【解密高考】届高考数学大一轮总复习 2.1 函数及其表示高效作业 理 新人教A版

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高考数学一轮 2.1 函数及其表示精品教学案 新人教版(教师版)

高考数学一轮 2.1 函数及其表示精品教学案 新人教版(教师版)

【考纲解读】【要点梳理】1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射,它有以下特点: (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集. 函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.分段函数是指函数由n 个不同部分组成,但是一个函数.4.函数解析式求法:(1)已知函数类型,可设参,用待定系数法;(2)已知复合函数[(()]f g x 的表达式,求()f x 可用换元法;(3)配凑法与方程组法. 【例题精析】考点一 函数的概念【变式训练】1.下列函数中,与函数1y x=有相同定义域的是( ) A.2()log f x x = B.1()f x x= C.()||f x x = D.()2x f x = 【答案】A【解析】选项A 的定义域为(0,)+∞,与原题相同;而选项B 中的x 可以为负数,选项C 、D 的定义域都为R ,故选A.考点二 函数值的求解例2.(2012年高考福建卷文科9)设,则f(g(π))的值为 ( )A 1B 0C -1D .π2. (2012年高考江西卷文科3)设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则f (f (3))=( )A.15 B.3 C. 23 D. 139【答案】D【解析】考查分段函数,f (3)=23,f (f (3))=f (23)=139. 【易错专区】问题:求分段函数的函数值例.已知2,0()(1),0x xf xf x x>⎧=⎨+≤⎩,则4()3f+4()3f-的值等于( )A.-2B.4C.2D.-41.下列各组函数表示相同函数的是( )A. f(x)=2x, g(x)=2()x B. f(x)=|x|,g(x)=2xC. f(x)=1x-, g(x)=11xx--D. f(x)=1x+. 1x-, g(x)= 21x-【答案】B【解析】由题意可分析出,选项A、C、D的定义域不相同,而选项B的定义域与对应法则均相同,故选B.2. (2008年高考山东卷文科第5题) 设函数2211()21x xf xx x x⎧-⎪=⎨+->⎪⎩,,,,≤则1(2)ff⎛⎫⎪⎝⎭的值为()A.1516B.2716- C.89D.18【答案】A【解析】因为(2)4f=,所以1(2)ff⎛⎫⎪⎝⎭=1()4f=1516,故选A.3.(北京市东城区2012年1月高三考试)已知函数3,0,()(1),0,x xf xf x x≤⎧=⎨->⎩那么5()6f的值为.4.(山东省青州市2011年4月抽样监测文科第14题)已知函数)8(,)0)(3()0(2)(-⎩⎨⎧≤+>=fxxfxxfx则=_________.【答案】2【解析】(8)(5)(2)(1)2f f f f-=-=-==.【考题回放】1.(2010年高考湖北卷文科3)已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩,则1(())9f f =A.4B.14C.-4 D-142.(2009年高考山东卷理科第10题)定义在R 上的函数f(x )满足⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ,则f (2009)的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【答案】C【解析】由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f (2009)= f (5)=1,故选C.3. (2012年高考陕西卷文科11) 设函数发f (x )=,则f (f (-4))=【答案】4【解析】41(4)()16,((4))(16)16 4.2f f f f --==∴-===4.(2011年高考浙江卷文科3)设函数k 4()1f x x=- ,若()2f a =,则实数a =____5.(2010年高考陕西卷文科13)已知函数f (x )=232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f (f (0))=4a ,则实数a = . 【答案】26.(2009年高考北京卷文科第12题)已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =,则x = .。

【解密高考】高考数学大一轮总复习(基础务实+高频考点+易混易错)2.1 函数及其表示课件 理 新人教A版

【解密高考】高考数学大一轮总复习(基础务实+高频考点+易混易错)2.1 函数及其表示课件 理 新人教A版
答案:A
归纳拓展:求函数值域的方法多种多样,例如:直接法、配 方法、单调性法、换元法、分离常数法、基本不等式法等,求函 数值域,首先要熟悉各种常见基本初等函数的值域,其次要善于 根据函数解析式结构特点选择相应的方法.和定义域一样,函数 的值域也要写成区间或集合的形式.
1.(2013· 江西)函数 y= xln(1-x)的定义域为( A.(0,1) C.(0,1]
6.复合函数 如果 y 是 u 的函数,记为 y=f(u),u 又是 x 的函数,记为 u =g(x),且 g(x)的值域与 f(u)的定义域的交集不空,则确定了一 个 y 关于 x 的函数 y=f(g(x)),这时 y 叫做 x 的复合函数,其中 u 叫做中间变量,y=f(u)叫做外层函数,u=g(x)叫做内层函数.
3.映射 设 A,B 是两个非空的集合,如果按照某一确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一 确定 的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 4.函数的表示方法 表示函数的常用方法有: 解析法 、 列表法 和 图象法 .
7.函数的值域 ①y=kx+b(k≠0)的值域是 R . ②y=ax2 2+bx+c(a≠0)的值域是:当 a>0 时,值域为 4ac-b 4ac-b2 {y|y≥ 4a } ;当 a<0 时,值域为 {y|y≤ 4a } . k ③y=x(k≠0)的值域是 {y|y≠0} .
④y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是 {y|y>0} . ⑤y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R . ⑥y=sin x,y=cos x 的值域是 {y|-1≤y≤1} . ⑦y=tan x 的值域是 R .
5.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上, 因 对应关系 不同而分别 用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 , 其值域 等于各段函数的值域的 并集 ,分段函数虽由几个部分组成,但 它表示的是 一 个函数.

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提醒:因为函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求
函数的解析式时,如果定义域不是 R,一定要注明函数的定义域,否则会导致
错误.
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
第二十三页,共31页。
误区警示
探究
(tànjiū)突

1
1
举一反三 3 已知 f x + x =x2+x2,求 f(x)的解析式.

2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
x 的取值范围 A 叫做函数
的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合
{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域,显然,值域是集合 B 的子集.
(2)函数的三要素: 定义域 、 值域 和 对应关系 .
在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,
.
关闭
解析:∵f
∴f
1
4
1
4
1
4
1
4
=log2 =-2,f(-2)=2-2= ,
7
+f(-2)=- .
4
关闭
7
-4
考点(kǎo diǎn)一
解析
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
第十六页,共31页。
误区警示
答案
答案
(dá àn)
探究
(tànjiū)
突破
1
x 2 ,x∈[0,
【例 2-2】 已知函数 f(x)=
(1)求 x>0 时,f(x)的解析式;
(2)若关于 x 的方程 f(x)=2a2+a 有三个不同的解,求 a 的取值范围.

