2018届高三理科数学一轮复习课时作业 空间向量及其运算和空间位置关系 解析版
2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.6 空间向量及其运算和空间位置关系真题演练集训 理 新人教A版
2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.6 空间向量及其运算
和空间位置关系真题演练集训 理 新人教A 版
“两向量同向”意义不清致误分析
[典例] 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．
[错因分析] 将a ，b 同向和a∥b 混淆，没有搞清a∥b 的意义：a ，b 方向相同或相反．
[解析] 由题意知，a∥b ，
所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3
， 即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，①x 2＋y －2＝2x .②
把①代入②，得
x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0，
解得x ＝－2或x ＝1.
当x ＝－2时，y ＝－6；
当x ＝1，y ＝3.
当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，
两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．
当⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝1，y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，
a 与
b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3.
[答案] 1,3
温馨提醒
1．两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．
2．若两向量a ，b 满足a ＝λb (b ≠0)且λ>0，则a ，b 同向；在a ，b 的坐标都是非零的条件下，a ，b 的坐标对应成比例且比值为正值．。
【高考导航】2018届高三数学理一轮复习第7章第6节空间向量及其运算
第七章 立体几何
CONTENTS
1 高考导航 考纲下载 2 3 4 5
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
真题演练 明确考向
第六节 空间向量及其运算
课时作业
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的 正交分解及其坐标表示． 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和 垂直．
解析：各选项给出的向量的模都是 2，|a|＝ 2. 1×－1 a· b 1 对于选项A，设b＝(－1,1,0)，则cos〈a，b〉＝ ＝ ＝－ 2 ，因为 |a||b| 2× 2 0° ≤〈a，b〉≤180° ，所以〈a，b〉＝120° . 对于选项B，设b＝(1，－1,0)，则cos〈a，b〉＝ 〈a，b〉≤180° ，所以〈a，b〉＝60° ，正确． 1×1 a· b 1 ＝ ＝ 2 .因为0° ≤ |a||b| 2× 2
考点二
2．如图所示，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC
→ → → → ∵AM＝kAC1，BN＝kBC， → → → → → ∴ MN ＝ MA ＋ AB ＋ BN ＝kC1A ＋ → → AB＋kBC → → → → ＝k( C1A ＋ BC )＋ AB ＝k( C1A ＋ → → B1C1)＋AB → → → → → ＝kB1A＋AB ＝AB －kAB1＝AB － → → k(AA1＋AB) → → ＝(1－k)AB－kAA1， → ∴由共面向量定理知向量 MN 与 → → 向量AB，AA1共面．
对于选项C，设b＝(0，－1,1)，则cos〈a，b〉＝ 〈a，b〉≤180° ，所以〈a，b〉＝120° .
－1×1 a· b 1 ＝ ＝－ 2 .因为0° ≤ |a||b| 2× 2
高考数学(理)一轮复习课后作业：第八章第五节空间向量及其运算和空间位置关系含解析.doc
［全盘巩固］一、选择题1.点M(—8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是()A. (—8, —6, —1)B. (8, —6, —1)C. (8, -6,1)D. (-8, -6,1)2・O为空间任意一点•若OP = -^OA + +yOC，则A・B,C,P四点( )A. 一定不共而B. 一定共而C.不一定共面D. 无法判断3.已知a=(2,3, —4), &=(—4, 3, 2), ^~2X 2a，则兀一()A. (0,3, —6)B. (0,6, -20)C. (0,6, —6)D. (6,6, —6)4.已知°=(2,1, -3),方=(—1,2,3), c=(7,6, x),若a, b, c 三向量共面，则人=( )A. 9B. -9C. -3D. 35.若平而a, ”的法向量分别为山=(2, —3,5), /“ = ( —3,1, -4),贝U()A. a//p B・ a丄〃C. g 0相交但不垂直D.以上均不止确二、填空题6.在空间直角坐标系中，点P(l,迈，迈)，过点P作平面jQz的垂线尸0,则垂足08.已知点>1(1,2,1), 〃(一1,3,4), 0(1,1,1),若AP = 2 PB,则庁山的值是 ________________三、解答题9.如图,在棱长为。
的正方体Ch4BC・O\A\B\C\中,E、F分别是棱的、BC上的动点, 且AE=BF=x,其中OWxWa,以O为原点建立空间直角处标系O -xyz.(1) 写出点E 、F 的坐标;(2) 求证:丄 C|E ；10.如图，在底而是矩形的四棱锥P-ABCD 屮，刃丄底ABCD, E, F 分别是PC, PD的中点，PA=AB=\, BC=2.(1)求证：EF 〃平而丹B ； (2)求证：平面丹D 丄平面FDC.［冲击名校］1. 平行六面体ABCDA ］ B| G D|中，向HAB.AD.AA^两两的夹角均为 60°,且 | AB|=1,|AD|=2,|AA ；|=3,则1伉；丨等于 ( )A. 5B. 6C. 4D. 82. 如图，在大小为45啲二面角A-EF-D 中，四边形4BFE, CDEF 都是边长为1的止方 形，则3, D 两点间的距离是()(3)若你E 、F 、G 四点共面, 求证:A萌 B.迈C. 1 D .^3-^/2JT3.如图所示，已知空间四边形OABC, OB = OC,且ZAOB= ZAOC =),则cos<OA 9 EC〉的值为4.在四棱锥中，PD丄底而ABCD，底而MCD为正方形，PD=DC, E, F 分别是川5, 的屮点.⑴求证：EF丄CD；(2)在平面内是否存在一点G,使GF丄平面PCB.若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由.［全盘巩固］一、选择题1.解析：选A 点P(a , b , c)关于兀轴的对称点为P (a,・b,・c)・2.解析：选B询=孕丙+ *西+*处，fi| + | + |= 1，:.P ,A,B, C四点共面.3.解析：选B 由b = ^x・ 2a ,得x = 4a + 2〃二(8,12 ,・ 16) + ( - 8 ,・6,・ 4)二(0,6, -20)・4.解析：选B 由题意知c = xa+yb，即(7,6 , 2) = x(2,l ,・ 3)+尹(・1,2,3) , A '2x -y=l , x + 2y = 6 ,角军得久二・9..-3x + 3y = X ,5.解析：选C vnr/i2 = 2X( - 3) +(- 3)X1 +5X( - 4)^0 , :.n x与血不垂直，:・a 与0相交但不垂直・二、填空题6.解析：由题意知点。
2018版高考数学一轮复习第八章立体几何第6讲空间向量及其运算理
第6讲空间向量及其运算一、选择题1以下四个命题中正确的是().A. 空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B. 若{a, b, c}为空间向量的一组基底，则{a + b, b+c, c + a}构成空间向量的另一组基底C. A ABC为直角三角形的充要条件是A B- AC= 0D. 任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a+ b、b+ c、c + a 为共面向量，贝U a+ b=^ ( b+ c) +卩(c+ a), (1 —卩)a=(入) —1 ［亠—1)b + (入+卩)c,入，不可能同时为1，设卩工1,贝U a= ■ b + c,贝U a、1 — 1 —b、c为共面向量，此与{a, b, c}为空间向量基底矛盾.答案B2•若向量a= (1,1 , x), b= (1,2,1) , c = (1,1,1)，满足条件(c —a) - (2 b) =—2,则x = ( ).A. —4B.—2C. 4D. 2解析•/ a= (1,1 , x) , b= (1,2,1) , c = (1,1,1),••• c —a= (0,0,1 —x) , 2b= (2,4,2).•••(c—a) - (2 b) = 2(1 —x) = —2,「. x= 2.答案D3•若{a, b, c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是().A. {a, a+ b, a—b}B. {b, a+ b, a —b}C. {c, a + b, a—b}D. {a + b, a—b, a + 2b}解析若c、a + b、a—b共面，贝U c =入(a+ b) + ma—b)=(入 + m)a+ (入一m)b,贝U a、b、c为共面向量，此与{a, b, c}为空间向量的一组基底矛盾，故c, a+ b, a—b可构成空间向量的一组基底.答案C4.如图所示，已知空间四边形OABC OB= OC且/ AO&Zn A A—，贝y cos〈OA BO的值为31 AOC =A. 0B. 1C.解析设OA= a , OB= b , OC= c ,n由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉=—，且 | b | = | c | ,——1 1 ——OA BC= a •( c — b ) = a -c - a -b =空1 a||c | — 2|a||b| = 0,「. cos 〈OA BC 〉= 0.答案 A— — — — 1 — —解析 BMh BB + B i Mh AA + AD- AB1 1 1 =c +2（b — a ） = — q a + q b + c . 答案 A6.如图，在大小为45°的二面角 A- EF — D 中，四边形ABFE CDEF 都是边长为1的正方形, 贝U B,D 两点间的距离是（ ）A. 3B. .2C. 1D. 3 — »解析 ••• B DT BF + —+ E D , /. |BD D 2= | BF 2+ |用2+ |ED 2+ 2BF- Ffe+ 2F E- ED )+ 2BF- E D=1 + 1 + 1— , 2= 3— 2,故 |BD| = .3 —、2. 答案 D 二、填空题7.设 x, y 乏 R ，向量 a = (x,1 )b =(1, y )c =(2,Y )，且 a 丄 c,b//c ，贝U a + ” = _______交点.若AB= a , AD= b , AA = c ,则下列向量中与 BM 相等 的向量是()•1 1 1 1A .—歹+尹+ cB.q a + -b + c1 1 C.— q a — q b + c 1 1D.q a —qb + c 5•如图所示，在长方体 ABC - ABCD 中，M 为AC 与B D 的答案.108.在空间四边形ABCD中,AB - CD+ AC - DB+ AD - BC=解析如图，设AB= a, AC= b, AD= c,AB- C內AC- DB+ AD- BC= a •( c —b) + b - (a—c) + c - (b-a) = 0.答案09•已知ABC- ABGD 为正方体，①(+ AD^ + A1B1 ) 2=—I T—A A ) = 0;③向量AD1与向量A1B的夹角是60。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第八章8.6 空间向量及其运算含解析
1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度（模）为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面平行于同一个平面的2.空间向量中的有关定理(1）共线向量定理空间两个向量a与b（b≠0）共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb。
(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．（3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c,｛a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b,在空间任取一点O,作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角,记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π,若<a，b〉＝错误!,则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b,则｜a|｜b｜cos〈a，b〉叫做向量a，b 的数量积，记作a·b,即a·b＝｜a||b｜cos〈a，b〉．（2）空间向量数量积的运算律①结合律:(λa)·b＝λ（a·b);②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·（b＋c）＝a·b＋a·c。
4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1,b2，b3)。
【知识拓展】1．向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：错误!＝x错误!＋y错误!(其中x＋y＝1）,O为平面内任意一点．2．向量四点共面定理:在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!(其中x＋y＋z＝1），O为空间中任意一点．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)（1)空间中任意两非零向量a，b共面．( √)(2）在向量的数量积运算中(a·b）·c＝a·(b·c）．（×)（3)对于非零向量b,由a·b＝b·c，则a＝c.（×）(4）两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．（×）(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0。
2018年高考数学一轮复习第七章立体几何第43讲空间向量及其运算课件理
证明：(1)如图，连接BG， → → → → 1→ → 则EG＝EB＋BG＝EB＋2(BC＋BD) → → → → → ＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH. 由共面向量定理的推论知： E，F，G，H四点共面． → → → (2)因为EH＝AH－AE 1 → 1→ 1 → → 1 → ＝2AD－2AB＝2(AD－AB)＝2BD， 所以EH∥BD. 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
(2)∵N是BC的中点， 1→ 1→ 1 → → → → ∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋2BC＝－a＋b＋2AD＝－a＋b＋2c. (3)∵M是AA1的中点， 1 1 → → → 1→ → ∴MP＝MA＋AP＝2A1A＋AP＝－2a＋a＋c＋2b
1 1 → → → 1→ → 1→ → 1 ＝2a＋2b＋c，又NC1＝NC＋CC1＝2BC＋AA1＝2AD＋AA1＝2c＋a， 1 1 1 3 1 3 → → ∴MP＋NC1＝2a＋2b＋c＋a＋2c＝2a＋2b＋2c.
