福建省春季高考高职单招数学模拟试题(十二)与答案

FC B AED福建省春季高考高职单招数学模拟试题（十二）班级： 姓名： 座号： 成绩：一.选择题：本大题共14小题，每小题5分，满分70分．1．已知集合{1,0,1}A =-，则（ ）A ．1i A +∈B ．21i A +∈C ．31i A +∈D ．41i A +∈2．已知命题P ：“2,230x R x x ∀∈++≥”，则命题P 的否定为（ ）A.2,230x R x x ∀∈++< B. 2,230x R x x ∃∈++≥C. 2,230x R x x ∃∈++< D. 2,230x R x x ∃∈++≤3．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()3xf x m =+（m 为常数），则函数()f x 的大致图象为（ ）5．已知倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行，则tan 2α的值为( ) A.45 B. 34 C. 43 D. 236．已知双曲线2221x y a-=的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )A.3B. 3C. 32D.2 第7题图7．如图，已知ABCDEF 是边长为1的正六边形，则()BA BC AF ⋅+的值为（ ）A.1-B.1C.D.08．某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 6πD. 10π9．已知向量(,1),(2,)a x z b y z =-=+，且a b ⊥，若变量x,y满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z 的最大值为 ( )A.1B.2C.3D.4 10.若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为( )A.1-B.0C.1D.1-或1 11. 函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．12. 已知2()22xf x x =-，则在下列区间中，()0f x =有实数解的是（ ）A. （－3，－2）B. （－1，0）C. （2，3）D. （4，5） 13. 已知11tan ,tan()43ααβ=-=则tan β=( ) A.711 B. 117- C. 113- D. 113 14. 我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北030方向的100海里处，已知该国的雷达扫描半径为70海里，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会暴露目标？ （ ）A 、50海里B 、)225(310-海里C 、620海里D 、350海里第8题图毫克/立方米)二.填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，15．函数1()lg(1)f x x =-的定义域为 .16．近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车保有量急 剧增加，我国许多大城市灰霾现 象频发，造成灰霾天气的“元凶” 之一是空气中的pm2.5（直径小于等于2.5微米的颗粒物）.右图是某市某月（按30天计）根据对“pm2.5” 24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有 天“pm2.5”含量不达标． 17．在△ABC 中，已知60,4,5,A b c ===则sin B = .18. 某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分60分． 19．（本小题满分8分）已知数列{}n a 是公比1q >的等比数列，且1240a a +=，12256,a a = 又 2log n n b a =．求数列{n b }的通项公式；20．（本小题满分8分）24小时平均浓度 (毫克/立方米)结束开始已知函数()sin()cos ,()f x x x x R π=--∈． (1) 求函数()f x 的最小正周期； (2) 求函数()f x 的最大值和最小值；(3) 若1(),(0,)42f παα=∈，求sin cos αα+的值．21. （本小题满分10分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准A ，3ξ≥为标准B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B 生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数7ξ≥的为一等品，等级系数57ξ≤<的为二等品，等级系数35ξ≤<的为三等品．（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．FEDP22. （本小题满分10分）如图①边长为1的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，将△BEF 剪去，将△AED、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点P 得一三棱锥如图②示.（1）求证：PD EF ⊥； （2）求三棱锥P DEF -的体积；① ②第22题图23．（本小题满分12分）已知直线:l y x m =+，m R ∈．（1）若以点()2,1M -为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在x 轴上，求该圆的方程； （2）若直线l 关于x 轴对称的直线l '与抛物线21:C x y m=相切，求直线l 的方程和抛物线C 的方程．24．（本小题满分12分）已知函数32()2f x x ax x =--+.(a R ∈). （1）当1=a 时，求函数)(x f 的极值； （2）若对x R ∀∈，有4'()||3f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围．x福建省春季高考高职单招数学模拟试题（十二）参考答案及评分说明一．选择题：B C B B C A D B C A ABCB 解析：1．∵{1,0,1}A =-,210i A +=∈，故选B.4．由该函数的图象过原点且关于原点对称可排除A 、C ，由()f x 在[0,)+∞为增函数，可排除D ，故选B.5．