2 012D ．－2 011解析：选D S 2 013＝2 013a 1 007＝2 013，所以a 1 007＝1，则d ＝a 2 013－a 1 0071 006＝2，a 1＝a 2 013－2 012d ＝－2 011.4．(2013·杭州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N *，且m ≥2)，则必定有( )A ．S m >0，且S m ＋1<0B ．S m <0，且S m ＋1>0C ．S m >0，且S m ＋1>0D ．S m <0，且S m ＋1<0解析：选 A 据已知可得a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0，故S m ＝m a 1＋a m2>0，S m ＋1＝m ＋1a 1＋a m ＋12<0.5．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D.52解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…，是一个以5为首项，以2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.6．在等比数列{a n }中，对于任意n ∈N *都有a n ＋1·a 2n ＝3n，则a 1·a 2·…·a 6＝( ) A ．±(33)11B ．(33)13C ．±35D ．36解析：选D由等比数列的性质可知，a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝(a 2·a 6)·a 4·(a 1·a 5)·a 3＝(a 3)3(a 4)3＝(a 3·a 4)3，令n ＝2，得a 3·a 4＝32，因此a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝36.7．已知等比数列{a n }的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 由题意得a 1＋a 3＋…＋a n －1＝85，a 2＋a 4＋…＋a n ＝170，所以数列{a n }的公比q ＝2.由数列{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ，得85＋170＝1－2n1－2，解得n ＝8.8．(2013·西宁模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．S 102＝0B ．S 102＝1C ．S 102＝3D ．S 102＝4解析：选A 依题意得a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，即a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，数列{a n }的项是以6为周期重复性地出现，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0. 注意到102＝6×17.因此S 102＝17×0＝0.9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n 等于( ) A.15n 3－25n ＋65 B ．n 3－5n 2＋9n －4 C ．n 2－2n ＋2D ．2n 2－5n ＋4解析：选C 依题意得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，因此数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋n －11＋2n －32＝(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2，又a 1＝1＝12－2×1＋2，因此a n ＝n 2－2n ＋2.10．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列解析：选B 已知b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a 2＝a 1，故b 2＝c 1＋a 12＝34c 1＋14b 1<b 1，c 2＝b 1＋a 12＝34b 1＋14c 1>c 1，b 2＋c 2＝a 1＋b 1＋c 12＝2a 1，b 2－c 2＝c 1－b 12<0，即b 2<c 2，b 2c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34c 1＋14b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫34b 1＋14c 1＝316(b 1＋c 1)2＋14b 1c 1>b 1c 1.又a 3＝a 2＝a 1，所以b 3＝c 2＋a 22＝34c 2＋14b 2<b 2，c 3＝b 2＋a 22＝34b 2＋14c 2>c 2，b 3＋c 3＝c 2＋a 22＋b 2＋a 22＝2a 2＝2a 1，b 3－c 3＝34c 2＋14b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫34b 2＋14c 2＝c 2－b 22>0，即b 3>c 3，b 3c 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34c 2＋14b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫34b 2＋14c 2＝316(b 2＋c 2)2＋14b 2c 2>b 2c 2>b 1c 1.又△A n B n C n 的面积为S n ＝p p －a np －b np －c n ＝p p －a n [p 2－b n ＋c n p ＋b n c n ]，其中p ＝12(a n ＋b n ＋c n )，p (p －a n )和p 2－(b n ＋c n )p都为定值，b n c n 逐渐递增，所以数列{S n }为递增数列．二、填空题11．(2013·辽宁高考)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析：由题意得，a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，由数列是递增数列，得a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2，代入等比数列的求和公式得S 6＝63.答案：6312．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2n －12d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49.故nS n 最小值为－49.答案：－4913．(2013·深圳模拟)已知公比为2的等比数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＋a 11＋a 14＋a 17＋a 20＝13，则该数列前21项的和S 21＝______.解析：设等比数列的首项为a 1，公比q ＝2，前n 项和为S n .由题知a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，a 20仍为等比数列，其首项为a 2，公比为q 3，故其前7项的和为T 7＝a 2[1－q 37]1－q3＝a 1q 1－q 211－q1＋q ＋q2＝a 11－q 211－q ·q1＋q ＋q 2＝S 21·27＝13，解得S 21＝912. 答案：91214．公差不为0的等差数列{a n }的部分项ak 1，ak 2，ak 3，…，构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________.解析：据题意等差数列a 1，a 2，a 6成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒ak 4＝64a 1＝a 1＋(n －1)·(3a 1)，解得n ＝22，即k 4＝22.答案：2215．将正奇数按如下表的规律填在5列的数表中，则2 013排在数表的第________行，第________列．1 3 5 7 1513 11 917 19 21 23 31 29 27 25 ……………成a n ＝8n －5，当n ＝252时，a 252＝2 011.又因为此数表偶数行的数从右向左递增，故2 013排在数表的第252行，第2列．答案：252 216．已知各项都为正数的数列{a n }，其前n 项的和为S n ，且S n ＝( S n －1＋a 1)2(n ≥2)．若b n ＝a n ＋1a n ＋a na n ＋1，且数列{b n }的前n 项的和为T n ，则T n ＝________.解析：S n －S n －1＝S 1，S n ＝n S 1，S n ＝n 2a 1，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)a 1.b n ＝2n ＋12n －1＋2n －12n ＋1＝2＋22n －1－22n ＋1， T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋21－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋23－25＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22n －1－22n ＋1＝2n ＋2－22n ＋1＝4n 2＋6n 2n ＋1. 答案：4n 2＋6n2n ＋1。
高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题五 第二讲 圆锥曲线的定义、方程与性质（选择、填空题型）（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．(2013·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 的离心率为3，则其渐近线方程为( )A. y ＝±2x B ．y ＝±2x C. y ＝±12xD. y ＝±22x 解析：选B 在双曲线中离心率e ＝c a＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .2．(2013·江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：选C 过点M 作MM ′垂直于抛物线C 的准线y ＝－1于点M ′，则由抛物线的定义知|MM ′|＝|FM |，所以|FM ||MN |＝|MM ′||MN |＝sin ∠MNM ′，而∠MNM ′为直线FA 的倾斜角α的补角．因为直线FA 过点A (2,0)，F (0,1)，所以k FA ＝－12＝tan α，所以sin α＝15，所以sin ∠MNM ′＝15.故|FM |∶|MN |＝1∶ 5.3．(2013·福建高考)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22C ．1D. 2解析：选B 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为22. 4．(2013·四川高考)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24 B.12 C.22D.32解析：选C 由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.5．已知双曲线y 22－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，则满足△PF 1F 2的周长为6＋25的动点P 的轨迹方程为( )A.x 24＋y 29＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 24＋y 29＝1(x ≠0)D.x 29＋y 24＝1(x ≠0) 解析：选C 依题意得，|F 1F 2|＝22＋3＝25，|PF 1|＋|PF 2|＝6>|F 1F 2|，因此满足△PF 1F 2的周长为6＋25的动点P 的轨迹是以点F 1，F 2为焦点，长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点)，即动点P 的轨迹方程是x 24＋y 29＝1(x ≠0)．6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为 ( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，又因为e >0，故所求的椭圆的离心率为5－12. 7．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16解析：选D 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，直线l ：y ＝3x ＋1.