人教版高中总复习一轮数学精品课件 第2章 函数 2.1 函数的概念及其表示

人教版高中总复习一轮数学精品课件 第2章 函数 2.1 函数的概念及其表示
第二章
2.1 函数的概念及其表示




01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.函数的概念
前提
对应关系
结论
记法
A,B 是非空的实数集
如果对于集合 A 中的任意一个数 x,按照某种对应关
系 f,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应
就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数
C.[0,4 020]
D.[-1,1)∪(1,4 020]
使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤4 020,解得-1≤x≤4 019,
故函数f(x+1)的定义域为[-1,4 019].
-1 ≤ ≤ 4 019,
所以函数 g(x)有意义的条件是
-1 ≠ 0,
解得-1≤x<1或1<x≤4 019.
1-2
1
+
的定义域为( A )
+3
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
1-2 ≥ 0,
由题意知
解得-3<x≤0,
+ 3 > 0,
故函数 f(x)的定义域为(-3,0],故选 A.
(2)函数 y=√ln(2-x) 的定义域为( B )
又 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,
=
2 = 1,
即 2ax+a+b=x-1,得

2019-2020年高考数学一轮总复习 2.1函数的概念及表示法教案 理 新人教A版

2019-2020年高考数学一轮总复习 2.1函数的概念及表示法教案 理 新人教A版

2019-2020年高考数学一轮总复习 2.1函数的概念及表示法教案理新人教A版高考导航知识网络2.1函数的概念及表示法典例精析题型一求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x+1)=x2+x+1,求f (x)的表达式;(2)已知f(x)+2f(-x)=3x2+5x+3,求f (x)的表达式.【解析】(1)设x+1=t,则x=t-1,代入得f (x)=(t-1)2+(t-1)+1=t2-t+1,所以f (x)=x2-x+1.(2)由f (x)+2f (-x)=3x2+5x+3,x换成-x,得f (-x)+2 f (x)=3x2-5x+3,解得f (x)=x2-5x+1.【点拨】已知f(x),g(x),求复合函数f[g(x)]的解析式,直接把f(x)中的x换成g(x)即可,已知f[g(x)],求f (x)的解析式,常常是设g(x)=t,或者在f[g(x)]中凑出g(x),再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f ()=,求f (x)的解析式.【解析】设=t,则x=,所以f (t)=22)11(1)11(1tttt+-++--=,所以f (x)=(x≠-1).题型二求函数的定义域【例2】(1)求函数y=的定义域;(2)已知f(x)的定义域为[-2,4],求f(x2-3x)的定义域.【解析】(1)要使函数有意义,则只需要即解得-3<x<0或2<x<3,故所求的定义域为(-3,0)∪(2,3).(2)依题意,只需-2≤x2-3x≤4,解得-1≤x≤1或2≤x≤4,故f(x2-3x)的定义域为[-1,1]∪[2,4].【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待.【变式训练2】已知函数f (2x)的定义域为[-1,1],求f(log2x)的定义域.【解析】因为y =f(2x)的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1时2-1≤2x≤21,所以y =f(x)的定义域为[12,2].令12≤log2x≤2,所以2≤x≤22=4,故所求y =f(log2x)的定义域为[2,4].题型三 由实际问题给出的函数【例3】 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图),若矩形底部长为2x ,求此框围成的面积y 与x 的函数关系式,并指出其定义域.【解析】由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,而矩形的长AB =2x ,设宽为a ,则有2x +2a +πx =l ,即a =-x -x ,半圆的半径为x ,所以y =+(-π2x -x)·2x =-(2+π2)x2+lx. 由实际意义知-π2x -x >0,因x >0,解得0<x <. 即函数y =-(2+π2)x2+lx 的定义域是{x|0<x <}. 【点拨】求由实际问题确定的定义域时,除考虑函数的解析式有意义外,还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ,但实际问题的意义是矩形的边长为正数,而边长是用变量x 表示的,这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案,如图所示,设小矩形的长、宽分别为x 、y ,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,记y =f(x),则y =f(x)的图象是( )【解析】由题意得y =10x(2≤x≤10),选A. 题型四 分段函数【例4】 已知函数f(x)=(1)求f(1)+f(-1)的值;(2)若f(a)=1,求a 的值;(3)若f(x)>2,求x 的取值范围.【解析】(1)由题意,得f(1)=2,f(-1)=2,所以f(1)+f(-1)=4.(2)当a <0时,f(a)=a +3=1,解得a =-2;当a≥0时,f(a)=a2+1=1,解得a =0. 所以a =-2或a =0.(3)当x <0时,f(x)=x +3>2,解得-1<x <0;当x≥0时,f(x)=x2+1>2,解得x >1.所以x 的取值范围是-1<x <0或x >1.【点拨】分段函数中,x 在不同的范围内取值时,其对应的函数关系式不同.因此,分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<.10,621,100|,lg |x x x x 若a ,b ,c 互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【解析】不妨设a <b <c ,由f(a)=f(b)=f(c)及f(x)图象知110<a <1<b <10<c <12,所以-lg a =lg b =-12c +6,所以ab =1,所以abc 的范围为(10,12),故选C. 总结提高1.在函数三要素中,定义域是灵魂,对应法则是核心,因为值域由定义域和对应法则确定,所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数,而值域相同是两函数2019-2020年高考数学一轮总复习2.2 函数的单调性教案 理 新人教A版典例精析题型一 函数单调性的判断和证明【例1】讨论函数f(x)=ax +1x +2 (a≠12)在(-2,+∞)上的单调性. 【解析】设x1,x2为区间(-2,+∞)上的任意两个数且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ax1+1x1+2-ax2+1x2+2=(x1-x2)(2a -1)(x1+2)(x2+2), 因为x1∈(-2,+∞),x2∈(-2,+∞),且x1<x2,所以x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0.所以当a <12时,1-2a >0,f(x1)>f(x2), 函数f(x)在(-2,+∞)上为减函数;当a >12时,1-2a <0,f(x1)<f(x2), 函数f(x)在(-2,+∞)上是增函数.【点拨】运用定义判断函数的单调性,必须注意x1,x2在给定区间内的任意性,另外本题可以利用导数来判断.【变式训练1】已知函数f(x)满足f(π+x)=f(π-x),且当x ∈(0,π)时,f(x)=x +cos x ,则f(2),f(3),f(4)的大小关系是( )A. f (2)<f (3)<f (4)B. f (2)<f (4)<f (3)C. f (4)<f (3)<f (2)D. f (3)<f (4)<f (2)【解析】B.题型二 函数单调区间的求法【例2】试求出下列函数的单调区间.(1)y =|x -1|;(2)y =x2+2|x -1|;(3)y =.【解析】(1)y =|x -1|=所以此函数的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(-∞,1).(2)y =x2+2|x -1|=所以此函数的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(-∞,1).(3)由于t =-x2+4x -3的单调递增区间是(-∞,2),单调递减区间是(2,+∞),又底数大于1,所以此函数的单调递增区间是(-∞,2),单调递减区间是(2,+∞).【点拨】函数的单调区间,往往需要借助函数图象和有关结论,才能求解出.【变式训练2】在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“”如下:当a≥b 时,ab =a ;当a <b 时,ab =b2.则函数f (x)=(1x)x -(2x),x ∈[-2,2]的最大值是( )A.-1B.6C.1D.12【解析】B.题型三 函数单调性的应用【例3】已知函数f(x)的定义域为[-1,1],且对于任意的x1,x2∈[-1,1],当x1≠x2时,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0. (1)试判断函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数还是减函数,并证明你的结论;(2)解不等式f(5x -1)<f(6x2).【解析】(1)当x1,x2∈[-1,1],且x1<x2时,由f(x1)-f(x2)x1-x2>0,得f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数.(2)因为f(x)在[-1,1]上是增函数.所以由f(5x -1)<f(6x2)知,所以0≤x<13,所求不等式的解集为{x|0≤x<13}. 【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断,利用函数的单调性解题时,容易犯的错误是忽略函数的定义域.【变式训练3】已知函数y =f(x)是R 上的偶函数,对于x ∈R 都有f(x +6)=f(x)+f(3)成立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,给出下列命题: ①f(3)=0;②直线x =-6是函数y =f(x)的图象的一条对称轴;③函数y =f(x)在[-9,-6]上为增函数;④函数y =f(x)在[-9,9]上有四个零点.其中所有正确命题的序号为 (把所有正确命题的序号都填上).【解析】①②④.总结提高1.函数的单调区间是其定义域的子集,因此,讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域.2.函数的单调性可以借助函数图象来研究,增函数的图象自左向右是上升曲线,减函数的图象自左向右是下降曲线.3.导数是解决函数单调性问题的有力工具.4.利用函数单调性可比较大小、证明不等式、解不等式、求函数值域或最值等,既是一种方法,也是一种技巧,应加强函数单调性的应用,提高解题技巧.5.函数的单调性不同于周期性与奇偶性,它仅仅是函数的局部性质.。

