【最新】北师大版九年级上学期数学第1章《特殊平行四边形》复习讲学稿(无答案)

合集下载

北师大版九年级数学上册第一章：特殊的平行四边形期末复习课课件

（1）
（2）
3.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E 处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为______； MN= .
已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,C重合），以AD为边作正方形ADEF,连接CF. （1）如图①，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求 OC的长度．
总结：遇到直角和中点时，联想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D 12/5
总结：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于腰上的高直角三角形的斜边上的高等于两直角边的积除以斜边。
75 C 15°或75°
5
13.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点P，Q分别是AB， AC上的动点，且满足BP＝AQ，点D是BC的中点． (1)求证：△PDQ是等腰直角三角形； (2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．
特殊的平行四边形复习课
1.菱形具有而矩形不具有的性质是 ( B )
A．对角相等 B．四边相等 C．四角相等
D．对角线互相平分
2.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ C ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
3.（多选题）下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（D, E ）

北师大版九年级(上)数学第一章特殊平行四边形讲义(二)(无答案)

第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质和判定一．矩形的性质1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。

2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.菱形中相等的线段：AC=BD，OA = OC=OB = OD．菱形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．菱形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).温馨提示：①矩形具有平行四边形的一切性质；②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

【例1】已知四边形ABCD是矩形.（1）若AB=8cm，AD=6cm，则AC=______cm，OB=______cm.（2）若AC=10cm，BC=6cm，则矩形的周长=______cm.【例2】如图所示，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内.若AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为_____________【例3】吧如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC .（1）求证OE=OF；（2）若BC=，求AB的长.【例4】如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，∠EDO=15°.（1）试比较线段AO与AE的大小，并证明你的结论；（2）连接OE，求∠AOE的大小.3.应用矩形性质求线段长【例5】已知矩形对角线的夹角为120°，对角线长为24cm，则矩形较短的边长为________.【例6】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB= 60°，AB=4. 则矩形对角线的长为___________.【例7】如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E.ED=5，EC=3，求矩形的周长及对角线的长.【例8】如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_______.4.利用矩形对角线性质进行推理证明【例9】如图，在矩形ABCD中，AE∥BD，且交CB的延长线于点E.求证：∠EAB=∠CAB.【例10】如图，在矩形中，对角线相交于点O，且∠CDF=∠BDC，∠DCF=∠ACD.求证：DF=CF .5.矩形性质、勾股定理及方程思想的综合【例11】如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE=______.【例12】如图，将一个边长分别为4，8的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长是__________【例13】如图，矩形纸片ABCD 中，AB 3 cm，BC 4 cm，现将A、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF．重叠部分△AEF 的面积为________．6.直角三角形斜边中线性质的应用【例14】如图四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC中点，EF平分∠BED交BD 于点F. （1）猜想EF与BD具有怎样的关系？（2）证明你的猜想.【例15】如图，BD，CE是的两条高，M，N分别为BC，DE的中点．求证：（1）EM=DM；（2）MN⊥DE.二．矩形的判定7. 矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

新北师大版数学九年级上第一章特殊平行四边形复习第一章 ppt课件

菱形新北师大版数学九年级上第一章特殊平是________．行四边形复习第一章
┃知识归纳┃
[总结] 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是__菱__形____；
顺次连接对角线互相垂直的四边形四
边中点所得的四边形是__矩__形____．
顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是正__方__形___.
┃考点攻略┃ ► 考点二和矩形有关的折叠计算问题例2 如图, 将矩形ABCD沿直线AE折叠, 顶点D恰好落在BC边上的F点处.已知CE=3 cm, AB=8 cm，求图中阴影部分的面积．
[解析] 要求阴影部分的面积，由于阴影部分由两个直角三角形构成，所以只要根据勾股定理求出直角三角形的直角边即可．
新北师大版数学九年级上第一章特殊平行四边形复习第一章
┃考点攻略┃
► 考点一菱形的性质和判定
例1 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, 点E, F 分别为边AB, AD的中点, 连接 EF, OE, OF. 求证: 四边形AEOF是菱形．
[解析] 由点E, F分别为边AB, AD的中点, 可知OE∥AD, OF∥AB, 而AE=AF, 故四边形AEOF是菱形. 新北师大版数学九年级上第一章特殊平
新北师大版数学九年级上第一章特殊平行四边形复习第一章
2．菱形的判定方法 (1)有一组邻边相等的___平__行__四__边__形___ 是菱形(定义)； (2)对角线互相垂直的__平__行__四__边__形____ 是菱形； (3)四边相等的____四__边__形_____是菱形．
新北师大版数学九年级上第一章特殊平行四边形复习第一章
新北师大版数学九年级上册期末总复习
第一章特殊平行四边形复习