(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，如图所示． → 1→ → 1→ 由(2)知EH＝2BD，同理FG＝2BD， → → 所以EH＝FG，即EH FG，所以四边形EFGH是平行四边形． 所以EG，FH交于一点M且被M平分． → 1 → → 1→ 1 → 故OM＝2(OE＋OG)＝2OE＋2OG 11 → → 11 → → 1 → → → → ＝22OA＋OB＋22OC＋OD＝4(OA＋OB＋OC＋OD)．
→ 1 (2)由(1)可知MN＝2(q＋r－p)， →2 1 2 1 2 ∴|MN| ＝4(q＋r－p) ＝4[ q ＋r2＋p2＋2(q· r－p· q－r· p)]
2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第6讲 空间向量及其运算 理
第6讲 空间向量及其运算一、选择题1．以下四个命题中正确的是( )．A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间向 量的另一组基底C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析 若a ＋b 、b ＋c 、c ＋a 为共面向量，则a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，(1－μ)a ＝(λ－1)b ＋(λ＋μ)c ，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a ＝λ－11－μb ＋λ＋μ1－μc ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量基底矛盾．答案 B2．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝ ( )． A ．－4B ．－2C ．4D ．2解析 ∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)， ∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 答案 D3．若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )． A ．{a ，a ＋b ，a －b } B ．{b ，a ＋b ，a －b } C ．{c ，a ＋b ，a －b }D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }解析 若c 、a ＋b 、a －b 共面，则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底． 答案 C4.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为 ( )． A ．0 B.12 C.32D.22解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a·c －a·b ＝12|a||c |－12|a||b|＝0，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0.答案 A5．如图所示，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是 ( )． A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .答案 A6．如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1 D.3－ 2解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →|＝3－ 2. 答案 D 二、填空题7. 设,x y ∈R ，向量()()()4,2,,1,1,-===y x ，且//,⊥_______=解析2402,//(3,1)242x x ac b c a b y y -==⎧⎧⊥⇔⇔⇒+=-=⎨⎨=-=-⎩⎩答案8. 在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝________.解析 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b－a )＝0. 答案 09．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(11A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1A C ·(11A B －11A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________．解析 由1AA ⊥11A D ，1AA ⊥11A B ，11A D ⊥11A B ⊥11A B ，得(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝3(11A B )2，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB ，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD |＝0.故④也不正确． 答案 ①②10．如图，空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值等于________． 解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .OA 与BC 所成的角为θ，OA →·BC →＝a (c －b )＝a ·c －a ·b ＝a ·(a ＋AC →)－a ·(a ＋AB →)＝a 2＋a ·AC →－a 2－a ·AB →＝24－16 2.∴cos θ＝|OA →·BC →||OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.答案3－225三、解答题11．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解 (1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3 OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，MA →，MB →，MC →共面且基线过同一点M ， ∴四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内．12．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长；(2)折起后∠EOF 的大小．解 如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O －xyz ，则A （0，－22a,0）， B （22a,0,0），C （0，22a,0），D （0,0，22a ），E （0，－24a ，24a ）， F （24a ，24a,0）.(1)|EF →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24a －02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ＋24a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－24a 2＝34a 2，∴|EF |＝32a .(2)OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－24a ，24a ，OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ，24a ，0，OE →·OF →＝0×24a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－24a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ＋24a ×0＝－a 28，|OE →|＝a 2，|OF →|＝a 2，cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF →|OE →||OF →|＝－12，∴∠EOF ＝120°.13．如图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B 、G 、N 三点共线．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，即B 、G 、N 三点共线．14．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，计算： (1)EF →·BA →；(2)EF →·DC →；(3)EG 的长； (4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值． 解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ，EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14，(2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c )＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14；(3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22.(4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。
高考数学(理科)一轮复习空间向量及其运算学案附答案
高考数学（理科）一轮复习空间向量及其运算学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案45 空间向量及其运算导学目标：1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．自主梳理．空间向量的有关概念空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量．相等向量：方向______且模______的向量．共线向量定理对空间任意两个向量a，b，a∥b的充要条件是______________________________．推论如图所示，点P在l上的充要条件是：oP→＝oA →＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，则①可化为oP→＝___________________或oP→＝oA→＋toB→.共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对，使p＝xa＋yb，推论的表达式为mP→＝xmA→＋ymB→或对空间任意一点o有，oP→＝__________________或oP→＝xoA→＋yoB→＋zom→，其中x＋y＋z＝____.2．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________________________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点o，作oA→＝a，oB→＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________________，若〈a，b〉＝π2，则称a与b______________，记作a⊥b.②两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则______________________叫做向量a，b的数量积，记作________，即______________________________．空间向量数量积的运算律①结合律：•b＝____________________；②交换律：a•b＝________；③分配律：a•＝________________.4．空间向量的坐标表示及应用数量积的坐标运算若a＝，b＝，则a•b＝____________________.共线与垂直的坐标表示设a＝，b＝，则a∥b⇔____________⇔________，__________，________________，a⊥b⇔________⇔____________________________ _____．模、夹角和距离公式设a＝，b＝，则|a|＝a•a＝___________________________________________________ __________，cos〈a，b〉＝a•b|a||b|＝___________________________________________________ ______.若A，B，则|AB→|＝___________________________________________________ _______________.自我检测．若a＝，b＝，且a∥b，则A．x＝1，y＝1B．x＝12，y＝－12c．x＝16，y＝－32D．x＝－16，y＝322．如图所示，在平行六面体ABcD—A1B1c1D1中，m为Ac 与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1m→相等的向量是A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cc.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c3．在平行六面体ABcD—A′B′c′D′中，已知∠BAD ＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则|Ac′→|＝________.4．有下列4个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；③若mP→＝xmA→＋ymB→，则P、m、A、B共面；④若P、m、A、B共面，则mP→＝xmA→＋ymB→.其中真命题的个数是A．1B．2c．3D．45．A，B，c，D这四个点________．探究点一空间基向量的应用例1 已知空间四边形oABc中，m为Bc的中点，N为Ac的中点，P为oA的中点，Q为oB的中点，若AB＝oc，求证：Pm⊥QN.变式迁移1如图，在正四面体ABcD中，E、F分别为棱AD、Bc的中点，则异面直线AF和cE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2 两个边长为1的正方形ABcD与正方形ABEF相交于AB，∠EBc＝90°，点m、N分别在BD、AE上，且AN＝Dm.求证：mN∥平面EBc；求mN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABcD和矩形AcEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，m是线段EF的中点．求证：Am∥平面BDE；Am⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例3 如图，平面PAc⊥平面ABc，△ABc是以Ac为斜边的等腰直角三角形，E，F，o分别为PA，PB，Ac的中点，Ac＝16，PA＝Pc＝10.设G是oc的中点，证明FG∥平面BoE；在△AoB内是否存在一点m，使Fm⊥平面BoE？