2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案+习题

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人教a版必修4学案：2.3.2—2.3.2平面向量的正交分解(含答案)

2.3.2—2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算自主学习知识梳理1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝________，则__________叫做向量a 的坐标，__________叫做向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝______.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝____________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝__________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．自主探究已知直角坐标系内两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把向量AB →按向量a ＝(m ，n )平移至A ′B ′→的位置．求：(1)点A ′，B ′的坐标；(2)向量A ′B ′→的坐标．对点讲练知识点一平面向量的坐标运算例1 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，求(1)AB →－AC →；(2)AB →＋2BC →；(3)BC →－12AC →.回顾归纳 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．变式训练1 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .知识点二平面向量的坐标表示例2 已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .回顾归纳待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法．变式训练2 设i 、j 分别是与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，a ＝i －(2m －1)j ，b ＝2i ＋m j (m ∈R )，已知a ∥b ，求向量a 、b 的坐标．知识点三平面向量坐标的应用例3 已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，求顶点D 的坐标．回顾归纳向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题．变式训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．1. 在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同.课时作业一、选择题1．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1 D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →则点P 的坐标为( )A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为( )A ．(10,1)B ．(4，－11)C ．(7，－5)D ．(3,6)二、填空题6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为________．7．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.8．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.三、解答题9．已知A (1,2)、B (3,2)，a ＝(x ＋3，x －3y －4)，若a ＝AB →，求实数x 的值．10．已知▱ABCD 中，A (－1,2)，B (3,0)，C (5,1)．求顶点D 及对角线交点M 的坐标．2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy ) 自主探究解 (1)设A ′(x ′1，y ′1)，B ′(x ′2，y ′2) AA ′→＝a ，BB ′→＝a ，∴(x ′1－x 1，y ′1－y 1)＝(m ，n )．∴A ′(x 1＋m ，y 1＋n )．同理可得：B ′(x 2＋m ，y 2＋n )． (2)∵A ′(x 1＋m ，y 1＋n )，B ′(x 2＋m ，y 2＋n )．∴A ′B ′→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)或A ′B ′→＝AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．对点讲练例1 解 ∵A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)． ∴AB →＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)， AC →＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)， BC →＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)．∴(1)AB →－AC →＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)． (2)AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．(3)BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－3，－3)变式训练1 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 例2 解设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1) ＝(－2x ＋3y,3x ＋y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ，解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b . 变式训练2 解 ∵a 与b 共线，∴存在实数λ，使得a ＝λb ，即i －(2m －1)j ＝λ(2i ＋m j )．又i 、j 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝1，λm ＝－(2m －1).∴m 2＝－2m ＋1，即m ＝25. ∴a ＝i ＋15j ，b ＝2i ＋25j .故a ＝⎝⎛⎭⎫1，15，b ＝⎝⎛⎭⎫2，25. 例3 解设D (x ，y )．则AB →＝(4,1)， DC →＝(5－x,6－y )，由AB →＝DC →得⎩⎪⎨⎪⎧5－x ＝46－y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝5. ∴顶点D 的坐标为(1,5)．变式训练3 解不妨设A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)．第四个顶点为D (x ，y )．则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形有以下三种情形．(1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )，∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上所述，第四个顶点的坐标可能为 (0，－1)，(2，－3)或(6,15)．课时作业 1．D2．B [∵AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)． ∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.]4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12(－8,1)，∴x ＝－1，y ＝－32.]5．C [A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等，故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)．] 6．(7，－6)解析 ∵AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)． ∴x ＝7，y ＝－6. 7.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.8．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等． ∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1. 9．解 AB →＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)．∵a ＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2x －3y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－53，∴x ＝－1.10．解设D (x D ，y D )，M (x M ，y M )． ∵A (－1,2)，B (3,0)，C (5,1)． ∴BC →＝(5,1)－(3,0)＝(2,1)．∵四边形ABCD 为平行四边形，M 为对角线的中点．∴AD →＝BC →，AM →＝MC →. 即(x D ＋1，y D －2)＝(2,1)(x M ＋1，y M －2)＝(5－x M,1－y M ) ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x D ＋1＝2y D －2＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧x M ＋1＝5－x M y M －2＝1－y M ∴⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝1y D ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x M ＝2y M ＝32∴D (1,3)，M ⎝⎛⎭⎫2，32.。

平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算(教案)

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算【教学目标】1、知识与技能理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。

2、过程与方法在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。

3、情感、态度与价值观让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。

【教学重点】平面向量的坐标运算。

【教学难点】理解向量坐标化的意义。

【教学过程】〖创设情境导入新课〗【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受到斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生斜面的压力2F ，也就是说，重力G 的效果等价于1F 和2F 的力的效果，即：12G F F =+,12G F F =+叫做把重力G 。

类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量11e λ和22e λ，使1122a e e λλ=+。

而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。

把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解。

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来很大的方面。

在代数中我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x 轴和y 轴上分别取两个向量i 和j ，则i j ⊥，且{},i j 可以作为一个基底。

由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a 在基底{},i j 下进行分解，从而对向量作进一步的研究。

既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对(),x y 来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立对应关系。

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教案(5)

