2019年高考数学文科第二轮专题:三角恒等变换与解三角形(仿真押题)

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(新课标)高考数学二轮复习 专题一 三角函数与解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形学案 理 新人

(新课标)高考数学二轮复习 专题一 三角函数与解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形学案 理 新人

第2讲 三角恒等变换与解三角形[做真题]题型一 三角恒等变换1.(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( )A .15 B .55C .33D .255解析:选B .由2sin 2α=cos 2α+1,得4sin αcos α=1-2 sin 2α+1,即2sin αcosα=1-sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,所以cos α=1-sin 2α,所以2sin α1-sin 2α=1-sin 2α,解得sin α=55,故选B . 2.(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α=13,则cos 2α=( )A .89 B .79 C .-79D .-89解析:选B .cos 2α=1-2sin 2α=1-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132=79.3.(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=35,则sin 2α=( )A .725 B .15 C .-15D .-725解析:选D .因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=cos π4cos α+sin π4sin α=22(sin α+cos α)=35,所以sin α+cos α=325,所以1+sin 2α=1825,所以sin 2α=-725,故选D .题型二 三角形中的边角计算问题1.(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos C 2=55,BC =1,AC =5,则AB =( )A .4 2B .30C .29D .2 5解析:选A .因为cos C2=55,所以cos C =2cos 2C 2-1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552-1=-35.于是,在△ABC 中,由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C =52+12-2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫-35=32,所以AB =4 2.故选A .2.(2016·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b =________.解析:因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =6365,由正弦定理b sin B =a sin A ,得b =a sin B sin A =6365×53=2113.答案:21133.(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设(sin B -sinC )2=sin 2A -sin B sin C .(1)求A ;(2)若2a +b =2c ,求sin C .解:(1)由已知得sin 2B +sin 2C -sin 2A =sinB sinC ,故由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc .由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =12.因为0°<A <180°,所以A =60°.(2)由(1)知B =120°-C ,由题设及正弦定理得2sin A +sin (120°-C )=2sin C ,即62+32cos C +12sin C =2sin C ,可得cos(C +60°)=-22. 由于0°<C <120°,所以sin(C +60°)=22, 故sin C =sin(C +60°-60°)=sin(C +60°)cos 60°-cos(C +60°)sin 60° =6+24. 题型三 与三角形面积有关的问题1.(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C =( )A .π2B .π3C .π4D .π6解析:选C .根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C =a 2+b 2-c 24,所以sin C =a 2+b 2-c22ab =cos C ,所以在△ABC 中,C =π4.2.(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若b =6,a =2c ,B =π3,则△ABC 的面积为________.解析:法一:因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =23,所以a =43,所以△ABC 的面积S =12ac sin B =12×43×23×sin π3=6 3. 法二:因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =23,所以a =43,所以a 2=b 2+c 2,所以A =π2,所以△ABC的面积S =12×23×6=6 3.答案:6 33.(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a sinA +C2=b sin A .(1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围. 解:(1)由题设及正弦定理得 sin A sinA +C2=sin B sin A .因为sin A ≠0,所以sinA +C2=sin B .由A +B +C =180°,可得sinA +C2=cos B 2,故cos B 2=2sin B 2cos B2. 因为cos B 2≠0,故sin B 2=12,因此B =60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =34a . 由正弦定理得a =c sin A sin C =sin(120°-C )sin C =32tan C +12. 由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A <90°,0°<C <90°. 由(1)知A +C =120°,所以30°<C <90°,故12<a <2,从而38<S △ABC <32.因此,△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫38,32. [明考情]1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现.2.若无解答题,一般在选择题或填空题各有一题,主要考查三角恒等变换、解三角形,难度一般,一般出现在第4~9题或第13~15题位置上.3.若以解答题形式出现,主要考查三角函数与解三角形的综合问题,一般出现在解答题第17题位置上,难度中等.三角恒等变换与求值[考法全练]1.(2019·高考全国卷Ⅰ)tan 255°=( ) A .-2- 3 B .-2+ 3 C .2- 3D .2+ 3解析:选D .由正切函数的周期性可知,tan 255°=tan (180°+75°)=tan 75°=tan (30°+45°)=33+11-33=2+3,故选D .2.(一题多解)(2019·福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=45,则sin 2α=( )A .15 B .-15C .725D .-725解析:选C .法一:因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=45,所以sin 2α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α-1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452-1=725.故选C .法二:令π4-α=θ,则α=π4-θ,cos θ=45,所以sin 2α=sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-θ=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-2θ=cos 2θ=2cos 2θ-1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452-1=725.故选C .法三:因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4-α=45,所以22(cosα+sin α)=45,所以cos α+sin α=425,平方得1+sin 2α=3225,得sin 2α=725.故选C .3.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,tan α=2,则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=________. 解析:因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,tan α=2, 所以sin α=255,cos α=55,所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=cos αcos π4+sin αsin π4=22×⎝ ⎛⎭⎪⎫255+55=31010. 答案:310104.(2019·江西七校第一次联考)若0<α<π2,-π2<β<0,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=13,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2+π4=33,则cos(2α+β)=________. 解析:因为0<α<π2,所以π4<α+π4<3π4,又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=13,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=223, sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=429, cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4-1=-79. 因为-π2<β<0,所以0<β2+π4<π4,又sin ⎝⎛⎭⎪⎫β2+π4=33,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2+π4=63,sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2+π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2+π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2+π4=223, cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2+π4=1-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2+π4=13. 所以cos(2α+β)=-cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4+2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2+π4=-cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2+π4+sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α+π4·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2+π4=2327.答案:2327三角恒等变换要遵循的“三看”原则一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分;二看“函数名称”,是需进行“切化弦”还是“弦化切”等,从而确定使用的公式;三看“结构特征”,了解变式或化简的方向.三角形的基本量的计算[典型例题]命题角度一 求解三角形中的角(1)(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =a (cos C +33sin C ),a =2,c =263,则角C =( ) A .3π4B .π3C .π6D .π4(2)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b cos C +b sin C =a . ①求角B 的大小;②若BC 边上的高等于14a ,求cos A 的值.【解】 (1)选D .由b =a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C +33sin C ,得sin B =sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C +33sin C . 因为sin B =sin []π-(A +C )=sin(A +C ), 所以sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C +33sin A sin C (sin C ≠0),即cos A =33sin A ,所以tan A = 3.因为0<A <π,所以A =π3.由正弦定理a sin A =c sin C ,得sin C =22.因为0<C <2π3,所以C =π4.故选D .(2)①由b cos C +b sin C =a , 得sin B cos C +sin B sin C =sin A . 因为A +B +C =π,所以sin B cos C +sin B sin C =sin(B +C ),即sin B cos C +sin B sin C =sin B cos C +cos B sin C , 因为sin C ≠0,所以sin B =cos B .因为B ∈(0,π),所以B =π4. ②设BC 边上的高为AD ,则AD =14a .因为B =π4,所以BD =AD =14a ,所以CD =34a ,所以AC =AD 2+DC 2=104a ,AB =24a . 由余弦定理得cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =-55.利用正、余弦定理求三角形角的方法(1)已知两边及其夹角,先由余弦定理求第三边,再由正弦定理求角. (2)已知三边,直接由余弦定理求角.(3)已知两边及其中一边的对角,先由正弦定理求另一边的对角,再由三角形内角和求第三角.[技能] 利用正、余弦定理求角时的两个失分点:(1)已知两边及其中一边的对角求其他角时,有一解、两解的情况,容易把握不准而出错;(2)在变形时,直接两边约去公因式,没有移项后提公因式,产生漏解.命题角度二 求解三角形中的边与面积如图所示,在△ABC 中,点D 为BC 边上一点,且BD =1,E 为AC 的中点,AE =32,cos B =277,∠ADB =2π3.(1)求AD 的长; (2)求△ADE 的面积.【解】 (1)在△ABD 中,因为cos B =277,B ∈(0,π),所以sin B =1-cos 2B =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫2772=217,所以sin ∠BAD =sin(B +∠ADB )=217×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+277×32=2114. 由正弦定理知AD sin B =BD sin ∠BAD ,得AD =BD ·sin Bsin ∠BAD=1×2172114=2.(2)由(1)知AD =2,依题意得AC =2AE =3,在△ACD 中,由余弦定理得AC 2=AD 2+DC 2-2AD ·DC cos ∠ADC ,即9=4+DC 2-2×2×DC cos π3,所以DC 2-2DC -5=0,解得DC =1+6(负值舍去),所以S △ACD =12AD ·DC sin ∠ADC =12×2×(1+6)×32=3+322,从而S △ADE =12S △ACD =3+324.利用余弦定理求边,一般是已知三角形的两边及其夹角.利用正弦定理求边,必须知道两角及其中一边,如该边为其中一角的对边,要注意解的多样性与合理性.而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解.[技能] 三角形的面积主要是利用S =12ab sin C 求解,有时可以直接利用余弦定理求出ab 的整体值再求面积,而不必分别求出a ,b 的值.[对点训练]1.(一题多解)(2019·广州市综合检测一)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 已知c cos B =(3a -b )cos C .(1)求sin C 的值;(2)若c =26,b -a =2,求△ABC 的面积. 解:(1)法一:因为c cos B =(3a -b )cos C ,所以由正弦定理得sin C cos B =(3sin A -sin B )cos C , 即sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos C , 所以sin(B +C )=3sin A cos C ,由于A +B +C =π,所以sin(B +C )=sin (π-A )=sin A , 则sin A =3sin A cos C .因为0<A <π,所以sin A ≠0,cos C =13.因为0<C <π,所以sin C =1-cos 2C =223.法二:因为c cos B =(3a -b )cos C ,所以由余弦定理得c ×a 2+c 2-b 22ac =(3a -b )×a 2+b 2-c 22ab,化简得a 2+b 2-c 2=23ab ,所以cos C =a 2+b 2-c 22ab =23ab2ab =13.因为0<C <π,所以sin C =1-cos 2C =223.(2)法一:由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 及c =26,cos C =13,得a 2+b 2-23ab =24,即(a -b )2+43ab =24.因为b -a =2,所以ab =15.所以△ABC 的面积S =12ab sin C =12×15×223=5 2.法二:由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 及c =26,cos C =13,得a 2+b 2-23ab =24.又b -a =2, 所以a =3,b =5.所以△ABC 的面积S =12ab sin C =12×15×223=5 2.2.(2019·郑州市第一次质量预测)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为S ,且满足sin B =b 24S.(1)求sin A sin C ;(2)若4cos A cos C =3,b =15,求△ABC 的周长.解:(1)由三角形的面积公式可得S =12bc sin A ,又sin B =b 24S,所以2bc sin A sin B =b 2,即2c sin A sin B =b ,由正弦定理可得2sin C sin A sin B =sin B , 因为sin B ≠0,所以sin A sin C =12.(2)因为4cos A cos C =3,所以cos A cos C =34,所以cos A cos C -sin A sin C =34-12=14,即cos(A +C )=14,所以cos B =-14,因为0<B <π,所以sin B =154, 因为a sin A =b sin B =c sin C =15154=4,所以sin A sin C =ac 16=12,所以ac =8,因为b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac -2ac cos B , 所以(a +c )2=15+12=27,所以a +c =3 3. 所以△ABC 的周长为a +b +c =33+15.解三角形的综合问题[典型例题]命题角度一 以平面几何为载体的解三角形问题(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图,在平面四边形ABCD 中,∠ABC 为锐角,AD⊥BD ,AC 平分∠BAD ,BC =23,BD =3+6,△BCD 的面积S =3(2+3)2.(1)求CD ; (2)求∠ABC .【解】 (1)在△BCD 中,S =12BD ·BC ·sin ∠CBD =3(2+3)2,因为BC =23,BD =3+6, 所以sin ∠CBD =12.因为∠ABC 为锐角,所以∠CBD =30°.在△BCD 中,由余弦定理得CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos ∠CBD =(23)2+(3+6)2-2×23×(3+6)×32=9,所以CD =3. (2)在△BCD 中,由正弦定理得BC sin ∠BDC =CDsin ∠CBD ,即23sin ∠BDC =3sin 30°,解得sin ∠BDC =33.因为BC <BD ,所以∠BDC 为锐角,所以cos ∠BDC =63. 在△ACD 中,由正弦定理得AC sin ∠ADC =CDsin ∠CAD ,即ACcos ∠BDC =3sin ∠CAD.①在△ABC 中,由正弦定理得AC sin ∠ABC =BCsin ∠BAC ,即ACsin ∠ABC =23sin ∠BAC.②因为AC 平分∠BAD ,所以∠CAD =∠BAC . 由①②得sin ∠ABC cos ∠BDC =323,解得sin ∠ABC =22.因为∠ABC 为锐角,所以∠ABC =45°.解决以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分利用平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时,从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化到三角形中去求解;四是通过三角形中的不等关系(如大边对大角,最大角一定大于等于π3)确定角或边的范围.命题角度二 三角形中的最值或范围问题(1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,外接圆的半径为1,且tan Atan B=2c -bb,则△ABC 面积的最大值为________.(2)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且(a 2+b 2-c 2)(a cos B +b cos A )=abc ,若a +b =2,则c 的取值范围为________.【解析】 (1)因为tan A tan B =2c -b b ,所以b sin A cos A =(2c -b )sin Bcos B,由正弦定理得sin B sinA cosB =(2sinC -sin B )sin B cos A ,又sin B ≠0,所以sin A cos B =(2sin C -sin B )cos A ,所以sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos A ,即sin(A +B )=2sin C cos A ,即sin C =2sin C cos A ,又sin C ≠0,所以cos A =12,sin A =32.设外接圆的半径为r ,则r =1,由余弦定理得bc =b 2+c 2-a 22cos A=b 2+c 2-a 2=b 2+c 2-(2r sin A )2=b 2+c 2-3≥2bc -3(当且仅当b=c 时,等号成立),所以bc ≤3,所以S △ABC =12bc sin A =34bc ≤334.所以△ABC 面积的最大值为334.(2)由sin A cos B +sin B cos A =sin(A +B )=sin C 及正弦定理,可知a cos B +b cos A =c ,则由(a 2+b 2-c 2)(a cos B +b cos A )=abc ,得a 2+b 2-c 2=ab ,由余弦定理可得cos C =12,则C =π3,B =2π3-A , 由正弦定理asin A=bsin B=csin C,得asin A=bsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-A =csinπ3,又a +b =2,所以c sin A32+c sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3-A 32=2,即c =3sin A +sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-A =1sin ⎝⎛⎭⎪⎫A +π6,因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,2π3,所以A +π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,5π6,sin ⎝⎛⎭⎪⎫A +π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1,则c ∈[1,2).【答案】 (1)334(2)[1,2)解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法:一是利用基本不等式求得最大值或最小值;二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式,结合角的范围确定所求式的范围.[对点训练]1.(2019·重庆市七校联合考试)如图,在平面四边形ABCD 中,E 为AB 边上一点,连接CE ,DE .CB =2,BE =1,∠B =∠CED =2π3.(1)求sin ∠AED 的值; (2)若AB ∥CD ,求CD 的长.解:(1)在△BEC 中,由余弦定理得,CE =CB 2+BE 2-2CB ·BE cos ∠B =7, 又BEsin ∠BCE =CE sin ∠B ,所以sin ∠BCE =2114,因为∠B =∠CED ,所以sin ∠AED =sin ∠BCE =2114. (2)因为AB ∥CD ,所以∠CDE =∠AED , 所以sin ∠CDE =sin ∠AED =2114, 在△CDE 中,CD sin ∠CED =CE sin ∠CDE ,所以CD =CE sin ∠CEDsin ∠CDE=7×322114=7.2.(2019·福建五校第二次联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且3a cosC =(2b -3c )cos A .(1)求角A 的大小;(2)若a =2,求△ABC 面积的最大值.解:(1)由正弦定理可得,3sin A cos C =2sin B cos A -3sin C cos A , 从而3sin(A +C )=2sin B cos A ,即3sin B =2sin B cos A . 又B 为三角形的内角,所以sin B ≠0,于是cos A =32,又A 为三角形的内角,所以A =π6.(2)由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得4=b 2+c 2-2bc ×32≥2bc -3bc ,所以bc ≤4(2+3),所以S △ABC =12bc sin A ≤2+3,故△ABC 面积的最大值为2+ 3.[A 组 夯基保分专练]一、选择题1.(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )=23sin x cos x +2cos 2x +1,则( ) A .f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B .f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C .f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D .f (x )的最小正周期为2π,最大值为4解析:选B .f (x )=23sin x cos x +2cos 2x +1=3sin 2x +cos 2x +2=2sin(2x +π6)+2,则f (x )的最小正周期为2π2=π,最大值为2+2=4.故选B .2.(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则bc=( )A .6B .5C .4D .3解析:选A .由题意及正弦定理得,b 2-a 2=-4c 2,所以由余弦定理得,cos A =b 2+c 2-a 22bc=-3c 22bc =-14,得b c=6.故选A . 3.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若c =2a ,b sin B -a sin A =12a sinC ,则sin B 为( )A .74 B .34 C .73D .13解析:选A .由b sin B -a sin A =12a sin C ,且c =2a ,得b =2a ,因为cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-2a 24a 2=34, 所以sin B =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫342=74.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等比数列,且a 2=c 2+ac -bc ,则cb sin B=( )A .32 B .233C .33D . 3解析:选B .由a ,b ,c 成等比数列得b 2=ac ,则有a 2=c 2+b 2-bc ,由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc =bc 2bc =12,故A =π3,对于b 2=ac ,由正弦定理得,sin 2B =sin A sinC =32·sinC ,由正弦定理得,c b sin B =sin C sin 2B =sin C 32sin C=233.故选B . 5.(一题多解)在△ABC 中,已知AB =2,AC =5,tan ∠BAC =-3,则BC 边上的高等于( )A .1B . 2C . 3D .2解析:选A .法一:因为tan ∠BAC =-3,所以sin ∠BAC =310,cos ∠BAC =-110.由余弦定理,得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB ·cos ∠BAC =5+2-2×5×2×⎝⎛⎭⎪⎫-110=9,所以BC =3,所以S △ABC =12AB ·AC sin ∠BAC =12×2×5×310=32,所以BC 边上的高h =2S △ABCBC =2×323=1,故选A .法二:因为tan ∠BAC =-3,所以cos ∠BAC =-110<0,则∠BAC 为钝角,因此BC 边上的高小于2,故选A .6.如图,在△ABC 中,∠C =π3,BC =4,点D 在边AC 上,AD =DB ,DE ⊥AB ,E 为垂足.若DE =22,则cos A 等于( )A .223B .24 C .64D .63解析:选C .依题意得,BD =AD =DE sin A =22sin A ,∠BDC =∠ABD +∠A =2∠A .在△BCD 中,BCsin ∠BDC=BDsin C ,4sin 2A =22sin A ×23=423sin A ,即42sin A cos A =423sin A,由此解得cos A =64. 二、填空题7.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=14,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+2α=________. 解析:依题意得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3+2α=-cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+2α=-cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α-1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142-1=-78.答案:-788.已知a ,b ,c 是△ABC 中角A ,B ,C 的对边,a =4,b ∈(4,6),sin 2A =sin C ,则c 的取值范围为________.解析:由4sin A =c sin C ,得4sin A =csin 2A ,所以c =8cos A ,因为16=b 2+c 2-2bc cos A ,所以16-b 2=64cos 2A -16b cos 2A ,又b ≠4,所以cos 2A =16-b 264-16b =(4-b )(4+b )16(4-b )=4+b16,所以c 2=64cos 2A =64×4+b 16=16+4b .因为b ∈(4,6),所以32<c 2<40,所以42<c <210.答案:(42,210)9.(一题多解)(2019·合肥市第一次质检测)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c 成等比数列,cos(A -C )-cos B =12,延长BC 至点D ,若BD =2,则△ACD 面积的最大值为________.解析:法一:由题意知b 2=ac ,由正弦定理得sin 2B =sin A sinC ①,又由已知,得cos(A -C )+cos(A +C )=12,可得cos A cos C =14 ②,②-①,得14-sin 2B =-cos B ,所以cos 2B+cos B -34=0,解得cos B =12或cos B =-32(舍去),所以B =60°,再由题得cos(A -C )=1,则A -C =0,即A =C ,则a =c ,所以△ABC 为正三角形,则∠ACD =120°,AC =b ,CD =2-b ,故S △ACD =12×b ×(2-b )×32≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫b +2-b 22=34,当且仅当b =2-b ,即b =1时取等号.故填34. 法二:由题意知b 2=ac ,且cos(A -C )+cos(A +C )=12,即cos A cos C +sin A sin C +cos A cos C -sin A sin C =12,即cos A cos C =14,由余弦定理得b 2+c 2-a 22bc ·b 2+a 2-c 22ab =14,整理得b 4-(a 2-c 2)2=b 4,所以a 2-c 2=0,即a =c ,又b 2=ac ,所以a =b =c ,即△ABC 为正三角形,所以S △ACD =S △ABD -S △ABC =12×2×c ×32-34c 2=-34(c -1)2+34≤34,当c =1时取等号,故填34. 答案:34三、解答题10.(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a 2+c 2-b 2=ab cos A +a 2cos B .(1)求角B ;(2)若b =27,tan C =32,求△ABC 的面积. 解:(1)因为a 2+c 2-b 2=ab cos A +a 2cos B ,所以由余弦定理,得2ac cos B =ab cos A +a 2cos B ,又a ≠0,所以2c cos B =b cos A +a cos B ,由正弦定理,得 2sin C cos B =sin B cos A +sin A cos B =sin(A +B )=sin C , 又C ∈(0,π),sin C >0,所以cos B =12.因为B ∈(0,π),所以B =π3. (2)由tan C =32,C ∈(0,π),得sin C =217,cos C =277, 所以sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C =32×277+12×217=32114. 由正弦定理a sin A =b sin B ,得a =b sin Asin B =27×3211432=6,所以△ABC 的面积为12ab sin C =12×6×27×217=6 3.11.(2019·武汉模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,A =2B ,cos B =255. (1)求sin C 的值;(2)若角A 的平分线AD 的长为5,求b 的值. 解:(1)由cos B =255及0<B <π,得sin B =55,又A =2B ,所以sin A =sin 2B =2sin B cos B =2×55×255=45, cos A =cos 2B =2cos 2B -1=35.故sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =45×255+35×55=11525.(2)由题意得,∠ADC =B +12∠BAC =∠BAC (如图),所以sin ∠ADC =45.在△ADC 中,AD sin C =ACsin ∠ADC ,即511525=AC 45,AC =2011,故b =2011.12.(2019·高考天津卷)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知b +c =2a ,3c sin B =4a sin C .(1)求cos B 的值; (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B +π6的值. 解:(1)在△ABC 中,由正弦定理b sin B =csin C,得b sin C =c sin B ,又由3c sin B =4a sinC ,得3b sin C =4a sin C ,即3b =4a .又因为b +c =2a ,得到b =43a ,c =23a .由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+49a 2-169a 22·a ·23a=-14.(2)由(1)可得sin B =1-cos 2B =154, 从而sin 2B =2sin B cos B =-158,cos 2B =cos 2B -sin 2B =-78, 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B +π6=sin 2B cos π6+cos 2B sin π6=-158×32-78×12=-35+716.[B 组 大题增分专练]1.(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a (sinA -sinB )=(c -b )(sinC +sin B ).(1)求角C ;(2)若c =7,△ABC 的面积为332,求△ABC 的周长.解:(1)由a (sin A -sin B )=(c -b )(sin C +sin B )及正弦定理,得a (a -b )=(c -b )(c +b ),即a 2+b 2-c 2=ab .所以cos C =a 2+b 2-c 22ab =12,又C ∈(0,π),所以C =π3.(2)由(1)知a 2+b 2-c 2=ab ,所以(a +b )2-3ab =c 2=7, 又S =12ab sin C =34ab =332,所以ab =6,所以(a +b )2=7+3ab =25,a +b =5.所以△ABC 的周长为a +b +c =5+7. 2.(一题多解)(2019·福州模拟)如图,在△ABC 中,M 是边BC 的中点,cos ∠BAM =5714,cos ∠AMC =-277.(1)求∠B 的大小;(2)若AM =21,求△AMC 的面积.解:(1)由cos ∠BAM =5714, 得sin ∠BAM =2114, 由cos ∠AMC =-277,得sin ∠AMC =217. 又∠AMC =∠BAM +∠B ,所以cos ∠B =cos (∠AMC -∠BAM )=cos∠AMC cos ∠BAM +sin ∠AMC sin ∠BAM=-277×5714+217×2114=-12, 又∠B ∈(0,π),所以∠B =2π3. (2)法一:由(1)知∠B =2π3, 在△ABM 中,由正弦定理AM sin ∠B =BM sin ∠BAM, 得BM =AM sin ∠BAM sin ∠B =21×211432= 3.因为M 是边BC 的中点,所以MC = 3.故S △AMC =12AM ·MC ·sin ∠AMC =12×21×3×217=332. 法二:由(1)知∠B =2π3, 在△ABM 中,由正弦定理AM sin ∠B =BM sin ∠BAM, 得BM =AM sin ∠BAM sin ∠B =21×211432= 3.因为M 是边BC 的中点,所以S △AMC =S △ABM ,所以S △AMC =S △ABM =12AM ·BM ·sin ∠BMA =12×21×3×217=332. 3.(2019·昆明市质量检测)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知2(c -a cos B )=3b .(1)求角A ;(2)若a =2,求△ABC 面积的取值范围.解:(1)由2(c -a cos B )=3b 及正弦定理得2(sin C -sin A cos B )=3sin B , 所以2sin(A +B )-2sin A cos B =3sin B ,即2cos A sin B =3sin B , 因为sin B ≠0,所以cos A =32,又0<A <π,所以A =π6. (2)因为a =2,由正弦定理得b =4sin B ,c =4sin C ,所以S △ABC =12bc sin A =14bc , 所以S △ABC =4sin B sin C ,因为C =π-(A +B )=5π6-B ,所以sin C =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6-B , 所以S △ABC =4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6-B =4sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos B +32sin B , 即S △ABC =2sin B cos B +23sin 2B=sin 2B -3cos 2B + 3 =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B -π3+ 3. 因为0<B <5π6,所以-π3<2B -π3<4π3,所以-32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B -π3≤1, 所以0<S △ABC ≤2+ 3.即△ABC 面积的取值范围为(0,2+3].4.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,AB 边上的高h =23c . (1)若△ABC 为锐角三角形,且cos A =35,求角C 的正弦值; (2)若C =π4,M =a 2+b 2+13c 2ab ,求M 的值. 解:(1)作CD ⊥AB ,垂足为D ,因为△ABC 为锐角三角形,且cos A =35, 所以sin A =45,tan A =43, 所以AD =c 2,BD =AB -AD =c 2, 所以BC =CD 2+BD 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫23c 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22=5c 6, 由正弦定理得sin ∠ACB =AB sin A BC =c ×455c 6=2425. (2)因为S △ABC =12c ×23c =12ab sin ∠ACB =24ab , 所以c 2=324ab , 又a 2+b 2-c 2=2ab cos ∠ACB =2ab ,所以a 2+b 2=2ab +c 2,所以a 2+b 2+13c 2=2ab +43c 2=2ab +43×324ab =22ab , 所以M =a 2+b 2+13c 2ab =22ab ab =2 2.。