2025版高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数的概念及其表示

2025版高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数的概念及其表示

第一讲函数的概念及其表示知识梳理学问点一函数的概念及其表示1.函数的概念函数两个集合A,B 设A,B是两个非空数集对应关系f:A→B 假如依据某种确定的对应关系f,使对于集合A中的随意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数记法函数y=f(x),x∈A2.函数的定义域、值域(1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)假如两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一样,则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.学问点二分段函数1.若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集.学问点三函数的定义域函数y=f(x)的定义域1.求定义域的步骤(1)写出访函数式有意义的不等式(组);(2)解不等式(组);(3)写出函数定义域.(留意用区间或集合的形式写出)2.求函数定义域的主要依据(1)整式函数的定义域为R.(2)分式函数中分母 不等于0 .(3)偶次根式函数被开方式 大于或等于0 . (4)一次函数、二次函数的定义域均为 R . (5)函数f (x )=x 0的定义域为 {x |x ≠0} . (6)指数函数的定义域为 R . (7)对数函数的定义域为 (0,+∞) . 学问点四 函数的值域 基本初等函数的值域:1.y =kx +b (k ≠0)的值域是 R .2.y =ax 2+bx +c (a ≠0)的值域是:当a >0时,值域为 ⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac -b 24a ;当a <0时,值域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≤4ac -b24a . 3.y =kx (k ≠0)的值域是 {y |y ≠0} .4.y =a x (a >0且a ≠1)的值域是 (0,+∞) . 5.y =log a x (a >0且a ≠1)的值域是 R . [延长]6.y =x +ax (a >0)的值域为(-∞,-2a )∪(2a ,+∞). 7.y =x -ax (a >0)的值域为(-∞,+∞).8.y =cx +d ax +b (a ≠0,ad -bc ≠0)的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,c a ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ,+∞. 归 纳 拓 展1.推断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一样. 2.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 3.与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.4.定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应当用并集符号“∪”连接.5.函数f (x )与f (x +a )(a 为常数a ≠0)的值域相同.双 基 自 测题组一 走出误区1.推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f :A →B ,其值域是集合B .( × )(2)A =N ,B =N ,f :x →y =|x -1|,表示从集合A 到集合B 的函数.( √ ) (3)已知f (x )=m (x ∈R ),则f (m 3)=m 3.( × ) (4)y =ln x 2与y =2ln x 表示同一函数.( × )(5)函数y =xx -1定义域为x >1.( × )题组二 走进教材2.(必修1P 67T1改编)若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是( B )[解析] A 中函数的定义域不是[-2,2];C 中图象不表示函数;D 中函数的值域不是[0,2].3.(必修1P 67T2改编)已知奇函数f (x )的图象经过点(1,3),则f (x )的解析式可能为( D ) A .f (x )=2x B .f (x )=-3x C .f (x )=3x 2D .f (x )=3x 3[解析] 依据f (1)=3以及函数的奇偶性确定正确答案.f (1)=2≠3,A 选项错误;f (1)=-3≠3,B 选项错误;f (x )=3x 2是偶函数,C 选项错误;f (1)=3,f (x )=3x 3为奇函数,符合题意.故选D.4.(必修1P 73T11改编)(多选题)函数y =f (x )的图象如图所示,则以下描述正确的是( BD )A .函数f (x )的定义域为[-4,4)B .函数f (x )的值域为[0,+∞)C .此函数在定义域内是增函数D .对于随意的y ∈(5,+∞),都有唯一的自变量x 与之对应[解析] 由图象得此函数定义域为[-4,0]∪[1,4),值域为[0,+∞),在定义域内不具备单调性,当y ∈(5,+∞)时都有唯一的x 与之对应.因此,A 、C 不正确.故选BD.5.(必修1P 67T2改编)由f (u )=u 2,u =2+x 复合而成的复合函数是y =_(2+x )2__.[解析] 利用复合函数的性质干脆求解.由f (u )=u 2,u =2+x 复合而成的复合函数是y =(2+x )2.题组三 走向高考6.(2024·北京卷)函数f (x )=1x +1-x 的定义域是 (-∞,0)∪(0,1] . [解析] 因为f (x )=1x +1-x ,所以x ≠0,1-x ≥0,解得x ∈(-∞,0)∪(0,1].7.(2024·浙江,12,4分)已知a ∈R ,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4,x >2,|x -3|+a ,x ≤2.若f [f (6)]=3,则a = 2 .[解析] 因为6>4=2,所以f (6)=(6)2-4=2,所以f [f (6)]=f (2)=|2-3|+a =1+a =3,解得a =2.。

2025高考数学一轮复习-2.1-函数及其表示【课件】

2025高考数学一轮复习-2.1-函数及其表示【课件】

【解析】 对于 A,由于函数 f(x)=|xx|的定义域为{x|x∈R 且 x≠0},而函数 g(x)=
1,x≥0, -1,x<0
的定义域是 R,所以二者不是同一函数,故错误;对于 B,若 x=1 不是 y=
f(x)定义域内的值,则直线 x=1 与 y=f(x)的图象没有交点,若 x=1 是 y=f(x)定义域内的
3.已知函数
f(x)=
log2x,x>0, ex,x≤0,
11 则 f f 2 =__e______.
【解析】 由于 f(x)=leox,g2xx,≤x0>,0, 则 f12=log212=-1,则 f(-1)=1e.
4.函数 y=f(x)的图象如图所示,那么,f(x)的定义域是___[_-__3_,0_]_∪__[2_,_3_]__;值域是 ___[1_,_5_]__;其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是__[1_,_2_)∪__(_4_,_5_] __.
2.下列说法正确的是(B )
A.f(x)=|xx|与
g(x)=
1,x≥0, -1,x<0
表示同一函数
B.函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个
C.f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 不是同一函数
1 D.若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f f 2 =0
若 f(x)>1,则 x 的取值范围是( D )
【解析】
由题意得2x≤-x-0 1>1,
或 x
1 2
>1,
x>0,
得 x<-1 或 x>1.
6.已知 f( x-1)=x-2 x,则 f(x)=___x2_-__1_(_x_≥__-__1)____.