2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》教学案一、教学任务分析（１）、通过力的分解问题，感受平面向量的正交分解与现实的紧密联系；掌握平面向量的正交分解．（２）、类比平面直角坐标系中，点用有序实数对表示，掌握平面向量的坐标表示．二、教学重点、难点重点：平面向量的正交分解及坐标表示．难点：平面向量的正交分解及坐标表示．三、教学过程 (一)、温故知新平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，，使．我们把不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组．（二）创设情境问题1 如图(1)，光滑斜面上一个木块受到重力的作用，会产生哪两个效果？一是；一是．图（1）问题 2 由平面向量基本定理，对于平面内的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量吗？（三）、讲授新课1．平面向量的正交分解把一个向量，叫做把向量正交分解．练习1．如图(2)，请把导弹刚发射后某时刻的速度正交分解．图(2)思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？2．平面向量的坐标表示如图(3)，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，，使得． ①这样，平面内的任一向量都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对),(y x 叫做向量的坐标，记作② 图（3）其中叫做在x 轴上的坐标，叫做在y 轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．巩固提高：练习２．请写出下列各向量的坐标= ，= ，= ．练习３．若向量=，则向量的坐标是．练习４．若向量=(x -2,3)与向量=(1, y +2)相等，则( ) A ．x =1, y =3 B ．x =3, y =1 C ．x =1, y =-5 D ．x =5, y =-1练习5．如图(4)，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量作为基底，请用j i 、表示向量OB OA 、，并求它们的坐标．问题3 （1）．如图(5)，在平面直角坐标平面中，向量OA 的坐标与终点A 的坐标之间有什么关系？（2）．如图(6)，若向量A 的起点不在原点，怎样得到B A 的坐标？因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．（四）、典例剖析图(5)图(6)如图(7)，分别用基底、表示向量，并求它们的坐标．变式练习：如图(8)，正方形ABCD 中，O 为中心，且=（-1，-1），试求,,的坐标．（五）、小结（六）布置作业已知O 是坐标原点，点A 在第一象限, 34 ，∠xOA =60°，求向量的坐标．图(8)。

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示学案

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示一．教学任务分析:（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标进行向量的运算. 二.教学情境设计:1．创设情景，揭示课题.（1）复习引入：平面向量基本定理：（注意4点）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做向量的正交分解.(2)思考:在直角坐标系中,每个点都可以用一对有序实数表示,那么对于直角坐标平面内的每个向量,如何表示呢?2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,对于平面内任一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += …………○1我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.。

结论．．1．：．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．． .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =则点A的位置由a 唯一确定.设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.结论2:在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.例1 :已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 结论3例2.如图,分别用基底i,j 表示a,b,c ，d,3．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=证明略结论4.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 特别的：AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1) （2）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.证明略结论5.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 例3: 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例4 .已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 新课标第一网例5已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标.课堂练习成才之路53页巩固练习。

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)

2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标:会根据向量的坐标，判断向量是否共线教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教学过程: 、复习引入:平面向量基本定理：如果 e , e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数入1,入2使a = x 10+入2e 2(2)基底不惟一，关键是不共线;二、讲解新课:1 .平面向量的坐标表示其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O 2②式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为 (x,y). • ••••••••••特别地，i (1,0) , j (0,1) , 0 (0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点0为起点作OA a ，则点A 的位置由a 唯一确定.(1) 理解平面向量的坐标的概念; (2) 掌握平面向量的坐标运算;⑴我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (3)由定理可将任一向量a 在给出基底 e i 、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量如图，在直角坐标系内，我们分别取与底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 y ，使得 i 、j 作为基a xi yj …… ……O 1O11 1我们把(x, y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作rAa (x,y) ••….... O 2 Oox设OA xi yj ，则向量OA 的坐标（x, y ）就是点A 的坐标；反过来，点 A 的坐标（x, y ）也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表2 .平面向量的坐标运算(1 ) 若 a(X 1, y 1)， b (X 2,y 2)，则a b (X 1 X 2,y 1 y 2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB OA =( X 2，y 2) (X 1，y 1)= (X 2 X 1， y 2 y 1)(3)若 a (X, y)和实数，则 a ( X , y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为i 、j ，则a (Xi yj) xi yj ，即 a (X, y)三、讲解范例:例 1 已知 A （X 1，y i ）， uuu B （x 2， y 2），求AB 的坐标. r例2已知a =（2, 1）, r r 3a +4b 例3已知平面上三点的坐标分别为 A （ 2， 1）， B （ 1， 3），这四点构成平行四边形四个顶点解：当平行四边形为 ABCD 时，由AB DC 得D I =（2 , 2）b= 0C （3, 4）,求点D 的坐标使当平行四边形为ACDB 时，得D 2=（4, 6），当平行四边形为 DACB 时，得D 3=（ 6， 0）例 4 已知三个力 F , (3， 4)， F 2 (2， 5), F 3(X ,y)的合力 F , + F 2+ F 3 =0，求F 3a b (X 1 X 2, y 1 y ?)，设基底为i 、j ，则a b （X 1i y 1 j ）(X 1(y 1 y 2)j即a b （X 1X 2,y 1 站，同理可得(X 1 X 2, y 1 y 2) (2)若 A (X 1, y 1)， B(X 2,y 2)，则 ABX 2X 1,y 2y 1解: 由题设F I+F2+F3=0 得：（3，4）+ （2，5）+（x，y）=（0，0）即:F3（ 5,1）四、课堂练习1 .若M（3 ,-2）N（-5,-1）且MP^MN2求P点的坐标2 .若A（0,1）,B（1,2），C（3, 4）,则AB 2 BC =3 .已知：四点A（5，1），B（3，4），C（1，3），D（5，-3），求证：四边形ABCD是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记:232平面向量正交分解及坐标表示课前预习学案、复习回顾: 平面向量基本定理:基底不惟一，关键是即入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量二、提出疑惑:如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何一、探究学习1. 平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与X 轴、y 轴方向相同的两个单位向量底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数X 、y ，使得我们把（x, y ）叫做a (x,y)其中X 叫做a 在X 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O2式叫做等的向量的坐标也为（Xy ）.•••••••••\J /理解：（1）我们把不共线向量e1、62叫做表示这一平面内所有向量的a xi yjO1由定理可将任一向量 a 在给出基底e 1> e 2的条件下进行分解;基底给定时，分解形式呢？课内探究学案i 、j 作为基，记作特别地，i= j= 0=如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作O A a，则点A的位置由a唯一确定.设OA xi yj，则向量OA的坐标(X, y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x, y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2 .平面向量的坐标运算(1)若a (x i, y i),b (X2,y2)，则a b =两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为i、j，则a b (x1i y1 j) (x2i y2 j) (x1x2 )i,同理可得a b =(2)若A(x i, y i), B(X2,y2)，则AB 他人小y一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =0B OA =( x2, y2) (x i, y i)=(3)若a (x, y)和实数，则a ( x, y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(y i y2)j设基底为i、j，则a (xi yj) xi yj，即a ( x,二、讲解范例:已知A(x i , y i), B(X2,uuuy2),求AB的坐标.已知a=(2, i), rb=(-3, 4)，求a +b , a-b , 3a+4b 的坐标.已知平面上三点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1 , 3), C(3, 4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点六、课后作业（略）七、板书设计（略）课后练习与提高1、在平面直角坐标系中，已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则uv ULV OA = _________________ ，OB =v2、已知向量|a|4 ,的方向与X 轴的正方向的夹角o3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是v A . a v(0,0), b(1, 2)v B . av(1,2), b (5,7)vC. av (3,5) b (6,10)v D . av(2, 3)b(4, 6)v 4、已知向量a 2,4) v b (1,r r2）则a 与b 的关系是（）A .不共线B . 相等C. 同向D .反向 5、已知点A (2, 2)B (-2, 2)C (4, 6)D (-5, 6)E (-2, -2）F （ -5，-6）例4已知三个力F 1 （3,4),F 2 (2， 5)， F 3(X ，y)的合力 F i +F 2 + F 3 =0，求 F 31 .若 M(3 , -2)N(-5, -1)且 MP-MN , 22 •若 A(0,1),B(1, 2), C(3, 4),则 AB3 .已知：四点 A(5,1), B(3, 4),C(1, 3),是梯形.D （5, -3）, 求证：四边形 ABCD是30v，则a 的坐标为三、课堂练习:求P 点的坐标2BC =五、小结ULV uuv uuv uuv uuv LUV在平面直角坐标系中，分别作出向量AC BD EF并求向量AC BD EF的坐标。