2019届高考数学文科二轮分类突破:第二篇考点一 考查角度2三角恒等变换与解三角形的综合应用 Word版含解析

2019届高考数学文科二轮分类突破:第二篇考点一 考查角度2三角恒等变换与解三角形的综合应用 Word版含解析

考查角度2三角恒等变换与解三角形的综合应用分类透析一三角恒等变换及应用在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos-的值.先利用同角三角函数关系式求出sin B,再用正弦定理求.(2)先利用A+B+C=π和两角和公式求出cos A,再求出sin A,最后用两角差公式求解.因为cos B=,0<B<π,所以sinB=-=-=.由正弦定理知=,所以AB===5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C).所以cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos B cos+sin B sin.又cos B=,sin B=,所以cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A=-=,故cos-=cos A cos+sin A sin=-×+×=-.解三角形时通常要利用三角恒等变换公式来处理:(1)A=π-(B+C),然后利用诱导公式处理;(2)已知三角形其中两个角的三角函数值,求第三个角的三角函数值时,利用同角三角函数的基本关系和正弦、余弦公式求解;(3)已知三角形内角间的倍角关系时,通常可利用倍角公式来处理.分类透析二利用正弦定理、余弦定理解三角形在如图所示的△ABC中,已知点D在BC的边上,且AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,BD=.(1)求AD的长;cos C.由余弦定理求得关于AD的一元二次方程,进而求出AD(2)先由cos∠BAD求得sin∠BAD,再根据正弦定理求出sin∠ADB,最后利用∠ADB=+∠C的关系求出cos C.解析 (1)因为AD⊥AC,所以sin∠BAC=sin+∠BAD=cos∠BAD,所以cos∠BAD=.在△ABD中,由余弦定理可知,BD2=AB2+AD2-2AB AD cos∠BAD,即AD2-8AD+15=0,解得AD=5或AD=3.由于AB>AD,所以AD=3.(2)在△ABD中,由正弦定理可知=.又由cos∠BAD=,可知sin∠BAD=,所以sin∠ADB==.因为∠ADB=∠DAC+∠C=+∠C,所以cos C=.解三角形的关键是分清所解三角形中的已知元素和未余弦定理,注意角的范围与三角函数符号之间的联系.分类透析三三角恒等变换与解三角形的综合应用在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足-=,D是AC边上的一点.(1)求cos B的值;(2)若AB=2,AD=2DC,BD=,求△ABC的面积.先化简已知等式,再根据角的范围求出cos B.(2)设AD=2DC=2x,利用∠CDB=π-∠ADB和余弦定理建立方程组求出a,再由cos B求出sin B,代入S=ac sin B中,进而求出△ABC的面积.由-=,得3c cos B-a cos B=b cos A,3c cos B=a cos B+b cos A.由正弦定理得3sin C cos B=sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B)=sin C.因为sin C≠0,所以cos B=.(2)设BC=a,AD=2DC=2x,则在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB BC cos∠ABC,即9x2=4+a2-. ①在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=-;在△BDC中,由余弦定理得cos∠CDB=-.因为cos∠CDB=-cos∠ADB,所以3x2-a2=-6. ②由①②,解得a=3.又因为sin∠ABC=-=,所以△ABC的面积为AB BC sin∠ABC=2.一般地,如果条件为含有角的余弦或边的代数式,余弦定理实现边角转化;(2)三角形的面积公式涉及边、角,常和正弦、余弦定理结合起来运用.1.(2018年江苏卷,16改编)已知cos cos-=-,α∈,.(1)求sin 2α的值;(2)求tan α-的值.解析 (1)∵cos cos -=cos+αsin+α= sin=-,∴sin =-. ∵α∈,,∴2α+∈ ,,∴2α+ =,解得2α= .∴sin 2α=sin =.(2)由(1)知sin 2α=,∴cos 2α=-.∴tan α-= - =-=-=-2×-=2 .2.(2018年全国Ⅰ卷,理17改编)如图所示,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= . (1)求cos∠CAD 的值;(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC 的长.在△ADC 中,由余弦定理,得cos∠CAD= - == .(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.∵cos∠CAD=, ∴sin∠CAD= - =. 又cos∠BAD=-,∴sin∠BAD= - =.∴sin α=sin ∠BAD-∠CAD )=sin∠BAD cos∠CAD-cos∠BAD sin∠CAD =× - -× =. 在△ABC 中,由正弦定理,得=, 故BC===3.3.(2017年全国Ⅰ卷,理17改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b cos A=(2c-a)cos B.(1)求角B的大小;(2)若△ABC的面积为3,b=,求△ABC的周长.∵b cos A=(2c-a)cos B,,得sin B cos A=(2sin C-sin A cos B.∴sin A cos B+cos A sin B=2sin C cos B,∴sin(A+B)=2sin C cos B.又A+B+C=π,∴sin(A+B)=sin C.∵sin C≠0,∴cos B=.又B∈ 0,π ,∴B=.(2)由(1)知B=,又b=,∴b2=a2+c2-2ac cos B,即13=a2+c2-ac. ①又S△ABC=ac sin B=3,∴ac=12. ②∴联立①②解得a+c=7.∴△ABC的周长为7+.1.(2018年长郡中学)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a sin B-b cos A=0.(1)求角A的大小.(2)若a=2,b=2,求△ABC的面积.在△ABC中,由正弦定理得sin A sin B-sin B cos A=0,B(sin A-cos A)=0.又B为三角形的内角,sin B≠0,所以sin A-cos A=0,即sin-=0.又A∈ 0,π ,所以A=.(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,将a=2,b=2,cos A=代入,得20=4+c2-4c,即c2-2c-16=0,解得c=-2(舍去)或c=4.所以S△ABC=bc sin A=×2×4×=4.2.(2018年河南郑州高三质检一)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c cos B=2a+b.(1)求角C;(2)若△ABC的面积S=c,求ab的最小值.由正弦定理得2sin C cos B=2sin A+sin B,C cos B=2sin(B+C)+sin B,∴2sin B cos C+sin B=0.∵B为三角形的内角,∴sin B≠0,∴cos C=-.又∵C为三角形的内角,∴C=.(2)∵S=ab sin C=c,∴c=ab.又c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2+ab,∴=a2+b2+ab≥3ab.∴ab≥12.故ab的最小值为12.3.(2018届江西省重点中学协作体联考)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,2a cos B+b=2c,=4.(1)求S△ABC;(2)若D是BC的中点,AD=,求a.∵2a cos B+b=2c,A+B+C=π,A cos B+sin B=2sin C=2sin(A+B)=2sin A cos B+2cos A sin B,整理得sin B=2sin B cos A,又sin B≠0,∴cos A=.∵A∈ 0,π ,∴A=.∵=4,∴bc cos A=4,解得bc=8,∴S△ABC=bc sin A=×8×=2.(2)∵=(+),∴=(+2+),即7=(c2+2×4+b2),化简得b2+c2=20.又∵bc=8,∴a2=b2+c2-2bc cos A=20-2×8×=12.∴a=2 .4.(2018届襄阳调研)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知a sin B=b cos A ,cos B=.(1)求cos C 的值;(2)D 为AB 边上的点,且2AD=BD ,求CD 的长.由a sin B=b cos A 得sin A sin B=sin B cos A. ,C 是△ABC 的内角,∴sin B ≠0,cos A ≠0,∴tan A=1,故A=.由cos B=,得sin B= -=.∴cos C=cos[π-(A+B )]=-cos(A+B ) =-coscos B+sinsin B=.(2)由cos C=,得sin C= -=.由正弦定理得=,解得c=21, ∴BD=c=14.在△BDC 中,CD 2=BC 2+BD 2-2BC BD cosB=152+142-2×15×14×=169,解得CD=13.。

高中数学2轮15 第2部分 专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形

高中数学2轮15 第2部分 专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形 考点1 三角恒等变换1.(2021·新高考卷Ⅰ)若tan θ=-2,则sin θ(1+sin 2θ)sin θ+cos θ=( )A .-65B .-25C .25D .65C [法一:(求值代入法)因为tan θ=-2,所以角θ的终边在第二、四象限,所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ=25cos θ=-15或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ=-25cos θ=15,所以sin θ(1+sin 2θ)sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)2sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θcos θ=45-25=25.故选C .法二:(弦化切法)因为tan θ=-2,所以sin θ(1+sin 2θ)sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)2sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tan θ1+tan 2θ=4-21+4=25.故选C . 法三:(正弦化余弦法)因为tan θ=-2, 所以sin θ=-2cos θ. 则sin θ(1+sin 2θ)sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)2sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=4cos 2θ-2cos 2θ4cos 2θ+cos 2θ=4-21+4=25.故选C .] 2.(2021·全国卷甲)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,tan 2α=cos α2-sin α,则tan α=( )A .1515B .55C .53D .153A [因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,所以tan 2α=2sin αcos α2cos 2α-1=cos α2-sin α⇒2sin α2cos 2α-1=12-sin α⇒2cos 2α-1=4sin α-2sin 2α⇒2sin 2α+2cos 2α-1=4sin α⇒sin α=14⇒tanα=1515.]3.(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3=1,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6=( )A .12 B .33 C .23D .22B [∵sin θ+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3=32sin θ+32cos θ=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6=1,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6=33,故选B .]4.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________.-12 [∵sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,∴sin 2α+cos 2β+2sin αcos β=1①,cos 2α+sin 2β+2cos αsin β=0②,①②两式相加可得sin 2α+cos 2α+sin 2β+cos 2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,∴sin(α+β)=-12.]命题规律:高考常以选择题、填空题的形式考查,分值5分,难度中等. 命题突出一个“变”字,即“变角、变名、变形”.从“角”入手,活用三角恒等变换公式是破解此类问题的关键.通性通法:三角恒等变换的技巧(1) “化异为同”:即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”,其中涉及sin 2α2,cos 2α2时,常逆用二倍角的余弦公式降幂.(2)常见的“变角”技巧:α=(α+β)-β=β-(β-α),α=12[(α+β)+(α-β)],π4+α=π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α,α=π4-⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α等,使用“变角”技巧时,应根据已知条件中的角,选择恰当变角技巧.1.[与三角函数的定义交汇](2021·肇庆二模)已知角α的顶点与坐标原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边与以O 为圆心的单位圆相交于A 点.若A 的横坐标为66,则( )A .sin α=66 B .cos 2α=-23 C .sin 2α=-53D .tan 2α=-52B [由三角函数的定义,可知cos α=66,sin α=±306,则cos 2α=2cos 2α-1=-23,sin 2α,tan 2α均有两解,故选B .]2.[给值求值]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-x =45,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+2x 的值为( )A .2425 B .-2425 C .725D .-725D [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-x =45得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2x =1-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-x =1-2×1625=-725,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+2x =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2x =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2x =-725,故选D .]3.[给值求角]已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,tan α=cos 2β1-sin 2β,则( )A .α+β=π2 B .α-β=π4 C .α+β=π4D .α+2β=π2B [tan α=cos 2β1-sin 2β=cos 2β-sin 2βcos 2β+sin 2β-2sin βcos β =(cos β+sin β)(cos β-sin β)(cos β-sin β)2=cos β+sin βcos β-sin β=1+tan β1-tan β=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+β,因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,所以α=π4+β,即α-β=π4.]4.[给角求值](tan 10°-3)·cos 10°sin 50°=________.-2[(tan 10°-3)·cos 10°sin 50°=(tan 10°-tan 60°)·cos 10°sin 50°=⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°-sin 60°cos 60°·cos 10°sin 50°=sin (-50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°=-1cos 60°=-2.]考点2 利用正、余弦定理解三角形1.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则bc =( )A .6B .5C .4D .3 A [∵a sin A -b sin B =4c sin C ,∴由正弦定理得a 2-b 2=4c 2,即a 2=4c 2+b 2.由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-(4c 2+b 2)2bc =-3c 22bc =-14,∴bc =6.故选A .]2.(2021·全国卷甲)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A ,B ,C 三点,且A ,B ,C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A ′C ′B ′=45°,∠A ′B ′C ′=60°.由C 点测得B 点的仰角为15°,BB ′与CC ′的差为100;由B 点测得A 点的仰角为45°,则A ,C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′-CC ′约为(3≈1.732)( )A .346B .373C .446D .473B [如图所示,根据题意过C 作CE ∥C ′B ′,交BB ′于E ,过B 作BD ∥A ′B ′,交AA ′于D ,则BE =100,C ′B ′=CE =100tan 15°.在△A ′C ′B ′中,∠C ′A ′B ′=75°,则BD =A ′B ′=C ′B ′×sin 45°sin 75°.又在B 点处测得A 点的仰角为45°,所以AD =BD =C ′B ′×sin 45°sin 75°,所以高度差AA ′-CC ′=AD +BE =C ′B ′×sin 45°sin 75°+100=100tan 15°×sin 45°sin 75°+100=100sin 45°sin 15°+100=100×2222×⎝ ⎛⎭⎪⎫32-12+100=100(3+1)+100≈373.]3.(2021·北京高考)已知在△ABC 中,c =2b cos B ,C =2π3.(1)求B的大小;(2)在下列三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯一确定,并求出BC边上的中线的长度.①c=2b;②周长为4+23;③面积为S△ABC =334.[解](1)∵c=2b cos B,则由正弦定理可得sin C=2sin B cos B,∴sin 2B=sin 2π3=32,∵C=2π3,∴B∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π3,2B∈⎝⎛⎭⎪⎫0,2π3,∴2B=π3,解得B=π6.(2)若选择①:由正弦定理结合(1)可得cb =sin Csin B=3212=3,与c=2b矛盾,故这样的△ABC不存在.若选择②:由(1)可得A=π6,设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得a=b=2R sinπ6=R,c=2R sin 2π3=3R,则周长a+b+c=2R+3R=4+23,解得R=2,则a=2,c=23,由余弦定理可得BC边上的中线的长度为:(23)2+12-2×23×1×cos π6=7.若选择③:由(1)可得A=π6,即a=b,则S △ABC =12ab sin C =12a 2×32=334,解得a =3, 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为: b 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22-2×b ×a 2×cos 2π3=3+34+3×32=212.4.(2021·新高考卷Ⅱ)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,b =a +1,c =a +2.(1)若2sin C =3sin A ,求△ABC 的面积;(2)是否存在正整数a ,使得△ABC 为钝角三角形?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.[解] (1)∵2sin C =3sin A ⇒2c =3a , 又∵c =a +2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =4c =6,∴b =5,∴cos C =16+25-362×4×5=18,sin C =378,∴S △ABC =12×4×5×378=1574.(2)显然c >b >a ,要使△ABC 为钝角三角形,则只需C 为钝角, ∴cos C =a 2+(a +1)2-(a +2)22a (a +1)<0⇒a 2-2a -3<0,∴0<a <3且a +a +1>a +2⇒a >1,∴1<a <3,∵a ∈Z ,∴a =2,∴存在正整数a =2满足题意.命题规律:高考常以1个选择题和1个解答题的形式考查,占17分,基础题为主;命题重在考查几何图形的边、角、面积的计算,解题的关键是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的灵活运用.通性通法:等价转化思想在解三角形中的应用(1)利用正、余弦定理解三角形关键是利用定理进行边角互化.①当出现边角混合时,常利用正弦定理;②当出现三边的平方时,常利用余弦定理.(2)若想“边”往“角”化,常利用“a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C”;若想“角”往“边”化,常利用sin A=a2R ,sin B=b2R,sin C=c2R,cos C=a2+b2-c22ab(R为三角形外接圆的半径)等.1.[以平面图形为载体]在平面四边形ABCD中,∠D=90°,∠BAD=120°,AD=1,AC=2,AB=3,则BC=()A. 5 B. 6C.7 D.2 2C[如图,在△ACD中,∠D=90°,AD=1,AC=2,所以∠CAD=60°.又∠BAD=120°,所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos∠BAC=7,所以BC=7.故选C.]2.[与恒等变换交汇]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA=55,a=2b,c>a,则角C的大小为() A.π3B.π2 C.2π3D.3π4D[∵sin A=55,a=2b,c>a,∴由正弦定理可得sin A=2sin B,可得sin B=sin A2=552=1010,∵c >a >b ,∴cos A =1-sin 2A =255,cos B =1-sin 2B =31010,∴cos C =-cos(A +B )=sin A sin B -cos A cos B=55×1010-255×31010=-22,∵0<C <π,∴C =3π4.]3.[以空间图形为载体]如图,为了估测某塔的高度,在同一水平面的A ,B 两点处进行测量,在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上,仰角为60°;在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上,仰角为30°.若A ,B 两点相距130 m ,则塔的高度CD =________m.1039 [设CD =h ,则AD =h3,BD =3h . 在△ADB 中,∠ADB =180°-20°-40°=120°, 则由余弦定理AB 2=BD 2+AD 2-2BD ·AD ·cos 120°, 可得1302=3h 2+h 23-2·3h ·h 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12, 解得h =1039,故塔的高度为1039 m .]4.[综合应用]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a sin C1-cos A =3c .(1)求角A 的大小;(2)若b +c =10,△ABC 的面积S △ABC =43,求a 的值. [解] (1)由正弦定理及a sin C1-cos A =3c ,得sin A sin C1-cos A=3sin C ,∵sin C ≠0,∴sin A =3(1-cos A ), ∴sin A +3cos A =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A +π3=3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A +π3=32, 又0<A <π,∴π3<A +π3<4π3, ∴A +π3=2π3,∴A =π3.(2)∵S △ABC =12bc sin A =34bc =43,∴bc =16.由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos π3=(b +c )2-2bc -bc =(b +c )2-3bc , 又b +c =10,∴a 2=102-3×16=52,∴a =213.考点3 与解三角形有关的最值、范围问题1.(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 中,sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin C . (1)求A ;(2)若BC =3,求△ABC 周长的最大值.[解] (1)∵sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin C , 由正弦定理,得BC 2-AC 2-AB 2=AC ·AB , ∴AC 2+AB 2-BC 2=-AC ·AB , ∴cos A =AC 2+AB 2-BC 22AC ·AB =-12.∵A ∈(0,π),∴A =2π3.(2)法一:(基本不等式)由余弦定理的推论,得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB cos A=AC 2+AB 2+AC ·AB =9,即(AC +AB )2-AC ·AB =9.∵AC ·AB ≤⎝⎛⎭⎪⎫AC +AB 22(当且仅当AC =AB 时取等号), ∴9=(AC +AB )2-AC ·AB≥(AC +AB )2-⎝⎛⎭⎪⎫AC +AB 22=34(AC +AB )2, ∴AC +AB ≤23(当且仅当AC =AB 时取等号), ∴△ABC 的周长L =AC +AB +BC ≤3+23, ∴△ABC 周长的最大值为3+2 3.法二:(三角函数有界性)由正弦定理,得AB sin C =AC sin B =BC sin A =3sin 2π3=23,∴AB =23sin C ,AC =23sin B . ∵A =2π3,∴C =π3-B .∴AB +AC =23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-B +23sin B=23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B -12sin B +23sin B=3cos B +3sin B =23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B +π3.当B =π6时,AB +AC 取得最大值23, ∴△ABC 周长的最大值为3+2 3.2.(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A +C2=b sin A .(1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.[解] (1)由题设及正弦定理得sin A sin A +C2=sin B sin A . 因为sin A ≠0,所以sin A +C2=sin B . 由A +B +C =180°,可得sin A +C 2=cos B2,故cos B 2=2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0,故sin B 2=12,因此B =60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =34a . 由正弦定理得a =c sin A sin C =sin (120°-C )sin C =32tan C +12.由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A <90°,0°<C <90°.由(1)知A +C =120°,所以30°<C <90°,故12<a <2,从而38<S △ABC <32.因此,△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38,32.命题规律:与三角形有关的最值(范围)问题主要涉及三角形的内角、边长、周长、面积等的最大、最小值问题,常以解答题的形式出现,分值12分,难度中等;借助三角函数的有界性及基本不等式,建立不等关系是解答此类问题的关键所在.通性通法:三角形面积的最值问题的两种解决方法一是将面积表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值; 二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示,结合角的范围确定三角形面积的最值.提醒:(1)要重视在余弦定理中用基本不等式,实现a 2+b 2,ab ,a +b 三者的互化.(2)注意在锐角三角形中隐含着:①A +B >π2;②若A =π3,则π6<B ,C <π2.1.[求角的范围]设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a ,b ,c 成等比数列,则角B 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π6 B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6,πC .⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π3D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,πC [∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac ,由余弦定理,得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-ac 2ac ≥2ac -ac 2ac =12,又B ∈(0,π),∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π3,故选C .] 2.[求边的范围]设锐角△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对边的边长分别为a ,b ,c ,且a =1,B =2A ,则b 的取值范围为( )A .(2,3)B .(1,3)C .(2,2)D .(0,2)A [∵B =2A ,∴sin B =sin 2A =2sin A cos A . ∵a =1,∴b =2a cos A =2cos A .又△ABC 为锐角三角形,∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2A <π2,0<A <π2,0<C <π2,∴π6<A <π4, ∴22<cos A <32.即2<b =2cos A <3,故选A .]3.[三角函数与解三角形的综合问题]已知向量a =⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+x ,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+x ,b=(-sin x ,3sin x ),f (x )=a·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值;(2)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2=1,a =23,求△ABC 面积的最大值并说明此时△ABC 的形状.[解] (1)由已知得a =(-sin x ,cos x ),又b =(-sin x ,3sin x ), 则f (x )=a·b =sin 2x +3sin x cos x=12(1-cos 2x )+32sin 2x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6+12,∴f (x )的最小正周期T =2π2=π,当2x -π6=π2+2k π(k ∈Z ),即x =π3+k π(k ∈Z )时, f (x )取得最大值32.(2)锐角△ABC 中,因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A -π6+12=1,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A -π6=12,∴A =π3.因为a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,所以12=b 2+c 2-bc , 所以b 2+c 2=bc +12≥2bc ,所以bc ≤12(当且仅当b =c =23时等号成立),此时△ABC 为等边三角形. S △ABC =12bc sin A =34bc ≤3 3.所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值3 3.。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解19---三角恒等变换与解三角形