由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y得y 2－14y ＋1＝0，所以y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝(y 1＋y 2)＋2＝16.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线C ：y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1 解析：选B 抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，所以双曲线的焦距2c ＝12.根据双曲线的渐近线方程得b ＝3a ，代入c 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝9，所以b 2＝27，所以所求双曲线方程为x 29－y 227＝1.9．(2013·郑州模拟)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2 解析：选D 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2.10．(2013·辽宁五校联考)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析：选C 由已知|PF 1|＝43|PF 2|，代入到|PF 1|－|PF 2|＝2中得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8.又双曲线的焦距|F 1F 2|＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所求的面积为12×8×6＝24.二、填空题11．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F ( 5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则ba ＝2，即b ＝2a ，又因为c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2.答案：1 212．(2013·哈尔滨四校统考)已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0.在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．解析：由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1，所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.答案：32－113．(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：4414．(2013·辽宁五校联考)设点A 1，A 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A 1，A 2的点P ，使得PO ⊥PA 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：由题设知∠OPA 2＝90°，设P (x ，y )(x ＞0)，以OA 2为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝a 24，与椭圆方程联立，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2·x 2－ax ＋b 2＝0.易知，此方程有一实根a ，且由题设知，此方程在区间(0，a )上还有一实根，由此得0＜b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2＜a ，化简得0＜a 2－c 2c 2＜1，即0＜1－e 2e 2＜1，得12<e 2<1，所以e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，1 15．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF u u u r ·2PF u u u r ＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________． 解析：由1PF u u u r ·2PF u u u r ＝0得1PF u u u r ⊥2PF u u u r ，设|1PF u u u r |＝m ，|2PF u u u r|＝n ，不妨设m >n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，又c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，a ＋b ＝7.答案：716．(2013·湖北八校联考)已知点A ，D 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点和上顶点，点P 是线段AD 上的任意一点，点F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，且1PF u u u r ·2PF u u u r的最大值是1，最小值是－115，则椭圆的标准方程为________．解析：设点P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则1PF u u u r ＝(－c －x ，－y )，2PF u u u r＝(c －x ，－y )，所以1PF u u u r ·2PF u u u r ＝x 2＋y 2－c 2.因为点P 在线段AD 上，所以x 2＋y 2可以看作原点O 到点P 的距离的平方，易知当点P与点A 重合时，x 2＋y 2取最大值a 2，当OP ⊥AD 时，x 2＋y 2取最小值a 2b 2a 2＋b2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝1，a 2b 2a 2＋b2－c 2＝－115，解得a 2＝4，b 2＝1.即椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.答案：x 24＋y 2＝1。
高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题五 第三讲 第一课时 圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题 （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．(2013·陕西高考)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率． 解：(1)如图1，设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |.图1由此得|4－x |＝2x －12＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，∴动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图2.图2将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0， 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k2， ① x 1x 2＝243＋4k2.② 又A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③将③代入①②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k2， 可得⎝⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32，解得k ＝－32或k ＝32，∴直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图2. ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，① y 1＝3＋y 22. ② 又x 214＋y 213＝1， ③ x 224＋y 223＝1，④联立①②③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， ∴直线m 的斜率为－32或32.2.(2013·福建高考)如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9.连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1，求直线l 的方程．解：(1)法一：证明：依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . 法二：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i 10x ，解得P i 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫i ，i 210.因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ， ①x 1x 2＝－100. ②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1x 2<0，所以x 1＝－4x 2，③将③分别代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32.所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率为12. (1)求椭圆方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0，求k 的取值范围．解：(1)由题意，椭圆的离心率e ＝12，即c a ＝12，a ＝2c ，且14c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3223c 2＝1，∴c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. ∵直线y ＝kx ＋m 与椭圆有两个交点， ∴Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0， 即m 2＜4k 2＋3.①且M ，N 的中点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.设MN 的垂直平分线l ′的方程为y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18.∵P 在l ′上， ∴3m 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2－18， 即4k 2＋8km ＋3＝0. ∴m ＝－18k (4k 2＋3)．将上式代入①，得4k 2＋3264k2＜4k 2＋3，∴k 2＞120，即k ＞510或k ＜－510.∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－510∪⎝ ⎛⎭⎪⎫510，＋∞. 4．设点P 是曲线C ：x 2＝2py (p >0)上的动点，点P 到点(0,1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为54.(1)求曲线C 的方程；(2)若点P 的横坐标为1，过P 作斜率为k (k ≠0)的直线交C 于点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意知1＋p 2＝54，解得p ＝12.所以曲线C 的方程为x 2＝y .(2)由题意知直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1，则点M ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1＋1，y ＝x 2，消去y ，得x 2－kx ＋k －1＝0，解得x 1＝1，x 2＝k －1，则Q (k －1，(k －1)2)． 所以直线QN 的方程为y －(k －1)2＝－1k(x －k ＋1)，代入曲线y ＝x 2中，得x 2＋1k x －1＋1k －(1－k )2＝0，解得x 3＝k －1，x 4＝1－1k－k ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k －k ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2. 所以直线MN 的斜率k MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k －k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2k .又易知过点N 的切线的斜率k ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k .由题意有－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2k＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k .解得k ＝－1±52.故存在实数k ＝－1±52满足题意．。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题一 第二讲“4道”保