依题意知：1tan 2α=，从而22tan 4tan 21tan 3ααα==-,选C. 6．由22,13c b a ==⇒=3c e a ⇒===，选A. 7．()BA BC AF ⋅+=()BA BC CD BA BD ⋅+=⋅=0，选D.8. 由三视图知，该几何体为圆锥，其底面的半径为1,r =高h =，母线3l ==， 故24S rl r πππ=+=表，故选B.9．∵a b ⊥ ∴2()02x z y z z x y -++=⇒=+，点(,)x y 的可行域如图示， 当直线2z x y =+过点（1,1）时，Z 取得最大值，max 213z =+=，选C.13．tan tan[()]βααβ=--11tan tan()14311tan tan()13112ααβααβ---===-+-+，选C.二．填空题：15. {|12}x x x >≠且(或{|122}x x x <<>或；16. 27； 17.772． 15．由101211x x x x ->⎧⇒>≠⎨-≠⎩且.16．该市当月“pm2.5”含量不达标有801001601206020()0.0053027333333+++++⨯⨯=（天）; 17．====⋅⋅-+=72sin sin ,2160cos 54254022ac A bc B a 77218.31三．解题题：19．解：（1）解法1：∵1240a a +=，12256,a a =且1q >解得12832a a =⎧⎨=⎩---------------4分∴214a q a == ∴11211842n n n n a a q --+==⨯=---------------------------------6分 ∴ 2log n n b a ==212log 221n n +=+-------------------------------------------8分【解法2：由1240a a +=，12256,a a =且1q >得12832a a =⎧⎨=⎩ ∴214a q a ==---------------------------------------------------4分∴1121222log log log log 42,n n n n n na b b a a a +++-=-===----------------------------5分 又1212log log 83,b a ===-------------------------------------------------------6分 ∴{}n b 是以3为首项，2为公差的等差数列，----------------------------------------7分 ∴3(1)221n b n n =+-⨯=+；----------------------------------------------------8分 20．解：（1）∵()sin cos ),4f x x x x x R π=-=-∈------------------------------2分∴函数()f x 的最小正周期2T π=--------------------------------------3分（2）函数()f x．----------------------------------5分 （3）由1()4f α=得1sin cos 4αα-= ∴21(sin cos )16αα-=，------------------------------------------------------6分1151sin 2,sin 21616αα-==----------------------------------------------------7分∴21531(sin cos )1sin 211616ααα+=+=+=---------------------------------------9分∵(0,)2πα∈，∴sin cos 0αα+>∴sin cos αα+=------------------------------------------------------12分 21．解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数7ξ≥有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------3分FEDPPDF∴样本中一等品的频率为60.230=，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2；-------4分 二等品的频率为90.330=，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；---------------5分 三等品的频率为150.530=，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．-----------6分（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，--7分 记等级系数为7的3件产品分别为1C 、2C 、3C ，等级系数为8的3件产品分别为1P 、2P 、3P .则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：121323(,),(,),(,),C C C C C C 12(,),P P 1323(,),(,)P P P P ,11121321(,),(,),(,),(,),C P C P C P C P 2223(,),(,)C P C P ,3132(,),(,),C P C P 33(,)C P .共15种，-------------------------------10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A ，则A 包含的基本事件有 12(,),P P 1323(,),(,)P P P P 共3种，-------------------------11分 故所求的概率31()155P A ==.-------------------------------------------------12分 22．（1）证明：依题意知图①折前,AD AE CD CF ⊥⊥,-------------------------------1分 ∴,PD PE PF PD ⊥⊥,-------------------------------------------------------2分 ∵PEPF P = ∴PD ⊥平面PEF -----------------------------------4分又∵EF ⊂平面PEF ∴PD EF ⊥----------------------------------------5分 (2)解法1：依题意知图①中AE=CF=12 ∴PE= PF=12， 在△BEF中2EF ==,-----6分 在PEF ∆中，222PE PF EF PE PF +=∴⊥∴8121212121=⋅⋅=⋅⋅=∆PF PE S PEF -------------------8分 ∴13P DEF D PEF PEF V V S PD --∆==⋅11113824=⨯⨯=．