数学北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形复习教案

第一章特殊平行四边形教学目标：(一)知识目标：复习三种特殊平行四边形的性质及判定，及理解他们之间的关系.(二)过程与方法：(1)经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．(2)经历课前准备总结，探索三种特殊平行四边形的关系，发展总结归纳能力和初步的演绎推理的能力；(3)在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高学生的能力.(三)情感、态度、价值观：(1)积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．(2)通过“猜想—总结—证明—应用“的数学活动提升科学素养.教学重点：三种特殊平行四边形性质和判定的复习；三种特殊平行四边形的关系.教学难点：总结关系方法的多样性和系统性.教法学法：归纳法、练习法教学准备：多媒体课件教学过程：一、归纳本章主要内容1、特殊平行四边形(菱形、矩形、正方形)的定义、性质与判定；2、三角形中位线、直角三角形斜边上的中线定理.二、复习具体知识点（一）性质填表：性质边角对角线图形平行四边形矩形菱形正方形(二)判定填表：(三)三角形中位线性质定理：；(四)直角三角形斜边上中线定理： .三、出示例题，总结方法例1：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．12例2.已知：如图在正方形ABCD中，F为CD延长线上的一点，CE⊥AF 于E，交AD于M.求证：∠MFD=45°四、课堂练习1．（2016•益阳）下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形2．（2016•贵州）下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形3．（2016•攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分4．（2016•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED 的面积（）A．2B．4 C．4D．85．（2016•广东）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A ．B．2C ．+1 D．2+16、如图6，矩形ABCD中，对角线AC=23，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B’处，则AB= ；7.矩形折叠问题：如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由.(1)若AB=4，BD=8，求AF；(2)若对折使C在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长.五、课堂总结通过本节课的学习你有哪些收获？六、布置作业课本P26——27复习题.FE。

北师大版数学九年级上册第一章《特殊平行四边形》复习课课件

一组邻边相等对角线垂直一个角是直角三个角是直角
对角线相等一个角是直角对角线相等
四条边相等一组邻边相等
一个角是直角且一组邻边相等
归纳总结
分类四边形
2. 矩形、菱形、正方形的性质
对边
角
对角线
对称性
矩形菱形
平行且相等
四个角都是直角
平行且对角相等四边相等邻角互补
平行且
四个角
四边相等都是直角
平行且对角相等四边相等邻角互补
平行且
四个角
四边相等都是直角
互相平分且相等
中心对称图形轴对称图形
互相垂直平分
且每一条对角线平分一组对角
中心对称图形轴对称图形
互相垂直平分且相等，每一条对角线
平分一组对角
中心对称图形轴对称图形
基础练习
1. 已知：△ABC的两条高分别为BE，CF，点M为BC的中点. 求证：ME=MF.
O C
归纳总结
3. 其他性质：四边形的中点四边形与原四边形的对角线有关
(1)当对角线不相等不垂直时，中点四边形是平行四边形 (2)当对角线相等时，中点四边形是菱形 (3)当对角线垂直时，中点四边形是矩形 (4)当对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形
归纳总结
3. 其他性质：
等腰三角形、等边三角形的性质含30°角的直角三角形的三边关系、等腰直角三角形的三边关系
A
E B
D F
C
典例精析
例1 如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E，F，连接DE，DF. (1)试判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论； (2)若AE=5，AD=8，求EF的长； (3)△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由.

北师大版九年级上册数学学案-第一章特殊平行四边形-复习讲义-无答案

平行四边形、矩形、菱形、正方形复习总结【知识要点】【典型例题】一般平行四边形特殊平行四边形矩形菱形正方形图形定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形有一个角是直角的平行四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形性质① 边：对边平行且相等 ② 角：对角相等，邻角互补 ③对角线：对角线互相平分除具有平行四边形的性质外，还有①角：四个角都是直角 ②对角线：对角线相等,且互相平分除具有平行四边形的性质外，还有 ①边：四条边相等 ②对角线：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角具有矩形、菱形的所有性质（正方形=矩形+菱形） ①边：四条边相等 ②角：四个角是直角 ③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；判定边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形角：①有一个角是直角的平行四边形是矩形②有三个角是直角的四边形是矩形对角线:③对角线相等的平行四边形是矩形边：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②四边都相等的四边形是菱形对角线：③对角线互相垂直的平行四边形是菱形①对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形②有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是菱形③有一组邻边相等的矩形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形 ⑤有一个角是直角的菱形是正方形 ⑥对角线相等的菱形是正方形面积S=ah(a 为一边长，h 为这条边上的高)S=ab(a 为一边长，b 为另一边长) ①S=ah(a 为一边长，h 为这条边上的高)；②(b 、c 为两条对角线的长)①(a 为边长)；②(b 为对角线长)对称性中心对称图形，对称中线是两条对角线的交点既是中心对称图形（两条对角线的交点是对称中心），又是轴对称图形有2条对称轴，它们分别是过两组对边中点的直线有2条对称轴，对称轴是两条对角线所在的直线有4条对称轴，其中2条是过两组对边中点的直线，另外2条是两条对角线所在的直线四边中线连线平行四边形（任何四边形四边中点的连线都是一个平行四边形）菱形矩形正方形例1、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。