高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2_1函数及其表示文新人教A版

高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2_1函数及其表示文新人教A版

方法2 换元法求函数解析式 【例3】 已知f( x+1)=x+2 x,则f(x)的解析式为________. [解析] 设t= x+1(t≥1),则x=(t-1)2, ∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). [答案] f(x)=x2-1(x≥1)
跟踪训练 (1)函数f(x)=ln2|+x|-x-x x2的定义域为(
)
A.(-1,2)
B.(-1,0)∪(0,2)
C.(-1,0)
D.(0,2)
答案:C (2)已知函数f(x)的定义域为[1,2],则函数g(x)=xf-2x10的定义域为________. 答案:12,1
B.-1
C.1
D.3
[解析] 由题意知f(1)=21=2. ∵f(a)+f(1)=0, ∴f(a)+2=0. 当a>0时,f(a)=2a,2a+2=0无解; 当a≤0时,f(a)=a+1, ∴a+1+2=0, ∴a=-3. [答案] A
名师点拨 1.应用分段函数时,首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选定 相应关系代入计算求解,特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确定 时,要分类讨论. 2.若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围时,应根据每 一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的 取值范围.
(3)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f1x· x-1,则f(x)=________. 答案:23 x+13
考点三|分段函数 (思维突破)
【例5】 已知函数f(x)=2x+x,1x,>x0≤,0, 若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于(
)
A.-3

2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.1 函数的概念及其表示

2024年高考数学一轮复习课件(新高考版)  第2章 §2.1 函数的概念及其表示
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知 f(x3)=lg x,则 f(10)的值为
A.1
B.3 10
√C.13
1
令x3=10,则x=103.
1 D. 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版)
第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求
1.了解函数的含义. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数. 3.了解简单的分段函数,并会简单的应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
教材改编题
y=x-2 1与 v=t-2 1的定义域都是(-∞,1)∪(1,+∞),对应关系也相 同,所以是同一个函数,故选项 D 正确.
教材改编题
3.已知函数 f(x)=lenx,x,x≤x>00,,
则函数
f
f
13等于
A.3
B.-3
√C.13
D.-13
由题意可知,f 13=ln 13=-ln 3,
思维升华
(1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域,均是指其 中的x的取值集合; (2)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出; (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)在 [a,b]上的值域.
课时精练

一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的概念 一般地,设A,B是 非空的实数集 ,如果对于集合A中的 任意 一个数x, 按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应,那 么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素: 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同,并且 对应关系 完全一致,则这两个函 数为同一个函数.

2019高考数学大一轮总复习 2.1函数及其表示课时作业 理.doc

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2019高考数学大一轮总复习 2.1函数及其表示课时作业 理1.设集合A 和集合B 都是自然数集N ,映射f :A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n +n ,则在映射f 下,象20的原象是( )A .2B .3C .4D .52.已知集合A ={x |0≤x ≤4},集合B ={y |0≤y ≤2},按照下列对应法则能构成集合A 到集合B 的映射的是( )A .f :x →y =34x ,x ∈A B .f :x →y =13x ,x ∈A C .f :x →y =23x ,x ∈A D .f :x →y =x ,x ∈A3.下列四个图形中,不是以x 为自变量的函数的图象是( ) A. B. C. D.4.下列函数中,与函数y =x (x ≥0)有相同图象的一个是( )A .y =x 2B .y =(x )2C .y =3x 3D .y =x 2x5.已知函数y =⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+1 x -2x x >,使函数值为5的x 的值是( )A .-2B .2或-52C .2或-2D .2或-2或-526.已知f (2x+1)=lg x ,则f (x )=________________. 7.集合A 中含有2个元素,集合A 到集合A 可构成 4 个不同的映射.8.已知函数f (x )定义域为R +,且满足条件f (x )=f (1x)·lg x +1,求f (x )的表达式.B 级训练(完成时间:15分钟)1.[限时2分钟,达标是( )否( )]函数y =f (x )的图象与直线x =a 的交点( )A .至少有一个B .至多有一个C .恰有一个D .可以有任意多个2.[限时2分钟,达标是( )否( )]设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 1 x >00 x =0-1 x <0,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 1,x 为有理数0,x 为无理数,则f (g (π))的值为( )A .1B .0C .-1D .π3.[限时3分钟,达标是( )否( )]已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x >0x +1 x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于( ) A .-3 B .-1C .1D .34.