“4道”保分题专练卷(四)1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足A ＋C ＝2B ，且cos(B ＋C )＝－1114. (1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．解：(1)∵A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. ∵cos(B ＋C )＝－1114， ∴sin(B ＋C )＝1－cos 2B ＋C ＝5314， ∴cos C ＝cos[(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C )cos B ＋sin(B ＋C )sin B ＝－1114×12＋5314×32＝17. (2)由(1)可得sin C ＝1－cos 2C ＝437，sin A ＝sin (B ＋C )＝5314. 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得 c ＝a sin C sin A＝8. S △ABC ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝10 3. 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证c n ＋1＜c n ≤13. 解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1， ①得a n ＝2S n －1＋1， ②①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＝3n －1.∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3，∴b n ＝3n －6.(2)证明：∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，∴c n ＝3n 3n ＋1＝n 3n ， ∴c n ＋1－c n ＝1－2n 3n ＋1＜0， c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，∴c n ＋1＜c n ≤13. 3．某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)在抽取的20(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件的等级恰好相同的概率．解：(1)由频率分布表得0.05＋m ＋0.15＋0.35＋n ＝1，所以m ＋n ＝0.45.由在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n ＝220＝0.1. 所以m ＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，抽取的20个零件中，等级为3的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3，等级为5的零件有2个，记作y 1，y 2.从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10个．记事件A 为“从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，其等级恰好相同”， 则A 包含的基本事件为：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4个．故所求概率为P (A )＝410＝0.4. 4.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，BC ＝4，AA 1＝2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF ∥A 1D 1；②BA 1⊥平面B 1C 1EF ；(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值．解：(1)证明：①因为C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1⊄平面ADD 1A 1，A 1D 1⊂平面A 1D 1DA ，所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA .又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA ＝EF ，所以C 1B 1∥EF .所以EF ∥A 1D 1.②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥B 1A 1，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，而BA 1⊂平面ABB 1A 1，所以BA 1⊥B 1C 1.在矩形ABB 1A 1中，F 是AA 1的中点，tan ∠A 1B 1F ＝tan ∠AA 1B ＝22， 即∠A 1B 1F ＝∠AA 1B ，故BA 1⊥B 1F ，又B 1C 1∩B 1F ＝B 1，所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .(2)设BA 1与B 1F 交点为H ，如下图连接C 1H .由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ，所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角．在矩形AA 1B 1B 中，AB ＝2，AA 1＝2，得BH ＝46 .在直角△BHC 1中，BC 1＝25，BH ＝46， 得sin ∠BC 1H ＝BH BC 1＝3015. 所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是3015.。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题一 第二讲 “4道”
“4道”保分题专练卷(一)1．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB ＝pm ，AC ＝qn (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32.∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ·q ≤p ＋q2，∴p ·q ≤3. ∴p ·q ≤9.∴△ABC 的面积的最大值为2132×9＝18932.2．某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样法从这1 000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(2)若已知树干周长在30 cm 至40 cm 之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现从这4株树中随机抽取2株，求抽取到的第2株患有虫害的概率．解：(1)∵用分层抽样法从这1 000株树木中随机抽取100株， ∴应该抽取银杏树100×4001 000＝40(株)．∴4＋18＋x ＋6＝40，∴x ＝12.(2)记这4株树分别为树1，树2，树3，树4，且不妨设树4为患虫害的树．记恰好抽取到第2株时发现患虫害的树为事件A ，则A 是指抽取到的第2株是树4.求抽取到的第2株患有虫害的概率，基本事件为(树1，树2)，(树1，树3)，(树1，树4)，(树2，树1)，(树2，树3)，(树2，树4)，(树3，树1)，(树3，树2)，(树3，树4)，(树4，树1)，(树4，树2)，(树4，树3)，共计12个，事件A 中包含的基本事件有3个，∴抽取到的第2株患有虫害的概率P (A )＝312＝14.3．设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等． (1)求{a n }的通项公式；(2)若a 1，a 2，a 5恰为等比数列{b n }的前三项，记c n ＝1log 34b n ＋1·log 34b n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －d2，即S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，由S n是等差数列，得到⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d2＝0，S n＝ d2·n ，则d ＝d2且d ＝2a 1＞0，所以d ＝12，a 1＝d 2＝14，a n ＝14＋(n －1)·12＝2n －14.(2)由b 1＝a 1＝14，b 2＝a 2＝34，b 3＝a 5＝94，得等比数列{b n }的公比q ＝3，所以b n ＝14×3n －1，所以c n ＝1log 33n ·log 33n ＋1＝1n n ＋＝1n －1n ＋1， T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.4．如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是平行四边形，且AA 1⊥底面ABCD ，AB ＝2，AA 1＝BC ＝4，∠ABC ＝60°，点E 为BC 中点，点F 为B 1C 1中点．(1)求证：平面A 1ED ⊥平面A 1AEF ；(2)设二面角A 1ED A 的大小为α，直线AD 与平面A 1ED 所成的角为β，求sin(α＋β)的值．解：(1)证明：∵AB ＝BE ＝2且∠ABC ＝60°， ∴∠AEB ＝60°.∵CE ＝CD ＝2且∠BCD ＝120°，∴∠CED ＝30°， ∴∠AED ＝90°， ∴AE ⊥ED .∵AA 1⊥底面ABCD ，∴AA 1⊥ED ， ∴ED ⊥平面A 1AEF ， ∴平面A 1ED ⊥平面A 1AEF . (2)∵ED ⊥平面A 1AEF ， ∴A 1E ⊥ED ，AE ⊥ED ，∴∠A 1EA 为二面角A 1ED A 的平面角，即∠A 1EA ＝α. sin α＝AA 1A 1E ＝255，cos α＝55. 过A 作A 1E 的垂线，垂足为H ，连接HD ， ∵ED ⊥平面A 1AEF ，∴ED ⊥AH ， ∴AH ⊥平面A 1ED ，∴∠ADH 为直线AD 与平面A 1ED 所成的角β，即∠ADH ＝β， 易得AH ＝455，sin β＝55＝cos α，∴α＋β＝90°，sin(α＋β)＝1.。
