二元一次方程的应用分类总结

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二元一次方程组解应用题专题分类常见十三类

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程相遇问题:两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。

它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。

A车路程+B车路程=相距路程总路程=（甲速+乙速）×相遇时间相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度.练习：学校距活动站670米，小明从学校前往活动站每分钟行80米，2分钟后，小丽从活动站往学校走，每分钟行90米，小明出发多少分钟后和小丽相遇？相遇时二人各行了多少米？A甲、乙二人相距2. 甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼，2h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲。

根据他们两人的约定，乙最快不早于1h追上甲，最慢不晚于1h15min追上甲，则乙骑车的速度应当控制在什么范围？3. 从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲到乙地需90分，从乙地到甲地需102分。

甲地到乙地全程是多少？4. 甲,乙两人分别从甲,乙两地同时相向出发,在甲超过中点50米处甲,乙两人第一次相遇,甲,乙到达乙,甲两地后立即返身往回走,结果甲,乙两人在距甲地100米处第二次相遇,求甲,乙两地的路程.5. 两列火车同时从相距910千米的两地相向出发,10小时后相遇,如果第一列车比第1二列车早出发4小时20分,那么在第二列火车出发8小时后相遇,求两列火车的速度.6. 某班同学去18千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的距离.7. 通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。

二元一次方程组解应用题总结

二元一次方程组解应用题总结（2）顺水(风)速度=静水（无风）速度+水流（风）速度逆水（风）速度=静水（无风）速度本金利率时间税率（9）利润问题：利润=售价进价）进价100%（10）盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量（11）数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示（12）几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式（13）年龄问题：解这类问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。

年龄问题的主要特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。

年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用（14）分配调运问题（15）方案设计问题讲解：一、数字问题例1 一个两位数，比它位上的数与个位上的数的和大9；如果交换位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数、分析：设这个两位数位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数xy10x+y10x+y=x+y+9新两位数yｘ10y+x10y+x=10x+y+27解方程组，得，因此，所求的两位数是14、点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程、一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之、二、利润问题例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0、9x元，获利(0、9x-y)元，因此得方程0、9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0、8x元，获利(0、8x-y)元，可得方程0、8x-y=10、解方程组，解得，因此，此商品定价为200元、点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价、利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价利润率（盈利百分数）、特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念、三、配套问题例3 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数2=每天生产的螺母数1、因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得，解之，得、故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母、点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即；（2）“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：、四、行程问题例：甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。

二元一次方程组的应用

二元一次方程组的应用一、简介二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程集合。

在数学中，二元一次方程组广泛应用于解决各种实际问题。

本文将探讨二元一次方程组在实际应用中的一些例子，并说明其在解决问题中的重要性。

二、线性方程组的应用1. 计算问题：二元一次方程组常被用于计算相关问题。

例如，设想你在购买书籍和笔记本时共花费了100元，已知一本书的价格是10元，一台笔记本的价格是20元，那么用二元一次方程组可以表示为：x + y = 10010x + 20y = 100通过求解以上方程组，我们可以得到书籍和笔记本的具体数量。