[限时2分钟,达标是( )否( )]下列对应中,①A ={矩形},B ={实数},f 为“求矩形的面积”;②A ={平面α内的圆},B ={平面α内的矩形},f :“作圆的内接矩形”;③A =R ,B ={x ∈R |x >0},f :x →y =x 2+1;④A =R ,B =R ,f :x →y =1x; ⑤A ={x ∈R |1≤x ≤2},B =R ,f :x →y =2x +1.是从集合A 到集合B 的映射的为 ①③⑤ .5.[限时2分钟,达标是( )否( )]若二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A (-2,0),B (4,0),且函数的最大值为9,则这个二次函数的表达式是 y =-(x +2)(x -4) .6.[限时4分钟,达标是( )否( )]已知f (x )=x 2-1,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -1 x >02-x x <0. (1)求f (g (2))和g (f (2))的值;(2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式.C级训练(完成时间:10分钟)1.[限时3分钟,达标是( )否( )](2014·浙江)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0≤f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( )A.c≤3 B.3<c≤6C .6<c ≤9 D.c >92.[限时2分钟,达标是( )否( )](2014·陕西)已知f (x )=x 1+x,x ≥0,若f 1(x )=f (x ),f n +1(x )=f (f n (x )),n ∈N +,则f 2014(x )的表达式为f 2014(x )=____________.3.[限时5分钟,达标是( )否( )]已知函数f (x ),g (x )同时满足:g (x -y )=g (x )·g (y )+f (x )f (y );f (-1)=-1,f (0)=0,f (1)=1,求g (0),g (1),g (2)的值.第二章 函数与基本初等函数Ⅰ第1讲 函数及其表示【A 级训练】1.C 解析:由2n +n =20求n ,用代入验证法可知n =4.2.B 解析:对于给出的集合A ={x |0≤x ≤4},集合B ={y |0≤y ≤2},若对应法则是f :x →y =34x ,x ∈A ,则原象集合A 中(83,4]内的元素在象集B 中无对应元素,不符合映射概念;若对应法则是f :x →y =13x ,x ∈A ,则原象集合A 中的所有元素在象集B 中都有唯一确定的对应元素,符合映射概念;若对应法则是f :x →y =23x ,x ∈A ,则原象集合A 中(3,4]内的元素在象集B 中无对应元素,不符合映射概念;若对应法则是f :x →y =x ,x ∈A ,则原象集合A 中(2,4]内的元素在象集B 中无对应元素,不符合映射概念.3.C 解析:由函数定义知,定义域内的每一个x 都有唯一函数值与之对应,A 、B 、D 选项中的图象都符合;C 项中对于大于零的x 而言,有两个不同的值与之对应,不符合函数定义.4.B 解析:一个函数与函数y =x (x ≥0)有相同图象时,这两个函数应是同一个函数. A 中的函数和函数y =x (x ≥0)的定义域不同,故不是同一个函数.B 中的函数和函数y =x (x ≥0)具有相同的定义域、值域、对应关系,故是同一个函数.C 中的函数和函数y =x (x ≥0)的定义域和值域都不同,故不是同一个函数.D 中的函数和函数y =x (x ≥0)的定义域不同,故不是同一个函数.5.A 解析:由题意,当x ≤0时,f (x )=x 2+1=5,得x =±2,又x ≤0,所以x =-2;当x >0时,f (x )=-2x =5,得x =-52,舍去. 6.lg 2x -1(x >1) 解析:令2x +1=t (t >1),则x =2t -1,所以f (t )=lg 2t -1,f (x )=lg 2x -1(x >1). 7.4 解析:设集合A ={a ,b },那么由集合A 到集合A 要构成一个映射,就是给原象集合A 中的元素在象集合A 中找象,共有4种不同的找法:a 、b 都对应a ;a 、b 都对应b ;a 对应a ,b 对应b ;a 对应b ,b 对应a ,所以集合A 到集合A 可构成4个不同的映射.故答案为4.8.解析:因为f (x )=f (1x)·lg x +1,用1x 代换x ,代入上式得f (1x )=f (x )·lg 1x+1, 代入到原式可得:f (x )=1+lg x 1+x 2. 【B 级训练】1.B 解析:联立⎩⎪⎨⎪⎧ x =a y =fx ,当x =a 有定义时,把x =a 代入函数y =f (x ),根据函数的定义:定义域内每一个x 对应唯一的y ,当x =a 在定义域范围内时,有唯一解,当x =a 无定义时,没有解.所以至多有一个交点.2.B 解析:根据题设条件,因为π是无理数,所以g (π)=0,所以f (g (π))=f (0)=0.3.A 解析:由题意知f (1)=21=2.因为f (a )+f (1)=0,所以f (a )+2=0.①当a >0时,f (a )=2a,2a +2=0无解;②当a ≤0时,f (a )=a +1,所以a +1+2=0,所以a =-3.4.①③⑤ 解析:其中②,由于圆的内接矩形不唯一,因此f 不是从A 到B 的映射;其中④,A 中的元素0在B 中没有对应元素,因此f 不是从A 到B 的映射.①③⑤符合映射的定义.5.y =-(x +2)(x -4) 解析:由题可设y =a (x +2)(x -4),对称轴x =1,所以当x =1时,y max =9⇒a =-1,故这个二次函数的表达式是y =-(x +2)(x -4).6.解析:(1)因为g (2)=1,所以f (g (2))=f (1)=0,因为f (2)=3,所以g (f (2))=g (3)=2.(2)f (g (x ))=(g (x ))2-1=⎩⎪⎨⎪⎧x -2-1 x >0-x 2-1 x <0. 所以f (g (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-2x x >0x 2-4x +3 x <0, g (f (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧ f x -1 f x 2-f x f x =⎩⎪⎨⎪⎧ x 2--1 x 2-1>02-x 2-x 2-1<0. 所以g (f (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-2 x >1或x <-13-x 2 -1<x <1.【C 级训练】1.C 解析:由f (-1)=f (-2)=f (-3)得:⎩⎪⎨⎪⎧-1+a -b +c =-8+4a -2b +c -1+a -b +c =-27+9a -3b +c , 解得a =6,b =11.f (x )=x 3+6x 2+11x +c ,由0<f (-1)≤3,得0<-1+6-11+c ≤3,即6<c ≤9,故选C.2.x 1+2014x 解析:由题意f 1(x )=f (x )=x1+x ; f 2(x )=f (f 1(x ))=x1+x1+x 1+x =x1+2x ;f3(x)=f(f2(x))=x 1+2x1+x1+2x =x1+3x.……f n(x)=f(f n-1(x))=…=x1+nx.故f2014(x)=x1+2014x.3.解析:由题设条件,令x=y=0,则有g(0)=g2(0)+f2(0),又f(0)=0,故g(0)=g2(0),解得g(0)=0,或者g(0)=1.若g(0)=0,令x=y=1得g(0)=g2(1)+f2(1)=0,又f(1)=1知g2(1)+1=0,此式无意义,故g(0)≠0.此时有g(0)=g2(1)+f2(1)=1,即g2(1)+1=1,故g(1)=0,令x=0,y=1,得g(-1)=g(0)g(1)+f(0)f(1)=0,令x=1,y=-1,得g(2)=g(1)g(-1)+f(1)f(-1)=-1,综上得g(0)=1,g(1)=0,g(2)=-1.。