高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题六 第4讲 高考中的概率解答题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）1．某中学经市人民政府批准建分校，工程从2011年年底开工到2014年年底完工，分三期完成．经过初步招标淘汰后，确定由甲、乙两家建筑公司承建，且每期工程由两公司之一独立承建，必须在建完前一期工程后再建后一期工程．已知甲公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权的概率分别为34，12，14.(1)求甲、乙两公司各至少获得1期工程的概率；(2)求甲公司获得的工程期数ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解：(1)由题意，甲、乙两公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权是相互对立的，所以乙公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权的概率分别为14，12，34.法一：记“甲、乙两公司各至少获得1期工程”为事件A ，记“甲公司获得1期工程，乙公司获得2期工程”为事件B ，记“甲公司获得2期工程，乙公司获得1期工程”为事件C .P (B )＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×14＝1332；P (C )＝34×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×12×14＝1332.因为事件A 包含事件B 和事件C ，且事件B ，C 互斥， 所以P (A )＝P (B )＋P (C )＝1332＋1332＝1316.法二：记“甲、乙两公司各至少获得1期工程”为事件A ，记其对立事件为A ，则A 表示事件“甲公司获得3期工程或乙公司获得3期工程”．则P (A )＝1－P (A )＝1－⎝ ⎛ 34×12×14＋14×⎭⎪⎫12×34＝1316. (2)由题意知，ξ表示甲公司获得的工程期数，其所有可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝332；P (ξ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×14＝1332；P (ξ＝2)＝34×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×12×14＝1332；42432所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P33213321332332数学期望E (ξ)＝0×332＋1×1332＋2×1332＋3×332＝32.2．(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果互相独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3.由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，知各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427.由题意，知随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，27P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327.故X 的分布列为X 0 1 2 3 P1627427427327所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝416×116＋116×12＝364. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝1－416－116＝1116，P (X ＝500)＝116， P (X ＝800)＝14.所以X 的分布列为X 400 500 800 P111611614E (X )＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.4．(2013·湖南高考)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．解：(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列． 因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)，所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3.由P (X ＝k )＝n k N ，得P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝615＝25，P (X ＝4)＝315＝15.故所求的分布列为所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋425＝46.。
高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题四 第二讲 高考中的立体几何(解答题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．在直角梯形A 1A 2A 3D 中，A 1D ＝10，A 2A 3＝16，A 1A 2＝8，A 1A 2⊥A 1D ，A 1A 2⊥A 2A 3，且B ，C 分别是边A 1A 2，A 2A 3上的一点，沿线段BC ，CD ，DB 分别将△BCA 2，△CDA 3，△DB A 1翻折上去恰好使A 1，A 2，A 3重合于一点A .(1)求证：AB ⊥CD ；(2)求AC 与平面BCD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意∠BAC ＝∠BAD ＝π2， 故BA ⊥平面ACD ，所以AB ⊥CD .(2)由题意得，A 1D ＝A 3D ＝10，A 1B ＝A 2B ＝4，A 2C ＝A 3C ＝8，作点A 在平面BCD 内的射影点O ，由V A BCD ＝V B ACD 得，S △BCD ·AO ＝S △A CD ·AB ，又S △ACD ＝12×8×8＝32， S △BCD ＝12(8＋10)×8－12×4×10－12×8×4＝36，所以AO ＝32×436＝329. 设AC 与平面BCD 所成角为α， 则sin α＝AO AC ＝329×8＝49. 2.如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD .(1)证明：BD ⊥PC ；(2)若AD ＝4，BC ＝2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P ABCD 的体积． 解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .又AC ⊥BD ，PA ，AC 是平面PAC 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面PAC .而PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC .(2)设AC 和BD 相交于点O ，连结PO ，由(1)知，BD ⊥平面PAC ，所以∠DPO 是直线PD 和平面PAC 所成的角．从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC 知，BD ⊥PO ，在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°，得PD ＝2OD .因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，所以△AOD ，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝12×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9. 在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22， 所以PD ＝2OD ＝42， PA ＝PD 2－AD 2＝4.故四棱锥P ABCD 的体积为V ＝13×S ×PA ＝13×9×4＝12.3.如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥EF ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成角的大小；(2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A CD E 的余弦值．解：(1)由题设知，BF ∥CE ，所以∠CED (或其补角)为异面直线BF与DE 所成的角．设P 为AD 的中点，连接EP ，PC .因为FE 綊AP ，所以FA 綊EP .同理，AB 綊PC .又FA ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD .而PC ，AD 都在平面ABCD 内，故EP ⊥PC ，EP ⊥AD .由AB ⊥AD ，可得PC ⊥AD .设FA ＝a ，则EP ＝PC ＝PD ＝a ，CD ＝DE ＝EC ＝2a . 故∠CED ＝60°.所以异面直线BF 与DE 所成角的大小为60°.(2)证明：因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE .连接MP ，则MP ⊥CE . 又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)设Q 为CD 的中点，连接PQ ，EQ .因为CE ＝DE ，所以EQ ⊥CD .因为PC ＝PD ，所以PQ ⊥CD ，故∠EQP 为二面角A CD E 的平面角．由(1)可得，EP ⊥PQ ，EQ ＝62a ，PQ ＝22a . 于是在Rt △EPQ 中，cos ∠EQP ＝PQEQ ＝33. 所以二面角A CD E 的余弦值为33. 4.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝a ，∠ABC ＝60°，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE ＝a ，点M 在线段EF 上．(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)当EM 为何值时，AM ∥平面BDF ？证明你的结论；(3)求二面角B EF D 的平面角的余弦值．解：(1)证明：在梯形ABCD 中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，∴AC⊥BC，又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE.(2)当EM＝33a时，AM∥平面BDF，在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连接FN，则CN∶NA＝1∶2，∵EM＝33a，而EF＝AC＝3a，∴EM∶MF＝1∶2，∴MF綊AN，∴四边形ANFM是平行四边形，∴AM∥NF，又∵NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，∴AM∥平面BDF.(3)取EF的中点G，EB的中点H，连接DG，GH，DH.∵DE＝DF，∴DG⊥EF，由(1)知BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，又∵EF⊥FC，FC∩BC＝C，∴EF⊥平面FCB，∵FB⊂平面FCB，∴EF⊥FB，又∵GH∥FB，∴EF⊥GH，∴∠DGH是二面角BEFD的平面角．在△BDE中，DE＝2a，DB＝3a，BE＝AE2＋AB2＝5a，∴DE2＋DB2＝BE2，∴∠EDB＝90°，∴DH＝52a.又∵DG＝52a，GH＝22a，∴在△DGH中，由余弦定理得cos∠DGH＝10 10，10 10.即二面角BEFD的平面角的余弦值为。
高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题一 第四讲 不 等 式(选择、填空题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D. a 3>b 3解析：选D 当c ＝0时，选项A 不成立；当a >0，b <0时，选项B 不成立；当a ＝1，b＝－5时，选项C 不成立；a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b ) ⎡⎢⎣⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋3b 24⎤⎥⎦>0，故选D.2．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72C.154D.152解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)解析：选B ∵f (x 0)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1，2x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，x 20－2x 0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．4．(2013·福建高考)若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2. 5．(2013·威海模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≥2，3x ＋y ≤5所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋2分成面积相等的两部分，则k 的值为( )A ．4B ．1C ．2D ．3解析：选B 作出二元一次不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分被直线y ＝kx ＋2分成面积相等的两部分，则必有直线y ＝kx ＋2过线段BC 的中点M .