2. 几何问题：二元一次方程组也可以应用于几何问题。

例如，在平面上给定两个直线的斜率和截距，我们可以用二元一次方程组表示这两条直线，并通过求解方程组确定两条直线的交点坐标。

三、应用案例分析1. 混合液体问题：假设有一瓶含有某种化学物质的溶液，溶液中物质的含量为x，另有一瓶纯净的溶液，其中物质的含量为y。

我们需要将两种溶液混合，使得混合后的溶液物质的含量为k。

根据物质守恒定律，可以得到以下方程组：x + y = kCx + Dy = E其中C、D、E为给定的常数。

通过求解该方程组，我们可以确定混合液体的比例，从而达到所需的物质含量。

2. 财务问题：考虑以下情境：张三和李四各自投资了一笔钱到同一项业务中，两人最终收益相等。

已知张三投资的金额为x，收益率为p，李四投资的金额为y，收益率为q。

我们可以列出以下方程组：x(1 + p) = y(1 + q)x + y = T其中T为总投资金额。

通过求解该方程组，我们可以确定张三和李四的具体投资金额，从而平衡他们的收益。

四、总结通过以上例子可以看出，二元一次方程组在实际问题中的应用非常广泛。

无论是计算问题、几何问题还是财务问题，二元一次方程组都能提供简洁而有效的数学解决方案。

因此，掌握二元一次方程组的求解方法对于解决实际应用问题非常重要。

总之，二元一次方程组在数学和实际问题中都具有重要的应用价值。

二元一次方程组的应用题,总结了十个题型,学透很容易!

初学二元一次方程组的应用，好多同学会遇到会解不会列的尴尬局面。

为此，特把二元一次方程组应用中常见的题型整理出来，希望能对同学们有所帮助。

类型一：行程问题例：甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后3小时相遇可列方程求解。

类型二：工程问题例：小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8类型三：商品销售利润问题例：李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？分析：由题意得出两个相等关系为：甲、乙两种蔬菜共10亩和共获利18000元，依次列方程组求解类型四：银行储蓄问题例：小明的爸爸为了给他筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱．第一种，一年期存取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期存取，这种存款银行利率为年息2.70%．三年后同时取出共得利息303.75元．问小明的爸爸两种存款各存入了多少元？分析：利用两种方式共计存了4000元钱以及两笔存款三年内共得利息303.75元得出等式求出即可类型五：生产配套问题例：现用190张铁皮做盒，一张可以做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子，问用多少张铁皮制盒身、多少张铁皮制盒底，可制成一批完整的盒子？分析：本题的等量关系是：制盒身的铁皮+制盒底的铁皮=190张；盒底的数量=盒身数量的2倍．据此可列方程组求解类型六：增长率问题例：某城市现有人口42万人．计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人中增加1.1%，这样全市人口得增加1%，求这个城市现有城镇人口和农村人口分别是多少人？分析：根据题意可得出的等量关系为：现有的城镇人口+现有的农村人口=42万，计划一年后城镇人口增加的数量+农村人口的增加的数量=全市人口增加的数量，然后列出方程组求解类型七：数字问题例：一个两位数的十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，求这个两位数字．分析：设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，列方程组求解类型八：几何问题用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边分别折3厘米，补较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？分析：设矩形的长为x，宽为y，则可得x-3=y+3，再由矩形的周长为48，可得出2（x+y）=48，联立方程组求解即可类型九：年龄问题例：今年，小李的年龄是他爷爷的1/5,小李发现，12年后，他的年龄变成爷爷的1/3,求今年小李的年龄．分析：通过理解题意可知本题的等量关系，12年之后他爷爷的年龄x1/3=12年之后小李的年龄．根据这两个等量关系，可列出方程，再求解类型十：方案优化问题例：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同类型的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场用9万元同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，求应购进甲、乙两种电视机各多少台？（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．试问：同时购进两种不同型号电视机的方案可以有几种（每种方案必须刚好用完9万元）？为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？并说明理由．分析：（1）本题的等量关系是：甲乙两种电视的台数和=50台，买甲乙两种电视花去的费用=9万元．依此列出方程求出正确的方案；（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方。

(完整版)二元一次方程知识点总结

二元一次方程组一、二元一次方程及其解（1）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠.（2）条件：1）含有两个未知数 2）所含未知数的项的次数是13）等号两边是等式二、二元一次方程组及其解（1）、二元一次方程组：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.（2）、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩.】例1、若方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值.例2、若23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解，求m n 、的值.例3、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值.（变式训练）已知218(26)(2)0n m m xn y +--++=是关于x y 、的二元一次方程，当2y =-时，求x 的值.二元一次方程的变形：用一个未知数表示另一个未知数例：已知二元一次方程５x-2y=10 ①将其变形为用含x 的代数式表示y 的形式。