【解密高考】2021届高考数学大一轮总温习 2.1 函数及其表示高效作业 理 新人教A版(1)

【解密高考】2021届高考数学大一轮总温习 2.1 函数及其表示高效作业 理 新人教A版(1)

【解密高考】2021届高考数学大一轮总温习 2.1 函数及其表示高效作业 理 新人教A 版时刻:45分钟 总分值:100分 班级:________ 姓名:________ 学号:________ 得分:________ 一、选择题(本大题共6小题,每题6分,共36分,在以下四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1.(2021·陕西)设全集为R ,函数f (x )=1-x 2的概念域为M ,那么∁R M 为( ) A .[-1,1]B .(-1,1)C .(-∞,-1]∪[1,+∞)D .(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:从函数概念域切入,∵1-x 2≥0,∴-1≤x ≤1,依据补集的运算知所求集合为(-∞,-1)∪(1,+∞),选D.答案:D2.已知f :x →-sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ={0,12}的一个映射,那么集合A 中的元素个数最多有( )A .4个B .5个C .6个D .7个解析:当-sin x =0时,sin x =0,x 可取0,π,2π;当-sin x =12时,sin x =-12,x 可取7π6、11π6,故集合A 中的元素最多有5个,应选B.答案:B3.(2021·邯郸模拟)函数f (x )关于任意实数x 知足f (x +2)=1f x,假设f (1)=-5,那么f (f (5))等于( )A .2B .5C .-5D .-15解析:f (5)=1f 3=f (1)=-5,f (-5)=1f -3=f (-1)=1f 1=-15.答案:D4.概念一种运算:a ⊗b =⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥b ,b a <b ,已知函数f (x )=2x ⊗(3-x ),那么函数y =f (x +1)的大致图象是( )解析:f (x )=2x ⊗(3-x )=⎩⎪⎨⎪⎧3-x x <1,2x x ≥1,作出f (x )的图象,再将其向左平移一个单位即为f (x +1)的图象,应选B.答案:B5.(2021·山东聊城期末质检)具有性质:f (1x)=-f (x )的函数,咱们称为知足“倒负”互换的函数,以下函数:①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1中知足“倒负”变换的函数是( )A .①②B .①③C .②③D .只有①解析:①f (1x )=1x-x =-f (x )知足.②f (1x )=1x+x =f (x )不知足.③0<x <1时,f (1x)=-x =-f (x ),x =1时,f (1x)=0=-f (x ),x >1时,f (1x )=1x=-f (x )知足.应选B.答案:B6.(2021·福建)设S ,T 是R 的两个非空子集,若是存在一个从S 到T 的函数y =f (x )知足:(ⅰ)T ={f (x )|x ∈S };(ⅱ)对任意x 1,x 2∈S ,当x 1<x 2时,恒有f (x 1)<f (x 2)那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )A .A =N *,B =NB .A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |x =-8或0<x ≤10}C .A ={x |0<x <1},B =RD .A =Z ,B =Q解析:对选项A ,取f (x )=x -1,x ∈N *,因此A =N *,B =N 是“保序同构”,应排除A ;对选项B ,取f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-8,x =-1x +1,-1<x ≤0x 2+1,0<x ≤3,因此A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |x =-8或0<x ≤10}是“保序同构”,应排除B ;对选项C ,取f (x )=tan(πx -π2)(0<x <1),因此A ={x |0<x <1},B =R 是“保序同构”,应排除C ,应选D.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上) 7.有以下判定:(1)f (x )=|x |x 与g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥0,-1,x <0表示同一函数.(2)函数y =f (x )的图象与直线x =1的交点最多有1个. (3)f (x )=x 2-2x +1与g (t )=t 2-2t +1是同一函数. (4)假设f (x )=|x -1|-|x |,那么f (f (12))=0.其中正确判定的序号是________.解析:关于(1),由于函数f (x )=|x |x 的概念域为{x |x ∈R ,且x ≠0},而函数g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥0,-1,x <0的概念域是R ,因此二者不是同一函数;关于(2),假设x =1不是y =f (x )概念域内的值,那么直线x =1与y =f (x )的图象没有交点,假设x =1是y =f (x )概念域内的值,由函数的概念可知,直线x =1与y =f (x )的图象只有一个交点,即y =f (x )的图象与直线x =1最多有一个交点;关于(3),f (x )与g (t )的概念域、值域和对应关系均相同,因此f (x )与g (t )表示同一函数,关于(4),由于f (12)=|12-1|-|12|=0,∴f (f (12))=f (0)=1.综上可知,正确的判定是(2),(3). 答案:(2)(3)8.(2021·乌鲁木齐一中月考)已知函数f (x )=4|x |+2-1的概念域是[a ,b ](a ,b 为整数),值域是[0,1],那么知足条件的整数数对(a ,b )共有________个.解析:由0≤4|x |+2-1≤1,得0≤|x |≤2.知足条件的整数数对有(-2,0)、(-2,1)、(-2,2)、(0,2)、(-1,2),共5个.答案:59.(2021·焦作质检)假设一系列函数解析式相同,值域相同,但概念域不同,那么称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y =x 2,值域为{1,4}的“同族函数”共有________个.解析:值域为{1,4},那么概念域中必需至少含有1,-1中的一个且至少含有2,-2中的一个. 当概念域含有两个元素时,能够为{-1,-2},或{-1,2},或{1,-2},或{1,2};当概念域中含有三个元素时,能够为{-1,1,-2},或{-1,1,2},或{1,-2,2},或{-1,-2,2}; 当概念域含有四个元素时,为{-1,1,-2,2}. 因此同族函数共有9个. 答案:910.(2021·沈阳二模)概念两种运算:a ⊕b =a 2-b 2,a ⊗b =a -b 2,其中a ,b ∈R ,那么函数f (x )=2⊕xx ⊗2-2的解析式为________.解析:由2⊕x =4-x 2,x ⊗2=x -22=|x -2|.因此f (x )=4-x 2|x -2|-2,由⎩⎪⎨⎪⎧-2≤x ≤2,|x -2|≠2,解得-2≤x <0或0<x ≤2,由此可得x -2≤0,那么f (x )=4-x 2-x ,x ∈[-2,0)∪(0,2].答案:f (x )=4-x 2-x,x ∈[-2,0)∪(0,2]三、解答题(本大题共3小题,共40分,1一、12题各13分,13题14分,写出证明进程或推演步骤) 11.我国是水资源相对匮乏的国家,为鼓舞节约用水,某市打算制定一项水费方法,规定每季度每人用水不超过5吨时,每吨水费的价钱(大体消费价)为1.3元,假设超过5吨而不超过6吨时,超过部份的水费加收200%,假设超过6吨而不超过7吨时,超过部份的水费加收400%,若是某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨,试计算本季度他应缴纳的水费.解:设y 表示本季度应缴纳的水费(元), 当0<x ≤5时,y =1.3x .当5<x ≤6时,应将x 分成两部份:5与(x -5)别离计算,第一部份为大体消费1.3×5,第二部份由大体消费与加价消费组成,即1.3×(x -5)+1.3(x -5)×200%=3.9x -19.5,现在y =1.3×5+3.9x -19.5=3.9x -13. 当6<x ≤7时,同理y =6.5x -28.6.综上可知:y =⎩⎪⎨⎪⎧1.3x , 0<x ≤5,3.9x -13, 5<x ≤6,6.5x -28.6, 6<x ≤7.12.(2021·北京海淀期末)已知函数y =1+2x +a ·4x 的概念域为(-∞,1],求实数a 的取值范围.解:依题意,1+2x +a ·4x ≥0的解集恰为(-∞,1]. 即[(12)x ]2+(12)x +a ≥0的解集是(-∞,1].由于(12)x ≤-1-1-4a 2(不合题意,舍去),或(12)x ≥-1+1-4a 2,∴x ≤log12-1+1-4a2,因此有log12-1+1-4a 2=1,解得a =-34.即实数a 的取值范围是a =-34.13.(2021·江西五校联考)已知函数f (x )=ax 2+bx .假设至少存在一个正实数b ,使得函数f (x )的概念域与值域相同,求实数a 的值.解:①若a =0,那么关于每一个正数b ,f (x )=bx 的概念域和值域都是[0,+∞),故a =0知足条件;②若a >0,那么关于正数b ,f (x )=ax 2+bx 的概念域为D ={x |ax 2+bx ≥0}=(-∞,-b a]∪[0,+∞),但f (x )的值域A ⊆[0,+∞),故D ≠A ,即a >0不符合条件;③若a <0,那么关于正数b ,f (x )=ax 2+bx 的概念域D =[0,-ba],由于现在f (x )max =f (-b 2a )=b2-a ,故f (x )的值域为[0,b2-a],那么-ba =b2-a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <0,2-a =-a⇒a =-4.综上所述:a 的值为0或-4.。