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解19---三角恒等变换与解三角形

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第19讲 三角恒等变换与解三角形[考情分析] 1.三角恒等变换主要考查化简、求值,解三角形主要考查求边长、角度、面积等,三角恒等变换作为工具,将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主,解三角形以解答题为主,中等难度.考点一 三角恒等变换 核心提炼1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;(2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;(3)tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α=2sin αcos α;(2)cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α;(3)tan 2α=2tan α1-tan 2α.例1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cos ⎝⎛⎭⎫α+π4sin β,则() A .tan(α-β)=1B .tan(α+β)=1C .tan(α-β)=-1D .tan(α+β)=-1答案 C解析 由题意得sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=22×22(cos α-sin α)sin β,整理,得sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.(2)(2021·全国甲卷)若α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,tan 2α=cos α2-sin α,则tan α等于( ) A.1515 B.55 C.53 D.153答案 A解析 方法一因为tan 2α=sin 2αcos 2α=2sin αcos α1-2sin 2α, 且tan 2α=cos α2-sin α, 所以2sin αcos α1-2sin 2α=cos α2-sin α,解得sin α=14. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0,π2, 所以cos α=154,tan α=sin αcos α=1515. 方法二 因为tan 2α=2tan α1-tan 2α=2sin αcos α1-sin 2αcos 2α=2sin αcos αcos 2α-sin 2α=2sin αcos α1-2sin 2α, 且tan 2α=cos α2-sin α, 所以2sin αcos α1-2sin 2α=cos α2-sin α,解得sin α=14. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0,π2, 所以cos α=154,tan α=sin αcos α=1515. 规律方法 三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin 2θ+cos 2θ=tan 45°等;(2)项的拆分与角的配凑:如sin 2α+2cos 2α=(sin 2α+cos 2α)+cos 2α,α=(α-β)+β等;(3)降幂与升幂:正用二倍角公式升幂,逆用二倍角公式降幂;(4)弦、切互化:一般是切化弦.跟踪演练1 (1)(多选)(2022·张家口模拟)已知sin θcos θ+3cos 2θ=cos θ+32,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则θ等于( ) A.π3 B.π6 C.π12 D.π18答案 BD解析 sin θcos θ+3cos 2θ =12sin 2θ+3×1+cos 2θ2=cos ⎝⎛⎭⎫2θ-π6+32=cos θ+32, 故cos ⎝⎛⎭⎫2θ-π6=cos θ, 所以2θ-π6=θ+2k π或2θ-π6=-θ+2k π(k ∈Z ), 故θ=π6+2k π或θ=π18+2k π3(k ∈Z ). 又θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以θ=π6或π18. (2)已知函数f (x )=sin x -2cos x ,设当x =θ时,f (x )取得最大值,则cos θ=________.答案 -255解析 f (x )=sin x -2cos x =5sin(x -φ),其中cos φ=55,sin φ=255, 则f (θ)=5sin(θ-φ)=5,因此θ-φ=π2+2k π,k ∈Z ,则cos θ=cos ⎝⎛⎭⎫φ+π2+2k π=-sin φ=-255. 考点二 正弦定理、余弦定理核心提炼1.正弦定理:在△ABC 中,a sin A =b sin B =c sin C=2R (R 为△ABC 的外接圆半径). 变形:a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R ,a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C 等.2.余弦定理:在△ABC 中,a 2=b 2+c 2-2bc cos A .变形:b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,cos A =b 2+c 2-a 22bc . 3.三角形的面积公式:S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A .例2 (1)(2022·济南模拟)若△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知b sin 2A =a sin B ,且c =2b ,则a b等于( ) A .3 B.13 C.33D. 3 答案 D解析 因为b sin 2A =a sin B ,所以2b sin A cos A =a sin B ,利用正弦定理可得2ab cos A =ab , 所以cos A =12,又c =2b , 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+4b 2-a 24b 2=12, 解得a b= 3.(2)(2022·全国乙卷)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin C sin(A -B )=sin B sin(C -A ).①证明:2a 2=b 2+c 2;②若a =5,cos A =2531,求△ABC 的周长. ①证明 方法一由sin C sin(A -B )=sin B sin(C -A ),可得sin C sin A cos B -sin C cos A sin B=sin B sin C cos A -sin B cos C sin A ,结合正弦定理a sin A =b sin B =c sin C, 可得ac cos B -bc cos A =bc cos A -ab cos C ,即ac cos B +ab cos C =2bc cos A (*).由余弦定理可得ac cos B =a 2+c 2-b 22, ab cos C =a 2+b 2-c 22,2bc cos A =b 2+c 2-a 2, 将上述三式代入(*)式整理,得2a 2=b 2+c 2.方法二 因为A +B +C =π,所以sin C sin(A -B )=sin(A +B )sin(A -B )=sin 2A cos 2B -cos 2A sin 2B=sin 2A (1-sin 2B )-(1-sin 2A )sin 2B=sin 2A -sin 2B ,同理有sin B sin(C -A )=sin(C +A )sin(C -A )=sin 2C -sin 2A .又sin C sin(A -B )=sin B sin(C -A ),所以sin 2A -sin 2B =sin 2C -sin 2A ,即2sin 2A =sin 2B +sin 2C ,故由正弦定理可得2a 2=b 2+c 2.②解 由①及a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得,a 2=2bc cos A ,所以2bc =31.因为b 2+c 2=2a 2=50,所以(b +c )2=b 2+c 2+2bc =81,得b +c =9,所以△ABC 的周长l =a +b +c =14.规律方法 正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.注意:应用定理要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”.跟踪演练2 (1)在△ABC 中,若cos C =79,b cos A +a cos B =2,则△ABC 外接圆的面积为() A.49π8 B.81π8 C.81π49 D.81π32答案 D解析 根据正弦定理可知b =2R sin B ,a =2R sin A ,得2R sin B cos A +2R sin A cos B=2R sin(A +B )=2,因为sin(A +B )=sin(π-C )=sin C =1-cos 2C =429,所以R =928,所以△ABC 外接圆的面积S =πR 2=81π32.(2)(2022·衡水中学模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且tan A tan B =2c -bb .①求角A 的大小;②若a =2,求△ABC 面积的最大值及此时边b ,c 的值.解 ①在△ABC 中,由正弦定理得,c =2R sin C ,b =2R sin B ,则tan A tan B =2c b -1=2sin C sin B -1,tan A tan B +1=2sin C sin B, 化简得cos A sin B +sin A cos B =2sin C cos A .即sin(A +B )=2sin C cos A ,∵A +B =π-C ,∴sin(A +B )=sin C ≠0,∴cos A =12, ∵0<A <π,∴A =π3. ②由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,又A =π3,∴b 2+c 2-bc =4, 又b 2+c 2≥2bc ,∴bc ≤4,则S △ABC =12bc sin A ≤12×4×32=3,当且仅当b =c =2时,等号成立, ∴△ABC 面积的最大值为3,此时b =2,c =2.考点三 解三角形的实际应用核心提炼解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.例3 (1)滕王阁,位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸,始建于唐朝永徽四年,因唐代诗人王勃的诗句“落霞与孤鹜齐飞,秋水共长天一色”而流芳后世.如图,小明同学为测量滕王阁的高度,在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB ,高为12 m ,在它们的地面上的点M (B ,M ,D 三点共线)测得楼顶A 、滕王阁顶部C 的仰角分别为15°和60°,在楼顶A 处测得滕王阁顶部C 的仰角为30°,则小明估算滕王阁的高度为(精确到1 m)()A .42 mB .45 mC .51 mD .57 m答案 D解析 由题意得,在Rt △ABM 中,AM =AB sin 15°, 在△ACM 中,∠CAM =30°+15°=45°,∠AMC =180°-15°-60°=105°,所以∠ACM =30°,由正弦定理得AM sin ∠ACM =CM sin ∠CAM, 所以CM =sin ∠CAM sin ∠ACM·AM =2AB sin 15°, 又sin 15°=sin(45°-30°) =22×32-22×12=6-24, 在Rt △CDM 中,CD =CM sin 60°=6AB 2sin 15°=1262×6-24=36+123≈57(m). (2)雷达是利用电磁波探测目标的电子设备,电磁波在大气中大致沿直线传播,受地球表面曲率的影响,雷达所能发现目标的最大直视距离L =(R +h 1)2-R 2+(R +h 2)2-R 2=2Rh 1+h 21+2Rh 2+h 22(如图),其中h 1为雷达天线架设高度,h 2为探测目标高度,R 为地球半径.考虑到电磁波的弯曲、折射等因素,R等效取8 490 km,故R远大于h1,h2.假设某探测目标高度为25 m,为保护航母的安全,须在直视距离412 km外探测到目标,并发出预警,则舰载预警机的巡航高度至少约为(参考数据:2×8.49≈4.12)()A.6 400 m B.8 100 mC.9 100 m D.1 000 m答案 C解析根据题意可知L=412 km,R=8 490 km,h2=0.025 km,因为L=(R+h1)2-R2+(R+h2)2-R2=2Rh1+h21+2Rh2+h22,即412=(8 490+h1)2-8 4902+(8 490+0.025)2-8 4902≈(8 490+h1)2-8 4902+20.6,解得h1≈9.02(km)≈9 100(m).所以舰载预警机的巡航高度至少约为9 100 m.规律方法解三角形实际问题的步骤跟踪演练3(1)如图,已知A,B,C,D四点在同一条直线上,且平面P AD与地面垂直,在山顶P点测得点A ,C ,D 的俯角分别为30°,60°,45°,并测得AB =200 m ,CD =100 m ,现欲沿直线AD 开通穿山隧道,则隧道BC 的长为()A .100(3+1)mB .200(3+1)mC .200 3 mD .100 3 m答案 C解析 由题意可知A =30°,D =45°,∠PCB =60°,所以∠PCD =120°,∠APC =90°,∠DPC =15°,因为sin 15°=sin(45°-30°) =22×32-22×12=6-24, 所以在△PCD 中,由正弦定理得CD sin ∠DPC =PC sin D, 即1006-24=PC 22, 解得PC =100(3+1)m ,所以在Rt △P AC 中,AC =2PC =200(3+1)m ,所以BC =AC -AB =2003(m).(2)如图是建党百年展览的展馆——国家博物馆.现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部).现分别从地面上的两点A ,B 测得点P 的仰角分别为30°,45°,且∠ABO =60°,AB =60 2 米,则OP 等于( )A.40米B.30米C.30 2 米D.30 3 米答案 C解析如图所示,设OP=h,由题意知∠OAP=30°,∠OBP=45°.在Rt△AOP中,OA=OPtan 30°=3h,在Rt△BOP中,OB=h.在△ABO中,由余弦定理,得OA2=AB2+OB2-2AB·OB cos 60°,代入数据计算得到h=302(米).即OP=302(米).专题强化练一、单项选择题1.(2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC等于() A.1 B. 2 C. 5 D.3答案 D解析 由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B ,得BC 2+2BC -15=0,解得BC =3或BC =-5(舍去).2.(2021·全国乙卷)cos 2π12-cos 25π12等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32答案 D解析 cos 2π12-cos 25π12=1+cos π62-1+cos 5π62=1+322-1-322=32. 3.(2022·榆林模拟)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为3154,b -c =1,cos A =14,则a 等于( ) A .10 B .3 C.10 D. 3答案 C解析 因为cos A =14,所以sin A =154, 又S △ABC =12bc sin A =158bc =3154, 所以bc =6,又b -c =1,可得b =3,c =2,所以a 2=b 2+c 2-2bc cos A =10,即a =10.4.已知cos α=55,sin(β-α)=-1010,α,β均为锐角,则β等于( ) A.π12B.π6C.π4D.π3答案 C解析 ∵α,β均为锐角,即α,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2, ∴β-α∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2, ∴cos(β-α)=1-sin 2(β-α)=31010, 又sin α=1-cos 2α=255, ∴cos β=cos[(β-α)+α]=cos(β-α)cos α-sin(β-α)sin α =31010×55-⎝⎛⎭⎫-1010×255=22, 又β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,∴β=π4. 5.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群,故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋,夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°,冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿,图2是其示意图,则其出檐AB 的长度(单位:米)约为( )A .3米B .4米C .6(3-1)米D .3(3+1)米答案 C解析 如图,根据题意得∠ACB =15°,∠ACD =105°,∠ADC =30°,∠CAD =45°,CD =24米,所以∠CAD =45°,在△ACD 中,由正弦定理得CDsin ∠CAD =ACsin ∠ADC ,即24sin 45°=AC sin 30°,解得AC =122(米),在Rt △ACB 中,sin ∠ACB =AB AC ,即sin 15°=AB122,解得AB =122sin 15°=122sin(60°-45°)=122×⎝⎛⎭⎫32×22-12×22 =122×6-24=32(6-2)=6(3-1)米.6.(2022·济宁模拟)已知sin α-cos β=3cos α-3sin β,且sin(α+β)≠1,则sin(α-β)的值为() A .-35B.35C .-45D.45答案 C解析 由sin α-cos β=3cos α-3sin β得,sin α-3cos α=cos β-3sin β=sin ⎝⎛⎭⎫π2-β-3cos ⎝⎛⎭⎫π2-β,设f (x )=sin x -3cos x =10⎝⎛⎭⎫110sin x -310cos x=10sin(x -φ), 其中cos φ=110,sin φ=310,φ为锐角,已知条件即为f (α)=f ⎝⎛⎭⎫π2-β,所以π2-β=2k π+α,或π2-β-φ+α-φ=2k π+π,k ∈Z ,若π2-β=2k π+α,k ∈Z ,则α+β=-2k π+π2,k ∈Z ,sin(α+β)=sin π2=1与已知矛盾,所以π2-β-φ+α-φ=2k π+π,k ∈Z ,α-β=2k π+π2+2φ,k ∈Z ,则sin(α-β)=sin ⎝⎛⎭⎫2k π+π2+2φ =sin ⎝⎛⎭⎫π2+2φ=cos 2φ=2cos 2φ-1=-45.二、多项选择题7.(2022·张家口质检)下列命题中,正确的是( )A .在△ABC 中,若A >B ,则sin A >sin BB .在锐角△ABC 中,不等式sin A >cos B 恒成立C .在△ABC 中,若a cos A =b cos B ,则△ABC 是等腰直角三角形D .在△ABC 中,若B =π3,b 2=ac ,则△ABC 必是等边三角形 答案 ABD解析 对于A ,由A >B ,可得a >b ,利用正弦定理可得sin A >sin B ,正确;对于B ,在锐角△ABC 中,A ,B ∈⎝⎛⎭⎫0,π2, ∵A +B >π2, ∴π2>A >π2-B >0, ∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2-B =cos B ,因此不等式sin A >cos B 恒成立,正确;对于C ,在△ABC 中,a cos A =b cos B ,利用正弦定理可得sin A cos A =sin B cos B ,∴sin 2A =sin 2B ,∵A ,B ∈(0,π),∴2A =2B 或2A =π-2B ,∴A =B 或A +B =π2, ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形,错误;对于D ,由于B =π3,b 2=ac ,由余弦定理可得 b 2=ac =a 2+c 2-ac ,可得(a -c )2=0,解得a =c ,则A =C =B =π3, ∴△ABC 必是等边三角形,正确.8.函数f (x )=sin x (sin x +cos x )-12,若f (x 0)=3210,x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π3,下列结论正确的是( ) A .f (x )=22sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4 B .直线x =π4是f (x )图象的一条对称轴C .f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π3上的最小值为-22D .cos 2x 0=210答案 AD解析 f (x )=sin 2x +sin x cos x -12 =1-cos 2x2+12sin 2x -12=12(sin 2x -cos 2x )=22sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4,故A 正确;当x =π4时,sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4=22,∴x =π4不是f (x )的对称轴,故B 错误;当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π3时,2x -π4∈⎝⎛⎭⎫-π4,5π12,∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π3上单调递增,∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π3上无最小值,故C 错误;∵f (x 0)=3210,∴sin ⎝⎛⎭⎫2x 0-π4=35, 又2x 0-π4∈⎝⎛⎭⎫-π4,5π12, ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x 0-π4=45, ∴cos 2x 0=cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0-π4+π4 =22⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x 0-π4-sin ⎝⎛⎭⎫2x 0-π4=210, 故D 正确.三、填空题9.(2022·烟台模拟)若sin α=cos ⎝⎛⎭⎫α+π6,则tan 2α的值为________. 答案 3解析 由sin α=cos ⎝⎛⎭⎫α+π6, 可得sin α=cos αcos π6-sin αsin π6 =32cos α-12sin α,则tan α=33, tan 2α=2tan α1-tan 2α=2×331-⎝⎛⎭⎫332= 3. 10.(2022·泰安模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3-α=14,则sin ⎝⎛⎭⎫π6-2α=________. 答案 -78解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6-2α=sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3-α-π2 =-cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3-α =-⎣⎡⎦⎤1-2sin 2⎝⎛⎭⎫π3-α=-⎝⎛⎭⎫1-18=-78. 11.(2022·开封模拟)如图,某直径为55海里的圆形海域上有四个小岛,已知小岛B 与小岛C 相距5海里,cos ∠BAD =-45.则小岛B 与小岛D 之间的距离为________海里;小岛B ,C ,D 所形成的三角形海域BCD 的面积为________平方海里.答案 35 15解析 由圆的内接四边形对角互补,得cos ∠BCD =cos(π-∠BAD )=-cos ∠BAD=45>0, 又∠BCD 为锐角,所以sin ∠BCD =1-cos 2∠BCD =35, 在△BCD 中,由正弦定理得BD sin ∠BCD =BD 35=55,则BD =35(海里). 在△BCD 中,由余弦定理得 (35)2=CD 2+52-2×CD ×5×45, 整理得CD 2-8CD -20=0,解得CD =10(负根舍去).所以S △BCD =12×10×5×35=15(平方海里). 12.(2022·汝州模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a =2,cos 2C =cos 2A +4sin 2B ,则△ABC 面积的最大值为________.答案23解析 由cos 2C =cos 2A +4sin 2B 得,1-2sin 2C =1-2sin 2A +4sin 2B ,即sin 2A =sin 2C +2sin 2B ,由正弦定理得a 2=c 2+2b 2=4,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =4,∴c 2+2b 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即cos A =-b 2c<0, ∵A ∈(0,π),∴sin A =1-b 24c 2, ∴S △ABC =12bc sin A =12b 2c 2⎝⎛⎭⎫1-b 24c 2 =12b 2c 2-14b 4, ∵c 2+2b 2=4,∴c 2=4-2b 2,∴S △ABC =12b 2(4-2b 2)-14b 4 =12-94b 4+4b 2, 则当b 2=89时, ⎝⎛⎭⎫-94b 4+4b 2max =-94×6481+4×89=169, ∴(S △ABC )max =12×43=23. 四、解答题13.(2022·新高考全国Ⅱ)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,分别以a ,b ,c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1,S 2,S 3.已知S 1-S 2+S 3=32,sin B =13. (1)求△ABC 的面积;(2)若sin A sin C =23,求b . 解 (1)由S 1-S 2+S 3=32, 得34(a 2-b 2+c 2)=32, 即a 2-b 2+c 2=2,又a 2-b 2+c 2=2ac cos B ,所以ac cos B =1.由sin B =13, 得cos B =223或cos B =-223(舍去), 所以ac =322=324, 则△ABC 的面积S =12ac sin B =12×324×13=28. (2)由sin A sin C =23,ac =324及正弦定理知 b 2sin 2B =ac sin A sin C =32423=94, 即b 2=94×19=14,得b =12. 14.(2022·抚顺模拟)在①(2c -a )sin C =(b 2+c 2-a 2)sin B b ;②cos 2A -C 2-cos A cos C =34;③3c b cos A=tan A +tan B 这三个条件中,任选一个,补充在下面问题中,问题:在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,b =23,________.(1)求角B ;(2)求2a -c 的取值范围.解 (1)选择①:∵(2c -a )sin C =(b 2+c 2-a 2)sin B b, ∴由正弦定理可得(2c -a )c =b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,∴2c -a =2b cos A ,可得cos A =2c -a 2b, ∴由余弦定理可得cos A =2c -a 2b =b 2+c 2-a 22bc , 整理可得c 2+a 2-b 2=ac ,∴cos B =c 2+a 2-b 22ac =ac 2ac =12, ∵B ∈(0,π),∴B =π3. 选择②:∵cos 2A -C 2-cos A cos C =1+cos (A -C )2-cos A cos C =1-cos A cos C +sin A sin C 2=1-cos (A +C )2=34, ∴cos(A +C )=-12, ∴cos B =-cos(A +C )=12, 又∵B ∈(0,π),∴B =π3. 选择③: 由正弦定理可得3c b cos A =3sin C sin B cos A,又tan A +tan B =sin A cos A +sin Bcos B=sin A cos B +cos A sin Bcos A cos B =sin Ccos A cos B , 由3cb cos A =tan A +tan B , 可得3sin Csin B cos A =sin Ccos A cos B ,∵sin C >0,∴tan B =3, ∵B ∈(0,π),∴B =π3.(2)在△ABC 中,由(1)及b =23, 得b sin B =a sin A =c sin C =2332=4,故a =4sin A ,c =4sin C ,2a -c =8sin A -4sin C=8sin A -4sin ⎝⎛⎭⎫2π3-A=8sin A -23cos A -2sin A =6sin A -23cos A=43sin ⎝⎛⎭⎫A -π6,∵0<A <2π3,则-π6<A -π6<π2,-12<sin ⎝⎛⎭⎫A -π6<1,-23<43sin ⎝⎛⎭⎫A -π6<43﹒∴2a -c 的取值范围为()-23,43.。

高考数学二轮复习 第二篇 专题通关攻略 专题2 三角函数及解三角形 专题能力提升练七 2.2.2 三

高考数学二轮复习 第二篇 专题通关攻略 专题2 三角函数及解三角形 专题能力提升练七 2.2.2 三

专题能力提升练七三角恒等变换与解三角形(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.cos15°-4sin215°cos15°=()A. B. C.1D.【解析】选D.cos 15°-4sin215°cos 15°=cos 15°-2sin 15°×2sin 15°cos 15°=cos 15°-2sin 15°sin 30°=cos 15°-sin 15°=2cos(15°+30°)=.2.(2018·永州二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+=2a,则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选 C.因为+=2a,所以由正弦定理可得,+=2sinA≥2=2,所以sin A=1,当=时,“=”成立,所以A=,b=c,所以△ABC是等腰直角三角形.3.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB= ( )A.4B.C.D.2【解析】选A.cos C=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C,得AB2=25+1-2×1×5×=32,所以AB=4.4.若向量a=,向量b=(1,sin22.5°),则a·b=( )A.2B.-2C.D.-【解析】选A.由题得a·b=tan67.5°+=tan 67.5°+=tan 67.5°-tan 22.5°=tan 67.5°-==2×=2×=2.【加固训练】(2018·会宁一中一模)已知x为锐角,=,则a的取值X围为( ) A.[-2,2] B.(1,)C.(1,2]D.(1,2)【解析】选C.由=,可得:a=sin x+cos x=2sin,又x∈,所以x+∈,所以a的取值X围为(1,2].5.在锐角△ABC中,A=2B,则的取值X围是( )A.(-1,3)B.(1,3)C.(,)D.(1,2)【解析】选D.====3-4sin2B.因为△ABC是锐角三角形,所以得<B<⇒sin2B∈.所以=3-4sin2B∈(1,2).6.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C= ()A. B. C. D.【解析】选C.由题意S△ABC=absin C=,即sin C=,由余弦定理可知sin C=cos C,即tan C=1,又C∈(0,π),所以C=.【加固训练】(2018·某某一模) 已知△ABC中,sinA,sinB,sinC成等比数列,则的取值X围是( )A. B.C.(-1,]D.【解析】选 B.由已知可知sin2B=sin A·sin C,即b2=ac,cos B==≥=,即0<B≤,sin B+cos B=sin∈(1,],原式==,设t=sin B+cos B,即原式==t-(1<t≤),函数是增函数,当t=1时,函数等于0,当t=时,函数等于,所以原式的取值X围是.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan=,则tanα=________.【解析】因为tan=tan=,所以=,解得tan α=.答案:【加固训练】(2018·某某市一模) 已知cos=,则sin2α=________.【解析】sin 2α=sin=-cos2=1-2cos2=1-2×=-.答案:-8.为了竖起一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC 比AB长0.5米,为了稳定广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为________.【解题指南】首先根据余弦定理找出边BC与AC之间的关系,用边BC表示出边AC,结合函数知识即可求解.【解析】由题意设BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依题设AB=AC-0.5=(t-0.5)米,在△ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 60°,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得:t=(x>1),即t=x-1++2,因为x>1,故t=x-1++2≥2+,当且仅当x=1+时取等号,此时取最小值2+. 答案:2+三、解答题(每小题10分,共40分)9.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB.(2)若DC=2,求BC.【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sin∠ADB=.由题意知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.(2)由题意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25. 所以BC=5.10.如图,在△ABC中,AB=2,cosB=,点D在线段BC上.(1)若∠ADC=,求AD的长.(2)若BD=2DC,△ACD的面积为,求的值.【解题指南】(1)首先利用同角三角函数间的基本关系求得sin B的值,然后利用正弦定理即可求得AD的长.(2)首先利用三角形面积间的关系求得S△ABC,然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值.【解析】(1)在三角形中,因为cos B=,所以sin B=,在△ABD中,由正弦定理得=,又AB=2,∠ADB=,sin B=.所以AD=.(2)因为BD=2DC,所以S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC,又S△ADC=,所以S△ABC=4,因为S△ABC=AB·BCsin∠ABC,所以BC=6,因为S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD,S△ABD=2S△ADC,所以=2·,在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC.所以AC=4,所以=2·=4.11.已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.(2)若f(x0)=,x0∈,求cos2x0的值.【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)=sin 2x+cos 2x=2sin,所以函数f(x)的最小正周期为π;因为x∈,所以2x+∈,sin∈,所以函数f(x)=2sin在区间上的最大值为2,最小值为-1.(2)由(1)可知f(x0)=2sin,又因为f(x0)=,所以sin=,由x0∈,得2x0+∈,从而cos=-=-,所以cos 2x0=cos=cos cos +sin sin =12.在△ABC中,D是边BC上的点,AB=AD=,cos∠BAD=.(1)求sinB.(2)若AC=4,求△ADC的面积.【解题指南】(1)直接利用余弦定理和正弦定理求出结果.(2)利用(1)的结论和余弦定理求出三角形的面积.【解析】(1)在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=7+7-2×××=12,得BD=2.由cos∠BAD=,得sin∠BAD=,在△ABD中,由正弦定理得=,所以sin B=×=.(2)因为sin B=,B是锐角,所以cos B=,设BC=x,在△ABC中,AB2+BC2-2AB·BC·cos B=AC2,即7+x2-2·x··=16,化简得:x2-2x-9=0,解得x=3或x=-(舍去),则CD=BC-BD=3-2=,由∠ADC和∠ADB互补,得sin∠ADC=sin∠ADB=sin B=,所以△ADC的面积S=·AD·DC·sin∠ADC=×××=.【加固训练】(2018·某某二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为acsin2B.(1)求sinB的值.(2)若c=5,3sin2C=5sin2B·sin2A,且BC的中点为D,求△ABD的周长.【解析】(1)由S△ABC=acsinB=acsin2B,得sin B=2sin B·cos B,因为0<B<π,所以sin B>0,故cos B=,又sin2B+cos2B=1,所以sin B=.(2)由(1)和3sin2C=5sin2B·sin2A得16sin2C=25sin2A,由正弦定理得16c2=25a2,因为c=5,所以a=4,BD=a=2,在△ABD中,由余弦定理得:AD2=c2+BD2-2c·BD·cos B=52+22-2×5×2×=24,所以AD=2.所以△ABD的周长为c+BD+AD=7+2.(建议用时:50分钟)1.(2018·某某一模)南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:S=,c>b>a),并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为( )A.82平方里B.83平方里C.84平方里D.85平方里【解析】选C.由题意可得:a=13,b=14,c=15代入:S===84,则该三角形田面积为84平方里.2.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin=1,且a=2,则△ABC 的面积的最大值为( )A. B. C. D.2【解析】选B.sin=,-=,A=,由于a=2为定值,由余弦定理得4=b2+c2-2bccos ,即4=b2+c2+bc.根据基本不等式得4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,即bc≤,当且仅当b=c时,等号成立.S△=bcsin A≤··=.3.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,sinAcosB-(c-cosA)·sinB=0,则边b=________.【解析】由sin Acos B-(c-cos A)·sin B=0,得sin Acos B+cos Asin B=csin B,所以sin C=csin B,即=sin B,由正弦定理=,故b==1.答案:14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,若3a2=2b2+c2,则的最大值为________.【解析】因为3a2=2b2+c2,所以3a2=3b2-b2+3c2-2c2,所以b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccos A,所以==tan A.由题得a2=,所以 cos A===≥=,所以tan A=≤=,当且仅当b=c时取等号.所以的最大值为.答案:【加固训练】(2018·某某中学模拟)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,(b2+c2-3)tanA=bc,2cos2=(-1)cosC,则△ABC的面积等于________.【解析】条件(b2+c2-3)tan A=bc即为(b2+c2-a2)tan A=bc,由余弦定理得2bccos Atan A=bc,所以得sin A=,又A为锐角,所以A=.又2cos2=1+cos(A+B)=1-cos C=(-1)cos C,所以cos C=,得C=,故B=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以c===.故△ABC的面积S=acsin B=×××sin =.答案:5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b-c)2=a2-bc.(1)求sinA.(2)若a=2,且sinB,sinA,sinC成等差数列,求△ABC的面积.【解析】(1)由(b-c)2=a2-bc,得b2+c2-a2=bc,即=,由余弦定理得cos A=,因为0<A<π,所以sin A=.(2)由sin B,sin A,sin C成等差数列,得sin B+sin C=2sin A,由正弦定理得b+c=2a=4,所以16=(b+c)2,所以16=b2+c2+2bc.由(1)得16=a2+bc,所以16=4+bc,解得bc=,所以S△ABC=bcsin A=××=.6.(2018·某某一模)△ABC的内角为A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=+.(1)求sin(A+B)+sinAcosA+cos(A-B)的最大值.(2)若b=,当△ABC的面积最大时,求△ABC的周长.【解题指南】(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系,再根据三角公式转化为二次函数求解.(2)根据余弦定理利用基本不等式求解.【解析】(1)由=+得:=,a=bcos C+csin B,即sin A=sin Bcos C+sin Csin B,所以cos B=sin B,B=;由sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)=(sin A+cos A)+sin Acos A,令t=sin A+cos A,原式=t2+t-,当且仅当A=时,上式取最大值,最大值为.(2)S=acsin B=ac,b2=a2+c2-2accos B,即2=a2+c2-ac≥(2-)ac,ac≤2+,当且仅当a=c=等号成立;S max=,周长L=a+b+c=2+.7.(2018·某某二模) 如图,在平面四边形ABCD中,AB=2,AC=2,∠ADC= ∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD 的长度;(2)若∠ADB=30°,求tanθ.【解题指南】(1)在△ABD中,利用余弦定理直接求出BD.(2)在△ABD中,写出正弦定理再化简即得解.【解析】(1)由题意可知,AD=1.在△ABD中,∠DAB=150°,AB=2,AD=1,由余弦定理可知,BD2=(2)2+12-2×2×1×=19,BD=.(2)由题意可知,AD=2cos θ,∠ABD=60°-θ,在△ABD中,由正弦定理可知,=,所以=4,所以tan θ=.。