由题意可知C (0,5)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，114，代入直线y ＝kx ＋2，解得k ＝1. 6．(2013·四川高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16解析：选C 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x ＝4，y ＝4时，a ＝z max ＝5×4－4＝16；当x ＝8，y ＝0时，b ＝z min ＝5×0－8＝－8，∴a －b ＝24.7．已知x >0，y >0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析：选D 因为x >0，y >0，所以2y x ＋8x y ≥216＝8，当且仅当x ＝22，y ＝2时取等号．要使原不等式恒成立，只需m 2＋2m <8，解得－4<m <2.8．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 的值为( )A ．0或－2B ．0或－12C ．－12D ．－2解析：选B 注意到直线kx －y ＋1＝0恒过点(0,1)，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，该平面区域是一个直角三角形区域．结合图形得知，直线kx －y ＋1＝0与y ＝2x 垂直或与直线x ＝0垂直，于是有k ＝0或k ＝－12.9．(2013·青岛模拟)定义区间(a ，b )，[a ，b )，(a ，b ]，[a ，b ]的长度均为d ＝b －a .用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，其中x ∈R.设f (x )＝[x ]·{x }，g (x )＝x －1，若用d 表示不等式f (x )<g (x )解集区间的长度，则当0≤x ≤3时，有( )A ．d ＝1B ．d ＝2C ．d ＝3D ．d ＝4解析：选A f (x )＝[x ]·{x }＝[x ]·(x －[x ])＝[x ]x －[x ]2，由f (x )<g (x )得[x ]x －[x ]2<x －1，即([x ]－1)·x <[x ]2－1.当x ∈[0,1)时，[x ]＝0，不等式的解为x >1，不合题意；当x ∈[1,2)时，[x ]＝1，不等式为0<0，无解，不合题意；当x ∈[2,3]时，[x ]>1，所以不等式([x ]－1)x <[x ]2－1等价于x <[x ]＋1，此时恒成立，所以此时不等式的解为2≤x ≤3，所以不等式f (x )<g (x )解集区间的长度为d ＝1.10．已知log 12(x ＋y ＋4)<log 12(3x ＋y －2)，若x －y <λ恒成立，则λ的取值范围是( )A ．(－∞，10]B ．(－∞，10)C ．[10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选C 已知不等式等价于不等式x ＋y ＋4>3x ＋y －2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <3，3x ＋y －2>0，其表示的平面区域如图中的阴影部分(不含区域边界)所示．设z ＝x －y ，根据其几何意义，显然在图中的点A处，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，3x ＋y －2＝0，得A (3，－7)，故z <3－(－7)＝10，所以λ≥10.二、填空题11．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．解析：画出可行域，易知直线y ＝a (x ＋1)过定点(－1,0)，当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＋3y ＝4与3x ＋y ＝4的交点(1,1)时，a 取得最小值12；当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＝0与3x ＋y＝4的交点(0,4)时，a 取得最大值4.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 12．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为________元．解析：设租A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 在点N (5,12)处取得最小值36 800.答案：36 80013．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋7－a x ＋1，a ∈R.若对于任意的x ∈N *，f (x )≥4恒成立，则a的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋7－a x ＋1，且f (x )≥4对于任意的x ∈N *恒成立，∴当x ≠1时，a ≥－x 2－4x ＋3x －1＝－x －1x －3x －1＝－x ＋3恒成立，即a ≥(－x ＋3)max .∵x ∈N *且x ≠1，∴(－x ＋3)max ＝1，∴a ≥1；当x ＝1时，f (1)＝82＝4≥4恒成立，∴a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)14．(2013·合肥模拟)若正数a ，b 满足a ＋2b ＝3，且使不等式12a ＋1b －m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依题意得，12a ＋1b ＝13(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤52＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2＝32，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝3，b a ＝a b，即a ＝b ＝1时取等号，因此12a＋1b 的最小值是32，依题意得，实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，3215．(2013·北京高考)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP u u u r ＝λAB u u u r＋μAC u u u r (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．解析：设点P (x ，y )，由AP u u u r ＝λAB u u u r＋μAC u u u r ，得(x －1，y ＋1)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，故⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2x －y －33，μ＝－x ＋2y ＋33，由1≤λ≤2,0≤μ≤1得，⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x －y －33≤2，0≤－x ＋2y ＋33≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x －y －3≤6，－3≤x －2y －3≤0.画出可行域如图中阴影部分所示，点B (3,0)到直线x －2y ＝0的距离d ＝|3|1＋4＝355，点B ，N 之间的距离|BN |＝5，故阴影部分的面积为3.答案：316．(2013·浙江高考)设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab ＝________.解析：由于不等式0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，即－x 4＋x 3≤ax ＋b ≤x 3－2x 2＋1，记f (x )＝x 3－2x 2＋1，g (x )＝－x 4＋x 3，显然f (x )－g (x )＝x 4－2x 2＋1＝(x 2－1)2，所以当x ≥0时，f (x )≥g (x )，当且仅当x ＝1时取得等号，而f ′(x )＝3x 2－4x ，g ′(x )＝－4x 3＋3x 2，f ′(1)＝g ′(1)＝－1，因此，当y ＝ax ＋b 为f (x )与g (x )在x ＝1处有公切线时，才能使0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2恒成立，此时a ＝f ′(1)＝－1，b ＝1(切点为(1,0))，所以ab ＝－1.答案：－1。
高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题一 第三讲“2道”拉分题专练卷(二) 文(以真题
“2道”拉分题专练卷(二)1．已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2－3m 2x ＋1，m ∈R. (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若f (x )在区间(－2,3)上是减函数，求m 的取值范围．解：(1)当m ＝1时，f (x )＝13x 3＋x 2－3x ＋1， 又f ′(x )＝x 2＋2x －3，所以f ′(2)＝5.又f (2)＝53， 所以所求切线方程为y －53＝5(x －2)， 即15x －3y －25＝0.所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为15x －3y －25＝0.(2)因为f ′(x )＝x 2＋2mx －3m 2，令f ′(x )＝0，得x ＝－3m 或x ＝m .当m ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立，不符合题意．当m >0时，f (x )的单调递减区间是(－3m ，m )，若f (x )在区间(－2,3)上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ －3m ≤－2，m ≥3，解得m ≥3.当m <0时，f (x )的单调递减区间是(m ，－3m )，若f (x )在区间(－2,3)上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤－2，－3m ≥3，解得m ≤－2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．2．已知圆C ：(x ＋t )2＋y 2＝5(t >0)和椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个公共点为B (0,2)，F 为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B .(1)求t 的值和椭圆E 的标准方程；(2)圆C 上是否存在点M ，使得△MBF 为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题可知，b ＝2.∵C (－t,0)，B (0,2)，∴BC ＝t 2＋22＝5，∴t ＝±1，又t >0，∴t ＝1.法一：∵BF 为圆C 的切线，∴BC ⊥BF ，∴BC 2＋BF 2＝CF 2，设F (c,0)，则有(5)2＋(22＋c 2)＝(1＋c )2，∴c ＝4，又a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝20，∴椭圆E 的标准方程为x 220＋y 24＝1.法二：∵BF 为圆C 的切线，∴BC ⊥BF ，∴k BC ·k BF ＝－1，设F (c,0)，则有2·2－00－c＝－1，∴c ＝4， 又a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝20，∴椭圆E 的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)假设圆C 上存在点M (x ，y )，使得△MBF 为等腰三角形，则点M (x ，y )满足(x ＋1)2＋y 2＝5， ①下面分三种情况讨论：(ⅰ)当BM ＝BF 时，有x 2＋y －22＝20， 即x 2＋(y －2)2＝20. ②由①②联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2， ∴M (－2，－2)； (ⅱ)当MB ＝MF 时，有x 2＋y －22＝x －42＋y 2，即2x －y ＝3， ③ 由①③联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴M (1，－1)； (ⅲ)当FM ＝FB 时，有x －42＋y 2＝20， 即x 2＋y 2－8x －4＝0. ④由①④联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝±2，又B (0,2)，∴M (0，－2)．综上可知，圆C 上存在点M (－2，－2)、M (1，－1)、M (0，－2)，使得△MBF 为等腰三角形．。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题一 第一讲“12+4