若存在，求出点m到oA，oB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3 已知在直三棱柱ABc—A1B1c1中，底面是以∠ABc为直角的等腰直角三角形，Ac＝2a，BB1＝3a，D为A1c1的中点，E为B1c的中点．求直线BE与A1c所成的角的余弦值；在线段AA1上是否存在点F，使cF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．根据运算结果解释相关几何问题．一、选择题．下列命题：①若A、B、c、D是空间任意四点，则有AB→＋Bc→＋cD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点o与不共线的三点A、B、c，若oP→＝xoA→＋yoB→＋zoc→则P、A、B、c四点共面．其中假命题的个数是A．1B．2c．3D．42.如图所示，在正方体ABcD—A1B1c1D1中，o是底面ABcD的中心，m、N分别是棱DD1、D1c1的中点，则直线om A．既垂直于Ac，又垂直于mNB．垂直于Ac，但不垂直于mNc．垂直于mN，但不垂直于AcD．与Ac、mN都不垂直3．如图所示，在三棱柱ABc—A1B1c1中，AA1⊥底面ABc，AB＝Bc＝AA1，∠ABc＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和Bc1所成的角是A．45°B．60°c．90°D．120°4．设点c在点P、A、B确定的平面上，则a等于A．16B．4c．2D．85．在直角坐标系中，A，B，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为A.2B．211c．32D．42二、填空题6.如图所示，已知空间四边形ABcD，F为Bc的中点，E为AD的中点，若EF→＝λ，则λ＝________.7．在正方体ABcD—A1B1c1D1中，给出以下向量表达式：①－AB→；②－D1c1→；③－2DD1→；④＋DD1→.其中能够化简为向量BD1→的是________．8．如图所示，PD垂直于正方形ABcD所在平面，AB＝2，E 为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，Dc，DP 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．三、解答题9．如图所示，已知ABcD—A1B1c1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在cc1上，且AE＝Fc1＝1.求证：E、B、F、D1四点共面；若点G在Bc上，BG＝23，点m在BB1上，Gm⊥BF，垂足为H，求证：Em⊥平面Bcc1B1.10．如图，四边形ABcD是边长为1的正方形，mD⊥平面ABcD，NB ⊥平面ABcD，且mD＝NB＝1，E为Bc的中点．求异面直线NE与Am所成角的余弦值；在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AmN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．1．如图所示，已知空间四边形ABcD的各边和对角线的长都等于a，点m、N分别是AB、cD的中点．求证：mN⊥AB，mN⊥cD；求mN的长；求异面直线AN与cm所成角的余弦值．学案45 空间向量及其运算自主梳理．大小方向相同相等存在实数λ，使得a＝λb oA→＋tAB→om→＋xmA→＋ymB→ 1 2.xa＋yb＋zc 3.①∠AoB 〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π互相垂直②|a||b|cos 〈a，b〉a•b a•b＝|a||b|cos〈a，b〉①λ②b•a③a•b＋a•c4.a1b1＋a2b2＋a3b3 a＝λ b a1＝λb1 a2＝λb2 a3＝λb3 a•b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a21＋a22＋a23a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23•b21＋b22＋b23a2－a12＋b2－b12＋c2－c12自我检测．c [∵a∥b，∴2x1＝1－2y＝39，∴x＝16，y＝－32.]2．A [B1m→＝B1A1→＋A1A→＋Am→＝－A1B1→＋A1A→＋12AB→＋12AD→＝－a＋c＋12＝－12a＋12b＋c.]3.97解析∵Ac′→＝AB→＋Bc→＋cc′→＝AB→＋AD→＋AA′→，∴|Ac′→|2＝AB→2＋AD→2＋AA′→2＋2AB→•AD→＋2AD→•AA′→＋2AA′→•AB→＝32＋42＋52＋2×3×4×cos60°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60°＝97，∴|Ac′→|＝97.4．B [①正确．②中若a、b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立．③正确．④中若m、A、B共线，点P 不在此直线上，则mP→＝xmA→＋ymB→不正确．]5．共面解析AB→＝，Ac→＝，AD→＝，设AD→＝xAB→＋yAc →，即＝．∴x＝2y＝3，从而A、B、c、D四点共面．课堂活动区例1 解题导引欲证a⊥b，只要把a、b用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明a•b＝0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法．证明如图所示.设oA→＝a，oB→＝b，oc→＝c.∵om→＝12＝12，oN→＝12＝12，∴Pm→＝Po→＋om→＝－12a＋12＝12，QN→＝Qo→＋oN→＝－12b＋12＝12．∴Pm→•QN→＝14[c－][c＋]＝14[c2－2]＝14∵|AB→|＝|oc→|，∴Pm→•QN→＝0.即Pm→⊥QN→，故Pm⊥QN.变式迁移1 23解析设{AB→，Ac→，AD→}为空间一组基底，则AF→＝12AB→＋12Ac→，cE→＝12cA→＋12cD→＝12cA→＋12＝－Ac→＋12AD→.∴AF→•cE→＝12AB→＋12Ac→•－Ac→＋12AD→＝－12AB→•Ac→－12Ac→2＋14AB→•AD →＋14Ac→•AD→＝－14AB→2－12Ac→2＋18AB→2＋18Ac→2＝－12Ac→2.又|AF→|＝|cE→|＝32|Ac→|，∴|AF→|•|cE→|＝34|Ac→|2.∴cos〈AF→，cE→〉＝AF→•cE→|AF→||cE→|＝－12Ac→234|Ac→|2＝－23.∴异面直线AF与cE所成角的余弦值为23.例2 解题导引如图所示，建立坐标系后，要证mN平行于平面EBc，只要证mN→的横坐标为0即可．证明如图所示，以BA→、Bc→、BE→为单位正交基底建立空间直角坐标系，则A，D，E，B，设ANAE＝DmDB＝λ，则mN→＝mD→＋DA→＋AN→＝λBD→＋DA→＋λAE→＝λ＋＋λ＝．∵0<λ<1，∴λ－1≠0，λ≠0，且mN→的横坐标为0.∴mN→平行于平面yBz，即mN∥平面EBc.解由知|mN→|＝λ－12＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2λ－122＋12，∴当λ＝12时，mN取得长度的最小值为22.变式迁移2 证明建立如图所示的空间直角坐标系，设Ac∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为22，22，0、．∴NE→＝－22，－22，1.又点A、m的坐标分别为、22，22，1，∴Am→＝－22，－22，1.∴NE→＝Am→且NE与Am不共线．∴NE∥Am.又∵NE⊂平面BDE，Am⊄平面BDE，∴Am∥平面BDE.由得，Am→＝－22，－22，1，∵D，F，B，∴DF→＝，BF→＝．∴Am→•DF→＝0，Am→•BF→＝0.∴Am→⊥DF→，Am→⊥BF→，即Am⊥DF，Am⊥BF.又DF∩BF＝F，∴Am⊥平面BDF.例3 解题导引建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标．第题证明FG→与平面BoE的法向量n垂直，即FG→•n＝0即可．第题设出点m的坐标，利用mF→∥n即可解出，然后检验解的合理性．证明如图，连接oP，以点o为坐标原点，分别以oB，oc，oP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系o—xyz.则o，A，B，c，P，E，F．由题意，得G．因为oB→＝，oE→＝，所以平面BoE的法向量n＝．由FG→＝，得n•FG→＝0.又直线FG不在平面BoE内，所以FG∥平面BoE.解设点m的坐标为，则Fm→＝．因为Fm⊥平面BoE，所以Fm→∥n，因此x0＝4，y0＝－94，即点m的坐标是4，－94，0.在平面直角坐标系xoy中，△AoB的内部区域可表示为不等式组x>0，y<0，x－y<8.经检验，点m的坐标满足上述不等式组．所以，在△AoB内存在一点m，使Pm⊥平面BoE.由点m的坐标，得点m到oA，oB的距离分别为4，94.变式迁移3 解以点B为原点，以BA、Bc、BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B，B1，∵△ABc为等腰直角三角形，∴AB＝Bc＝22Ac＝2a，∴A，c，c1，E0，22a，32a，A1，∴BE→＝0，22a，32a，A1c→＝，cos〈BE→，A1c→〉＝BE→•A1c→|BE→||A1c→|＝－72a2112a×13a＝－7143143.∴直线BE与A1c所成的角的余弦值为7143143.假设存在点F，使cF⊥平面B1DF，并设AF→＝λAA1→＝λ＝，∵D为A1c1的中点，∴D22a，22a，3a，B1D→＝22a，22a，3a－＝22a，22a，0，B1F→＝B1B→＋BA→＋AF→＝＋＋＝)，cF→＝cA→＋AF→＝＋＝．∵cF⊥平面B1DF，∴cF→⊥B1D→，cF→⊥B1F→，cF→•B1D→＝0cF→•B1F→＝0，即3λa ×0＝09λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝23或λ＝13∴存在点F使cF⊥面B1DF，且当λ＝13时，|AF→|＝13|AA1→|＝a，当λ＝23时，|AF→|＝23|AA1→|＝2a.课后练习区．c [②③④均不正确．]2．A [以D为坐标原点，以DA为x轴，Dc为y轴，DD1为z轴建系，设棱长为2，则m，N，o，A，c，∴Ac→＝，mN→＝，om→＝，∴om→•Ac→＝0，om→•mN→＝0，∴om⊥Ac，om⊥mN.]3．B [如图建立坐标系，设AB＝Bc＝AA1＝2，则E，F，c1，∴EF→＝，Bc1→＝，∴cos〈EF→，Bc1→〉＝22•8＝12.∵〈EF→，Bc1→〉∈[0°，180°]∴EF与Bc1所成的角是60°.]4．A [由Pc→＝λ1PA→＋λ2PB→得：＝λ1＋λ2，∴－λ1＋6λ2＝2a－1－3λ1－λ2＝a＋1，2λ1＋4λ2＝2 解得a＝16.]5．B [过A、B分别作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴，垂足分别为A1和B1，则AA1＝3，A1B1＝5，BB1＝2，∵AB→＝AA1→＋A1B1→＋B1B→，∴AB→2＝AA1→2＋A1B1→2＋B1B→2＋2AA1→•B1B→＝32＋52＋22＋2×3×2×cos60°＝44.∴|AB→|＝211.]6.12解析∵EF→＝EA→＋AB→＋BF→，又EF→＝ED→＋Dc→＋cF→，∴2EF→＝AB→＋Dc→，∴EF→＝12，∴λ＝12.7．①②解析①－AB→＝AD1→－AB→＝BD1→；②－D1c1→＝Bc1→－D1c1→＝BD1→；③－2DD1→＝BD→－2DD1→≠BD1→；④＋DD1→＝B1D1→＋＝B1D1→≠BD1→.8．解析设DP＝y>0，则A，B，P，E1，1，y2，DP→＝，AE→＝－1，1，y2.∴cos〈DP→，AE→〉＝DP→•AE→|DP→||AE→|＝12y2y2＋y24＝y8＋y2＝33.解得y＝2，∴E．9．证明建立如图所示的空间直角坐标系，则BE→＝，BF→＝，BD1→＝．所以BD1→＝BE→＋BF→.故BD1→、BE→、BF→共面．又它们有公共点B，∴E、B、F、D1四点共面．设m，则Gm→＝0，－23，z.而BF→＝，由题设，得Gm→•BF→＝－23×3＋z•2＝0，得z＝1.∴m，E，∴mE→＝．又BB1→＝，Bc→＝，∴mE→•BB1→＝0，∴mE→•Bc→＝0，从而mE⊥BB1，mE⊥Bc.又∵BB1∩Bc＝B，∴mE⊥平面Bcc1B1.0.解如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系D—xyz.依题意，得D，A，m，c，B，N，E12，1，0.∴NE→＝－12，0，－1，Am→＝．∵cos〈NE→，Am→〉＝NE→•Am→|NE→|•|Am→|＝－1252×2＝－1010，∴异面直线NE与Am所成角的余弦值为1010.假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AmN.∵AN→＝，可设AS→＝λAN→＝，又EA→＝12，－1，0，∴ES→＝EA→＋AS→＝12，λ－1，λ.由ES⊥平面AmN，得ES→•Am→＝0，ES→•AN→＝0，即－12＋λ＝0，λ－1＋λ＝0.故λ＝12，此时AS→＝0，12，12，|AS→|＝22.经检验，当AS＝22时，ES⊥平面AmN.故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AmN，此时AS＝22.1．证明设AB→＝p，Ac→＝q，AD→＝r.由题意可知：|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.mN→＝AN→－Am→＝12－12AB→＝12，∴mN→•AB→＝12•p＝12＝12＝0.∴mN⊥AB又∵cD→＝AD→－Ac→＝r－q，∴mN→•cD→＝12•＝12＝12＝0，∴mN⊥cD.解由可知mN→＝12，∴|mN→|2＝mN→2＝142＝14[q2＋r2＋p2＋2]＝14a2＋a2＋a2＋2a22－a22－a22＝14×2a2＝a22.∴|mN→|＝22a，∴mN的长为22a.解设向量AN→与mc→的夹角为θ.∵AN→＝12＝12，mc→＝Ac→－Am→＝q－12p，∴AN→•mc→＝12•q－12p＝12q2－12q•p＋r•q－12r•p＝12a2－12a2•cos60°＋a2•cos60°－12a2•cos60°＝12a2－a24＋a22－a24＝a22.又∵|AN→|＝|mc→|＝32a，∴AN→•mc→＝|AN→|•|mc→|•cosθ即32a•32a•cosθ＝a22.∴cosθ＝23，∴向量AN→与mc→的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN与cm所成角的余弦值为23.。
2018高考数学一轮复习第7章立体几何第6节空间向量及其运算课件
基
础
·
自
主 学
第七章 立体几何
课
习
时
第六节 空间向量及其运算
分 层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
1．空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有_大__小__和_方__向__的量
相等向量
方向_相__同__且模_相__等__的向量
相反向量
方向_相__反__且模_相__等__的向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相 共线向量(或平行向量) _平__行__或__重__合___的向量
4．已知向量 a＝(1,0，－1)，则下列向量中与 a 成 60°夹角的是( )
A．(－1,1,0)
B．(1，－1,0)
C．(0，－1,1)
D．(－1,0,1)
B [各选项给出的向量的模都是 2，|a|＝ 2.