高考数学二轮复习专题篇素养提升 专题1三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理

高考数学二轮复习专题篇素养提升 专题1三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理

②由 f(x)=12sin2x-π6= 63,
得 sin2x-π6= 33,
∵x∈0,π4,∴-π6≤2x-π6≤π3,
∴cos2x-π6=
6 3.
∴cos 2x=cos2x-π6+π6 =cos2x-π6× 23-sin2x-π6×21 = 36× 23- 33×12= 22- 63.
三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换:特别是“1”的代换, 1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等. (2)项的拆分与角的配凑: 如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等. (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化:一般是切化弦.
分值 10 12 10
年份 卷别 Ⅰ卷
2019 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷
2018 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
分值
17 正余弦定理
12
二倍角公式、基本关系式、余弦定理、
15
5
三角形面积公式
18
正余弦定理、三角形面积公式
12
17
正余弦定理、解三角形
12
二倍角、辅助角公式、基本关系式、
10、15 和的正弦公式、余弦定理
10°=
典例1
A.34
(1)(2020·全国Ⅱ卷模拟)cos2 40°+2sin 35°sin 55°sin
( A)
B.14
C.12+
3 2
D.3
3 4
(2)(2020·宜宾模拟)已知 α∈0,π2,且 3sin2α-5cos2α+sin 2α=0,则
sin 2α+cos 2α=
( A)
A.1
B.-2137

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题08三角恒等变换与解三角形(含解析)

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题08三角恒等变换与解三角形(含解析)

三角恒等变换与解三角形1.tan 70°+tan 50°-3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3 B.33 C .-33 D .- 3 答案 D解析 因为tan 120°=tan 70°+tan 50°1-tan 70°tan 50°=-3, 即tan 70°+tan 50°-3tan 70°tan 50°=- 3.2.在△ABC 中,若原点到直线x sin A +y sin B +sin C =0的距离为1,则此三角形为( )A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .不能确定答案 A解析 由已知可得,|sin C |sin 2A +sin 2B =1, ∴sin 2C =sin 2A +sin 2B ,∴c 2=a 2+b 2,故△ABC 为直角三角形.3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a cos B +b cos A =2c cos C ,c =7,且△ABC 的面积为332,则△ABC 的周长为( ) A .1+7 B .2+7C .4+7D .5+7答案 D解析 在△ABC 中,a cos B +b cos A =2c cos C ,则sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos C ,即sin(A +B )=2sin C cos C , ∵sin(A +B )=sin C ≠0,∴cos C =12,∴C =π3, 由余弦定理可得,a 2+b 2-c 2=ab ,即(a +b )2-3ab =c 2=7,又S =12ab sin C =34ab =332,∴ab =6, ∴(a +b )2=7+3ab =25,a +b =5,∴△ABC 的周长为a +b +c =5+7.4.已知α为锐角,则2tan α+3tan 2α的最小值为( ) A .1 B .2 C. 2 D. 3答案D方法二 ∵α为锐角,∴sin α>0,cos α>0,∴2tan α+3tan 2α=2sin αcos α+3cos 2αsin 2α=4sin 2α+3cos 2α2sin αcos α=sin 2α+3cos 2α2sin αcos α=12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos α+3cos αsin α≥12×2sin αcos α·3cos αsin α=3, 当且仅当sin αcos α=3cos αsin α, 即α=π3时等号成立.故选D. 5.已知2sin θ=1-cos θ,则t an θ等于( )A .-43或0 B.43或0 C .-43D.43 答案 A解析 因为2sin θ=1-cos θ,所以4sin θ2cos θ2=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2sin 2θ2=2sin 2θ2, 解得sin θ2=0或2c os θ2=sin θ2,即tan θ2=0或2, 又tan θ=2tan θ21-tan 2θ2,当tan θ2=0时,tan θ=0;当tan θ2=2时,tan θ=-43. 6.在锐角△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足(a -b )(sin A +sin B )=(c -b )sin C ,若a =3,则b 2+c 2的取值范围是( )A .(3,6]B .(3,5)C .(5,6]D .[5,6]答案 C解析 ∵(a -b )(sin A +sin B )=(c -b )sin C ,由正弦定理得(a -b )(a +b )=(c -b )c ,即b 2+c 2-a 2=bc , ∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =bc 2bc =12, 又A ∈(0,π),∴A =π3,∴B +C =2π3. 又△ABC 为锐角三角形,∴⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2,A +B =π3+B >π2,∴π6<B <π2. 由正弦定理a sin A =b sin B =c sin C =332=2, 得b =2sin B ,c =2sin C , ∴b 2+c 2=4(sin 2B +sin 2C ) =4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2B +sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-B =4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2B +⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B +12sin B 2 =3+2sin 2B +23sin B cos B=3+1-cos 2B +3sin 2B=4-2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2B -32sin 2B =4-2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3, 又π6<B <π2,∴2π3<2B +π3<4π3, ∴-1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3<-12,∴5<4-2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2B +π3≤6, 可得b 2+c 2的取值范围为(5,6].7.设△ABC 内切圆与外接圆的半径分别为r 与R .且sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则cos C =________;当BC =1时,△ABC 的面积等于________.答案 -14 31516解析 ∵sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,∴a ∶b ∶c =2∶3∶4.令a =2t ,b =3t ,c =4t ,则cos C =4t 2+9t 2-16t 212t 2=-14, ∴sin C =154. 当BC =1时,AC =32, ∴S △ABC =12×1×32×154=31516. 8.如图,在△ABC 中,BC =2,∠ABC =π3,AC 的垂直平分线DE 与AB ,AC 分别交于D ,E 两点,且DE =62,则BE 2=________.答案 52+ 3 解析 如图,连接CD ,由题设,有∠BDC =2A ,所以CD sin 60°=BC sin 2A =2sin 2A, 故CD =3sin 2A.又DE =CD sin A =32cos A =62, 所以cos A =22,而A ∈(0,π),故A =π4, 因此△ADE 为等腰直角三角形,所以AE =DE =62. 在△ABC 中,∠ACB =75°,所以AB sin 75°=2sin 45°, 故AB =3+1,在△ABE 中,BE 2=(3+1)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫622-2×(3+1)×62×22=52+ 3. 9.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23,sin B =5cos C ,并且a =2,则△ABC 的面积为________.答案 5210.如图,在△ABC 中,D 为边BC 上一点,AD =6,BD =3,DC =2.(1)如图1,若AD ⊥BC ,求∠BAC 的大小;(2)如图2,若∠ABC =π4,求△ADC 的面积. 解 (1)设∠BAD =α,∠DAC =β.因为AD ⊥BC ,AD =6,BD =3,DC =2,所以tan α=12,tan β=13, 所以tan∠BAC =tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=12+131-12×13=1. 又∠BAC ∈(0,π),所以∠BAC =π4. (2)设∠BAD =α.在△ABD 中,∠ABC =π4,AD =6,BD =3. 由正弦定理得AD sin π4=BDsin α, 解得sin α=24. 因为AD >BD ,所以α为锐角,从而cos α=1-sin 2α=144. 因此sin∠ADC =sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=sin αcos π4+cos αsin π4 =22⎝ ⎛⎭⎪⎫24+144=1+74. 所以△ADC 的面积S =12×AD ×DC ·sin∠ADC =12×6×2×1+74=32(1+7). 11.已知函数f (x )=3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π2+cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+x -12. (1)求函数f (x )的单调递增区间;(2)已知在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若f (A )=1,a =2,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)f (x )=3cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2-x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π2+cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+x -12=3sin x cos x +sin 2x -12 =32sin 2x -12cos 2x =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6. 令2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2(k ∈Z ),得k π-π6≤x ≤k π+π3(k ∈Z ), 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π6,k π+π3(k ∈Z ). (2)由(1)知f (A )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A -π6=1, 因为A ∈(0,π),所以2A -π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,11π6, 所以2A -π6=π2,所以A =π3. 在△ABC 中,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,又a =2,则4=b 2+c 2-bc ≥2bc -bc =bc ,即bc ≤4,当且仅当b =c =2时,等号成立.所以△ABC 面积的最大值为 S △ABC =12bc sin A =12×4×32= 3. 12.已知函数f (x )=3sin ωx ·cos ωx -cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3. (1)求ω的值;(2)在△ABC 中,sin B ,sin A ,sin C 成等比数列,求此时f (A )的值域.解 (1)f (x )=32sin 2ωx -12(cos 2ωx +1) =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx -π6-12, 因为函数f (x )的最小正周期为T =2π2ω=2π3, 所以ω=32. (2)由(1)知f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x -π6-12, 易得f (A )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫3A -π6-12. 因为sin B ,sin A ,sin C 成等比数列,所以sin 2A =sinB sinC ,所以a 2=bc , 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-bc 2bc≥2bc -bc 2bc =12(当且仅当b =c 时取等号). 因为0<A <π,所以0<A ≤π3,所以-π6<3A -π6≤5π6, 所以-12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫3A -π6≤1, 所以-1<sin ⎝⎛⎭⎪⎫3A -π6-12≤12, 所以f (A )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤-1,12. 13.已知函数f (x )=3sin x cos x +sin 2x .(1)求函数f (x )的单调递增区间;(2)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,角A 的平分线交BC 于点D ,f (A )=32,AD =2BD =2,求cos C .解 (1)f (x )=3sin x cos x +sin 2x =32sin 2x -12cos 2x +12=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6+12, 令2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2,k ∈Z , 解得k π-π6≤x ≤k π+π3,k ∈Z , 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π6,k π+π3(k ∈Z ).14.在某自然保护区,野生动物保护人员历经数年追踪,发现国家一级重点保护动物貂熊的活动区为如图所示的五边形ABECD 内,保护人员为了研究该动物生存条件的合理性,需要分析貂熊的数量与活动面积的关系,保护人员在活动区内的一条河的一岸通过测量获得如下信息:A ,B ,C ,D ,E 在同一平面内,且∠ACD =90°,∠ADC =60°,∠ACB =15°,∠BCE =105°,∠CEB =45°,DC =CE =1 km.(1)求BC 的长;(2)野生动物貂熊的活动区ABECD 的面积约为多少?(3≈1.732,结果保留两位小数)解 (1)在△BCE 中,∠CBE =180°-∠BCE -∠CEB =180°-105°-45°=30°,由正弦定理BC sin∠CEB =CEsin∠CBE , 得BC =CE sin∠CBE ·sin∠CEB =1sin 30°×sin 45°=2(km). (2)依题意知,在Rt△ACD 中,AC =DC ·tan∠ADC =1×tan 60°=3(km),又sin 105°=sin(60°+45°)=6+24, sin 15°=sin(60°-45°)=6-24, 所以活动区ABECD 的面积S =S △ACD +S △ABC +S △BCE =12×AC ×CD +12×AC ×CB ×sin 15°+12×BC ×CE ×sin 105°=12×3×1+12×3×2×6-24+12×2×1×6+24=1+32≈1.87 (km 2), 故野生动物貂熊的活动区ABECD 的面积约为1.87 km 2.15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =2a -2c cos B .(1)求角C 的大小; (2)求3cos A +sin ⎝⎛⎭⎪⎫B +π3的最大值,并求出取得最大值时角A ,B 的值. 解 (1)b =2a -2c cos B =2a -2c ·a 2+c 2-b 22ac, 整理得a 2+b 2-c 2=ab ,即cos C =12, 因为0<C <π,所以C =π3. (2)由(1)知C =π3,则B =π-A -π3, 于是3cos A +sin ⎝⎛⎭⎪⎫B +π3=3cos A +sin(π-A )=3cos A +sin A =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A +π3, 由A =2π3-B ,得0<A <2π3,π3<A +π3<π. 故当A =π6时,2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A +π3取得最大值2,此时B =π2. 15.设函数f (x )=sin x cos x -sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x -π4(x ∈R ), (1)求函数f (x )的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2=0,c =2,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)函数f (x )=sin x cos x -sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x -π4(x ∈R ), 化简可得f (x )=12sin 2x -12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π2=sin 2x -12. 令2k π-π2≤2x ≤2k π+π2(k ∈Z ), 则k π-π4≤x ≤k π+π4(k ∈Z ), 即f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π4,k π+π4(k ∈Z ). 令2k π+π2≤2x ≤2k π+3π2(k ∈Z ), 则k π+π4≤x ≤k π+3π4(k ∈Z ), 即f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π4,k π+3π4(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2=0,得sin C =12, 又因为△ABC 是锐角三角形,所以C =π6. 由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,将c =2,C =π6代入得4=a 2+b 2-3ab , 由基本不等式得a 2+b 2=4+3ab ≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立.即ab ≤4(2+3),所以S △ABC =12ab s in C ≤12·4(2+3)·12=2+3, 即△ABC 面积的最大值为2+ 3.17.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且m =(2a -c ,cos C ),n =(b ,cos B ),m ∥n .(1)求角B 的大小;(2)若b =1,当△ABC 的面积取得最大值时,求△ABC 内切圆的半径.(2)由(1)得B =π3,又b =1,在△ABC 中,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以12=a 2+c 2-ac ,即1+3ac =(a +c )2. 又(a +c )2≥4ac ,所以1+3ac ≥4ac ,即ac ≤1,当且仅当a =c =1时取等号.从而S △ABC =12ac sin B =34ac ≤34,当且仅当a =c =1时,S △ABC 取得最大值34. 设△ABC 内切圆的半径为r ,由S △ABC =12(a +b +c )r ,得r =36.。

高考数学二轮精讲三角与向量第3讲三角恒等变换(含解析)

高考数学二轮精讲三角与向量第3讲三角恒等变换(含解析)

第3讲三角恒等变换知识与方法本专题主要知识为两角和与差的正弦、余弦和正切公式.同学们要会推导正弦、余弦、正切的倍角公式和辅助角公式,运用这些公式进行简单的恒等变换.要掌握以两角差的余弦公式为基础,推导两角和与差(或二倍角)的正弦、余弦、正切公式的方法,了解它们的内在联系.进行公式探究,能利用对比、联系、化归的观点来分析、处理问题.能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换.体验由简单到复杂、从特殊到一般的变换思想,代换和方程的思想,进而提高分析问题、解决问题的能力. 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2.二倍角公式sin22sin cos ααα=;缩角升幂2221sin2(sin cos ),1cos22cos ,1cos22sin ααααααα±=±+=-=.扩角降幂22sin21cos21cos2sin cos ,sin ,cos 222ααααααα-+===.3.辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+(其中cos ϕϕ==,辅助角ϕ所在象限由点(),a b 的象限决定,tan b a ϕ⎫=⎪⎭. 注意应用特殊角的三角函数值实现数值与三角函数间的转化,要加强各三角函数公式的正用、逆用及变形应用;尤其是二倍角的正弦公式在构成完全平方式中的应用和二倍角的余弦公式在升幂、降幂变形中的应用.在进行三角恒等变换时,要掌握三角函数式的化简及证明的基本方法与常用技巧.典型例题【例1】若()()13cos ,cos 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【分析】本题为已知两个角,αβtan tan αβ,一般先“化切为弦”,发现sin sin tan tan cos cos αβαβαβ=,因此需探求角,αβ的同名三角函数值,分子恰为两角和与差的余弦公式的变形与应用.【解析】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin 55αβαβαβαβ-=+=. 两式分别相加、相减得21cos cos ,sin sin 55αβαβ==,故sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 【点睛】tan tan αβ转化为sin sin cos cos αβαβ,运用已知两角和与差的余弦公式展开,然后相加、相减可得;若为tan tan αβ,则化为sin cos cos sin αβαβ,利用两角和与差的正弦公式展开,然后相加、相减可得.【例2】若cos cos cos 0,sin sin sin 0αβγαβγ++=++=,则()cos αβ-=______. 【分析】本题涉及两角差的余弦公式的变形与应用,解决问题的关键在于将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γ,进而求出结论.【解析】因为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,所以22(cos cos )(sin sin )1αβαβ+++=,即()22cos cos sin sin 1αβαβ++=,整理得()22cos 1αβ+-=,所以()1cos 2αβ-=-. 【点睛】将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γsin sin ,cos cos ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()cos αβ-;或已知sin cos ,cos sin ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()sin αβ+.【例3】已知()sin 22sin αββ+=,且2tan1tan 22αα=-,则()tan αβ+=______.【分析】本题求角αβ+的正切值,涉及的角有2,,2ααββ+,函数名有正弦与正切.从待求目标出发,先利用二倍角正切公式求出α的正切,再将式子()sin 22sin αββ+=,化为关于α+β与α的三角函数值,得到()tan αβ+与tan α的关系求解.【解析】因为2tan1tan 22αα=-,所以22tan2tan 21tan2ααα==-.又()()sin 2sin αβααβα⎡⎤⎡⎤++=+-⎣⎦⎣⎦,所以()()()()sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin αβααβααβααβα+++=+-+,即()()sin cos 3cos sin αβααβα+=+.等号两边同除以()cos cos ααβ+,得()tan 3tan 6αβα+==.【点睛】要善于将三角恒等变换公式展开和变形.在计算过程中注意角的配凑,把末知角用已知角表示,如将2αβ+表示为(),αβαβ++表示为()αβα+-;角α是2α的二倍. 【例4】计算4cos50tan40-=()B.21 【分析】本题为三角函数式4cos50tan40-的化简与求值,涉及的角有40,50,函数名和系数均不同,先将正切化为正弦和余弦的商,再通分.利用二倍角公式时,注意到2sin80sin40cos40-中的角有80,40,先将80化为12040-,再将()sin 12040-展开,合并求解.【解析】原式sin404sin40cos40sin402sin80sin404sin40cos40cos40cos40--=-==()2sin 12040sin403cos40sin40sin403cos40cos40--+-===,答案选 C.【点睛】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式化简所给的式子,注意角的变换和拆角等. 【例5】计算()sin40tan103-.【分析】本题计算()sin40tan103-的值,涉及的角有40,10,三角函数名有正切与正弦,一般先将正切化为正弦和余弦的商,再通分并运用辅助角公式进行恒等变换.求解时要充分运用特殊角和特殊值的隐含关系,注意公式的逆用.【解析】解法1:原式()sin40sin103cos10sin10sin403cos10cos10-⎛⎫=-=⎪⎝⎭解法2:原式()sin40tan10tan60=-【点睛】解法1,构建余弦的两角和的关系.解法2则是正切的差角公式的变形应用.【例6】()1sin cos sincos )θθθθθπ⎛⎫++- ⎪<<的结果是___________.【分析】,方法是缩角升幂,去根号,加绝对值符号,开方时注意θ的范围是0θπ<<.注意到分子中含有sincos22θθ-,因此分子1sin cos θθ++的处理也化为半角的三角函数.一方面,()1sin cos 1sin cos θθθθ++=++=222sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2222222222θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos sin cos 222θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;另一方面,()21sin cos 1cos sin 2cos 2θθθθθ++=++=+2sincos2cos sin cos 22222θθθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,也就是合理分组、升幂、因式分解、提取公因式.涉及二倍角公式的应用,突出转化思想与运算能力. 【解析】0,cos0222θπθ<<>,原式212sin cos 2cos 1sin cos θθθθθ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪=222cos sin cos sin cos 2cos sin cos 222cos 2cos 2θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭===-.【点睛】依题意,可求得cos 02θ>,利用二倍角的正弦与余弦公式将所求关系式化简并约分即可.【例7】已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ,则tan2α=() A.43B.34C.34- D.43- 【分析】本题为已知同角α的正弦、余弦三角函数值的和,求角α的二倍角的正切值.通常做法是先利用同角三角函数的平方关系,解方程组,解出α的正弦、余弦三角函数值,再求出α的正切值,最后求二倍角的正切.若对原式平方,等号两边同除以“1”,化为关于tan α的二次齐次式,则更为方便.【解析】解法1:由22sin 2cos sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得222cos cos 1αα⎫+=⎪⎪⎝⎭.所以210cos 30αα-+=,解得cos α=.当cos α=,sin 2cos αα==,此时tan 3α=;当cos α=时,sin α=此时1tan 3α=-. 所以tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--.故选C.解法2:将sin 2cos αα+=平方,得225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=. 所以2222sin 4sin cos 4cos 5sin cos 2αααααα++=+,所以22tan 4tan 45tan 12ααα++=+, 所以23tan 8tan 30αα--=,解得tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--. 故选C.【点睛】由题意,结合22sin cos 1αα+=可得sin ,cos αα,进而可得tan α,将其代入二倍角的正切公式求解.【例8】若50,sin 4413x x ππ⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭,求cos2cos 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【分析】此题解法较多,若从条件与结论中角的关系入手,可发现2242x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭.若从诱导公式角度入手,可以把2x 看成是4x π+的“二倍角”.而44x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,从而将单角转化为两角差来处理.若从条件与结论的函数关系入手,可借助cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】解法1:因为04x π<<,所以120,cos 44413x x πππ⎛⎫<-<-== ⎪⎝⎭, 所以120cos2sin 22sin cos 244169x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 注意到442x x πππ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 原式cos22413cos 4x x π==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解法2:因为04x π<<,所以044x ππ<-<.所以12sin sin cos 424413x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以原式sin 22sin cos 242442sin 413cos cos 44x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法3:由5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭展开得()5cos sin 213x x -=,所以cos sin 13x x -=.所以)22cos2cos sin cos 4x x x x π==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为22(cos sin )(cos sin )2x x x x -++=,所以cos sin 13x x +=. 故原式2413=. 【点睛】(1)解有条件的三角函数求值题,关键是从条件与结论中角的关系和函数关系入手,变换条件或结论,在变换条件过程中注意角的范围的变化.(2)在恒等变形中,注意变角优先,要根据函数式中的“角”“名”“形”的特点(即有没有与特殊角相关联的角;有没有互余、互补的角;角和角之间有没有和、差、倍、半的关系)来寻求已知条件和所求式子之间的关系,从而找到解题的突破口. (3)对于条件求值题,一般先化简,再代入求值.【例9】化简1sin4cos41sin4cos4αααα+-++.【分析】可以考虑正弦、余弦的倍角公式的和与积的互化,2(sin cos )1sin2ααα±=±及1-22cos22sin ,1cos22cos αααα=+=;考虑用余弦倍角公式的升幕形式.【解析】1 原式()()221cos4sin42sin 22sin2cos21cos4sin42cos 22sin2cos2αααααααααα-++==+++ 【解析】2原式()()222222(sin2cos2)cos 2sin 2(sin2cos2)cos 2sin 2αααααααα+--=++- 【点睛】对于较复杂的三角函数式的化简与求值题,一般先观察式子的结构特征,在熟练堂握三角函数变换公式的基础上,灵活运用公式的变形、公式的逆用等.【例10】已知02πβαπ<<<<,且12cos ,sin 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求()cos αβ+的值.【分析】本题已知cos ,sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值,要求角αβ+的余弦值.观察已知角和所求角,可作222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的配凑角变换,利用余弦的差角公式求2αβ+的正弦值或余弦值,最后用二倍角公式求角αβ+的余弦值.【解析】因为02πβαπ<<<<,所以,,,24242βπαππαπβ⎛⎫⎛⎫-∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以()22239cos 2cos1212729αβαβ++=-=⨯-=-⎝⎭.【点睛】“凑角法”是解三角函数题的常用技巧,本题计算角αβ+的余弦函数值,而已知角只有,22βααβ--,因此要将αβ+配凑为22βααβ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的二倍.【例11】已知都是锐角,若sin αβ==,则αβ+=______________. A.4πB.34πC.4π和34πD.4π-和34π- 【分析】本题要求角αβ+的大小,一般方法是求其某一三角函数值,结合角的范围求角的大小(或范围).考虑到,αβ都是锐角,0αβπ<+<,为使角的三角函数值唯一,则考虑选用求()cos αβ+.【解析】因为sin αβ==且,αβ都是锐角,所以cos αβ==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-==. 又()0,αβπ+∈,所以4παβ+=.故选A.【点睛】例已知,αβ的正弦值,根据同角的正弦值与余弦值的平方关系,可分别求出,αβ的余弦值,接下来利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+,然后结合αβ+αβ+的取值范围这里选用()cos αβ+求解,若选用()sin αβ+求解,应先考虑缩小αβ+的取值范围,否则会产生增解34παβ+=.【例12】已知函数()226sin cos 2cos 1,4f x x x x x x π⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭R . (1)求()f x 的最小正周期.(2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【分析】本题研究三角函数()f x 的性质,计算化简时利用相关三角恒等变换公式,需要将已知函数式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式,常用公式为辅助角公式.【解析】(1) ()3sin2cos2f x x x x x⎫=+-⎪⎪⎭所以()f x 的最小正周期2T ππω==.(2)因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.所以sin 242x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,所以max min?()()2f x f x ==-.【点睛】用二倍角公式降幂,结合辅助角公式研究三角函数的图象与性质.强化训练1.若()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【答案】2- 【解析】1sin cos cos sin 5αβαβ+=,3sin cos cos sin 5αβαβ-=,两式分别相加、相减得,21sin cos ,cos sin 55αβαβ==- 所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-.2.已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,且,x y 为锐角,则()tan x y -的值是()B.C.【答案】B 【解析】已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,两式平方并相加得 ()822cos cos sin sin 9x y x y -+=, 即()5cos 9x y -=. 因为,x y 为锐角,sin sin 0x y -<,所以x y <.所以()sin x y -==()()()sin tan cos 5x y x y x y --==--. 3.求值:tan20tan403tan20tan40++.【解析】原式()()tan 20401tan20tan403tan20tan40=+-+ )1tan20tan403tan20tan403=-+=. 4.化简2cos10sin20cos20-. 【解析】:原式2cos10sin20cos20-==5.求值():cos4013tan10+. 【解析】原式3sin10cos10cos40cos10+=⨯()2sin 1030cos40cos10+=⨯ 2sin40cos40sin801cos10cos10===.6.化简()()()()22:cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ-+++-+. 【解析】解法1:原式=()()1cos 12021cos 120211cos cos 222222θθθθθθ+-++⎛⎫⎫⎛+++- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎝⎭⎭34=.解法2:由余弦的平方差公式得()()22cos cos cos sin αβαβαβ+-=-,所以原式()()()()2cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ⎡⎤=-++--+⎣⎦34=.7.已知3sin 4cos 0αα-=,则23cos2α+=_______.【答案】2925【解析】因为3sin 4cos 0αα-=所以4tan 3α=.所以222222cos sin 1tan 7cos2cos sin 1tan 25ααααααα--===-++, 所以212923cos222525α+=-=. 8.已知1sin cos 2αα=+,且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】 【解析】解法1:由1sin cos 2αα=+和22sin cos 1αα+=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得11sin 44αα+-+==, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解法2:由1sin cos 2αα=+可得1sin cos 2αα-=,等号两边平方可得3sin24α=, 则27(sin cos )4αα+=. 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin cos 2αα+=, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭9.设3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,. 【解析】因为3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.原式cos cos 22αα====-.10.已知函数(),12f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R . (1)求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. (2)若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【解析】(1)164f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)因为33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-. 故4324sin22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭, 所以27cos212sin 25θθ=-=-.从而1722cos2sin23425f ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 11.已知()113cos ,cos 714ααβ=-=,且02πβα<<<.(1)求tan2α的值.(2)求β.【解析】(1)因为1cos ,072παα=<<,所以sin tan 7αα==所以22tan tan21tan 14847ααα===---. (2)因为02παβ<-<,所以()sin αβ-==所以()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦11317142=⨯+=. 因为02πβ<<,所以3πβ=.12.已知函数()26cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,,B C 为图象与x 轴的交点,ABC 为正三角形.(1)求ω的值及函数()f x 的值域.(2)若()0f x =且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求()01f x +的值.【解析】(1)由已知可得,()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以正三角形ABC 的高为从而4BC =. 所以函数()f x 的周期428T =⨯=,即28πω=,4πω=函数()f x 的值域为⎡-⎣.(2)已知()0f x =由(1)有()00435f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 即04sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭知0,4322x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,所以03cos 435x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故()001443f x x πππ⎛⎫+=++⎪⎝⎭00sin cos 43435x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦.。