2022年【学案】2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示（学案）

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示〔学案〕一、学习目的:1深入了解平面向量根本定理；2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示二、复习：平面向量根本定理：如果是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有,使练习．向量,求作向量=-2.5+3.三、预习讨论：阅读教材填空：1、平面向量的正交分解：叫做把向量正交分解．2、平面向量坐标表示：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量根本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得=，这样,平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，我们把叫做向量的坐标，记作其中x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标,.显然,3、向量相等的坐标表示：那么三、典型例题例1：如图,分别用基底表示向量,并求出它们的坐标．解:例2:在同一直角坐标系内画出以下向量.例3：例4：下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③四、课堂检测：1.在平面直角坐标系中，点A时坐标为〔2，3〕，点B的坐标为〔6，5〕，那么=_______________，=__________________。

2.向量a=(x+3,x2-3x-4)与=〔2,0〕相等,求x.3.向量那么与的关系是〔〕A．不共线B．相等C．同向D．反向4.点A〔2，2〕B〔-2，2〕C〔4，6〕D〔-5，6〕E〔-2，-2〕F〔-5，-6〕在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。

5．：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3) ，求证：四边形ABCD是梯形.。

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示学案

第 1 页共 1 页§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示一.学习目标:. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 二.探究（一）复习：平面向量基本定理1.平面向量的基本定理:如果1e ,2e是同一平面内两个的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数,21,λλ使。

其中，不共线的这两个向量,1e 2e叫做表示这一平面内所有向量的基底。

（二）新知：问题1：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量,a b ，作=,a =b ，则叫做向量a与b 的夹角。

如果,θ=∠A O B 则θ的取值范围是。

当时，表示a与b 同向；当时，表示a 与b 反向；当时，表示a与b 垂直。

记作：a b ⊥ .在不共线的两个向量中，90θ= ，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。

问题2：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个_______作为基为基底。

对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y 使得____________，这样，平面内的任一向量a 都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。

几个特殊向量的坐标表示===___________,_________,___________i j o三、典型例题分析：1、已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），O 为原点，则OA =________，OB =_______。

2、已知向量 a 的方向与x 轴的正方向的夹角是30°，且=||4a ，则 a 的坐标为__________。

备课教案资料(2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示)