对于选项 A，设 b＝(－1,1,0)，则 cos 〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝1×2×－12＝－12.因为
2 ． ( 教 材 改 编 ) 如 图 7-6-1 所 示 ， 在 平 行 六 面 体
ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若A→B＝a，A→D
＝b，A→A1＝c，则下列向量中与B→M相等的向量是(
)
A．－12a＋12b＋c
图 7-6-1
B.12a＋12b＋c
C．－12a－12b＋c
对于选项 D，设 b＝(－1,0,1)，则 cos 〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ －21×－12＝－1.因为 0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°.故选 B.]
2018届高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.6 空间向量及其运算 理
2．两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉。 (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c。
3．空间向量的坐标表示及其应用
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 向量表示
4.向量法证明平行与垂直 (1)两个重要向量 ①直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线 的方向向量有_无__数___个。 ②平面的法向量 直线 l⊥平面 α，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面 α 的法向 量。显然一个平面的法向量有_无__数___个，它们是共线向量。
【答案】 垂直
二、双基查验
1．(2016·沈阳模拟)O 为空间任意一点，若O→P＝34O→A＋18O→B＋81O→C，则
A，B，C，P 四点( )
A．一定不共面
B．一定共面
C．不一定共面
D．无法判断
【解析】 由43＋81＋81＝1 知，A，B，C，P 四点共面。故选 B。 【答案】 B
坐标表示
数量积 共线
垂直
a·b a＝λb(b≠0)
a·b＝0 (a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
a12＋a22＋a23
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b32
微点提醒 1．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理。 如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平 行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线 a∥b，只需证明向量 a ＝λb(λ∈R)即可。若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平 行，仍需强调直线在平面外。 2．用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中 点、向量共线、向量相等来确定点的坐标。
2018届高考数学(理)一轮复习人教版课件：第44讲 空间向量及其运算和空间位置关系
1→ 1→ → OA＋3OB＋3OC， 1 1 1 1 1 1 1 1 → ＝OG → －OM → ＝OG → － OA → ＝ OA → ＋ OB → ＋ OC → － OA → ＝－ OA → ＋ OB → ＋ OC →. MG 2 3 3 3 2 6 3 3
பைடு நூலகம்
课堂考点探究
[总结反思]
(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是
课堂考点探究
考点一 空间向量的线性运算
[思路点拨] 根据重心的特征，运 用空间向量的加法、减法运算法 则，从而求得．
课堂考点探究
1 1 2 2 2 → ＋OC → ）－OA → ＝ → ＝OA → ＋AG → ＝OA → ＋ AN → ＝OA → ＋ (ON → －OA → )＝OA → ＋ （OB 解：OG 3 3 32 3
课前双基巩固
知识聚焦
1．空间向量及其有关概念 名称 共线向量 (平行向量) 共面向量 共线向量 定理 语言描述 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合 ____________ 平行于同一平面 ____________的向量 对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在 λ∈R，使 a＝λb
向量和 向量差 数量积 共线 垂直 夹角公式
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R，b≠0) a∥b⇒________________________________ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a⊥b⇔____________ a1b1＋a2b2＋a3b3 cos〈a，b〉＝ 2 2 2 2 2 2 a1＋a2＋a3 b1＋b2＋b3
A．O，A，B，C 四点不共线 B．O，A，B，C 四点共面，但不共线 C．O，A，B，C 四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C 四点不共面
高考数学一轮复习空间向量及其运算和空间位置关系
考法一 空间向量的线性运算(自主练通) 1.如图，在三棱锥 O-ABC 中，点 P，Q 分别是 OA，BC
的中点，点 D 为线段 PQ 上一点，且―PD→＝2―D→Q ， 若记―O→A ＝a ，―O→B ＝b ，―O→C ＝c，则―O→D 等于 ( )
A.16a ＋31b ＋13c C.13a ＋61b ＋13c
共线 垂直 夹角公式
a ∥b ⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R ，b ≠0)
a ⊥b ⇔___a_1b_1_＋__a_2_b_2＋___a_3b_3_＝__0___
cos〈a ，b 〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
3.直线的方向向量与平面的法向量 直线的方 如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l_平__行___ 向向量 _或__共__线__，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量
共线向量 (平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_平__行__或__重__合_
共面向量
平行于同一个平面的向量
共线向量 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使
定理 _a_＝__λ_b__
续表
共面向量 若两个向量 a ，b 不共线，则向量 p 与向量 a ，b 共面⇔存在 定理 唯一的有序实数对(x，y)，使 p ＝_x_a_＋___yb___
11 33 .
答案：D
二、易错易混小题的矫正纠偏
1．(空间想象能力不足)已知点 A(－3,0，－4)，点 A 关于原点的对称点为
B，则|AB|等于
()
A．12
B．9
C．25
D．10
解 析 ： 点 A 关 于 原 点 对 称 的 点 B 的 坐 标 为 (3,0,4) ， 故 |AB| ＝ －3－32＋0－02＋－4－42＝10.
2018届高三数学理一轮复习课后作业第7章 第6节 空间向
课时作业 A 组 基础对点练1．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143 C.145D ．2解析：由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa·b ＝0， ∴14－7λ＝0，∴λ＝2. 答案：D2．(2017·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( ) A ．±66 B ．66 C ．－66D ．±6解析：OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66. 答案：C3．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12 B ．－13，12 C ．－3,2D ．2,2解析：∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)，∴⎩⎨⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.答案：A4．(2017·济南月考)O 为空间任意一点，若OP→＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断解析：因为OP→＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1.所以P ，A ，B ，C 四点共面． 答案：B5．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．－1 B ．43 C.53D ．75解析：由题意得，k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)．所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －2×2＝5k －7＝0，解得k ＝75. 答案：D6．(2017·西安联考)已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29且λ>0，则λ＝________.解析：λa ＋b ＝(4，－λ＋1，λ)，所以|λa ＋b |＝16＋(－λ＋1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋17＝29，化简整理得λ2－λ－6＝0，解得λ＝－2或λ＝3，又λ>0，所以λ＝3. 答案：37．已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，若a ∥b ，则a 与b 的夹角为________． 解析：∵a ∥b ，∴x －2＝4y ＝1－1，∴x ＝2，y ＝－4. ∴a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)，∴a ＝－b ， ∴〈a ，b 〉＝π. 答案：π8．(2017·北京西城模拟)如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP→的取值范围是________．解析：如图所示，由题意，设BP →＝λBD 1→，其中λ∈[0,1]，DC →·AP →＝AB →·(AB →＋BP →)＝AB →·(AB →＋λBD 1→)＝AB →2＋λAB →·BD 1→＝AB →2＋λAB →·(AD 1→－AB →)＝(1－λ)AB →2＝1－λ∈[0,1]．因此DC →·AP →的取值范围是[0,1]． 答案：[0,1]9．如图，在直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． 解析：(1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴CE→＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ， ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE→⊥A ′D →， 即CE ⊥A ′D .(2)AC ′→＝－a ＋c ，CE→＝b ＋12c ， ∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE→＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010.即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.10．已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°. (1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .解析：(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2，a·b ＝0，c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos 120°＝－1.∵AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1→|＝|a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2 ＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋12＋22＋2(0－1－1)＝ 2. ∴线段AC 1的长为 2.(2)设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ. 则cos θ＝|cos 〈AC 1→，A 1D →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC 1→·A 1D →|AC 1→||A 1D →|. ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，A 1D →＝b －c ，∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2，|A 1D →|＝(b －c )2＝|b |2－2b ·c ＋|c |2 ＝12－2×(－1)＋22＝7.∴cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC 1→·A 1D →|AC 1→||A 1D →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22×7＝147. 故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147.(3)证明：∵AA 1→＝c ，BD →＝b －a ，∴AA 1→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝(－1)－(－1)＝0.∴AA 1→⊥BD →.∴AA 1⊥BD . B 组 能力提速练1．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能解析：由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面． ∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面．∴c ⊥d . 答案：B2．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析：如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a )＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c·a ＝0. 答案：B3．(2017·泸州模拟)在空间直角坐标系中，点P (m,0,0)到点P 1(4,1,2)的距离为30，则m 的值为( )A ．－9或1B ．9或－1C ．5或－5D ．2或3解析：由题意|PP 1|＝30，即(m －4)2＋(－1)2＋(－2)2＝30，∴(m －4)2＝25，解得m ＝9或m ＝－1.故选B. 答案：B4．在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB→＋12(BD →＋BC →)＝________.解析：依题意有AB→＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12×2BG →＝AB →＋BG →＝AG →.答案：AG→5．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，求实数x 的值．解析：由题意知AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，又AB →＝(6，－2，－3)，AC →＝(x －4,3，－6)，∴⎩⎨⎧6(x －4)－6＋18＝0，(x －4)2＝4，解得x ＝2.。
2018届高考数学理大一轮复习教师用书：第八章第五节空
第五节空间向量及其运算和空间位置关系本节主要包括2个知识点：1.空间向量及其运算；2.利用空间向量证明平行与垂直问题.突破点(一)空间向量及其运算1．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念①空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．②相等向量：方向相同且模相等的向量．③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．④共面向量：平行于同一个平面的向量．(2)空间向量中的有关定理①共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a ＝λb.②共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.③空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.2．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空间向量的运算及其坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，[例1] 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设1AA ＝a ，AB ＝b ，AD ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1) AP ； (2)1 A N ； (3) MP ＋1 NC .[解] (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴ AP ＝1 AA ＋11 A D ＋1 D P ＝a ＋ AD ＋1211 D C＝a ＋c ＋12 AB ＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴1 A N ＝1 A A ＋ AB ＋ BN ＝－a ＋b ＋12BC＝－a ＋b ＋12 AD ＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴ MP ＝ MA ＋ AP ＝121 A A ＋ AP ＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ，又1 NC ＝ NC ＋1 CC ＝12BC ＋1 AA ＝12 AD ＋1AA ＝12c ＋a ， ∴ MP ＋1 NC ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .[方法技巧]用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．共线、共面向量定理的应用[例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .[证明] (1)如图，连接BG ，则EG ＝ EB ＋ BG ＝ EB ＋12( BC ＋ BD )＝ EB ＋ BF ＋ EH ＝ EF ＋ EH ，由共面向量定理知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为 EH ＝ AH － AE ＝12 AD －12 AB ＝12( AD － AB )＝12BD ，因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH . 1．证明空间三点P ，A ，B 共线的方法(1) PA ＝λPB (λ∈R)；(2)对空间任一点O ， OP ＝ OA ＋tAB (t ∈R)；(3)对空间任一点O ， OP ＝x OA ＋yOB (x ＋y ＝1)．2．证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法(1) MP ＝x MA ＋y MB ；(2)对空间任一点O ， OP ＝ OM ＋x MA ＋yMB ；(3)对空间任一点O ， OP ＝x OM ＋y OA ＋zOB (x ＋y ＋z ＝1)； (4) PM ∥ AB (或 PA ∥ MB 或 PB ∥AM )． [方法技巧][例3]都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．[解] (1)证明：设 AB ＝p ， AC ＝q ，AD ＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN ＝ AN － AM ＝12( AC ＋ AD )－12 AB ＝12(q ＋r －p )， ∴ MN · AB ＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2) ＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴ MN ⊥AB .即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD .(2)由(1)可知 MN ＝12(q ＋r －p )，∴| MN |2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14a 2＋a 2＋a 2＋2⎝⎛⎭⎫a 22－a 22－a 22＝14×2a 2＝a 22. ∴| MN |＝22a .∴MN 的长为22a .(3)设向量 AN 与MC 的夹角为θ.