专题解析:三角恒等变换与解三角形

专题解析:三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形核心考点(一)三角恒等变换【核心知识】1.两角和与差的余弦、正弦及正切公式①cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β②cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β③sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β④sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β⑤tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β(α≠k π+π2,k ∈Z ,β≠k π+π2,k ∈Z ,α+β≠k π+π2,k ∈Z )⑥tan (α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β(α≠k π+π2,k ∈Z ,β≠k π+π2,k ∈Z ,α-β≠k π+π2,k ∈Z )2.二倍角公式:①sin 2α=2sin αcos α②cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α③tan2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2,k ∈Z ,2α≠k π+π2,k ∈Z ,α≠k π±π4,k ∈Z )3.辅助角公式:a cos x +b sin x x +ba 2+b 2sin 令sin θ=aa 2+b 2,cos θ∴a cos x +b sin x =a 2+b 2sin (x +θ),其中θ为辅助角,tan θ=ab .4.降幂公式①sin 2α=1-cos2α2②cos 2α=1+cos2α2③sin αcos α=12sin 2α【典例引领·研明】【典例】(1)(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ+sin 1,则sin ()A .12B .33C .23D .22解析:选B .∵sin θ+sin =32sin θ+32cos θ=3sin 1,∴sin =33.故选B .(2)已知黄金三角形是一个等腰三角形,其底与腰的长度的比值为黄金比值(即黄金分割值5-12,该值恰好等于2sin 18˚),则sin 100˚cos 26˚+cos 100˚sin 26˚=()A .-5+24B .5+24C .-5+14D .5+14解析:选D .由已知可得2sin 18˚=5-12,故sin 18˚=5-14,则sin 100˚cos 26˚+cos 100˚sin 26˚=sin 126˚=sin (36˚+90˚)=cos 36˚=1-2sin 218˚=1-2×(5-14)2=5+14.故选D .(3)(多选)下列各式中值为12的是()A .1-2cos 275°B .sin135°cos 15°-cos 45°cos 75°C .tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°D .cos 35°1-sin 20°2cos 20°解析:选BD.对于A ,1-2cos 275°=-cos 150°=cos 30°=32,A 错误;对于B ,sin 135°cos 15°-cos 45°cos 75°=sin 45°sin 75°-cos 45°cos 75°=-cos 120°=12,B 正确;对于C ,∵tan 45°=1=tan 20°+tan 25°1-tan 20°tan 25°,∴1-tan 20°tan 25°=tan 20°+tan 25°,∴tan20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1,C 错误;对于D ,cos 35°1-sin 20°2cos 20°=cos 35°(cos 10°-sin 10°)22(cos 10°+sin 10°)(cos 10°-sin 10°)=cos 35°2(cos 10°+sin 10°)=cos 45°cos 10°+sin 45°sin 10°2(cos 10°+sin 10°)=22(cos 10°+sin 10°)2(cos 10°+sin 10°)=12,D 正确;故选BD.(4)(2022·浙江高考)若3sin α-sin β=10,α+β=π2,则sin α=______,cos 2β=____________.解析:∵α+β=π2,∴sin β=cos α,∵3sin α-cos α=10,α-1010cos =10,令sin θ=1010,cos θ=31010,则10sin (α-θ)=10,∴α-θ=π2+2k π,k ∈Z ,即α=θ+π2+2k π,∴sin α=sin +π2+2k cos θ=31010,则cos 2β=2cos 2β-1=2sin 2α-1=45.答案:3101045【解题方法】———————————————————————————————●1.三角函数求值的类型及方法(1)常值代换:常用到“1”的代换,1=sin 2θ+cos 2θ=tan45°等.(2)项的拆分与角的配凑:如sin 2α+2cos 2α=(sin 2α+cos 2α)+cos 2α,α=(α-β)+β等.(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化:一般是切化弦.【对点集训·练透】1.(2021·全国高考甲卷)若αtan2α=cos α2-sin α,则tan α=()A .1515B .55C .53D .153解析:选A .∵tan 2α=cos α2-sin α,∴tan 2α=sin 2αcos 2α=2sin αcos α1-2sin 2α=cos α2-sin α,∵αcos α≠0,∴2sin α1-2sin 2α=12-sin α,解得sin α=14,∴cos α=1-sin 2α=154,∴tan α=sin αcos α=1515.故选A .2.(2022·江苏盐城二模)计算2cos 10°-sin 20°cos 20°所得的结果为()A .1B .2C .3D .2解析:选C .2cos 10°-sin 20°cos 20°=2cos (30°-20°)-sin 20°cos 20°=3cos 20°+sin 20°-sin 20°cos 20°=3.3.已知αsin +=13,则tan α的值为____________.解析:∵sin 2cos 2α=13,α∴sin α=1-cos 2α2=33,cos α=1+cos 2α2=63,∴tan α=sin αcos α=22.答案:224.(2022·湖南郴州二模)如图,以Ox 为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P ,已知点P -35,,则sin 2α+cos 2α+11+tan α=________.解析:由三角函数定义,得cos α=-35,sin α=45,∴原式=2sin αcos α+2cos 2α1+sin αcos α=2cos α(sin α+cos α)sin α+cos αcos α=2cos 2α=2=1825.答案:1825核心考点(二)利用正、余弦定理解三角形【核心知识】1.正弦定理及其变形a sin A =b sin B =c sin C=2R (2R 为△ABC 外接圆的直径).【变形】a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C .sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R.a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C .2.余弦定理及其推论、变形a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C .【推论】cos A =b 2+c 2-a 22bc,cos B =a 2+c 2-b 22ac,cos C =a 2+b 2-c 22ab.【变形】b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,a 2+c 2-b 2=2ac cos B ,a 2+b 2-c 2=2ab cos C .3.射影定理在△ABC 中,a =b cos C +c cos B ;b =a cos C +c cos A ;c =a cos B +b cos A ,称为“射影定理”.4.面积公式S△ABC=12bc sin A=12ac sin B=12ab sin C.角度1利用正、余弦定理进行边角计算【例1】(2021·福建漳州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2b -c)cos A=a cos C,则A=()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析:选B.法一∵(2b-c)cos A=a cos C,∴由正弦定理得(2sin B-sin C)cos A=sin A cos C,∴2sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C)=sin B,∵0<B<π,∴cos A=12,又0<A<π,∴A=π3.法二∵(2b-c)cos A=a cos C,∴2b cos A=a cos C+c cos A=b,∴cos A=12,又0<A<π,∴A=π3.【例2】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3a cos C-c sin A=3b.(1)求角A;(2)若c=2,且BC边上的中线长为3,求b.解:(1)由题意,3a cos C-c sin A=3b,由正弦定理得3sin A cos C-sin C sin A=3sin B,因为B=π-A-C,所以3sin A cos C-sin C sin A=3sin(A+C),得3sin A cos C-sin C sin A=3sin A cos C+3cos A sin C,得-sin C sin A=3cos A sin C,因为sin C≠0,所以sin A=-3cos A,即tan A=-3,又A∈(0,π),所以A=2π3.(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+4+2b①,cos B=a2+c2-b22ac=a2+4-b24a.设BC的中点为D,则在△ABD中,cos B2×a2×c=a24+12a,所以a 2+4-b 24a =a 24+12a ,得a 2+4-2b 2=0②,由①②可得,b 2-2b -8=0,所以b =4.【解题方法】———————————————————————————————●(1)求边:利用公式a =b sin A sin B ,b =a sin B sin A ,c =a sin Csin A 或其他相应变形公式求解.(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A =a sin B b ,sin B =b sin A a ,sin C =c sin Aa或其他相应变形公式求解.(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化:如出现a 2+b 2-c 2=λab 形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.(5)常常应用A +B +C =π减少未知角的个数.【对点练】1.(2022·山西大同二模)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知b +c =2a cos B .(1)证明:A =2B ;(2)若cos B =23,求cos C 的值.解:(1)证明:由正弦定理得sin B +sin C =2sin A cos B ,故2sin A cos B =sin B +sin (A +B )=sin B +sin A ·cos B +cos A sin B ,于是sin B =sin (A -B ).又A ,B ∈(0,π),故0<A -B ,所以B =π-(A -B )或B =A -B ,因此A =π(舍去)或A =2B ,所以,A =2B .(2)由cos B =23得sin B =53,cos 2B =2cos 2B -1=-19,故cos A =-19,sin A =459,cos C =-cos (A +B )=-cos A cos B +sin A sin B =2227.2.已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b sin A cos C +c sin A cos B =15a4.(1)求sin A ;(2)若a =32,b =4,求c .解:(1)因为b sin A cos C +c sin A cos B =15a4,所以由正弦定理,得sin B sin A cos C +sin C sin A cos B =15sin A4,因为sin A ≠0,所以sin B cos C +sin C cos B =154,所以sin (B +C )=154,所以sin (π-A )=154,所以sin A =154.(2)因为△ABC 为锐角三角形,所以A 为锐角,因为sin A =154,所以cos A =14.因为a =32,b =4,由余弦定理得(32)2=42+c 2-2×4×c ×14,所以c 2-2c -2=0,所以c =3+1.角度2与面积和周长有关的问题【例3】(2022·北京高考)在△ABC 中,sin 2C =3sin C .(1)求∠C ;(2)若b =6,且△ABC 的面积为63,求△ABC 的周长.解:(1)因为C ∈(0,π),则sin C >0,由已知可得3sin C =2sin C cos C ,可得cos C =32,因此,C =π6.(2)由三角形的面积公式可得S △ABC =12ab sin C =32a =63,解得a =4 3.由余弦定理可得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =48+36-2×43×6×32=12,∴c =23,所以,△ABC 的周长为a +b +c =63+6.【例4】(2022·湖南益阳二模)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin A +3cos A =0,a =27,b =2.(1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求△ABD 的面积.解:(1)由已知可得tan A =-3,所以A =2π3.在△ABC 中,由余弦定理得28=4+c 2-4c cos 2π3,即c 2+2c -24=0.解得c =-6(舍去),c =4.(2)由题设可得∠CAD =π2,所以∠BAD =∠BAC -∠CAD =π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sinπ612AC ·AD =1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC =23,所以△ABD 的面积为 3.【解题方法】———————————————————————————————●(1)对于面积公式S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A ,一般是已知哪一个角就使用含该角的公式.(2)与面积有关的问题,一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.三角形面积公式还可用其他几何量表示:S =12(a +b +c )r ,其中a +b +c 为三角形的周长,r 为三角形内切圆的半径.【对点练】3.(2021·新高考全国Ⅱ卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ,且满足b =a +1,c =a +2.(1)若2sin C =3sin A ,求△ABC 的面积;(2)是否存在正整数a ,使得△ABC 为钝角三角形?若存在,求a ;若不存在,说明理由.解:(1)2sin C =3sin A ⇒2c =3a ,∵c =a +2,∴2(a +2)=3a ,∴a =4,∴b =a +1=5,c =a +2=6,∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =52+62-422×5×6=34,∴sin A =1-cos 2A =74,∴S △ABC =12bc sin A =12×5×6=1574.(2)存在.由于c >b >a ,故要使△ABC 为钝角三角形,只能是C 为钝角.cos C =a 2+b 2-c 22ab <0⇒a 2+b 2<c 2⇒a 2+(a +1)2<(a +2)2⇒a 2-2a -3<0⇒-1<a <3,又a >0,∴a ∈(0,3).考虑构成△ABC 的条件,可得a +b >c ⇒a +(a +1)>a +2⇒a >1.综上,a ∈(1,3).又a 为正整数,∴a =2,∴存在a =2,使得△ABC 为钝角三角形.4.(2022·浙江高考)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知4a =5c ,cos C =35.(1)求sin A 的值;(2)若b =11,求△ABC 的面积.解:(1)由于cos C =35,0<C <π,则sin C =45.因为4a =5c ,由正弦定理知4sin A =5sin C ,则sin A =54sin C =55.(2)因为4a =5c ,由余弦定理,得cos C =a 2+b 2-c 22ab=a 2+121-165a 222a =11-a 252a=35,即a 2+6a -55=0,解得a =5,而sin C =45,b =11,所以△ABC 的面积S =12ab sin C =12×5×11×45=22.角度3最值与范围问题【例5】(2019·全国高考Ⅲ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a sin A +C2=b sin A .(1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.解:(1)由题设及正弦定理得sin A sin A +C2=sin B sin A .因为sin A ≠0,所以sinA +C2=sin B .由A +B +C =180°,可得sinA +C 2=cos B 2,故cos B 2=2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0,故sin B 2=12,因此B =60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =34a .由正弦定理得a =c sin A sin C =sin (120°-C )sin C=32tan C +12.由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A <90°,0°<C <90°.由(1)知A +C =120°,所以30°<C <90°,故12<a <2,从而38<S △ABC <32.因此,△ABC 面积的取值范围是(38,32).【例6】(2022·河北沧州二模)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2(tan A +tan B )=tan A cos B +tan Bcos A.(1)证明:a +b =2c ;(2)求cos C 的最小值.解:(1)证明:由题意知=sin A cos A cos B +sin Bcos A cos B ,化简得2(sin A cos B +sin B cos A )=sin A +sin B ,即2sin (A +B )=sin A +sin B ,因为A +B +C =π,所以sin (A +B )=sin (π-C )=sin C .从而sin A +sin B =2sin C .由正弦定理得a +b =2c .(2)由(1)知c =a +b 2,所以cos C =a 2+b 2-c 22ab =2ab -14≥12,当且仅当a =b 时,等号成立.故cos C 的最小值为12.【解题方法】———————————————————————————————●求解三角形中最值、范围问题的方法(1)函数法:建立有关的函数关系式,利用角的范围求解;(2)基本不等式法:当三角形中一组边角成对已知时,一般考虑余弦定理,转化为圆内接三角形,利用不等式可求周长最大值问题.【对点练】5.(2021·内蒙古包头一模)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin 2B -sin 2A -sin 2C =sin A sin C .(1)求B ;(2)若b =3,当△ABC 的周长最大时,求它的面积.解:(1)由正弦定理得b 2-a 2-c 2=ac ,∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =-12,∵B ∈(0,π),∴B =2π3.(2)由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac +ac =(a +c )2-ac =9,∴ac =(a +c )2-9(当且仅当a =c 时取等号),∴a +c ≤23,∴当a =c =3时,△ABC 周长取得最大值,此时S △ABC =12ac sin B =32×32=334.6.(2022·新高考全国Ⅰ卷)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos A1+sin A=sin 2B 1+cos 2B.(1)若C =2π3,求B ;(2)求a 2+b 2c 2的最小值.解:(1)因为cos A 1+sin A =sin 2B 1+cos 2B=2sin B cos B 2cos 2B =sin Bcos B ,即sin B =cos A cos B -sin A sin B =cos (A +B )=-cos C =12,而0<B <π2,所以B =π6.(2)由(1)知,sin B =-cos C >0,所以π2<C <π,0<B <π2,而sin B =-cos C =sin所以C =π2+B ,即有A =π2-2B ,所以a 2+b 2c 2=sin 2A +sin 2Bsin 2C=cos 22B +1-cos 2B cos 2B =(2cos 2B -1)2+1-cos 2B cos 2B=4cos 2B +2cos 2B -5≥28-5=42-5,当且仅当cos 2B =22时取等号,所以a 2+b 2c2的最小值为42-5.核心考点(三)解三角形的综合应用角度1与平面几何有关的解三角形问题【例1】(2020·全国Ⅰ卷)如图,在三棱锥P ­ABC 的平面展开图中,AC =1,AB =AD =3,AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,∠CAE =30°,则cos ∠FCB =________.解析:在△ABC 中,AB ⊥AC,AC =1,AB =3,所以BC =2.在△ABD 中,AB ⊥AD,AD =3,AB =3,所以BD = 6.在△ACE 中,AC =1,AE =AD =3,∠CAE =30°,由余弦定理得CE 2=AC 2+AE 2-2AC ·AE ·cos ∠CAE =1+3-2×1×3×32=1,所以CE =1.在△BCF 中,BC =2,FC =CE =1,BF =BD =6,由余弦定理得cos ∠FCB =FC 2+BC 2-FB 22FC ·BC =1+4-62×1×2=-14.答案:-14【例2】(2021·新高考全国Ⅰ卷)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b 2=ac ,点D 在边AC 上,BD sin ∠ABC =a sin C .(1)证明:BD =b ;(2)若AD =2DC ,求cos ∠ABC .解:(1)证明:由题设,BD =a sinC sin ∠ABC,由正弦定理知c sin C =b sin ∠ABC ,即sin C sin ∠ABC =c b,∴BD =acb ,又b 2=ac ,∴BD =b ,得证.(2)由题意知,BD =b ,AD =2b3,DC =b 3,∴cos ∠ADB =b 2+4b 29-c 22b ·2b 3=13b 29-c 24b 23,同理cos ∠CDB =b 2+b 29-a 22b ·b 3=10b 29-a 22b 23,∵∠ADB =π-∠CDB ,∴13b 29-c 24b 23=a 2-10b 292b 23,整理得2a 2+c 2=11b 23,又b 2=ac ,∴2a 2+b 4a 2=11b 23,整理得6a 4-11a 2b 2+3b 4=0,解得a 2b 2=13或a 2b 2=32,由余弦定理知,cos ∠ABC =a 2+c 2-b 22ac=43-a 22b 2,当a 2b 2=13时,cos ∠ABC =76>1不合题意;当a 2b 2=32时,cos ∠ABC =712.综上,cos ∠ABC =712.【解题方法】———————————————————————————————●(1)分析平面几何图形,寻找一个含有三个独立条件的三角形并求解,将解得的边、角再用于求解其他三角形.(2)如果两个三角形有共同的边或角,也可列方程求解.【对点练】1.(2022·山东临沂一模)如图,在△ABC 中,∠B =π3,AB =8,点D 在BC 边上,且CD =2,cos ∠ADC =17.(1)求sin ∠BAD ;(2)求BD ,AC 的长.解:(1)在△ADC 中,因为cos ∠ADC =17,所以sin ∠ADC =437.所以sin ∠BAD =sin (∠ADC -∠B )=sin ∠ADC cos B -cos ∠ADC sin B =437×12-17×32=3314.(2)在△ABD 中,由正弦定理,得BD =AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB =8×3314437=3.在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B =82+52-2×8×5×12=49,所以AC =7.2.(2022·湖南株洲二模)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB ,DE =1,EC =7,EA =2,∠ADC =2π3,∠BEC =π3.(1)求sin ∠CED 的值;(2)求BE 的长.解:设∠CED =α.(1)在△CDE 中,由余弦定理,得EC 2=CD 2+DE 2-2CD ·DE ·cos ∠EDC .于是由题设知,7=CD 2+1+CD ,即CD 2+CD -6=0.解得CD =2(CD =-3舍去).在△CDE 中,由正弦定理,得EC sin ∠EDC=CDsin α.于是,sin α=CD ·sin2π3EC =2×327=217,即sin ∠CED =217.(2)由题设知,0<α<π3,于是由(1)知,cos α=1-sin 2α=1-2149=277.而∠AEB =2π3-α,所以cos ∠AEB =coscos 2π3cos α+sin 2π3sin α=-12cos α+32sin α=-12×277+32×217=714.在Rt △EAB 中,cos ∠AEB =EA BE =2BE,故BE =2cos ∠AEB=2714=47.角度2正、余弦定理的实际应用【例3】如图所示,为了测量A ,B 处岛屿的距离,小明在D 处观测,A ,B 分别在D 处的北偏西15˚、北偏东45˚方向,再往正东方向行驶40n mile 至C 处,观测B 在C 处的正北方向,A 在C 处的北偏西60˚方向,则A ,B 两处岛屿间的距离为()A .206n mileB .406n mileC .20(1+3)n mileD .40n mile解析:选A .在△ACD 中,∠ADC =15˚+90˚=105˚,∠ACD =30˚,所以∠CAD =45˚,由正弦定理可得:CD sin ∠CAD =ADsin ∠ACD,解得AD =CD sin ∠ACDsin ∠CAD=40×1222=20 2.在Rt △DCB 中,∠BDC =45˚,所以BD =2CD =40 2.在△ABD 中,由余弦定理可得:AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD cos ∠ADB =800+3200-2×202×402×12=2400,解得AB =20 6.【例4】如图,小明同学为了估算索菲亚教堂的高度,在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ,高为(153-15)m ,在它们之间的地面上的点M (B ,M ,D 三点共线)处测得楼顶A ,教堂顶C 的仰角分别是15˚和60˚,在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30˚,则小明估算索菲亚教堂的高度为()A .20mB .30mC .203mD .303m解析:选D .由题意知:∠CAM =45˚,∠AMC =105˚,所以∠ACM =30˚.在Rt △ABM 中,AM =AB sin ∠AMB =ABsin 15˚,在△ACM 中,由正弦定理得AM sin 30˚=CMsin 45˚,所以CM =AM ·sin 45˚sin 30˚=AB ·sin 45˚sin 15˚·sin 30˚,在Rt △DCM 中,CD =CM ·sin 60˚=AB ·sin 45˚·sin 60˚sin 15˚·sin 30˚=(153-15)×22×326-24×12=30 3.【解题方法】———————————————————————————————●应用三角知识解决实际问题的模型【对点练】3.小明去海边钓鱼,将鱼竿AB摆成如图所示的样子.已知鱼竿=4.2m,海平面EC与地面AM相距0.9m,鱼竿甩出后,BC,CD均为钓鱼线,线长共5m,鱼竿尾端离岸边0.3m,即AM=0.3m,假设水下钓鱼线CD与海平面垂直,水面上的钓鱼线BC与海平面的夹角为45˚,鱼竿与地面的夹角为30˚,则鱼钩D到岸边的距离约为________.(结果保留两位小数,3≈1.732)解析:如图,过点B作BN⊥CE,垂足为N,过点A作AG⊥BN,垂足为G.∵AB=4.2m,鱼竿与地面的夹角为30˚,∴BG=2.1m,AG=2.13m.∵海平面EN与地面AM相距0.9m,∴BN=2.1+0.9=3m,∵水面上的钓鱼线BC45˚,∴CN=BN=3m,∴C到岸边的距离为3+2.13-0.3≈6.34m.又水下钓鱼线CD与海平面垂直,∴鱼钩D到岸边的距离约为6.34m.答案:6.34m。