备课资料一、三角形三条中线共点的证明图10如图10所示,已知在△ABC 中,D 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点,设中线AD 、BE 相交于点P.求证:AD 、BE 、CL 三线共点.分析:欲证三条中线共点,只需证明C 、P 、L 三点共线.解:设AC =a ,AB =b ,则AL =21b ,AC AL CL -==-a +21b . 设AP =m AD ,则AC +CP =m(AC +CD ),CP =(-1+m)AC +m CD =(-1+m)a +m[21(b -a )]=(-1+21m)a +21m b . ① 又设EP =n EB ,则CP -CE =n(EC +CB ),∴CP =(1-n)CE +n CB =21-(1-n)a +n(b -a )=(21--21n)a +n b . ② 由①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-.21.2121211n m m m 解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,52n m ∴CP =-32a +31b =32(-a +21b )=32CL . ∴C 、P 、L 三点共线.∴AD 、BE 、CL 三线共点.二、备用习题图111.如图11所示,已知=34,=31,用、表示,则等于( ) A.31+34 B.31-+34 C.31-OA -34OB D.31OA -34OB 2.已知e 1,e 2是两非零向量,且|e 1|=m,|e 2|=n,若c =λ1e 1+λ2e 2(λ1,λ2∈R ),则|c |的最大值为( )A.λ1m+λ2nB.λ1n+λ2mC.|λ1|m+|λ2|nD.|λ1|n+|λ2|m3.已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心,且11A A =e 1,21B B =e 2,21C C =e 3,则21C C 等于( ) A.21(e 1+e 2+e 3) B.31(e 1+e 2+e 3) C.32(e 1+e 2+e 3) D.31-(e 1+e 2+e 3) 4.O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP =OA +λ)||||(AC AB AB +,λ∈［0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心5.(2005山东高考) 已知向量a 、b 且AB =a +2b ,BC =-5a +6b ,CD =7a-2b ,则一定共线的三点是( )A.A 、B 、DB.A 、B 、CC.C 、B 、DD.A 、C 、D图126.2007浙江高考,15 如图12,平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°, OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |=|OB |=1,|OC |=23,若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R ),则λ+μ的值为________.参考答案:1.B2.C3.B4.B5.A6.62.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a ,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x 、y,使得a =x i +y j .于是,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a 的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?②如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a 和b (如图2),作=a ,=b ,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.显然,当θ=0°时,a 与b 同向;当θ=180°时,a 与b 反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a 与b 的夹角是90°,我们说a 与b 垂直,记作a ⊥b .由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a ,均可以分解为不共线的两个向量λ1a 1和λ2a 2,使a =λ1a 1+λ2a 2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样. ②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量ｉ、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x 、y,使得 a =x ｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y) ②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j =(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a 与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H、M、F所在位置,有+=+=ADDMADAM abABADDC212121+=+=AB21=b+21a.ADADABADBCAHBFABAHAFHF21312131-+=-+-+=-==a61-b.点评:以a、b为基底分解向量AM与HF,实为用a与b表示向量AM与HF.变式训练图5已知向量e1、e2(如图5),求作向量-2.5e1+3e2.作法:(1)如图,任取一点O,作OA=-2.5e1,OB=3e2.(2)作OACB.故OC OC就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j , ∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A 、B 、D 三点共线,∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v ∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例 3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示.活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0. 推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,NM +=+= ∴由CM BM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++μλ3230.∴(λ+2)+(3+3μ)NM =0. 由于和不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.NM =-=∴2=+==2a .点评:这里选取,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△ABC 中,AD 为△ABC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设μλ==GEBG GD AG , ∵=DC ,即-=AC -, ∴=21(+). 又∵=λ=λ(-), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ① 又∵=μ,即-=μ(-),∴(1+μ)=+μ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32,∴=μ+11+)1(32μμ+. ② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△OAB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设=h ,k =,试证:311=+kh 解:设=a ,=b ,OG 交AB 于D,则=21(+)=21(a +b )(图略).∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P 、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为△ABC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答:1.如图9,=32, 而=+=+=21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==(21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义.2.∵A(1,2),B(3,2),∴=(2,0).∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0).∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3 A组1.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.。