∵ AN ＝12( AC ＋ AD )＝12(q ＋r )， MC ＝ AC － AM ＝q －12p ，∴ AN ·MC ＝12(q ＋r )·⎝⎛⎭⎫q －12p ＝12⎝⎛⎭⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ＝12a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60° ＝12⎝⎛⎭⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22.又∵| AN |＝| MC |＝32a ，∴ AN · MC ＝| AN || MC |cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22，∴cos θ＝23，∴向量 AN 与 MC 的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.[方法技巧]空间向量数量积的三个应用(1)求夹角，设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角． (2)求长度(距离)，运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点二]已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若 OP ＝x OA ＋y OB ＋zOC (x ，y ，z ∈R)，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即 OP ＝2 OA －3 OB ＋2 OC .则 AP －AO ＝2 OA －3( AB － AO )＋2( AC － AO )，即 AP ＝－3AB ＋2 AC ，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP＝mAB ＋n AC (m ，n ∈R)，即 OP － OA ＝m ( OB － OA )＋n ( OC － OA )，即 OP ＝(1－m －n ) OA ＋m OB ＋nOC ，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．2．[考点二]已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：选A ∵a ∥b ，∴b ＝ka ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12. 3．[考点一]已知空间四边形OABC 中， OA ＝a ， OB ＝b ，OC ＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN ＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12cD.23a ＋23b －12c 解析：选B如图所示，MN ＝ MA ＋ AB ＋BN＝13OA ＋( OB － OA )＋12BC ＝ OB －23 OA ＋12( OC － OB )＝－23OA ＋12 OB ＋12OC＝－23a ＋12b ＋12c .4．[考点三]已知P (－2,0,2)，Q (－1,1,2)，R (－3,0,4)，设a ＝ PQ ，b ＝ PR ，c ＝ QR ，若实数k 使得ka ＋b 与c 垂直，则k 的值为________．解析：由题意知，a ＝ PQ ＝(1,1,0)，b ＝ PR ＝(－1,0,2)，c ＝QR ＝(－2，－1,2)，故ka ＋b ＝(k －1，k,2)．又ka ＋b 与c 垂直，所以(ka ＋b )·c ＝－2(k －1)－k ＋4＝0，所以k ＝2.答案：25．[考点三]如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝1，∠ACD ＝90°，把△ADC 沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求BD 的长．解：∵AB 与CD 成60°角，∴〈 BA ，CD 〉＝60°或120°.又∵AB ＝AC ＝CD ＝1，AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，∴| BD |＝ BD 2＝ ( BA ＋ AC ＋CD )2＝ BA 2＋ AC 2＋ CD 2＋2 BA · AC ＋2 AC · CD ＋2 BA ·CD＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos〈BA，CD〉＝3＋2cos〈BA，CD〉，∴|BD|＝2或 2.∴BD的长为2或 2.突破点(二)利用空间向量证明平行与垂直问题1．两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.2．空间位置关系的向量表示[例1]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.[证明] 以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B 1(4，0,4)，D (2,0,2)，A 1(0,0,4)．(1) DE ＝(－2,4,0)，平面ABC 的法向量为1AA ＝(0,0,4)，∵ DE ·1AA ＝0，DE ⊄平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .(2) 1 B F ＝(－2,2，－4)， EF ＝(2，－2，－2)，AF ＝(2,2,0)，1 B F ·EF ＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， ∴1 B F ⊥EF ，∴B 1F ⊥EF ， 1 B F ·AF ＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0， ∴1 B F ⊥AF ，∴B 1F ⊥AF .∵AF ∩EF ＝F ， ∴B 1F ⊥平面AEF . [方法技巧]1．利用空间向量证明平行的方法 (1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题． 2．利用空间向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． [提醒] 运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题[例2] 如图，在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．[解] 以A 为原点， AB ， AD ，1AA 的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝a .(1)证明：A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故1 AD ＝(0,1,1)，1 B E ＝⎝⎛⎭⎫－a2，1，－1， 因为1 B E ·1 AD ＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP ＝(0，－1，z 0)，再设平面B 1AE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，1 AB ＝(a,0,1)， AE ＝⎝⎛⎭⎫a2，1，0. 因为n ⊥平面B 1AE ，所以n ⊥1 AB ，n ⊥ AE ，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－a2，z ＝－a ，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥ DP ，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，所以存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.[方法技巧]向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一](2016·开封模拟)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB .(1)求证：平面BCE ⊥平面CDE ；(2)若点M 是CD 的中点，证明AM ∥平面BCE .解：(1)证明：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0，0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．所以BE ＝(a ，3a ，a )， BC ＝(2a,0，－a )， CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )．设平面BCE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎨⎧n 1· BE ＝0，n 1·ED ＝0可得⎩⎨⎧ax 1＋3ay 1＋az 1＝0，2ax 1－az 1＝0，即⎩⎨⎧x 1＋3y 1＋z 1＝0，2x 1－z 1＝0.令z 1＝2，可得n 1＝(1，－3，2)． 设平面CDE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎨⎧n 2· CD ＝0，n 2·ED ＝0可得⎩⎨⎧－ax 2＋3ay 2＝0，－2az 2＝0，即⎩⎨⎧－x 2＋3y 2＝0，z 2＝0.令y 2＝1，可得n 2＝(3，1,0)．因为n 1·n 2＝1×3＋(－3)×1＋2×0＝0. 所以n 1⊥n 2，所以平面BCE ⊥平面CDE .(2)易得M ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，则 AM ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，又平面BCE 的一个法向量为n 1＝(1，－3，2)，则 AM ·n 1＝3a 2×1＋32a ×(－3)＋0×2＝0.所以AM ⊥n 1，又AM ⊄平面BCE ，所以AM ∥平面BCE .2．[考点二]如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，点M 是BD 的中点，AE ＝12CD ，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求证：EM ∥平面ABC ；(2)试问在棱CD 上是否存在一点N ，使MN ⊥平面BDE ？若存在，确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (－2,0,0)，D (－2,0,4)，E (0,0,2)，M (－1,1,2)， AE ＝(0,0,2)，DB ＝(2,2，－4)， DE ＝(2,0，－2)， DC ＝(0,0，－4)， DM ＝(1,1，－2)，EM ＝(－1,1,0)．(1)由所建空间直角坐标系易知，⎩⎨⎧AE ·AB ＝0，AE · AC ＝0，故AE 为平面ABC 的一个法向量， ∵ AE ·EM ＝0×(－1)＋0×1＋2×0＝0， ∴ AE ⊥EM ，即AE ⊥EM ，又EM ⊄平面ABC ， 故EM ∥平面ABC .(2)假设在DC 上存在一点N 满足题意，设DN ＝λ DC ＝(0,0，－4λ)，λ∈[0,1]， 则 NM ＝ DM －DN ＝(1,1，－2)－(0,0，－4λ)＝(1,1，－2＋4λ)，所以⎩⎨⎧NM ·DB ＝0， NM · DE ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2＋8－16λ＝0，2＋4－8λ＝0，解得λ＝34∈[0,1]．所以棱DC 上存在一点N ，满足NM ⊥平面BDE ，此时，DN ＝34DC .[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1,3,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1 B ．x ＝12C ．x ＝16D ．x ＝－16解析：选C ∵a 与b 共线，∴2x 1＝13＝39，∴x ＝16. 2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝ ( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)解析：选B 由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．3．空间四点A (2,3,6)，B (4,3,2)，C (0,0,1)，D (2,0,2)的位置关系为( ) A ．共线 B ．共面 C ．不共面 D ．无法确定解析：选C AB ＝(2,0，－4)， AC ＝(－2，－3，－5)，AD ＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使AB ＝λ AC 成立知，A ，B ，C 不共线，故A ，B ，C ，D 不共线；假设A ，B ，C ，D 共面，则可设 AD ＝x AB ＋y AC (x ，y 为实数)，即⎩⎪⎨⎪⎧0＝2x －2y ，－3＝－3y ，－4＝－4x －5y ，由于该方程组无解，故A ，B ，C ，D 不共面，故选C.4.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的比为2，现用基向量 OA ， OB ， OC 表示向量 DG ，设 DG ＝x OA ＋yOB ＋zOC ，则x ，y ，z 的值分别是( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13解析：选D 设 OA ＝a ， OB ＝b ， OC ＝c ，∵G 分MN 的所成比为2，∴ MG ＝23MN ，∴ DG ＝ OM ＋ MG ＝ OM ＋23( ON － OM )＝12a ＋23⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －12a ＝12a ＋13b ＋13c －13a ＝16a ＋13b ＋13c ，即x ＝16，y ＝13，z ＝13.5．已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 夹角的余弦值为________． 解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2515. 答案：－2515[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．在空间四边形ABCD 中， AB ·CD ＋ AC · DB ＋ AD · BC ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．不确定解析：选B 如图，令 AB ＝a ， AC ＝b ，AD ＝c ，则 AB ·CD ＋ AC · DB ＋ AD · BC＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.2．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( ) A ．9B ．－9C ．－3D ．3解析：选B 由题意知c ＝xa ＋yb ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD的中点，则 AE ·AF 的值为( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2 D.34a 2解析：选C AE · AF ＝12( AB ＋ AC )·12 AD ＝14( AB · AD ＋ AC · AD )＝14(a 2cos60°＋a 2cos 60°)＝14a 2.4．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确解析：选C ∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，∴n 1与n 2不垂直，又n 1，n 2不共线，∴α与β相交但不垂直．5.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若 AB ＝a ， AD ＝b ，1 AA ＝c ，则下列向量中与 BM 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选A BM ＝1 BB ＋1 B M ＝1 AA ＋12( AD － AB )＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .6.如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1D.3－ 2解析：选D ∵ BD ＝ BF ＋ FE ＋ ED ，∴| BD |2＝| BF |2＋| FE |2＋| ED |2＋2 BF ·FE ＋2 FE · ED ＋2 BF · ED ＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD |＝3－ 2. 二、填空题7．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．解析：由题意知点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影，所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)． 答案：(0，2，3)8．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若 AP ＝2 PB ，则|PD |的值是________．解析：设P (x ，y ，z )，∴ AP ＝(x －1，y －2，z －1)， PB ＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP ＝2 PB 得点P 坐标为－13，83，3，又D (1,1,1)，∴| PD |＝773.答案：7739．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________．解析：由题意知 AB · AC ＝0，| AB |＝| AC |，又AB ＝(6，－2，－3)， AC ＝(x －4,3，－6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧6(x －4)－6＋18＝0，(x －4)2＝4，解得x ＝2. 答案：210．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当 QA ·QB取最小值时，点Q 的坐标是________．解析：由题意，设 OQ ＝λ OP ，则 OQ ＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴ QA ·QB ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23，当λ＝43时有最小值，此时Q 点坐标为⎝⎛⎭⎫43，43，83. 答案：⎝⎛⎭⎫43，43，83 三、解答题11.如图，在多面体ABC -A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1 -AB -C 是直二面角．求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .证明：∵二面角A 1 -AB -C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形，∴AA 1⊥平面BAC . 又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ，∴∠CAB ＝90°，即CA ⊥AB ， ∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设AB ＝2，则A (0,0,0)，B 1(0,2,2)， A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)．(1) 11 A B ＝(0,2,0)，1A A ＝(0,0，－2)， AC ＝(2,0,0)，设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1 A A ＝0，n · AC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0.取y ＝1，则n ＝(0,1,0)． ∴11 A B ＝2n ，即11 A B ∥n .∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)易知1 AB ＝(0,2,2)， 11 A C ＝(1,1,0)，1A C ＝(2,0，－2)，设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·11 A C ＝0，m ·1A C ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0， 令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1,1)．∴1AB ·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， ∴1AB ⊥m .又AB 1⊄平面A 1C 1C ，∴AB 1∥平面A 1C 1C .12.如图所示，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，点P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD .连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点， OB ， OC ，OS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ， 于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D －22a,0,0，B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0， OC ＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，SD ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ， 则 OC · SD ＝0.故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .(2)棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面PAC .理由如下：由已知条件知 DS 是平面PAC 的一个法向量，且 DS ＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS ＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ， BC ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0.设 CE ＝t CS ，则 BE ＝ BC ＋ CE ＝ BC ＋t CS ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ，而BE · DS ＝0⇒t ＝13.即当SE ∶EC ＝2∶1时， BE ⊥DS .而BE ⊄平面PAC ，故BE ∥平面PAC .。