2019年高考数学(文科)二轮练习(通用版)第二篇第10练三角恒等变换与解三角形Word版含解析

2019年高考数学(文科)二轮练习(通用版)第二篇第10练三角恒等变换与解三角形Word版含解析

第10练 三角恒等变换与解三角形[中档大题规范练][明晰考情] 1.命题角度:与三角恒等变换、三角函数的性质相结合,考查解三角形及三角形的面积问题.2.题目难度:一般在解答题的第一题位置,中档难度.考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 方法技巧 (1)公式法解三角形:直接利用正弦定理或余弦定理,其实质是将几何问题转化为代数问题,适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形:合理转化已知条件中的边角关系,适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2018·天津)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知b sin A =a cos ⎝⎛⎭⎫B -π6. (1)求角B 的大小;(2)设a =2,c =3,求b 和sin(2A -B )的值.解 (1)在△ABC 中,由正弦定理a sin A =b sin B,可得b sin A =a sin B . 又由b sin A =a cos ⎝⎛⎭⎫B -π6,得a sin B =a cos ⎝⎛⎭⎫B -π6, 即sin B =cos ⎝⎛⎭⎫B -π6,所以tan B = 3. 又因为B ∈(0,π),所以B =π3. (2)在△ABC 中,由余弦定理及a =2,c =3,B =π3, 得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =7,故b =7.由b sin A =a cos ⎝⎛⎭⎫B -π6,可得sin A =217. 因为a <c ,所以cos A =277. 因此sin 2A =2sin A cos A =437, cos 2A =2cos 2A -1=17. 所以sin(2A -B )=sin 2A cos B -cos 2A sin B=437×12-17×32=3314. 2.(2018·唐山模拟)如图,在平面四边形ABCD 中,AB =BD =DA =2,∠ACB =30°.(1)求证:BC =4cos ∠CBD ;(2)点C 移动时,判断CD 是否为定长,并说明理由.(1)证明 在△ABC 中,AB =2,∠ACB =30°, 由正弦定理可知,BC sin ∠BAC =2sin 30°, 所以BC =4sin ∠BAC .又∠ABD =60°,∠ACB =30°,则∠BAC +∠CBD =90°,则sin ∠BAC =cos ∠CBD ,所以BC =4cos ∠CBD .(2)解 CD 为定长,因为在△BCD 中,由(1)及余弦定理可知,CD 2=BC 2+BD 2-2×BC ×BD ×cos ∠CBD ,=BC 2+4-4BC cos ∠CBD=BC 2+4-BC 2=4,所以CD =2.3.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且1a +b +1a +c =3a +b +c. (1)求角A 的大小;(2)若c b =12+3,a =15,求b 的值. 解 (1)由题意,可得a +b +c a +b +a +b +c a +c=3, 即c a +b +b a +c=1, 整理得b 2+c 2-a 2=bc ,由余弦定理知,cos A =b 2+c 2-a 22bc =12, 因为0<A <π,所以A =π3.(2)根据正弦定理,得c b =sin C sin B =sin (A +B )sin B =sin A cos B +cos A sin B sin B =sin A tan B +cos A =32tan B +12=12+3, 解得tan B =12,所以sin B =55. 由正弦定理得,b =a sin B sin A =15×5532=2.考点二 三角形的面积问题方法技巧 三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系,则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角,再利用三角形面积公式求解.4.(2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长.解 (1)由题设得12ac sin B =a 23sin A , 即12c sin B =a 3sin A. 由正弦定理,得12sin C sin B =sin A 3sin A, 故sin B sin C =23. (2)由题设及(1),得cos B cos C -sin B sin C =-12, 即cos(B +C )=-12.所以B +C =2π3,故A =π3. 由题意得12bc sin A =a 23sin A,a =3,所以bc =8. 由余弦定理,得b 2+c 2-bc =9,即(b +c )2-3bc =9.由bc =8,得b +c =33.故△ABC 的周长为3+33.5.(2018·内蒙古集宁一中月考)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足23a sin C sin B =a sin A +b sin B -c sin C .(1)求角C 的大小;(2)若a cos ⎝⎛⎭⎫π2-B =b cos(2k π+A )(k ∈Z )且a =2,求△ABC 的面积.解 (1)由23a sin C sin B =a sin A +b sin B -c sin C 得, 23ab sin C =a 2+b 2-c 2, ∴3sin C =a 2+b 2-c 22ab,∴3sin C =cos C , ∴tan C =33,∵C ∈(0,π),∴C =π6. (2)由a cos ⎝⎛⎭⎫π2-B =b cos(2k π+A )(k ∈Z ), 得a sin B =b cos A ,由正弦定理得sin A =cos A ,且A ∈(0,π),∴A =π4. 根据正弦定理可得2sin π4=c sin π6,解得c =2, ∴S △ABC =12ac sin B =12×2×2sin(π-A -C ) =2sin ⎝⎛⎭⎫π4+π6=3+12. 6.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =b cos C +c sin B .(1)求B 的大小;(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.解 (1)由已知及正弦定理得sin A =sin B cos C +sin C sin B ,①又∵A =π-(B +C ),∴sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C .②由①②和C ∈(0,π),得sin B =cos B .又∵B ∈(0,π),∴B =π4. (2)△ABC 的面积S =12ac sin B =24ac . 由已知及余弦定理得4=a 2+c 2-2ac cos π4. 又a 2+c 2≥2ac ,故ac ≤42-2, 当且仅当a =c 时,等号成立.因此△ABC 面积的最大值为2+1.。

2019高考真题名校模拟(文数)三角恒等变换(含答案)

2019高考真题名校模拟(文数)三角恒等变换(含答案)

4.2 三角恒等变换五年高考A 组统一命题·课标卷题组考点 三角恒等变换1.(2018课标全国III ,4,5分)若,31sin =α则=α2cos ( )98.A 97.B 97-.C 98-.D 2.(2017课标全国III .4,5分)已知,34cos sin =-αα则=α2sin ( )97-.A 92-.B 92.C 97.D3.(2016课标全国111-6,5分)若,31tan =θ则=θ2cos ( )54.A 51.B 51.C 54.D 4.(2014课标I .8,5分.0.795)设),2,0(),2,0(πβπα∈∈且,cos sin 1tan ββα+=则( ) 23.πβα=-A 23.πβα=+B 22.πβα=-C 22.πβα=+D5.(2018课标全国II ,15,5分)已知,51)45tan(=πα则.tan α=___________ 6.(2017课标全国I ,15,5分)已知,2tan ),2,0(=∈απα则=)4cos(πα_________7.(2016课标全国I .14,5分)已知θ是第四象限角,且 ,53)4sin(=+πθ则=)4tan(πθ________B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点 三角恒等变换1.(2017山东.4,5分)已知,43cos =x 则=x 2cos ( ) 41.A 41.B 81.C 81.D 2.I 2015重庆.6,5分)若,21)tan(,31tan =+=βαα则=βtan ( )71.A 61.B 75.C 65.D 3.(2017江苏,5,5分)若,61)4-tan(=πα则=αtan ___________4.(2016浙江,11,6分)已知>++=+A b x A x x ()sin(2sin cos 22ϕω),0则A=_______,b=________5.(2018江苏.16,14分)已知βα,为锐角.)cos(,34tan βαα+=⋅=55 (1)求α2cos 的值;(2)求)tan(βα-的值. 6.(2014江西.16,12分)已知函数)cos 2()(2x a x f +=)2cos(θ+⋅x 为奇函数,且,0)4(=πf 其中⋅∈∈),0(,πθR a(1)求θ,a 的值;(2)若)3sin(),,2(,52)4(παππαα+∈=的值. 7.(2014天津16,13分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a .b .c .已知.sin 6sin ,66C B b c a ==- (1)求A cos 的值: (2)求)62cos(πA的值.8.(2015四19,12分)已知A .B ,C 为△ABC 的内角,tan A ,tan B 是关于x 的方程)(0132R p p px x ∈=+-+ 的两个实根. (1)求C 的大小;(2)若,6,3==AC AB 求p 的值.突破方法方法 三角函数式的化简求值 例 (2015广东,16,12分)已知.2tan =α(1)求)4tan(πα+的值:(2)求12cos cos sin 2sin 2--+αααααms 的值.1-1 (2016河北名师俱乐部3月模拟,8)已知∈θ,414cos sin ),4,0(=-θθπ则=+-)4cos(1cos 22θπθ( ) 32.A 34.B 43.C 23.D 1-2=-40tan 50cos 4( )2.A 232.+B 3.C 122.-D 三年模拟A 组2016-2018年高考模拟·基础题组考点 三角恒等变换1.(2018辽宁东北育才学校三模)角α的终边与单位圆交于点),552,55(则=α2cos ( ) 51.A 51.B 53.C 53.D 2.(2018陕西榆林二中七模)设|)6cos(),2,0(παπα+∈若,54=则=αsin ( ) 10343.-A 10343.+B 10433.+C 10433.-D 3.( 2018甘肃张掖第一次质检)已知),2cos(4)2tan(θπθπ-==<θπθ2tan ,2||则( )815.A 815.B 715.c 715.D 4.(2018内蒙古呼和浩特质量普查)若,31)sin(=-απ且απ≤2,π≤则α2sin 的值为 ( )922.A 924.B 922.C 924.D5.(2016宁夏六盘山四模)已知,31sin =α则=α2cos ( )167.A 167.B 97.C 97.D6.(2017重庆巴蜀中学二诊)=+80sin 40cos 10sin 40sin ( )21.A 23.B50cos .C 23.D 7.(2017陕西师大附中二模)已知),,2(,54cos ππαα∈-=且则)4tan(πα+等于( ) 71.A 7.-B 71.C 7.D 8.(2017辽宁凌源实验中学、凌源二中联考)25cos 30cos 25sin 85cos o o +等于( )23.A 21.B 21.C 23.D 9.(2017黑龙江哈尔滨三中二模)已知,31)-3sin(=απ则=)2-6sin(απ( ) 97.A 97.B 97.±C 92.D 10.(2017甘肃兰州实战模拟)若βαβαcos cos ,231sin sin --=-,21=则=-)cos(βα__________ B 组2016-2018年高考模拟·综合题组一、选择题(每题5分,共30分) 1.(2018陕西榆林二模)已知,2||),2cos(3sin cos πθθπθθ<+=则=θ2sin ( ) 928.A 322.B 924.C 922.D2.(2018陕西榆林第一次模拟)若,02,20<<-<<βππα,33)24cos(,31)4cos(=-=+βπαπ则=+)2cos(βα( )935.A 33.B 2737.C 96.D3.(2018甘肃张掖第一次质量检测)若ααπ,43)tan(=-是第二象限角,则=-⋅+2sin2sin1απαπ ( )109.A 5.B 910.C 10.D 4.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模)已知),2,0(πα∈且),4cos(2cos 2απα=则α2sin 的值为 ( )81.A 81.B 87.C 87.D 5.(2017陕西西安模拟(一))已知,210cos 2sin ,=+∈αααR 则=α2tan ( ) 34.A 43.B 43.C 34.D 6.(2017内蒙古包头一模)设),2,0(),2,0(πβπα∈∈且ααcos sin ,sin 1cos ββ-=则( ) ⋅=+22.πβαA 22.πβα=-B 22.πβα=+C 22.πβα=-D二、填空题(每题5分,共20分) 7.( 2018内蒙古包头一模)若),2,0(,32)3cos(παπα∈=则=)322cos(πα______8.(2017辽宁沈阳四校协作体联考)化简________80sin 380cos 1=- 9.(2016吉林东北师大附中等校联考.14)已知,0πθ<<,71)4tan(=+πθ那么=+θθcos sin ______ 10.(2017宁夏石嘴山三中二模)若),2,0(,53cos παα∈=则)6-sin(πα的值为_________ 答案。

2019年高考数学文科二轮复习专题【三角恒等变换与解三角形仿真押题】解析卷

2019年高考数学文科二轮复习专题【三角恒等变换与解三角形仿真押题】解析卷

2019年高考数学文科二轮复习专题【三角恒等变换与解三角形仿真押题】解析卷1.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,sin α=513,则tan ⎝⎛⎭⎫α+π4=( )A .-717B .177C .717D .-177【解析】因为α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,所以cos α=-1213,所以tan α=-512,所以tan ⎝⎛⎭⎫α+π4=tan α+tan π41-tan αtan π4=-512+11+512=717,故选C. 【答案】C2.△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若cos A =78,c -a =2,b =3,则a =( ) A .2 B.52 C .3 D.72【解析】由余弦定理可知,a 2=b 2+c 2-2bc cos A ⇒a 2=9+(a +2)2-2×3×(a +2)×78⇒a =2,故选A.【答案】A3.已知α∈⎝⎛⎭⎫π4,π2,tan ⎝⎛⎭⎫2α+π4=17,那么sin 2α+cos 2α的值为( )A .-15 B.75 C .-75 D.34【答案】A4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则△ABC 的面积是( )A.3B.932C.332D.3 3【解析】c 2=(a -b )2+6,即c 2=a 2+b 2-2ab +6①. ∵C =π3,由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab ②,由①和②得 ab =6,∴S △ABC =12ab sin C =12×6×32=332,故选C. 【答案】C5.已知tan β=43,sin(α+β)=513,其中α,β∈(0,π),则sin α的值为( ) A.6365B.3365C.1365D.6365或3365【解析】依题意得sin β=45,cos β=35.注意到sin(α+β)=513<sin β,因此有α+β>π2(否则,若α+β≤π2,则有0<β<α+β≤π2,0<sin β<sin(α+β),这与“sin(α+β)<sin β”矛盾),则cos(α+β)=-1213,sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=6365.12.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6-α=13,则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3+α的值是( )A.79B.13 C .-13 D .-79【答案】D13.在△ABC 中,a =2,b =3,B =π3,则A 等于( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.π4或3π4【解析】由正弦定理得a sin A =b sin B ,所以sin A =a sin B b =2×sinπ33=22,所以A =π4或3π4.又a <b ,所以A <B ,所以A =π4,故选B.【答案】B14.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且B =2C,2b cos C -2c cos B =a ,则角A 的大小为( )A.π2B.π3C.π4D.π6【解析】由正弦定理得2sin B cos C -2sin C cos B =sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C ,sin B cos C =3sin C cos B ,sin2C cos C =3sin C cos2C,2cos 2C =3(cos 2C -sin 2C ),tan 2C =13,∵B =2C ,∴C 为锐角,∴tan C =33,C =π6,B =π3,A =π2,故选A. 【答案】A15.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边.若b sin A =3c sin B ,a =3,cos B =23,则b =( )A .14B .6 C.14 D. 6【解析】b sin A =3c sin B ⇒ab =3bc ⇒a =3c ⇒c =1,∴b 2=a 2+c 2-2ac cos B =9+1-2×3×1×23=6,b =6,故选D.【答案】6-2424.如图,嵩山上原有一条笔直的山路BC ,现在又新架设了一条索道AC ,小李在山脚B 处看索道AC ,发现张角∠ABC =120°;从B 处攀登400米到达D 处,回头看索道AC ,发现张角∠ADC =150°;从D 处再攀登800米方到达C 处,则索道AC 的长为________米.【答案】4001325.已知△ABC 中,三边长分别是a ,b ,c ,面积S =a 2-(b -c )2,b +c =8,则S 的最大值是________. 【解析】因为S =a 2-(b -c )2,所以12bc sin A =-(b 2+c 2-a 2)+2bc ,所以12bc sin A =2bc -2bc cos A ,又sin 2 A +cos 2 A =1,所以sin A =4(1-cos A ),所以sin A =817,所以S =12bc sin A =417bc ≤417⎝ ⎛⎭⎪⎫b +c 22=6417.【答案】641726.已知函数f (x )=2cos 2 x2+3sin x .(1)求函数f (x )的最大值,并写出取得最大值时相应的x 的取值集合; (2)若tan α2=12,求f (α)的值. 【解析】(1)f (x )=1+cos x +3sin x =2cos ⎝⎛⎭⎫x -π3+1,所以当cos ⎝⎛⎭⎫x -π3=1,即x -π3=2k π,x =2k π+π3(k ∈Z)时,函数f (x )的最大值为3,此时相应的x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x =2k π+π3,k ∈Z. (2)f (α)=2cos 2 α2+23sin α2cos α2=2cos 2 α2+23sin α2cos α2cos 2 α2+sin 2 α2=2+23tan α21+tan 2 α2=8+435. 27.如图在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,满足AD ⊥AC ,cos ∠BAC =-13,AB =32,BD =3.(1)求AD 的长;(2)求△ABC 的面积.(2)在△ABD 中,BD sin ∠BAD =ABsin ∠ADB,又由cos ∠BAD =223得sin ∠BAD =13,所以sin ∠ADB =63,则sin ∠ADC =sin(π-∠ADB )=sin ∠ADB =63. 因为∠ADB =∠DAC +∠C =π2+∠C ,所以cos ∠C =63. 在Rt △ADC 中,cos ∠C =63,则tan ∠C =22=AD AC =3AC ,所以AC =32,(2)由(1)知f (x )=sin(3x -π6)-12, 易得f (A )=sin(3A -π6)-12.因为sin B ,sin A ,sin C 成等比数列, 所以sin 2A =sin B sin C , 所以a 2=bc ,所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-bc 2bc≥2bc -bc 2bc =12(当且仅当b =c 时取等号), 因为0<A <π, 所以0<A ≤π3,所以-π6<3A -π6≤5π6, 所以-12<sin(3A -π6)≤1, 所以-1<sin(3A -π6)-12≤12, 所以函数f (A )的值域为(-1,12].32.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若B =π3,且(a -b +c )(a +b -c )=37bc .(1)求cos C 的值;(2)若a =5,求△ABC 的面积.33.已知向量m =(cos x ,-1),n =⎝⎛⎭⎫3sin x ,-12,函数f (x )=(m +n )·m .(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,A 为锐角,a =1,c =3,且f (A )恰是函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上的最大值,求A ,b 和△ABC 的面积.【解析】(1)f (x )=(m +n )·m =cos 2x +3sin x cos x +32=1+cos2x 2+32sin2x +32=12cos2x +32sin2x +2 =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+2.因为ω=2,所以最小正周期T =2π2=π.34.如图所示,某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B =π2,AB =a ,BC =3a )地块开发成公共绿地,设计时,要求绿地部分有公共绿地走道MN ,且两边是两个关于走道MN 对称的三角形(△AMN 和△A ′MN ),现考虑方便和绿地最大化原则,要求M 点与B 点不重合,A ′落在边BC 上,设∠AMN =θ.(1)若θ=π3时,绿地“最美”,求最美绿地的面积;(2)为方便小区居民的行走,设计时要求将AN ,A ′N 的值设计最短,求此时绿地公共走道的长度. 【解析】解 (1)由∠B =π2,A B =a ,BC =3a , 所以∠BAC =π3.设MA =MA ′=xa (0<x <1),则MB =a -xa , 所以在Rt △MBA ′中,cos(π-2θ)=a -xa xa =12, 所以x =23.38.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且满足⎝⎛⎭⎫54c -a cos B =b cos A .(1)若sin A =25,a +b =10,求a ; (2)若b =35,a =5,求△ABC 的面积S .39.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2(tan A +tan B )=tan A cos B +tan Bcos A . (1)证明:a +b =2c ; (2)求cos C 的最小值.(2)由(1)知c =a +b2,所以cos C =a 2+b 2-c22ab =a 2+b 2-⎝⎛⎭⎪⎫a +b 222ab=38⎝⎛⎭⎫a b +b a -14≥12,当且仅当a =b 时,等号成立. 故cos C 的最小值为12.。

2019年高考文科数学二轮专题复习题:专题2 第2讲 三角恒等变换与解三角形

2019年高考文科数学二轮专题复习题:专题2 第2讲 三角恒等变换与解三角形

2019年高考文科数学二轮专题复习题 第2讲 三角恒等变换与解三角形(建议用时:60分钟)一、选择题1.(2014·湖州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=13,则cos(π+2α)的值为( ).A .-79 B .79 C .29D .-23解析 由题意,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=cos α=13. 所以cos(π+2α)=-cos 2α=-(2cos 2α-1)=1-2cos 2α=79. 答案 B2.(2013·济宁二模)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a =1,B =45°,S △ABC =2,则b 等于 ( ).A .5B .25C .41D .5 2解析 ∵S =12ac sin B =2,∴12×1×c ×sin 45°=2. ∴c =4 2.∴b 2=a 2+c 2-2ac cos B =1+32-2×1×42×cos 45°. ∴b 2=25,b =5. 答案 A3.(2014·北京东城区期末)在△ABC 中,A ,B ,C 为内角,且sin A cos A =sin B cos B ,则△ABC 是( ).A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形解析 由sin A cos A =sin B cos B 得sin 2A =sin 2B =sin(π-2B ),所以2A =2B或2A =π-2B ,即A =B 或A +B =π2,所以△ABC 为等腰或直角三角形. 答案 D4.(2013·浙江卷)已知α∈R ,sin α+2cos α=102,则tan 2α等于 ( ).A.43 B .34 C .-34D .-43解析 ∵sin α+2cos α=102,∴sin 2α+4sin α·cos α+4cos 2α=52. 化简,得4sin 2α=-3cos 2α, ∴tan 2α=sin 2αcos 2α=-34. 答案 C5.(2013·湖南卷)在锐角△ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b .若2a sin B =3b ,则角A 等于 ( ).A.π2 B .π6 C .π4D .π3解析 在△ABC 中,利用正弦定理得 3sin A sin B =3sin B ,∴sin A =32. 又A 为锐角,∴A =π3. 答案 D6.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知8b =5c ,C =2B ,则cos C 等于( ).A.725 B .-725 C .±725D .2425解析 先用正弦定理求出角B 的余弦值,再求解. 由b sin B =csin C ,且8b =5c ,C =2B , 所以5c sin 2B =8c sin B ,所以cos B =45. 所以cos C =cos 2B =2cos 2 B -1=725. 答案 A7.已知tan β=43,sin(α+β)=513,其中α,β∈(0,π),则sin α的值为 ( ).A.6365 B .3365 C.1365D .6365或3365解析 依题意得sin β=45,cos β=35;注意到sin(α+β)=513<sin β,因此有α+β>π2(否则,若α+β≤π2,则有0<β<α+β≤π2,0<sin β<sin(α+β),这与“sin(α+β)<sin β”矛盾),则cos(α+β)=-1213,sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=6365. 答案 A 二、填空题8.(2014·衡水调研)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,已知a 2-c 2=2b ,且sin A cos C =3cos A sin C ,求b =______.解析 在△ABC 中,sin A cos C =3cos A sin C ,则由正弦定理及余弦定理有a ·a 2+b 2-c 22ab =3·b 2+c 2-a 22bc ·c ,化简并整理得2(a 2-c 2)=b 2.又由已知a 2-c 2=2b ,则4b =b 2,解得b =4或b =0(舍). 答案 49.在△ABC 中,∠ABC =π4,AB =2,BC =3,则sin ∠BAC =________. 解析 在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=BA 2+BC 2-2BA ·BC cos ∠ABC =(2)2+32-2×2×3cos π4=5.∴AC =5,由正弦定理得sin ∠BAC =BC ·sin ∠ABCAC =3×sin π45=3×225=31010. 答案3101010.如图,在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC ,sin ∠BAC =223,AB =32,AD =3,则BD 的长为______.解析 sin ∠BAC =sin(π2+∠BAD )=cos ∠BAD , ∴cos ∠BAD =223.BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠BAD =(32)2+32-2×32×3×223=3, 即BD = 3. 答案311.若α,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-β2=32,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2-β=-12,则cos (α+β)=________.解析 ∵α,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴-π4<α-β2<π2,-π2<α2-β<π4,由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-β2=32和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2-β=-12得α-β2=±π6,α2-β=-π6,当α-β2=-π6,α2-β=-π6时,α+β=0,与α,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2矛盾;当α-β2=π6,α2-β=-π6时,α=β=π3,此时cos (α+β)=-12. 答案 -1212.(2014·四川卷改编)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m ,则河流的宽度BC =________m.解析如图,在△ACD 中,∠CAD =90°-30°=60°,AD =60 m ,所以CD =AD ·tan 60°=603(m).在△ABD 中,∠BAD =90°-75°=15°,所以BD =AD ·tan 15°=60(2-3)(m).所以BC =CD -BD =603-60(2-3)=120(3-1)(m). 答案 120(3-1) 三、解答题13.已知函数f (x )=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6(其中ω>0,x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值;(2)设α,β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α+53π=-65,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β-56π=1617,求cos(α+β)的值.解 (1)由题意知f (x )=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6的最小正周期T =10π=2πω,则ω=15.(2)由(1)知f (x )=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x +π6,又α,β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α+5π3=-65,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β-5π6=1617, 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2=-35,cos β=817,∴sin α=35,cos α=45,sin β=1517, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =45×817-35×1517=-1385.14.(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =3,BC =1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90°.(1)若PB =12,求P A ;(2)若∠APB =150°,求tan ∠PBA .解 (1)因为在Rt △BPC 中,BC =1,PB =12,所以∠CBP =60°, 所以∠PBA =30°,由余弦定理,得 P A =PB 2+BA 2-2PB ·BA ·cos ∠PBA =72. (2)设∠PBA =α,由已知得PB =sin α, 由正弦定理,得3sin 150°=sin αsin (30°-α),化简得3cos α=4sin α,故tan α=34. 即tan ∠PBA =34.15.(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC 中内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =b cos C +c sin B . (1)求B ;(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由已知及正弦定理,得 sin A =sin B cos C +sin C sin B ,① 又A =π-(B +C ),故sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C.②由①,②和C∈(0,π)得sin B=cos B.又B∈(0,π),所以B=π4.(2)△ABC的面积S=12ac sin B=24ac.由已知及余弦定理,得4=a2+c2-2ac cos π4.又a2+c2≥2ac,故ac≤42-2,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为2+1.。