九年级数学上册第一章特殊平行四边形本章复习教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级上册

第一章特殊平行四边形【知识与技能】熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形的性质及判定定理，并运用它们进行有关的证明和计算.【过程与方法】引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想.【情感态度】在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到解决平行四边形问题的一般方法.【教学重点】使学生能熟练地运用平行四边形的性质、判定定理.【教学难点】构造平行四边形解决问题.一、知识结构二、释疑解惑，加深理解1.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.2.菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形.3.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.4.矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.5.正方形的性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等且互相垂直平分.6.正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形叫做正方形.【教学说明】让学生对知识进行回忆，进一步体会特殊平行四边形的性质、判定.三、典例精析，复习新知1.矩形的一条较短边的长为5cm，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于 10 cm.°，边长是20cm，则较长的对角线是203cm.3.如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE=15度.4.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个大小完全一样的小矩形，则矩形ABCD的面积为（C）解析：设小矩形的长、宽分别为x、y，根据周长为68的矩形ABCD，可以列出方程3x+y=34；根据图示可以列出方程2x=5y，联立两个方程组成方程组，解方程组就可以求出矩形ABCD 的面积.设小矩形的长、宽分别为x、y，依题意得33425x yx y+==⎧⎨⎩，解之得104 xy==⎧⎨⎩∴则矩形ABCD的面积为7×10×4=280.故选C.5.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于点P，则四边形AODP是什么样的特殊四边形，并说明你的理由.分析：由AP∥BD，DP∥AC先判断四边形AODP是平行四边形，再由AO=DO判断四边形AODP为菱形.解：四边形AODP是菱形，理由如下：∵AP∥BD，DP∥AC，∴四边形AODP是平行四边形.又∵矩形的对角线互相平分，得AO=DO，由菱形的判定得四边形AODP为菱形.6.如图所示，有两条笔直的公路BD和EF（宽度不计），从一块矩形的土地ABCD中穿过，已知EF是BD的垂直平分线，BD=40米，EF=30米，求四边形BEDF的面积.分析：连接DE、BF，因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，进而求证DF=BE，再求证FD=FB，即可判定四边形BFDE是菱形，根据菱形面积计算公式即可计算菱形BFDE的面积.解：如图，连接DE、BF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ODF=∠OBE，由EF垂直平分BD，得OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，又BE∥DF，∴∠FDO=∠OBE，∴△DOF≌△BOE，∴DF=BE，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵EF是BD的垂直平分线，∴FD=FB，因此四边形BFDE是菱形，∴S菱形BFDE=12 EF·BD=12×30×40=600（米2）.7.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个矩形色块图的面积.分析：因为矩形内都是正方形，正方形的各边长相等，又有中间小正方形的边长为1，可利用边长之间的关系建立等式.解：由图可知DF-AE=1，AE=BE+1，2CF-DF=1，即DF=AE+1，AE=CF+1+1，DF=CF+3，故2CF-CF-3=1，解得CF=4，∴BE=5，AE=6，∴AB=11，BC=13，S=AB·BC=11×13=143.【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展.四、复习训练，巩固提高1.已知：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB=3∶1，则∠ACE=45度.解析：根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数.然后利用三角形内角和定理求解即可.2.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E= 22.5 度.解析：由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数.3.如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由.（1）四边形ADEF 是什么四边形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形.△ABD ，△EBC 都是等边三角形，容易得到全等条件证明△DBE ≌△ABC ≌△FEC ，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF 是平行四边形.（2）若平行四边形ADEF 是矩形，则∠DAE=90°，然后根据已知可以得到∠BAC=150°. 解：（1）四边形ADEF 是平行四边形.理由：∵△ABD ，△EBC 都是等边三角形.∴AD=BD=AB ，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA.∴∠DBE=∠ABC.在△DBE 和△ABC 中BD BA DBE ABC BE BC =∠==⎪∠⎧⎪⎨⎩，∴△DBE ≌△ABC.∴DE=AC.又∵△ACF 是等边三角形，∴AC=AF.∴DE=AF.同理可证：AD=EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形.（2）若四边形ADEF 是矩形，则∠FAD=90°，∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°.∴∠BAC=150°时，四边形ADEF 是矩形.【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.养成学以致用的好习惯.五、师生互动，课堂小结先小组内交流本节课的收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师进行补充.【教学说明】归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，体验事物之间的联系与区别.布置作业:教材“复习题”中第5、8、12题.通过本节课的复习，归纳矩形、菱形、正方形的性质和判定，使学生体验事物之间的联系与区别.从而加强对新知识的理解与应用.。