②将其变形为用含y 的代数式表示x 的形式例4:已知在方程8x-6y=10中，请用含有x 的代数式表示y ，用含有y 的代数式表示x .知识点1:二元一次方程及其解1、下列各式是二元一次方程的是（）..A 67x y -= .B 105x y-= .C 45x xy -= .D 210x x ++= 2、若32x y =⎧⎨=⎩是关于x y 、的二元一次方程30x ay -=的一个（组）解，则a 的值为（）.A 3 .B 4 .C 4.5 .D 63、对于二元一次方程21x y -=有无数个解，下列四组值不是该方程的解的一组是（）.A 012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ .B 11x y =⎧⎨=⎩ .C 10x y =⎧⎨=⎩ .D 11x y =-⎧⎨=-⎩。

完整版)二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)

完整版)二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)二元一次方程组常见题型二元一次方程组是初中数学中的重要内容，常见的题型包括分配调运问题、行程问题、百分数问题、分配问题、浓度分配问题和金融分配问题等。

其中，分配调运问题是指在不同的地方分配人员或物品，需要根据条件求出各个地方的人数或物品数量。

例如，某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，需要求出到两个工厂的人数各是多少。

行程问题是指两个人或物体在不同的路程上移动，需要根据条件求出它们的速度或路程。

例如，甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。

需要求出甲、乙的平均速度各是多少。

百分数问题是指在数量变化中涉及到百分数的计算，需要根据条件求出各个数量的值。

例如，某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，需要求出这个市现在的城镇人口与农村人口。

分配问题是指在已知总量和每份数量的情况下，需要求出总量或份数。

例如，某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个；若每人4个，则有一个少1个，需要求出幼儿园有几个小朋友。

浓度分配问题是指在不同浓度的物质中混合，需要根据条件求出各个物质的数量或浓度。

例如，要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少。

金融分配问题是指在不同价格的商品中混合，需要根据条件求出各个商品的数量或价格。

例如，需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克。

几何分配问题）用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米。

可以列出以下两个方程：1、8x = 482、4y = 48解方程得到x = 6，y = 12，因此每块小长方形的长是6厘米，宽是12厘米。

八年级数学：二元一次方程解法大全_公式总结

八年级数学：二元一次方程解法大全_公式总结
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m.
例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11
分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

(1)解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解：9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2
方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
当b^2-4ac≥0时，x+=±
∴x=(这就是求根公式)。

完整版)二元一次方程组题型总结

完整版)二元一次方程组题型总结二元一次方程组题型总结类型一：二元一次方程的概念及求解例（1）已知（a-2）x-by=5是关于x、y的二元一次方程，则a=2，b=-1.2）二元一次方程3x+2y=15的正整数解为(3,3)。

类型二：二元一次方程组的求解例（3）若|2a+3b-7|与（2a+5b-1）互为相反数，则a=1，b=2.4）2x-3y=4，x-y=5的解为(-1,-6)。

类型三：已知方程组的解，而求待定系数。

例（5）已知3mx-2y=1，4x+ny+7=2，x=-2，y=1是方程组的解，则m-n的值为-1.6）若满足方程组kx+(2k-1)y=6的x、y的值相等，则k=2.练：若方程组2x-y=3，2kx+(k+1)y=10的解互为相反数，则k的值为-3/2.类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。

例（7）已知abc/123=4/12，且a+b-c=1，则a=4，b=8，c=1.8）解方程组x+3y=2，3y+z=4，z+3x=6，得x=2，y=0，z=-2.练：若2a+5b+4c=10，3a+b-7c=-2，则a+b-c=0.由方程组x-2y+3z=2，2x-3y+4z=3可得，x∶y∶z是1∶2∶1.类型五：列方程组求待定字母系数是常用的解题方法。