学案6：2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3平面向量的坐标运算

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3平面向量的坐标运算【课前准备】1．课时目标（1）掌握平面向量的坐标运算；（2）会根据向量的坐标判断向量是否平行（或共线）．2．基础预探（1）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的________．若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =________，a －b =________．（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数________原来向量的相应坐标．若a =（x 1，y 1），则λa =________．（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标________始点的坐标．若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =________．（4）若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）（b ≠0）共线，当且仅当________=0．【知识训练】1．若向量)2,3(=a ，)1,0(-=b ，则向量b a 2-的坐标是（）A ．)4,3(-B ．)4,3(C ．)4,3(-D ．)4,3(--2．已知A 、B 、C 三点共线，且)6,3(-A ，)2,5(-B ，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为（）A ．－13B ．13C ．－9D ．93．若向量)1,1(=a ，)1,1(-=b ，)2,1(-=c ，则c ＝（）A ．b a 2321+-B ．b a 2321-C ．b a 2123-D ．b a 2123+- 4．已知向量)43,3(2--+=x x x a 与AB 相等，其中A （1，2），B （3，2），则实数x =________．5．已知M （3，－2），N （－5，－1），且MN MP 21=，则P 点的坐标为________． 6．已知平行四边形ABCD 的其中三个顶点分别为)1,2(-A ，)3,1(-B ，)4,3(C ，求其第四个顶点D 的坐标．【题型探究】题型一：坐标运算的概念问题例1．已知向量a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），且b ≠0，给出以下结论：（1）a =λb （λ∈R 且λ≠0）；（2）x 1y 1－x 2y 2=0；（3）x 1y 2－x 2y 1=0；（4）11y x －22y x =0；（5）22x y －11x y =0；则在以上各结论中能推导出a //b ，但由a //b 却推不出该结论的条件有________．思路导析：在判断两向量平行的条件中，根据两向量平行的共线定理与相应的坐标运算中，要注意相应的条件的限制．特别对于相应的条件，往往容易出现遗漏而导致错误．点评：对于两向量a 与b 共线（b ≠0），则必存在实数λ，使a =λb ．对于b ≠0这一限制条件往往忽略了，导致错误．特别在坐标运算中，当a =（a 1，a 2），b =（b 1，b 2）时，而且a //b ，则必有a 1b 2－a 2b 1=0，而很多情况下错误地写成了11b a =22b a ，忽略了b 1、b 2可能为0的情形而导致错误．变式练习1：已知A （－1，－1），B （1，3），C （2，5），D （3，7），向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与CD 平行吗？题型二：向量的坐标运算例2．已知A （1，－2），B （2，1），C （3，2）和D （－2，3），以AB 、AC 为一组基底来表示CD BD AD ++．思路导析：求解时首先由A 、B 、C 、D 的坐标求得向量AB 、AC 、AD 、BD 、CD 等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式CD BD AD ++=AC n AB m +，再列出关于m 、n 的方程组，进而解方程组求出所表示的系数．变式练习2：已知A （1，2），B （3，2），a =（x +3，x －3y －4），若a =AB ，求实数x 、y 的值．题型三：向量共线的坐标表示例3．已知a ＝（1，2），b ＝（－3，2），当实数k 取何值时，b a k 2+与b a 42-平行？思路导析：结合两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔01221=-y x y x 加以解决此类问题，要先对应求解出各自的坐标，再加以解决．点评：解决这类问题的关键是找出对应向量的坐标，通过适当地坐标运算，必要时可以加以设元，再结合两个向量平行的充要条件加以分析解决．变式练习3：已知10||=a ，)4,3(-=b ，且a 与b 共线，求向量a 的坐标．题型四：创新应用问题例4．设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），约定两个向量之间的运算“◎”为：a ◎b =（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）．若m =（1，2），m ◎n =（1，2），则n =________．思路导析：约定新的运算问题，要按照规定的运算结合其他已有的运算加以分析运算，计算时要注意已有运算类型与新的运算类型之间的混淆．点评：注意新约定的运算与向量对应的运算的差别，以及题目中给出的特别的信息点，结合数学知识加以分析求解，注意不能利用向量对应的运算直接作用于新约定的运算．变式练习4：设m =（a ，b ），n =（c ，d ），规定向量m 、n 之间的一个运算“⊗”：m ⊗n =（ac －bd ，ad+bc ），已知p =（1，2），p ⊗q =（－4，－3），则q =（）A ．（2，1）B ．（－2，1）C ．（2，－1）D ．（－2，－1）【随堂练习】1．已知四边形ABCD 的三个顶点A （0,2），B （－1，－2），C （3,1），且B C →＝2AD →，则顶点D 的坐标为（）A ．（2，72）B ．（2，－12） C ．（3，2） D ．（1，3） 2．设向量a ＝（m ，1），b ＝（1，m ），如果a 与b 共线且方向相反，那么m 应取值为（）A ．1B ．－1C ．±1D ．03．已知向量a ＝（2x ＋1，4），b ＝（2－x ，3），若a ∥b ，则实数x 的值等于（）A ．－12B ．12C ．1D ．－1 4．已知)3,4(-=a ，)5,(x b =，),1(y c -=，若c b a =+，则),(x y ＝________．5．已知O 为坐标原点，点P 在第四象限，||OP =4，∠x OP=︒30，则向量OP 的坐标为________．6．已知向量)3,2(-=a ，),(m m b =（R m ∈），||b a d +=，当m 为何值时，d 有最小值？并求出这个最小值．【参考答案】【课前准备】2．基础预探（1）和（差），（x 1+x 2，y 1+y 2），（x 1－x 2，y 1－y 2）；（2）乘，（λx 1，λy 1）；（3）减去，（x 2－x 1，y 2－y 1）；（4）x 1y 2－x 2y 1．【知识训练】1．B ；【解析】b a 2-=（3，2）－2（0，－1）=（3，4）；2．C ；【解析】设C （6，y ），则AB =（－8，8），AC =（3，y +6），由于A 、B 、C 三点共线，则AB //AC ，则有8683+=-y ，解得y =－9； 3．B ；【解析】可设c =b y a x +，通过列方程组解得x 、y 的值即可；也可以直接通过计算各选项中对应的向量加以比较；4．－1；提示：由于AB =（2，0），而a =AB ，则有)43,3(2--+x x x =（2，0），即⎩⎨⎧=--=+043232x x x ，解得⎩⎨⎧=-=-=411x x x 或，故x =－1； 5．（－1，－23）；提示：设点P 的坐标为（x ，y ），则)2,3(+-=y x MP ，MN =（－8，1），由MN MP 21=可得)2,3(+-y x =21（－8，1），即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-21243y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=231y x ； 6．【解析】设平行四边形ABCD 的第四个顶点D 的坐标为D （x ，y ），由于DC AB =，则),()4,3()1,2()3,1(y x -=---，解得（x ，y ）=（2，2），则第四个顶点D 的坐标为D （2，2）．【题型探究】例1（1）、（4）、（5）【解析】由于（1）当a =λb 时，必有a //b ；但反过来，当a =0时，a //b ，而不存在非零的实数λ使a =λb 成立；故a =λb （λ∈R 且λ≠0）=>a //b ，但反过来却推不出；（2）向量a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）平行的条件为x 1y 2－x 2y 1=0，因为x 1y 1－x 2y 2=0推不出x 1y 2－x 2y 1=0，所以a 不平行于b ；反之由x 1y 2－x 2y 1=0也推不出x 1y 1－x 2y 2=0；（3）x 1y 2－x 2y 1=0 a //b ；（4）由于11y x －22y x =0可推出x 1y 2－x 2y 1=0，但是由x 1y 2－x 2y 1=0却推不出11y x －22y x =0（例如y 1=0或y 2=0的情况）；故11y x －22y x =0=>a //b ，但反过来却推不出；（5）与（4）一样，22x y －11x y =0=>a //b ，但反过来却推不出；所以正确答案为：（1）、（4）、（5）．变式练习1：解析：因为AB =（2，4），CD =（1，2），则AB =2CD ，所以AB //CD ，又因为AC =（3，6），AB =（2，4），则AB =32AC ，所以AB //AC ，故A 、B 、C 、D 在同一条直线上，即直线AB 与直线CD 重合．例2．解：由于AB =（1，3），AC =（2，4），AD =（－3，5），BD =（－4，2），CD =（－5，1），所以CD BD AD ++=（－3，5）+（－4，2）+（－5，1）=（－12，8），根据平面向量基本定理，一定存在实数m 、n ，使得CD BD AD ++=AC n AB m +，所以（－12，8）=m （1，3）+n （2，4），即（－12，8）=（m+2n ，3m+4n ），可得⎩⎨⎧=+-=+843122n m n m ，解得⎩⎨⎧-==2232n m ，所以CD BD AD ++=AC AB 2232-．点评：本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识．变式练习2：解析：由A （1，2），B （3，2），知AB =（2，0），又由于a =（x +3，x －3y －4），a =AB ，所以⎩⎨⎧=--=+04323y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=351y x ．例3．解：由于b a k 2+＝)2,1(k ＋)2,3(2-＝)42,6(+-k k ，b a 42-＝)2,1(2－)2,3(4-＝)4,14(-，而b a k 2+与b a 42-平行，那么根据两个向量平行的充要条件，可得014)42()4()6(=⨯+--⨯-k k ，解得1-=k ．变式练习3：解析：由于a 与b 共线，根据两个向量平行的充要条件，可设a ＝λb ＝)4,3(λλ-，又由于10||=a ，则有100)4()3(22=-+λλ，解得2±=λ，所以向量a 的坐标为)8,6(-或)8,6(-．例4．（1，0）【解析】设n =（x ，y ），则m ◎n =（x －2y ，y +2x ）=（1，2），所以⎩⎨⎧=+=-2212x y y x ，解得⎩⎨⎧==01y x ，即n =（1，0），即填答案：（1，0）．变式练习4：B ；解析：设q =（x ，y ），由p ⊗q =（x －2y ，2x +y ）=（－4，－3），即⎩⎨⎧-=+-=-3242y x y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ．【随堂练习】1． A ；【解析】设D （x ，y ），∵B C →＝（4,3），A D →＝（x ，y －2），由B C →＝2AD →得2x ＝4，2（y －2）＝3，得x ＝2，y ＝72； 2．B ；【解析】根据题意，可设a ＝λb （λ<0），即m ＝λ且1＝λm ，解得m ＝±1，由于λ<0，故m ＝－1；3. B ；【解析】由a ∥b 得3（2x ＋1）＝4（2－x ），解得x ＝12； 4．)5,2(-；【解析】：由c b a =+可得（4+x ，2）=（－1，y ），解得x =－5，y =2；5．（23，－2）；【解析】设P （x ，y ），则x =︒30cos ||OP =234⨯=23，y =︒-30sin ||OP =－2，即P （23，－2），所以OP =（23，－2）；6．解：由于)3,2(-=a ，),(m m b =，则||b a d +=22)3()2(|)3,2(|-++=-+=m m m m 225)21(22+-=m ，所以当21=m 时，d 有最小值，这个最小值为225．。