2024-2025学年度北师版九上数学-总复习-期末复习课(一)(第一章特殊平行四边形)【课件】

③∵ FG 是△ ACD 的中位线，∴点 G 是 AD 的中点.∴ S△ AOD ＝2 S△ AOG . 易知 S△ AOD ＝ S△ BOE ，∴ S△ BOE
＝2 S△ AOG .故③正确.
④∵ AC ＝6，∴ AF ＝3.设 OA ＝ x .又∵ OF ＋ OA ＝9，∴ OF ＝9－ x .在Rt△ FO 中，根据勾股定理，
∴ OF ∥ BC ， AF ＝ CF ，∴ FG 是△ ACD 的中位线，∴ CD ＝2 GF . 故①正确.
②又∵ OE ＝ OD ，∴ DE 与 AB 互相垂直平分.∴四边形 ADBE 是菱形.∴ AD ＝ BD . 在Rt△ ACD 中，
AD2－ CD2＝ AC2，∴ BD2－ CD2＝ AC2.故②正确.
FO ⊥ AC ，∴∠ BAF ＝∠ FAC ， BF ＝ FO . ∵∠ FAC ＝∠ FCA ，且∠
BAF ＋∠ FAC ＋∠ FCA ＝90°，∴∠ FCA ＝30°.又∵∠ FOC ＝90°，∴ FO
1
2
1
2
＝ CF . ∴ BF ＝ CF . ∴ CF ＝2 BF . 故④正确.
（3）正方形的面积等于边长的平方，也等于对角线乘积的
一半.
6. 直角三角形斜边中线定理.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .
⁠
返回目录
数学九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
数学九年级上册 BS版
类型一菱形的性质与判定
如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， BC ＞ AC ，按以下步骤作图：
得 OA2＝ OF2＋ AF2，∴ x2＝（9－ x ）2＋32.解得 x ＝5.∴ AB ＝10.∴ BC ＝ 2 − 2 ＝8.∵ BD2－

第一章特殊平行四边形小结与复习课件-2023-2024学年北师大版九年级数学上册

(3) 在 (2) 的条件下，△ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 为正方形？
解：当点 O 运动到 AC 的中点，且满足∠ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形．
由 (2) 知四边形 AECF 是矩形，而 MN∥BC，当∠ACB＝90° 时， ∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，即AC⊥EF， ∴ 四边形AECF是正方形．
第一章特殊的平行四边形
小结与复习
复习回顾
特殊四边形的关系
平行四边形
矩形有一个角是直角且邻边相等
菱形
正方形
几种特殊四边形的性质：
边
角
四个角矩形平行且相等
都是直角
对角线
对称性
中心对称图形互相平分且相等
轴对称图形
菱形
平行
对角相等
且四边相等邻角互补
互相垂直平分
中心对称图形轴对称图形
正方平行
解: 由题意，可知 AC＝ EC，∠CAE＝∠AEC．
又∵∠CAE ＋∠AEC ＝ 45°，
D
A
∴∠CAE ＝ 22.5°，
∴∠DAE＝ 22.5.°
解：四边形 ABCD 是菱形. 理由如下：
过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F.
由 AB∥CD，AD∥BC 知四边形 ABCD 是平行四边形.
则 S□ABCD = AD ·CF = AB ·CE. 由题意知 CF = CE，∴ AD = AB.
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
A FD E
考点一菱形的性质和判定
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于
点 O，∠BAD = 60°，BD = 6，求 AB 和 AC 的长.

北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形章末复习(,共15张)

∠MOD＝∠NOB ∴△DMO≌△BNO(ASA)．∴OM＝ON
∵OB＝OD，∴四边形BMDN是平行四边形． ∵MN⊥BD，∴▱BMDN是菱形
章末复习
巩固应用
9．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线
MN与AD相交于点M，与BC相交于
点N，连接BM，DN.
（2）若AB＝4，AD＝8，
求菱形BNDM的周长和对角线MN的长． (2)解：设MD＝MB＝x
（1）四条边都相等；
（2）四角都是直角；
（3）对角线垂直平分且相等．
正方形的判定
（1）矩形＋
邻边相等
⇒正方形
（2）菱形＋一个角是直角 ⇒正方形
章末复习
巩固应用
1.已知菱形的两条对角线的长分别是3 cm，6 cm，则菱形的面积是 9 cm2. 2．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O， AC＝12，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为 3 ．
CD，点M，N，P，Q分别是AD，
BC，BD，AC的中点．
求证：MN与PQ互相垂直平分．
证明：连接MP，PN，MQ，NQ
∵M，P是中点∴MP＝∥12AB.同理NQ ＝∥12 AB
∴MP＝NQ，MP∥NQ，∴四边形MPNQ是平行四边形
又∵PN＝
1 2
CD
AB＝CD
∴PN＝MP，∴▱MPNQ是菱形，∴MN⊥PQ
第一章
特殊平行四边形章末复习
章末复习
章末复习
1
知识归纳 …………….
2 …巩…固…应…用….
章末复习
知识归纳
矩形：不同于一般平行四边形的性质
（1）四个角都是直角；（2）对角线相等．