-----10分【(2)解法2：依题意知图①中AE=CF=12 ∴PE= PF=12，在△BEF中EF ==分取EF 的中点M ，连结PM则PMEF ⊥,∴PM =分∴11122248PEF S EF PM ∆=⋅=⨯=---------------8分 ∴13P DEF D PEF PEF V V S PD --∆==⋅11113824=⨯⨯=．------------------------------10分】 23．解（1）解法1．依题意得点P 的坐标为(,0)m -．-------1分 ∵以点()2,1M -为圆心的圆与直线l 相切与点P ，∴MP l ⊥．0(1)112MP l k k m --⋅=⋅=---，解得1m =-．----3分∴点P 的坐标为()1,0．设所求圆的半径r ，则22||112r PM ==+=,------------------------------------5分 ∴所求圆的方程为()222(1)2x y -++=．--------------------------------------6分【解法2．设所求圆的方程为()2222(1)x y r -++=，--------------------------------1分依题意知点P 的坐标为(,0)m -．----------------------------------------------2分 ∵以点()2,1M -为圆心的圆与直线l 相切于点(),0P m -，∴222(2)1,.m r r ⎧++=⎪⎨=⎪⎩解得1,m r =-⎧⎪⎨=⎪⎩-------------------------------------------5分∴所求的圆的方程为()222(1)2x y -++=．------------------------------------6分】（2）解法1．将直线方程y x m =+中的y 换成y -，可得直线l '的方程为y x m =--．--------------------------------------------7分由21,.x y m y x m ⎧=⎪⎨⎪=--⎩得20mx x m ++=，(0)m ≠-----------------------------------9分 2Δ14m =-，--------------------------------------------------------------10分∵直线l '与抛物线21:C x y m=相切∴0∆=，解得12m =±．----------------------------------------------------12分 当12m =时，直线l 的方程为12y x =+，抛物线C 的方程为22x y =，-------------13分 当12m =-时，直线l 的方程为12y x =-，抛物线C 的方程为22x y =-．----------14分 【解法2．将直线方程y x m =+中的y 换成y -，可得直线l '的方程为y x m =--．-----7分设直线l '与抛物线21:C x y m=相切的切点为()00,x y ，---------------------------8分 由2y mx =得2y mx '=，则021mx =----①-----------------------------------10分00y x m =--------②200y mx =．---------③①②③联立得1142m m m =-21142m m ⇒=⇒=±，----------------------------12分 当12m =时，直线l 的方程为12y x =+，抛物线C 的方程为22x y =，-------------13分 当12m =-时，直线l 的方程为12y x =-，抛物线C 的方程为22x y =-．----------14分】 24．解：（1）当1=a 时，32()2f x x x x =--+ 2'()321f x x x =--=(1)(31)x x -+，------------------------------------------2分 令'()0f x =，解得121,13x x =-=.当'()0f x >时，得1x >或13x <-；当'()0f x <时，得113x -<<. 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：-------------------------------------------------------------------------------4分∴当13x =-时，函数()f x 有极大值，15()=()2,327f x f -=极大-----------------------5分 当1x =时函数()f x 有极小值，()(1)1f x f ==极小---------------------------------6分（2）∵2'()321f x x ax =--，∴对x R ∀∈，4'()||3f x x ≥-成立，即24321||3x ax x --≥-对x R ∀∈成立，--------------------------------------7分 ①当0x >时，有213(21)03x a x -++≥， 即12133a x x +≤+，对(0,)x ∀∈+∞恒成立，----------------------------------9分∵1323x x +≥=，当且仅当13x =时等号成立， ∴212a +≤12a ⇒≤------------------------------------------------------11分 ②当0x <时，有213(12)03x a x +-+≥， 即1123||3||a x x -≤+，对(,0)x ∀∈-∞恒成立，∵13||23||x x +≥=，当且仅当13x =-时等号成立， ∴11222a a -≤⇒≥-----------------------------------------------------13分 ③当0x =时，a R ∈综上得实数a 的取值范围为11[,]22-.-------------------------------------------14分。