例（9）若x=1，y=-2，y=-3都是关于x、y的方程|a|x+by=6的解，则a+b的值为-2.10）关于x，y的二元一次方程ax+b=y的两个解是(2,-1)和(1,1)，则这个二元一次方程是y=-x+3.练：如果方程组x=-1y=2ax+by=zbx-cy=1中的{x,y}是解，下列哪个式子成立？A。

a+4c=2B。

4a+c=2C。

a+4c+2=0D。

4a+c+2=0解析：由{x=-1,y=2}可知，代入方程组中得a+2b=zb-2c=1又因为{x,y}是解，所以代入方程组中得a+2b=0b-2c=0解得a=4c，代入选项可知只有选项C成立。

初中数学知识归纳二元一次方程组与不等式

初中数学知识归纳二元一次方程组与不等式初中数学知识归纳：二元一次方程组与不等式在初中数学学习中，二元一次方程组和不等式是我们必须要掌握的重要内容。

本文将对这两个概念进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、二元一次方程组二元一次方程组由两个含有两个未知数的方程组成，一般形式为：{ax + by = cdx + ey = f}其中a、b、c、d、e、f为已知的实数，x、y为未知数。

1. 解的概念解即是满足方程组中所有方程的变量值，使方程组中的等式成立。

对于二元一次方程组，它可能有唯一解、无解或者无穷解三种情况。

2. 解的求解方法（1）消元法：通过将方程组中的一方程乘以适当因子，使得两个方程中的某一未知数系数相等或当前系数可消去。

（2）代入法：将方程组中的一方程解出其中一个未知数，再代入另一个方程中去求解。

（3）等式法：将方程组两个方程相加或相减，消去一个未知数，再求解另一个未知数。

3. 实际应用二元一次方程组在日常生活和实际问题中有广泛应用。

例如，通过解决方程组可以计算某商品的单价和数量，或者找到两架飞机的速度等。

二、不等式不等式是数学中的一种表达式形式，表示两个数或表达式的大小关系。

不等式有三种基本形式：大于（>）、小于（<）和大于等于（≥）。

1. 解的概念不等式中的解是使不等式成立的取值范围。

对于一元不等式，解可以用数轴表示；对于多元不等式，解可以用数平面或空间中的区域表示。

2. 不等式的性质（1）加减性质：对不等式两边同时加或减一个数，不等号方向不改变。

（2）乘除性质：对正数乘除不等式两边，不等号方向不改变；对负数乘除不等式两边，不等号方向改变。

3. 实际应用不等式在实际问题中有着广泛的应用。

例如，通过解决不等式可以求解某个数的范围或满足某种条件的取值范围。

综上所述，初中数学知识中的二元一次方程组和不等式是我们必须要掌握的重要内容。

通过对二元一次方程组的解法和不等式的性质的学习，我们可以更好地理解和应用这些知识。

绝对经典二元一次方程组知识点整理、典型例题练习总结

绝对经典二元一次方程组的解题技巧与注意事项
第五章
解题技巧
消元法：通过代入或加减消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。换元法：通过引入新变量替换原方程中的某些项，简化方程组或找到更简单的解法。
参数法：通过引入参数来简化方程组，并找到更有效的解法。
图像法：通过绘制二元一次方程组的平面图，直观地找到解集和解决方案。
分配问题：描述一组人或物按照一定规则进行分配的情况，可以通过建立二元一次方程组求解。
配套问题：描述不同部件或产品之间的配对关系，通常涉及数量、比例和单价等变量。
相遇问题
描述：二元一次方程组在解决相遇问题中的应用
实例：两个物体在某点相遇，通过方程组求解各自的运动轨迹和时间
解题思路：先设定变量，列出方程组，然后解方程组得出答案
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消元法：通过消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一个一元一次方程，再求解另一个未知数
公式法：通过使用二元一次程组的通解公式来求解未知数
整体代入法
定义：将方程组中的一个方程整体代入另一个方程，消元求解
适用范围：当方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数时，适合使用整体代入法
绝对经典二元一次方程组知识点整理、典型例题练习总结
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目录
CONTENTS
01 二元一次方程组的基本概念
02 绝对经典二元一次方程组的解法
03 绝对经典二元一次方程组的实际应用
04
绝对经典二元一次方程组的变式与拓展