九年级数学上册第一章特殊平行四边形复习学案1新版北师大版

第一章特殊平行四边形【学习目标】1、掌握并能区分矩形、菱形、正方形的性质与判定（重点）2、矩形、菱形、正方形的性质与判定综合运用.（难点）【学习方案】正方形、平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等四条边都相等对角相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等每条对角线平分一组对角（凡是图形所具有的性质,在表中相应的空格中填上“√”,没有的性质不要填写)矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半1、已知：如图 ,矩形 ABCD,AB长8 cm ,对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE 的长．2、如图,已知矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD 的周长为32cm,求AE的长．3、如图,在□ABCD 中,E 为BC 的中点,连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．(1)求证：AB=CF ；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时,四边形ABFC 是矩形,并说明理由．※4、如图,在□ABCD 中,DE ⊥AB 于E,BM ＝MC ＝DC,求证：∠EMC=3∠BEM.菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形1、已知：如图,四边形ABCD 是菱形,F 是AB 上一点,DF 交AC 于E ．求证：∠AFD=∠CBE ．2、已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．FE DC BAM B DC3、如图,在菱形ABCD 中,∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点,过O 点作OE ⊥AB ,垂足为E ．求线段BE 的长．4、如图,四边形ABCD 是菱形,DE⊥AB 交BA 的延长线于E,DF⊥BC ,交BC 的延长线于F 。

数学北师大版九年级上册九上第一章特殊平行四边形(复习课)

【教材内容分析】
对于《第一章特殊平行四边形》的教材内容研究如下：
一、矩形
探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等。

探索并证明矩形的判定定理：有一个角为直角的平行四边形叫做矩形；三个角是直角的四边形是矩形。

探索矩形的轴对称性、中心对称性。

二、菱形
探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直。

探索并证明菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。

探索菱形的轴对称性、中心对称性。

三、正方形
探索并证明正方形的性质：正方形具有矩形、菱形的一切性质。

探索并证明正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形叫做正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；有一个角为直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。

探索正方形的轴对称性、中心对称性。

对于济南市学业水平考试而言，还要考虑特殊的平行四边形与图形变换、函数、圆相结合的问题，在解决时，常常借助相似、勾股定理、三角函数的工具进行计算求解。

九年级数学上册第一章特殊的平行四边形复习(无答案)(新版)北师大版

特殊的平行四边形【教学目标】知识与技能通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；过程与方法正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；情感、态度与价值观引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。

【教学重难点】教学重点平行四边形与各种特殊平行四边形的区别，梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。

教学难点平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。

【导学过程】【创设情景，引入新课】【自主探究】一菱形的性质与判定1．菱形的性质: ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧轴是轴对称，有两条对称菱形既是中心对称，又一组对角且每一条直线，角线相互对角线：菱形的两条对边：菱形的四条边都四边形的一切性质平行四边形：具有平行2____________________.__________12．菱形的判定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧是矩形的且对角线是矩形的对角线对角线是矩形的有三个角是是矩形的有一个角是角__________________________________________________________________________________._________________________ 为什么菱形的判定定理中没有两组对角的事？二、矩形的性质与判定1．矩形的性质: ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧轴是轴对称，有两条对称矩形既是中心对称，又相等且相互平分对角线：矩形的对角线直角角：矩形的四个角都是行且相等边：矩形的两组对边平四边形的一切性质平行四边形：具有平行212．矩形的判定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧是矩形的且对角线是矩形的对角线对角线是矩形的有三个角是是矩形的有一个角是角__________________________________________________________________________________._________________________ 为什么矩形的判定定理中没有两组对边的事？三、正方形的性质与判定1．正方形的性质: ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧称轴又是轴对称，有四条对正方形既是中心对称，一组对角每一条直线，且对角线相互对角线：正方形的两条，四条边都边：正方形的对边平行四边形的一切性质平行四边形：具有平行2__________________________.__________1 温馨提示：正方形是否具有矩形和菱形的一切性质？2．正方形的判定：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧是正方形且相等的对角线互相平分、垂直是正方形的对角线互相垂直且相等是正方形对角线相等的是正方形对角线互相垂直的对角线是正方形的边：有一组是正方形的角：有一个角是是正方形形的定义：既是矩形又是菱_________________________________________________________________________________________________._______________________________正方形的判定中为什么关于对角线的判定会这么多，请思考？四、平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系温馨提示：请用画图的方法确定四者之间的关系，要有整体的观点来看待！【课堂探究案】 2、基础练习：（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ）A ．对角线相等（距、正） B. 对角线平分一组对角（菱、正） C ．对角线互相平分 D. 对角线互相垂直（菱、正）（2）、正方形具有，矩形也具有的性质是（ A ）A ．对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直 C. 对角线互相垂直且互相平分 D. 对角线互相垂直平分且相等（3）、如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（ D ） A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形都是中心对称图形，A 、B 、C 都是平行四边形（4）、矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ B ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等C. 对边平行且相等D. 内角和为360问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形。