“12＋4”提速专练卷(四)一、选择题1．若i 为虚数单位，则复数z ＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A z ＝5i(3－4i)＝20＋15i ，则复数对应的点在第一象限．2.已知全集U ＝R ，函数y ＝1x 2－4的定义域为M ，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}解析：选C 集合M ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∁U M ＝[－2,2]，集合N ＝(1,3)，所以(∁U M )∩N ＝(1,2]．3．(2013·泉州模拟)满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选C 因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n－1，则满足S n >1 025的最小n 值是11.4．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选A 由|AB ＋AC |＝|AB －AC |，得AB ·AC ＝0，所以AM 为直角三角形ABC 斜边上的中线，所以|AM |＝12|BC |＝2.5．(2013·合肥模拟)给出命题p ：直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与直线l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行的充要条件是a ＝－3；命题q ：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( )A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ”为假C ．命题“p 或(綈q )”为假D ．命题“p 且(綈q )”为真解析：选D 若直线l 1与直线l 2平行，则必满足a (a ＋1)－2×3＝0，解得a ＝－3或a ＝2，但当a ＝2时两直线重合，所以l 1∥l 2⇔a ＝－3，所以命题p 为真．如果这三点不在平面β的同侧，则不能推出α∥β，所以命题q 为假．6．中小学校车安全问题引起全社会的强烈关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市组织校车安全大检查．某校有A 、B 、C 、D 四辆校车，现分两天对其进行检测，每天检测两辆车，则A 、B 在同一天被检测的概率为( )A.16B.13C.12D.23解析：选B 基本事件是(AB ，CD )，(AC ，BD )，(AD ，BC )，(BC ，AD )，(BD ，AC )，(CD ，AB )，共有6个，其中A 、B 在同一天被检测的情况有(AB ，CD )，(CD ，AB )，共2个，故A 、B 在同一天被检测的概率为26＝13.7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A.＋π36B.＋2π36 C.＋π36D.＋2π36解析：选A 该几何体由底面半径为1的半圆锥与底面为边长等于2的正方形的四棱锥组成，且高都为3，因此该几何体的体积为V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π×12×3＋13×(2×2)×3＝3π6＋433＝＋π36.8．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和B.12(A ＋B )为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最小数和最大数 D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最大数和最小数解析：选D 由图易知，该程序框图的功能是选择a 1，a 2，…，a n 中的最大数和最小数． 9．(2013·郑州模拟)把70个面包分五份给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，则最小的一份为( )A ．2B ．8C ．14D ．20解析：选A 由题意知，中间一份为14，设该等差数列的公差为d (d >0)，则这五份分别是14－2d,14－d,14，14＋d,14＋2d .又16(14＋14＋d ＋14＋2d )＝14－2d ＋14－d ，解得d＝6.故14－2d ＝2.10．给定命题p ：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4和函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的图像关于原点对称；命题q ：当x ＝k π＋π2(k ∈Z)时，函数y ＝2(sin 2x ＋cos 2x )取得极小值．下列说法正确的是( )A ．p ∨q 是假命题B ．(綈p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(綈p )∨q 是真命题解析：选 B 命题p 中y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ( 2x －⎭⎪⎫π4与y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4关于原点对称，故p 为真命题；命题q 中y ＝2(sin 2x ＋cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取极小值时，2x ＋π4＝2k π－π2，则x ＝k π－3π8，k ∈Z ，故q为假命题，则(綈p )∧q 为假命题．11．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若3a －2b ＋c ＝0，则acb的( ) A ．最大值是 3 B ．最小值是 3 C ．最大值是33D ．最小值是33解析：选C 因为b ＝3a ＋c 2，所以ac b ＝2ac 3a ＋c ≤2ac 23ac ＝33，当且仅当3a ＝c 时取等号．12．已知抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 2m－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A.21B.212C ．2D ．2 5解析：选B 抛物线的准线方程为x ＝－2，设准线与x 轴的交点为D (－2,0)，由题意得∠AFB ＝90°，故|AB |＝2|DF |＝8，故点A 的坐标为(－2,4)．由点A 在双曲线x 2m－y 2＝1上，可得－2m－42＝1，解得m ＝417.故c 2＝m ＋1＝2117，故双曲线的离心率e ＝c a ＝214＝212. 二、填空题13．已知sin α－3cos α＝0，则sin 2αcos 2α－sin 2α＝________. 解析：sin α＝3cos α⇒tan α＝3，则2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 答案：－3414．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．解析：画出可行域，如图，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3,3)，由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z 最大，则－23<a <35.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，35 15．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235，4<235<6，故满足题意的点P 有2个．答案：216．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆x 2－4x ＋y 2＝0(2≤x ≤4)上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当OA ·OC ＝20时，则点C 的纵坐标的取值范围是________．解析：如图所示，当点A 位于点B 时，点C 的纵坐标最大；当点A 位于点D 时，点C 的纵坐标最小．由图像可知B (2,2)，D (2，－2)．当点A 位于点B 时，OB ＝22，因为OA ·OC ＝|OA |·|OC |＝20，所以此时|OC |＝5 2.由相似性可知BM y c ＝OBOC，解得y c ＝5；同理，当点A 位于点D 时，解得y c ＝－5，所以点C 的纵坐标的取值范围是－5≤y c ≤5，即[－5,5]．答案：[－5,5]。
高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题一 第二讲 函数的图像与性质(选择、填空题型)
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题一 第二讲 函数的图像与性质(选择、填空题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．(2013·山东高考)函数f (x )＝ 1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，所以－3<x ≤0.2．(2013·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |解析：选C y ＝1x是奇函数，选项A 错；y ＝e －x是指数函数，非奇非偶，选项B 错；y＝lg|x |是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，选项D 错；只有选项C 是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减．3．(2013·潍坊模拟)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图像可能是( )解析：选B 由三视图可知此几何体为一底朝上的圆锥，向容器中匀速注水，说明单位时间内注入水的体积相等，因圆锥下面窄上面宽，所以下面的高度增加得快，上面的高度增加得慢，即图像应越来越平缓．4．(2013·安徽高考)函数y ＝f (x )的图像如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x nx n，则n 的取值范围为( )A ．{2,3}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5}解析：选 Bf x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x nx n的几何意义是指曲线上存在n 个点与坐标原点连线的斜率相等，即n 为过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n 的取值为2,3,4.5．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是 ( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数解析：选C 法一：根据题意，令x 1＝x 2＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)＋1，所以f (0)＝－1.令x 1＝x ，x 2＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＋1，所以f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，即f (x )＋1＝－[f (－x )＋1]．法二：(特殊函数法)由条件f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1可取f (x )＝x －1，故f (x )＋1＝x 是奇函数．6．函数f (x )＝2－x2－x－1的图像大致为( )解析：选A 将解析式变形整理，f (x )＝2－x－1＋12－x －1＝1＋12－x －1，当x >0时，f (x )＝1＋12－x－1∈(－∞，0)，当x <0时，f (x )＝1＋12－x －1∈(1，＋∞)，只有A 选项符合题意． 7．