七年级上册二元一次方程知识总结

七年级上册二元一次方程知识总结一、引言二元一次方程是初中数学中的重要内容，掌握好二元一次方程的知识对于进阶学习和科学研究都具有重要意义。

本篇文章将对七年级上册关于二元一次方程的知识进行总结，并向读者介绍相关概念、性质和解题方法，希望能够对读者有所帮助。

二、二元一次方程的概念1. 二元一次方程的定义二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常表示为ax+by=c，其中a、b、c为已知常数，x、y为未知数。

这种方程在解析几何和代数中有着广泛的应用。

2. 二元一次方程的一般形式一般情况下，二元一次方程可以表示为Ax+By=C，其中A、B、C 为已知常数，x、y为未知数。

通过二元一次方程的一般形式，我们可以进行方程的变形和简化，从而更好地理解和解决问题。

三、二元一次方程的性质1. 二元一次方程的等价变形二元一次方程经过等价变形后，其解不变。

等价变形通常包括方程两边加减同一个量、方程两边乘除同一个非零数等操作。

2. 二元一次方程的解的存在唯一性对于一组二元一次方程，当且仅当系数行列式不等于零时，其解存在且唯一。

这一性质对二元一次方程的解题过程具有重要指导作用。

四、二元一次方程的解法1. 二元一次方程的图解法通过将二元一次方程表示为直线的形式，我们可以通过图形的交点来求解方程的解。

这是一种直观的解法，有助于帮助学生理解方程的几何意义。

2. 二元一次方程的代入法对于一组二元一次方程，可以通过其中一个方程的解，代入另一个方程中，进而求解另一个未知数。

这是一种常用的解方程方法，也是解题过程中的常见操作。

3. 二元一次方程的消元法通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后求解另一个未知数的值，从而得到方程的解。