2019届高考数学(文科)名师指导(原创题、押题练、练中提能)【专题2】三角函数及解三角形【1】及答案

2019届高考数学(文科)名师指导(原创题、押题练、练中提能)【专题2】三角函数及解三角形【1】及答案

1.(角度新)对任意x ,y ∈R ,恒有sin x +cos y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -y 2+π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +y 2-π4,则sin 13π24cos 5π24等于( )A.3+24 B.3-24C.1+24D.1-242.(交汇新)在直角坐标平面内,已知函数f(x)=log a (x +2)+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P ,若角θ的终边过点P ,则cos 2θ+sin 2θ的值等于( )A .-12B.12C.710D .-710A 因为函数y =log a x 的图象恒过定点P(-1,3),由三角函数的定义知sin θ=310=31010,cos θ=-110=-1010, 则cos 2θ+sin 2θ=cos 2θ+2sin θcos θ=110+2×31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫-1010=110-610=-12,故选A.3.(交汇新)函数f(x)=Asin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx +5π6(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列,要得到函数g(x)=Acos ωx 的图象,只需将f(x)的图象( )A .向左平移π6个单位B .向右平移π6个单位C .向左平移2π3个单位D .向右平移2π3个单位A ∵ f(x)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列,∴ f(x)的最小正周期T =2πω=π,∴ ω=2,∴ f(x)=Asin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6, 又∵ Asin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6+π6=Asin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2=Acos 2x , ∴只需将f(x)的图象向左平移π6个单位,即得g(x)的图象.4.(定义新)对向量a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),定义一种运算.=(a 1,a 21,b 2)=(a 1b 1,a 2b 2),已知动点P ,Q 分别在曲线y =sin x 和y =f(x)上运动,且OQ →=OP →+n(其中O 为坐标原点),若m =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3,n =⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0,则y =f(x)的最大值为( ) A.12 B .2C .3D.3C 设P(x 1,y 1),Q(x ,y).∵ m =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3,n =⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0,∴OP →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,31,y 1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12,3y 1. ∵ OQ →=OP →+n ,∴ (x ,y)=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12,3y 1+⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0,∴ x =x 12+π6,∴ y =3y 1,∴ x 1=2x -π3,y 1=y 3, 又y 1=sin x 1,∴ y 3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3,∴y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3,显然当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3=1时,y =f(x)取得最大值3.[历 炼]1.解析:由sin x +cos y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -y 2+π4·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +y 2-π4,令⎩⎪⎨⎪⎧x -y 2+π4=13π24,x +y 2-π4=5π24,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3π4,y =π6.∴ sin 13π24cos 5π24=12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4+cos π6=2+34,故选A. 答案:A2.解析:函数恒过定点(-1,3),则cos θ=-110,sin θ=310,sin 2θ=-35,∴ cos 2θ+sin 2θ=110-35=-12.故选A. 答案:A3.解析:由横坐标构成公差为π2的等差数列知,T 2=π2, ∴ T=π.又2πω=π,则ω=2.∴ f(x)=Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +56π=Acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3,∴ 要得到g(x)=Acos 2x 的图象,只需将f(x)向右平移π6个单位.答案:B4.解析:设P(x 1,sin x 1),Q(x 2,f(x 2)),则由OQ →=m ⊗OP →+n 得(x 2,f(x 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3⊗(x 1,sin x 1)+⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0 =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1+π6,3sin x 1,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2=12x 1+π6,2=3sin x 1,∴ f(x 2)=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2-π3, 即f(x)=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3. ∴ f(x)的最大值为3. 答案:C。

2019年高考数学文科二轮复习专题【三角恒等变换与解三角形命题猜想】解析卷

2019年高考数学文科二轮复习专题【三角恒等变换与解三角形命题猜想】解析卷

2019年高考数学文科二轮复习专题【三角恒等变换与解三角形命题猜想】解析卷【考向解读】正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点,常与三角函数式的求值、化简交汇命题.既有选择题、填空题,又有解答题,难度适中,主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力.2.预测高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点,复习时应引起足够的重视.3.边和角的计算;4.三角形形状的判断;5.面积的计算;6.有关的范围问题.【命题热点突破一】三角恒等变换例1、(2018年全国III 卷)若sin α=13,则cos 2α=A.89B.79C.−79D.−89【答案】B 【解析】,故答案为B.【变式探究】【2017山东,文7】函数最小正周期为A.π B.2π C.πD.2π【答案】C【变式探究】(1)已知θ是第四象限角,且=35,则________.【解析】基本法:将θ-π4转化为-π2.由题意知si n=35,θ是第四象限角,所以,所以=45.+π4-1cos=-4535=-43.【变式探究】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知(Ⅰ)证明:a +b =2c ;(Ⅱ)求cos C 的最小值.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)12【解析】(Ⅰ)由题意知,化简得,即.因为,所以.从而.由正弦定理得2a b c +=.【感悟提升】关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.求三角形中的角,关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值,再根据角的范围求出对应的角的大小.解题时要注意利用三角形内角和定理,即A +B +C =π.【答案】23π【解析】∵cos B cos C +2a c +bc =0,∴ccos B +2acos C +bcos C =0,由正弦定理得sin Ccos B +2sin Acos C +sin Bcos C =0,∴sin (B +C )+2si n Acos C =sin A +2sin Acos C =0,∵sin A≠0,∴cos C =-12,∴C =23π.【变式探究】在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且csin B =bcos C =3.(1)求b ;(2)若△ABC 的面积为212,求c.【解析】【感悟提升】求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长.正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系,余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系.正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化.只要知道了三角形三边之间的比例关系即可利用余弦定理求出三角形的内角.【命题热点突破三】正、余弦定理的应用例3、(2018年天津卷)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a,b,c .已知b sin A =a cos(B –π6).(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设a =2,c =3,求b 和sin(2A –B )的值.【答案】(Ⅰ)B =π3;(Ⅱ)b =7,【解析】(Ⅰ)在△ABC 中,由正弦定理asin A =bsin B ,可得b sin A =a sin B ,又由,得,即,可得tan B =3.又因为B ∈(0 ,π),可得B =π3.(Ⅱ)在△ABC 中,由余弦定理及a =2,c =3,B =π3,有,故b =7.由,可得sin A =37.因为a <c ,故cos A =27.因此,所以,【变式探究】【2017课标1,文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。

2019湖南高考数学二轮练习-三角恒等变换

2019湖南高考数学二轮练习-三角恒等变换

2019湖南高考数学二轮练习-三角恒等变换注意事项:认真阅读理解,结合历年的真题,总结经验,查找不足!重在审题,多思考,多理解!无论是单选、多选还是论述题,最重要的就是看清题意。

在论述题中,问题大多具有委婉性,尤其是历年真题部分,在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料,明确考察要点,最大限度的挖掘材料中的有效信息,建议考生答题时用笔将重点勾画出来,方便反复细读。

只有经过仔细推敲,揣摩命题老师的意图,积极联想知识点,分析答题角度,才能够将考点锁定,明确题意。

I 卷【一】选择题1、计算1-2sin 222.5°的结果等于()A 、12B 、22C 、33D 、32 【答案】B2、函数y =2cos 2⎝⎛⎭⎫x -π4-1是()A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为π的偶函数C 、最小正周期为π2的奇函数D 、最小正周期为π2的偶函数【答案】A3、函数y =sin ⎝⎛⎭⎫x -π6cos x 的最大值为()A 、12B 、14C 、1D 、22【答案】B4、以下各式与tan α相等的是()A 、1-cos2α1+cos2αB 、sin α1+cos αC 、sin α1-cos2αD 、1-cos2αsin2α【答案】D5、△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .假设a =52b ,A =2B ,那么cos B =()A 、53B 、54C 、55D 、56 【答案】B6、cos α=45,且32π<α<2π,那么tan α2等于()A 、-13B 、13C 、-13或13D 、-3 【答案】A7、函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x 在区间π4,π2上的最大值是()A 、1B 、1+32C 、32D 、1+ 3【答案】C8、角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,那么cos2θ=()A 、-45B 、-35C 、35D 、45【答案】B9、假设tan α=3,那么sin2αcos 2α的值等于()A 、2B 、3C 、4D 、6【答案】D10、函数f (x )=3sin ωx +cos ωx (ω>0),y =f (x )的图象与直线y =2的两个相邻交点的距离等于π,那么f (x )的单调递增区间是()A 、⎣⎡⎦⎤k π-π12,k π+5π12,k ∈ZB 、⎣⎡⎦⎤k π+5π12,k π+11π12,k ∈ZC 、⎣⎡⎦⎤k π-π3,k π+π6,k ∈ZD 、⎣⎡⎦⎤k π+π6,k π+2π3,k ∈Z【答案】C11、cos39°cos(-9°)-sin39°sin(-9°)等于()A 、12B 、32C 、-12D 、-32 【答案】B12、假设0tan sin <αα,那么α2cos 1+等于〔〕 A 、αcos 2 B 、-αcos 2 C 、αsin 2 D 、-αsin 2【答案】BII 卷【二】填空题13、函数y =cos ⎝⎛⎭⎫x +π3cos ⎝⎛⎭⎫x +2π3的最大值是______、【答案】3414、sin ⎝⎛⎭⎫α-π4=35,α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,那么sin α=________.【答案】721015、cos(π-2α)sin(α-π4)=-22,那么sin α+cos α=________.【答案】-1216、0<α<π4,β为f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π8的最小正周期,a =⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α+14β,-1,b =(cos α,2),且a ·b =m ,那么2cos 2α+sin 2(α+β)cos α-sin α=________. 【答案】4+2m【三】解答题17、【答案】222222222222222223sin 5cos cos 3sin 5cos cos cos cos cos cos cos 4tan 3tan 5423251tan 121os os αααααααααααααααααααα--+--=+--⨯-⨯-===++4sin (2)sin 4sin sin18、在△ABC 中,假设B =30°,求cos A sin C 的取值范围、【答案】由题意得cos A sin C =12sin(A +C )-sin(A -C )=12sin(π-B )-sin(A -C )=14-12sin(A -C )、∵-1≤sin(A -C )≤1,∴-14≤14-12sin(A -C )≤34,∴cos A sin C 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-14,34、19、函数f (x )=2sin(π-x )cos x .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π2上的最大值和最小值、【答案】(1)∵f (x )=2sin(π-x )cos x=2sin x cos x =sin2x ,∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由-π6≤x ≤π2⇒-π3<2x ≤π, ∴-32≤sin2x ≤1,∴f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π2上的最大值为1,最小值为-32、20、函数1()2sin(),.36f x x x R π=-∈ (Ⅰ〕求5()4f π的值;(Ⅱ〕设,,,,、56)23(1310)23(20=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πβπαπβαf f 求cos()αβ+的值. 【答案】(Ⅰ)55()2sin()2sin 41264f ππππ=-==. (Ⅱ〕1310sin 2]6)23(31sin[2)23(==-+=+αππαπαf ,5sin 13α∴=, 又[0,]2πα∈,12cos 13α∴=. 56cos 2)2sin(2]6)23(31sin[2)23(==+=-+=+βπβππβπβf ,3cos 5β∴=, 又[0,]2πβ∈,4sin 5β∴=, 所以16cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=.21、如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边做两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点,A 、B的横坐标分别为,105、(Ⅰ〕求)tan(βα+的值;(Ⅱ〕求2αβ+的值、【答案】由条件及三角函数的定义可知,cos αβ==因为α,β为锐角,所以.55cos 1sin ,1027cos 1in 22=-==-=ββααs 因此.21cos sin tan ,7cos sin tan ====βββααα(Ⅰ〕.32171217tan tan 1tan tan )(tan -=⨯-+=-+=+βαβαβα(Ⅱ〕解法一:ββαββαβαtan )tan(1tan )tan()2(tan +-++=+.121)3(1213-=⨯--+-=.432πβα=+∴ 解法二:因为22tan 4tan 21tan 3βββ==-,所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==--..432πβα=+∴22、复数z 1=sin2x +λi ,z 2=m +(m -3cos2x )i(λ,m ,x ∈R),且z 1=z 2.(1)假设λ=0且0<x <π,求x 的值;(2)设λ=f (x ),当x =α时,λ=12,试求cos ⎝⎛⎭⎫4α-2π3 的值、【答案】(1)∵z 1=z 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin2x =m ,λ=m -3cos2x .∴λ=sin2x -3cos2x ,假设λ=0,那么sin2x -3cos2x =0,得tan2x =3、 ∵0<x <π,∴0<2x <2π.∴2x =π3或2x =4π3、∴x =π6或2π3、(2)∵λ=f (x )=sin2x -3cos2x=2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x -32cos2x=2⎝⎛⎭⎫sin2x cos π3-cos2x sin π3=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3,又∵当x =α时,λ=12,∴2sin ⎝⎛⎭⎫2α-π3=12,sin ⎝⎛⎭⎫2α-π3=14, ∴cos(4α-2π3)=1-2sin 2(2α-π3) =1-2×116=78、。