(2013·天津高考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f ⎝⎛⎭⎫log 12a ≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]解析：选C 因为log 12a ＝－log 2 a ，且f (x )是偶函数，所以f (log 2 a )＋f ⎝⎛⎭⎫log 12a ＝2f (log 2 a )＝2f (|log 2 a |)≤2f (1)，即f (|log 2a |)≤f (1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log 2 a |≤1，即－1≤log 2 a ≤1，解得12≤a ≤2.8．设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f x，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)＝( )A ．10 B.110C ．－10D ．－110解析：选B 由于f (x ＋3)＝－1f x，所以f (x ＋6)＝f (x )，即函数f (x )的周期等于6，又因为函数f (x )是偶函数，于是f (107.5)＝f (6×17＋5.5)＝f (5.5)＝f (3＋2.5)＝－1f 2.5＝－1f－2.5＝－14×－2.5＝110.9．(2013·东城模拟)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有3个是增函数； ②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图像关于点A (1,0)对称；④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≤2，log 3x －1，x >2，则方程f (x )＝12有2个实数根．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12，y ＝x 3为增函数，故①不正确；②中不等式等价于0>log 3m >log 3n ，故0<n <m <1，②正确；③中函数y ＝f (x －1)的图像是把y ＝f (x )的图像向右平移一个单位得到的，由于函数y ＝f (x )的图像关于坐标原点对称，故函数y ＝f (x －1)的图像关于点A (1,0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log 312<2，当log 3(x －1)＝12时，x ＝1＋3>2，故方程f (x )＝12有2个实数根，④正确．10．(2013·武汉模拟)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ， a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]解析：选B 由题设知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2，画出函数f (x )的图像，如图，A (2,1)，B (2,2)，C (－1，－1)，D (－1，－2)．从图像中可以看出，直线y ＝c 与函数的图像有且只有两个公共点时，实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．二、填空题11．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R)，f (1)＝2，则f (－2)＝________.解析：令x ＝y ＝0，得f (0)＝0；令x ＝y ＝1，得f (2)＝2f (1)＋2＝6.由0＝f (2－2)＝f (2)＋f (－2)－8得f (－2)＝2.答案：213．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，则方程f (x )＝f (2x －3)的所有实数根的和为________．解析：由于函数f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (|2x －3|)，又函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，则|x |＝|2x －3|，整理得x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，故x 1＋x 2＝4.答案：414．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图像上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，1x ，x >0，则|PA |2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝x 2＋1x2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2.令t ＝x ＋1x，则由x >0，得t ≥2.所以|PA |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2， 由PA 取得最小值22，得⎩⎨⎧a ≤2，22－4a ＋2a 2－2＝222或⎩⎨⎧a >2，a 2－2＝222，解得a ＝－1或a ＝10. 答案：－1或1015．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋1，x ≠1，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a＝0有五个不同的实数解，则a 的取值范围是________．解析：由2f 2(x )－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0得f (x )＝32或f (x )＝a .由已知画出函数f (x )的大致图像，结合图像不难得知，要使关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，即要使函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝32，y ＝a 共有五个不同的交点，结合图形分析不难得出，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 16．(2013·成都模拟)给定区间D ，对于函数f (x )，g (x )及任意的x 1，x 2∈D (其中x 1>x 2)，若不等式f (x 1)－f (x 2)>g (x 1)－g (x 2)恒成立，则称函数f (x )相对于函数g (x )在区间D 上是“渐先函数”．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 相对于函数g (x )＝2x －3在区间[a ，a ＋2]上是渐先函数，则实数a 的取值范围是________．解析：设a ≤x 2<x 1≤a ＋2，由题意知f (x 1)－f (x 2)>g (x 1)－g (x 2)恒成立，即ax 21＋ax 1－(ax 22＋ax 2)>2x 1－3－(2x 2－3)恒成立，即a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋1)>2(x 1－x 2)．因为x 1>x 2，故不等式转化为a (x 1＋x 2＋1)>2恒成立．因为a ≤x 2<x 1≤a ＋2，所以2a ＋1<x 1＋x 2＋1<2a ＋5，故当a >0时，不等式恒成立转化为a (2a ＋1)≥2，即2a 2＋a －2≥0，解得a ≥－1＋174；当a <0时，不等式恒成立转化为a (2a ＋5)≥2，即2a 2＋5a －2≥0，解得a ≤－5－414.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－414∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋174，＋∞.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－414∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋174，＋∞。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题一 第一讲“12+4
“12＋4”提速专练卷(二)一、选择题1．已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i1－2i ＝－1－2i ＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i＝1－i.2．已知集合M ＝{x |－2<x <3}，N ＝{x |lg(x ＋2)≥0}，则M ∩N ＝( ) A ．(－2，＋∞) B ．(－2,3) C ．(－2，－1]D ．[－1,3)解析：选 D N ＝{x |lg(x ＋2)≥0}＝{x |x ＋2≥1}＝{x |x ≥－1}，所以M ∩N ＝{x |－1≤x <3}．3．(2013·惠州模拟)执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A 逐次计算：S ＝1，k ＝1；S ＝1＋2＝3，k ＝2；S ＝3＋23＝11，k ＝3；S ＝11＋211，k ＝4.故输出的k 的值为4.4．函数f (x )＝lg 1－x1＋x ( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：选A 易知函数的定义域为(－1,1)，又f (－x )＋f (x )＝lg 1＋x 1－x ＋lg 1－x1＋x ＝lg 1＝0，故f (x )是奇函数．5．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 构成等差数列，则二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 500解析：选C 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3 600×13＝1 200.6．(2013·哈尔滨模拟)设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π<φ<π)的图像如图所示，则ω，φ的值为( )A ．ω＝1，φ＝－2π3B ．ω＝2，φ＝π3C ．ω＝1，φ＝π3D ．ω＝2，φ＝－2π3解析：选D 观察图像，易得周期T ＝2πω＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π，解得ω＝2.又由图像的最低点得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝－1，故π6＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)且－π<φ<π，因此φ＝－2π3. 7．若a ，b 是互相垂直的两个单位向量，且向量c 满足(c －a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．1＋ 2解析：选B (c －a )·(c －b )＝0可整理为c 2－(a ＋b )·c ＋a ·b ＝0，∵a ·b ＝0，∴c2－(a ＋b )·c ＝0.若c ＝0，则|c |＝0；若c ≠0，则c ＝a ＋b ，c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＝2，∴|c |＝2，即|c |的最大值为 2.8．(2013·青岛模拟)已知函数f (x )＝－ln|x |x2，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )A B C D解析：选A 因为函数为非奇非偶函数，所以排除B ，C ，又f (－1)＝－1<0，排除D. 9．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 4·b 5＝2，则a 9＝( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选C 设{b n }公比为q ，首项为b 1， ∵b n ＝a n ＋1a n，a 1＝1，b 4b 5＝2， ∴a 9＝a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a 9a 8＝b 1b 2…b 8＝b 81q 1＋2＋…＋7＝b 81q 28＝(b 21q 7)4＝(b 1q 3×b 1q 4)4＝(b 4b 5)4＝24＝16.10．定义在R 上的函数f (x )是增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图像上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|<1的解集为( )A ．(－1,2)B ．[3，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：选A ∵A (0，－1)，B (3,1)是函数f (x )图像上的两点，∴f (0)＝－1，f (3)＝1. 