高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算教案新人教A

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算1.知识与技能(1)理解平面向量的坐标概念.(2)掌握平面向量的坐标运算.2.过程与方法通过对平面向量的正交分解方法的探究过程,培养学生的发现问题、解决问题的能力,通过对平面向量的坐标表示,培养学生数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对本节的学习和运用实践,培养学生的探索精神和应用意识,学会用数学的方式解决问题、认识世界.重点:平面向量的坐标运算.难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性.【例】已知向量u=(x,y)和v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)若a=(1,1),b=(1,0),试求向量f(a)及f(b)的坐标;(2)求使f(c)=(4,5)的向量c的坐标;(3)对于任意向量a,b及常数λ,μ,证明:f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.分析:按照v=f(u)进行向量的运算和证明.(1)解:由题意知,当a=(1,1)时,f(a)=(1,2×1-1)=(1,1).当b=(1,0)时,f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(2)解:设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(4,5),푦=4, 푥=3,则{2푦-푥=5,解得{푦=4,即c=(3,4).(3)证明:设任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则λa+μb=(λx1+μx2,λy1+μy2),所以f(λa+μb)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2)).又f(a)=(y1,2y1-x1),f(b)=(y2,2y2-x2),所以λf(a)+μf(b)=λ(y1,2y1-x1)+μ(y2,2y2-x2)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2))=f(λa+μb).所以f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.1变式训练已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设퐴퐵=a,퐵퐶=b,퐶퐴=c,且퐶푀=3c,퐶푁=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=m b+n c的实数m,n;(3)求M,N的坐标及푀푁的坐标.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵m b+n c=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),∴{-6푚+푛=5,-3푚+8푛=-5, 푚=-1,解得{푛=-1.(3)∵퐶푀=푂푀―푂퐶=3c,∴푂푀=3c+푂퐶=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).∴M(0,20).又퐶푁=푂푁―푂퐶=-2b,∴푂푁=-2b+푂퐶=(12,6)+(-3,-4)=(9,2).∴N(9,2).∴푀푁=(9,-18).2。

