【解密高考】届高考数学大一轮总复习 2.1 函数及其表示高效作业 理 新人教A版

【解密高考】2015届高考数学大一轮总复习 2.1 函数及其表示高效作业 理 新人教A 版时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个解析：当－sin x ＝0时，sin x ＝0，x 可取0，π，2π；当－sin x ＝12时，sin x ＝－12，x可取7π6、11π6，故集合A 中的元素最多有5个，故选B.答案：B3．(2014·邯郸模拟)函数f (x )对于任意实数x 满足f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))等于( )A ．2B ．5C ．－5D ．－15解析：f (5)＝1f＝f (1)＝－5，f (－5)＝1f－＝f (－1)＝1f＝－15.答案：D4．定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥b ，ba ＜b ，已知函数f (x )＝2x⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x＋1)的大致图象是( )解析：f (x )＝2x⊗(3－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－xx ＜，2xx ，作出f (x )的图象，再将其向左平移一个单位即为f (x ＋1)的图象，应选B.答案：B5．(2014·山东聊城期末质检)具有性质：f (1x)＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，＜x ＜，0，x ＝，－1x ，x ＞中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①解析：①f (1x )＝1x－x ＝－f (x )满足．②f (1x )＝1x＋x ＝f (x )不满足．③0＜x ＜1时，f (1x)＝－x ＝－f (x )，x ＝1时，f (1x)＝0＝－f (x )，x ＞1时，f (1x )＝1x＝－f (x )满足．故选B.答案：B6．(2013·福建)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(ⅰ)T ＝{f (x )|x ∈S }；(ⅱ)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．A ＝N *，B ＝NB ．A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}C ．A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q解析：对选项A ，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”，应排除A ；对选项B ，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1x ＋1，－1＜x ≤0x 2＋1，0＜x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}是“保序同构”，应排除B ；对选项C ，取f (x )＝tan(πx －π2)(0＜x ＜1)，所以A＝{x |0＜x ＜1}，B ＝R 是“保序同构”，应排除C ，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ，－1，x ＜表示同一函数．(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个． (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数． (4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f (f (12))＝0.其中正确判断的序号是________．解析：对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ，－1，x ＜的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数，对于(4)，由于f (12)＝|12－1|－|12|＝0，∴f (f (12))＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)，(3)． 答案：(2)(3)8．(2014·乌鲁木齐一中月考)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b 为整数)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，得0≤|x |≤2.满足条件的整数数对有(－2,0)、(－2,1)、(－2,2)、(0,2)、(－1,2)，共5个．答案：59．(2014·焦作质检)若一系列函数解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有________个．解析：值域为{1,4}，则定义域中必须至少含有1，－1中的一个且至少含有2，－2中的一个．当定义域含有两个元素时，可以为{－1，－2}，或{－1,2}，或{1，－2}，或{1,2}； 当定义域中含有三个元素时，可以为{－1,1，－2}，或{－1，1,2}，或{1，－2,2}，或{－1，－2,2}；当定义域含有四个元素时，为{－1,1，－2,2}． 所以同族函数共有9个． 答案：910．(2014·沈阳二模)定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b2，其中a ，b∈R ，则函数f (x )＝2⊕xx ⊗－2的解析式为________．解析：由2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝x －2＝|x －2|.所以f (x )＝4－x2|x －2|－2，由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，|x －2|≠2，解得－2≤x ＜0或0＜x ≤2，由此可得x －2≤0，则f (x )＝4－x2－x，x ∈[－2,0)∪(0,2]．答案：f (x )＝4－x2－x，x ∈[－2,0)∪(0,2]三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费．解：设y 表示本季度应缴纳的水费(元)， 当0＜x ≤5时，y ＝1.3x .当5＜x ≤6时，应将x 分成两部分：5与(x －5)分别计算，第一部分为基本消费1.3×5，第二部分由基本消费与加价消费组成，即1．3×(x －5)＋1.3(x －5)×200%＝3.9x －19.5，此时y ＝1.3×5＋3.9x －19.5＝3.9x －13.当6＜x ≤7时，同理y ＝6.5x －28.6. 综上可知：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.3x ， 0＜x ≤5，3.9x －13， 5＜x ≤6，6.5x －28.6， 6＜x ≤7.12．(2014·北京海淀期末)已知函数y ＝1＋2x＋a ·4x的定义域为(－∞，1]，求实数a 的取值范围．解：依题意，1＋2x＋a ·4x≥0的解集恰为(－∞，1]． 即[(12)x ]2＋(12)x＋a ≥0的解集是(－∞，1]．由于(12)x ≤－1－1－4a 2(不合题意，舍去)，或(12)x ≥－1＋1－4a 2，∴x ≤log 12－1＋1－4a2，因此有log 12－1＋1－4a 2＝1，解得a ＝－34.即实数a 的取值范围是a ＝－34.13．(2014·江西五校联考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx .若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值．解：①若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；②若a ＞0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝(－∞，－ba]∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ⊆[0，＋∞)，故D ≠A ，即a ＞0不符合条件；③若a ＜0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝[0，－b a]， 由于此时f (x )max ＝f (－b 2a )＝b 2－a ，故f (x )的值域为[0，b2－a]，则－b a ＝b2－a ⇒⎩⎨⎧a ＜0，2－a ＝－a⇒a ＝－4.综上所述：a 的值为0或－4.。