近年九年级数学上册第一章特殊平行四边形复习教案4北师大版(最新整理)

第一章特殊平行四边形【知识考点】一、菱形的性质与判定1．菱形的性质: ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧轴是轴对称，有两条对称菱形既是中心对称，又一组对角且每一条直线，角线相互对角线：菱形的两条对边：菱形的四条边都四边形的一切性质平行四边形：具有平行2____________________.__________1菱形的判定:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧是矩形的且对角线是矩形的对角线对角线是矩形的有三个角是是矩形的有一个角是角__________________________________________________________________________________._________________________温馨提示:为什么菱形的判定定理中没有两组对角的事？二、矩形的性质与判定1．矩形的性质： ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧轴是轴对称，有两条对称矩形既是中心对称，又相等且相互平分对角线：矩形的对角线直角角：矩形的四个角都是行且相等边：矩形的两组对边平四边形的一切性质平行四边形：具有平行21 2．矩形的判定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧是矩形的且对角线是矩形的对角线对角线是矩形的有三个角是是矩形的有一个角是角__________________________________________________________________________________._________________________温馨提示：为什么矩形的判定定理中没有两组对边的事？三、正方形的性质与判定1．正方形的性质: ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧称轴又是轴对称，有四条对正方形既是中心对称，一组对角每一条直线，且对角线相互对角线：正方形的两条，四条边都边：正方形的对边平行四边形的一切性质平行四边形：具有平行2__________________________.__________1 温馨提示:正方形是否具有矩形和菱形的一切性质？2．正方形的判定：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧是正方形且相等的对角线互相平分、垂直是正方形的对角线互相垂直且相等是正方形对角线相等的是正方形对角线互相垂直的对角线是正方形的边：有一组是正方形的角：有一个角是是正方形形的定义：既是矩形又是菱_________________________________________________________________________________________________._______________________________温馨提示:正方形的判定中为什么关于对角线的判定会这么多，请思考？四、平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系温馨提示：请用画图的方法确定四者之间的关系，要有整体的观点来看待！【重点难点】几种特殊的平行四边形的特征及识别方法一览表：边角对角线对称性识别方法对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等中心对称和轴对称①三个角是直角的四边形②一个角是直角的平行四边形③对角线相等的平行四边形对边平行四边相等对角相等互相垂直平分且平分对角中心对称轴对称①四条边相等的四边形②邻边相等的平行四边形③对角线垂直的平行四边形对边平行四边相等四个角都是直角互相垂直平分且相等,平分对角中心对称轴对称①邻边相等的矩形是正方形②一个角是直角的菱形③平行四边形+直角+邻边相等【讲一讲】例1．如图，BD是△ABC中∠ABC的平分线,DE//BC交AB于E，DF//AB交BC于F.试判断四边形BFDE的形状并说明理由。

九年级数学上册第一章特殊平行四边形特殊平行四边形复习 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九