由|f (x ＋1)|<1得－1<f (x ＋1)<1，即f (0)< f (x ＋1)<f (3)． ∵f (x )是定义在R 上的增函数，∴由单调函数的定义可知，0<x ＋1<3，∴－1<x <2.11．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝4x解析：选B 由于焦点弦|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，又因为x 0＝x 1＋x 22＝2，所以4＋p ＝8，即p ＝4.抛物线方程为y 2＝8x .12．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( ) A ．470 B ．490 C ．495D ．510解析：选A 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×＋2＋72×10＝470. 二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是4、3、1，中间被挖去的是底面半径为1，母线长为1的圆柱，所以几何体的表面积等于长方体的表面积减去圆柱两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，即为2×(4×3＋4×1＋3×1)－2π＋2π＝38.答案：3814．(2013·东莞模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．已知角A 为锐角，且b ＝3a sin B ，则tan A ＝________.解析：由b ＝3a sin B 得sin B ＝3sin A sin B ，所以sin A ＝13，cos A ＝223，即tan A＝24. 答案：2415．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0在区间[－1，m ]上的最大值是1，则m 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由2－x－1＝1，得x ＝－1；当x >0时，由x ＝1得，x ＝1.所以由图像可知，－1<m ≤1，即m ∈(－1,1]． 答案：(－1,1] 16．已知2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…， 6＋a t＝6at，a，t均为正实数，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.解析：根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n＋nn2－1＝nnn2－1，所以当n＝6时，a＝6，t＝35.所以a＋t＝41.答案：41。
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“12＋4”提速专练卷(三)一、选择题1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 3(i 为虚数单位)的值是( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32i －12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ＝－34－14＝－1.2．已知幂函数y ＝f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为( )A.14 B ．－14C ．2D ．－2解析：选A 设f (x )＝x α，由图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⇒α＝12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.3．某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么烫了．下面大致能反映出小明这一天(0时～24时)体温的变化情况的图像是( )解析：选C 由题意，清晨体温在上升，吃药后到12点下降至体温基本正常，下午又上升，然后再下降，只有C 项符合．4．(2013·德州模拟)函数f (x )＝1－cos 2xcos x( )A ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上递增 B ．在⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0上递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上递减 D ．在⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0上递减，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增解析：选D 因为f (x )＝|sin x |cos x ，当sin x ≥0时，f (x )＝sin xcos x ＝tan x ；当sin x <0时，f (x )＝－sin x cos x ＝－tan x ，即当0<x <π2时，函数递增；当－π2<x <0时，函数递减．5．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：选A 由题意得，双曲线的离心率e ＝c a ＝3，故a b ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 6．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤2，y ≥ax表示的区域为三角形，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：选C y ＝ax 为过原点的直线，当a ≥0时，若能构成三角形，则需0≤a <1；当a <0时，若能构成三角形，则需－1<a <0，综上a ∈(－1,1)．7．(2013·东城模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图像开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2C.⎝⎛⎦⎥⎤π2，2π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 解析：选B 由题意知f ′(x )＝a (x －1)2＋3(a >0)，所以f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥3，即tan α≥3，所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2. 8．运行如图所示的程序框图，若输出的结果为137，则判断框中应该填的条件是( )A ．k >5?B ．k >6?C ．k >7?D ．k >8?解析：选B 第一次运行S ＝1＋11×2，k ＝2；第二次运行S ＝1＋11×2＋12×3，k ＝3；…；第n 次运行S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1＝137，k ＝n ＋1，此时结束循环，得n ＝6，故判断框中应该填入“k >6？”．9．在空间中，l 、m 、n 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列结论错误的是( )A ．若α∥β，α∥γ，则β∥γB ．若l ∥α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥mC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝l ，则l ⊥αD ．若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则m ⊥n解析：选D 根据平面平行的传递性可知，选项A 中的结论正确；根据线面平行的性质可知，选项B 中的结论正确；根据线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理可得选项C 中的结论正确；选项D 中的结论不正确，m 与n 不一定垂直．10．已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A 本题的实质是求解函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点所在的区间[a ，b ]．易知f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，又a ，b ∈N *，b －a ＝1，所以a ＝2，b ＝3，故a ＋b ＝5.11．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2D ．4解析：选C 圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)，∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)．由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.12．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若对任意x >2，不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,7]B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)解析：选C 由题意得(x －a )⊗x ＝(x －a )(1－x )，故不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2可化为(x －a )(1－x )≤a ＋2，化简得x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0，故原题等价于x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0在x ∈(2，＋∞)上恒成立，由二次函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2的图像得，其对称轴为x ＝a ＋12，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12≤2，f 2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12>2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12≥0，解得a ≤3或3<a ≤7，综上可得，a ≤7.二、填空题13．已知向量a ＝(x ，－2)，b ＝(y,1)，其中x ，y 都是正实数，若a ⊥b ，则t ＝x ＋2y 的最小值是________．解析：由a ⊥b 可得a ·b ＝0，即xy －2＝0，故xy ＝2.由于t ＝x ＋2y ≥22xy ＝4，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故t 的最小值为4.答案：414．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽取n 名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况的部分频率分布直方图如图所示，则由该图可以估计年龄在[25,30)之间的司机约占该市司机总数的________．解析：由频率分布直方图可知年龄在[25,30)岁之间的频率是1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2，故可以估计年龄在[25,30)岁之间的司机约占该市司机总数的20%.答案：20%15．(2013·安庆模拟)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)， 得0<x <2n ＋1， 因此知a n ＝2n . 故S 100＝1002＋2002＝10 100.答案：10 10016．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意实数x 都有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期为2.由g (x )＝f (x )－kx －k ＝0，得f (x )＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，分别作出函数y ＝f (x )，y ＝k (x ＋1)的图像，要使函数有4个零点，则直线y ＝k (x ＋1)的斜率应满足0<k ≤k AB ，因为k AB ＝1－03－－1＝14，所以0<k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14。