高考数学一轮复习 2.1 函数及其表示课时作业 理(含解

高考数学一轮复习 2.1 函数及其表示课时作业 理(含解

【与名师对话】2015高考数学一轮复习 2.1 函数及其表示课时作业理(含解析)新人教A 版一、选择题1.下列函数中,与函数y =13x定义域相同的函数为( )A .y =1sin xB .y =ln x xC .y =x e xD .y =sin x x解析:函数y =13x的定义域为{x |x ≠0},选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠kπ,k ∈Z ,故A不对;选项B 中x >0,故B 不对;选项C 中x ∈R ,故C 不对;选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}.答案:D2.若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (x )=( ) A .x -1 B .x +1 C .2x +1D .3x +3解析:由题意知2f (x )-f (-x )=3x +1.①将①中x 换为-x ,则有2f (-x )-f (x )=-3x +1.② ①×2+②得3f (x )=3x +3, 即f (x )=x +1. 答案:B3.已知函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x -1x =x 2+1x2,则f (3)=( )A .8B .9C .11D .10解析:∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x -1x =⎝⎛⎭⎪⎫x -1x 2+2,∴f (3)=9+2=11.答案:C4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3-x 2,x ∈[-1,2],x -3,x ∈2,5],则方程f (x )=1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4 D .±2或4 解析:(1)当x ∈[-1,2]时,由3-x 2=1⇒x =2; (2)当x ∈(2,5]时,由x -3=1⇒x =4.综上所述,f (x )=1的解为2或4. 答案:C5.(2013·山东泰安高三第二次模拟)函数y =x 22-x+lg(2x +1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12 D.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-12 解析:由解析式知⎩⎪⎨⎪⎧2-x >02x +1>0解得-12<x <2,选B.答案:B6.(2013·山东潍坊市高考模拟)某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每10人给一个代表名额,当班级人数除以10的余数大于6时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y =[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可表示为( )A .y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B .y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +310C .y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +410D .y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +510解析:由题意可得余数从7开始就应增加一名代表名额,故选B. 答案:B 二、填空题7.(2013·湛江市普通高考测试题(二))已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x,x ≤0log 3x ,x >0,那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=________.解析:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=log 313=-1,f (-1)=2-1=12,∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=12. 答案:128.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2ax ,x ≥2,2x+1,x <2,若f []f1>3a 2,则a的取值范围是________.解析:由题知,f (1)=2+1=3, f []f 1=f (3)=32+6a ,若f []f1>3a 2,则9+6a >3a 2,即a 2-2a -3<0,解得-1<a <3.答案:(-1,3)9.已知a ,b 为两个不相等的实数,集合M ={a 2-4a ,-1},N ={b 2-4b +1,-2},f :x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ,则a +b 等于________.解析:由已知可得M =N ,由⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4a =-2,b 2-4b +1=-1,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4a +2=0,b 2-4b +2=0,所以a ,b 是方程x 2-4x +2=0的两根, 故a +b =4. 答案:4 三、解答题 10.若函数f (x )=xax +b(a ≠0),f (2)=1,又方程f (x )=x 有惟一解,求f (x )的解析式.解:由f (2)=1得22a +b =1,即2a +b =2;由f (x )=x 得x ax +b =x ,变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax +b -1=0,解此方程得x =0或x =1-ba, 又因方程有惟一解,故1-b a=0,解得b =1,代入2a +b =2得a =12,所以f (x )=2x x +2. 11.已知函数f (x )=2x -1,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≥0,-1,x <0,求f [g (x )]和g [f (x )]的解析式.解:当x ≥0时,g (x )=x 2, f [g (x )]=2x 2-1, 当x <0时,g (x )=-1, f [g (x )]=-2-1=-3,∴f [g (x )]=⎩⎪⎨⎪⎧2x 2-1,x ≥0,-3,x <0.∵当2x -1≥0,即x ≥12时,g [f (x )]=(2x -1)2,当2x -1<0,即x <12时,g [f (x )]=-1,∴g [f (x )]=⎩⎪⎨⎪⎧2x -12,x ≥12,-1,x <12.12.如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象.(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义;(2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图2、3所示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗?(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元?解:(1)点A 表示无人乘车时收支差额为-20元,点B 表示有10人乘车时收支差额为0元,线段AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利.(2)图2的建议是降低成本,票价不变,图3的建议是提高票价. (3)斜率表示票价.(4)图1、2中的票价是2元.图3中的票价是4元. [热点预测]13.(1)具有性质:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x=-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <10,x =1-1x ,x >1中满足“倒负”变换的函数是( )A .①②B .①③C .②③D .只有① (2)(2013·安阳模拟)函数y =x +1+x -1lg2-x的定义域是________.解析:(1)①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x=1x-x =-f (x )满足.②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x+x =f (x )不满足.③0<x <1时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-x =-f (x ),x =1时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =0=-f (x ), x >1时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x=-f (x )满足.故选B.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0,x -1≠0,2-x >0,2-x ≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥-1,x ≠1,x <2,则⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x <2,x ≠1所以定义域是{x |-1≤x <1或1<x <2}.答案:(1)B (2){x |-1≤x <1或1<x <2}。

高三数学一轮复习 2.1 函数及其表示课件 理 新课标

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2
于是,f
(
5 2
)

f
(
3 2

1)


1
3
3 2
f
(
3) 2

5 3
f
(
3 2
)
2
2
2
②当0<x≤1时,-1≤-x<0,此时,
f(x)=-x+1,f(-x)=-(-x)-1=x-1,
∴f(x)-f(-x)>-1化为-x+1-(x-1)>-1,
解得x< 3 ,则0<x≤1.
2
故所求不等式的解集为 [ 1, 1 ] (0,1].
2
(2)根据图象,设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b (x≤1).
或“否”)
①f(x)=x与g(x)= ( x)2 ( )
②f(x)=|x|与g(x)= 3 x3 ( )
③f(x)=x|x|与g(x)=
x 2 x
2
x>0 ( )
x<0
④f(x)= x2 1与g(t)=t+1(t≠1)( )
x 1
(2)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为____. (3)设集合A={x | y x 2},集合B={y|y=x2,x∈R},则 A∩B=_______.
【解题指南】(1)根据每一段的解析式分类求解,再求其并集.
(2)已知图象形状,求解析式,可用待定系数法.
【规范解答】(1)选B.①当-1≤x<0时,0<-x≤1,
此时f(x)=-x-1,f(-x)=-(-x)+1=x+1,
∴f(x)-f(-x)>-1化为-2x-2>-1,
得x< 1 ,则-1≤x< 1 .

2022届高考数学统考一轮复习第2章函数第1节函数及其表示教师用书教案理新人教版

2022届高考数学统考一轮复习第2章函数第1节函数及其表示教师用书教案理新人教版

学习资料2022届高考数学统考一轮复习第2章函数第1节函数及其表示教师用书教案理新人教版班级:科目:函数全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般为1~3个客观题。

2。

考查内容高考对本章内容的考查主要涉及指数、对数的运算,指数函数、对数函数的图象与性质,分段函数的求值,函数奇偶性的判断,函数奇偶性、单调性及周期性的综合应用,函数的零点等内容.函数及其表示[考试要求] 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念.2。

在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).1.函数与映射的概念函数映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.提醒:两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=|x|,x∈[0,2]与函数f(x)=|x|,x∈[-2,0].3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.提醒:分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.错误!常见函数定义域的求法类型x满足的条件错误!(n∈N*)f(x)≥0 2n+1f(x)(n∈N*)f(x)有意义错误!与[f(x)]0f(x)≠0 log a f(x)(a>0且a≠1)f(x)>0 a f(x)(a>0且a≠1)f(x)有意义tan[f(x)]f(x)≠错误!+kπ,k∈Z四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×")(1)对于函数f:A→B,其值域是集合B.()(2)函数y=1与y=x0是同一个函数.()(3)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一个函数.() (4)函数f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点.() (5)已知f(x)=m(x∈R),则f(m3)=m3。