2018年高考数学理一轮复习文档 第七章 立体几何 第6讲
第6讲 空间向量及其运算)1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定0≤〈a ，b 〉≤π．若〈a ，b 〉＝π2，则称向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b . (2)两向量的数量积两个非零向量a ，b 的数量积a ²b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (3)向量的数量积的性质①a ²e ＝|a |cos 〈a ，e 〉(其中e 为单位向量)； ②a ⊥b ⇔a ²b ＝0； ③|a |2＝a ²a ＝a 2； ④|a ²b |≤|a ||b |.(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )²b ＝λ(a ²b )； ②a ²b ＝b ²a (交换律)；③a ²(b ＋c )＝a ²b ＋a ²c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ²b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3，a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )，cos 〈a ，b 〉＝a ²b |a |²|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23²b 21＋b 22＋b 23. (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n²a ＝0，n²b ＝0.5．空间位置关系的向量表示1．辨明四个易误点(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别．(2)共线向量定理中a ∥b ⇔存在唯一的实数λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. (3)共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．(4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即(a ²b )c ＝a (b ²c )不一定成立．2．建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直． (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．1．已知a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )A ．a ∥c ，b ∥cB ．a ∥b ，a ⊥cC ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对C 因为c ＝(－4，－6，2)＝2a ，所以a ∥c .又a ²b ＝0，故a ⊥b .2．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为( )A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)C 设P (0，0，z )，则有（1－0）2＋（－2－0）2＋（1－z ）2＝（2－0）2＋（2－0）2＋（2－z ）2，解得z ＝3.3.教材习题改编 在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c A 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4.教材习题改编 已知a ＝(2，4，x )，b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为________．因为a ＝(2，4，x )，|a |＝6，则x ＝±4， 又b ＝(2，y ，2)，a ⊥b ， 当x ＝4时，y ＝－3，x ＋y ＝1. 当x ＝－4时，y ＝1，x ＋y ＝－3. 1或－35．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y ，2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________．因为α∥β，所以u 1∥u 2，所以－36＝y －2＝2z ，所以y ＝1，z ＝－4，所以y ＋z ＝－3. －3空间向量的线性运算如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________．(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________．【解析】 (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)．所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 【答案】 (1)A 1A →(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→若本例条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求x ，y ，z 的值．EO →＝ED →＋DO →＝－23DD 1→＋12(DA →＋DC →)＝12AB →－12AD →－23AA 1→， 由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.用基向量表示指定向量的方法(1)应结合已知和所求向量观察图形．(2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．如图所示，在空间几何体ABCD A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→. (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .因为N 是BC 的中点， 所以NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→ ＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c .共线、共面向量定理的应用已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .【证明】 (1)连接BG (图略)， 则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知，E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD ． 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(1)证明空间三点P 、A 、B 共线的方法 ①PA →＝λPB →(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P 、M 、A 、B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或PA →∥MB →或PB →∥AM →)．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． (1)由题知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， 所以OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， 所以MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，MA →，MB →，MC →共面且基线过同一点M ， 所以M ，A ，B ，C 四点共面， 从而点M 在平面ABC 内．空间向量的数量积与坐标运算(1)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i (i ＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则AB →²AP i →(i ＝1，2，…，8)的不同值的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B ．33 C.23D ．63(3)已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________． 【解析】 (1)由题图知，AB 与上底面垂直，因此AB ⊥BP i (i ＝1，2，…，8)，AB →²AP i →＝|AB →||AP i →|cos ∠BAP i ＝|AB →|²|AB →|＝1(i ＝1，2，…，8)．故选A.(2)不妨设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，B (1，1，0)，B 1(1，1，1)，平面ACD 1的法向量为DB 1→＝(1，1，1)，又BB 1→＝(0，0，1)，所以cos 〈DB 1→，BB 1→〉＝DB 1→²BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13³1＝33， 所以BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63.(3)λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ>0，解得λ＝3. 【答案】 (1)A (2)D (3)3(1)空间向量数量积计算的两种方法 ①基向量法：a ²b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．②坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题 ①a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ²b ＝0. ②|a |＝a 2.③cos 〈a ，b 〉＝a ²b|a ||b |.已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．因为A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，a ＝AB →，b ＝AC →，所以a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．(1)cos θ＝a²b|a ||b |＝－1＋0＋02³5＝－1010，所以a 和b 的夹角θ的余弦值为－1010.(2)因为k a ＋b ＝k (1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k －1，k ，2)²(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝－52或k ＝2.利用空间向量证明平行和垂直(高频考点)空间几何中的平行与垂直问题是高考试题中的热点问题．考查形式灵活多样，可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，是高考中的重要得分点．高考对空间向量解决此类问题有以下两个命题角度： (1)证明平行问题； (2)证明垂直问题．(1)(2015²高考湖南卷节选)如图，已知四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A 1A ＝6，且A 1A ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱DD 1，BC 上．若P 是DD 1的中点，证明：AB 1⊥PQ .(2)如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .【证明】 (1)由题设知，AA 1，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B 1(3，0，6)，D (0，6，0)，D 1(0，3，6)，Q (6，m ，0)，其中m ＝BQ ，0≤m ≤6.若P 是DD 1的中点，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，3，PQ →＝(6，m －92，－3)．又AB 1→＝(3，0，6)，于是AB 1→²PQ →＝18－18＝0， 所以AB 1→⊥PQ →，即AB 1⊥PQ .(2)因为平面PAD ⊥平面ABCD 且ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0).PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →， 又因为FE →与FG →不共线， 所以PB →与FE →，FG →共面．因为PB ⊄平面EFG ，所以PB ∥平面EFG .(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系；②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； ④根据运算结果解释相关问题． (2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．①线线平行l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.②线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ²b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.③线面平行(l ⊄α)l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ²u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0.④线面垂直l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3.⑤面面平行α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4. ⑥面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ²v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.角度一 证明平行问题 1.如图，在四棱锥O ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．利用向量方法证明：直线MN ∥平面OCD ．作AP ⊥CD 于点P ，连接OP ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，O (0，0，2)，M (0，0，1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，0，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，－1，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－2，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，－2. 设平面OCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ²OP →＝0，n ²OD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，得n ＝(0，4，2)．因为MN →²n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，－1²(0，4，2)＝0，所以MN →⊥n ，且MN ⊄平面OCD ，所以MN ∥平面OCD ．角度二 证明垂直问题2．如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .(1)如图所示，以O 为坐标原点，以射线OD 为y 轴正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)．于是AP →＝(0，3，4)，BC →＝(－8，0，0)， 所以AP →²BC →＝(0，3，4)²(－8，0，0)＝0， 所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)连接MB ，MC .由(1)知AP ＝5， 又AM ＝3，且点M 在线段AP 上，所以AM →＝35AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，又BA →＝(－4，－5，0)，所以BM →＝BA →＋AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125，则AP →²BM →＝(0，3，4)²⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125＝0，所以AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ， 又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．2D 由题意知a ²(a －λb )＝0，即a 2－λa ²b ＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直B 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，所以AB →＝－3CD →，所以AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点．所以AB ∥CD ．3．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B ．9 C.647D ．657D 由题意知存在实数x ，y 使得c ＝x a ＋y b ， 即(7，5，λ)＝x (2，－1，3)＋y (－1，4，－2)， 由此得方程组⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，5＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y .解得x ＝337，y ＝177，所以λ＝997－347＝657.4．在空间四边形ABCD 中，AB →²CD →＋AC →²DB →＋AD →²BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．不确定B 如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →²CD →＋AC →²DB →＋AD →²BC →＝a ²(c －b )＋b²(a －c )＋c²(b －a )＝a²c －a²b ＋b²a －b²c ＋c²b －c²a ＝0.5.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( ) A ．(1，1，1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，32 D ．(1，1，2)A 设P (0，0，z )，依题意知A (2，0，0)，B (2，2，0)，则E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，z 2，于是DP →＝(0，0，z )，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，z 2，cos 〈DP →，AE →〉＝DP →²AE →|DP →||AE →|＝z 22|z |²z 24＋2＝33. 解得z ＝±2，由题图知z ＝2，故E (1，1，1)．6．(2017²唐山统考)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC →1，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216a B ．66a C.156a D ．153a A 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a ，0，0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )， 因为点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，所以(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，所以x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3.所以M ⎝⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，所以|MN →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 7．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，点Q 在平面yOz 上，则垂足Q 的坐标为________．由题意知点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影， 所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)． (0，2，3)8．在空间直角坐标系中，以点A (4，1，9)，B (10，－1，6)，C (x ，4，3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为__________．