消元法在实际问题中具有较高的适用性，也是解二元一次方程的重要方法。

五、举例分析1. 实际问题的建立通过一些实际问题，我们可以将问题转化为二元一次方程，然后通过解方程的方法得到问题的解。

这是一个将数学知识与实际问题相结合的过程。

高考数学中的解二元一次方程问题总结

高考数学中的解二元一次方程问题总结数学是高考中必考科目之一，而解二元一次方程是数学中的基础问题之一，经常出现在高考数学试题中。

面对这种问题，许多学生往往感到头疼，甚至不知道从何着手。

本文将从解题方法、技巧、注意事项等方面进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助。

一、解法总结1.代入法代入法是二元一次方程中使用最广泛的一种解法。

它的基本思路是把一个方程中的一个变量表示成另一方程中相同的变量，然后代入另一个方程，进而得到另一个未知数的值。

比如：①x+y=5②x-y=1将②代入①得 x+(x-1)=5，从而得到x=3，再将x=3代入①中，得到y=2。

2.消元法消元法是解二元一次方程的另一种基本方法，它通过对方程中的某个变量进行消元，将两个方程中对应的未知数合并起来，从而得到另一个未知数。

比如：①3x-2y=7②2x+y=4将②乘以2，得到4x+2y=8，将其代入①中，得到7x=15，从而得到x=15/7，再代入②中解得y=-2/7。

3.分离变量法分离变量法是解二元一次方程的一种特殊方法，它可以通过对方程中的系数进行操作，将未知数合并在一起，从而得出未知数的值。

比如：①x-2y=10②3x-y=11将①乘以3并加上②，在去掉y的系数后，得到7x=41，从而得到x=41/7，再代入①中求得y=-8/7。

二、技巧总结1.转换系数当两个方程的系数比较复杂时，我们可以通过乘以某个数来使它们的系数更加简单。

比如：①2x+5y=13②3x+y=11将①乘以3，②乘以5，得到6x+15y=39和15x+5y=55，再代入消元法求解即可。

2.化简方程有时我们可以通过化简方程来简化解题步骤。

比如：①3x+y=5②x+2y=0将①乘以2，②乘以3，得到6x+2y=10和3x+6y=0，再代入消元法即可得出未知数的值。

三、注意事项总结1.注意方程的排列顺序。

通常情况下，我们会按x递增的顺序排列方程，但如果方程的顺序不同，我们在代入或消元时应该格外留意。

二元一次方程组行程问题类型全知识总结点总结加总结练习

一、行程问题：路程＝速度×时间1、相遇问题：二者所走的行程之和＝二者原相距行程2、追及问题：快者所走行程－慢者所走行程＝二者原相距行程例1、某站有甲乙两辆汽车，若甲车先出发1小时后乙车出发，则乙车出发后5小时追上甲车；若甲车先开出30千米后，乙车出发，则乙车出发4小时后乙车所走的行程比甲车所走的行程多10千米。

求两车的速度。

例2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖沓机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。

相遇后，拖沓机持续行进，汽车在相遇处逗留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖沓机。

这时，汽车、拖沓机各自行驶了多少千米？3、环形跑道问题：环形跑道追及、相遇问题等同于直线追及、相遇问题。

1）同时同地相向而行第一次相遇（相当于相遇问题）：甲的行程＋乙的行程＝跑道一圈长2）同时同地同向而行第一次相遇（相当于追及问题）：快者的行程－慢者的行程＝跑道一圈长例1、甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上练跑，假如同时同地相向出发，每隔分钟相遇一次；假如同时同地同向出发。

每隔10分钟相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度。

4、航行、飞翔问题：1）顺水（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速2）逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速例1、已知A、B两码头之间的距离为240千米，一艘船航行于A、B两码头之间，顺水航行需4小时；逆流航行需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度。

【练一练】1、甲、乙两人相距36千米，相向而行，假如甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发小时后相遇；假如乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？2、甲乙两人练习赛跑假如甲让乙先跑10m，甲跑5s就能追上乙，假如乙先跑2s，那么甲跑4s就能追上乙，求两人每秒各跑多少米。

3、甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，假如同向跑，每隔31分钟相3遇一次，，假如反向跑，则每隔40秒相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲、乙两人的速度？4、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖沓机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖沓机持续行进，汽车在相遇处逗留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖沓机.这时，汽车、拖沓机各自行驶了多少千米？5、某队伍履行任务，以8千米/时的速度行进，通信员在队尾接到命令后把命令传给排头，而后立刻返回排尾，通信员往返的速度均为12千米/小时，共用分钟，求队伍的长是多少？6、一架飞机在两城之间飞翔，风速为24千米/小时，顺风飞翔需2小时50分，顶风飞翔需要3小时。

二元一次方程知识点总结

1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数又多变少。

（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。

3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。

4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、把x、y的值用｛联立起来即“联”6、加减消元法解二元一次方程组（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