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【解密高考】2015届高考数学大一轮总复习 2.1 函数及其表示高效作业 理 新人教A 版时间:45分钟 满分:100分 班级:________ 姓名:________ 学号:________得分:________一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分,在下列四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·陕西)设全集为R ,函数f (x )=1-x 2的定义域为M ,则∁R M 为( ) A .[-1,1]B .(-1,1)C .(-∞,-1]∪[1,+∞)D .(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:从函数定义域切入,∵1-x 2≥0,∴-1≤x ≤1,依据补集的运算知所求集合为(-∞,-1)∪(1,+∞),选D.答案:D2.已知f :x →-sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ={0,12}的一个映射,则集合A中的元素个数最多有( )A .4个B .5个C .6个D .7个解析:当-sin x =0时,sin x =0,x 可取0,π,2π;当-sin x =12时,sin x =-12,x可取7π6、11π6,故集合A 中的元素最多有5个,故选B.答案:B3.(2014·邯郸模拟)函数f (x )对于任意实数x 满足f (x +2)=1f x,若f (1)=-5,则f (f (5))等于( )A .2B .5C .-5D .-15解析:f (5)=1f=f (1)=-5,f (-5)=1f-=f (-1)=1f=-15.答案:D4.定义一种运算:a ⊗b =⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥b ,ba <b ,已知函数f (x )=2x⊗(3-x ),那么函数y =f (x+1)的大致图象是( )解析:f (x )=2x⊗(3-x )=⎩⎪⎨⎪⎧3-xx <,2xx ,作出f (x )的图象,再将其向左平移一个单位即为f (x +1)的图象,应选B.答案:B5.(2014·山东聊城期末质检)具有性质:f (1x)=-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,<x <,0,x =,-1x ,x >中满足“倒负”变换的函数是( )A .①②B .①③C .②③D .只有①解析:①f (1x )=1x-x =-f (x )满足.②f (1x )=1x+x =f (x )不满足.③0<x <1时,f (1x)=-x =-f (x ),x =1时,f (1x)=0=-f (x ),x >1时,f (1x )=1x=-f (x )满足.故选B.答案:B6.(2013·福建)设S ,T 是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数y =f (x )满足:(ⅰ)T ={f (x )|x ∈S };(ⅱ)对任意x 1,x 2∈S ,当x 1<x 2时,恒有f (x 1)<f (x 2)那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )A .A =N *,B =NB .A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |x =-8或0<x ≤10}C .A ={x |0<x <1},B =RD .A =Z ,B =Q解析:对选项A ,取f (x )=x -1,x ∈N *,所以A =N *,B =N 是“保序同构”,应排除A ;对选项B ,取f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-8,x =-1x +1,-1<x ≤0x 2+1,0<x ≤3,所以A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |x =-8或0<x ≤10}是“保序同构”,应排除B ;对选项C ,取f (x )=tan(πx -π2)(0<x <1),所以A={x |0<x <1},B =R 是“保序同构”,应排除C ,故选D.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上) 7.有以下判断:(1)f (x )=|x |x 与g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ,-1,x <表示同一函数.(2)函数y =f (x )的图象与直线x =1的交点最多有1个. (3)f (x )=x 2-2x +1与g (t )=t 2-2t +1是同一函数. (4)若f (x )=|x -1|-|x |,则f (f (12))=0.其中正确判断的序号是________.解析:对于(1),由于函数f (x )=|x |x的定义域为{x |x ∈R ,且x ≠0},而函数g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ,-1,x <的定义域是R ,所以二者不是同一函数;对于(2),若x =1不是y =f (x )定义域内的值,则直线x =1与y =f (x )的图象没有交点,若x =1是y =f (x )定义域内的值,由函数的定义可知,直线x =1与y =f (x )的图象只有一个交点,即y =f (x )的图象与直线x =1最多有一个交点;对于(3),f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同,所以f (x )与g (t )表示同一函数,对于(4),由于f (12)=|12-1|-|12|=0,∴f (f (12))=f (0)=1.综上可知,正确的判断是(2),(3). 答案:(2)(3)8.(2014·乌鲁木齐一中月考)已知函数f (x )=4|x |+2-1的定义域是[a ,b ](a ,b 为整数),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a ,b )共有________个.解析:由0≤4|x |+2-1≤1,得0≤|x |≤2.满足条件的整数数对有(-2,0)、(-2,1)、(-2,2)、(0,2)、(-1,2),共5个.答案:59.(2014·焦作质检)若一系列函数解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y =x 2,值域为{1,4}的“同族函数”共有________个.解析:值域为{1,4},则定义域中必须至少含有1,-1中的一个且至少含有2,-2中的一个.当定义域含有两个元素时,可以为{-1,-2},或{-1,2},或{1,-2},或{1,2}; 当定义域中含有三个元素时,可以为{-1,1,-2},或{-1,1,2},或{1,-2,2},或{-1,-2,2};当定义域含有四个元素时,为{-1,1,-2,2}. 所以同族函数共有9个. 答案:910.(2014·沈阳二模)定义两种运算:a ⊕b =a 2-b 2,a ⊗b =a -b2,其中a ,b∈R ,则函数f (x )=2⊕xx ⊗-2的解析式为________.解析:由2⊕x =4-x 2,x ⊗2=x -2=|x -2|.所以f (x )=4-x2|x -2|-2,由⎩⎪⎨⎪⎧-2≤x ≤2,|x -2|≠2,解得-2≤x <0或0<x ≤2,由此可得x -2≤0,则f (x )=4-x2-x,x ∈[-2,0)∪(0,2].答案:f (x )=4-x2-x,x ∈[-2,0)∪(0,2]三、解答题(本大题共3小题,共40分,11、12题各13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤)11.我国是水资源相对匮乏的国家,为鼓励节约用水,某市打算制定一项水费措施,规定每季度每人用水不超过5吨时,每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元,若超过5吨而不超过6吨时,超过部分的水费加收200%,若超过6吨而不超过7吨时,超过部分的水费加收400%,如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨,试计算本季度他应缴纳的水费.解:设y 表示本季度应缴纳的水费(元), 当0<x ≤5时,y =1.3x .当5<x ≤6时,应将x 分成两部分:5与(x -5)分别计算,第一部分为基本消费1.3×5,第二部分由基本消费与加价消费组成,即1.3×(x -5)+1.3(x -5)×200%=3.9x -19.5,此时y =1.3×5+3.9x -19.5=3.9x -13.当6<x ≤7时,同理y =6.5x -28.6. 综上可知:y =⎩⎪⎨⎪⎧1.3x , 0<x ≤5,3.9x -13, 5<x ≤6,6.5x -28.6, 6<x ≤7.12.(2014·北京海淀期末)已知函数y =1+2x+a ·4x的定义域为(-∞,1],求实数a 的取值范围.解:依题意,1+2x+a ·4x≥0的解集恰为(-∞,1]. 即[(12)x ]2+(12)x+a ≥0的解集是(-∞,1].由于(12)x ≤-1-1-4a 2(不合题意,舍去),或(12)x ≥-1+1-4a 2,∴x ≤log 12-1+1-4a2,因此有log 12-1+1-4a 2=1,解得a =-34.即实数a 的取值范围是a =-34.13.(2014·江西五校联考)已知函数f (x )=ax 2+bx .若至少存在一个正实数b ,使得函数f (x )的定义域与值域相同,求实数a 的值.解:①若a =0,则对于每个正数b ,f (x )=bx 的定义域和值域都是[0,+∞),故a =0满足条件;②若a >0,则对于正数b ,f (x )=ax 2+bx 的定义域为D ={x |ax 2+bx ≥0}=(-∞,-ba]∪[0,+∞),但f (x )的值域A ⊆[0,+∞),故D ≠A ,即a >0不符合条件;③若a <0,则对于正数b ,f (x )=ax 2+bx 的定义域D =[0,-b a], 由于此时f (x )max =f (-b 2a )=b 2-a ,故f (x )的值域为[0,b2-a],则-b a =b2-a ⇒⎩⎨⎧a <0,2-a =-a⇒a =-4.综上所述:a 的值为0或-4.。

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