由题意知AB →＝(6，－2，－3)， AC →＝(x －4，3，－6)．又AB →²AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，可得x ＝2. 29．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ²c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．由题意得，(2a ＋b )²c ＝0＋10－20＝－10.即2a ²c ＋b ²c ＝－10，又因为a ²c ＝4，所以b ²c ＝－18，所以cos 〈b ，c 〉＝b ²c |b |²|c |＝－1812³1＋4＋4＝－12，所以〈b ，c 〉＝120°，所以两直线的夹角为60°. 60°10．已知空间四边形OABC ，点M 、N 分别是OA 、BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a 、b 、c 表示向量MN →＝________．如图所示，MN →＝12(MB →＋MC →)＝12＝12(OB →＋OC →－2OM →)＝12(OB →＋OC →－OA →)＝12(b ＋c －a )．12(b ＋c －a ) 11.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →²BA →； (2)EG 的长．设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，EF →²BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ²(－a )＝12a 2－12a ²c ＝14.(2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ²b ＋12b ²c －12c ²a ＝12，则|EG →|＝22.12．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)． (1)求以AB ，AC 为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标．(1)由题意可得： AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →²AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614³14＝714＝12.所以sin 〈AB →，AC →〉＝32，所以以AB ，AC 为边的平行四边形的面积为S ＝2³12|AB →|²|AC →|²sin 〈AB →，AC →〉＝14³32＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1，所以向量a 的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．13．有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B ①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．14．已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1²e 2＝12，若空间向量b 满足b ²e 1＝2，b ²e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________．对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ²(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y2，所以当x ＝2－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min＝－7，此时x ＝2－y2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.1 2 2 2 15.如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .(1)设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，C (2a ，0，0)，B (0，0，a )，D (a ，3a ，0)， E (a ，3a ，2a )．因为F 为CD 的中点， 所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0.AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )， BC →＝(2a ，0，－a )．因为AF →＝12(BE →＋BC →)，AF ⊄平面BCE ，所以AF ∥平面BCE .(2)因为AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，CD →＝(－a ，3a ，0)，ED →＝(0，0，－2a )，所以AF →²CD →＝0，AF →²ED →＝0， 所以AF ⊥CD ，AF ⊥ED ．又CD ∩DE ＝D ，所以AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE .16．如图，正三角形ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B ．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BP BC的值；如果不存在，请说明理由．(1)AB ∥平面DEF ，理由如下： 在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 的中点， 得EF ∥AB ．又因为AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ， 所以AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，故DE →＝(0，3，1)．假设存在点P (x ，y ，0)满足条件，则AP →＝(x ，y ，－2)， AP →²DE →＝3y －2＝0，所以y ＝233.又BP →＝(x －2，y ，0)，PC →＝(－x ，23－y ，0)，BP →∥PC →，所以(x －2)(23－y )＝－xy ， 所以3x ＋y ＝2 3.把y ＝233代入上式得x ＝43，所以BP →＝13BC →，所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE ，此时BP BC ＝13.。
2018年高考数学(理)一轮复习文档第七章立体几何第6讲空间向量及其运算Word版含答案
第6讲 空间向量及其运算)1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定0≤〈a ，b 〉≤π．若〈a ，b 〉＝π2，则称向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b . (2)两向量的数量积两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (3)向量的数量积的性质①a ·e ＝|a |cos 〈a ，e 〉(其中e 为单位向量)； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③|a |2＝a ·a ＝a 2； ④|a ·b |≤|a ||b |.(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②a ·b ＝b ·a (交换律)；③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3，a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.5．空间位置关系的向量表示1．辨明四个易误点(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别．(2)共线向量定理中a ∥b ⇔存在唯一的实数λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. (3)共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．(4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．2．建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直． (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．1．已知a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )A ．a ∥c ，b ∥cB ．a ∥b ，a ⊥cC ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对C 因为c ＝(－4，－6，2)＝2a ，所以a ∥c .又a ·b ＝0，故a ⊥b .2．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为( )A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)C 设P (0，0，z )，则有（1－0）2＋（－2－0）2＋（1－z ）2＝（2－0）2＋（2－0）2＋（2－z ）2，解得z ＝3.3.教材习题改编 在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c A 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4.教材习题改编 已知a ＝(2，4，x )，b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为________．因为a ＝(2，4，x )，|a |＝6，则x ＝±4， 又b ＝(2，y ，2)，a ⊥b ， 当x ＝4时，y ＝－3，x ＋y ＝1. 当x ＝－4时，y ＝1，x ＋y ＝－3. 1或－35．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y ，2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________．因为α∥β，所以u 1∥u 2，所以－36＝y －2＝2z ，所以y ＝1，z ＝－4，所以y ＋z ＝－3. －3空间向量的线性运算如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________．(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________．【解析】 (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)．所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 【答案】 (1)A 1A →(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→若本例条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求x ，y ，z 的值．EO →＝ED →＋DO →＝－23DD 1→＋12(DA →＋DC →)＝12AB →－12AD →－23AA 1→， 由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.用基向量表示指定向量的方法(1)应结合已知和所求向量观察图形．(2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．如图所示，在空间几何体ABCD A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→. (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .因为N 是BC 的中点， 所以NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→ ＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c .共线、共面向量定理的应用已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .【证明】 (1)连接BG (图略)， 则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知，E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD ． 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(1)证明空间三点P 、A 、B 共线的方法 ①PA →＝λPB →(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P 、M 、A 、B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或PA →∥MB →或PB →∥AM →)．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． (1)由题知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， 所以OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， 所以MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，MA →，MB →，MC →共面且基线过同一点M ， 所以M ，A ，B ，C 四点共面， 从而点M 在平面ABC 内．空间向量的数量积与坐标运算(1)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i (i ＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则AB →·AP i →(i ＝1，2，…，8)的不同值的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B ．33 C.23D ．63(3)已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________． 【解析】 (1)由题图知，AB 与上底面垂直，因此AB ⊥BP i (i ＝1，2，…，8)，AB →·AP i →＝|AB →||AP i →|cos ∠BAP i ＝|AB →|·|AB →|＝1(i ＝1，2，…，8)．故选A.(2)不妨设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，B (1，1，0)，B 1(1，1，1)，平面ACD 1的法向量为DB 1→＝(1，1，1)，又BB 1→＝(0，0，1)，所以cos 〈DB 1→，BB 1→〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13×1＝33， 所以BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63.(3)λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ>0，解得λ＝3. 【答案】 (1)A (2)D (3)3(1)空间向量数量积计算的两种方法 ①基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．②坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题 ①a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. ②|a |＝a 2.③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．因为A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，a ＝AB →，b ＝AC →，所以a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．(1)cos θ＝a·b|a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a 和b 的夹角θ的余弦值为－1010.(2)因为k a ＋b ＝k (1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝－52或k ＝2.利用空间向量证明平行和垂直(高频考点)空间几何中的平行与垂直问题是高考试题中的热点问题．考查形式灵活多样，可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，是高考中的重要得分点．高考对空间向量解决此类问题有以下两个命题角度： (1)证明平行问题； (2)证明垂直问题．(1)(2015·高考湖南卷节选)如图，已知四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A 1A ＝6，且A 1A ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱DD 1，BC 上．若P 是DD 1的中点，证明：AB 1⊥PQ .(2)如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .【证明】 (1)由题设知，AA 1，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B 1(3，0，6)，D (0，6，0)，D 1(0，3，6)，Q (6，m ，0)，其中m ＝BQ ，0≤m ≤6.若P 是DD 1的中点，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，3，PQ →＝(6，m －92，－3)．又AB 1→＝(3，0，6)，于是AB 1→·PQ →＝18－18＝0， 所以AB 1→⊥PQ →，即AB 1⊥PQ .(2)因为平面PAD ⊥平面ABCD 且ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0).PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →， 又因为FE →与FG →不共线， 所以PB →与FE →，FG →共面．因为PB ⊄平面EFG ，所以PB ∥平面EFG .(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系；②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； ④根据运算结果解释相关问题． (2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．①线线平行l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.②线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.③线面平行(l ⊄α)l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0.④线面垂直l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3.⑤面面平行α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4. ⑥面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.角度一 证明平行问题 1.如图，在四棱锥O ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．利用向量方法证明：直线MN ∥平面OCD ．作AP ⊥CD 于点P ，连接OP ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，O (0，0，2)，M (0，0，1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，0，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，－1，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－2，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，－2. 设平面OCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP →＝0，n ·OD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，得n ＝(0，4，2)．因为MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，－1·(0，4，2)＝0，所以MN →⊥n ，且MN ⊄平面OCD ，所以MN ∥平面OCD ．角度二 证明垂直问题2．如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .(1)如图所示，以O 为坐标原点，以射线OD 为y 轴正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)．于是AP →＝(0，3，4)，BC →＝(－8，0，0)， 所以AP →·BC →＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0， 所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)连接MB ，MC .