特殊平行四边形基础题知识点1 菱形的性质与判定1．对角线互相垂直平分的四边形是( )A．一般的平行四边形 B．菱形C．矩形 D．正方形2．已知菱形的周长等于40 cm，两对角线的比为3∶4，则对角线的长分别是( )A．3 cm，4 cm B．6 cm，8 cmC．12 cm，16 cm D．24 cm，32 cm3．如图，剪两X对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一X，重合部分构成一个四边形，则下列结论中，不一定成立的是( )A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB＋∠BCD＝180°4．(某某中考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．知识点2 矩形的性质与判定5．矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．四边相等6．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BDD．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD7．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为( )A．6B．3C．2D．18．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO中，且∠ABC＋∠ADC＝180°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？知识点3 正方形的性质与判定9．下列对正方形的描述错误的是( )A．正方形的四个角都是直角B．正方形的对角线互相垂直C．邻边相等的矩形是正方形D．对角线相等的平行四边形是正方形10．下列条件能使菱形ABCD是正方形的有( )①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A．①③ B．②③C．②④ D．①②③11．(某某中考)如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE＝BF.12．已知ABCD为正方形，△AEF为等边三角形，求证：(1)BE＝DF；(2)∠BAE＝15°.中档题13．菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等14．如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为43，则菱形ABCD的周长是( )A．8 2 B．16 2 C．8 3 D．16 315．(某某中考)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．16．正方形ABCD的边长为4，点E是正方形边上的点，AE＝5，BF⊥AE，垂足为点F，求BF的长．17．已知四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点P，若在矩形的上方加一个△DEA，且使DE∥AC，AE∥BD.(1)求证：四边形DEAP是菱形；(2)若AE＝CD，求∠DPC的度数．18．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．(1)求证：四边形MPNQ是菱形；(2)若AB ＝2，BC ＝4，求四边形MPNQ 的面积．19．(某某中考)如图，在平面直角坐标系中，点A(2，n)，B(m ，n)(m ＞2)，D(p ，q)(q ＜n)，点B ，D 在直线y ＝12x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2.求证：四边形ABCD 是矩形．20．(某某中考)如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证平行四边形MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件：______________，MN∥EF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证________________，________________，故只要证∠EMG＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，________________，即可得证．21．如图，矩形A1B1C1D1的边长A1D1＝8，A1B1＝6，顺次连接A1B1C1D1各边的中点得到A2B2C2D2，顺次连接A2B2C2D2各边的中点得到A3B3C3D3，…，依此类推．(1)求四边形A2B2C2D2的边长，并证明四边形A2B2C2D2是菱形；(2)四边形A10B10C10D10是矩形还是菱形？A10B10的长是多少？(第(2)问写出结果即可)基础题1.A2.C3.D4.证明：∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠B ＝180°.∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠BCD ＋∠B ＝180°.∴AB ∥CD.∴四边形ABCD 为平行四边形．∴∠B ＝∠D.∵AM ⊥BC ，AN ⊥DC ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°.∵AM ＝AN ，∴△AMB ≌△AND.∴AB ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形．5.B6.C7.B8.(1)证明：∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴∠ABC ＝∠ADC.∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°.∴四边形ABCD 是矩形．（2）∵∠ADC ＝90°，∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2，∴∠FDC ＝36°.∵DF ⊥AC ，∴∠DCO ＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD 是矩形，∴OC ＝OD.∴∠ODC ＝54°.∴∠BDF ＝∠ODC －∠FDC ＝18°.9.D 10.C11.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCF ＝90°.∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.又∵AE ⊥BF ，∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°.∴∠BAE ＝∠CBF.在△ABE 与△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CBF ，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，∴△ABE ≌△BCF(ASA)．∴AE ＝BF.12.证明：(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D.∵△AEF 为等边三角形，∴AE ＝AF.在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AE ＝AF ， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF(HL)．∴BE ＝DF.（2）由(1)可知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE ＝∠DAF.又∠BAD ＝90°，∠EAF ＝60°，∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°.∴∠BAE ＝15°.中档题 13.C 14.A 15.5.5或0.5 16.由勾股定理得BE ＝AE 2－AB 2＝52－42＝3，∵BF ⊥AE ，∴S △ABE ＝12AE ·BF ＝12AB ·BE ，即12×5×BF ＝12×4×3，解得BF ＝125. 17.(1)证明：∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形DEAP 为平行四边形．∵四边形ABCD 为矩形，∴AP ＝12AC ，DP ＝12BD ，AC ＝BD.∴AP ＝PD.∴四边形DEAP 为菱形．（2）∵四边形DEAP 为菱形，∴AE ＝PD.∵AE ＝CD ，∴PD ＝CD ＝PC.∴△PDC 为等边三角形．∴∠DPC ＝60°. 18(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∴DM ＝BN.又∵DM ∥BN ，∴四边形DMBN 是平行四边形，∴BM ＝DN ，BM ∥DN ，∵P 、Q 分别是BM 、DN 的中点，∴MP ＝NQ.又∵MP ∥NQ ，∴四边形MPNQ 是平行四边形．连接MN.∵AD ∥BC ，AD ＝BC ，M 、N 分别AD 、BC 的中点，∴DM ＝.∴四边形DMNC 是矩形．∴∠DMN ＝∠C ＝90°. ∵Q 是DN 中点，∴MQ ＝NQ.∴四边形MPNQ 是菱形．（2）∵AB ＝2，BC ＝4，M 为AD 中点，Q 为DN 中点，∴平行四边形DMBN 的面积是12×2×4＝4.∴△DMN 的面积是2.∴△MQN 的面积是1. 同理：△MPN 的面积是1，∴四边形MPNQ 的面积是1＋1＝2..19.证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∠BAC ＝∠ACD.又∵BE ＝DE ，∴△ABE ≌△CDE.∴AE ＝CE.∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AB ＝CD ＝4.∴m ＝6.∵点B 在直线y ＝12x ＋1上，∴n ＝4.∴A(2，4)，B(6，4)．∴AB ∥CD ∥x 轴． ∵△AEB 的面积是2，∴ABCD 的面积是8. 又∵CD ＝4，∴ABCD 的高是2.∴q ＝2.把q ＝2代入直线y ＝12x ＋1得p ＝2，∴点D(2，2)．∴点C(6，2)．∴AD ∥BC ∥y 轴．∴四边形ABCD 是矩形． 20.(1)证明：∵EH 平分∠BEF ，FH 平分∠DFE ，∴∠FEH ＝12∠BEF ，∠EFH ＝12∠DFE. ∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠DFE ＝180°.∴∠FEH ＋∠EFH ＝12(∠BEF ＋∠DFE)＝12×180°＝90°. ∵∠FEH ＋∠EFH ＋∠EHF ＝180°，∴∠EHF ＝180°－(∠FEH ＋∠EFH)＝180°－90°＝90°.同理：∠EGF ＝90°.word11 / 11 ∵EG 平分∠AEF ，EH 平分∠BEF ，∴∠FEG ＝12∠AEF ，∠FEH ＝12∠BEF. ∵点A 、E 、B 在同一条直线上，∴∠AEB ＝180°，即∠AEF ＋∠BEF ＝180°.∴∠FEG ＋∠FEH ＝12(∠AEF ＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH ＝90°. ∴四边形EGFH 是矩形．（2）答案不唯一，如：由AB ∥CD ，MN ∥EF ，PQ ∥EF ，易证四边形MNQP 是平行四边形，要证平行四边形MNQP 是菱形，只要证MN ＝NQ ，由已知条件：FG 平分∠CFE ，MN ∥EF ，故只要证GM ＝FQ ，即可证△MGE ≌△QFH ，易证GE ＝FH ，∠GME ＝∠∠MGE ＝∠QFH ，易证∠MGE ＝∠GEF ，∠QFH ＝∠EFH ，∠GEF ＝∠EFH ，即可得证．综合题21.（1）连接A 1C 1，B 1D 1.已知A 1B 1C 1D 1是矩形，∴A 1C 1＝B 1D 1.又A 2，B 2，C 2，D 2是中点，根据三角形中位线性质得：A 2B 2＝C 2D 2＝12A 1C 1，A 2D 2＝B 2C 2＝12B 1D 1， ∴A 2B 2＝C 2D 2＝A 2D 2＝B 2C 2.∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形．在直角三角形A 1B 1C 1中，根据勾股定理得A 1C 1＝A 1B 21＋B 1C 21＝62＋82＝10，∴A 2B 2＝12A 1C 1＝12×10＝5. 所以四边形A 2B 2C 2D 2的边长为5.（2）通过观察分析总结各个图形有如下关系：A n ＋2B n ＋2＋2D n ＋2与A n B n D n 相似，A n ＋2B n ＋2＋2D n ＋2的边长是A n B n D n 边长的一半．例如，A 3B 3C 3D 3的边长是A 1B 1C 1D 1边长的一半，A 4B 4C 4D 4的边长是A 2B 2C 2D 2边长的一半，…因此A 10B 10C 10D 10的边长是A 2B 2C 2D 2的(12)4＝116，所以A 10B 10C 10D 10也是菱形，A 10B 10＝A 2B 216＝516.。