（2）用加减消元法解二元一次方程组的解1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。

2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。

3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。

二元一次方程组的应用总结

二元一次方程组的应用总结引言二元一次方程组是初等代数中的一种重要概念。

它由两个未知数和两个方程组成，具有广泛的应用。

本文将总结二元一次方程组的应用，并探讨其在实际问题中的解决方法。

二元一次方程组的应用二元一次方程组在许多领域中得到应用，特别是在经济学、物理学和工程学等科学领域。

以下是一些常见的应用场景。

经济学在经济学中，二元一次方程组常被用于描述市场供求关系。

例如，可以通过一个二元一次方程组来分析市场中的价格和需求的关系，从而预测市场的发展趋势。

物理学物理学中的一些问题也可以通过二元一次方程组进行建模和求解。

例如，可以利用二元一次方程组来描述两个运动物体之间的相对运动关系，从而计算它们的位置和速度。

工程学在工程学中，二元一次方程组被广泛用于解决各种实际问题。

例如，在电路分析中，可以利用二元一次方程组来确定电路中电流和电压的分布情况，从而优化电路设计。

二元一次方程组的解决方法解决二元一次方程组的方法有多种，包括代入法、消元法和矩阵法等。

下面将介绍其中两种常用的方法。

代入法代入法是解决二元一次方程组的一种简单直接的方法。

它的基本思路是将一个方程中的一个未知数用另一个方程中的已知数表示，然后代入到另一个方程中，从而得出一个只包含一个未知数的方程，进而求解未知数的值。

消元法消元法是另一种常用的解决二元一次方程组的方法。

它的基本思路是通过将两个方程相减或相加来消去一个未知数，从而得到一个只包含一个未知数的方程，进而求解未知数的值。

结论二元一次方程组在实际问题中有着广泛的应用。

了解二元一次方程组的应用场景和解决方法，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

以上是对二元一次方程组的应用的总结，希望对读者有所帮助。

参考文献- 张宇.《高中数学竞赛培训系列·数学学科基础教程》. 清华大学出版社, 2016.- 熊朝海, 张宏法, 张立洪.《解题指南数学》(电阻电路分析部分). 清华大学出版社, 2012.- 王波.《大学物理学》(运动学部分). 高等教育出版社, 2017.- 陈同启.《工程数学-线性代数与场论教程》. 高等教育出版社, 2015.。

二元一次方程总结(优选9篇)

二元一次方程总结（优选9篇）【第1篇】二元一次方程组及其应用教学总结在2月21日的xx区教学常规互检协调会上，作为课改核心校的我们，向其他兄弟学校的教务主任和分管教学的副校长提出：教学开放周举行校际间同课异构的设想，这一个设想得到了大家的一致赞同，并在xx中学的课堂开放周中开始实行，在这次活动中，我校两个xx 市校际组成员安排到xx中学进行授课，我是其中之一。

在接到这个任务时，我就先向xx中学的同课异构教师——叶xx老师了解他们的教学进度及学生的学习情况，得知该校学生的整体数学基础比较低。

针对这一种情况，我采取导学案的形式来进行总复习，围绕着二元一次方程组解法及其应用展开，首先，我通过二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解、二元一次方程组的解题方法的类型、解应用题的步骤等概念入手，帮助学生回顾旧知识。

然后，通过两道二元一次方程组的解法让学生进行练习，再来，利用方程组的`同解原理，了解二元一次方程组解的意义，最后，我引出20xx年中考的那道数学应用题，让学生及时与中考题目进行对接，提高学生的实际解题能力。

在上完课之后，我与xx中学的数学教研组一起进行教研交流，首先，xx中学的同行们非常赞同我的教学设计及教学思路，觉得这样的教学设计学生很容易掌握，思路很清晰。

但是，在帮助学生回顾旧知识的时间花得太多，导致后面的综合题没办法展开，应该淡化概念的教学，强调学生的实际应用能力，同时，也应该通过二元一次方程组的一题多解的形式让学生选择方程组两种解法来比较出方法的优劣，提高学生对于“代入消元法”和“加减消元法”的选择依据。

听了xx中学同行们的建议之后，我也自己反思了一下，觉得现在作为初三年的总复习，应该重视的是学生的理解能力和综合应用能力的提升，而不是纠结于概念的记忆，作为概念的东西只要让学生了解就可以了，重点应放在应用题的分析以及对于二元一次方程组与一次函数之间的关系上，提高学生的综合水平和应用能力。

【第3篇】2023年二元一次方程组及其应用教学总结范文在2月21日的xx区教学常规互检协调会上，作为课改核心校的我们，向其他兄弟学校的教务主任和分管教学的副校长提出：教学开放周举行校际间同课异构的设想，这一个设想得到了大家的一致赞同，并在xx中学的课堂开放周中开始实行，在这次活动中，我校两个xx 市校际组成员安排到xx中学进行授课，我是其中之一。