由(1)知AP ＝5， 又AM ＝3，且点M 在线段AP 上，所以AM →＝35AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，又BA →＝(－4，－5，0)，所以BM →＝BA →＋AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125，则AP →·BM →＝(0，3，4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125＝0，所以AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ， 又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．2D 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直B 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，所以AB →＝－3CD →，所以AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点．所以AB ∥CD ．3．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B ．9 C.647D ．657D 由题意知存在实数x ，y 使得c ＝x a ＋y b ， 即(7，5，λ)＝x (2，－1，3)＋y (－1，4，－2)， 由此得方程组⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，5＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y .解得x ＝337，y ＝177，所以λ＝997－347＝657.4．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．不确定B 如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.5.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( ) A ．(1，1，1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，32 D ．(1，1，2)A 设P (0，0，z )，依题意知A (2，0，0)，B (2，2，0)，则E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，z 2，于是DP →＝(0，0，z )，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，z 2，cos 〈DP →，AE →〉＝DP →·AE →|DP →||AE →|＝z 22|z |·z 24＋2＝33. 解得z ＝±2，由题图知z ＝2，故E (1，1，1)．6．(2017·唐山统考)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC →1，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216a B ．66a C.156a D ．153a A 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a ，0，0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )， 因为点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，所以(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，所以x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3.所以M ⎝⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，所以|MN →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 7．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，点Q 在平面yOz 上，则垂足Q 的坐标为________．由题意知点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影， 所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)． (0，2，3)8．在空间直角坐标系中，以点A (4，1，9)，B (10，－1，6)，C (x ，4，3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为__________．由题意知AB →＝(6，－2，－3)， AC →＝(x －4，3，－6)．又AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，可得x ＝2. 29．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10.即2a ·c ＋b ·c ＝－10，又因为a ·c ＝4，所以b ·c ＝－18，所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，所以〈b ，c 〉＝120°，所以两直线的夹角为60°. 60°10．已知空间四边形OABC ，点M 、N 分别是OA 、BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a 、b 、c 表示向量MN →＝________．如图所示，MN →＝12(MB →＋MC →)＝12＝12(OB →＋OC →－2OM →)＝12(OB →＋OC →－OA →)＝12(b ＋c －a )．12(b ＋c －a ) 11.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG 的长．设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.(2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22.12．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)． (1)求以AB ，AC 为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标．(1)由题意可得： AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.所以sin 〈AB →，AC →〉＝32，所以以AB ，AC 为边的平行四边形的面积为S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1，所以向量a 的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．13．有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B ①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．14．已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________．对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ·(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y2，所以当x ＝2－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min＝－7，此时x ＝2－y2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.1 2 2 2 15.如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .(1)设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，C (2a ，0，0)，B (0，0，a )，D (a ，3a ，0)， E (a ，3a ，2a )．因为F 为CD 的中点， 所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0.AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )， BC →＝(2a ，0，－a )．因为AF →＝12(BE →＋BC →)，AF ⊄平面BCE ，所以AF ∥平面BCE .(2)因为AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，CD →＝(－a ，3a ，0)，ED →＝(0，0，－2a )，所以AF →·CD →＝0，AF →·ED →＝0， 所以AF ⊥CD ，AF ⊥ED ．又CD ∩DE ＝D ，所以AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE .16．如图，正三角形ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B ．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BP BC的值；如果不存在，请说明理由．(1)AB ∥平面DEF ，理由如下： 在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 的中点， 得EF ∥AB ．又因为AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ， 所以AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，故DE →＝(0，3，1)．假设存在点P (x ，y ，0)满足条件，则AP →＝(x ，y ，－2)， AP →·DE →＝3y －2＝0，所以y ＝233.又BP →＝(x －2，y ，0)，PC →＝(－x ，23－y ，0)，BP →∥PC →，所以(x －2)(23－y )＝－xy ， 所以3x ＋y ＝2 3.把y ＝233代入上式得x ＝43，所以BP →＝13BC →，所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE ，此时BP BC ＝13.。
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课时作业 空间向量及其运算和空间位置关系[练基础小题——强化运算能力]1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1,3,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1 B ．x ＝12C ．x ＝16D ．x ＝－16解析：选C ∵a 与b 共线，∴2x 1＝13＝39，∴x ＝16.2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝ ( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)解析：选B 由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．3．空间四点A (2,3,6)，B (4,3,2)，C (0,0,1)，D (2,0,2)的位置关系为( ) A ．共线 B ．共面 C ．不共面 D ．无法确定解析：选C AB ＝(2,0，－4)， AC ＝(－2，－3，－5)，AD ＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使AB ＝λ AC 成立知，A ，B ，C 不共线，故A ，B ，C ，D 不共线；假设A ，B ，C ，D 共面，则可设 AD ＝x AB ＋y AC (x ，y 为实数)，即⎩⎪⎨⎪⎧0＝2x －2y ，－3＝－3y ，－4＝－4x －5y ，由于该方程组无解，故A ，B ，C ，D 不共面，故选C.4.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的比为2，现用基向量 OA ， OB ， OC 表示向量 DG ，设 DG ＝x OA ＋y OB ＋zOC ，则x ，y ，z 的值分别是( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13解析：选D 设 OA ＝a ， OB ＝b ， OC ＝c ，∵G 分MN 的所成比为2，∴ MG ＝23MN ，∴ DG ＝ OM ＋ MG ＝ OM ＋23( ON － OM )＝12a ＋23⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －12a ＝12a ＋13b ＋13c －13a ＝16a ＋13b ＋13c ，即x ＝16，y ＝13，z ＝13. 5．已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 夹角的余弦值为________． 解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2515. 答案：－2515[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．在空间四边形ABCD 中， AB ·CD ＋ AC · DB ＋ AD · BC ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．不确定解析：选B 如图，令 AB ＝a ， AC ＝b ，AD ＝c ，则 AB ·CD ＋ AC · DB ＋ AD · BC＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.2．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3D ．3解析：选B 由题意知c ＝xa ＋yb ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD的中点，则 AE ·AF 的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2D.34a 2解析：选C AE · AF ＝12( AB ＋ AC )·12 AD ＝14( AB · AD ＋ AC ·AD )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 4．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确解析：选C ∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，∴n 1与n 2不垂直，又n 1，n 2不共线，∴α与β相交但不垂直．5.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若 AB ＝a ， AD ＝b ，1AA ＝c ，则下列向量中与 BM 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选A BM ＝1 BB ＋1 B M ＝1 AA ＋12( AD － AB )＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .6.如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1D.3－ 2解析：选D ∵ BD ＝ BF ＋ FE ＋ ED ，∴| BD |2＝| BF |2＋| FE |2＋| ED |2＋2 BF ·FE ＋2 FE · ED ＋2 BF · ED ＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD |＝3－ 2. 二、填空题7．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．解析：由题意知点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影，所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)． 答案：(0，2，3)8．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若 AP ＝2 PB ，则|PD |的值是________．解析：设P (x ，y ，z )，∴ AP ＝(x －1，y －2，z －1)， PB ＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP ＝2 PB 得点P 坐标为－13，83，3，又D (1,1,1)，∴| PD |＝773.答案：7739．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________．解析：由题意知 AB · AC ＝0，| AB |＝| AC |，又AB ＝(6，－2，－3)， AC ＝(x －4,3，－6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧6(x －4)－6＋18＝0，(x －4)2＝4，解得x ＝2. 答案：210．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当 QA · QB取最小值时，点Q 的坐标是________．解析：由题意，设 OQ ＝λ OP ，则 OQ ＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴ QA ·QB ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23，当λ＝43时有最小值，此时Q 点坐标为⎝⎛⎭⎫43，43，83. 答案：⎝⎛⎭⎫43，43，83 三、解答题11.如图，在多面体ABC -A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1 -AB -C 是直二面角．求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .证明：∵二面角A 1 -AB -C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形，∴AA 1⊥平面BAC . 又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ，∴∠CAB ＝90°，即CA ⊥AB ， ∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设AB ＝2，则A (0,0,0)，B 1(0,2,2)， A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)．(1) 11 A B ＝(0,2,0)，1A A ＝(0,0，－2)， AC ＝(2,0,0)，设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1 A A ＝0，n · AC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0.取y ＝1，则n ＝(0,1,0)． ∴11 A B ＝2n ，即11 A B ∥n .∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)易知1 AB ＝(0,2,2)， 11 A C ＝(1,1,0)，1A C ＝(2,0，－2)，设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·11 A C ＝0，m ·1A C ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0， 令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1,1)．∴1 AB ·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， ∴1AB ⊥m .又AB 1⊄平面A 1C 1C ，∴AB 1∥平面A 1C 1C .12.如图所示，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，点P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面P AC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD .连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点， OB ， OC ，OS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ， 于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D －22a,0,0，B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0， OC ＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0， SD ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ，则 OC · SD ＝0.故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .(2)棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面P AC .理由如下：由已知条件知 DS 是平面P AC 的一个法向量，且 DS ＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS ＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ， BC ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0.设 CE ＝t CS ，则 BE ＝ BC ＋ CE ＝ BC ＋t CS ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ，而BE · DS ＝0⇒t ＝13.即当SE ∶EC ＝2∶1时， BE ⊥DS .而BE ⊄平面P AC ，故BE ∥平面P AC .。