北师大版九年级上册《特殊的平行四边形》综合复习讲义

（1）四边______；（2）四个角都是_______；（3）对角线______且互相______、______，并且每条对角线_______一组对角。

8、正方形的判定：（1）一组_______相等的矩形；（2）有一个角是_______的菱形。

9、平行四边形：S=2×（错误!未找到引用源。

×底×高）=底×高；矩形：S=长×宽；菱形：1212S l l =⋅（12l l 、是菱形对角线）正方形：S=边长2 错题重现1．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点(不与点A 重合)，延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD ，AN .(1)求证：四边形AMDN 是平行四边形； (2)填空：①当AM 的值为___ _时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为__ _时，四边形AMDN 是菱形．2．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，点P ，Q 分别是AB ，AC 上的动点，且满足BP ＝AQ ，点D 是BC 的中点．(1)求证：△PDQ 是等腰直角三角形；(2)当点P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形，并说明理由．知识详解多边形与特殊的四边形考点一：多边形的有关概念（重点）例1：（1）一个多边形的内角和等于它的外角和，那么这个多边形是边形；（2）一个多边形的每个外角都是300，则这个多边形是边形；（3）多边形边数增加一条，则它的内角和增加度，外角和。

考点二：平行四边形的性质和判定（重点）例2：在周长为20cm 的平行四边形ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为( )A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、10cm 练习1：（2011浙江）如图，在 ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是 .H F EDCBA考点三：矩形、菱形的性质与判定（重点）例3：（2012宁夏）如图,在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ,DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA =1∶2，且AC =10，则DE 的长度是．练习2：（2011内蒙古）如图，已知矩形ABCD ，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N ，则 M + N 不可能是（）A 、3600B 、5400C 、7200D 、6300练习3：（2008湖北）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证：EO=FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明例4：（2012山西）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（） A 、 B 、 C 、 D 、练习4：（2012临沂）如图，点A ．F 、C ．D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB=DE ，∠A=∠D ，AF=DC ．（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形，（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF 为何值时，四边形BCEF 是菱形．例3图例2图练习1图练习2图练习5：下列命题正确的是（）A 、对角线互相平分的四边形是菱形；B 、对角线互相平分且相等的四边形是菱形C 、对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；D 、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形练习6：（2011江苏）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB=CD ，AD=BC ；③AO=CO ，BO=DO ；④AB ∥CD ，AD=BC 。