2019年高考数学解密题(含解析)之三角恒等变换

2019年高考数学解密题(含解析)之三角恒等变换

三角恒等变换考点1 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值题组一 利用两角和与差的正、余弦公式化简求值 调研1,则sin2α的值为AB C .9D .9【答案】A又因为sin 0α<cos α=,所以1sin22sin cos 2339ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭, 故选A .调研2 已知3π4πθ≤≤,且=,则θ=A B CD 【答案】D【名师点睛】此题考查了三角函数的化简求值,涉及的知识有:二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,以及绝对值的代数意义,熟练掌握公式是解本题的关键;根据α的范围求出2α的范围,确定出cos 02θ>,sin 02θ<,所求式子利用二倍角的余弦函数公式及绝对值的代数意义化简,再利用两角和与差的余弦函数,结合角的范围即可求出.☆技巧点拨☆三角恒等变换的“四大策略”:(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin 2θ+cos 2θ=tan 45° 等;(2)项的分拆与角的配凑:如sin 2α+2cos 2α=(sin 2α+cos 2α)+cos 2α,α=(α-β)+β等; (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次; (4)弦、切互化:一般是切化弦.题组二 利用两角和与差的正切公式化简求值调研3 若2tan 1α=,tan 2β=-,则()tan αβ+=__________. 【答案】34-【解析】()()121322tan 1tan tan 124122αααβ-=∴=∴+==--⨯-,,. 调研4 已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭,tan 2α=-. (1)求πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值. (2)求sin2cos2αα+的值. 【答案】(1)13-;(2)75-【解析】(1)∵tan 2α=-,∴()πtan tanπtan 12114tan π41tan 1231tan tan 4ααααα++-+⎛⎫+====- ⎪---⎝⎭-. (2)由π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭,tan 2α=-,得sin α=,cos α=, ∴22437sin2cos22sin cos cos sin 555αααααα+=+-=--=-.【思路点拨】(1)利用两角和的正切公式可得结果; (2)根据角α的范围,由正切求出sin α=,cos α=,再利用二倍角公式即可得结果.☆技巧点拨☆公式的常见变形:(1)tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±;tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-.(2)降幂公式:21cos 2sin2αα-=;21cos 2cos 2αα+=;1sin cos sin 22ααα=. (3)升幂公式:21cos 22cos αα+=;21cos 22sin αα-=;21sin 2(sin cos )ααα+=+;21sin 2(sin cos )ααα-=-.(4)辅助角公式:sin cos a x b x +)x ϕ=+,其中cos ϕϕ==tan baϕ=.考点2 三角恒等变换的综合应用题组一 与三角函数的图象及性质相结合 调研1 将函数()sin f x x =的图象向右平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象,则函数()y f x =+()π,,π2g x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为 .【解析】由题意得()πsin ,3g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∴y =()()f x g x +=πsin sin 3x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭=ππsin sin cos cos sin 33x x x +-=3sin 2x x -=π6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴ππ5π ,636x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,∴当π5π66x -=时,min y =调研 2 (安徽省A10联盟2019届高三11月段考数学试题)已知函数()225sin cos f x x x x +-.(1)求函数()f x 的单调递增区间; (2)求函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点. 【答案】(1)()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)π2π7π,,636.【解析】(1)()225sin cos f x x x x =+-()()511cos21cos222x x x =+--+3cos22x x =-+π223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π,232k x k k -+≤-≤+∈Z ,得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z , ∴函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)由()π2203f x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭,得:πsin 203x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∴()π2π3x k k -=∈Z , ∴()1ππ26x k k =+∈Z ,∵π7π66x ≤≤, ∴π2π7π,,636x =,即函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点是π2π7π,,636.【名师点睛】本题考查了三角函数的恒等变换,考查了正弦型三角函数y =A sin (ωx +∅)的图象和性质,解答本题的关键是灵活应用二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式将函数式化简为y =A sin (ωx +∅)+B 的形式.(1)利用三角函数关系式的恒等变换()π223f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,得,进而利用正弦函数的单调性,求出函数的单调递增区间;(2)将求函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点转化为求正弦型函数图象在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦内与x 轴的交点,再根据正弦函数的性质求解. 题组二 与向量相结合调研3 已知()1cos ,1x ω=+-a ,)x ω=b (0ω>),函数()f x =⋅a b ,函数()f x 的最小正周期为2π. (1)求函数()f x 的表达式;(2)设π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()65f θ=,求cos θ的值.【解析】(1)())1cos sin f x x x ωω=⋅+-a b π2sin 3x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因为函数()f x 的最小正周期为2π, 所以2π2πω=,解得1ω=,所以()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)由()65fθ=,得π3sin 35θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以πππ,336θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 所以π4cos 35θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以cos θ=ππcos 33θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=ππππcos cos sin sin 3333θθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=413525⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭=410+. 题组三 与解三角形相结合调研4 在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且)3cos cos cos a A c B b C =+. (1)求tan2A 的值;(2)若πsin ,23B c ⎛⎫+==⎪⎝⎭求ABC △的面积.【答案】(1)(2)3.【解析】(1)由)3cos cos cos a A c B b C =+及正弦定理得 )()3sin cos sin cos sin cos A A C B B C B C A =+=+=, ∵sin 0A ≠,cos A ∴=∵π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin 3A ∴=∴tan 2A =.22tan tan21tan AA A∴==-(2)由πsin 23B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得cos 3B = ∵()0,πB ∈,1sin 3B ∴=.∴()sin sin sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+= 由正弦定理得sin sin a c A C=,∴sin 2sin c Aa C===,∴△ABC的面积111sin 2223S ac B ==⨯⨯=. 【思路点拨】(1)由条件及正弦定理可得3sin cos A A A =,故cos 3A =,所以sin tan 32A A ==,由倍角公式可得tan2A = (2)由条件得cos 3B =,故得1sin 3B =,由正弦定理得2a =,从而可得△ABC的面积1sin 2S ac B ==. 【名师点睛】利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法:(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的各个边、角后,直接求三角形的面积. (2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量.(3)求三角形面积的最值或范围时,一般要先得到面积的表达式,再通过基本不等式、三角函数的求最值的方法求得面积的最值或范围.☆技巧点拨☆此类题中的角是在三角形中,每个角的范围限制在(0,π)内,如果是锐角三角形,则需要限制各个角均在π(0,)2内.角的范围在解题中至关重要,做题时要特别注意.1.(内蒙古呼和浩特市2018届高三年级质量普查调研考试数学试题)若()1sin π3α-=,且ππ2α≤≤,则sin2α的值为A .B .C D 2.(四川省资阳市2018-2019学年高三第一次诊断性考试数学试题)在直角坐标系xOy 中,角α的始边为x 轴的非负半轴,其终边上的一点P 的坐标为()2m m ,(其中0m <),则cos2α=A .45 B .35 C .35-D .45-3.(河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评数学)已知2sin 23θ=,则2πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A .15B .56C .5D .64.(江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2018届高三4月联考数学试题)若点(),0θ是函数()sin 2cos f x x x =+的图象的一个对称中心,则cos2sin cos θθθ+=A .1110 B .1110-C .1D .-15.(湖北省八校2018届高三上学期第一次联考(12月)数学试题)若αβ∈R ,且()πππ,π22k k k αβ≠+≠+∈Z ,则“2π+=3αβ”是“)114αβ--=”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.(福建省宁德市2018届高三下学期第二次(5月)质量检查数学试题)将周期为π的函数()ππcos (0)66f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度后,所得的函数解析式为 A .π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B .π2cos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ C .2sin2y x =D .2π2cos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭7.(江西省上饶市2018届高三下学期第三次高考模拟考试数学试题)由射线43y x =(0x ≥)逆时针旋转到射线512y x =-(0x ≤)的位置所成角为θ,则cos θ= A .1665-B .1665±C .5665-D .5665±8.(四川省凉山州2019届高三第一次诊断性检测数学试题)设函数()πs i n c o s 4f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,对任意x ∈R 都满足()()f c x f c x +=-,则c 的值可以是A .π8 B .3π8 C .π2D .5π89.(华大新高考联盟2018届高三4月教学质量检测试卷数学试题)锐角ABC △的外接圆半径为1,AC BC AB =>,且满足cos cos A C =C = A .π12 B .π6 C .π4D .5π1210.(山西省孝义市2018届高三下学期一模考试数学试题)已知函数()2cos2cos 1(0)222xxxf x ωωωω=+->的周期为π,当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,方程()f x m =恰有两个不同的实数解1x ,2x ,则()12f x x +=A .2B .1C .1-D .2-11.(河北省唐山市2018-2019学年高三上学期第一次摸底考试数学试题)已知函数()[]sin sin 3,0,2πf x x x x =-∈,则()f x 的所有零点之和等于A .8πB .7πC .6πD .5π12.(上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研(二模)数学试题)若()()3sin cos cos sin 5x y x x y x ---=,则tan2y 的值为________.13.(四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试数学试题)已知π4cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 14.(黑龙江省大庆实验中学2019届高三上学期第一次月考数学试题)已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,若c sin A =-a cos C A -cos 3π4B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是________.15.(天津市静海区2019届高三上学期三校联考数学试题)已知函数()2π2cos 14f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.16.(云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测三数学试题)已知()π11sin ,cos 453βαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭,其中ππ0,022αβ<<<<.(1)求sin2β的值; (2)求πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17.(江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研数学试题)在△ABC 中,已知()22sin sin sin sin sin A B A C C -=-.(1)求内角B 的大小;(2)若cos 3A =,求sin 2C 的值.18.(广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学试题)已知向量)()2,1,sin ,cos x x x =-=m n ,函数()12f x =⋅+m n .(1)若()π0,,43x f x ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦,求cos2x 的值;(2)在ABC △中,角,,A B C 对边分别是,,a b c ,且满足2cos 2b A c ≤,求()f B 的取值范围.19.(山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题)已知函数())()sin cos cos 02f x x x x ωωωω=-+>图象的一条对称轴为3π8x =. (1)求ω的最小值;(2)当ω取最小值时,若π3245f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π02α-<<π2+4α⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.1.(2018新课标全国Ⅲ理科)若1sin 3α=,则cos2α=A .89B .79 C .79-D .89-2.(2016新课标全国Ⅱ理科)若cos(4π−α)=53,则sin 2α= A .725 B .15C .−15D .−7253.(2018新课标全国Ⅱ理科)已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则s i n()αβ+=__________.4.(2016新课标全国Ⅱ理科)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b = . 5.(2016新课标全国Ⅰ理科)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =(I )求C ;(II )若c ABC △=ABC △的周长.6. (2017新课标全国Ⅰ理科)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC△的面积为23sin a A. (1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求ABC △的周长.三角恒等变换考点1 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值题组一 利用两角和与差的正、余弦公式化简求值 调研1,则sin2α的值为ABC .9D .9【答案】A又因为sin 0α<cos 3α=, 所以1sin22sincos 2339ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭, 故选A .调研2 已知3π4πθ≤≤,且2=,则θ=ABCD 【答案】D【名师点睛】此题考查了三角函数的化简求值,涉及的知识有:二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,以及绝对值的代数意义,熟练掌握公式是解本题的关键;根据α的范围求出2α的范围,确定出cos 02θ>,sin 02θ<,所求式子利用二倍角的余弦函数公式及绝对值的代数意义化简,再利用两角和与差的余弦函数,结合角的范围即可求出.☆技巧点拨☆三角恒等变换的“四大策略”:(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin 2θ+cos 2θ=tan 45° 等;(2)项的分拆与角的配凑:如sin 2α+2cos 2α=(sin 2α+cos 2α)+cos 2α,α=(α-β)+β等; (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次; (4)弦、切互化:一般是切化弦.题组二 利用两角和与差的正切公式化简求值调研3 若2tan 1α=,tan 2β=-,则()tan αβ+=__________. 【答案】34-【解析】()()121322tan 1tan tan 124122αααβ-=∴=∴+==--⨯-,,. 调研4 已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭,tan 2α=-. (1)求πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值. (2)求sin2cos2αα+的值. 【答案】(1)13-;(2)75-【解析】(1)∵tan 2α=-,∴()πtan tanπtan 12114tan π41tan 1231tan tan 4ααααα++-+⎛⎫+====- ⎪---⎝⎭-.(2)由π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭,tan 2α=-, 得sinα=,cos α=, ∴22437sin2cos22sin cos cos sin 555αααααα+=+-=--=-.【思路点拨】(1)利用两角和的正切公式可得结果; (2)根据角α的范围,由正切求出sinα=,cos α=,再利用二倍角公式即可得结果.☆技巧点拨☆公式的常见变形:(1)tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±;tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-.(2)降幂公式:21cos 2sin 2αα-=;21cos 2cos 2αα+=;1sin cos sin 22ααα=. (3)升幂公式:21cos 22cos αα+=;21cos 22sin αα-=;21sin 2(sin cos )ααα+=+;21sin 2(sin cos )ααα-=-.(4)辅助角公式:sin cos a x b x +)x ϕ=+,其中cos ϕϕ==tan baϕ=.考点2 三角恒等变换的综合应用题组一 与三角函数的图象及性质相结合调研1 将函数()sin f x x =的图象向右平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象,则函数()y f x =+()π,,π2g x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为 .【解析】由题意得()πsin ,3g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴y =()()f x g x +=πsin sin 3x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭=ππsin sin cos cos sin 33x x x +-=3sin 2x x -=π6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴ππ5π ,636x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,∴当π5π66x -=时,min y =调研 2 (安徽省A10联盟2019届高三11月段考数学试题)已知函数()225sin cos f x x x x +-.(1)求函数()f x 的单调递增区间; (2)求函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点. 【答案】(1)()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)π2π7π,,636.【解析】(1)()225sin cos f x x x x =+-()()511cos21cos222x x x =+--+3cos22x x =-+π223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π,232k x k k -+≤-≤+∈Z ,得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z , ∴函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .【名师点睛】本题考查了三角函数的恒等变换,考查了正弦型三角函数y =A sin (ωx +∅)的图象和性质,解答本题的关键是灵活应用二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式将函数式化简为y =A sin (ωx +∅)+B 的形式.(1)利用三角函数关系式的恒等变换()π223f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,得,进而利用正弦函数的单调性,求出函数的单调递增区间; (2)将求函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点转化为求正弦型函数图象在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦内与x 轴的交点,再根据正弦函数的性质求解. 题组二 与向量相结合调研3 已知()1cos ,1x ω=+-a ,)x ω=b (0ω>),函数()f x =⋅a b ,函数()f x 的最小正周期为2π. (1)求函数()f x 的表达式;(2)设π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()65f θ=,求cos θ的值.【解析】(1)())1cos sin f x x x ωω=⋅+-a b π2sin 3x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因为函数()f x 的最小正周期为2π, 所以2π2πω=,解得1ω=,所以()π2sin 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.(2)由()65fθ=,得π3sin 35θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以πππ,336θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 所以π4cos 35θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以cos θ=ππcos 33θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=ππππcos cos sin sin 3333θθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=4135252⎛⎫⨯--⨯ ⎪⎝⎭. 题组三 与解三角形相结合调研4 在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且)3cos cos cos a A c B b C =+. (1)求tan2A 的值;(2)若πsin ,23B c ⎛⎫+==⎪⎝⎭求ABC △的面积.【答案】(1)(2.【解析】(1)由)3cos cos cos a A c B b C =+及正弦定理得 )()3sin cos sin cos sin cos A A C B B C B C A =+=+=, ∵sin 0A ≠,cos A ∴=∵π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin 3A ∴=∴tan 2A =.22tan tan21tan AA A∴==-(2)由πsin 2B ⎛⎫+=⎪⎝⎭得cos 3B = ∵()0,πB ∈,1sin 3B ∴=. ∴()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= 由正弦定理得sin sin a cA C=,∴sin 2sin c Aa C===,∴△ABC的面积111sin 2223S ac B ==⨯⨯=. 【思路点拨】(1)由条件及正弦定理可得3sin cos A A A =,故cos A =,所以sin tan 32A A ==,由倍角公式可得tan2A = (2)由条件得cos 3B =,故得1sin 3B =,由正弦定理得2a =,从而可得△ABC的面积1sin 23S ac B == 【名师点睛】利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法:(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的各个边、角后,直接求三角形的面积. (2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量.(3)求三角形面积的最值或范围时,一般要先得到面积的表达式,再通过基本不等式、三角函数的求最值的方法求得面积的最值或范围.☆技巧点拨☆此类题中的角是在三角形中,每个角的范围限制在(0,π)内,如果是锐角三角形,则需要限制各个角均在π(0,)2内.角的范围在解题中至关重要,做题时要特别注意.1.(内蒙古呼和浩特市2018届高三年级质量普查调研考试数学试题)若()1sin π3α-=,且ππ2α≤≤,则sin2α的值为A .B .C D 【答案】B【解析】∵()1sin πsin 3αα-==,ππ2α≤≤,∴cos 3α==-,∴1sin22sin cos 2339ααα⎛==⨯⨯-=- ⎝⎭. 故选B.2.(四川省资阳市2018-2019学年高三第一次诊断性考试数学试题)在直角坐标系xOy 中,角α的始边为x 轴的非负半轴,其终边上的一点P 的坐标为()2m m ,(其中0m <),则cos2α=A .45 B .35 C .35-D .45-【答案】B【解析】0,m P <∴在第三象限,且r =,由正弦函数的定义可得sin5α==-,223cos212sin 155αα∴=-=-=.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义以及二倍角的余弦公式,意在考查综合运用所学知识解决问题的能力,属于中档题.利用三角函数的定义求出sin α的值,由二倍角的余弦公式可得结果.3.(河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评数学)已知2sin 23θ=,则2πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A .15B .56C .5D .6【答案】A【解析】由题意可知ππ2sin2cos 2cos 2243θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 则22π2π52cos 1cos 4346θθ⎛⎫⎛⎫--=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22π2π112sin sin 4346θθ⎛⎫⎛⎫--=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以222πsin π14tan π45cos 4θθθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选A .4.(江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2018届高三4月联考数学试题)若点(),0θ是函数()sin 2cos f x x x =+的图象的一个对称中心,则cos2sin cos θθθ+=A .1110 B .1110-C .1D .−1【答案】D5.(湖北省八校2018届高三上学期第一次联考(12月)数学试题)若αβ∈R ,且()πππ,π22k k k αβ≠+≠+∈Z ,则“2π+=3αβ”是“)114αβ--=”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】)114αβ--=,即3tan tan 14αβαβ+=,tan tan tan αβαβ--=即t a n t a n 1t a n t a n αβαβ+=-即()t a n αβ+=所以2ππ3k αβ+=+,当0k =时,2π3αβ+=,所以“2π3αβ+=”是“)114αβ--=”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】本题考查切化弦公式,两角和的正余弦公式,充分不必要条件的概念,已知三角函数值求角,属于中档题. 根据切化弦公式,两角和的正余弦公式将原等式化成:()tan αβ+=,这便可求出2ππ3k αβ+=+,这样便会得到2π3αβ+=是)114αβ--=充分不必要条件.6.(福建省宁德市2018届高三下学期第二次(5月)质量检查数学试题)将周期为π的函数()ππcos (0)66f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度后,所得的函数解析式为 A .π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B .π2cos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ C .2sin2y x =D .2π2cos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【名师点睛】(1)本题主要考查三角函数解析式的求法,考查函数图象的变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.先化简f (x ),再求出ω的值,再求平移后的函数解析式得解. (2)把函数()f x 的图象向右平移(0)a a >个单位,得到函数()f x a -的图象,把函数()f x 的图象向左平移(0)a a >个单位,得到函数()f x a +的图象,简记为“左加右减”.7.(江西省上饶市2018届高三下学期第三次高考模拟考试数学试题)由射线43y x =(0x ≥)逆时针旋转到射线512y x =-(0x ≤)的位置所成角为θ,则cos θ= A .1665- B .1665±C .5665-D .5665±【答案】A【解析】设43y x =(0x ≥)的倾斜角为α,则43sin cos 55αα==,, 射线512y x =-(0x ≤)的倾斜角为β,则512sin cos 1313ββ==-,,∴()3124516cos cos cos cos sin sin ()51351365θβααβαβ=-=+=⨯-+⨯=-.故选A.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦函数公式,考查了逻辑推理能力与运算求解能力,属于中档题.8.(四川省凉山州2019届高三第一次诊断性检测数学试题)设函数()πs i n c o s 4f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,对任意x ∈R 都满足()()f c x f c x +=-,则c 的值可以是A .π8 B .3π8 C .π2D .5π8【答案】B【解析】函数()πsin cos sin cos 44224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2244x x =-1πsin 224x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 对任意x ∈R 都满足()()f c x f c x +=-,即x c =为函数图象的对称轴.令ππ22π,42x k k -=+∈Z ,解得3ππ,8x k k =+∈Z . 当0k =时,3π8x =.故选B.【名师点睛】本题主要考查了两角差的余弦展开公式、二倍角公式、辅助角公式及三角函数的对称性,属于中档题.化简函数得()1πsin 224f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,由()()f c x f c x +=-,得x c =为函数图象的对称轴,令ππ22π,42x k k -=+∈Z 解出对称轴即可得解. 9.(华大新高考联盟2018届高三4月教学质量检测试卷数学试题)锐角ABC △的外接圆半径为1,AC BC AB =>,且满足1cos cos 4A C =,则C = A .π12 B .π6 C .π4D .5π12【答案】C【解析】因为ππsin 0,,.23B B B ⎛⎫==∈∴= ⎪⎝⎭因为1cos cos 4A C =,所以22π113c o s co s,3422C C C C C⎛⎫-=∴-+= ⎪⎝⎭即1πcos 22246C C C ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭, 因此ππ2=63C -或π2π2=63C -,即π=4C 或5π=12C , 因为BC AB >,所以π3C <,即π=4C .故选C.10.(山西省孝义市2018届高三下学期一模考试数学试题)已知函数()2cos2cos 1(0)222xxxf x ωωωω=+->的周期为π,当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,方程()f x m =恰有两个不同的实数解1x ,2x ,则()12f x x +=A .2B .1C .1-D .2-【答案】B【解析】函数()2cos2cos 1222xxxf x ωωω=+-πcos 2sin 6x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,由周期2ππT ω==,可得()π2,2sin 26f x x ω⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭,πππ7π0,,22666x x ⎡⎤∈∴≤+≤⎢⎥⎣⎦,()12f x ∴-≤≤,且()f x 的对称轴为π6x =,方程()f x m =恰有两个不同的实数解12,x x ,12π3x x ∴+=,则()12π2ππ5π2sin 2sin 13366f x x f ⎛⎫⎛⎫+==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选B.11.(河北省唐山市2018-2019学年高三上学期第一次摸底考试数学试题)已知函数()[]sin sin 3,0,2πf x x x x =-∈,则()f x 的所有零点之和等于A .8πB .7πC .6πD .5π【答案】B【解析】由已知函数()[]sin sin3,0,2πf x x x x =-∈,令()0f x =,即sin sin30x x -=,即2sin sin3sin cos2cos sin2sin cos22sin cos x x x x x x x x x x ==+=+, 即()2sin cos22cos 10x x x +-=,解得sin 0x =或2cos22cos 10x x +-=, 当[]sin 0,0,2πx x =∈时,0x =或πx =或2πx =;当2cos22cos 10x x +-=时,即222cos 2cos 20x x +-=,解得cos x =±, 又由[]0,2πx ∈,解得π4x =或3π4或5π4或7π4, 所以函数()f x 的所有零点之和为π3π5π7π0π2π7π4444++++++=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点问题的综合应用,其中解答中熟记函数的零点的概念,以及熟练应用三角函数恒等变换的公式,求解方程的根是解得关键,试题有一定的难度,属于中档试题,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.根据函数的零点的定义,令()0f x =,得sin sin30x x -=,根据三角恒等变换的公式,求解方程的根,即可得到所有的零点之和,得到答案.12.(上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研(二模)数学试题)若()()3sin cos cos sin 5x y x x y x ---=,则tan2y 的值为________.【答案】247±【解析】由已知有()3sin 5x y x ⎡⎤--=⎣⎦,即3sin 5y =-,y ∴为第三或第四象限的角. 当y 为第三象限的角时,3tan 4y =,则22tan 24tan 21tan 7y y y ==-; 当y 为第四象限的角时,3tan 4y =-,则22tan 24tan 21tan 7y y y ==--,24tan 27y ∴=±. 13.(四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试数学试题)已知π4cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 【答案】45【解析】)π4cos cos sin 45ααα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭,所以)π4sin sin cos 425ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.故答案为45. 14.(黑龙江省大庆实验中学2019届高三上学期第一次月考数学试题)已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,若c sin A =-a cos C A -cos 3π4B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是________.【答案】⎛ ⎝⎭【解析】因为c sin A =-a cos C ,所以sin C sin A =-sin A cos C ,所以tan C =-1,即C =3π4.A -cos 3π4B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin A +cos A =2sin(A +π6),因为πππ5π1π0,,sin 46612264A A A ⎛⎫<<∴<+<∴<+< ⎪⎝⎭所以π12sin 62A ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.故答案为⎛⎝⎭. 【名师点睛】(1)本题主要考查正弦定理,考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.先利用正弦定理求出∠C ,再化A -cos 3π4B ⎛⎫+⎪⎝⎭得2sin(A +π6),再利用三角函数的图象和性质求解. (2)对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答,求复合函数的最值,一般从复合函数的定义域入手,结合三角函数的图象一步一步地推出函数()sin y A wx hφ=++的最值.15.(天津市静海区2019届高三上学期三校联考数学试题)已知函数()2π2cos 14f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.【答案】(1)()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)最大值为2,最小值为.【解析】(1)函数()2ππ2cos 1cos 242f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ,解得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z , ∴()f x 的单调递增区间为()5πππ,π+1212k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z . (2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,∴πsin 2,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,∴()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2,最小值为且π12x =时()f x 取得最大值2,π2x =时()f x 取得最小值【名师点睛】本题主要考查辅助角公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性,属于中档题. 函数()sin y A x ωϕ=+(0,0A ω>>)的单调区间的求法:把x ωϕ+看作是一个整体,由π2π2k x ωϕ+≤+≤()3π2π2k k +∈Z 求得函数的减区间;由ππ2π2π22k x k ωϕ-+≤+≤+求得函数的增区间. (1)利用二倍角公式以及两角和的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,利用正弦函数的单调性解不等式,可得到函数()f x 的递增区间;(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,由正弦函数的单调性可得πsin 232x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,从而可得结果.16.(云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测三数学试题)已知()π11sin ,cos 453βαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭,其中ππ0,022αβ<<<<.(1)求sin2β的值;(2)求πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)2325;(2)215.【解析】(1)因为()π1sin sin cos 425βββ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭,所以sin cos 5ββ-=, 所以()2222sin cos sin cos 2sin cos 1sin225βββββββ-=+-=-=, 所以23sin225β=. (2)因为π1sin 45β⎛⎫-= ⎪⎝⎭,()1cos 3αβ+=-,其中π02α<<,π02β<<,()πcos sin 453βαβ⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭, 所以()ππc o s44ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππco s co44αββαββ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21133515⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.【名师点睛】在解决三角中的给值求值问题时,解题的关键往往是要进行角的变换,将已知条件作为整体进行求解;同时在运用平方关系求三角函数值时,要注意所得结果的符号.(1)由π1sin 45β⎛⎫-= ⎪⎝⎭,可得sin cos 5ββ-=,两边平方后可得所求. (2)根据题意求出()πcos sin 43βαβ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭,然后根据()ππc o s c o s 44ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解即可.17.(江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研数学试题)在△ABC 中,已知()22sin sin sin sin sin A B A C C -=-.(1)求内角B 的大小;(2)若cos A =,求sin 2C 的值.【答案】(1)π3B =;(2)6.【解析】(1)在ABC △中,设,,A B C 的对边分别为,,a b c , 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及()22sin sin sin sin sin A B A C C -=-得,222a b a c c -=-,即222a c b ac +-=,由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==, 因为0πB <<, 所以π3B =. 【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角恒等变换求值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(1)由正弦定理得222a c b ac +-=,再利用余弦定理化简得π3B =. (2)先求出sin2A ,cos2A ,再求sin2C .18.(广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学试题)已知向量)()2,1,sin ,cos x x x =-=m n ,函数()12f x =⋅+m n .(1)若()π0,,43x f x ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦,求cos2x 的值;(2)在ABC △中,角,,A B C 对边分别是,,a b c ,且满足2cos 2b A c ≤,求()f B 的取值范围.【答案】(1)2-;(2)11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦.【解析】(1)由题意知()21cos cos 2f x x x x =-+1cos22x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴πsin 263x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 又π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,πππ2663x ∴-≤-≤,πcos 263x ⎛⎫∴-=⎪⎝⎭, ππcos2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ1cos 2sin 2662x x ⎛⎫⎛⎫=---⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12=-=(2)由2co s 23b A c ≤,得222222b c a b c bc+-⋅≤,即222a c b +-≥,222cos 22a cb B ac +-∴=≥,()0,π,B ∈π06B ∴<≤, 从而得πππ2666B -<-≤,故()π11sin 2,622f B B ⎛⎫⎛⎤=-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 【名师点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数求值及解三角形,考查了学生的化简运算能力,属于中档题.(1)利用三角恒等变换化简可得()πsin 263f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,从而可得πcos 26x ⎛⎫-=⎪⎝⎭cos2x 的值;(2)化简可得222222222b c a b c c b bc+-⋅≤+-≥,从而可得222cos 22a cb B bc +-=≥,从而解得()f B 的取值范围.19.(山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题)已知函数())()sin cos cos 02f x x x x ωωωω=-+>图象的一条对称轴为3π8x =. (1)求ω的最小值;(2)当ω取最小值时,若π3245f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π02α-<<π2+4α⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)1;(2)1725.【解析】(1)由题意得())sin cos cos f x x x x ωωω=-+2cos 2x x x ωωω=+sin2cos222x x ωω=- πsin 24x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为函数()y f x =的一条对称轴为3π8x =,所以()3ππππ442k k ω-=+∈Z , 所以()413k k ω=+∈Z ,又0ω>,所以ω的最小值为1.(2)由(1)知()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.∴ππππ3sin 2sin 2424445f ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.∵π02α-<<, ∴π4cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,πππππ2+2sin2cos244444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 23441722155525⎛⎫=⨯⨯-⨯+= ⎪⎝⎭.【思路分析】(1)由题意得()πsin 24f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又函数()f x 图象的一条对称轴为3π8x =,所以()3ππππ442k k ω-=+∈Z ,根据条件可得所求; (2)由(1)知()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,可得π3245f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,根据同角关系可得π4cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πππ2+2444αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解可得所求的结果.【名师点睛】(1)解答形如()siny A x ωϕ=+的函数的问题时,需要把x ωϕ+作为一个整体,并结合正弦函数的相关性质求解,解题时注意,A ω的符号对结果的影响. (2)在解答“给值求值”型的问题时,要注意角的变换,通过“拆”、“凑”等方法将所求角用已知角表示出来,然后再将所给条件作为整体进行求解.1.(2018新课标全国Ⅲ理科)若1sin 3α=,则cos2α=A .89B .79C .79-D .89-【答案】B【解析】2217cos 212sin12()39αα=-=-⨯=.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.2.(2016新课标全国Ⅱ理科)若cos(4π−α)=53,则sin 2α= A .725 B .15 C .−15D .−725【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525αα⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,又cos 2cos(2)sin 242ααα⎡π⎤π⎛⎫-=-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以7sin 225α=-,故选D .【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题,关键是把待求角用已知角表示: (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系.3.(2018新课标全国Ⅱ理科)已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则s i n()αβ+=__________.【答案】【解析】因为,,所以,因此4.(2016新课标全国Ⅱ理科)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b = . 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==,且,A C 为三角形的内角,所以312sin ,sin 513A C ==,63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=,又因为sin sin a b A B =,所以sin 21sin 13a Bb A ==.【名师点睛】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.5.(2016新课标全国Ⅰ理科)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =(I )求C ;(II )若c ABC △=的面积为2,求ABC △的周长.【答案】(I )π3;(II )5. 【解析】(I )由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=,()2cos sin sin C ΑΒC +=.故2sin cos sin C C C =. 可得1cos 2C =,所以π3C =.(II )由已知,1sin 22ab C =. 又π3C =,所以6ab =. 由已知及余弦定理得,222cos 7a b ab C +-=. 故2213a b +=,从而()225a b +=.所以ΑΒC △的周长为5+.【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.6. (2017新课标全国Ⅰ理科)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC△的面积为23sin a A. (1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求ABC △的周长.【答案】(1)23;(2)3+【解析】(1)由题设得21sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin ac B A=.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.【名师点睛】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如sin()y A x b ωϕ=++,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.。

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1.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,sin α=513,则tan ⎝⎛⎭⎫α+π4=( ) A .-717B .177C .717D .-177【解析】因为α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,所以cos α=-1213,所以tan α=-512,所以tan ⎝⎛⎭⎫α+π4=tan α+tanπ41-tan αtan π4=-512+11+512=717,故选C. 【答案】C2.△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若cos A =78,c -a =2,b =3,则a =( )A .2 B.52 C .3 D.72【解析】由余弦定理可知,a 2=b 2+c 2-2bc cos A ⇒a 2=9+(a +2)2-2×3×(a +2)×78⇒a =2,故选A.【答案】A3.已知α∈⎝⎛⎭⎫π4,π2,tan ⎝⎛⎭⎫2α+π4=17,那么sin 2α+cos 2α的值为( ) A .-15B.75 C .-75D.34【答案】A4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则△ABC 的面积是( )A.3B.932C.332D.3 3【解析】c 2=(a -b )2+6,即c 2=a 2+b 2-2ab +6①. ∵C =π3,由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab ②,由①和②得ab =6,∴S △ABC =12ab sin C =12×6×32=332,故选C.【答案】C5.已知tan β=43,sin(α+β)=513,其中α,β∈(0,π),则sin α的值为( )A.6365B.3365C.1365D.6365或3365【解析】依题意得sin β=45,cos β=35.注意到sin(α+β)=513<sin β,因此有α+β>π2(否则,若α+β≤π2,则有0<β<α+β≤π2,0<sin β<sin(α+β),这与“sin(α+β)<sin β”矛盾),则cos(α+β)=-1213,sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=6365.12.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6-α=13,则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3+α的值是( ) A.79 B.13 C .-13 D .-79【答案】D13.在△ABC 中,a =2,b =3,B =π3,则A 等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4【解析】由正弦定理得a sin A =b sin B ,所以sin A =a sin B b =2×sin π33=22,所以A =π4或3π4.又a <b ,所以A <B ,所以A =π4,故选B.【答案】B14.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且B =2C,2b cos C -2c cos B =a ,则角A 的大小为( )A.π2B.π3C.π4D.π6【解析】由正弦定理得2sin B cos C -2sin C cos B =sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C ,sin B cos C =3sin C cos B ,sin2C cos C =3sin C cos2C,2cos 2C =3(cos 2C -sin 2C ),tan 2C =13,∵B =2C ,∴C 为锐角,∴tan C =33,C =π6,B =π3,A =π2,故选A.【答案】A15.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边.若b sin A =3c sin B ,a =3,cos B =23,则b =( )A .14B .6 C.14 D. 6【解析】b sin A =3c sin B ⇒ab =3bc ⇒a =3c ⇒c =1,∴b 2=a 2+c 2-2ac cos B =9+1-2×3×1×23=6,b =6,故选D.【答案】6-2424.如图,嵩山上原有一条笔直的山路BC ,现在又新架设了一条索道AC ,小李在山脚B 处看索道AC ,发现张角∠ABC =120°;从B 处攀登400米到达D 处,回头看索道AC ,发现张角∠AD C =150°;从D 处再攀登800米方到达C 处,则索道AC 的长为________米.【答案】4001325.已知△ABC 中,三边长分别是a ,b ,c ,面积S =a 2-(b -c )2,b +c =8,则S 的最大值是________. 【解析】因为S =a 2-(b -c )2,所以12bc sin A =-(b 2+c 2-a 2)+2bc ,所以12bc sin A =2bc -2bc cos A ,又sin 2A +cos 2 A =1,所以sin A =4(1-cos A ),所以sin A =817,所以S =12bc sin A =417bc ≤417⎝⎛⎭⎫b +c 22=6417.【答案】641726.已知函数f (x )=2cos 2 x2+3sin x .(1)求函数f (x )的最大值,并写出取得最大值时相应的x 的取值集合; (2)若tan α2=12,求f (α)的值.【解析】(1)f (x )=1+cos x +3sin x =2cos ⎝⎛⎭⎫x -π3+1,所以当cos ⎝⎛⎭⎫x -π3=1,即x -π3=2k π,x =2k π+π3(k ∈Z)时,函数f (x )的最大值为3, 此时相应的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =2k π+π3,k ∈Z .(2)f (α)=2cos 2 α2+23sin α2cos α2=2cos 2 α2+23sin α2cosα2cos 2 α2+sin 2 α2=2+23tanα21+tan 2α2=8+435.27.如图在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,满足AD ⊥AC ,cos ∠BAC =-13,AB =32,BD = 3.(1)求AD 的长;(2)求△ABC 的面积.(2)在△ABD 中,BD sin ∠BAD =ABsin ∠ADB,又由cos ∠BAD =223得sin ∠BAD =13,所以sin ∠ADB =63,则sin ∠A DC =sin(π-∠ADB )=sin ∠ADB =63. 因为∠ADB =∠DAC +∠C =π2+∠C ,所以cos ∠C =63.在Rt △ADC 中,cos ∠C =63,则tan ∠C =22=AD AC =3AC, 所以AC =32,(2)由(1)知f (x )=sin(3x -π6)-12,易得f (A )=sin(3A -π6)-12.因为sin B ,sin A ,sin C 成等比数列, 所以sin 2A =sin B sin C , 所以a 2=bc ,所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-bc 2bc ≥2bc -bc 2bc =12(当且仅当b =c 时取等号),因为0<A <π, 所以0<A ≤π3,所以-π6<3A -π6≤5π6,所以-12<sin(3A -π6)≤1,所以-1<sin(3A -π6)-12≤12,所以函数f (A )的值域为(-1,12].32.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若B =π3,且(a -b +c )(a +b -c )=37bc .(1)求cos C 的值;(2)若a =5,求△ABC 的面积.33.已知向量m =(cos x ,-1),n =⎝⎛⎭⎫3sin x ,-12,函数f (x )=(m +n )·m . (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,A 为锐角,a =1,c =3,且f (A )恰是函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上的最大值,求A ,b 和△ABC 的面积.【解析】(1)f (x )=(m +n )·m =cos 2x +3sin x cos x +32=1+cos2x 2+32sin2x +32=12cos2x +32sin2x +2 =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+2. 因为ω=2,所以最小正周期T =2π2=π.34.如图所示,某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B =π2,AB =a ,BC =3a )地块开发成公共绿地,设计时,要求绿地部分有公共绿地走道MN ,且两边是两个关于走道MN 对称的三角形(△AMN 和△A ′MN ),现考虑方便和绿地最大化原则,要求M 点与B 点不重合,A ′落在边BC 上,设∠AMN =θ.(1)若θ=π3时,绿地“最美”,求最美绿地的面积;(2)为方便小区居民的行走,设计时要求将AN ,A ′N 的值设计最短,求此时绿地公共走道的长度. 【解析】解 (1)由∠B =π2,A B =a ,BC =3a ,所以∠BAC =π3.设MA =MA ′=xa (0<x <1),则MB =a -xa , 所以在Rt △MBA ′中,cos(π-2θ)=a -xa xa =12,所以x =23.38.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且满足⎝⎛⎭⎫54c -a cos B =b cos A .(1)若sin A =25,a +b =10,求a ;(2)若b =35,a =5,求△ABC 的面积S .39.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2(tan A +tan B )=tan A cos B +tan Bcos A .(1)证明:a +b =2c ; (2)求cos C 的最小值.(2)由(1)知c =a +b2,所以cos C =a 2+b 2-c22ab =a 2+b 2-⎝⎛⎭⎫a +b 222ab=38⎝⎛⎭⎫a b +b a -14≥12, 当且仅当a =b 时,等号成立.故cos C 的最小值为12.。

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