新人教版高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课后习题新人教

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算一、A组1.下列可作为正交分解的基底的是()A.等边三角形ABC中的B.锐角三角形ABC中的C.以角A为直角的直角三角形ABC中的D.钝角三角形ABC中的解析:选项A中,的夹角为60°;选项B中,的夹角为锐角;选项D中,的夹角为锐角或钝角,所以选项A,B,D都不符合题意.选项C中,的夹角为∠A=90°,则选项C 符合题意.答案:C2.向量=(2x,x-1),O为坐标原点,则点A在第四象限时,x的取值范围是()A.x>0B.x<1C.x<0或x>1D.0<x<1解析:∵=(2x,x-1),∴点A的坐标为(2x,x-1).当点A在第四象限时,⇒0<x<1.答案:D3.已知向量a,b满足a+b=(1,3),a-b=(3,-3),则a,b的坐标分别为()A.(4,0),(-2,6)B.(-2,6),(4,0)C.(2,0),(-1,3)D.(-1,3),(2,0)解析:由①+②得2a=(4,0),①-②得2b=(-2,6), ∴a=(2,0),b=(-1,3).答案:C4.已知在▱ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC,BD交于点O,则的坐标为()A.B.C.D.解析:由平行四边形法则得,∴=(3,7)+(-2,3)=(1,10),又O是AC的中点,∴=-=-(1,10)=.答案:B5.已知向量=(3,4),将其向左平移一个单位,再向上平移一个单位后,所得向量的坐标为. 解析:∵向量平移后还和原向量相等,∴所得向量坐标为(3,4).答案:(3,4)6.已知A(3,-5),B(-1,3),点C在线段AB上,且=3,则点C的坐标是.解析:设C(x,y),则=(x-3,y+5),3=3(-1-x,3-y)=(-3-3x,9-3y).∵=3,∴解得x=0,y=1,即点C的坐标是(0,1).答案:(0,1)7.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为.解析:由已知可得4a+3b-2a+c=0,∴c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(-2,6)-(-6,12)=(4,-6).答案:(4,-6)8.已知点O(0,0),A(1,3),B(2,4),且=2=3.(1)求A',B'两点及向量的坐标;(2)若-2=0,求的坐标.解:(1)=2=2(1,3),=3=3(2,4).故A'(2,6),B'(6,12).=(6,12)-(2,6)=(4,6).(2)设P(x,y),则=(x-1,y-3).则(4,6)-2(x-1,y-3)=(0,0).即(6-2x,12-2y)=(0,0).由向量相等知解得故P(3,6),=(3,6).9.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及+t.(1)t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第二象限?(2)四边形OABP能成为平行四边形吗?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解:(1)+t=(1+3t,2+3t).若点P在x轴上,则2+3t=0⇒t=-;若点P在y轴上,则1+3t=0⇒t=-;若点P在第二象限,则解得-<t<-.(2)=(1,2),=(3-3t,3-3t).若四边形OABP为平行四边形,需,于是此方程组无解.故四边形OABP不能成为平行四边形.10.已知三点A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P满足+λ(λ∈R).(1)λ为何值时,点P在正比例函数y=x的图象上?(2)若点P在第三象限,求λ的取值范围.解:设点P坐标为(x1,y1),则=(x1-2,y1-3).+λ=(5-2,4-3)+λ(7-2,10-3),即+λ=(3+5λ,1+7λ),由+λ,可得(x1-2,y1-3)=(3+5λ,1+7λ),则解得∴点P的坐标是(5+5λ,4+7λ).(1)令5+5λ=4+7λ,得λ=.∴当λ=时,点P在函数y=x的图象上.(2)∵点P在第三象限,∴解得λ<-1.∴λ的取值范围是{λ|λ<-1}.二、B组1.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+2等于()A.(5,-1)B.(-1,5)C.(6,-2)D.(-4,9)解析:=(4,2)-(2,-1)=(2,3),=(1,5)-(4,2)=(-3,3),故+2=(2,3)+2(-3,3)=(-4,9).故选D.答案:D2.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于()A.(-2,6)B.(-4,0)C.(7,6)D.(-2,0)解析:∵a-3b+2c=0,∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即即c=(-2,0).故选D.答案:D3.已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量a,给出下列四个结论:①存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y);②若a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2;③若a=(x,y),且a≠0,则a的始点是原点O;④若a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y).其中,正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:由平面向量基本定理可知,①正确;②不正确,例如,a=(1,0)≠(1,3),但1=1;因为向量可以平移,所以a的坐标(x,y)与a的始点是不是原点无关,故③错误;a的坐标不一定与终点坐标相同,故④错误.故选B.答案:B4.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是()A.(1,5)或(5,5)B.(1,5)或(-3,-5)C.(5,-5)或(-3,-5)D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)解析:设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D.(1)若平行四边形为▱ABCD,则,∴D(-3,-5);(2)若平行四边形为▱ACDB,则,∴D(5,-5);(3)若平行四边形为▱ACBD,则,∴D(1,5).综上所述,点D坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).答案:D5.在△ABC中,点M在AC上,且=3,点N是BC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=.解析:=(1,5)-(4,3)=(-3,2).∵点N是BC的中点,∴=2=(-6,4).∴=(4,3)+(-6,4)=(-2,7).∴=3=3(-2,7)=(-6,21).答案:(-6,21)6.(2016·江西赣州期末)若α,β是一组基底,γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为.解析:因为向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),所以有a=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4), 设a=x(-1,1)+y(1,2),则有解得答案:(0,2)7.已知点B(1,0)是向量a的终点,向量b,c均以原点O为起点,且b=(-3,4),c=(-1,1)与a的关系为a=3b-2c,求向量a的起点坐标.解:a=3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1)=(-7,10).设a的起点为A(x,y),则a==(1-x,-y),∴∴A(8,-10).∴向量a的起点坐标为(8,-10).8.已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3),用作为基底来表示.解:∵=(1,3),=(2,4),=(-3,5),=(-4,2),=(-5,1),∴=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).设=λ+μ,则(-12,8)=λ(1,3)+μ(2,4),即∴=32-22.。

教学设计--2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教学设计1

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学分析在平面向量基本定理的基础上，进一步学习向量的正交分解以及向量的坐标化。

在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底时，这时，对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j。

于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定。

这样将向量a都可由有序实数对(x,y)唯一表示，从而实现了向量的“量化”,体现了数学中的“数形结合”的思想，为向量的坐标的运算奠定了基础。

教学目标1、知识与技能：（1）理解平面向量的正交分解的概念；（2）理解和掌握平面向量的坐标表示的概念；（3）培养学生探究问题、解决问题的能力。

2、情感态度与价值观：通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。

重点难点教学重点:平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点: 平面向量的坐标的理解。

授课类型：新授课教具：课件教学过程：一、导入新课回忆：平面向量基本定理（利用课件动态演示平移过程，充分反应平面向量基本定理的实质，更好地为学生掌握这节课必备的知识做好准备）即:平面内的任意向量a，都可以用两个不共线向量1e，2e唯一表示。

物理问题：如图，在光滑的斜面上有一个木块，它受到的重力为G。

现在将重力G分解成两个力，下滑力F1，它的方向如何？木块对斜面的压力F2，它的方向又如何呢？那么这三个力有什么关系呢？请问F1与F2有何位置关系？G=F1+F2F1⊥F2（用课件动态做出三个力，展示力学中力的分解，从而引入本节课的第一个知识点：平面向量的正交分解）二、新课讲解：知识点一：平面向量的正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.练习1：如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i 的夹角是30°，|a|=6，怎样用向量i、j表示向量a呢？（用课件将向量a进行分解，让学生更好地掌握平面向量的正交分解，为讲解向量的坐标打下基础）在平面上，如果我们选取互相垂直的两个向量作为基底，会给我们的问题带来很方便。

课时作业18：2.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3　平面向量的坐标运算

2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算一、选择题1．已知M (2,3)，N (3,1)，则NM →的坐标是( )A ．(2，－1)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(1，－2)考点平面向量的正交分解及坐标表示题点平面向量的正交分解及坐标表示答案 B解析 NM →＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案 D3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( )A ．3a －bB ．3a ＋bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量答案 A解析设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝4，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1，∴c ＝3a －b .4．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则向量12OA →－13OB →的坐标是() A.⎝⎛⎭⎫－13，32 B.⎝⎛⎭⎫－35，45C.⎝⎛⎭⎫－45，35 D.⎝⎛⎭⎫45，－35 答案 A解析因为A (4,1)，B (7，－3)，所以OA →＝(4,1)，OB →＝(7，－3)，所以12OA →－13OB → ＝⎝⎛⎭⎫2，12－⎝⎛⎭⎫73，－1＝⎝⎛⎭⎫－13，32. 5．如果将OA →＝⎝⎛⎭⎫32，12绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →，则OB →的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎫32，－12 C ．(－1，3)D.⎝⎛⎭⎫－32，12 考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案 D解析因为OA →＝⎝⎛⎭⎫32，12所在直线的倾斜角为30°，绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →所在直线的倾斜角为150°，所以A ，B 两点关于y 轴对称，由此可知B 点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，12，故OB →的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，12，故选D. 6．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN →＝－2PM →，则P 点的坐标为( )A ．(－14,16)B ．(22，－11)C ．(6,1)D ．(2,4)考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案 D7．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2) 考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案 D解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2， ∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．8．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1,7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案 D解析设D (x ，y )，因为AD →＝BC →，所以(x －5，y ＋1)＝(2，－5)，所以x ＝7，y ＝－6.二、填空题9．已知点A (1，－2)，若向量AB →＝3a ，a ＝(2,3)，则点B 的坐标为________．考点平面向量加法与减法的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案 (7,7)解析由AB →＝3a ，a ＝(2,3)，可得AB →＝(6,9)，所以OB →＝OA →＋AB →＝(1，－2)＋(6,9)＝(7,7)．10．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，则MN →的坐标为________．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案 (9，－18)解析 CM →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2(6,3)＝(12,6)，MN →＝CN →－CM →＝(12,6)－(3,24)＝(9，－18)．11.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ的值为________．考点平面向量坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量答案 4解析以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系(图略)，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb 得(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4. 12．已知A (2,3)，B (1,4)，且12AB →＝(sin α，cos β)，α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案 π6或－π2解析因为12AB →＝12(－1,1)＝⎝⎛⎭⎫－12，12＝(sin α，cos β)，所以sin α＝－12且cos β＝12，因为α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝－π6，β＝π3或－π3，所以α＋β＝π6或－π2. 三、解答题13．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和CD →的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标解设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， ∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)， (－1－x 2，2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. ∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，∴CD →＝(－2，－4)．14．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t ，2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23. 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13，若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0， ∴－23<t <－13. (2)OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能成为平行四边形．。